ОПД.Ф.4.1. ТиМОМ

1
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
ОПД.Ф.4.1. Теория и методика обучения математике
Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности
050201.00 – Математика с дополнительной специальностью
(код и наименование специальности/тей)
Утверждено на заседании
кафедры математического анализа
и методики преподавания математики
физико-математического факультета
(протокол № от
сентября 2008 г.)
Зав. кафедрой
__________________ Иванчук Н.В.
Мурманск 2008
РАЗДЕЛ I. Программа учебной дисциплины.
2
Структура программы учебной дисциплины
1.1. Автор программы: к.п.н., доцент кафедры МА и МПМ Иванчук Н.В.
1.2. Рецензенты: доцент, кандидат физ.-мат. наук Мартынов О. М., к.п.н., к.т.н., профессор кафедры
естественно-математического образования МОИПКРО Бродский И. Л.
1.3. Пояснительная записка:
Подготовка будущих учителей математики тесно связана с творческим осмыслением ими
теоретических знаний по методике обучения математике, всесторонним анализом имеющихся
методик и технологий обучения, знакомством с разнообразными формами, приемами, методами
и средствами преподавания предмета.
Цели:
Повышение математической культуры студентов, необходимой для научного обоснования
курса теории и методики обучения математике; овладение ими методами современного преподавания математики в средней школе, гимназиях и лицеях, которые базируются на прочной основе математических дисциплин. Заложить фундаментальные знания, необходимые для качественного обучения математике в средних учебных заведениях, сформировать практические
навыки решения школьных задач.
Задачи:
- познакомить студентов с целями и задачами, предметом методики обучения математике
в средней общеобразовательной школе, гимназиях и лицеях,
- ознакомить с вопросами общей методики преподавания математики,
- изучить методические особенности преподавания основных тем школьного курса математики,
- изложить основные методические приемы изучения и преподавания различных тем
школьного курса,
- научить грамотно составлять планы и конспекты уроков,
- научить проводить анализ и самоанализ урока,
- ознакомить студентов с основными методами и средствами обучения,
- ознакомить с различными типами уроков и формами обучения математике.
Место курса в общей системе подготовки специалиста:
В профессиональной подготовке учителя математики курс занимает особое положение, он
изучается студентами, уже получившими определенную философскую, педагогическую, психологическую, общедидактическую и математическую подготовку. Эти знания студентов систематически используются в курсе методики обучения математике и находят свой выход в практике обучения школьников. Предлагаемый курс имеет естественные межпредметные связи с
курсами по выбору, методикой преподавания математики, информатики.
Программа курса составлена на основе Государственного образовательного стандарта
высшего профессионального образования по специальности 050201.00 – «Математика с дополнительной специальностью», утвержденного 31 января 2005 г.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины (должны знать, должны уметь)
В результате изучения курса студенты
должны знать:
- основные понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины,
- основные положения школьного курса алгебры, геометрии и начал анализа,
- способы и методы решения школьных задач.
должны уметь:
3
- решать задачи по разделам курса,
- применять теоретический материал,
- творчески подходить к решению профессиональных задач,
- строить математические модели задач, приводить их к нужному виду,
- выбирать и реализовывать наиболее рациональный метод решения задачи.
Ссылки на авторов и программы, которые использовались в подготовке – нет
1.4. Извлечение (в виде ксерокопии) из ГОС ВПО специальности (направления), включающие требования к обязательному минимуму содержания дисциплины и общее количество часов
(выписка).
1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы (для всех специальностей, на которых читается данная дисциплина):
№
п/
п
Шифр и наименование
специальности
Курс
1 050201.00
Математика,
информатика
Семестр
Виды учебной работы в часах
Всего
аудит.
28
ЛК
7
Трудоемкость
62
10
ПР/
СМ
18
8
40
28
14
9
28
28
14
130
84
ЛБ
Вид итогового
контроля
Сам.
работа
34
К.р.
14
12
К.р.
14
-
Экзамен
–
4
5
ИТОГО
46
1.6. Содержание дисциплины.
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени:
Наименование раздела, темы
п/п
Всего
ауд.
Количество часов
ЛК
ПР
ЛБ
Сам.
раб.
7 семестр
1
2
Общие вопросы теории и методики обучения
математике.
Линия числа в школьном курсе математики.
ИТОГО
16
6
10
–
12
12
4
8
–
12
28
10
18
–
34
8 семестр
3
Методика преподавания геометрии в девятилетней школе.
10
4
8
–
6
4
Специфика восприятия и усвоения алгебраического и геометрического материала в школе.
6
4
2
–
2
5
Тождественные преобразования в курсе математики средней школы, методика их изучения.
12
6
4
–
4
ИТОГО
28
14
14
–
12
Методика изучения функций в девятилетней
школе.
28
14
14
–
-
ИТОГО
28
14
14
6
1.6.2. Содержание разделов дисциплины.
-
4
Общие вопросы теории и методики обучения математике. Предмет методики преподавания математики. Цели и содержание обучения математике в средней школе. Принципы и методы обучения математике. Методы научного познания в обучении математике. Общие вопросы совершенствования процесса обучения. Методика изучения математических понятий. Методы введения
новых математических понятий. Математические утверждения. Обоснования и доказательства.
Теоремы, их виды, работа с теоремами. Задачи в обучении математике. Формы обучения математике. Урок, типы уроков. Конспект урока. Контроль знаний и умений учащихся при обучении
математике.
Линия числа в школьном курсе математики. Цели изучения линии числа. Методические особенности расширения числовых множеств в курсе алгебры девятилетней школы. Методика преподавания математики в 5-6 классах. Методика изучения числовых систем. Натуральные числа. Методика изучения обыкновенных и десятичных дробей. Методика изучения отрицательных чисел. Методические особенности расширения числовых множеств в курсе алгебры
девятилетней школы.
Методика преподавания геометрии. Особенности изучения геометрического материала
в 1-6 классах. Логическое строение геометрии. Методика изучения аксиом. Взаимное расположение прямых на плоскости. Виды многоугольников. Признаки равенства и подобия треугольников. Виды геометрических преобразований на плоскости: осевая и центральная симметрия,
параллельный перенос, поворот, преобразования подобия. Методика изучения параллельности
прямых и плоскостей. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей.
Специфика восприятия и усвоения алгебраического и геометрического материала в
школе. Особенности развития подростков и специфика обучения алгебре, связанная с ними.
Специфика обучения алгебре как предмету. Объективные особенности геометрических представлений. Восприятие и усвоение геометрического пространства.
Тождественные преобразования в курсе математики средней школы, методика их
изучения. Линия тождественных преобразований в курсе математики средней школы и ее взаимосвязь с другими линиями школьного курса. Различные подходы к определению тождества.
Целенаправленность тождественных преобразований. Основные типы преобразований и этапы
их изучения. Методические особенности изучения тождественных преобразований. Методика
изучения тождественных преобразований трансцендентных выражений.
Методика изучения функций в девятилетней школе. Из истории развития функции.
Цели изучения функции в основной школе. Формирование понятия «функции» в школьном обучении. Требования к подготовке учащихся. Линейная функция. Квадратичная функция. Степенная функция.
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.
№
п/п
1
Наименование раздела
дисциплины.
Тема.
Форма самостоятельной работы
Форма контроля выполнения самостоятельной работы
Общие вопросы теории и Вопросы для само- Опрос, отчет о посеметодики обучения мате- стоятельного изу- щенных уроках, их аначения, посещение лиз, конспекты уроков.
матике.
открытых уроков в
школах, гимназиях,
лицеях.
Количество
часов
12
5
2
3
Линия числа в школьном Рефераты, конспек- Защита рефератов и
ты уроков. Посеще- конспектов. Отчет о
курсе математики.
Методика
геометрии.
преподавания
4
Специфика восприятия и
усвоения алгебраического
и геометрического материала в школе.
5
Тождественные преобразования в курсе математики
средней школы, методика
их изучения.
6
Методика изучения функций в девятилетней школе.
ние открытых уроков в школах, гимназиях, лицеях.
Изучение и конспектирование
учеб-ной и методической литературы
по теме.
Вопросы для самостоятельного изучения. Изготовление пособий, моделей. Изучение и
конспектирование
учеб-ной и методической литературы
по теме.
Вопросы для самостоятельного изучения, посещение
открытых уроков в
школах, гимназиях,
лицеях.
Рефераты, конспекты уроков. Посещение открытых уроков в школах, гимназиях, лицеях.
Изучение и конспектирование
учеб-ной и методической литературы
по теме.
Рефераты, конспекты уроков. Посещение открытых уроков в школах, гимназиях, лицеях.
Изучение и конспектирование
учеб-ной и методической литературы
по теме.
посещенных уроках и
их анализ. Проверка
отчетов о посещенных
уроках в общеобразовательных учреждениях.
Контрольная работа.
Контрольная работа.
Защита рефератов и
конспектов.
12
6
Опрос, отчет о посещенных уроках, их анализ, конспекты уроков.
2
Защита рефератов и
конспектов. Отчет о
посещенных уроках и
их анализ. Проверка
отчетов о посещенных
уроках в общеобразовательных учреждениях.
Контрольная работа.
4
Контрольная работа.
Тестирование по теме
«Изучение функции в
средней школе. Линейная и квадратичная
функция».
1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1. Тематика и планы аудиторной работы студентов по изученному материалу (планы
последовательного проведения занятий: ПР, СМ, ЛБ) по предлагаемой схеме:
Практические занятия по теме «Общие вопросы теории и методики обучения математике».
План: Предмет и методы теории методики обучения математике, цели и содержание школьного
курса математики. Анализ программ и учебников по математике средней школы, гимназий. Методы и средства обучения математике. Математические предложения, задачи в обучении математике, типы уроков. Составление конспекта урока. Принципы дидактики в обучении матема-
6
тике, математические понятия, углубленное изучение математики, внеклассная работа по математике, индивидуализация и дифференциация процесса обучения.
Литература:
1. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для
студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я.
Саннинский. – М.: Просвещение, 1980.
2. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для
студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / А.Я. Блох, Е.С. Канин, Н.Г. Килина и др.; Сост. Р.С.
Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985.
3. Темербекова А.А. Методика преподавания математики: Учеб. пособие для студ. высш. учеб.
заведений. – М.: Гуманит.изд. центр Владос, 2003.
4. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А.
Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский центр
«Академия», 2004.
5. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И. Саранцев. – М.: Просвещение, 2002.
6. Алгебра: Учеб. для 7, 8 и 9 кл. сред. шк. / Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.
Суворова; Под ред. С.А. Теляковского.– М.: Просвещение, 2002.
7. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика–5, Математика–6, – М.: Просвещение, 1998.
8. Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Математика–5, Математика–6, – М.: Просвещение, 2000.
9. Атанасян Л.С. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2003.
10. Журнал «Математика в школе» 1991–2008 гг.
11. Газета «Математика» (приложение к газете «Первое сентября») за 2003–2008 гг.
Практические занятия по теме «Линия числа в школьном курсе математики».
План: Расширение понятия числа. Методика изучения натуральных чисел. Дробные числа.
Изучение обыкновенных и десятичных дробей. Положительные и отрицательные числа, действия над ними. Действительные числа, методика их изучения и действий над ними.
Литература:
1. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для
студентов пед. ин-тов по физ.мат. спец./ А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И.
Мишин. – М.: Просвещение, 1987.
2. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. пособие для
студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Е.Л. Мокрушин и др. – М.:
Просвещение, 1977.
3. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие. –
Мн.: Выш. шк., 1990.
4. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика–5, Математика–6, М.: Просвещение, 1998.
5. Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф. Математика–5, Математика–6, М.: Просвещение, 2000.
6. Алгебра: Учеб. для 7, 8 и 9 кл. сред. шк. / Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.
Суворова; Под ред. С.А. Теляковского.– М.: Просвещение, 2002.
7. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбург С.И. Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2002.
8. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: Учеб. для 6 кл.
общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2004.
9. Газета «Математика» (приложение к газете «Первое сентября») за 2003–2008 гг.
10. Журнал «Математика в школе» 1990–2008 гг.
Практические занятия по теме «Методика преподавания геометрии».
План: Пропедевтический курс геометрии. Пропедевтический курс геометрии. Составление
конспекта урока по общепринятой схеме для 5-6-х классов по определенной теме. Изучение
геометрического материала в 5-6 классах. Основные понятия и определения. Методика изуче-
7
ния геометрических фигур и их измерений в систематическом курсе геометрии. Изучение векторов и координат на плоскости. Логическое строение геометрии. Методика изучения аксиом.
Взаимное расположение прямых на плоскости. Разработка конспекта урока «Решение задач на
параллельность прямых». Виды многоугольников. Обобщающий урок по теме «Четырехугольники». Признаки равенства и подобия треугольников. Виды геометрических преобразований на
плоскости: осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, поворот, преобразования
подобия. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей.
Литература:
1. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для
студентов пед. ин-тов по физ.мат. спец./ А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И.
Мишин. – М.: Просвещение, 1987.
2. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. пособие для
студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Е.Л. Мокрушин и др. – М.:
Просвещение, 1977.
3. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие. –
Мн.: Выш. шк., 1990.
4. Совайленко В.К. Система обучения математике в 5–6 классах. – М.: Просвещение, 1991.
5. Зильберберг Н.И. Урок математики: Подготовка и проведение: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1995.
6. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбург С.И. Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2002.
7. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: Учеб. для 6 кл.
общеобразоват. учреждений. – 13-е изд., стереотип. – М.: Мнемозина, 2004.
8. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. – М.: ООО «Издательство «Вербум-М», ООО «Издательский центр «Академия», 2003.
9. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский центр «Академия», 2004.
10. Журнал «Математика в школе» 1991–2008 гг.
11. Газета «Математика» (приложение к газете «Первое сентября») за 2003–2008 гг.
Практические занятия по теме «Специфика восприятия и усвоения алгебраического
и геометрического материала в школе».
План: Особенности развития подростков и специфика обучения алгебре, связанная с ними.
Специфика обучения алгебре как предмету. Объективные особенности геометрических представлений. Восприятие и усвоение геометрического пространства.
Литература:
1. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для
студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. – М.: Просвещение, 1980.
2. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для
студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / А.Я. Блох, Е.С. Канин, Н.Г. Килина и др.; Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985.
3. Темербекова А.А. Методика преподавания математики: Учеб. пособие для студ. высш. учеб.
заведений. – М.: Гуманит.изд. центр Владос, 2003.
4. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский центр «Академия», 2004.
5. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов
мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И. Саранцев. – М.: Просвещение, 2002.
3. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие. –
Мн.: Выш. шк., 1990.
8
5. Геометрия, 7-9: Учеб. для общеоразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2003.
7. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. Для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1999.
8. Журнал «Математика в школе» 1991–2008 гг.
9. Газета «Математика» (приложение к газете «Первое сентября») за 2003–2008 гг.
Практические занятия по теме «Тождественные преобразования в курсе математики
средней школы, методика их изучения».
План: Различные подходы к определению тождества. Целенаправленность тождественных преобразований. Основные типы преобразований и этапы их изучения. Методические особенности
изучения тождественных преобразований. Методика изучения тождественных преобразований
трансцендентных выражений. Методические особенности работы по обучению теме «Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни».
Литература:
1. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для
студентов пед. ин-тов по физ.мат. спец./ А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И.
Мишин. – М.: Просвещение, 1987.
2. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. пособие для
студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Е.Л. Мокрушин и др. – М.:
Просвещение, 1977.
3. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие. –
Мн.: Выш. шк., 1990.
4. Мордкович А.Г. Алгебра. 7, 8, 9 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.
5. Алгебра: Учеб. для 7, 8, 9 кл. сред. шк. / Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.
Суворова; Под ред. С.А. Теляковского.– М.: Просвещение, 2002.
6. Газета «Математика» (приложение к газете «Первое сентября») за 2003–2008 гг.
7. Журнал «Математика в школе» 1990–2008 гг.
Практические занятия по теме «Методика изучения функций в девятилетней школе».
План: Методика изучения функции. Развитие понятия функции. Функционально-графическая
линия в учебниках алгебры А.Г. Мордковича. Методические особенности изучения линейной функции. Квадратичная функция. Степенная функция.
Литература:
1. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для
студентов пед. ин-тов по физ.мат. спец./ А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И.
Мишин. – М.: Просвещение, 1987.
2. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. пособие для
студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Е.Л. Мокрушин и др. – М.:
Просвещение, 1977.
3. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие. –
Мн.: Выш. шк., 1990.
4. Мордкович А.Г. Алгебра. 7, 8, 9 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.
5. Алгебра: Учеб. для 7, 8, 9 кл. сред. шк. / Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.
Суворова; Под ред. С.А. Теляковского.– М.: Просвещение, 2002.
6. Газета «Математика» (приложение к газете «Первое сентября») за 2003–2008 гг.
7. Журнал «Математика в школе» 1990–2008 гг.
1.8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1. Рекомендуемая литература:
9
Основная литература:
1. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие
для студентов пед. ин-тов по физ.мат. спец./ А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.;
Сост. В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987.
2. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. пособие
для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Е.Л. Мокрушин
и др. – М.: Просвещение, 1977.
3. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие.
– Мн.: Выш. шк., 1990.
4. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений /
В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский
центр «Академия», 2004.
5. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.
6. Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк. / Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.
Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2002.
7. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова. –М.: Просвещение, 1994.
8. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учебник для
общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2005.
9. Атанасян Л.С. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.
Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2003.
10. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и
др. – М.: Просвещение, 1992.
11. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. Для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1999.
12. Газета «Математика» (приложение к газете «Первое сентября») за 2003–2008 гг.
13. Журнал «Математика в школе» 1990–2008 гг.
Дополнительная литература:
1. Зильберберг Н.И. Урок математики: Подготовка и проведение: Кн. для учителя. – М.:
Просвещение, 1995.
2. Карп А.Н. Даю уроки математики. – М.: Просвещение, 1992.
3. Волович М.Б. Наука обучать / Технология преподавания математики. – М.: LINKAPRESS, 1995.
4. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1990.
5. Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике: Кн. для учителя – М.: Просвещение, 1991.
6. Яковлев Н.М., Сохор А.М. Методика и техника урока в школе: В помощь начинающему
учителю.  М.: Просвещение, 1985.
7. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2001.
8. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин,
Ю.В. Сидоров и др. – М.: Просвещение, 1993.
9. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1993.
10. Дорофеев Г.В. Алгебра и начала анализа. 10 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений:
В 2 ч. Ч.1. /Г.В. Дорофеев, Л.В. Кузнецова, Е.А. Седова. – М.: Дрофа, 2003.
10
11. Бевз Г.П. и др. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. /Г.П. Бевз,
В.Г. Бевз, Н.Г. Владимирова. – М.: Просвещение, 1994.
12. Геометрия: учебное пособие для 6 – 8 классов сред. шк. /А.Н. Колмогоров, А.Ф. Семенович, Р.С. Черкасов; Под ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение 1981.
1.9.Материально-техническое обеспечение дисциплины.
1.9.1. Перечень используемых технических средств
ПК и мультимедийный проектор или телевизор, модели, таблицы, шаблоны.
1.9.2. Перечень используемых пособий – нет.
1.9.3. Перечень видео- и аудиоматериалов программного обеспечения.
1.10. Примерные зачетные тестовые задания.
1 вариант
1. Натуральные числа изучаются в:
а) 7 классе, б) 6 классе, в) 5 классе, г) Не
изучаются в школе.
2.
Найти
сумму
корней
уравнения:
6
6
 х  2    х  4   64
2 вариант
1. Логарифмическая функция изучается в:
а) 9 классе, б) 10 классе, в) 11 классе, г) Не
изучается в школе.
2. Решить уравнение
а) 6, б) 8, в) 64, г) 12.
3. Найти сумму всех трехзначных чисел,
делящихся на 7.
а) 6767, б) 70336, в) 4321, г) 9876.
x
1
4. Найти 3tg , зная, что sin x  cos x 
2
5
а) -1; 6, б) 7; 8, в) 9, г) 4,5
а) -0,5; 2; -1, б) 0; 1; -0,5, в) 6: 0; -1, г) 0,5; 1; 2.
3. Найти сумму всех трехзначных чисел, делящихся на 13.
а) 54321, б) 37674, в) 7659, г) 43679.
x 4  4,5x3  7 x 2  4,5x  1  0
cos 6   sin 6  ,
Найти
зная,
что
2 2 

