Лекционный материал по: Линейной алгебре и Аналитической геометрии

Томский политехнический университет
Лекционный материал по:
Линейной алгебре и Аналитической
геометрии
Томск
2009 г.
2
Содержание:
Вопрос № 1:
Вопрос № 2:
Вопрос № 3:
Вопрос № 4:
Вопрос № 5:
Вопрос № 6:
Вопрос № 7:
Вопрос № 8:
Вопрос № 9:
Вопрос № 10:
Вопрос № 11:
Вопрос № 12:
Вопрос № 13:
Вопрос № 14:
Вопрос № 15:
Вопрос № 16:
Вопрос № 17:
Вопрос № 18:
Вопрос № 19:
Вопрос № 20:
Вопрос № 21:
Вопрос № 22:
Вопрос № 23:
Вопрос № 24:
Вопрос № 25:
Вопрос № 26:
Вопрос № 27:
Вопрос № 28:
Вопрос № 29:
Матрица, вид матриц ......................................................... 3
Определитель п-ного порядка ........................................... 5
Свойства определителей .................................................... 6
Обратная матрица .............................................................. 7
Свойство обратной матрицы ............................................. 8
Системы линейных алгебраических уравнений .............. 9
Линейная зависимость и линейная независимость
строк и столбцов матрицы ............................................... 11
Миноры матриц .................................................................. 12
Вычисление миноров матриц методом окаймляющих
миноров ............................................................................. 13
Вычисление ранга матриц методом элементарных
преобразований ................................................................ 14
Теорема Кронекера-Капели ............................................... 15
Метод Гаусса последовательного исключения
неизвестных ...................................................................... 17
Ортонормированная система линейных
алгебраических уравнений .............................................. 18
Фундаментальная система решений однородной
системы ............................................................................. 19
Собственные векторы и собственные значения
матрицы ............................................................................. 20
Нахождение собственных векторов и собственных
значений матрицы ............................................................ 21
Линейные операции над векторами.................................. 22
Скалярное произведение векторов ................................... 25
Векторное произведение векторов ................................... 26
Смешанное произведение векторов ................................. 27
Прямая на плоскости ......................................................... 29
Плоскость в пространстве ................................................. 30
Прямая в пространстве ...................................................... 32
Три типа взаимного расположения двух прямых в
пространстве ..................................................................... 33
Кривые второго порядка .................................................... 34
Поверхности второго порядка: Эллипсоид, конус и
гиперболоид ...................................................................... 36
Поверхности второго порядка: Параболоиды и
Цилиндроиды.................................................................... 39
Квадратичная форма многих переменных и её
матрица.............................................................................. 40
Знакоопределённые квадратичные формы многих
переменных ....................................................................... 44
—2—
3
Вопрос № 1: Матрица, виды матриц:
1. Матрица.
а) Виды.
б) Операции над матрицами.
1) Свойства.
А – матрица m n называется прямоугольной таблицей чисел, состоящей из
m строк и п столбцов.
Элемент матрицы, стоящий на пересечении i строки и j столбца, принято
a ij , в результате всю матрицу можно записать в такой форме:
Amn
 a11
a
  21
 

am1
a12
a22
am 2
 a1n 
 a 2 n 
 

 amn 
Частные виды матриц:
1. Матрица – строка.
2. Матрица – столбец.
3. Матрица – число.
0  0
4. Нулевая матрица – 0   
 
mn

0  0
5. Квадратная матрица.
1  0
а) Единичная E    1  
m n


0  1
– все элементы нули, кроме элементов главной диагонали
б) Треугольная
1 0 0 
1) Верхняя H  2 4 0
33


3 5 6
1 2 3
2) Нижняя K  0 4 5
33


0 0 6
—3—
4
1  0
в) Диагональная C    2  
m n


0  3
Равными называют матрицы одного порядка, соответствующие элементы
которых равны между собой.
Операции над матрицами:
1. Сложение – суммой двух матриц А и В одного порядка называют
матрицу С того же порядка, каждый элемент которой равен сумме
соответствующих элементов двух первых матриц.
Матрицы разных порядков сложению не подлежат.
2. Умножение матрицы на число: Произведение матрицы и числа – есть
матрица того же порядка, каждый элемент которой умножен на
число.
3. Произведение матриц согласованных2 порядков:
10 9 
210
29
 2 3 4 
    34811  347 12  20 24 44 18 21 48 
A23  B32  

