Линейное уравнение в частных производных первого порядка.

А.П.Жабко
16 Линейное уравнение в частных производных первого порядка.
Существование и единственность решения начальной задачи.
16.1. Основные определения и вспомогательные сведения
Линейным уравнением в частных производных первого порядка называется
уравнение
¶u
¶u n
= 0,
+ å f s (t , x1 ,K, xn ) ×
(1)
¶x s
¶t s =1
в котором функции f s при ( s = 1,2,K, n) предполагаются определенными, непрерывными
и непрерывно-дифференцируемыми по всем аргументам в R n+1 .
Р е ш е н и е м уравнения (1) называется определенная в R n+1 , непрерывная и
непрерывно-дифференцируемая функция u (t , x1 ,K, x n ) , обращающая равенство (1) в
тождество.
Н а ч а л ь н о й з а д а ч е й (или задачей Коши) называется задача нахождения
решения уравнения (1), удовлетворяющего дополнительному условию
u (t 0 , x1 ,K, x n ) = j ( x1 ,K, xn ),
(2)
где число t 0 Î R и функция j Î C 1 ( R n ) заданы и называются начальными условиями.
Рассмотрим вспомогательную систему обыкновенных дифференциальных
уравнений
dx s
= f s (t , x1 ,K, x n ), s = 1,2, K, n,
(3)
dt
называемую системой характеристик Коши. В силу наложенных на функции f s условий
существует единственное решение начальной задачи системы (3) с начальными
условиями (t 0 , x10 , K, xn 0 ) Î R n +1 . Далее полагаем, что решение указанной задачи задается
равенствами
x s = y s (t ; t 0 , x10 ,K, x n0 ), s = 1,2,K, n,
(4)
или в векторном виде X = Y (t; t 0 , X 0 ).
Функции y s (s = 1,K, n)
являются непрерывно-дифференцируемыми
совокупности аргументов функциями и удовлетворяют условию
y s (t 0 ; t 0 , x10 ,K, x n0 ) = x s 0 , s = 1,2,K, n.
по
16.2. Общее решение уравнения (1)
Пусть u ( t , X ) -- решение уравнения (1), а X (t ) -- решение системы (3).
Функция u (t , X (t )) является непрерывно-дифференцируемой функцией и
du (t , X (t ))
¶u (t , X (t )) n ¶u (t , X )
=[
+å
× f s (t , X ) ]X = X ( t ) .
¶t
¶x s
dt
s =1
Так как u есть решение уравнения (1), то выражение в квадратных скобках обращается в
ноль, поэтому вдоль любого решения системы (3) справедливо тождество
du (t , X (t ))
º 0.
(5)
( 3)
dt
1
Теорема 1. Если {v1 (t , X ),K, v n (t , X )} -дифференцируемых в R
совокупность независимых непрерывно-
n +1
первых интегралов системы (3), то равенство
u (t , X ) = F (v1 (t , X ),K, vn (t , X )) ,
(6)
где F Î C 1 ( R n ) , является общим решением уравнения (1).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Известно, что для системы из n обыкновенных
дифференциальных уравнений существует совокупность из n непрерывных независимых
первых интегралов. При этом любая непрерывная функция, принимающая постоянное
значение вдоль решений системы дифференциальных уравнений, является суперпозицией
некоторой непрерывной функции от выбранных интегралов.
В случае системы (3) существует совокупность независимых непрерывнодифференцируемых первых интегралов. Так как решение уравнения (1) есть непрерывнодифференцируемая функция, удовлетворяющая тождеству (5), то в представлении (6)
функция F также будет непрерывно дифференцируемой.
С другой стороны, легко проверить, что любая функция, определяемая равенством
(6), будет решением уравнения (1), поэтому равенство (6) является общим решением
уравнения (1).
Теорема доказана.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
¶u
¶u
¶u
+ x2 ×
+ x1 ×
= 0.
¶t
¶x1
¶x 2
Р е ш е н и е. Система характеристик Коши
dx1
dx 2
= x 2,
= x1
dt
dt
имеет независимые первые интегралы
v1 = e - t × ( x1 + x2 ), v 2 = e t × ( x1 - x2 ).