sin 4 

3 8
4
а) 0, б) 0,5, в) 1, г) 0,6.
1.11. Примерный перечень вопросов к экзамену
1. Цели обучения математике в школе. Значение школьного курса математики в общем образовании. Содержательные линии школьного курса математики. Анализ программ для 5-11
классов.
2. Принципы дидактики в обучении математике.
3. Научные методы обучения математике.
4. Репродуктивные и продуктивные методы обучения математике. Применение проблемного
обучения, программированного обучения, ЭВМ в обучении математике.
5. Математические понятия и методика их формирования.
6. Аксиомы и теоремы, методика их изучения.
7. Роль задач в обучении математике. Методика работы над текстовой задачей.
8. Формы организации урока математики. Типы уроков, их структура. Основные требования
к уроку. Уроки-лекции, семинары, практикумы, зачет.
9. Планирование работы учителя. Подготовка учителя к уроку.
10. Организация самостоятельной деятельности учащихся. Проверка знаний учащихся,
нормы оценок.
11. Средства обучения математике.
12. Особенности преподавания математики в школах и классах с углубленным изучением
математики.
13. Методика работы над геометрической задачей.
14. Индивидуализация и дифференциация процесса обучения.
4.
11
15. Методика изучения темы «Натуральные числа».
16. Методика изучения темы «Обыкновенные дроби».
17. Методика изучения темы «Десятичные дроби».
18. Методика изучения положительных и отрицательных чисел в школьном курсе математики.
1.12. Комплект экзаменационных билетов (утвержденных зав. кафедрой до начала сессии)
1.13. Примерная тематика рефератов
1. Использование современных информационных и коммуникационных технологий в
учебном процессе.
2. Аудиовизуальные технологии обучения математики.
3. Технологический подход к обучению математике.
4. Индивидуализация обучения математике.
5. Технология использования индивидуализированной системы задач при обучении математике.
6. История развития понятия числа.
7. Система мер и способы измерения величин.
8. Геометрия – от Евклида до наших дней.
9. Методы устных вычислений.
1.14. Примерная тематика курсовых работ – нет.
1.15. Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ – нет.
1.16. Методика(и) исследования (если есть) – нет.
1.17. Бально-рейтинговая система, используемая преподавателем для оценивания знаний
студентов по данной дисциплине – нет.
РАЗДЕЛ 2. Методические указания по изучению дисциплины (или ее разделов) и контрольные задания для студентов заочной формы обучения – нет.
РАЗДЕЛ 3. Содержательный компонент теоретического материала.
Тема 1. Общие вопросы теории и методики обучения математике.
План.
1. Предмет методики преподавания математики и её задачи.
2. Цели и содержание обучения математике в средней школе.
3. Функции обучения математике.
4. Принципы и методы обучения математике.
Лекция 1. Предмет методики преподавания математики и её задачи.
Термин «методика» в самом широком смысле используется для обозначения совокупности методов практического выполнения чего-либо, например эксперимента, хирургической
операции и т.д. Соответствующая совокупность методов должна быть научно обоснованна. Чаще всего этот термин используется применительно к процессу обучения определенному предметному содержанию.
Словосочетание «методика обучения математике» используется сегодня для обозначения
науки и учебного предмета, который включается в программы среднего и высшего педагогического образования.
До 80-х гг. прошлого века курс методики обучения математике носил название «Методика преподавания математики». Изменение названия отражает направленность современной
системы образования, рассматривающей процесс обучения как двусторонний процесс, в котором превалируют субъект-субъектные отношения. В процессе обучения математике выделяют
12
следующие компоненты: целевой, субъектный, содержательный и предметно-процессуальный.
Целевой компонент определяет конечный результат и основные направления достижения этого
результата. отвечает на вопрос: «Для чего учить?» Субъектный определяет участников процесса
обучения и отвечает на вопрос: «Кого учить?» и «Кто учит?», причем эти вопросы относятся и к
учителю, и к ученику. Умный учитель готов учиться у ученика. Содержательный определяет ту
часть адаптированного общественно-исторического опыта в области математики, которым
должен овладеть ученик в процессе обучения, и отвечает на вопрос: «Чему учить?» Предметнопроцессуальный определяет методы, формы средства обучения и отвечает на вопрос: «Как
учить?»
В дальнейшем мы будем использовать оба названия.
Методика обучения математике – дисциплина, которая занимается разработкой целей,
содержания, средств, форм и методов обучения математике в учебных заведениях различных
типов.
Учебный курс МОМ состоит из двух разделов: общая методика и частные методики
(методики изучения отдельных учебных предметов).
Предметом МОМ является обучение математике. В широком смысле – это научная область, которая занимается исследованием на всех уровнях, а в узком – обучение в средней школе.
Обучение подразумевает совместную деятельность учителя и ученика, преподавание соотносится с деятельностью учителя.
Обучение, в частности, математике, – сложный процесс управления, осуществляемый
учителем с использованием ряда вспомогательных средств (учебников, ТСО, компьютеров и
т.п.). Обучение включает: восприятие, переработку, хранение и передачу информации.
Учитель передает информацию ученику, ученик ее перерабатывает (и добавляет еще
другие источники) и по требованию педагога передает ему информацию о качестве усвоения
учебного материала и достигнутом уровне мыслительной деятельности. Таким образом, происходит передача в двух направлениях:
учитель ↔ ученик
Обратная связь – это существенная составная часть процесса обучения.
МПМ начала разрабатываться чешским ученым Я.А. Коменским. Как самостоятельная
дисциплина МПМ впервые возникла в трудах швейцарского педагога И.Г. Песталоцци (17461827 гг.), опубликовавшего в 1803 г. работу «Наглядное учение о числе». В России первым пособием по методике математики стала книга Ф.И. Буссе «Руководство к преподаванию арифметики для учителей», вышедшей в 1831г.
Создателем русской методики арифметики для народной школы считается П.С. Гурьев,
который критерием правильности решения методических проблем признавал опыт и практику.
Цель методики обучения математике заключается в исследовании основных компонентов системы обучения математике в школе и связей между ними. Под основными компонентами понимают цели, содержание, методы, формы и средства обучения математике.
Предметом МОМ являются цели и содержание математического образования, методы,
средства и формы обучения математике.
Основные задачи МПМ.
1. Определение конкретных целей изучения математики по классам, темам, урокам.
2. Отбор содержания учебного предмета в соответствии с целями и познавательными
возможностями учащихся.
3. Разработка наиболее рациональных методов и организационных форм обучения,
направленных на достижение поставленных целей.
4. Выбор необходимых средств обучения и разработка методики их применения в практике работы учителя математики.
МОМ связана с такими науками, как математика, философия, психология, педагогика,
логика, информатика, история математики и математического образования, физиология челове-
13
ка и использует достижения этих наук для решения своих проблем.
Методы МОМ.
1. Эксперимент.
2. Изучение и использование отечественного и зарубежного опыта обучения учащихся.
3. Анкетирование, беседы с учителями и учащимися.
4. Анализ.
5. Моделирование.
Эксперимент – специально организуемое обучение с целью проверки гипотезы, фиксации реального уровня знаний, умений, навыков, развития ученика, сравнения результативности
предлагаемых методик и традиционно используемых, обоснования различных утверждений.
Существует несколько видов эксперимента.
На этапе обоснования гипотезы используется констатирующий эксперимент, в процессе
ее проверки – обучающий.
Констатирующий эксперимент позволяет выявить состояние объекта исследования или
проверить предположение, уточнить отдельные факты.
Обучающий эксперимент (поисковый, формирующий) проводится с целью выявить эффективность разработанной методики.
Для проведения эксперимента отбирают экспериментальные и контрольные классы. В
контрольных классах обучение ведется по традиционной схеме, а в экспериментальных – по
разработанной исследователем.
В организации эксперимента используются такие методы, как наблюдение за деятельностью учителя и учащихся, беседы с ними, анкетирование, качественный и количественный анализ результатов обучения. В конструировании предмета исследования используется моделирование, а гипотезы – анализ литературы по проблеме исследования. Основанием для качественного анализа результатов исследования являются контрольные работы и тесты школьников
контрольных и экспериментальных групп, а количественного – результаты статистической обработки контрольных работ и тестов.
Методологическую основу исследований составляют
- диалектика,
- системный анализ и
- деятельностный подход.
Термин «диалектика» используется в двух значениях. Первое заключается в том, что
исследование основывается на наиболее общих законах развития природы, общества и мышления (основные законы – единство и борьба противоположностей, переход количественных изменений в качественные, отрицание отрицания). Второе значение диалектики предполагает
рассмотрение познаваемых объектов и явлений в развитии, обусловленности их изменений различными факторами, взаимосвязи с другими объектами и явлениями.
Суть системного анализа заключается в том, что исследуемый объект рассматривается
как система с определенными компонентами, указывается лидирующий компонент и выделяются связи между его составляющими.
Деятельностный подход применяется в разных смыслах:
1. Как составляющая методологической основы методике обучения математике.
2. Как обучение способам деятельности.
3. Как обучение различным действиям, адекватным содержанию обучения математике.
4. Как учебная деятельность.
Деятельностью называют процесс активности человека, характеризуемый предметом,
потребностью и мотивом, целями и условиями их достижения, действиями и операциями.
Важнейшим видом деятельности является учебная деятельность, т.е. деятельность ученика, направленная на приобретение теоретических знаний о предмете изучения и общих приемах решения связанных с ним задач. В учебной деятельности выделяют следующие компоненты: понимание школьником учебной задачи, осуществление учебных действий, выполнение им
14
действий контроля и оценки.
Противоречия процесса обучения математике.
1. Между объемом и содержанием учебного материала, которые жестко определены
программой, и естественным стремлением творчески работающего учителя выйти за
ее границы, рассмотреть тот или иной вопрос в трактовке, отличной от принятой в
учебнике.
2. Между экономичностью (проявляющейся в сообщении учащимся готовых знаний и
приводящих часто к формальному их усвоению) и неэкономичностью во времени
индуктивных методов (широко используемых в проблемном обучении и активизирующих самостоятельную познавательную деятельность школьников).
3. Между повседневной коллективной учебной работой школьников и индивидуальными особенностями усвоения ими знаний, формирования их умений и навыков, их
темпом и характером работы.
4. Между массовостью школьного математического образования , неизбежно приводящей к известной стандартизации, и подчеркнуто индивидуальным характером познания (выход из этого противоречия в дифференциации обучения на основе вариативности образования и обучения).
5. Между развитием математики методикой преподавания математики: если математика развивается быстро, приобретая все новые знания, находящие свое отражение в
школьных курсах, то методика преподавания математики, особенно в условиях массового обучения, развивается намного медленнее.
Лекция 2. Цели и содержание обучения математике в средней школе.
п. 1. Понятие образования, его цели.
Образование – это организованный процесс постоянной передачи предшествующими поколениями последующим социально значимого опыта.
Образование на современном этапе характеризуется усилением внимания к ученику, к
его саморазвитию и самопознанию, общечеловеческим знаниям, обращенностью ученика к
окружающему миру и себе, к воспитанию умения искать и находить свое место в жизни.
В определении целей образования учитываются потребности общества (социальный аспект) и потребности личности (личностный аспект).
Цели образования один из определяющих компонентов педагогической системы, они
зависят от современных условий, социального заказа общества на образование граждан.
Цели современного образования – предельно полно достижимое развитие тех способностей личности, которые нужны и ей, и обществу, включение ее в социально ценную активность;
обеспечение возможностей эффективного самообразования за пределами образовательных систем.
Математическое образование – процесс и результат овладения учащимися системой математических знаний, познавательных умений и навыков, формирование на этой основе мировоззрения, нравственных и других качеств личности, развития ее творческих сил и способностей.
Основной целью математического образования является воспитание у школьников умения рассматривать явления реального мира с математической точки зрения, видеть практическую направленность математики и ее приложений.
п. 2. Цели обучения математике
Основные цели обучения математике в школе:
1. Овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования.
2. Интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценного
15
функционирования в обществе, формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности.
3. Формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры,
понимание значимости математики для общественного прогресса.
Цели обучения математике (в узком смысле):
Общеобразовательные: овладение учащимися системой математических знаний, умений и навыков, дающей представление о предмете математики, ее языке и символике, математическом моделировании, о математических приемах и методах познания, применяемых в математике.
Воспитательные: воспитание активности, самостоятельности, ответственности; устойчивого интереса к предмету; нравственности, культуры общения; эстетической культуры, графической культуры школьников; воспитание трудолюбия, ответственности за принятие решений; стремления к самореализации.
Развивающие: формирование мировоззрения учащихся, логической и эвристической
составляющих мышления, алгоритмического мышления; развитие пространственного воображения.
Практические: формирование умений строить математические модели простейших реальных явлений, исследовать явления по заданным моделям, конструировать приложения моделей; ознакомление с ролью математики в научно-техническом прогрессе, современном производстве.
п. 3. Функции обучения математике.
1. Образовательная функция предполагает овладение школьниками системой математических знаний, дающей представление о предмете математики, ее методах и приложениях.
Данная функция во многом обусловливает развитие мировоззрения школьников, которое представляет сплав знаний, умений и убеждений.
2. Воспитательная функция характеризуется формированием интереса к изучению математики, развитием устойчивой мотивации к учебной деятельности.
3. Развивающая функция заключается в формировании познавательных психических
процессов и свойств личности, таких как внимание, память, мышление, познавательная активность и самостоятельность, способности, в формировании логических приемов мыслительной
деятельности (анализа, синтеза, обобщения, абстрагирования и т.д.)
4. Информационная функция – в процессе обучения ученик знакомится с историей возникновения математических идей, их развитием, биографией ученых, разными точками зрения
на те или иные концепции.
5. Эвристическая функция предполагает создание учителем в процессе обучения условий, которые обеспечивают развитие способностей ребенка.
6. Прогностическая функция ориентирована на формирование у школьников прогностических умений: обнаруживать нерешенные проблемы, выдвигать гипотезы, видеть альтернативное решение проблем и т.д.
7. Эстетическая функция – приобщение учащихся к красоте, воспитание у них эстетических вкусов. Учебный материал должен быть изложен логически последовательно, системно
и привлекательно.
8. Практическая функция – ориентация обучения на решение задач, на формирование
умения математически исследовать явления реального мира, на практическую направленность
учебного материала.
9. Контрольно-оценочная функция – осуществление контроля, коррекции, оценки знаний и умений учащихся (тестирование).
10. Корректирующая функция – корректировка информации, получаемой учащимися,
т.к. значение и сущность информации, полученной из различных источников, может быть различной.
11. Интегрирующая функция заключается в формировании системности знаний, в по-
16
нимании взаимосвязи между изучаемыми понятиями, теоремами, способами деятельности, методами.
п. 4. Содержание математического образования.
Содержание школьного математического образования отражается в нормативных документах, учебниках, учебных планах, учебных программах, методических пособиях. Базисный
учебный план является обязательным для всех учебных заведений, дающих среднее образование. Это основной документ для разработки учебных программ, учебно-методического планирования. Учебные программы по математике включают перечень тем изучаемого материала,
рекомендации по количеству времени на каждую тему, перечень знаний, умений и навыков по
предмету.
Варианты расположения математического материала в учебных программах:
1. линейное – материал располагается последовательно.
2. концентрическое – некоторые разделы изучаются с повтором на новом уровне.
3. спиральное – материал располагается последовательно по циклам.
Составные части содержания образования: знания, умения и навыки.
Знания – это понимание, сохранение в памяти и умение воспроизводить и применять на
практике основные научные факты и теоретические обобщения. знание выражается в понятиях,
категориях, принципах, законах, закономерностях, фактах, идеях, символах, концепциях, теориях, гипотезах. Математические знания представляют собой математические понятия, законы,
символику, математический язык и т.д.
Умения – это владение способами, приемами применения усваиваемых знаний на практике. Умения включают знания и навыки. Формирование знаний, умений и навыков зависит от
способностей человека.
Навыки – это элементы умения, т.е. автоматизированные действия, доведенные до высокой степени совершенства. Под умениями понимают «творческие действия, в структуру которых включаются знания и навыки». Д. Пойя: «Умение – это мастерство, это способность использовать имеющиеся у вас сведения для достижения своих целей; умение должно еще охарактеризовать как совокупность определенных навыков». (Математическое открытие. Решение
задач: основные понятия, изучение и преподавание).
Содержание современного образования строится с учетом:
1. соответствия логике математики как науки,
2. соответствия принципам обучения (научность, последовательность, системность и
т.д.)
3. психологических возможностей и возрастных особенностей школьников разных ступеней обучения (младший школьник 1-4 классы, средний школьник – 5-9 классы,
старший школьник – 10-11 классы).
4. адекватности потребности личности в образовании (дифференцированное обучение,
коррекционное обучение и т.д.)
5. формирования профессиональной направленности школьников.
Лекция 3. Принципы и методы обучения математике.
п.1. Реализация дидактических принципов в обучении математике.
Обучение математике может стать эффективным средством формирования личности, достичь цели – прочного и сознательного усвоения ее содержания – в случае, если в основу обучения будут положены определенные положения, вытекающие из основных закономерностей
дидактики, подтвержденные опытом преподавания. Владение этими принципами необходимо
будущему учителю для того, чтобы правильно организовать свой труд, грамотно, квалифицированно анализировать различные учебные пособия, которыми ему придется пользоваться в своей
работе.
Принцип (латинское – начало, основа) – основное исходное положение какой-либо теории, учения, науки и т.д.
Дидактика (греч. didaktikos – поучающий) – раздел педагогики, излагающий теорию об-
17
разования и обучения. Вскрывает закономерности усвоения знаний, умений, навыков и формирования убеждений, определяет объем и структуру содержания образования, совершенствует
методы и организационные формы обучения, воспитывающее воздействие учебного процесса
на учащихся.
Дидактические принципы – это основные направляющие положения, возникающие в результате анализа научно-педагогических закономерностей и практического педагогического
опыта. Они являются главным ориентиром в педагогической работе учителя, это принципы деятельности, представляющие собой наиболее общее нормативное знание о том, как надо строить, осуществлять и совершенствовать обучение и воспитание.
Основные принципы обучения математике: 1. научности, 2. сознательности, активности и самостоятельности, 3. систематичности и последовательности, 4. доступности, 5. наглядности, 6. прочности знаний, 7. индивидуального подхода к учащимся в обучении математике.
Самостоятельно по учебникам сделать конспект, в котором раскрыть суть каждого принципа. МПМ в средней школе: общая методика. Сост. Черкасов, Столяр., МПМ в средней школе:
общая методика. Оганесян, Колягин и др.
п.2. Методы обучения математике.
Методы обучения – это упорядоченные способы взаимосвязанной деятельности учителя
и учащихся, направленные на достижение учебно-воспитательных задач.
Классификация методов обучения
Методы передачи и восприятия учащимися информации посредством чувств:
- словесные (рассказ, беседа, лекция, дискуссия)
- наглядные (демонстрация, иллюстрация, схемы, графики)
- практические (упражнение, практическая работа, лабораторная работа, практикум)
Логические методы:
- сравнение и аналогия
- обобщение, абстрагирование
- конкретизация
- анализ и синтез
- индукция и дедукция
Эмпирические методы:
- наблюдение
- эксперимент (опыт)
- измерения
Методы организации и осуществления мыслительной деятельности:
- репродуктивные
- проблемно-поисковые
Методы самоуправления учебными действиями:
- работа с книгой
- работа с приборами
Методы контроля и оценки:
- устный
- письменный
- машинный
- взаимоконтроль
- самоконтроль
Методы стимулирования и мотивации учения:
- методы формирования интереса
- методы формирования долга и ответственности.
Метод – это способ достижения цели, т.е. совокупность приемов и операций, используемых для достижения цели.
Метод обучения – способ передачи знаний учащимся и способ организации познава-
18
тельной и практической деятельности учащихся, направленной на усвоение ими знаний умений
и навыков, на овладение ими методами познания, на формирование логики.
Методы обучения, выделяемые по источнику знаний
Словесные методы.
Рассказ – словесный метод обучения, который:
1. предполагает устное повествовательное изложение учебного материала,
2. применяется при изложении учебного материала, носящего ознакомительный характер,
3. не прерывается вопросами к учащимся,
4. позволяет при минимальных затратах времени сообщить максимум знаний.
5. предполагает использование таких методических приемов, как изложение информации,
активизация внимания, ускорение запоминания, а также логических приемов сравнения,
сопоставления, выделение главного, резюмирования,
6. характеризуется недостаточной долей самостоятельного познания учащихся, ограниченностью элементов поисковой деятельности,
7. затрудняет обратную связь: учитель не получает достаточной информации о качестве
усвоения знаний, не может учесть индивидуальных особенностей всех учащихся.
Существует несколько видов рассказа:
- рассказ-вступление – проводится в начале урока с целью подготовки учащихся к восприятию
нового материала, который может быть изложен и другими методами. Главная его цель – вызвать интерес к новой теме,
- рассказ-изложение – раскрывает содержание новой темы. Материал излагается по плану, выделяется главное, применяются различные наглядные пособия,
- рассказ-заключение – проводится в конце урока. Учитель делает выводы, обобщает материал,
дает задания для самостоятельной работы по теме.
Условиями эффективного применения рассказа являются тщательное продумывание
плана, выбор наиболее рациональной последовательности раскрытия темы, удачный подбор
примеров и иллюстраций, поддержание должного эмоционального тона изложения.
Беседа – работа учителя с учащимися с помощью системы вопросов, подводящих учеников к усвоению материала.
Виды беседы:
1. Беседа объяснительного характера – с помощью вопросов учителя ученики вспоминают,
систематизируют, обобщают ранее изученное, этот вид б-ды рассчитан на активизацию памяти.
2. Беседа эвристического характера – учащиеся под руководством учителя с помощью вопросов сами отыскивают возможные ответы на проблемные вопросы.
3. Беседа мотивирующего характера – проводится с целью возбуждения интереса к теме.
4. Беседа инструктивно-методического характера – дают рекомендации по выполнению лабораторной работы, решению задачи.
Эффективность беседы зависит от того, насколько умело подобраны вопросы, которыми
направляется беседа. Составление вопросов облегчается, если учебный материал разбивается
сначала на отдельные смысловые части, затем подбираются вопросы таким образом, чтобы облегчить учащимся переход от одной части к другой. Беседу хорошо проводить когда материал
не очень сложный и у учащихся есть определенная база. Метод беседы чаще всего используется
в среднем звене, хотя имеет место и в начальной школе и в старших классах.
Лекция – устное изложение материала. Отличающееся большим объемом, сложностью логических построений, доказательств и обобщений. В отличии от рассказа лекция охватывает
весь урок или два урока (пару).
Изложение материала лекционным способом позволяет:
1. излагать учебный материал крупными порциями, показывая логическую связь между отдельными вопросами, которая может ускользнуть от ученика при рассмотрении материала отдельными фрагментами.
2. уделить больше внимания межпредметным связям, мировоззренческим вопросам, при-
19
кладным вопросам, истории математики.
3. освободить время для решения задач
4. воспитать у учащихся умение слушать в течение длительного времени, тем самым готовить их к продолжению образования.
5. учить конспектированию.
Лекция может быть по теоретическому материалу, разбору решения «ключевых» задач, комбинированной. При подготовке к лекции особое внимание необходимо уделить отбору материала и по содержанию и по объему. Материал, изложенный на лекции, должен быть логически
завершенным и содержать теоретические вопросы, предусмотренные программой и необходимые для решения задач.
В школьной лекции можно выделить этапы:
Актуализация опорных знаний (повторение материала, необходимого для понимания и
усвоения нового). Постановка проблемы, показ ее значения для практики. Сообщение темы и
плана лекции. Изложение материала по плану урока.
Наглядные методы воздействуют на чувства человека и дают сведения об окружающем
мире, которые затем с помощью мыслительной деятельности преобразуются в понятия.
Метод иллюстраций предполагает показ учащимся различных иллюстративных пособий:
плакатов, таблиц, чертежей, схем, рисунков из учебника, зарисовок и записей на доске, моделей
геометрических фигур, натуральных предметов и т.д.
Метод демонстрации обычно связан с демонстрацией приборов, моделей, опытов, показом кинофильмов, диафильмов, слайдов, кодопозитивов, использование учебного телевидения,
магнитофонных записей и т.д.
Условия успешного применения наглядных средств обучения:
1. хорошее обозрение наглядного пособия, должно отвечать эстетическим требованиям,
2. постановка учебной цели, четкое выделение главного при демонстрации пособия,
3. умелое сочетание слова и показа средства наглядности, осуществление ориентации
действий учащихся на достижение учебной цели с помощью средства наглядности.
4. привлечение учащихся к нахождению желаемой информации (с помощью наглядного
пособия), постановка перед ними проблемных заданий.
Наглядные методы наиболее успешно решают следующие дидактические задачи:
1. способствуют развитию наглядно-образного мышления.
2. активизируют внимание.
3. активизируют учебно-познавательную деятельность.
4. позволяют конкретизировать изучаемые теоретические вопросы.
5. стимулируют интерес к учению.
Практические методы –
- Метод письменных упражнений – решение задач, построение графиков и т.п.
- Метод упражнений лабораторного характера – практические работы, измерительные работы с техническими средствами.
При выполнении письменных упражнений осуществляется непосредственное применение на
практике полученных теоретических знаний. Требования к системе упражнений:
1. система должна обеспечить целостное применение на практике полученных теоретических знаний,
2. каждое упражнение должно подготавливать к усвоению следующего,
3. число упражнений долюно быть минимально- необходимым,
4. при выполнении упражнений необходимо четко ставить перед учащимися цель, порядок
выполнения, характер отчет.
5. планируя упражнения, учитель должен предвидеть возможные ошибки и способы их
предупреждения. По ходу выполнения надо своевременно замечать типичные ошибки и
информировать весь класс.
Методы научного познания в обучении математике
20
Логические методы познания особенно необходимы при отыскании решения задач.
Сравнение – мысленное установление сходства или различия объектов изучения. Используя
метод сравнения, необходимо иметь в виду следующие принципы сравнения.
1. Сравнивать можно только такие объекты, которые имеют определенную связь друг с
другом, то есть сравнение должно иметь смысл (сравниваемые понятия однородные).
2. Сравнение осуществляется по таким признакам, которые имеют существенное значение.
3. Сравнение должно проходить планомерно, т.е. требуется четкое выделение тех свойств,
по которым проводится сравнение (по периметру, по площади, по объему и т.п.).
4. Сравнение по одним и тем же свойствам материальных объектов должно быть полным,
доведенным до конца.
Аналогия (соответствие, сходство) – умозаключение по сходству частых свойств (признаков),
имеющихся у двух математических понятий (фигур, отношений и т.д.). С помощью аналогии
сходство предметов, выявленное в результате их сравнения, распространяется на новое свойство (или свойства). Благодаря своей наглядности и доступности аналогия используется в преподавании математике:
1. при изучении десятичных дробей аналогия с натуральными числами;
2. свойства алгебраических дробей аналогичны свойствам обыкновенных дробей;
3. методы решения задач на составление уравнений первой степени аналогичны методам решения задач на составление уравнений второй степени;
4. свойства арифметической и геометрической прогрессий;
5. свойства планиметрии и стереометрии.
Схема рассуждения по аналогии:
А обладает свойствами a, b, c, d;
В обладает свойствами a, b, c;
Вероятно (возможно ) В обладает и свойством d.
Заключение по аналогии является вероятным, но не достоверным. Аналогия наводит на гипотезу, которая нуждается в доказательстве. Аналогия полезна тем, что она наводит на догадки, т.е.
служит эвристическим методом. В обучении математике не менее важно, чем учить доказывать,
это учить догадываться, что именно подлежит доказательству и как найти это доказательство.
В школьном курсе имеется много возможностей для использования аналогии, но используется она недостаточно, т.к. с помощью аналогии можно прийти к ложному заключению.
Пример. На плоскости: a  b , b  c  a // c
В пространстве: a  b , b  c  a // c
Необходимо приучать учащихся к мысли, что заключение по аналогии нуждается в доказательстве или опровержении.
Возможные ошибки при использовании метода аналогии:
2a 2 sin 2
 и
 sin  ;
1. при сокращении
ab b
2
2. ab  c  ab  ac и lg b  c  lg b  lg c ;
ab  a  b ( a, b  0 ) и sin      sin   sin  .
3.
Обобщение – это мысленное выделение, фиксирование каких-нибудь общих существенных
свойств, принадлежащих только данному классу объектов или отношений.
Абстрагирование – это мысленное отвлечение, отделение общих, существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от прочих несущественных для нашего изучения или необщих свойств рассматриваемых объектов или отношений и отбрасывание (в рамках нашего изучения) этих несущественных свойств. Несущественные с математической точки зрения свойства. Например, один и тот же предмет изучается и математикой и физикой. Для физики существенны одни его свойства – твердость, теплопроводность, электропроводимость и т.д., а для
математики эти свойства несущественны, она изучает форму, размеры, расположение предмета.
Обобщение и абстрагирование в процессе познания почти всегда применяются совмест-
21
но и неизменно применяются в процессе формирования понятий, при переходе от представлений к понятиям.
Пример. При изучении переместительного закона сложения: 2+3=3+2 (для палочек),
1+5=5+1 (для тетрадей и т.п.), далее отвлекаемся 4+7=7+4 (просто для чисел), …+…=…+…,
       , a  b  b  a - получаем закон.
Конкретизация – это мыслительная деятельность, при которой односторонне фиксируется та
или иная сторона объекта изучения вне связи с другими его сторонами. Конкретизация используется при описании конкретных ситуаций с помощью сформированных ранее понятий.
Конкретизация может выступать и как наглядная иллюстрация, и как подтверждение какоголибо абстрактного положения, и как приложение некоторого свойства в конкретных условиях.
Пример.
Индукция – умозаключение (вывод, метод рассуждений) от частного к общему, т.е. общий вывод, основанный на изучении свойств отдельных, частных фактов (частных экспериментов или
наблюдений). Другими словами, индукция – это вывод общего заключения из частных посылок.
Использование этого метода рассуждений для получения новых знаний в процессе обучения
называют индуктивным методом обучения.
Пример. Построив графики конечного числа линейных уравнений, делается заключение. Что
график уравнений вида ax  by  c  0 - прямая линия.
Индукция бывает полной и неполной. Индукция называется полной или совершенной,
если общий вывод делается на основании изучения (рассмотрения) всех частных фактов (объектов, фигур, чисел и т.д.). Индукция называется неполной или несовершенной, если общий
вывод делается на основании изучения только части множества всех фактов (объектов).
Пример. При доказательстве теоремы о вписанном в окружность угле рассматриваются
все частные случаи расположения центра окружности по отношению к сторонам угла. Полученный вывод представляет собой полную индукцию.
Неполная индукция в процессе обучения применяется при изучении законов сложения.
Вывод, основанный на неполной индукции, может быть ошибочным, но ее значение в том, что
рассмотрение частных случаев наводит на мысль о существовании той или иной закономерности, помогает высказать гипотезу, которую можно доказать дедуктивным путем. Такой прием
применяется в школе при изучении прогрессий. Хотя индукция ввиду недостоверности заключения не может служить методом доказательства, она является мощным эвристическим методом, т.е. методом открытия новых истин.
Обычно говоря об индуктивном методе обучения, имеют в виду применение неполной
индукции. Индуктивный метод обучения – основной метод в 1-6 классах, в дальнейшем является вспомогательным, уступая место дедуктивному методу. В среднем и старшем звене индуктивный метод приводит к гипотезе, которая потом доказывается.
Дедукция (выведение) – есть форма умозаключения, при которой от одного общего
суждения идут к частному суждению. В широком смысле представляет собой форму мышления.
Состоящую в том, что новое предложение (выраженная в нем мысль) выводится чисто логическим путем, т.е. по определенным правилам логического вывода (следования) из некоторых известных предложений. Заключения по индукции лишь правдоподобно, дедуктивные рассуждения всегда дают достоверные заключения.
Дедуктивным методом доказательства называется доказательство, основанное на системе определенных аксиом. И поэтому дедуктивный метод называется аксиоматическим методом.
Дедукция является строгим, логически обоснованным методом доказательства в математике.
22
Анализ – метод (способ) рассуждения или доказательства, при котором отправляются от
неизвестного к известному, от искомого к данному. Это логический прием, состоящий в том,
что изучаемый объект мысленно (или практически) расчленяется на составные элементы (признаки, свойства, отношения), каждый из которых исследуется в отдельности как часть расчлененного целого.
Синтез – метод (способ) рассуждения, при котором следуют от известного к неизвестному, от данного к искомому, т.е. синтез – путь (метод мышления) от частей к целому.
Пример. Бытовой. Ребенок разбирает игрушку (анализ) и собирает ее (синтез).
Анализ и синтез играют в математике особенно важную роль. В обучении математике
они выступают как методы решения задач, доказательства теорем, изучения свойств математических понятий и т.д. анализ и синтез практически неотделимы друг от друга, они сопутствуют
друг другу, дополняя друг друга, составляя единый аналитико-синтетический метод.
Решая любую математическую задачу, мы имеем данные и искомые величины.
синтез