8
7


510
59
 

5  6 1  11  12   11168  1 6127  504811 454212


1
88 87 


13  9
4. Транспонирование – это операция, при которой элементы строк
матрицы А становятся элементами столбцов матрицы В.
Свойства линейных операций над матрицами:
1. А+В=В+А
2. А+(В+С)=(А+В)+С
3. а(А+В)=аА+аВ
4. (а+в)А=аА+вА
5. а(вА)=(ав)А
6. (А+В)Т=АТ+ ВТ
7. А-В=А+(-1)В
8. А-А=0
Следствие:
(аА+вВ)Т=аАТ+вВТ
1
Для вычисления разности необходимо умножить вычитаемое на минус
единицу и сложить получившиеся компоненты.
2
Порядки матриц считаются согласованными, если число столбцов первой
матрицы равно числу строк второй.
—4—
5
Свойства умножения матриц:
1. A  B  B  A
2. АВС=А(ВС)≠(АС)В
3. А(В+С)=АВ+АС
а) С(А+В)=СА+СВ
б) (С+В)А=ВА+СА
4.   AB  AB    AB
5. Ann ; E  AE  A  EA
6. (АВ)Т=ВТАТ
7. (АТ)Т=А
Замечание:
A
B
 ;
A
B
 AB1
Вопрос № 2: Определители n-ного порядка:
1. Определители п-ного порядка.
а) Определение
2. Минор элемента.
3. Алгебраическое дополнение элемента.
4. Способы вычисления определителей.
а) Понижение порядка.
б) Приведение к треугольному виду.
Определитель квадратной матрицы – число, которое вычисляется по
следующему правилу:
1) n  1  A  an  det A  a11
n
2) n  1  det An   a1k   1 M 1k
k 1
k 1
 a11  a1k  a1n 


M 1k  det  

 
a  a
 ann 
nk
 n1

Пример:
1 4 7
4 7
1 7
1 4
2 5 8 2
5
8
 24  9  6  7   51 9  3  7  
6 9
3 9
3 6
3 6 9
 81 6  3  4  236  42  59  21  86  12  12  60  42  6
—5—
6
Правило треугольников:
X
X
X
X
X
X
X
X
X 
X
X
X
X

X

X
X
X
X

X
X
 

X
 X
X
X
X  X
X
Минор:
Минором N ij aij квадратной матрицы п-ного порядка называется
определитель п-1-ого порядка, полученный из определителя матрицы А
вычёркиванием i-той строки и j-того столбца.
Алгебраическое дополнение:
 
Алгебраическим дополнением Aij aij называется минор этого элемента,
взятый с определённым знаком, который определяется по формуле: 1i j
Теорема о понижении порядка определителя:
Теорема утверждает, что любой определитель равен сумме по парных
произведений всех элементов какой либо строки (столбца) на алгебраические
дополнения.
Вопрос № 3: Свойства определителей:
1. При транспонировании матрицы её определитель не меняется.
2. При перестановке двух строк определителя, он меняет свой знак, но
по абсолютной величине не меняется.
3. При умножении определителя на число, достаточно умножить любую
строку на это число.
4. Если определитель содержит нулевую строку, то он равен нулю.
5. Свойство упрощения определителя:
Определитель не изменяется, если к элементам любой его
строки прибавить элементы любой другой его строки,
предварительно умножив их на одно и тоже любое число.
—6—
7
6. Сумма определителей, отличающихся одной строкой, равна
определителю с теми же элементами, у которого вместо различных
строк стоит строка из суммы элементов различных строк.
7. Если определитель имеет две пропорциональные строки, то он равен
нулю.
8. Сумма попарных произведений элементов кокой либо строки и
алгебраических дополнений соответствующих элементов другой
строки равна нулю.
9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен
произведению их определителей.
10. Определитель треугольной матрицы равен произведению своих
диагональных элементов.
Вопрос № 4: Обратная матрица:
1. Обратная матрица.
а) Теорема единственности существования обратной матрицы.
1) Доказательство.
Обратная матрицы служит для решения матричных уравнений и заменяет
операцию деления матриц.
Обратной к квадратной матрице Ап называется матрица Ап-1, которая при
умножении на исходную, как справа, так и слева, даёт единичную матрицу.
Порядок:
A   A , q  n
A  A   E
1
p q
n
1
p q
n
Единственность обратной матрицы:
Если у матрицы А существует обратная матрицы А-1, то она единственна.
Доказательство:
Предположим, что существует:
A11 : A11  A  E A21 : A21  A  E , тогда A11  A  A21  A  E  E 
A
1
1
1
1