Поэтому общее решение есть
u = F (e - t × ( x1 + x2 ); e t × ( x1 - x 2 )),
где F ( z1 , z 2 ) -- произвольная непрерывно-дифференцируемая функция двух переменных.
16.3.
Решение начальной задачи (1),(2)
В этом пункте дополнительно предположим, что все решения системы (3)
определены при t Î (-¥,+¥). Это означает, что функции y s Î C 1 ( R n + 2 ) при s = 1,K, n.
Зафиксируем значение t 0 , и введем функции
v s (t , X ) = y s (t 0 ; t , X ), s = 1,K, n.
(7)
В соответствии с групповым свойством общего решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений в форме Коши имеем равенства
v s (t , Y (t ; t1 , X 1 )) = y s (t 0 ; t , Y (t ; t1 , X 1 ) = y s (t 0 ; t1 , X 1 ).
Следовательно, вдоль любого решения системы (3) функции v s принимают постоянное
значение. Кроме того,
v s (t 0 , X ) = x s ,
(8)
поэтому система {v1 (t , X ),K, v n (t , X )} является совокупностью независимых первых
интегралов системы (3).
2
Теорема 2. Если при s = 1,K, n функции f s Î C 1 ( R n +1 ) и все решения системы (3)
определены при t Î (-¥,+¥) , то решение u (t , X ) уравнения (1) с непрерывнодифференцируемым начальным условием (2) определено при (t , X ) Î R n +1 и единственно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что функция u (t , X ) = j (v1 (t , X ),K, vn (t , X )) будет
искомым решением. Так как v s (t , X ) -- первые интегралы системы (3), то по теореме 1
построенная функция является решением уравнения (1). Кроме того, в соответствии с
равенствами (8) имеем
u (t 0 , X ) = j (v1 (t 0 , X ),K, v n (t 0 , X ) = j ( x1 ,K, x n ) ,
поэтому построенное решение удовлетворяет начальному условию (2).
Чтобы показать единственность решения предположим, что существует другое
решение задачи (1),(2) -- u€(t , X ) , и при этом в некоторой точке
u (t1 , X 1 ) ¹ u€(t1 , X 1 ).
(9)
В соответствии с условием (5) имеем тождества
ìu (t , Y (t ; t1 , X 1 )) º u (t1 , X 1 ),
í
îu€(t , Y (t; t1 , X 1 )) º u€(t1 , X 1 ).
Поэтому справедливы равенства
ìu (t1 , X 1 ) = u (t , Y (t; t1 , X 1 )) t =t0 = j (Y (t 0 ; t1 , X 1 )),
í€
îu (t1 , X 1 ) = u€(t , Y (t; t1 , X 1 )) t =t0 = j (Y (t 0 ; t1 , X 1 )),
которые противоречат неравенству (9).
Теорема доказана.
16.4. Пример
Найти решение уравнения
¶u
¶u
¶u
+ x2 ×
+ x1 ×
=0
¶t
¶x1
¶x2
с начальным условием
u (t 0 , x1 , x2 ) = x12 + e x2 .
Р е ш е н и е. Решение в форме Коши системы для характеристик
dx1
dx 2
= x2 ,
= x1
dt
dt
есть
1 t -t0
1
ì
-t + t 0
) × x10 + × (e t -t0 - e -t +t0 ) × x 20 ,
ï x1 = 2 × (e + e
2
í
1 t -t0
1 t -t 0
-t + t 0
ï x1 = × (e - e
) × x10 + × (e + e -t +t0 ) × x 20 .
î
2
2
Поэтому
ì v1 = x1 × ch(t - t 0 ) - x 2 × sh(t - t 0 ),
í
îv2 = - x1 × sh(t - t 0 ) + x 2 × ch(t - t 0 ).
Следовательно,
u (t , x1 , x 2 ) = [ x1 × ch(t - t 0 ) - x2 × sh(t - t 0 )]2 + exp( - x1 × sh(t - t 0 ) + x 2 × ch(t - t 0 ).
3