данные искомые


анализ
Анализ и синтез применяются при решении задач. Ведущий вопрос при анализе: что
надо знать, чтобы ответить на поставленный вопрос? Ведущий вопрос при синтезе: что мы можем узнать по данным условия?
Сущность аналитического метода утверждений состоит в том, что исходным пунктом
для обоснования требуемого утверждения является само это утверждение, которое путем логически обоснованных шагов сводится к утверждению, известному как истинное. Сущность синтетического метода состоит в том, что отыскиваются такие истинные утверждения, которые
можно было бы путем логически обоснованных шагов преобразовать в данное утверждение
(требуемое утверждение). Сущность метода восходящего анализа: для того, чтобы А было
верно, достаточно, чтобы было верно В. Преимущества восходящего анализа:
1. восходящий анализ обеспечивает сознательное и самостоятельное отыскание метода
доказательства теоремы самими учащимися;
2. способствует развитию логического мышления;
3. обеспечивает осознанность, целенаправленность действий на каждом этапе доказательства;
4. дает возможность найти различные способы решения;
5. усвоение этого метода доступно для большинства учащихся, т.к.схема практического
применения метода проста: что требуется доказать? Что для этого достаточно знать?
Восходящий анализ не удобен для изложения найденного доказательства, которое получается очень длинным, поэтому для отыскания доказательства пользуются восходящим анализом. А изложение ведут синтетическим методом.
Анализ – это путь к открытию, а синтез – это путь к обоснованию.
Лекция. Формы обучения математике. Урок, типы уроков. Организация урока.
Формы обучения – виды учебных занятий, способы организации учебной деятельности
школьников, учителя и учащихся, направленные на овладение учащимися знаниями, умениями
и навыками, на воспитание и развитие их в процессе обучения.
Формы обучения (направленные на теоретическую или практическую подготовку): урок,
лекция, семинар, консультация, экскурсия, конференция, домашняя работа, факультатив, кружок, экзамен, зачет и др.
Основной формой организации учебно-воспитательной работы с учащимися в школе является урок. В первоначальном смысле слово «урок» означало трудовое задание, которое требуется выполнить за определенный срок. Школьный урок тоже можно рассматривать как трудовое (учебное) задание классу, рассчитанное на 45 минут. Урок как форма учебной работы существует с 17 века. Это педагогическое изобретение оказалось столь жизнеспособным, что и в
23
наши дни урок остается основной формой организации учебных занятий.
Урок – это логически законченный, целостный, ограниченный временными рамками отрезок учебно-воспитательного процесса. Урок состоит из компонентов: цель, содержание,
средства и методы обучения, организация учебной деятельности. Качество урока зависит от
правильного определения каждого из этих компонентов и их рационального сочетания.
Основные требования к уроку математики:
1. Наличие на уроке основной (дидактической) цели – отчетливая целенаправленность урока.
2. Решение на уроке наряду с образовательными задачами и определенных воспитательных
задач.
3. Обоснованный отбор учебного материала на урок.
4. Применение на уроке методов обучения, обеспечивающих активное учение школьников
– выбор наиболее рациональных методов и приемов обучения и их использование с учетом дидактических задач урока и особенностей изучаемого материала.
5. Организационная четкость урока (своевременность начала, максимальное использование
каждой минуты, логическая стройность и законченность).
В зависимости от наличия тех или иных элементов учебного материала и характера их
изложения определяются структурные элементы (составные части) урока. Например, урок по
алгебре на тему «Теорема Виета» в 8 классе содержит следующий учебный материал: 1) подведение учащихся к теореме Виета на основе отдельных примеров; 2) формулировка теоремы Виета; 3) доказательство теоремы Виета; 4) применение теоремы Виета к решению упражнений. В
соответствии с этим можно выделить следующие структурные элементы данного урока, совокупность которых определяет план урока: 1) проверка домашнего задания; 2) подведение учащихся к теореме Виета; 3) формулирование теоремы Виета; 4) доказательство теоремы Виета;
4) применение теоремы Виета к решению упражнений; 6) задание на дом.
Типы уроков в зависимости от дидактических целей:
1. уроки овладения новыми знаниями, (урок по изучению теоремы Виета)
2. уроки формирования умений и навыков,
3. уроки систематизации и обобщения знаний,
4. уроки повторения и закрепления знаний, умений и навыков,
5. контрольно-проверочные уроки,
6. комбинированные уроки, на которых одновременно решается несколько дидактических задач.
В построении урока важным моментом является выбор общей цели урока и целей его составных частей. Для урока по изучению теоремы Виета целесообразно выделить следующие цели:
1) образовательные – ознакомить учащихся с теоремой, ее доказательством и первыми
упражнениями на применение этой теоремы;
2) воспитательные – обеспечить интерес учащихся путем акцентирования элемента новизны: учащиеся ознакомятся с новой интересной закономерностью, связывающей корни квадратного уравнения с его коэффициентами; стимулировать интерес учащихся и их ответственное
отношение к учебной работе путем поощрения их участия в проведении доказательства теоремы Виета;
3) развивающие – развитие умений сформулировать учебную гипотезу в общем виде,
указать способ логического обоснования теоремы.
В конспекте урока, разрабатываемом студентом в период педагогической практики,
должны быть указаны цели урока в развернутой конкретной форме.
Требования к конспекту урока.
Схема составления конспекта:
1) указываются дата проведения урока, его номер по тематическому плану, название темы урока и класс, в котором он проводится;
24
2) указываются образовательные, воспитательные и развивающие цели урока;
3) приводится план урока с нумерацией его этапов и указанием затрат времени для каждого из них;
4) перечисляются учебное оборудование и используемая методическая литература;
5) далее следует основная часть конспекта, в которой описывается «живая» картина урока: действия учителя и учащихся.
Конспект урока математики в 6 классе.
Тема урока – решение задач на проценты.
Тип урока – урок решения задач различных видов на проценты.
Цели урока – образовательные: учить распознавать задачи различных видов на проценты,
повторить совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями;
– развивающие: формирование общеучебного умения анализировать условие задачи,
умения обобщать через формирование приема распознавания различных видов задач на проценты;
– воспитательные: способствовать формированию самостоятельности и активности в
личности учащихся.
Структура урока
1. Организационный момент -2 мин.
2. Актуализация ранее изученного материала – 6 мин.
3. Фронтальная работа по анализу условия и составлению плана задач различных видов на
проценты – 10 мин.
4. Самостоятельная работа – решение задач по группам – 12 мин.
5. Проверка решения задач самостоятельной работы – 8 мин.
6. Выводы по уроку. Задание на дом – 5 мин.
Оборудование урока
1. Учебник Э.Р. Нурка и А.Э. Тельгмаа. Математика – 6.
2. Кодопозитивы или оформление доски.
Оформление доски
I.
II.
Дома:
1. 0,5; 0,75; 0,4; 0,25.
1. Из 750 учащихся школы 1 гр.: № 374, 460.
2. 60%, 25%, 50%, 75%.
80% занимаются в различных 2 гр.: № 437, 463.
кружках. Сколько учащихся Всем: № 443 (2).
1
3 1 2 3
3. ; 6 ; ; ; ; 1.
занимается в кружках?
4
4 2 5 5
2. В классе 32 человека. четве4. 1 и 4; 4 и 1; 20 и 50.
ро из них – отличники. Какую
5. Вопросы:
а) Как найти дробь от числа? часть учащихся составляют
отличники? Какой процент
Как найти процент от числа?
отличников в классе?
б) …
3. Женщин на заводе 216 чев) ...
ловек, что составляет 25%
всех рабочих. Сколько на заводе рабочих?
Ход урока
1. Организационный момент. Учитель приветствует учащихся, сажает, сообщает тему и
цели (обучающие) урока.
2. Актуализация ранее изученного материала. Устная фронтальная работа по заданиям. записанным на доске или спроектированными на нее. Каждое из заданий 1-4 выполняется
одним учеником с места. Остальные слушают и отмечают, верно или нет даны ответы.
На вопросы 5 (а-г) снова отвечают те же учащиеся, которые были заранее намечены к
опросу.
1. Выразить числа в процентах и в обыкновенных дробях: 0,5; 0,75; 0,4; 0,25.
25
2. Выразить проценты в виде десятичных и обыкновенных дробей 60%, 25%, 50%, 75%.
1
3 1 2 3
3. Выразить обыкновенные дроби в виде десятичных и в виде процентов: ; 6 ; ; ; ; 1.
4
4 2 5 5
4. Найти отношение чисел и выразить его в процентах: 1 и 4; 4 и 1; 20 и 50.
5. Ответить на вопросы:
а) как найти дробь от числа, процент от числа?
б) как найти число по дроби, число по его проценту?
в) как найти отношение двух чисел, что оно показывает?
г) как найти процентное отношение двух чисел?
3. Предварительный разбор задач.
На доске записаны или спроектированы тексты задач на проценты трех различных видов. (II).
Учащиеся вместе с учителем устно анализируют условия задач и определяют вид задач, отвечая
на следующие вопросы:
– Какая величина в задаче является всем числом?
– Известно ли в задаче все число?
– Известно ли значение дроби?
– Известна ли сама дробь?
– Каким действием будете решать задачу? Почему?
Обосновывать выбор действия при решении задач вызываются заранее намеченные ученики.
Сразу после окончания последующей работы в тетрадях учитель оценит работу этих учащихся.
4. Самостоятельная работа по группам
1. Первая группа учащихся оформляет в тетрадях решение трех задач, только что разобранных
в классе.
2. Второй группе учащихся предлагается решить самостоятельно задачи, которые фабулой связаны с уже решенными, но являются более сложными по отношению к ним – № 374, 460.
Задача № 374. Из 750 учащихся школы 80% занимаются в различных кружках, из них 5%
– в радиокружке. Сколько учащихся занимается в радиокружке?
Задача № 460. Мужчины составляют 75% всего количества рабочих. Женщин на заводе
216. На сколько меньше на заводе женщин, чем мужчин?
5. Проверка задач, решенных учащимися второй группы.
В проверке участвует весь класс. После объяснения учениками решения двух задач учитель
предлагает ученикам ответить на вопросы по первой задаче: как из условия задачи можно увидеть, что число 600 надо умножить на 0,05? Вопросы учителя по второй задаче: 1) зачем производили вычитание 100% – 75%, 2) что есть в задаче все число, 3) нельзя ли по-другому решить
задачу.
6. Сообщение и комментирование оценок учащимся, которые принимали участие в устной работе, в анализе трех задач, предложенных в дальнейшем для самостоятельного решения, а также двум учащимся второй группы, которые объясняли задачи № 374, 460 у доски.
Сообщается задание на дом, которое является дифференцированным.
Учитель делает выводы по уроку с помощью вопросов к классу: какие вопросы при решении задач на части, на проценты нужно себе задавать, чтобы определить, каким действием
решается задача. Ответы учащихся:
- что есть все число, известно ли оно;
- что есть значение дроби (процента), известно ли оно;
- известна ли сама дробь (процент).
Лекция. Математические утверждения и теоремы, их виды, работа с теоремами.
Обоснования и доказательства.
Основные понятия. Суждениями принять называть предложения, в которых выражена
мысль о предмете, объектах, явлениях. Существуют два основных свойства суждений: что-то
отрицать или утверждать, являться истинным или ложным. Суждение состоит из логического
подлежащего, логического сказуемого и логической связки.
26
Математическим предложением называют повествовательное предложение, выражающее суждение о математических объектах. Множество математических предложений, описывающее какую-то структуру или какой-то аксиоматизируемый класс структур, образует математическую теорию. В школе учащихся знакомят с таким методом построения научных теорий, как аксиоматический метод.
Дать определение всем понятиям невозможно. Определяя понятия через другие, приходят
к исходным понятиям – «кирпичикам» теории. В математической теории эти понятия называют
неопределяемыми, а описываются они аксиомами. Аксиома – математическое предложение, которое принимается без доказательств в рамках данной теории. Построение математической
научной теории предполагает выделение конечной системы аксиом, обладающей свойствами
непротиворечивости, полноты и независимости. Новые математические понятия вводятся через
определения, которые включают лишь логически независимые свойства понятия (основное содержание). Остальные свойства логически зависимы от основного содержания и выводятся из
него. Отношения между понятиями выражают математические предложения. Кроме аксиом, все
остальные предложения теории выводятся логическим путем с использованием законов логики,
правил вывода, положений теории множеств.
Доказательство – совокупность логических приемов обоснования истинности какоголибо утверждения с помощью других истинных и связанных с данным суждений. Выделяют
следующую структуру доказательства: тезис (суждение, истинность которого надо доказать),
аргументы (истинные суждения, используемые при доказательстве тезиса), демонстрация, или
форма доказательства (способ логической связи между тезисом и аргументами).
В качестве аргументов выступают:
- удостоверенные единичные факты, т.е. статистические данные, результаты эксперимента
или наблюдения и др.
- определение понятий.
- аксиомы (суждения, которые принимаются в качестве аргументов без доказательства) и
постулаты (суждения, принимаемые в рамках научной теории за истинные).
- законы науки и теоремы.
При доказательстве необходимо соблюдать следующие правила доказательного рассуждения. Тезис должен быть логически определенным, ясным, точным и оставаться тождественным
на протяжении всего доказательства или опровержения. Аргументы должны быть истинными,
не противоречащими друг другу и являться достаточным основанием для подтверждения тезиса; истинность аргументов должна быть доказана самостоятельно, независимо от тезиса. Необходимо, чтобы тезис был заключением, логически следующим из аргументов по общим правилам умозаключений, или был бы получен в соответствии с правилами косвенного доказательства. Доказательство является обязательным этапом в процессе аргументации.
Все доказательства можно разделить на прямые и косвенные. При прямом доказательстве
задача состоит в том, чтобы подыскать такие убедительные аргументы, их которых, по логическим правилам, получается тезис.
Пример. Нужно доказать, что сумма углов четырехугольника равна 3600. Из каких утверждений можно было бы вывести этот тезис? Отмечаем, что диагональ делит четырехугольник
на два треугольника. Значит, сумма его углов равна сумме углов двух треугольников. известно,
что сумма углов треугольника составляет 1800. Из этих положений выводим, что сумма углов
четырехугольника равна 3600.
Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса. Поскольку косвенное доказательство
использует отрицание доказываемого положения, оно является «доказательством от противного».
Пример. Нужно построить косвенное доказательство тезиса: «Квадрат не является окружностью». Выдвигается антитезис: «Квадрат есть окружность». Нетрудно показать ложность этого утверждения. С этой целью выводят из него следствия. Если хотя бы одно из них окажется
27
ложным, это будет означать, что и само утверждение, из которого выведено следствие, также
ложно. Неверным является, в частности, такое следствие: «У квадрата нет углов». Поскольку
антитезис ложен, значит, тезис должен быть истинным.
Опровержение – это рассуждение, направленное против выдвинутого положения и имеющее своей целью установление его ошибочности или не недоказанности.
Логико-математический анализ теорем и методические особенности их изучения.
Под теоремой принято считать математическое предложение (утверждение), истинность
которого устанавливается с помощью доказательства в рамках данной теории.
С точки зрения логики теорема представляет собой высказывание, часто в форме импликации. Также в школьном курсе математики встречаются теоремы-тождества и теоремыформулы (выраженные языком математических символов), теоремы существования (отсутствуют условие и заключение, но утверждается существование объекта, обладающего определенными свойствами). Среди теорем, представляемых в виде импликации, выделяют такие частные
виды, как следствие (доказывается с помощью одной теоремы), лемма (важна как ступень к доказательству другой теоремы), необходимое и достаточное условие (истинно и прямое, и обратное утверждения, форма – эквиваленция).
Теоремы с доказательствами составляют ядро теории. В курсе геометрии в основном рассматриваются теоремы, которые можно представить в виде импликации. Работа с такими теоремами предполагает выполнение учителем логико-математического анализа:
1. установление формы формулировки;
2. перевод формулировки, если необходимо, в импликативную форму (если…, то…);
3. запись структуры теоремы, т.е. вычленение разъяснительной части, условия, заключения с выделением простых высказываний и содержания структурных элементов;
4. определение вида (простая или сложная);
5. формулирование утверждений, обратного данному, противоположного данному и обратного противоположному (определение их истинности или ложности).
Пример. Анализ теоремы «Сумма смежных углов равна 180 градусам», а также утверждений: а)
обратного данному, б) противоположного данному, в) противоположного обратному.
1. Теорема сформулирована в категоричной форме. В импликативной форме она будет
иметь формулировку: «Если углы смежные, то их сумма равна 180 градусам». Вид суждения –
общеутвердительное, поэтому уточним формулировку: «Если любые два угла смежные, то их
сумма равна 180 градусам».
2. Утверждение, обратное данному: «Если сумма двух углов равна 180 градусам, то углы
смежные». Вид суждения – общеутвердительное, поэтому формулировка будет: «Если любые
два угла в сумме равны 180 градусам, то они смежные».
3. Утверждение, противоположное данному: «Если углы не смежные, то их сумма не
равна 180 градусам». Вид суждения – общеотрицательное.
4. Утверждение, обратное противоположному: «Если сумма углов не равна 180 градусам,
то углы не смежные». Вид суждения – общеутвердительное.
Работа с теоремой включает в себя следующие этапы.
1. Нулевой этап – выполнение логико-математического анализа.
2. Первый этап – подготовительный, который подразумевает: актуализацию знаний, мотивацию необходимости изучения факта, подведение к теоретическому факту.
3. Второй этап – основной – включает:
- формулировку теоремы;
- работу с формулировкой: перевод из категоричной формы в импликативную, если это
необходимо, переформулирование, выделение условия и заключения;
- мотивацию необходимости доказательства;
- анализ условия и заключения, поиск способа доказательства, составление схемы доказательства или образца доказательства;
- работу с доказательством: выделение основной идеи, общей структуры и шагов доказа-
28
тельства, выдвижение аргументов и демонстрация доказательства;
- подведение итогов (основные идеи и теоретические факты, положенные в основу доказательства).
4. Третий этап – закрепление, т.е. непосредственное применение теоремы «в лоб» (используется в качестве аргументов преимущественно только изучаемая теорема, и доказательство имеет 1-2 шага).
В дальнейшем, при вторичном закреплении при решении задач используются кроме
изученной теоремы теоретические факты из других тем.
Литература.
1. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1990.
2. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1990.
3. Столяр А.А. Зачем и как мы доказываем в математике. – Минск: Народная Асвета, 1987.
4. Загвязинский В.И. Педагогическое творчество учителя. – М.: Педагогика, 1987.
5. Зильберберг Н.И. Урок математики: Подготовка и проведение: Кн. для учителя. – М.:
Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1995.
6. Осинская В.Н. Формирование умственной культуры учащихся в процессе обучения математике: Кн. для учителя. – Киев: Рад. шк., 1989.
7. Семушин А.Д., Кретинин О.С., Семенов Е.Е. Активизация мыслительной деятельности
учащихся при изучении математики. Обучение обобщению и конкретизации. Пособие
для учителей. – М.: Просвещение, 1978.
8. Яковлев Н.М., Сохор А.М. Методика и техника урока в школе: В помощь начинающему
учителю. 3-е изд., перераб. и доп.  М.: Просвещение, 1985.
9. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике: Ч.1, 2. – М.: Просвещение, 1977.
10. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. – М.: Педагогика, 1977.
Лекция. Методика изучения математических понятий.
План.
1. Сущность понятия. Содержание и объем понятия.
2. Определение математических понятий.
3. Классификация математических понятий.
4. Методика введения новых математических понятий.
Любая наука представляет собой систему понятий, поэтому в математике, как и в других
учебных предметах, уделяется значительное внимание обучению понятиям. Понятие относится
к формам теоретического мышления, которое является рациональной ступенью познания.
1. Сущность понятия. Содержание и объем понятия. При помощи понятий мы выражаем общие, существенные признаки вещей и явлений объективной действительности.
Восприятием называется непосредственное чувственное отражение действительности в сознании человека.
Представлением называется запечатленный в нашем сознании образ предмета или явления, в
данный момент нами не воспринимаемого.
Восприятие исчезает как только воздействие предмета на органы чувств человека кончается.
Остается представление. Например, показываем куб, а потом его убираем. Мы знаем различные