 A21 A  0  A11  A11  A21 A  A11
1
2
1
1

E
1
2

 0  A11

0
A  A  0  A  A , что и требовалось доказать.
—7—

8
Вопрос № 5: Свойства обратной матрицы, алгоритм
её вычисления:
1. Свойства обратной матрицы.
а) Алгоритм вычисления.
2. Решение простейших линейных матричных уравнений.
Существование обратной матрицы:
Если для матрицы А существует обратная, то det A1 
1
det A
Доказательство:
A1 A  E  det A1 A  det E  det A1 det  A  1 
1
det A1 
 det 1 A
det A


 
 
Квадратная матрица, определитель которой равен нулю, называется
вырожденной, или особенной.
Вырожденная матрица не имеет обратной.
Вычисление обратной матрицы:
Для любой невырожденной квадратной матрицы существует обратная,
элементы которой вычисляются по формуле:
A ji
bij 
det A
Доказательство:
Проверим справедливость определения квадратной матрицы:
1, i  j  
A1 A  E aij  bij   ij  

0, i  j 
n
N
A jk
k 1
k 1
det A
cij  aij  bij   aik bkj  aik
1)
i j
2) i  j

1 N
 aik Ajk  ij
det A k 1
N
1
1
aik A jk   ij 
det A

det A k 1
det A
1 N
1
aik A jk   ij 
00

det A k 1
det A
—8—
9
Эта теорема даёт возможность получения обратной матрицы при помощи
присоединённой:
Aji
T
1
1
A1 

Aji 
Aij
det A det A
det A
Обратная матрица равна произведению присоединённой на величину,
обратную определителю матрицы А.
Свойства операции обращения:
1.
2.
3.
4.
(АВ)-1=В-1А-1
(аА)-1=а-1А-1
(А-1)-1=А
(АТ)-1=(А-1)Т
Решение простейших линейных матричных уравнений:
An  X n p  Bn p
X ?
1. A1  A  X
n
n p  Bn p
E  X n p  A1 Bn p  X n p  A1 Bn p
X qn  An  Bn
2. A  X  B  A 1
X  E  B  A1  X  B  A1
An  X nm  Bm  Cnm
3. A1  A  X  B  C B 1
E  X  E  A1  C  B 1  X  A1  C  B 1
AX  B  CX  D
4. AX  CX  D  B
 A  C X  D  B  X   A  C 1  D  B 
5. AX  XB  C – Не решаемо.
Вопрос № 6: Системы линейных алгебраических
уравнений:
1. Системы линейных алгебраических уравнений.
а) Основные понятия.
б) Матричная форма записи.
—9—
10
2. Правело Крамара.
Система т линейных алгебраических уравнений с п неизвестными:
a11 x1  a12 x2  a13 x3    a1n xn  b1
a x  a x  a x    a x  b
 21 1 22 2
23 3
2n n
2



am1 x1  am 2 x2  am3 x3    amn xn  bm
На основе такой записи можно составить матрицу коэффициентов:
 a11 a12  a1n 
 x1 


 a21 a22  a2 n  , столбец неизвестных: x     , и столбец
A
 


 
x 


 n
a

a

a
m2
mn 
 m1
 b1 
свободных членов: b     , тогда систему можно записать в виде матричного
 
b 
 m
 a11 x1

уравнения: Ax  b   a21 x1
 

 am1 x

a12 x2  a1n xn   b1 
  
a22 x2  a2 n xn   b2 


    
  
am 2 x2  amn xn   bm 
Решением системы линейных алгебраических уравнений называется
упорядоченная последовательность чисел, подстановка которых вместо
соответствующих неизвестных в систему обращает каждое из её уравнений в
арифметическое тождество.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Решить систему линейных алгебраических уравнений, значит доказать, что
она не совместна, а если она совместна, значит получить либо единственное
решение, либо множество решений.
Правило Крамара:
Если определитель матрицы коэффициентов системы с одинаковым
количеством уравнений и неизвестных не равен нулю, то эта система имеет
единственное решение, которое может быть найдено с помощью определителей
по формуле:
~
~
det A где A
– матрица, получаемая путём замены i ого столбца на столбец
xi 
,
det A
свободных членов.
— 10 —
11
Доказательство:
a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1
 a11