кубы, разного цвета и т.п., но мы от этого отвлекаемся, сохраняя общее и существенное.
Понятие абстрагируется от индивидуальных черт и признаков отдельных восприятий и представлений и является, таким образом, результатом обобщения восприятий и представлений
очень большого количества однородных предметов и явлений, например: число, пирамида,
окружность, прямая. Понятия образуются путем таких логических приемов, как анализ и синтез, абстрагирование и обобщение. Понятием будем называть мысль о предмете, выделяющую
29
его существенные признаки.
Существенными признаками понятия называются такие признаки, каждый из которых
необходим, а все вместе достаточны, чтобы отличить объекты данного рода от других объектов
(например, параллелограмм).
В каждом понятии различают его содержание и объем.
Содержанием понятия называется совокупность существенных признаков объектов,
охватываемых понятием. Основное содержание – достаточный набор свойств, т.е. все те свойства, каждое их которых, взятое отдельно, необходимо, а взятые в совокупности достаточны
для отличения данного понятия от остальных.
Объемом понятия называется совокупность объектов, на которое распространяется
данное понятие.
Например, понятие «человек». Содержание: живое существо, создает орудия производства, обладает способностью абстрактного мышления. Объем: все люди.
Понятие «тетраэдр». Содержание: многогранник, ограниченный четырьмя гранями,
имеющими форму треугольников. Объем: множество всех тетраэдров.
Между объемом и содержанием понятия существует соотношение: чем больше содержание понятия, тем меньше его объем. Сокращение содержания понятия влечет за собой расширение его объема. Эту операцию называют обобщением понятия. Например, если из содержания
понятия «равносторонний треугольник» изъять свойство «равенство всех сторон», то множество
треугольников, удовлетворяющих новому содержанию, станет «шире» – будет содержать множество равносторонних треугольников в качестве подмножества. Расширение содержания понятия ведет к сужению его объема и называется ограничением (специализацией) понятия. Пример такой операции – переход от понятия тождественных преобразований к понятию сокращение дробей.
Если объем одного понятия входит как часть в объем другого понятия, то первое понятие называется видовым, а второе – родовым.
Понятия род и вид имеют относительный характер. Например, понятие «призма» является родовым по отношению к понятию «прямая призма», но видовым понятием по отношению
к понятию «многогранник».
Круги Эйлера.
2. Определение математических понятий. Содержание понятия раскрывается с помощью определения.
Определение (дефиниция) понятия – это такая логическая операция, при помощи которой раскрывается основное содержание понятия или значение термина.
Определить понятие – это значит перечислить существенные признаки предметов, отображенных в данном понятии.
Задача перечисления признаков бывает нелегкой, но она упрощается, если опираться на
понятия, ранее уже установленные. Понятие фиксируется в речи с помощью слова или словосочетания, называемого именем или термином понятия. В математике понятие часто обозначается не только именем, но и символом. Например, 2 и другие.
Таким образом, в определении сначала указывается род, в который определяемое понятие входит как вид, а затем указывают те признаки, которые отличают этот вид от других видов
ближайшего рода. Такой прием определения понятия называется определением понятия через
ближайший род и видовое отличие.
Понятие = род + видовое отличие.
Типы определений
30
Вербальные
Невербальные
Явные
Неявные
Через род и видовые
отличия
Аксиоматические
Описательные
(описываются системой
аксиом)
Явными называются определения, в которых смысл определяемого термина полностью
передается через смысл определяющих терминов, т.е. явные определения содержат прямое указание на существенные признаки определяемого понятия. Определение через ближайший род и
видовое отличие относится к явным.
В неявных определениях смысл определяемого термина не передается полностью определяющими терминами. Пример неявного определения – определение исходных понятий с помощью системы аксиом. Такие определения называются аксиоматическими. Примеры аксиоматических определений являются определения группы, кольца и поля и т.п. (аксиоматика
Гильберта, Вейля, система аксиом Пеано для натуральных чисел).
Генетическим называется определение объекта путем указания способа его построения,
образования, происхождения. Например, «усеченный конус есть тело, происходящее от вращения прямоугольной трапеции вокруг стороны, перпендикулярной к основаниям трапеции». Или
определение понятия «линейный угол двугранного угла».
В индуктивном (рекуррентном) определении объект задается как функция f (n) от
натурального числа n . Это задание обеспечивается указанием значения f 1 и некоторого равенства, связывающего значения f (n  1) и f (n) . Например, по индукции в математике вводится определение натурального числа.
Остенсивные определения понятий и описательные описывают объекты с помощью
моделей, рассмотрения частных случаев, выделения отдельных существенных свойств, вводятся
с помощью непосредственного показа, демонстрации предметов. Часто применяются в начальных классах и частично в 5-6 классах. Учитель, изображая треугольники на доске, знакомит
учащихся с понятием треугольник. В средней школе преобладают вербальные определения.
Чтобы дать логически правильное определение, нужно соблюдать следующие правила
определения.
1. Определение должно быть соразмерным, то есть определяемое и определяющие понятия должны быть равны по объему. Чтобы проверить соразмерность, нужно убедиться, что
определяемое понятие удовлетворяет признакам определяющего понятия и наоборот.
Например, дано определение: «Параллелограмм есть многоугольник, у которого противоположные стороны параллельны». Проверим его: «Всякий многоугольник, у которого противоположные стороны параллельны, есть параллелограмм» – это неверно. Или: «параллельными
прямыми называются прямые, которые не пересекаются» (неверно, это могут быть и скрещивающиеся прямые).
2. Определение не должно содержать в себе «порочного круга». Это означает, что нельзя строить определение таким образом, чтобы определяющим понятием было такое, которое
само определяется при помощи определяемого понятия.
Например, «прямым углом называется угол, содержащий 90 , а градусом называется
1/90 часть прямого угла». Иногда «порочный круг» принимает форму тавтологии (то же посредством того же) – употребление слова, имеющего то же самое значение.
3. Определение по возможности не должно быть отрицательным. В определение
должны указываться существенные признаки предмета, а не то, чем не является предмет.
Например, «ромб – это не треугольник», «эллипс – это не окружность». В математике в
некоторых случаях отрицательные определения допустимы, например, «трансцендентной
функцией называется всякая неалгебраическая функция».
31
4. Определение должно быть четким и ясным, не допускающим двусмысленных или
метаморфических выражений.
Например, «арифметика есть царица математики» – образное сравнение, а не определение, утверждение «лень – мать всех пороков», поучительно, но не определяет понятие лени.
3. Классификация математических понятий. Объем понятия раскрывается путем
классификации. Классификация – это систематическое распределение некоторого множества
по классам, возникающее в результате последовательного деления, основанного на сходстве
объектов одного вида и отличии их от объектов других видов.
Операция деления – логическая операция, раскрывающая объем понятия путем выделения в нем возможных видов объекта. Например, всех студентов педагогического университета
можно разделить на собирающихся идти работать в школу и не собирающихся. Основанием деления является свойство, в соответствии с которым выделяются виды. В нашем примере основанием является свойство: «иметь намерение работать в школе».
При осуществлении классификации важен выбор основания: разные основания дают
разные классификации. Классификация может производиться по существенным свойствам
(естественная) и по несущественным (вспомогательная). При естественной классификации, зная
к какой группе принадлежит элемент, можем судить о его свойствах.
Два вида деления:
1. деление по видоизменению признака – это деление , при котором свойство - основание
деления присуще объектам выделенных видов в разной степени
2. дихотомическое деление – это деление, при котором данное понятие делится на два
вида по наличию или отсутствию некоторого свойства.
Операция деления подчиняется следующим правилам:
1. деление должно быть соразмерным, т.е. объединение выделенных классов должно образовывать исходное множество (сумма объемов видовых понятий равна объему родового понятия).
2. деление должно проводится только по одному основанию.
3. пересечение классов должно быть пусто.
4. деление должно быть непрерывным.
Задания. 1) Выполнить классификацию: 1. взаимного расположения прямой и плоскости
в пространстве. 2. чисел, изучаемых в средней школе. 3. треугольников (по разным основаниям:
по величине углов, по длине сторон).
2) Законспектировать «Процесс формирования понятий, методика работы с понятием».
Этапы и краткая характеристика каждого этапа.
4. Методика введения новых математических понятий. В методике преподавания математики выделяются два метода введения понятий: конкретно-индуктивный и абстрактнодедуктивный (термины введены русским методистом К.Ф. Лебединцевым).
Схема применения конкретно-индуктивного метода.
1. Рассматриваются и анализируются примеры (анализ, сравнение, абстрагирование, обобщение,…).
2. Выясняются общие признаки понятия, которые его характеризуют.
3. Формулируется определение.
4. Определение закрепляется путем приведения примеров и контрпримеров.
5. Дальнейшее усвоение понятия и его определения проходит в процессе их применения:
а) распознавание понятия.
б) конструирование (нарисовать).
в) применение данного определения к решению задач.
Например, понятие параллелограмма.
Пример. Введение понятия – вертикальные углы.
Задания: 1. нарисуйте угол АОВ
2. постройте лучи ОА1 и ОВ1 , противоположные данным.
32
3. какую фигуру образуют лучи ОА1 и ОВ1 .
4. углы АОВ и А1ОВ1 называются вертикальными.
5. попробуйте дать определение вертикальных углов.
6. нет ли на рисунке еще вертикальных углов.
7. назовите вертикальные углы.
8. как нарисовать два вертикальных угла.
Схема применения абстрактно-дедуктивного метода.
1. Формулируется определение понятия.
2. Приводятся примеры и контрпримеры.
3. Закрепляется понятие путем выполнения различных упражнений.
Например, введение квадратного уравнения, понятия декартовых координат и т.п.
При формировании понятий целесообразно применять рекомендации психологопедагогических наук, например, теорию поэтапного формирования умственных действий П.Я.
Гальперина.
1 этап. Разъясняют цель вводимого понятия, дают ориентировку.
2 этап. Учащиеся формулируют определение исходя из рисунка.
3 этап. Учащиеся формулируют определение, пользуясь громкой (внешней) речью без опоры на рисунок.
4 этап. Определение проговаривается в форме внешней речи про себя.
5 этап. Определение проговаривается в форме внутренней речи.
При изучении понятий надо варьировать несущественные признаки (принципы варьирования) – это разнообразное расположение на доске рисунков и чертежей, например, треугольника, его высоты, перпендикуляра к прямой и т.д. (не только горизонтальное расположение
прямой, основания треугольника и т.п.)
Усвоению определений помогает анализ логической структуры определения. С этой целью составляются алгоритмы распознавания понятий, математические диктанты и тесты.
Задания. 1. Математические утверждения и теоремы, их виды, работа с теоремами.
Обоснования и доказательства.
2. Задачи в обучении математике.
3. Формы обучения математике. Урок, типы уроков. Организация урока.
Темербекова стр. 142-148 план и вопросы к практическим занятиям.
Тема 2. Методика изучения числовых систем.
План.
1. Методика изучения натуральных чисел.
2. Методика изучения обыкновенных и десятичных дробей.
3. Методика изучения отрицательных чисел.
Изучение чисел в школьном курсе математики ведется в такой последовательности:
натуральные числа, нуль, дроби (положительные), отрицательные чисел и множество рациональных чисел, иррациональные числа и множество действительных чисел. Эта последовательность отражает исторический путь развития понятия числа в математике: N  Q +  Q  R (историческая схема развития понятия числа). В математике дроби возникли значительно раньше, чем отрицательные числа. В современной математике принята другая последовательность:
N  Z  Q  R (логическая схема развития понятия числа). От исторической она отличается
более ранним введением отрицательных чисел. Поэтому в такой последовательности после
натуральных чисел изучаются целые числа. Приверженность школьного курса исторической
схеме объясняется тем, что понятие дроби доступнее, чем понятие отрицательного числа.
п.1. Методика изучения натуральных чисел.
Множество натуральных чисел изучается с начальной школы. Без понимания структуры
множества N нельзя достичь понимания структуры множеств Z, Q, R. Уже в начальных классах
учащиеся понимают, что отношение «меньше» устанавливает определенный порядок в множе-
33
стве N. Это объясняется с помощью упражнения: «b следует за a или a предшествует b, если
a  b ». Далее на базе отношения «меньше» разъясняются более сложные отношения: «лежит
между» и «непосредственно следует за» - это определяет свойство дискретности (то есть между
ними нет ничего).
Правильная ориентация в методике изучения натуральных чисел в 5 классе предполагает
знание, с одной стороны, связи данной темы с курсом 1-4 классов, с другой стороны – знание
нового в содержании учебного материала и методике его изложения в 5 классе. Необходимо
также учитывать общие особенности учебника математики 5 класса. В этом учебнике усиливается роль теоретического материала: приводятся определения, математические термины и
обозначения, формулируются факты и законы, отдельные факты получают теоретическое объяснение. В учебниках соответствующий теоретический материал излагается в виде небольших
фрагментов, после чего приводятся упражнения и задачи.
В 5 классе даются определения (или описания) понятий: натурального числа, десятичной
записи числа, миллиарда, координатного луча, координаты точки, суммы двух чисел, слагаемых, числового выражения, значения выражения, разложения числа по разрядам, разрядных
слагаемых, разности двух чисел, уменьшаемого, вычитаемого, произведения двух чисел, множителей, частного двух чисел, делителя числа, кратного числа и др. При этом учителю необходимо различать, в каком случае в учебнике приводится полноценное в логическом отношении
определение, а в каком – описание понятия, не претендующее на строгость.
Пример 1. Понятие натурального числа. В учебнике говорится, что «числа, употребляемые при счете предметов, называются натуральными числами». Это описание. В математике
при аксиоматическом построении теории натуральных чисел понятие натурального числа является неопределяемым (исходным). В тех случаях, когда понятие вводится описанием, заучивать
соответствующую формулировку с учащимися не нужно.
Пример 2. В учебнике говорится: «Вычесть из числа a число b – значит найти такое число х, которое в сумме с числом b дает a: x  b  a . Число х называют разностью чисел a и b,
число a - уменьшаемым, а число b – вычитаемым». Это пример настоящего определения, которое именно в таком виде широко используется в математической науке. Наличие определений в
5 классе является одним из признаков повышения теоретического уровня изложения учебного
материала. Понятие разности двух чисел должно быть разъяснено, а формулировка определения
– тщательно отработана. Таким образом, учителю важно выяснить для себя, какие понятия, относящиеся к натуральным числам, вводятся в учебнике описанием, а какие – определением. Это
позволит четче выделить элементы нового подхода в методике изучения натуральных чисел в 5
классе (по сравнению с методикой изучения числового материала в начальных классах). Усиление роли теоретических объяснений проявляется в сочетании индукции и дедукции.
п.2. Методика изучения обыкновенных и десятичных дробей.
Первое знакомство с обыкновенными дробями происходит в 3 классе параллельно изучению натуральных чисел. Систематическое изучение дробей начинается в 5 классе. Десятичные
дроби не являются новыми числами по сравнению с обыкновенными дробями. Они представляют лишь другую запись ранее известных обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100,
1000 и т.д.в математических вычислениях и практических расчетах более удобными являются
десятичные дроби. Обыкновенные дроби в вычислениях используются гораздо реже.
В методике математики существуют различные подходы к порядку изучения обыкновенных и десятичных дробей: 1) вначале изучаются обыкновенные дроби, затем – десятичные
(традиционный подход), 2) вначале изучаются десятичные дроби, затем – обыкновенные, 3)
смешанный вариант, при котором изучение обыкновенных и десятичных дробей чередуется. В
учебнике Виленкина придерживаются смешанного варианта. Вначале в нем вводится понятие
обыкновенной дроби. Затем рассматриваются вопросы сравнения, сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. После этого осуществляется переход к десятичным дробям
и рассматриваются все четыре арифметических действия над ними. Изучение десятичных дробей начинается и заканчивается в 5 классе. После этого в 6 классе вновь возвращаются к обык-
34
новенным дробям: изучают сравнение произвольных дробей, арифметические действия над ними. Понятие процента примыкает к понятию десятичной дроби. Проценты – это новая форма
1
15
записи десятичных дробей со знаменателем 100: 1%=
=0,01, 15%=
=0,15 и т.д..
100
100
Центральным в теме «Дробные числа» (5 класс) является понятие обыкновенной дроби.
Оно вводится таким описанием (аналогично тому, как это делалось в 3 классе): приводится рисунок с изображением пирога, разрезанного на четыре равные части. Одна из них лежит на одной тарелке, а три части – на другой. Говорят: «На первой тарелке лежит одна четвертая часть
1
3
пирога, а на второй – три четвертых части пирога». Пишут: « пирога,
пирога». Далее со4
4
1
3
3
общают, что такие числа. Как
и , называют обыкновенными дробями. В дроби
число 3
4
4
4
называют числителем дроби, а число 4 – ее знаменателем. Характеристика дроби начинается
со знаменателя: знаменатель показывает, на сколько равных частей разрезан пирог, а числитель – сколько надо взять таких частей. Числитель пи шут над чертой, а знаменатель – под чертой. Проведенные разъяснения повторяются на других примерах. Вместо пирога может быть
взят круг (отрезок, прямоугольник, квадрат), разделенный на шесть(восемь, семь восемнадцать)
равных частей.
Методическая схема введения понятия обыкновенной дроби в 5 классе:
1) выполнить материализованные действия по делению предмета на 4 равные части;
2) сообщить термины «одна четвертая», «три четвертых»;
1 3
3) ввести записи: , ;
4 4
4) сообщить термины «обыкновенная дробь», «числитель дроби», «знаменатель дроби»;
5) дать содержательную характеристику дроби (что показывает знаменатель дроби, что
показывает ее числитель);
6) привести другие примеры дробей, записать и прочитать их.
Важным элементом методики изучения чисел является убеждение учащихся в целесообразности введения новых чисел. Возможность записать доли с помощью обыкновенных дробей
является одним из приемов убеждения учащихся в полезности таких дробей. Помимо этого существуют еще два других приема, показывающих необходимость введения дробных чисел. Мотивировать введение дробных чисел можно также тем, что с их помощью операция деления
натуральных чисел делается всегда выполнимой. Пример. В множестве натуральных чисел число 2 не делится на число 3. дополним это множество дробями и вновь рассмотрим деление числа 2 на 3. Пусть требуется разделить 2 яблока между тремя учениками. Как это сделать? Разре1
жем каждое яблоко на три равные части. Одна такая часть выражается дробью . Если каждо3
му ученику дать по две таких части, то два яблока будут поделены поровну между 3 учащимися.
2
2
2
Две части выражаются дробью . Значит каждый ученик получает
яблока, т.е. 2 : 3  . Де3
3
3
лается вывод о том, что деление натурального числа 2 на натуральное число 3 возможно, только
2
при делении получается не натуральное число, а дробное . Третий прием мотивации введения
3
дробных чисел связывается с задачей измерения величин. Пример. Пусть требуется измерить
длину отрезка в сантиметрах (выбирается отрезок, длина которого меньше одного сантиметра).
При измерении учащимися отрезка обнаруживается, что его длина меньше 1 см. для измерения
1
такого отрезка удобно привлечь доли 1 см – миллиметры, при этом учитывая, что 1 мм =
см.
10
9
Пусть длина отрезка оказалась равной 9 мм. Это означает, что отрезок содержит
см. Как
10
35
видно, длина данного отрезка выражается в сантиметрах дробным числом. Без дробных чисел
измерение его в сантиметрах невозможно.
Тенденция на усиление роли теоретических объяснений имеет место и при изучении темы «Дробные числа». По аналогии с натуральными числами объяснение правила сложения десятичных дробей может быть построено следующим образом.
Пусть требуется сложить две десятичные дроби 3,14 и 2,83. Воспользуемся разложением
числа в виде суммы разрядных слагаемых, сочетательным и переместительным законами сложения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.
1
4  
8
3 

3,14  2,83  3  0,1  0,04  2  0,8  0,03   3  
  2  

10 100 
 10 100  
8  4
3 
9
7
1
 3  2      

 5  0,9  0,07  5,97 .
  5 
10 100
 10 10   100 100 
Поэтому для того, чтобы сложить две десятичные дроби «столбцом», необходимо записать их одну под другой так, чтобы единицы одинаковых разрядов находились друг под другом.
Затем провести сложение единиц одинаковых разрядов, начиная с наименьшего для данных чисел разряда, и в полученном результате целую часть отделить от дробной запятой:
3,14
2,83
5,97
п.3. Методика изучения отрицательных чисел.
Первая методическая задача, возникающая при введении отрицательных чисел, состоит в
том, чтобы убедить учащихся в необходимости введения новых чисел. Достигается это с помощью целесообразно подобранных задач. Примеры:
Белка вылезла из дупла и бегает по стволу дерева вверх и вниз. Покажите на рисунке:
1) где будет находится белка, если она удалена от дупла на 3 м (Можно ли указать местоположение белки единственным образом?);
2) где окажется белка, если она будет: а) выше дупла на 2 м; б) ниже дупла на 3 м; в) ниже дупла на 1,5 м; г) выше дупла на 2,5 м.
При решении этих задач устанавливается, что для того, чтобы определить местоположение белки на дереве, необходимо знать: расстояние. на которое она удалена от дупла, и направление, в котором она переместилась (выше дупла, ниже дупла). Выясняется, что известных чисел недостаточно для того, чтобы охарактеризовать ими и расстояние, и направление. Необходимы новые числа.
Рассмотренные задачи полезно представить в более математизированной форме. Для
этого достаточно вместо дерева взять прямую, вместо дупла – некоторую фиксированную точку
этой прямой, вместо белки – произвольную точку прямой. Созданию наглядно-геометрической
основы для введения новых чисел служит такая задача.
Проведите прямую слева направо и отметьте на ней точку О. изобразите на этой прямой
точки A, B, C, K, если известно, что точка А расположена правее О на 6 клеток, точка В – правее
О на 5,5 клетки, точка С – левее О на 2 клетки и точка К – левее О на 7,5 клетки.
В результате учащиеся будут подготовлены к восприятию понятия «координатная прямая». Учителю останется лишь ввести термины: «начало отсчета», «положительное направление прямой», «отрицательное направление прямой». Если положительное направление обозначить знаком «+», а отрицательное – знаком «–», то ясно, что положение точки А в предыдущей
задаче определяется числом +6, положение точки В – числом +5,5, положение точки С – числом
– 2, положение точки К – числом – 7,5, положение самой точки О – числом 0. Числа +6, +5,5, 0
были известны ранее, числа – 2, – 7,5 – новые. Числа +6, +5,5, … называются положительными
(их можно записывать и без знака «+»), числа – 2, – 7,5, … – отрицательными. С помощью положительных, отрицательных чисел и числа 0 можно полностью охарактеризовать положение
точки на прямой.
36
Важно, чтобы учащиеся осознали не только необходимость введения новых чисел, но и
правильно понимали их смысл. В этих целях полезны упражнения на чтение и запись положительных и отрицательных чисел, на изображение их точками на координатной прямой. Полезны задания и на обратный перевод (с математического языка на естественный).
Правила выполнения действий над положительными и отрицательными числами устанавливаются на основании решения содержательных задач (например, задач на определение
температуры). Математические формулировки этих правил опираются на понятие модуля числа.
Методическая схема введения правила сложения положительных и отрицательных
чисел (в основу ее положено индуктивное обобщение):
1) показать, что результат изменения температуры находится с помощью действия сложения;
2) на основании измерений температуры с помощью термометра выполнить следующие
действия: + 2 + (+3) = + 5, – 2 + (– 3) = – 5, – 2 + (+3) = +1, + 2 + (– 3) = – 1;
3) ввести установку: каждое число определяется своим модулем и знаком; с помощью
этой установки высказать догадки о том, как найти модуль суммы и ее знак (соответствующие записи полезно оформить в виде таблицы):
+ 2 + (+3) = + (  2   3 ) = + 5,
– 2 + (–3) = – (  3   3 ) = – 5,
– 2 + (+3) = + (  3   2 ) = + 1,
+ 2 + (– 3) = – (  3   2 ) = – 1;
4) сформулировать правило сложения чисел с одинаковыми и разными знаками;
5) закрепить это правило письменными упражнениями с подробными записями;
6) осуществить переход к более сокращенным записям вычислений, сопроводив их
полным устным комментарием;
7) на следующем уроке (в качестве повторения и закрепления правила) привести схему
соответствующего алгоритма.
Методическая схема введения правила умножения положительных и отрицательных чисел:
1) предложить задачу: «Температура воздуха изменяется в течение b суток, причем в
каждые сутки на a градусов. Как изменится температура через b суток (по сравнению с
настоящим моментом), если а) a = 2, b = 3, б) a = – 2, b = 3, в) a = 2, b = – 3, г) a = – 2, b =
– 3?»
2) выяснить смысл высказываемых в задачах предложений: что означает утверждение
о том, что температура воздуха изменилась на a градусов, если a равно 2, – 2, объяснить
смысл утверждения о том. Что температура изменяется в течение b суток, если b равно 3,
– 3;
3) провести решение задачи для случая а: «За трое суток температура повысится в 2
раза; увеличение в 2 раза находится умножением на 2; отсюда искомое изменение температуры получим, если 2 умножим на 3:  2   3  6 ». Так как остальные задачи аналогичные, то делается вывод, что они также должны решаться с помощью умножения. Поэтому возникает необходимость научиться выполнять умножение с положительными и
отрицательными числами;
4) сформулировать задачу для случая б: «Как изменится температура воздуха через 3
суток, если каждые сутки она понижается на 2 градуса?» и привести ее решение: «Вначале устанавливается, что температура воздуха через 3 суток понизится на 6 градусов. Это
понижение характеризуется числом – 6 и делается запись ab   2   3  6 »;
5) поставить и решить задачи для остальных случаев, сделать аналогичные записи:
ab  2   3  6 , ab   2   3  6 ;
6) высказать догадку о том, как найденные произведения можно получить математическим способом;
7) сформулировать правило умножения положительных и отрицательных чисел;
37
8) закрепить это правило составлением схемы соответствующего алгоритма и письменными упражнениями с подробными записями, показывающими, как выбирается знак
произведения и находится его модуль;
9) осуществить постепенный переход к сокращенным записям вычислений.
Лекция. Методические особенности расширения числовых множеств в курсе алгебры девятилетней школы.
Первое расширение понятия о числе, которое учащиеся усваивают после ознакомления с
натуральными числами, - это добавление нуля. Сначала 0 – знак для обозначения отсутствия
числа. Почему же нельзя делить на нуль?
Разделить – значит найти x : x  0  a . Два случая: 1) a  0 , следовательно, надо найти
x : x  0  0 . Это невозможно. 2) a  0 , следовательно, надо найти x : x  0  0 . Таких x сколько
угодно, что противоречит требованию однозначности каждой арифметической операции.
Изучение нового числового множества идет по единой схеме:
 необходимость новых чисел;
 введение новых чисел;
 сравнение (геометрическая интерпретация);
 действия над числами;
 законы.
Сначала расширение числовых множеств происходит, пока множество не станет числовым
полем. Не каждая из числовых систем является числовым полем. Например, система натуральных чисел не является числовым полем; система целых чисел тоже не числовое поле. Система
рациональных чисел – числовое поле.
Поле (П) – множество, содержащее не менее двух элементов, на котором заданы две бинарные алгебраические операции – умножение и сложение, обе ассоциативные и коммутативные.
Они связаны законом дистрибутивности. Кроме того, в П существует нулевой элемент: для любого a  a  0  a и для каждого противоположного a  a  a  0 . Существует единичный элемент: a  a 1  1 . (Если в некоторой числовой системе все основные действия (сложение, вычитание, умножение и деление, кроме деления на нуль) выполнимы и однозначны относительно
каждой пары чисел этой системы, такое множество называется числовым полем.) В системе рациональных чисел действия сложения, вычитания, умножения и деления (за исключением деления на нуль) выполнимы и однозначны относительно каждой пары чисел, т.е. определены
так, что применение любого действия к паре рациональных чисел приводит к однозначно определенному рациональному числу. Этим же свойством обладает система действительных чисел.
Невыполнимость одного из основных действий приводит к расширению числового множества. В курсе математики 5–6 классов имеет место построение множества рациональных чисел.
Следует отметить, что последовательность расширений не однозначна.
Рекомендуется располагать различные случаи умножения на правильную дробь в порядке
возрастания трудности:
 умножение на целое число;
 умножение целого числа на смешанное число;
 умножение дроби на смешанное число;
 умножение на правильную дробь;
 умножение на дробь, в которой числитель равен знаменателю.
Для введения сложных случаев предлагается задача на вычисление площади прямоугольника.
Целесообразность введения отрицательных чисел может быть показана учащимся разными
способами:
1. Через анализ ситуации, в которой действие вычитания невыполнимо.
ПРИМЕР. Чебурашка, спасаясь от Шапокляк, проплыл вверх по реке a км, но, оказавшись
перед бродом, был вынужден плыть вниз по реке и проплыл b км. Где он оказался по отноше-
38
нию к исходному месту входа в реку?
Ответом служит разность a  b , но при a  b действие невозможно.
2. В связи с рассмотрением величин, которые имеют противоположный смысл.
3. Как характеристика изменений (увеличений и уменьшений) величин.
4. На основе графических представлений, отрицательные числа как отметки точек на оси.
5. Через задачу об изменении уровня воды в реке в течение двух суток.
ПРИМЕР. Во время сильного дождя уровень воды в реке за сутки поднялся на a см, в течение следующих суток уровень воды в реке упал на b см. Каким стал уровень воды в реке по истечении двух суток?
6. Как средство изображения расстояний на температурной шкале.
Появление нового числового множества сопровождается введением правил сравнения (равенства и неравенства) чисел и арифметических операций над ними. Средством обоснования
правил сравнения нередко служит координатная прямая.
Получив числовое поле, дальнейшее расширение уже не может быть продиктовано невыполнением действий. Расширение понятия числа было вызвано геометрическими соображениями, а именно: отсутствием взаимно однозначного соответствия между множеством рациональных чисел и множеством точек числовой прямой. Для геометрии необходимо, чтобы каждая
точка числовой прямой имела абсциссу, т.е. чтобы каждому отрезку при данной единице измерения соответствовало число, которое можно было бы принять за его длину. Эта цель достигается после того, как поле рациональных чисел (с помощью присоединения к нему системы иррациональных чисел) подвергается расширению до системы действительных чисел, которая является числовым полем.
К необходимости этого расширения приводит и невозможность извлечения корня из положительного числа, нахождения логарифма положительного числа при положительном основании.
В девятилетней школе стараются избежать вопросов, связанных с непрерывностью и бесконечностью, хотя полностью достичь этого нельзя. Не затрагивается вопрос о недостаточности
рациональных чисел для решения алгебраических задач, для измерения (каждый отрезок имеет
длину, каждая фигура – площадь), построения графиков (должны быть неразрывными). Интуитивные представления учащихся естественны, так как практически нельзя обнаружить существование несоизмеримых отрезков. Не надо строить строгую теорию, достаточно создать верные представления о сущности вопроса.
Периодичность бесконечной десятичной дроби, выражающей рациональное число, вытекает
из деления натуральных чисел, так как при таком делении может получиться только конечное
число различных остатков, непревосходящих делителя. Следовательно, при бесконечном делении какой-то остаток должен повториться, а за ним повторятся и соответствующие остатки
числа частного – получится периодическая дробь.
В большинстве учебников иррациональное число рассматривается как бесконечная непериодическая десятичная дробь (как и в теории Вейерштрасса). В некоторых учебниках – как длина
отрезка, несоизмеримого с единицей масштаба, а затем показывается, как находятся приближения этого числа в виде десятичных дробей.
Далее необходимо установить, что существует взаимно однозначное соответствие между
множеством действительных чисел. Поскольку иррациональные числа вводятся для измерения
отрезков, несоизмеримых с единицей длины, то сразу получается, что для каждого отрезка
можно найти действительное число, выражающее его отношение к единице длины. Обратное
положение есть аксиома непрерывности прямой. В большинстве не формулируется, а подчеркивается это взаимно однозначное соответствие. В некоторых учебниках (Д.К. Фаддеева и др.)
используется подход Кантора: для всякой стягивающейся последовательности вложенных друг
в друга промежутков на прямой существует точка, принадлежащая всем промежуткам последовательности. Отсюда и следует непрерывность множества действительных чисел.
Можно не доказывать непрерывность множества R , но необходимо выяснить различие в
39
структуре множеств рациональных и действительных чисел. Множество рациональных чисел
плотно (между любыми двумя рациональными числами существует сколько угодно рациональных чисел), но не непрерывно. Множество разрывов имеет большую мощность. Н.Н. Лузин
предложил такое сравнение: если представить, что рациональные точки не пропускают солнечные лучи, и поставить прямую на пути лучей, то нам покажется, что солнце пробивается почти
сплошь. У С.И. Туманова: рациональные числа окрашены в черный цвет, а иррациональные – в
красный. Тогда прямая представлялась бы сплошь красной. О мощности множества иррациональных чисел можно судить через рассмотрение их как полученных из рациональных разрушением периода бесконечной десятичной дроби, так как для каждого рационального числа
можно предложить множество иррациональных.
Из всех теорий иррациональных чисел более доступной считалась теория Кантора – Мере,
рассматривающая стягивающиеся последовательности вложенных в друг друга сегментов. Поэтому во многих учебниках результат действий над иррациональными числами рассматривается
как число, заключенное между всеми приближенными результатами, взятыми по избытку, и
всеми приближенными значениями, взятыми по недостатку. Такое определение не создает у
учащихся представления о результате действий над иррациональными числами и вообще об иррациональном числе. В экспериментах В.К. Матушка (контрольная работа среди лучших учеников) школьники считают иррациональные числа неточными, колеблющимися приближенными.
Многие считают, что числа 2 , 3 , 8 нельзя сложить. Причина и в неудачной терминологии: «точный» корень, «неточный» корень. Он советует использовать термины «приближенное
значение корня» и «точное значение корня».
Дествия с иррациональными числами лучше начинать с геометрического изображения суммы 2  5 . Известно, что можно точно построить отрезки, имеющие такую длину.
Следует обратить внимание учащихся, что в результате действий над иррациональными
числами могут получиться как рациональные, так и иррациональные. Для этого нужно предложить примеры на сложение непериодических дробей.
Дальнейшего расширения числовой системы потребовала алгебраическая задача извлечения
четной степени (квадратного корня) из отрицательного числа. Поле действительных чисел расширено до системы комплексных чисел присоединением к нему множества мнимых чисел.
Классификация множества комплексных чисел:
Комплексные числа
Действительные числа
Рациональные
Мнимые числа
Иррациональные числа
числа
Дробные числа (положительные и отрицательные)
Целые числа
Натуральные числа и 0
Отрицательные целые числа
Методика введения понятия «иррациональное число»
40
Существует три подхода к введению понятия «иррациональное число».
При первом подходе можно выделить три основных этапа введения понятия: мотивационный, введение понятия, первичное закрепление.
1. Мотивационный этап. На этом этапе можно предложить решить следующую задачу:
«Найти сторону квадрата, площадь которого равна 2». Алгебраической моделью ситуации является уравнение x 2  2 . Решением этого уравнения (с учетом того, что длина выражается положительным числом) является арифметический квадратный корень из 2. Это число. Встает вопрос: «Какому числовому множеству принадлежит это число?»
2. Этап введения понятия. Проиллюстрировать этот этап можно, выполнив лабораторную
работу.
ПРИМЕРЫ
1) Является ли 2 целым числом?
Ответ. Рассмотрим квадраты последовательных натуральных чисел: 12  1 , 22  4 .
1<2<
4.
Вывод. Среди целых чисел значения 2 нет.
2) Является ли 2 рациональным числом?
Ответ. Рассмотрим приближенные значения 2 с точностью до 0,01; 0,001
и т.д.
1,12 = 1,21
1,22 = 1,44
1,32 = 1,69
1,42 = 1,96
1,52 = 2,25
1,96 < 2 < 2,25 , тогда 1, 4  2  1,5 .
Выполняя аналогичную работу на отрезке 1, 4;1,5 , получим:
1, 41  2  1, 42 .
Увеличивая точность приближения, можно показать:
2  1, 4142... . Уже на
этом этапе можно увидеть, что 2 – бесконечная непериодическая дробь.
С использованием микрокалькулятора получим: 2 = 1,4142135623….
Вывод (предположение) на этом этапе. 2 – не рациональное число.
3) Приведите строгое математическое доказательство предположения,
сформулированного на предыдущем этапе.
Утверждение. Не существует рационального числа, квадрат которого равен двум. Далее
приводится доказательство.
Примечание. Перед доказательством должна быть проведена подготовительная работа.
4) Существует ли число 2 ?
Ответ. Решим исходное уравнение графически.
Как видно из рис. 23, существует положительное значение абсциссы точки пересечения
графиков. Значит, существует число 2 . А это, в свою очередь, требует расширения числового
множества.
5) Дайте определение иррационального числа.
Ответ. Числа, представляемые бесконечными десятичными непериодическими дробями,
называются иррациональными.
Далее приводятся примеры иррациональных чисел: 3 ; 7 ;  и т.д.
6) Изобразите иррациональные числа на координатной прямой.
Ответ. Иллюстрируется построение улитки Паскаля.
Введение понятия «иррациональное число» завершается расширением множества рациональных чисел до множества действительных чисел, структуру которого можно изобразить с
41
помощью кругов Эйлера (рис. 24).
3. Этап первичного закрепления. На этом этапе целесообразно решать задачи на установление взаимосвязи известных числовых множеств, сравнение чисел, изображение чисел точками
координатной прямой.
При втором подходе к ведению понятия «иррациональное число» («Алгебра–8» под ред.
С.А. Теляковского) можно предложить ученикам следующие задания.
ПРИМЕРЫ
1) Найдите длину отрезка OB при выбранной единице измерения OE (рис. 25).
О Е В
Эта задача иллюстрирует, что процесс измерения может быть бесконечным, а отрезки несоизмеримыми.
2
2) Вычислите длины отрезка, если он составляет
единичного отрезка.
7
2
Ответ.  0,  285714  .
7
3) Приведите геометрическое доказательство того, что отношение площади квадрата, построенного на диагонали данного квадрата, к площади данного равно 2.
Ответ. Длина диагонали квадрата равна числу, квадрат которого равен 2; при измерении
длины диагонали (при условии, что единица измерения – длина стороны данного квадрата) получается бесконечная непериодическая десятичная дробь.
4) Приведите строгое доказательство, что не существует рационального числа, квадрат которого равен двум.
5) Дайте определение иррационального числа.
6) Постройте множество действительных чисел.
При третьем подходе к введению понятия (Ш.А. Алимов и др. «Алгебра–8») можно привести формулировку определения и проиллюстрировать его примерами.
Тема 3. Методика преподавания геометрии в средней школе
План.
1. Особенности изучения геометрического материала в 1-6 классах.
2. Методика изучения геометрических фигур и их измерений в систематическом курсе геометрии.
3. Методика изучения параллельности и перпендикулярности на плоскости и в пространстве.
4. Изучение векторов и координат на плоскости и в пространстве.
5. Геометрические преобразования на плоскости и в пространстве.
1. Особенности изучения геометрического материала в 1-6 классах
Изучение учебных предметов предполагает овладение учащимися понятиями. Понятие в
своем развитии проходит чувственную и рациональную ступень познания, от образа восприятия
до системы понятий.
Единичные образы восприятия и представления человек создает на чувственной ступени
познания. На рациональной ступени (на эмпирической стадии этой ступени) формируются
обобщенные представления или образы-понятия. Фактически у детей 7-12 лет формируются
обобщенные представления, т.е. первый (создание образов) и второй (формирование представлений) этапы становления понятия. Поэтому при построении процесса обучения, направленного на развитие ребенка, создание системы геометрических образов является основной задачей
обучения геометрическому материалу в 1-6 классах, в отличие от задачи создания системы геометрических понятий в основной и старшей школе.
Тема 5: Тождественные преобразования в курсе математики средней школы, методика их
изучения.
42
План.
6. Линия тождественных преобразований в курсе математики средней школы и ее взаимосвязь с другими линиями школьного курса.
7. Различные подходы к определению тождества.
8. О целенаправленности тождественных преобразований.
9. Основные типы преобразований и этапы их изучения.
10. Особенности работы по обучению теме «Тождественные преобразования выражений,
содержащих квадратные корни».
1. Тождественные преобразования представляют собой одну из главных линий школьного
курса математики. На их основании у учащихся формируются представления об аналитических
методах математики. Как правило, решение каждой математической задачи аналитическим методом предполагает выполнение некоторых тождественных преобразований. Тождественные
преобразования не являются какой-либо отдельной школьного курса математики, они изучаются на протяжении всего курса алгебры и начал анализа.
2. Существует несколько подходов к определению тождества, тождественно равных выражений.
Во-первых, тождество рассматривается как равенство, верное при любых значениях переменных (так вводится понятие тождества в учебнике алгебры для 7 класса под редакцией С.А.
Теляковского). Этому определению удовлетворяют целые рациональные выражения, но равенства с радикалами ( a b  ab и ему подобные) при таком подходе уже не являются тождествами. Тождественно равными выражениями называются два выражения, соответственные
значения которых равны при любых значениях переменных (это определение в указанном
учебнике предшествует определению тождества).
Во-вторых, тождество рассматривается как равенство, верное при любых допустимых значениях переменных. (Такое определение понятия тождества предлагается в 8 классе в учебнике
алгебры под ред. С.А. Теляковского, когда появляются дробно-рациональные выражения). Два
алгебраических выражения называются тождественными, если они принимают равные числовые значения при соответственно равных значениях букв из общей части областей определения.
Ценность тождества состоит в том, что оно позволяет данное выражение заменить другим, тождественно равным первому, его – третьим и т.д. Иначе говоря, интерес представляют
такие тождественные равенства, которые обладают свойством транзитивности: если A тождественно равно B и B тождественно равно C , то A тождественно равно C .
Покажем, что при данном подходе к определению тождества, они не обладают свойством
транзитивности.
Например, равенство
и равенство
х2 
 х
2
является тождеством, так как верно при любых х  0
 х   х также является тождеством, так как оно верно при всех х  0 . Состав2
ленное из этих тождеств новое равенство х  х при данном подходе не удовлетворяет определению тождества, так как оно не верно при отрицательных значениях х , входящих в области
допустимых значений и левой, и правой частей равенства. Таким образом, отношение тождественного равенства не транзитивно.
Необходимо иметь в виду, что использование таких тождеств при решении уравнений может привести к уравнению, не равносильному данному.
2
Например, равенство
x  x  3  x   x  3 является тождеством при данном под-
ходе. Применим это тождество при решении уравнения
x  x  3  2 . Получим уравнение
x   x  3  2 , которое неравносильно данному. В самом деле, последнему уравнению удовлетворяет корень  4 , который не является корнем исходного уравнения.
Таким образом, первая трактовка отражает точку зрения абстрактной алгебры. Для того,
43
чтобы получить определенную алгебраическую операцию, достаточно между данными выражениями поставить знак соответствующего действия, в результате чего двум данным выражениям
будет поставлено в соответствие единственное третье выражение. Действие считается выполненным, как только между выражениями поставлен знак этого действия. Если выполняются последующие тождественные преобразования, то они трактуются не как преобразования, в результате которых будет получена сумма (разность, произведение, частное) двух выражений, а
как преобразование уже записанной суммы (разности, произведения, частного). Преобразования выполняются на основании формального применения алгебраических законов.
Вторая трактовка отражает точку зрения функционального анализа, в котором для сложения, например, двух многочленов недостаточно формального соединения их знаком «+». Необходимо еще убедиться, что значения полученного выражения равны сумме значений выражений-слагаемых (при всех значениях входящих в эти выражения переменных).
Сознательному выполнению учащимися тождественных преобразований способствует понимание того факта, что алгебраические выражения существуют не сами по себе, а в неразрывной связи с некоторым числовым множеством, являются обобщенными записями числовых выражений. Аналогии между алгебраическими и числовыми выражениями (и преобразованиями
их) законны в логическом отношении, использование их в обучении способствует предупреждению ошибок учащихся.
3. О целенаправленности тождественных преобразований.
Большое разнообразие тождественных преобразований затрудняет ориентацию учащихся
в том, с какой целью они выполняются. Действительно, в одних случаях учащиеся, «упрощая»
многочлен, заменяют его произведением многочленов, в других случаях произведение нескольких многочленов заменяют одним многочленом. В одних упражнениях знак «–» выносят за
скобки, в других – этот знак вносят в скобки. В одних преобразованиях сумму дробей заменяют
одной дробью, в других – данную дробь представляют в виде суммы нескольких дробей. Нечеткое знание цели выполнения преобразований (в каждом конкретном случае) отрицательно
сказывается на их осознании, служит источником массовых ошибок учащихся. Это говорит о
том, что разъяснение учащимся целей выполнения различных тождественных преобразований
является важной составной частью методики их изучения.
Примеры возможных мотивировок тождественных преобразований.
1. Тождественное преобразование: 5, 23x  5, 23 y  5, 23  x  y  удобно мотивировать тем,
упрощается нахождение числового значения выражения 5, 23x  5, 23 y . Если значения x и y
подставить в выражение 5, 23x  5, 23 y , то придется выполнять три действия; если же значения
x и y подставить в выражение 5, 23  x  y  , то достаточно выполнить только два действия. Целесообразность указанного тождественного преобразования очевидна. Это становится еще более понятным для учащихся при рассмотрении выражений. Тождественно равных некоторому
a  b  a  b
2
числу. Например, если находить значения выражения
2
, непосредственно подab
ставляя значения a и b в это выражение, то придется выполнить семь действий. Тождественные преобразования показывают, что данное выражение тождественно равно 4, т.е.
 a  b   a  b
2
2
 4 . В этом случае тождественные преобразования полностью освобождают
ab
от необходимости производить какие-либо вычисления.
2
2
2. При решении уравнения lg x  2 можно выполнить преобразование lg x  lg 100
либо преобразование 2 lg x  2 . Какое их более предпочтительно? Первое преобразование, поскольку второе приводит к потере одного корня. Выяснение этого вопроса также делает мотивированным выбор тождественного преобразования.
3
2
2
3. Выполняя тождественное преобразование x  x  2 x  2   x  1 x  2 , полезно