A   

a x  a x    a x  b
an1
n2 2
nn n
n
 n1 1
a12  a1n 
   
an 2  ann 
a12  a1n
 A11  A1n 

1 
    0 A 1 
 
 
det A 

am 2  amn
 An1  Ann 
Ax  b  x  A 1b
a11
det A  
am1
 A11
1 
x
 
det A 
 A1m
b1 a12
1 
bn an 2
T
Ai1  An1  b1 
 A11  b1  An1 
 

1 

    

 
 
det A 

 Aim  Ann  bn 
 A1n  bn  Ann 

a13
a1n
; x  xi 
an3
ann
i

Если количество неизвестных не равно количеству уравнений, или
определитель матрицы коэффициентов равен нулю, то правило Крамара не
применяется.
Вопрос № 7: Линейная зависимость и независимость
строк и столбцов матрицы:
1. Линейная зависимость и независимость строк и столбцов матрицы.
а) Определение.
б) Свойства.
2. Общее условие равенства нулю определителя.
a11  a1n
 a11 
 an1 
 


A 
 ; a1     an    ; A  a1  an 
a 
a 
am1  amn
 m1 
 mn 
bm – линейная комбинация столбцов a1 an того же порядка, если его
можно представить в виде взвешенной суммы.
bm  1a1   2 a2     n an ,  i  R – коэффициент линейных комбинаций, или
весовой коэффициент.
— 11 —
12
 0
Пусть 0    
 
 0
 
Система и п столбцов a1  an  одного и того же порядка называется
линейно зависимой, если существуют такие 1  n  0 , что линейная
комбинация равна 0 , следовательно хотя бы один из этих столбцов является 0 ,
либо может быть выражен в виде линейной комбинации других столбцов.
Система из п столбцов является линейно независимой, если равенство их
линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все весовые
коэффициенты – нули.
Свойства:
1. Дополнения к линейно зависимой системе любых других столбцов
приводит к ассиметричной линейной зависимости.
2. Исключение из линейно-независимой системы любых столбцов даёт
независимую подсистему.
Необходимое и достаточное условие равенства нулю
определителя матрицы:
Для того чтобы определитель матрицы был равен нулю необходимо и
достаточно чтобы хотя бы один из его столбцов или строк был линейной
комбинацией остальных, или чтобы столбцы, или строки были линейно
зависимы.
Вопрос № 8: Миноры матриц:
1. Миноры матриц.
а) Определение.
б) Свойство.
2. Базисный минор.
а) Теорема о базисном миноре матрицы.
3. Ранг матрицы.
а) Теорема о ранге матрицы.
Минором матрицы порядка к называют определитель det  M k ,
составленный из элементов этой матрицы, стоящих на пересечении
— 12 —
13
произвольным образом выбранных к-ых строк и к-ых столбцов этой матрицы.
1 2 3 4 


2 4
5 7
A34   5 6 7 8  M 2I 
, M 2II 
10 12
9 11
 9 10 11 12 


1 3 4
M 1I  6 M 1II  12 M 3I  5 7 8
9 11 12
Базисный минор:
Базисным минором матрицы А называется такой минор порядка r, который
не равен нулю, а все миноры рангом выше равны, или не существуют.
Свойство:
Если в матрице все миноры Мк равны нулю, то все миноры высших
порядков так же будут равны нулю, так как они вычисляются по элементам
строк и столбцов, а значит выражаются через Мк.
Базисный минор – это минор номинального порядка, не равный нулю.
Произвольная матрица, каждый столбец, или строка которой является
линейной комбинацией строк, или столбцов, входящих в базисный минор.
Рангом матрицы называется порядок её базисного минора.
Теорема о ранге.
Ранг матрицы соответствует количеству её линейно независимых строк, или
столбцов.
Вопрос № 9: Вычисление ранга матрицы методом
окаймляющих миноров:
Пусть в матрице найден минор порядка к, отличный от нуля, тогда
достаточно рассмотреть лишь те миноры к+1 порядка, которые содержат
внутри себя, то есть окаймляют минор к-ого порядка.
Если все они равны нулю, то минор к-ого порядка – базисный минор, а ранг
матрицы равен рангу базисного минора, то есть матрица – к-ого порядка, ну а
если существуют миноры, не равные нулю, ранг которых больше к, то
операцию поиска необходимо продолжать. к:=л+1;
— 13 —
14
Пример:
k  1: M1  5  0
1 2 3 1