44
отметить,
его удобно применять, когда решается, например, уравнение
x  x  2x  2  0 .
2
4. Значение числового выражения 99  1 легко найти, если предварительно произвести
2
следующие преобразования: 99  1  99  199  1 .
3
что
2
5. Приближенное значение числового выражения
1
1

удобнее найти,
3 2 2 3
осуществив такие преобразования:
3 2
2 3
3 2 2 3



 22
1
1
3 2 3 2
2 3 2 3
n 1
6. Для обнаружения свойства возрастания функции f n  
удобным оказывается такое
n
n 1 n 1
1
преобразование: f n  
  1 .
n
n n
n
3x  1
7. График функции f  x  
легче построить, представив данную функцию в виде
x 1
3x  1
2
.
f x  
3
x 1
x 1
1
1


3 2 2 3


 


8. Не всегда целью тождественных преобразований является получение выражения более простого вида. Например, при выводе формул корней квадратного уравнения квадратный трехчлен
2
2

b
b
 4ac 

ax  bx  c заменяют более сложным выражением a   x   
2
.
2
a
4
a




2
Изучение тождественных преобразований становится более целенаправленным, если они сразу применяются к решению текстовых задач, уравнений, неравенств, исследованию функций и
т.д.
Предупреждение ошибок учащихся в выполнении тождественных преобразований
Тема 6: Учение о функции в школьном курсе математики.
План.
1. Методика изучения функции. Развитие понятия функции.
2. Место темы в школьном курсе, значение, содержание.
3. Понятие функции.
4. Функционально-графическая линия в учебниках алгебры А.Г. Мордковича
5. Методическая схема изучения функций.
1. Развитие понятия функции.
Понятие функции возникло под влиянием практики и его развитие имеет длинную историю. Различными конкретными функциональными зависимостями люди пользовались с древних времен. В процессе развития математики понятие функции подвергалось определенным
изменениям. Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) впервые было
употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673 году в его рукописях. Под функцией он
понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону. В печати
это понятие появилось только с 1692 года. В 1698 году Лейбниц ввел также термины «переменная» и «константа».
В XVIII веке появляется аналитическая точка зрения на понятие функции – это был новый
взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Подход к такому
определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748), который
45
в 1718г. определил функцию следующим образом: «функцией переменной величины называют
количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».
Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер во «Введении в анализ бесконечного»: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого
количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти
всего XVIII века. Даламбер, Лагранж, Фурье и другие. В то же время в работах Эйлера понятие
функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математического
анализа.
«Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних изменяются и первые, то первые называются функциями вторых. Л. Эйлер, 1755».
«Всякое количество, значение которого зависит от одного и многих других количеств, называется функцией этих последних, независимого от того, известно или нет, какие операции нужно произвести, чтобы перейти от них к первому.
С. Лакруа, 1797».
«Функция от x есть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа. Зависимость мажет существовать и оставаться неизвестной.
Н.И. Лобачевский, 1834».
« y есть функция от x , если всякому значению x соответствует вполне определенное
значение y , причем совершенно не важно, каким именно способом установлено указанное соответствие.
П. Дирихле, 1837».
В 1755 году вышло «Дифференциальное исчисление» Эйлера, в котором он дает общее
определение функции: «Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что
при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией
вторых. Это наименование имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы,
какими одно количество определяется с помощью других».
Эйлер ввел и принятые сейчас обозначения для функций. Современное определение числовой функции, в котором это понятие уже освобождалось от способа задания, было дано независимо друг от друга русским математиком Н. И. Лобачевским (1834) и немецким математиком Л. Дирихле (1837): «Пусть M есть некоторое множество чисел и пусть каждому числу x
из M в силу некоторого (вполне определенного) закона приведено в соответствие (одно) число
y , тогда говорят, что y есть функция от x , определенная на множестве M ; при этом x
называют независимой переменной или аргументом, а y – зависимой переменной или функцией от x , множество M – областью определения функции».
Со времен Н. И. Лобачевского и Л. Дирихле в математике укрепилось представление о
функции как о зависимости одной переменной величины от другой.
Общее понятие функции применимо не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам. Например, к геометрическим фигурам. При любом геометрическом
преобразовании мы имеем дело с функцией. Другими синонимами термина «функция» в различных разделах математики являются: соответствие, отображение, оператор, функционал и др.
В школьные программы понятие функции включено относительно недавно под влиянием идей педагога-математика Ф. Клейна (1849-1925), убежденного в ведущей роли этого понятия в математике-науке и в обучении математике. Он писал: «Понятие о функции должно играть основную, руководящую роль в курсе средней школы. Понятие должно быть выяснено
учащимися очень рано и должно пронизать все преподавание алгебры и геометрии». С точки
зрения Клейна, всякое научное знание не может быть усвоено школьниками без обращения к
наглядности. Поэтому трактовка понятия функции с помощью геометрических образов является, по его мнению, наиболее целесообразной в школьном обучении. «Понятие функции в геометрической форме должно быть вообще душой школьного математического образования».
46
(Элементарная математика с точки зрения высшей).
2. Место темы в школьном курсе, значение, содержание.
Понятие функции – одно из фундаментальных понятий математики, непосредственно связанных с реальной действительностью. Свойства функций используются при решении уравнений, неравенств, при составлении таблиц для вычислений и т.д. Функциональные понятия
находят применение в физике, химии и др. науках. Функциональная зависимость позволяет
связать воедино курсы алгебры и геометрии, т.к. геометрические преобразования – это функции
заданные на множестве точек плоскости или пространства. Функциональная линия школьного
курса математики является одной из ведущих, определяющих стиль изучения многих тем и разделов курсов алгебры и начал анализа.
С функциональной зависимостью учащиеся встречаются с 1 класса. Процесс формирования функции очень длительный и состоит из трех этапов.
1 этап. 1-6 классы – пропедевтика понятия функции.
В начальной школе рассматриваются различные величины и зависимость одной величины от другой при решении задач, составляются формулы для решения задач.
В 5 классе вводится система координат на луче, пропедевтика осуществляется с помощью упражнений на вычисление значений буквенных выражений, на исследование простейших
буквенных выражений.
Примеры.
1. Вычисли значение выражения 34+с:15, если с равно 390, 6120.
2. Самолет летел со скоростью 800 км/ч. Какое расстояние пролетел самолет за t ч? Составь выражение и вычисли его значение, если t равно 2, 3.
3. Заполни таблицу:
p
17
60
83
1200
t
38
180
747
0
9*p-t
В 6 классе вводится система координат на плоскости, учащиеся знакомятся с диаграммами и
графиками, также пропедевтика осуществляется с помощью упражнений на чтение графиков,
изучают зависимости между конкретными величинами.
Примеры.
1. Найти значение выражения: – 53*х, если х=0, 1, -1, 5, - 32.
2. Найти по формуле В=5 1/2 – а, 1) значение В, если а= 3 5/8, 7; 2) значение а, если В= 2 1/6, 8.
3. На рисунке показан график температуры воды в электрическом самоваре. На прямой Ох откладывали время в минутах, а на прямой Оу температуру воды в градусах. Определите по графику: а) температуру воды через 20 минут после включения самовара,
б) момент закипания воды в самоваре,
в) сколько минут кипела вода в самоваре,
г) в какие моменты времени температура воды в самоваре была 900 С.
В целом развитию функциональных представлений учащихся в курсе 5-6 классов содействуют: развитие понятия числа, овладение тождественными преобразованиями, изучение методов
решения уравнений, изучение неравенств и др. Учащиеся 5-6 классов приобретают достаточные
представления, необходимые для успешного изучения функций в старших классах.
Таким образом, курс математики с 1-6 классы дает богатый материал для формирования
таких понятий как переменные и постоянные величины, координаты точки, зависимость между
величинами, область допустимых значений. Именно в этот период закладывается база для сознательного усвоения понятия функции.
2 этап. С 7 по 9 классы – систематическое изучение функции (в общеобразовательных классах):
В 7 классе: 1. понятие числовой функции, 2. область определения, 3. множество значений,
4. способы задания, 5. график функции, 6. линейная функция, 7. прямая пропорциональность,
y= ax, y= x2, y= x3.
В 8 классе: y=a/x, y= x.
47
9 класс: - знакомство с общими свойствами функции: возрастающая, убывающая, нули
функции, промежутки знакопостоянства,
- изучение квадратичной функции y= ax2+bx+c и степенной функции y=xn, n – натуральное,
- знакомство с преобразованиями графика функции: параллельным переносом и растяжением.
3 этап. 10-11 классы
10 класс: изучаются общие свойства функции: возрастание, убывание, нули, промежутки знакопостоянства, четность, нечетность, точки максимума и минимума, периодичность, наибольшее и наименьшее значение.
- построение графиков путем исследования свойств функций,
- тригонометрические функции.
11 класс: - показательная и логарифмическая функции, - понятие об обратной функции.
3. Понятие функции.
Первоначальное знакомство с функцией в школьном курсе математики происходит задолго до того как дается ее четкое определение. Ведение понятия функции – длительный процесс,
завершающийся формированием представлений о всех компонентах этого понятия в их взаимной связи и о роли, играемой им в математике и ее приложениях.
В настоящее время в действующих учебниках понятие функции определяется как зависимость одной переменной от другой. Учебник «Алгебра-7» под редакцией Теляковского: «Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у». В учебнике Мордковича в 7 классе не вводится определение функции. Только в 9 классе, когда учащиеся уже накопили определенный опыт в использовании понятия функции и в работе со свойствами функции в курсе алгебры в 7-8 классов, авторы учебника убеждают их в том, что у них появилась потребность в формальном определении
понятия функции и соответствующих свойств функций.
Начиная с 8-го класса, изучение элементарных функций у разных авторов учебников излагается в различной последовательности. В это время школьники продолжают расширять свои
знания о функциях и их графиках.
4. Функционально-графическая линия в учебниках алгебры А.Г. Мордковича
Подробное изучение элементарных функций, их свойств и графиков начинается в этом
курсе с седьмого класса, в период изучения математического языка и математических моделей.
Функции здесь являются ведущей идеей курса алгебры практически во всех разделах. Таким
образом, в учебниках А.Г. Мордковича приоритетной выбрана функционально-графическая линия. Это выражается в том, что построение материала при изучении функций, уравнений и т.д.
практически всегда осуществляется по схеме:
Функция – уравнения – преобразования.
В учебниках для 7-8 классов не дается формального определения функции, автор ограничивается описанием, не требующим заучивания. Оно вводится в начале 9 класса, когда ученики
накопят достаточный опыт в оперировании этим понятием.
Свойства функций вводятся постепенно. Начиная с 7 класса на наглядно-геометрическом
уровне, даются понятия непрерывности, монотонности функции, ее наибольшего и наименьшего значений. На данном этапе обучения не вводятся строгие математические определения этих
понятий для того, чтобы учащиеся сначала привыкли к ним и научились с ними работать. В 8
классе на наглядно-интуитивном уровне даются понятия выпуклости и ограниченности функции. Начиная с 9 класса, этим понятиям даются строгие определения.
Пример. Свойство монотонности функции. В 7-ом классе при изучении графика линейной
функции обращается внимание учащихся на то, что этот график иногда как бы идет «в гору», а
иногда как бы спускается «с горы». В первом случае линейная функция называется возрастающей, во втором – убывающей (наглядно-интуитивный уровень). Изучая в 8 классе квадратичную функцию, также опираются на наглядное представление о монотонности, но постепенно
переходят на рабочий уровень, на уровень словесного описания: функция возрастает (убывает),
если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. И
48
только в конце 8 класса, после изучения свойств числовых неравенств. Дается формальное
определение монотонности функции.
Ученики постепенно учатся читать график функции. «Наличие в курсе алгебры 9 класса
достаточно большого числа свойств функции позволяет сделать процесс чтения графика интересным, разнообразным, многоплановым. У ученика теперь имеется возможность составить довольно четкий «словесный портрет» функции по ее графику».
В курсе алгебры 8 класса изучаются два преобразования: параллельный перенос и осевая
симметрия (относительно оси абсцисс). В учебнике для 9 класса добавляется еще одно преобразование: растяжение графика от оси абсцисс. И этот материал повторяется в § 12 учебника для
10-11 классов на основе тригонометрических функций и в § 13 изучается новое преобразование
– построение графика функции y  f  k  x  по известному графику функции y  f  x  .
В анализируемых учебниках «любой новый класс изучаемых функций и в учебнике, и в
задачнике «пропускается через сито» преобразований графиков».
Самостоятельно проанализировать последовательность изучения функций и их свойств в
действующих учебниках алгебры 7-9 классов и алгебры и начал анализа 10-11 классов.
Охарактеризовать уровень строгости в обосновании свойств этих функций.
5. Методическая схема изучения функций.
В 7-9 классах изучение функций ведется по схеме:
1. Рассматриваются конкретные ситуации или подводящие задачи, приводящие к данной
функции. На этом этапе учащиеся должны убедиться в целесообразности изучения данной
функции, исходя из соображений практики или дальнейшего развития теории.
2. Формулируется определение данной функции, дается запись функции формулой, проводится исследование входящих в эту формулу параметров. На этом этапе изучения учащиеся получают четкое представление о данной функции, о ее характеристических свойствах, выделяющих данную функцию из множества других.
3. Ознакомление учащихся с графиком данной функции. На этом этапе они учатся изображать изучаемую функцию графически (составляется таблица значений функции и строится
«по точкам» ее график), отличать по графику данную функцию от других, заданных графиком
функции, устанавливать влияние параметров на характер графического изображения функции.
4. Функция исследуется на основные свойства: область определения и значения, возрастание и убывание, промежутки знакопостоянства, нули, экстремумы, четность или нечетность
(или отсутствие этих свойств), периодичность, ограниченность, непрерывность. Сначала свойства функций устанавливаются по ее графику, т.е. на основе наглядных соображений, и лишь
немногие устанавливаются аналитически – перечень свойств, подлежащих рассмотрению, увеличивается постепенно, по мере овладения соответствующим теоретическим материалом.
5. Использование изученных свойств функций при решении задач, в частности уравнений
и неравенств. Этот этап является этапом закрепления основных понятий и теоретических положений, связанных с изучаемой функцией, а также этапом формирования соответствующих умений и навыков.
Особенность этой схемы состоит в том, что при исследовании функции больше опираются
на наглядно-геометрический подход, аналитическое исследование функции носит ограниченный характер.
С возрастанием роли аналитического исследования функции в 10-11 классах сема изучения изменяется:
1. Рассматривается подводящая задача.
2. Формулируется определение функции.
3. Проводится аналитическое исследование свойств функции.
4. Построение (на основе данных аналитического исследования) графика функции.
5. Рассмотрение задач и упражнений на применение изучаемых свойств функции.
6. Основные требования к математической подготовке учащихся.
Содержание обучения теме «Функции» в 5-9 классах: Прямоугольная система коор-
49
динат на плоскости. Функция. Область определения и область значений функции. график
функции. возрастание функции, сохранение знака на промежутке. Функции: y  kx , y  kx  b ,
k
y  , y  x 2 , y  x 3 , y  ax 2  bx  c , y  x . Таблицы и диаграммы. Графики реальных заx
висимостей.
Изучение программного материала по теме «Функции» в 5-9 классах дает возможность
учащимся:
1. осознать, что функция – математическая модель, позволяющая описывать и изучать различные зависимости между реальными величинами, что конкретные типы функций (прямая и
обратная пропорциональности, линейная, квадратичная функции) описывают большое разнообразие реальных зависимостей,
2. овладеть системой функциональных понятий (функция, значение функции, график, аргумент, область определения и множество значений, возрастание, убывание, монотонность, сохранение знака), пользоваться ими в ходе исследования функции,
3. овладеть различными способами задания функций (таблицами, графиками, формулами,
словесными характеристиками), научиться выражать в функциональной форме зависимости
между величинами, переходить от одного языка описания функций к другому, понимать эквивалентность формулировок на разных языках,
4. овладеть свойствами элементарных функций (линейная, прямая пропорциональность,
обратная пропорциональность, квадратичная функция, функции y  x 3 , y  x ), уметь строить
их графики, исследовать расположение графиков в координатной плоскости в зависимости от
значений параметров, входящих в формулу,
5. овладеть простейшими приемами преобразования графиков и применять их для построения графиков.
Уровень обязательной подготовки учащихся 5-9 классов по данной теме определяется
требованиями:
- правильно употреблять функциональную терминологию (значение функции, аргумент,
график функции, область определения, возрастание и др.) и символику; понимать ее при чтении
текста, в речи учителя, в формулировке задач;
- понимать содержательный смысл важнейших свойств функций; уметь по графику
функции отвечать на вопросы, касающиеся ее свойств;
- уметь находить значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком, решать
обратную задачу;
- уметь строить графики функций – линейной, прямой и обратной пропорциональностей,
квадратичной функции;
- уметь интерпретировать в несложных случаях графики реальных зависимостей между
величинами, отвечая на поставленные вопросы.
Содержание обучения теме «Функции» в 10-11 классах: Числовые функции и их
свойства: периодичность, четность и нечетность, экстремумы, наибольшее и наименьшее значения, промежутки знакопостоянства, ограниченность. Понятие об обратной функции. Свойство графиков взаимно обратных функций. Тригонометрические функции числового аргумента:
синус, косинус, тангенс, котангенс. Их свойства и графики. Показательная функция, ее свойства
и график. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Степенная функция, ее свойства и
график. Производная, ее геометрический и механический смысл. Таблица производных элементарных функций. Производная суммы и произведения двух функций. Производная частного
двух функций. Применение производной к исследованию функций, нахождению их наибольших и наименьших значений и построению графиков. Первообразная. Основное свойство первообразной. Простейшие правила нахождения первообразных. Таблица первообразных. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейблица. Применение определенного интеграла к вычилению площадей и объемов.
В 10-11 классах изучение программного материала дает возможность учащимся:
50
1. систематизировать и развить знания о функции как важнейшей математической модели, о способах задания и свойствах числовых функций, о графике функции как наглядном изображении функциональной зависимости, о содержании и прикладном значении задачи исследования функции;
2. получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функции, иллюстрировать эти понятия содержательными примерами; знать о непрерывности любой элементарной
функции на области ее определения; уметь находить промежутки знакопостоянства элементарных функций;
3. овладеть свойствами тригонометрических, показательных, логарифмических и степенных функций; уметь строить их графики; обобщить сведения об основных элементарных
функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности, в человеческой
практике;
4. развить графическую культуру: научиться свободно читать графики, отражать свойства функции на графике, включая поведение функции на границах ее области определения,
строить вертикальные и горизонтальные асимптоты графика, применять приемы преобразования графиков;
5. овладеть понятием производной, усвоить ее геометрический и механический смысл;
освоить технику дифференцирования; научиться применять дифференциальное исчисление для
исследования элементарных функций;
6. овладеть понятиями первообразной и интеграла; усвоить связь между ними; освоить
технику дифференцирования; овладеть простейшей техникой интегрального исчисления;
научиться применять интеграл к решению геометрических задач; получить сведения о других
возможностях применения дифференциального и интегрального исчислений;
7. ознакомиться с простейшими примерами дифференциальных уравнений; выработать
представления о широте их применения для описания реальных процессов.
Уровень обязательной подготовки учащихся 10-11 классов по данной теме определяется требованиями:
1. определять значение функции по значению аргумента при любом способе задания
функции, применяя в случае необходимости вычислительную технику;
2. знать основные свойства числовых функций (монотонность, сохранение знака, экстремумы, наибольшее и наименьшее значения, ограниченность, периодичность) и их
графическую интерпретацию;
3. изображать графики основных элементарных функций; описывать свойства этих
функций, опираясь на график; уметь использовать свойства функции для сравнения и
оценки ее значений;
4. понимать геометрический и механический смысл производной, находить производные элементарных функций, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования суммы и произведения; применять производные для исследования
функций на монотонность и экстремумы в несложных ситуациях, для нахождения
наибольших и наименьших значений функций;
5. понимать смысл первообразной; находить в простейших случаях первообразные
функций; применять первообразную для нахождения площадей криволинейных трапеций.
Фрагмент конспекта урока «Ведение понятия функция»
Необходимо дать понятия: переменные, постоянные величины, функций, аргумент, зависимые и независимые переменные, область определения, множество значений.
Вступительный рассказ: В природе, в производстве, в быту мы имеем дело с различными
величинами: длина, площадь, объем, время, температура, вес, скорость, стоимость и т.д. Величины могут быть переменными, т.е. менять свои значения и оставаться неизменными (постоянными). Одна и та же величина в одной ситуации может быть постоянной, а в другой переменной. Величины могут быть связаны друг с другом, т.е. изменение одной величины влечет за со-
51
бой изменение другой. Например, масса зависит от объема и т.д. Сегодня мы рассмотрим зависимость между переменными, которая называется функциональной зависимостью.
Задача 1. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Записать формулу для вычисления
пройденного пути S за время t.
Назвать величины, рассматриваемые в задаче. Какие из них постоянные, какие переменные? Отчего зависти значение переменных?
Найти значение S.
t
1
2
3
4
5
S
Сколько значений переменной S соответствует каждому значению переменной t?
Задача 2. Дан квадрат со стороной а. записать формулу для вычисления площади квадрата S, перечислить величины в этой задаче, назвать переменные и постоянные величины, зависимые и независимые переменные, заполнить таблицу.
а
1
2
2,5
4/7
S
Сколько значений переменной S соответствует каждому значению переменной а?
Что общего между этими задачами?
1. Рассматривается зависимость между двумя переменными.
2. Каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение
зависимой.
Задача 3. Таблица с графиком функции. Найти по графику значение у, зная х. заполнить
таблицу.
Вывод: Каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой.
Задача 4. Зная модуль найти само число.
3
0
5
a
0
3
5
Какие здесь величины? Какие из них зависимые и какие независимые?
Вывод: Каждому значению независимой переменной соответствует одно или два значения зависимой.
В первых трех задачах каждому значению независимой переменной соответствовало
единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость называют функциональной
или функцией.
Зависимая переменная называется функцией, а независимая аргументом. Чаще всего независимую переменную обозначают за х, а зависимую за у.
Определение. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если
каждому значению х соответствует единственное значение у.
Обозначение: y  f x  , х – аргумент, у – функция.
С понятием функция связано еще два важных понятия: область определения и множество значений.
Итак, мы познакомились с новыми понятиями.
Закрепление. Будет ли данная зависимость функцией.
После введения понятия функции последующих уроках рассматриваются способы задания. Ученики должны очень хорошо понимать, что задать функцию, значит, указать правило,
по которому каждому значению аргумента можно найти соответствующее значение функции.
это правило можно угадать: аналитически, графически, таблицей, описанием. Проиллюстрировать каждый способ.
При работе с графиками необходимо подчеркнуть, что всякая прямая, параллельная оси ОУ
пересекает график функции не более чем в одной точке.
Является ли данная линия графиком какой-нибудь функции?
а
52
Тема. Линейная функция.
В настоящее время линейная функция изучается в курсе алгебры 7 класса. Изучение л.ф.
можно начать с ряда задач, предложенных учениками или составленных ими самостоятельно,
например:
1) зависимость стоимости телеграммы от числа слов,
2) расстояние проходимое поездом от некоторой станции в зависимости от времени
движения с данной постоянной скоростью, если вначале движения поезд находился на данном
расстоянии от станции (в определенном направлении),
3) зависимость количества жидкости, остающейся в баке, от времени ее вытекания, если
дана вместимость бака и скорость, с которой жидкость равномерно вытекает, при условии, что
бак был полным,
4) зависимость длины одного основания трапеции от длины основания при заданной
средней линии.
В каждой задаче лучше задавать числовые данные, тогда получаются примерно следующие формулы (при некоторых числовых данных):
1) y  3 x  10 , 2) y  3 x  10 , 3) y  200  2,5 x или y  2,5 x  200 ,
x y
 10 или y   x  20 .
4)
2
Подобные примеры приводят к общему виду функциональной зависимости одного и того же характера y  ax  b . Поэтому ученикам можно сказать, что поскольку эти факты и явления (и еще многие другие) описываются одной и той же функцией, то естественна такая постановка задачи: присвоить этой функции специальное название и обстоятельно изучить ее свойства.
Функция y  ax  b называется линейной. Далее можно предложить ряд упражнений на
узнавание.
1. Чему равны коэффициенты a и b для следующих линейных функций:
1
2
1
x
y  24 x  13 , y  4 x  2,7 , y  3,67 x  7,9 , y  4  x , y   x  , y  6,8  .
2
7
2
3
2. Какая функция является линейной:
5x
10  x
7
1) y  x  x , 2) y  2 x  5 , 3) y 
, 4) y  , 5) y 
, 6) y  3 x .
6
1 x
x
Обратим внимание на случаи 2 и 6.
Построим графики функций y  2 x  5 и y  3 x . Для этого сначала изобразим таблицы
изменения этих функций. Выясняем, что графиком л.ф. является прямая.
Полезно задать ученикам следующую домашнюю работу: построить графики рассмотренной зависимости при различных значениях a и b (для каждой пары графиков построения
выполнить на одном чертеже). Значения a и b следует задать , например:
1
1
a  , b  0 ; a  , b  1;
2
2
a  1 , b  3 ; a  1 , b  0 и т.д.
В классе нужно рассмотреть хотя бы часть этих графиков, построив их на доске, используя цветные мелки.
Учащиеся легко понимают геометрическое значение a и b . При этом следует показать,
что для построения графиков функции y  ax  b при различных значениях b , но при одном и
том же значении a нет необходимости строить графики каждой функции по точкам, а достаточно построить график y  ax и сместить его параллельно самому себе, так как ординаты точек, имеющих равные абсциссы, будут отличаться друг от друга на число b , а знак b определит
направление этого смещения.
Подметив геометрические значения параметров a и b , полезно выяснить с учениками,
53
в каком случае графики двух линейных функций совпадают, пересекаются, в каких параллельны. Эти сведения пригодятся при графическом решении систем двух уравнений с двумя неизвестными.
Тема. Методические особенности изучения квадратичной функции.
Изучение квадратичной функции начинается с наиболее простого вида этой функции:
y  ax 2 в 7 классе. Сперва рассматривается частный случай, когда a  1 , т.е. функция y  x 2 .
Далее устанавливается, что:
1) функция определена для любого значения аргумента, так как каждое число может быть
возведено в квадрат;
2) функция может принимать только положительные значения и 0;
3) график функции, кроме точки 0; 0 , расположен над осью Ох и ось Оу является осью
симметрии графика функции (график данной функции называется параболой);
4) функция y  x 2 при изменении x от 0 до   возрастает, а при изменении x от   до
0 убывает;
5) при x  0 функция достигает минимума.
После этого переходят к рассмотрению функции y  ax 2 , где a  1 . На одном чертеже
строятся графики функции для различных значений a  0 , например: y  x 2 , y  2x 2 ,
y  0,5x 2 . Ученики усваивают, что эти функции обладают теми же свойствами, что и функция
y  x 2 . Различие только в том, что при a  1 графики быстрее поднимаются вверх, а при
0  a  1 – медленнее. При x  0 функция y  ax 2 достигает наименьшего значения; наибольшего значения функция не имеет.
Для построения этих графиков нет необходимости составлять заново таблицу значений.
Например, имея график функции y  x 2 , для нахождения графика функции достаточно уменьшить масштаб на оси Оу в два раза.
Необходимо установить общность и различие свойств функции y  ax 2 при a  0 и a  0 .
Следует обратить внимание учеников на то, что при a  0 функция y  ax 2 принимает
наибольшее значение при x  0 и не имеет наименьшего значения, что при a  0 ветви параболы направлены вниз. Полезны упражнения следующего рода: построить график функции
y  ax 2 , если дан график функции y  ax 2 .
Изучение функции y  ax 2  c и построение ее графика не вызовет затруднений, если
сравнить ее с функцией y  ax 2 . При a  0 функция имеет минимум при x  0 ; при a  0
функция имеет максимум при x  0 . Различие будет в том, что вершина параболы смешается
вдоль оси Оу в зависимости от знака с. Полезно предложить учащимся начертить таблицу для
различных случаев расположения графиков.
Особенно существенным является вопрос о корнях уравнения ax 2  c  0 , то есть тех значениях аргумента, при которых функция принимает значение, равное нулю.
После изучения функции вида y  ax 2  c переходят к изучению функции, представляющей полный квадратный двучлен, т.е. функции вида y  a  x  m  . Этот промежуточный этап
облегчает понимание сдвига параболы вправо или влево вдоль оси Ох. Следует проделать с
2
учащимися несколько примеров вида: y  2 x 2  12 x  18 или y  2x  3 .
Ученики должны ясно представлять себе, что парабола обращена ветвями вверх
( a  2  0 ), вершина параболы сдвигается вдоль оси Ох на расстояние, равное 3 единицам, в
точке M 3; 0 парабола касается оси Ох и при x  3 функция достигает минимума. Аналогично
исследуется и функция y  3x 2  12 x  12 .
Далее в 9 классе переходят к рассмотрению квадратичной функции общего вида:
2
54
y  ax 2  bx  c . Усиливается роль аналитического метода исследования функций. Однако этот
метод не вытесняет графический, а сочетается с ним. Исследование квадратичной функции полезно увязать с дискриминантом соответствующего квадратного уравнения. В результате исследования ученики могут составить соответствующую таблицу. Преобразования графиков –
фильмы.
Расположение графика квадратичной функции на координатной плоскости зависит от коэффициентов a, b, c . Справедливы следующие утверждения:
1. От числа a зависит, в какую сторону направлены ветви параболы: если a  0 , то ветви
параболы направлены вверх, если a  0 , то они направлены вниз.
2. От числа с зависит, в какой точке график пересекает ось ординат: если с  0 , то парабола пересекает ось ординат выше оси Ох; если c  0 , то точка пересечения лежит ниже оси
Ох; если c  0 , то парабола проходит через начало координат.
3. От чисел a и b зависит, как расположен график функции относительно оси Оу: если
a  b  0 , то вершина параболы смещена влево, если a  b  0 , то вправо.
4. От чисел a, b и c зависит, пересекает ли график квадратичной функции ось абсцисс
или нет. Если b 2  4ac  0 , то парабола ось Ох не пересекает; если b 2  4ac  0 , то парабола
касается оси Ох; если b 2  4ac  0 , то парабола пересекает ось Ох в двух точках.
Тема 4. Специфика восприятия и усвоения алгебраического и геометрического материала
в средней школе.
План.
1. Особенности развития подростков и специфика обучения алгебре, связанная с ними.
2. Специфика обучения алгебре как предмету.
3. Объективные особенности геометрических представлений.
4. Восприятие и усвоение геометрического пространства.
1. Особенности развития подростков и специфика обучения алгебре, связанная с ними.
Чтобы выявить особенности преподавания алгебры в основной школе, надо знать особенности общего и умственного развития учеников 7 класса. К изучению алгебры школьники приступают в возрасте 12-13 лет. Это переходный возраст от детства к раннему юношескому возрасту. По сравнению с младшими школьниками подростки отличаются быстрым ростом физических, умственных и волевых качеств. В переходный период головной мозг человека обогащается многими ассоциативными функциями, значительно повышается роль второй сигнальной
системы. Постепенно происходит изменение мышления: в конкретно-наглядном содержании
его, свойственном ребенку раннего школьного возраста, под влиянием обучения создаются
предпосылки для образования понятий. Подросток начинает пользоваться рассуждениями для
выяснения причинно-следственных зависимостей; появляется стремление пояснить, обосновать, доказать. К концу переходного периода роль абстрактного мышления значительно возрастает, а сам процесс мышления улучшается.
Растут познавательные интересы. Ребенок в этом возрасте исследователь. Его основной
вопрос: «А что, если…?» Подросток проявляет живой интерес к научно-популярной и популярно-технической литературе. Ему надо знать не только то, как устроена машина, но и как сделать
ее модель. подросток стремиться к деятельности: он строитель, конструктор. экспериментатор.
Получив большую самостоятельность в семье, подросток имеет предпосылки для большей самостоятельности и в учении, в связях с окружающей средой, с обществом. У подростков формируются представления о личности; подросток чувствительно реагирует на оценку его личности со стороны коллектива.
Учитывая особенности умственного развития учащихся, особенно 7 классов, следует принять во внимание, что в обучении алгебре значительную роль должен играть конкретноиндуктивный метод. Применяя его, педагог опирается на рассмотрение примеров (часто
арифметических), частных случаев, задач с конкретным содержанием и ведет учащихся через
обобщения к новым понятиям, правилам, алгоритмам. Преподавание алгебры по сравнению с
55
геометрией беднее наглядностью. Это объясняется сущностью тех понятий и отношений между
ними, тех алгоритмов, с которыми приходится иметь дело в курсе алгебры. Уже на первых уроках появляется некое отвлеченное число a . Это не какое-то вполне определенное число, полученное в результате счета или измерения. Число a – любое число из некоторого множества чисел. Обозначение его буквой требует более высокой ступени абстракции, чем первые геометрические понятия: оно опирается на ранее сформированное понятие числа, тогда как первые геометрические понятия формируются на базе вещей и их отношений.
В курсе алгебры иной характер носит материал, привлекающийся для конкретизации вводимых понятий. Если в преподавании геометрии таким материалом служат предметы, модели,
чертежи, то в курсе алгебры приходится опираться на примеры, сравнения с арифметическими
понятиями и правилами, использовать неполную индукцию. Таким образом, преподавание алгебры в значительной мере лишено непосредственной связи с материальным миром, оно опирается на опосредованные связи – через арифметические понятия и правила.
Педагогу при обучении алгебре следует дорожить наглядностью, ибо ее применение ограничено содержанием курса. Необходимо использовать все возможности применения наглядного материала для показа изменения и зависимости величин, используя числовую ось, графики
функций, геометрические иллюстрации при решении задач.
При ознакомлении с теоремами педагог не редко использует такой прием: рассматривает
частные случаи, каждый из которых доказывает, а затем обобщает накопленный материал.
Например, при изложении теоремы о возведении степени в степень ученики рассматривают и
     
2
3
4
обосновывают случаи: a 3 , c 4 , n 2 , а затем, опираясь на неполную индукцию, формули-
 
n
руют теорему: a m  a mn . При рассмотрении частных случаев используется дедукция – общее
рассуждение.
Для повышения теоретического уровня обучения желательно, чтобы доказательства на
примерах с последующими индуктивными обобщениями перерастали в общие доказательства.
Например, рассмотрение возведения степени в степень завершается изложением теоремы
a 
m n
 a mn , где m и n – натуральные числа в общем виде.
Примеры умножения степеней с одинаковыми основаниями заканчиваются доказательством теоремы a m a n  a m n , где m и n – натуральные числа. В курсе алгебры неполной средней школы дедукция в доказательствах и выводах применяется весьма неравномерно. Например, при изучении тождественных преобразований многочленов. В 7 классе она используется
многократно, а при изучении уравнений, алгебраических дробей, координат и графиков функций в 8 классе ее роль незначительна. Чтобы не порывать с применением дедукции и в некоторой мере сгладить в этом отношении особенности тем программы, целесообразно использовать
задачи на доказательство. Например, при изучении уравнений в 7 классе можно использовать
задачи на доказательство тождеств. Это полезное повторение темы о многочленах и хорошая
подготовка к изучению разложения на множители.
При изучении алгебраических дробей естественны задачи на доказательства законов сложения, умножения и других тождеств. Целесообразно вести обучение так, чтобы ученики постепенно осознали, используется ли в данном конкретном случае индуктивное заключение или
же применяется дедукция (вывод, доказательство). Опыт показывает, что при правильном обучении этого можно достигнуть в начале 8 класса.
2. Специфика обучения алгебре как предмету.
Содержание школьного курса алгебры и специфика его усвоения во многом определяются
особенностями предметного характера и проистекающими из них проблемами. Следует учитывать, что способность к абстрагированию еще не достаточно развита у учащихся данного возраста. Поэтому при усвоении абстрактных понятий целесообразно сводить их к более низкому
уровню абстракции, например алгебраического материала к арифметическому.
В математике существует традиция изображать одинаковыми способами выражения, символы, имеющие разный смысл. Недаром говорят, что в математике часто одинаково называют
56
1
внешне
2
схожи, но первая отражает произведение компонент, а вторая – их сумму. Этот пример показывает, что требуется специальная работа по усвоению терминологии и символики, в ходе которой нужно обращать внимание на аналогичность формы при различии содержания.
Алгебра – наиболее алгоритмизированный раздел математики. Поэтому имеется проблема
совместимости алгоритмизации материала в алгебре с необходимостью мыслить нестандартно.
Применение некоторых алгоритмов доведено до навыка и, значит, мешает развитию осознанности, блокирует критическое мышление.
В какой-то мере проблему можно решить, если избегать однотипности формулировок.
Кроме того, после введения алгоритма обязательно предлагать задачи, для решения которых
можно, но нерационально использовать алгоритм (т.е. показать ограниченность действия, «слабость» алгоритма). Невнимание к данной проблеме приводит к грубым ошибкам учащихся, таким как: 3  5  8 .
Математические формулы имеют две равнозначные части. Национально-типологической
особенностью российских школьников является просмотр информации слева направо. Учащие-
разные вещи и, наоборот, одну вещь обозначают по-разному. Так записи 5 3 и 5
ся гораздо чаще используют теоремы-тождества, например
a 2  a , слева направо, чем справа
налево.
Необходимо, заострять внимание учащихся на обратном прочтении формул, теорем.
Нужно менять направление записей, использовать встречающиеся возможности показа целесообразности чтения записи в обратном направлении, например при решении уравнений. Так, при
переносе неизвестных в правую часть уравнения 5  х  х  2 не нужно деления на отрицательное число при его решении.
Изложение и характер материала курса алгебры имеют преимущественно аналитический
характер, что во многом определяет трудности для его восприятия и усвоения тем учащимся,
которые мыслят образами. Поэтому необходимо пытаться организовывать целостное восприятие материала.
Часто школьники сталкиваются с определенными трудностями изложения материала в
учебниках:
1. дедуктивность изложения в материалах учебников не всегда согласуется с возрастом
учащихся;
2. неосознанность целей изучения вызывает отсутствие мотивации;
3. малое количество жизненных ситуаций, вызывающих личную заинтересованность учащихся.
Обучение математике означает и обучение математическому языку. Недостаток традиционной методики в том, что в ней не подчеркивается различие между языковым выражением, с
помощью которого обозначается объект (именем), и самим объектом, например между выражением x 2  3 x  2 и функцией, определяемой этим выражением. Большие трудности вызывает
символическое использование обозначений переменных величин. Оперируя переменными,
надо иметь в виду области значений этих переменных. Если переменная – элемент математического языка, а ее область значений – какая-то предметная область, свойства которой выражаются на этом языке, то связь между переменной и ее областью значений есть связь между языком
и тем, что она выражает. Не учитывать эту связь – означает оторвать язык от описываемой его
средствами действительности, форму от содержания, что приводит к формальным знаниям.
Нередко у учащихся возникают трудности, связанные с особенностями подачи материала.
Если посмотреть в школьных учебниках формулировки задач к теме «Тождественные преобразования», то можно обнаружить, что чаще всего встречаются следующие: «Упростить…»,
«Доказать…», «Найти произведение…», «Выполнить действия….», «Решить уравнение…»,
«Разложить на множители…». Формулировки достаточно сухие. Не хватает различных видов
формулировок задач, самих форм работы, элемента занимательности, элементарной «изюмин-
57
ки», которая смогла бы заинтересовать учащихся в овладении математическими знаниями.
Независимо от того, как организовано обучение, отработка полученных знаний занимает,
как минимум, 50% учебного времени. Чтобы этот процесс не был нудным, а стал эффективным
и интересным, следует использовать игровые формы проведения закрепляющих уроков. Поэтому игра – не враг, а помощник, но и эту помощь нужно использовать умеренно, целенаправленно, продуманно.
Если обратить внимание на задачи, предложенные в каждом параграфе школьных учебников, то можно обнаружить, что среди задач для закрепления темы встречается большое количество однотипных. С одной стороны, однотипность при обучении математике необходима, с
другой – она приводит к снижению интереса, внимания, к ошибкам, ослабляет активность мыслительной деятельности. Нужно сохранить однотипность системы упражнений и вместе с тем
нейтрализовать ее отрицательные последствия. Игровая деятельность позволит сохранить внимание и интерес, «скрыть» однотипность и будет способствовать хорошему усвоению. С помощью различного оформления заданий и разнообразных их формулировок можно «смягчить»
однотипность. Применение упражнений разных типов помогает избежать отрицательных влияний однотипности.
Исследования показывают, что лучший результат усвоения достигнут учащимися в ситуации, когда число выполняемых ими однотипных упражнений равно трем.
3. Объективные особенности геометрических представлений.
Окружающий ребенка мир наполнен образами геометрических фигур и отношений. Изначально геометрия формировалась как наука о непосредственно наблюдаемом пространстве, поэтому первой научной концепцией геометрии была евклидова геометрия, окружающая мир, доступный непосредственному опыту в ограниченном пространстве. И при этом геометрия из математических дисциплин вызывает наибольшие трудности у школьников. Обычно причины такого положения связывают с содержанием курса геометрии средней школы, методикой его обучения. Но трудности усвоения закладываются еще в начальной школе, имеют предметный и
психологический характер, связанный со спецификой геометрического материала.
Требуется осознание и учителями, и учащимися особенностей геометрического пространства, изучаемого в школе (одной из моделей евклидовой геометрии). Непонимание отличия
геометрического пространства от реального является основной причиной трудностей изучения.
Каковы эти особенности?
Геометрические фигуры являются идеальными объектами. Среди реальных предметов подобных предметов нет. Но усвоение геометрического материала предполагает связь его с реальными объектами. Ведь понимание обеспечивается связью научных знаний с имеющимся у ребенка личностным опытом. Изучение геометрических объектов предполагает предъявление реальных предметов в качестве материальных моделей этих объектов. В процессе обучения модели часто предъявляются произвольно. На их основе ребенок создает образы и представления, на
которые опирается, работая с понятием. В результате неудачного выбора учащиеся относят к
существенным свойствам фигуры те, которыми обладает предмет, но не сама геометрическая
фигура. Например, пятиклассники часто путают квадрат и куб. Это, прежде всего, вызвано с
тем, что по традиционной программе учащиеся в начальной школе работают в плоскости, что
уже опасно (отсутствует возможность сравнения плоских и объемных фигур). Предъявляемые
им в качестве квадрата рисунки, дощечки, картонки определенной формы имеют толщину, и у
ребенка не формируется представление о таком существенном свойстве квадрата. как быть
плоской фигурой.
Одними из первых геометрических фигур, с которыми знакомятся учащиеся в школе, являются отрезок и точка. Их изучение требует развитого умения абстрагировать, что в начале
знакомства с геометрическим материалом ведет к трудностям в усвоении. Детям не скажешь,
что точка в геометрии – неопределяемое понятие, им необходимо объяснить, показать, чем
геометрическая точка отличается от уже знакомых им точек в рисовании, в русском языке,
предъявить модель точки. В некоторых учебниках математики для начальной школы и для 5-6
58
классов точка описывается как острие карандаша. И учителя, и ученики ориентируются в этом
случае на точку как на что-то маленькое. Но рассматривая такую точку под микроскопом или с
позиции сидящего на ней «микроба», вряд ли можно не заметить ее размеров. И как следствие
можно наблюдать ситуации, когда ученик утверждает, что его точка меньше, так как у него карандаш отточен острее, хотя понятие «больше», «меньше» неприемлемо к объекту, не имеющему размеров. Или при выполнении практического задания, подводящего к выводу о том, что через две точки можно провести только одну прямую, учащиеся получают в качестве ответа несколько прямых. Такой подход не обеспечивает понимание учащимися специфики геометрических объектов, не отражает связи реального и геометрического пространств.
Выбор материальной модели геометрического объекта зависит от контекста ситуации, в
которой эта модель предъявляется. Этот контекст выделяет в предмете существенные свойства
изучаемого геометрического объекта.
На основе выбранных моделей учащиеся создают образы фигур, которые в дальнейшем
включаются в процесс оперирования. Но оперирование геометрическими объектами отличается
от оперирования в реальном пространстве. Если, например, попробовать осознать («прорефлексировать») образ треугольной пирамиды, который возникает у человека в голове при задании
«представить треугольную пирамиду», то его нельзя материализовать как плоское изображение.
Он, скорее, «увидит» пирамиду как бы одновременно со всех сторон, т.е. выйдет в пространство
с постоянно меняющейся точкой отсчета.
Постоянное изображение горизонтально расположенных линий и поверхностей приводит
к формированию представлений учащихся о положении фигуры как ее существенном свойстве.
Младшие школьники часто прямыми называют только горизонтально или вертикально расположенные прямые линии. Ученики старших классов часто не могут на доске показать решенную дома стереометрическую задачу, потому что учитель заранее нарисовал чертеж к этой задаче, но в другом положении, чем у ученика. А какие мучения вызывает проведение перпендикуляра к прямой. Кажется, учащиеся поняли, какие прямые перпендикулярны, но как только
взяли в руки угольник, так перпендикуляр к наклонной прямой оказался расположенным горизонтально или вертикально. Это результат стандартных изображений в учебниках, собственной
практической деятельности и жизненного опыта, где превалирует горизонтальность и вертикальность. Поэтому желательно на уроках геометрии избегать изображения линии горизонтально и вертикально. Кроме того, вряд ли правомерно говорить о вертикальных и горизонтальных линиях, проведенных в тетради, лежащей на горизонтальной поверхности стола. Рассматривая горизонтальность и вертикальность поверхностей предметов, надо иметь в виду, что
их расположение зависит от положения, в котором находится предмет. А при использовании
этих понятий необходимо договориться с учащимися, что, работая в тетради, надо считать ее
расположенной, как классная доска.
4. Восприятие и усвоение геометрического пространства.
Выделяют три основных аспекта, с которыми связаны особенности восприятия и усвоения
геометрического пространства (ГП):
1. Внимание в процессе обучения к естественному развитию ребенка. Мир школьной геометрии менее абстрактен, чем алгебры. Но он требует постоянного обращения к образам, особенно в начале знакомства с ним. Образная деятельность является достаточно сложной, трудно
поддается традиционному обучению в силу таких качеств образов, как субъективность, многозначность, целостность восприятия; ее труднее формализовать, чем аналитическую деятельность. В школьном курсе математики с его направленностью на «аналитику» отсутствуют методики, описывающие организацию условий, способствующих развитию умений создавать и оперировать образами. Этот процесс требует правополушарных стратегий, которые непосредственно связаны с возрастом ребенка.
Гуманнее и эффективней учить ребенка те тогда, когда считает нужным взрослый, а в то
время, которое определено природой. Необходимо учитывать в процессе обучения периоды,
наиболее чувствительные к развитию определенных психических функций.
59
В возрасте 6-12 лет является приоритетной деятельность образных компонентов мышления, их активизация лежит в основе творческой деятельности. В основе создания и оперирования образами лежит деятельность руками, дающая кинестетические ощущения. Образ создает
ребенок сам, и проверить его целесообразно при конструировании требуемых моделей (словами
он может не суметь описать его). Поэтому при изучении геометрии ребенок этого возраста
должен постоянно включаться в практическую деятельность (с целью обеспечить понимание).
Приоритет наглядно-действенного мышления.
Создание условий для организации деятельности младших школьников, направленной на
создание и оперирование образами, в которых выделены форма, расположение в пространстве,
взаимное положение элементов (пространственные образы), подготовит учащихся к работе в
геометрическом пространстве. За эту деятельность отвечает пространственное мышление
(ПМ). Поэтому развивающей целью обучения геометрии этого возраста является развитие ПМ
как разновидности образного (в развитых формах ПМ выступает как интеграция понятийного и
образного видов мышления).
2. Опыт ребенка, возможности его психологической организации играют важную роль в
процессе обучения геометрии. Сам процесс требует образной деятельности, но образ – субъективное образование, входящее в личностный опыт ребенка. Это опыт начинает формироваться
в первые дни жизни ребенка при его взаимодействии с пространством. В школу ребенок приходит с уже определенным видением пространственных отношений, геометрических форм, с умением ориентироваться в пространстве. Противоречие между сложившимся опытом ребенка и
приобретаемым общественно-историческим в области геометрии является движущейся силой
развития. Любую информацию, прогнозирование и оценивание своих действий человек переводит на «свой язык» на основе своего опыта.
Поэтому вербального описания геометрических понятий и их изображений при введении
понятия недостаточно, если нет уверенности в адекватном переводе их учениками на собственный язык.
Опыт ученика не учитывается и в последовательности знакомства с геометрическими фигурами. Ребенок действует в трехмерном пространстве и плоскостные представления человека
появляются как производные от объемных. Поэтому в геометрическом содержании целесообразнее двигаться не от точки к объемной фигуре, не от развертки к геометрическому телу, а
наоборот, использовать идею фузионизма. Учащиеся, знакомясь уже на первых уроках с фигурами, обладающими достаточно высокой степенью абстракции, затрудняются связать этот материал со своим опытом, т.к. в жизни они преимущественно осознают опыт деятельности с
предметами (моделями объемных фигур), а не с их элементами, в частности, поверхностями
(моделями плоских фигур). И в 5-6 классах, и в старших учащиеся часто не относят точку и отрезок к геометрических фигурам.
3. Особенности процесса восприятия. Первичные образы формируются в процессе восприятия. Организуя его, следует учитывать, что при зрительном восприятии трехмерного объекта информация поступает не от всех частей модели. Невидимые элементы достраиваются в
представлении на основе имеющегося у наблюдателя опыта, а значит, их достоверность гипотетична, поэтому возникает необходимость рассмотрения предмета с разных сторон. Для создания адекватного представления о форме предмета следует включать в процесс познания кинестетические ощущения, т.к. зрительное восприятие формы вторично по отношению к осязательному, в частности обвести рукой границу предмета, причем ведущей рукой, держа его в
другой. Организуя измерительную деятельность, необходимо учитывать, что ведущая рука у
человека представляет собой своего рода систему координат, где каждый палец выполняет свою
функцию. И прежде чем давать в руки ребенку линейку, необходимо через руки сформировать
представления о длине предмета, ее измерении. Более того, работа с линейкой сужает представление детей о линиях: линии сводятся в основном к прямым. Уменьшение доли практической
деятельности, работы руками в начальной школе ведет к снижению уровня ПМ.
Лекция 3. Особенности изучения геометрического материала в 1-6 классах
60
План.
1. Основные задачи обучения геометрическому материалу в школе.
2. Цели обучения геометрическому материалу в 1-6 классах.
3. Методические особенности организации обучения геометрическому материалу в 1-6
классах.
1. Основные задачи обучения геометрическому материалу в школе
При построении процесса обучения, направленного на развитие ребенка, основной задачей
обучения геометрическому материалу в 1-6 классах является создание системы геометрических
образов, в отличие от задачи создания системы геометрических понятий в основной и старшей
школе.
Целесообразность постановки такой задачи в 1-6 классах определяется периодами развития образных компонентов мышления (период от 7 до 11-12 лет ) и прогрессивного развития
зрительных функций (имеет место до 15 лет).
2. Цели обучения геометрическому материалу в 1-6 классах
1. Развитие пространственного мышления как разновидности образного.
2. Познание окружающего ребенка мира с геометрических позиций как базы создания учащимися геометрической картины мира. Развитие умения использовать сформированные представления при ориентации в окружающем ребенка мире.
3. Развитие рефлексивных способностей учащихся. Эта цель связана как с осознанием
окружающего мира, процессов его познания, так и осознанием себя.
4. Подготовка к сознательному усвоению курса геометрии в 7-11 классах и к изучению
смежных дисциплин.
5. Формирование представлений о геометрических фигурах и отношениях. Эти представления образуют объемы понятий фигур, изучаемых в основной и старшей школе, и отношений
(принадлежности, пересечения, перпендикулярности, параллельности), являются базой понятий, т.е. фактически готовят введение собственно понятий.
6. Развитие конструктивных умений в выполнении построений циркулем, линейкой, угольником, транспортиром.
7. Формирование навыков измерений геометрических величин.
8. Формирование умений конструировать определения и описания геометрических объектов. Ознакомление с простейшими дедуктивными обоснованиями (в 6 классе доказывается, что
если при пересечении двух прямых один из образованных углов прямой, то и все остальные углы прямые).
9. Развитие вербально-логического мышления. Формирование умений выделять существенные свойства фигур, четко формулировать выводы на основе наблюдений.
3. Схема формирования пространственных представлений (предпонятий) о геометрическом
объекте
1. Выявление и актуализация субъектного опыта ребенка, связанного с изучаемым геометрическим объектом.
2. Мотивация его изучения.
3. Формирование единичных пространственных образов в практической деятельности на конкретных моделях или с привлечением знакомых учащимся образов (входящих в их субъектный
опыт), адекватных понятию соответствующего геометрического объекта.
4. Формирование обобщенных пространственных образов геометрических объектов при
нахождении моделей изучаемых геометрических объектов на основе их восприятия, образов
памяти. Выбор учеником собственной оптимальной модели, адекватной понятию соответствующего геометрического объекта.
5. Первичное уточнение объема понятия соответствующего геометрического объекта при выполнении заданий, включающих рассмотрение «неожиданных» или непривычных ситуаций.
6. Проверка сформированности представлений о геометрическом объекте.
7. Выделение учащимися свойств, существенных для понятия изучаемого геометрического
61
объекта, на основе сформированных у них представлений.
8. установление связи между геометрическими объектами и его частными случаями с использованием кругов Эйлера.
При изучении конкретного геометрического объекта некоторые шаги схемы могут быть объединены, растянуты во времени, осуществляться на последующих уроках при вторичном закреплении.
Методика изучения признаков равенства прямоугольных треугольников
Методическая схема параллельного изучения признаков равенства прямоугольных треугольников (одновременного рассмотрения формулировок этих признаков и их доказательств):
1) сообщить признаки равенства прямоугольных треугольников с помощью единой структурированной их записи;
2) привести единое доказательство первых двух признаков;
3) закрепить это доказательство путем повторения его применительно к первому признаку;
4) повторить предыдущий пункт схемы применительно ко второму признаку;
5) воспроизвести доказательство третьего признака;
6) применить признаки равенства прямоугольных треугольников при решении задач.
Одновременное сообщение трех признаков равенства прямоугольных треугольников может быть проведено на основе следующей записи:
«Если
гипотенуза и острый угол
катет и противолежащий ему угол гипотенуза и катет
одного прямоугольного треугольника соответственно равны
гипотенузе и острому углу катету и противолежащему ему углу гипотенузе и катету
другого треугольника,
то такие треугольники равны».
На уроке необходимо привести рисунки и краткую запись теоремы.
Лекция. Методические особенности изучения темы «Подобие треугольников»
План.
1. Роль темы в курсе геометрии 8-9-ых классов.
2. Изложение темы в традиционных учебниках геометрии.
3. Актуальные проблемы преподавания темы по действующим учебникам.
1. Понятие подобия является одним из важнейших в курсе планиметрии. Признаки подобия треугольников широко используются в курсе не только планиметрии, но и стереометрии.
При изучении материала, связанного с подобием, реализуются межпредметные связи с алгеброй
и физикой: (пропорциональность, уравнения, квадратные корни, геометрическая оптика, механика и др.) В курсе геометрии подобию отводится значительное место (по учебнику Л.С. Атанасяна в 8-ом классе – 18 часов, и по учебнику А.В. Погорелова в 9-ом классе – 16 часов). Поэтому важно уделять особое внимание пониманию и прочному усвоению данного материала
всеми учащимися.
2. В действующих учебниках геометрии по-разному осуществлен подход к изложению материала. Рассмотрим более подробно, как представлена эта тема в каждом из них для того, чтобы понять, почему материала только одного учебника при изучении этой темы недостаточно. В
учебниках А.В. Погорелова «Геометрия 7-11» подобие треугольников рассматривается в начале
9 класса в параграфе 11 «Подобие фигур». В первом пункте «Преобразование подобия» дается
определение: «Преобразование фигуры F в фигуру F  называется преобразованием подобия,
если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число
раз. Это значит, что если произвольные точки X , Y фигуры F при этом преобразовании переходят в точки X  , Y  фигуры F  , то X Y   k  XY , причем число k – одно и то же для
всех точек X, Y. Число k называется коэффициентом подобия. При k =1 преобразование подобия, очевидно, является движением». Далее дается определение гомотетии и доказывается, что
гомотетия есть преобразование подобия.
62
В следующем пункте «Свойства преобразования подобия» рассматриваются и доказываются свойства:
- преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в
отрезки;
- преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.
В пункте «Подобие фигур» дается следующее определение «Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия». Доказывается транзитивность преобразования подобия. И далее: «В записи подобия треугольников:
АВС ~ A1 B1C1 – предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т.е. A переходит в A1 , B – в B1 и C – в C1 ».
Из свойств преобразования подобия заключается, что «у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны».
Следующие три пункта данного параграфа посвящены признакам подобия треугольников:
- по двум углам;
- по двум сторонам и углу между ними;
- по трем сторонам.
При доказательстве теорем применен следующий прием: приводится единое доказательство для всех трех признаков подобия треугольников: один треугольник A1B1C1 подвергается
«преобразованию подобия с коэффициентом k , например гомотетии» и получается некоторый
треугольник A2 B2C2 , равный треугольнику ABC , что доказывается с помощью признаков равенства треугольников (в каждом случае свой). И делается вывод: «Так как треугольники
A1B1C1 и A2 B2C2 гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники A2 B2C2 и ABC равны и
поэтому тоже подобны, то треугольники A1B1C1 и ABC подобны». Рисунки к теоремам отличаются друг от друга тем, что для каждого случая в треугольниках отмечены только те элементы, равенство которых в них доказывается. Первые два пункта завершаются задачами на применение соответствующего признака, к которым приведены их решение и рисунки. В конце
третьего пункта доказывается, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.
В пункте «Подобие прямоугольных треугольников» дается следующий признак: «для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому
углу». С помощью этого признака доказываются соотношения: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу; высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее
пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Тут же доказывается следующее свойство биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Далее рассматриваются пункты «Углы вписанные в окружность» и «Пропорциональность
отрезков хорд и секущих окружности».
К данному параграфу предлагается 64 задачи. В задаче №14 после рассматриваемого параграфа требуется доказать следующее свойство высоты: высота прямоугольного треугольника,
опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
В №42 требуется доказать, что соответствующие высоты подобных треугольников относятся
как соответствующие стороны.
В учебниках Л.С. Атанасяна «Геометрия 7-9» подобие рассматривается в теме «Подобные
треугольники». Определение подобных треугольников дается не на основе преобразования подобия, а через равенство углов и пропорциональность сходственных сторон. Признаки подобия
треугольников здесь доказываются на основе теоремы об отношении площадей треугольников,
имеющих по равному углу, доказанную ранее в теме «Площадь».
«Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих тре-
63
угольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы». То есть, если S и
S1 – площади треугольников ABC и A1B1C1 , у которых A  A1 , то
S
AB  AC
.

S1 A1B1  A1C1
Сначала вводится понятие пропорциональных отрезков. Затем говорится, что «в геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются любые два квадрата, любые два круга». Далее вводится понятие сходственных сторон треугольника: «Пусть у двух треугольников ABC и A1 B1C1 углы соответственно равны: A  A1 ,
B  B1 , C  C1 . В этом случае стороны AB и A1B1 , BC и B1C1 , CA и C1 A1 называ-
ются сходственными», которое тут же сопровождается соответствующим рисунком и пояснением к нему.
Опираясь на понятие пропорциональных отрезков, далее дается определение подобных
треугольников: «Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны
и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого». И затем
это определение записано в символьном виде: «Другими словами, два треугольника подобны,
если для них можно ввести обозначения ABC и A1 B1C1 так, что A  A1 , B  B1 ,
C  C1 ,
AB
BC
CA


 k ». Дается определение: «Число k , равное отношению
A1B1 B1C1 C1 A1
сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия». Рисунок,
поясняющий это определение, тот же, что и для понятия сходственных сторон и находится рядом на странице.
В следующем пункте дается теорема об отношении площадей подобных треугольников. В
задаче №535 доказывается утверждение, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Задачи
№№536-540 – на применение этого свойства. В №543 требуется доказать, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведенных к этим сторонам. В №547 необходимо доказать, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Признаки подобия треугольников рассматриваются каждый в отдельности, доказываются
три теоремы, которые сопровождаются соответствующими рисунками, расположенными тут
же, параллельно тексту доказательства. Далее идет серия задач на применение этих признаков.
В параграфе «Применение подобия к доказательству терем и решению задач» дается
определение средней линии треугольника, доказывается теорема о средней линии треугольника
и, используя эту теорему, доказывается, что медианы треугольника пересекаются в одной точке,
которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Рисунок к этой задаче отражает все ключевые моменты доказательства.
В пункте «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике» доказывается, что
высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
Вводится понятие среднего пропорционального и доказываются два утверждения:
1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть
среднее пропорциональное для отрезков, а которые делится гипотенуза этой высотой.
2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и
отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого
угла.
Затем в пункте «Практические приложения подобия треугольников» показано, как при
решении задач на построение применяется метод подобия. Далее показано как свойства подобных треугольников могут быть использованы для проведения различных измерительных работ
на местности: рассмотрены две задачи – определение высоты предмета и расстояния до недоступной точки. Всем задачам сопутствуют соответствующие рисунки, на которых выделены
64
цветом необходимые данные.
Заканчивается изложение материала пунктом «О подобии произвольных фигур».
3. Из нашего обзора видно, что использование только одного из этих учебников при изучении данной темы недостаточно.
В первом из этих учебников важные утверждения, необходимые для решения многих задач в курсе геометрии, и не только в этом разделе, располагаются среди других упражнений,
направленных на выработку конкретных навыков, и никак не выделяются. Среди задач практически нет устных упражнений, простых примеров. К очень малому количеству задач даются готовые чертежи. Предполагается, что учитель сам на доске изобразит множество рисунков, необходимых для объяснения и закрепления материала или будет использовать дополнительную
литературу и раздаточный материал на уроке. Но в таком случае как быть тем детям, которые не
присутствовали по разным причинам на уроках? А сейчас таких детей крайне много. Учащиеся
пропускают уроки не только по причине болезни, хотя у нас на севере практически нет здоровых детей, но и потому что они участвуют в различных соревнованиях, предметных олимпиадах, конференциях, конкурсах, они ездят в другие регионы и иногда пропускают довольно много школьных занятий. Это особенно актуально для инновационных учебных заведений – лицеев
и гимназий.
Молодому учителю, только что пришедшему в школу, будет весьма сложно работать по
учебнику Погорелова. И если на его пути не встретится опытный учитель-наставник или методическое объединение учителей, которые обеспечили бы его необходимыми методическими
пособиями и дидактическими материалами, поделились бы своим опытом работы и своими
многолетними наработками, то начинающему педагогу придется крайне трудно в первые годы
работы в школе.
При работе со вторым учебником у начинающего учителя также могут возникнуть определенные трудности. Также как и в первом учебнике, некоторые довольно серьезные теоремы и
утверждения здесь даны для самостоятельного доказательства в задачах. Только что пришедшему в школу специалисту будет сложно не пропустить при решении упражнений из учебника
основные, требующие особого внимания и необходимые для решения других задач и доказательств последующих теорем, ключевые задачи. В итоге учащиеся относятся к этим задачам несерьезно, учат только то, что дано в тексте параграфа, а про эти задания забывают, считают, что
раз они в задачах, то их учить и знать не обязательно.
Также в этом учебнике практически нет задач на отработку навыков распознавания подобных треугольников, признаков подобия, нахождения коэффициента подобия и т.д. Каждая
последующая задача коренным образом отличается от предыдущей, нет аналогичных задач,
направленных на выработку определенных навыков. Все задачи подразумевают использование
умения применять полученные только что знания каждый раз в новой ситуации.
Таким образом, эти учебники рассчитаны только на сильных учеников. Все вышесказанное способствует тому, что при изучении темы «Подобие» целесообразно применять одновременно с действующим учебником и другие дидактические материалы, поддерживающие не
только практическую часть курса, но и теоретическую.
РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач (практических ситуаций) по темам лекций (одна из составляющих частей итоговой государственной аттестации).
Методы решения уравнений
2 x  5  0 2 x  5  x  2,5
2 x  5  5 x  6  5 ОДЗ: 
, 
, 
, x  1,2 .
 x  1,2
5 x  6  0 5 x  6
2 x  5  5  5x  6
5  5x  6  0 ,
 5x  6  5 ,
5x  6  5 ,
5x  6  25 , 5x  25  6 , 5x  31 , x  6,2
1. Решить уравнение:
2 x  5  25  10 5 x  6  5 x  6
10 5 x  6  14  3x
65
100 5 x  6  196  84 x  9 x 2
500 x  600  196  84 x  9 x 2
9 x 2  416 x  796  0
D
 43264  9  796  36100  190 2
4
208  190
208  190 398
2
x1 
 2 , x2 

 44
9
9
9
9
Произошло расширение области определения уравнения, так как исчезли корни, то не стало ограничений. Проверка обязательна.
Если x  2 , то 2  2  5  5  2  6  5 – верное равенство.
2
398
398
Если x  44 , то 2 
 5  5
 6  5 – верное равенство.
9
9
9
Левая часть больше правой части равенства, следовательно, это посторонний корень.
Ответ: 2.
2. Решить уравнение 2 x  1  x  3  2 x  1 .
Решение: 2 x  1  x  3  1  0 ,
 2 x  1  0

  x  3  0

  x  3  1
 x  3  0

1
 x  2 

 x  3

 x  3  1
 x  3
Ответ: – 4.
 x  3  3 y  2 ,
3. Решить систему уравнений 
 y  2  3 x  3
x  3  3 y  2 ,

Решение: 
 y  2  3 3 y  2

x  3  3 y  2 ,

3

 y  2  y  2  729  0



x  3  3 y  2 ,

4

 y  2  729 y  2
 y  2  0,
 y  2  9,
или 

 x  3  0.
 x  3  9.

x  3  3 y  2 ,

4

 y  2  729 y  2  0
 y  2,
 y  7,
или 

 x  3.
 x  12.
Ответ: 3;  2 ; 12; 7 .
cos 2 x  sin 4 x  sin x  cos x
2
Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат cos 2 x  sin 4 x  sin x  cos x  .
Преобразуем: cos 2x  sin 4x  1  sin 2x  0 , cos 2 x  1  sin 4x  sin 2 x  0 ,
1  2 sin 2 x  1  2 cos 3x sin x  0 , sin xcos 3x  sin x  0 ,
sin x  0 или cos 3x  sin x  0
4. Решить уравнение
66

 x1  k , k  

 x    l , l  
 2 4

 
 x 3    m, m  
8 2

При возведении в квадрат исходного уравнения могли получиться лишние корни. Необходима
проверка. Если число x 0 является решением исходного уравнения, то и все числа вида
x0  2t , t   , являются его корнями. Изменим вид корней, сделав замены: k  2t или
k  2t  1 , l  2t или l  2t  1, m  4t , m  4t  1, m  4t  2 , m  4t  3 .
Тогда новый вид корней:


 x 3 .1   8  2  t ,



 x  3   2 t ,
x 2.1  2t ,

x

2

t
,
 3 .2 8
 1.1
4



 x1.2    2t .  x  5   2t .  x  7   2t ,
2.2
 3 .3 8
4


11
 x 3 .4    2  t , t  
8

 3 7 11
 5
Достаточно проверить числа 0,  , ,
,  ,
,
,
.
8 8
8
8
4 4
cos 2 x  sin 4 x  sin x  cos x 2
 5 3 7
Системе 
удовлетворяют числа  , ,
,
и
.
8
4 4 8
sin x  cos x  0

5
3
7


 2t;   2t;   2t;   2t , t    .
Ответ:   2t;
4
4
8
8



tgx  1
 


 tg  x     cos 
5. Решить неравенство sin  cos  
2
1  tgx
4 
5

sin 5 x
 3 
 sin 
 10 


cos  5 x  
2

.
Решение:

tgx  1


 1 , cos   1 ,
 tg  x   ,
2
1  tgx
4

3


  3 

sin
 cos    cos , cos 5 x     sin 5 x .
10
5
2
 2 10 

Вычислим sin

 



Исходное неравенство тогда примет вид 2  tg x    tg x     cos 
4
4 
5


sin 5 x

1


 cos 
5

sin 5 x
.




tg x    tg x    0 ,
4
4




 cos 
5

sin 5 x

1


 cos 
5

sin 5 x
 2 (сумма двух взаимообратных положительных чисел больше или равна
двум, равенство достигается, когда числа равны 1).






tg x    tg x    0 , т.е. tg x    0 ,
4
4
4



67


а  cos


5
sin 5 x
 1 , т.е. sin 5x  0 (учитываем, что cos

 1 ).
5

 

3

 k  , k   
 x    k ;

4

 4


n

 x  5 , n  
Система имеет решение только при n  2  5l и n  3  5l
3
 2

 l ;
  l , l    .
Ответ: 
5
 5

Вычисление производных. Графики производных функций.
Вычислить производную функции y  x 3  3x 2 в точке x0  3 .
 

tg x    0
Получаем систему:  
.
4
sin 5 x  0

Решение: y   3x 2  6 x ,
y  3  3 3  6 3  9 .
2
Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y  x 3  3x 2 в точке
x0  3 .
Решение:
k  y  3  3 3  6 3  9 .
2
Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции y  x 3  3x 2 в точке x0  3 .
Решение:
tg   k  y  3  3 3  6 3  9 .
Решение:
y  f  3  f  3x  3  9x  27 .
2
Написать уравнение касательной к графику функции f x   x 3  3x 2 в точке x0  3 .
Дана функция f x   x 3  3x 2 . Вычислить f x и f x .
Решение: f x   3x 2  6 x и f x   6 x  6 .
68
Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой y  x  2 и параболой
y  x 2  4x  2 .
1. Строим прямую y  x  2 .
2. Строим параболу y  x 2  4 x  2 .
3. Находим точки пересечения графиков функций – А и В. Абсциссы этих точек и есть
пределы интегрирования.
4. Вычисляем значение определенного интеграла по формуле.
1) Решить уравнения и записать методический комментарий к ним:
1) соs2 x  1  x 2  0 ;
2) 3 log 24 x  7 log 4 x  2  0 ;
3) 2 x 2 cos x  9  18 cos x  x 2 ;
69
2
4) 2 x 3  8 x 1  0
2
5)  x  1  log 2 x .
2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Ох, кривой y  x 3  8 x 2  x  42 и прямыми
x  2 , x  3 .
РАЗДЕЛ 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после утверждения программы.
Характер изменений
в программе
Номер и дата протокола заседания кафедры, на котором
было принято данное решение
Подпись заведующе- Подпись декана фаго кафедрой, утвер- культета (проректора
ждающего внесенное по учебной работе),
изменение
утверждающего данное изменение
РАЗДЕЛ 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание и степень
преподавателя
Иванчук Н.В., к.п.н.
Учебный год Факультет
2008-2009
ФМФ
Специальность
050201.00 – математика с
доп. спец. физика