1 2
A   4 5 6 2 k  2 : M 2 
 3  0
4 5
 7 8 9 3


1 2 3
I
k  3: M 3  4 5 6  0
7 8 9
М2 – базисный минор, ранг матрицы равен двум.
Вопрос № 10: Вычисление ранга матриц методом
элементарных преобразований:
Элементарные преобразования матрицы:
1.
2.
3.
Перестановка строк, или столбцов матрицы.
Умножение строки, или столбцы на число, отличное от нуля.
Сложение строк (столбцов) матрицы.
Теорема об элементарных преобразованиях матрицы:
При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется, поэтом
при помощи элементарных преобразований матрица приводится к
ступенчатому, или блочно треугольному виду, по которому ранг можно
определить визуально.
Пример:
3
1 
1 2 3 1
1 2

 II  4  I  

   0  3  6  2 III  2  II  
A   4 5 6 2 
 7 8 9 3  III  7  I   0  6  12  4 




3
1 
1 2


  0  3  6  2   Rg  A  2
0 0
0
0 

Правило определения ранга матрицы и её базисного минора:
1.
2.
Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её не нулевых строк.
Базисный минор ступенчатой матрицы содержится среди элементов
её не нулевых строк и такого же количества её столбцов, взятых по
одному из каждой ступеньки.
— 14 —
15
Вопрос № 11: Теорема Кронекера-Капели:
1. Теорема Кронекера-Капели.
2. Общий метод решения систем из т алгебраических уравнений с п
неизвестными.
Условие совместности
Рассмотрим произвольную систему из т уравнений с п неизвестными:
a
 11 x1  a12 x2  a13 x3    a1n xn  b1
 a11 a12  a1n 


a x  a x  a x    a x  b
 21 1 22 2
23 3
2n n
2
, тогда A   a21 a22  a2 n  ,

 
   



a


 m1 am 2  amn 
am1 x1  am 2 x2  am3 x3    amn xn  bm
 a11 a12  a1n b1 


 a21 a22  a2 n b2 
AP  

    


a

 m1 am 2  amn bm 
Теорема Кронекера-Капели:
Система совместна, если ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы
коэффициентов.
Доказательство:
Необходимое условие:
Если система совместна, то ранг расширенной матрицы и ранг матрицы
коэффициентов равны.
Ax  b a1 , a2 , an x  b
a1 x1  a2 x2   an xn  b
 x1  1

 b  1a1   2 a2   n an

x  
n
 n
Следовательно, столбец свободных членов линейно зависит от столбцов
матрицы коэффициентов, поэтом столбцы расширенной матрицы содержат
тоже количество независимых столбцов, что и матрица коэффициентов, тогда
добавление линейно зависимого столбца не изменит ранг матрицы.
Следовательно, по теореме о ранге матрицы, ранг матрицы коэффициентов
равен рангу расширенной матрицы.
— 15 —
16
Достаточное условие:
Применим правило Крамара к произвольной системе.
Пусть система Ax  b совместна, тогда ранг расширенной матрицы равен рангу
матрицы коэффициентов, тогда переставим уравнения системы, и
перенумеруем переменные так, что бы базисный минор стоял в левом верхнем
углу.
Назовём базисными те переменные, которые входят в базисный минор, а все
остальные – свободными.
Тогда по теореме о базисном миноре нижние строки расширенной матрицы
являются линейно зависимыми от первых строк, то есть могут быть
представлены, как их линейные комбинации, следовательно, они являются
лишними и могут быть отброшены. В результате остаётся система с r
уравнениями и тем же количеством неизвестных, где r – ранг системы, или
ранг базисного минора.
Перенесём свободные переменные направо, тогда получится система
следующего вида:
a11 x1    a1r xr  b1  a1r 1 xr 1   a1n xn 

, тогда у этой укороченной

a x    a x  b  a x   a x 
mr r
m
mr 1 r 1
mn n
 m1 1
a11  a1r
системы определитель   
  M b  0 . Число уравнений равно
ar1  arr
числу неизвестных, следовательно, к этой системе можно применить правило
Крамара.

xi  i ,  i  f i xr 1 ,..., xn  , таким образом правило Крамара позволяет

выразить базисные элементы через свободные. В результате придавая
свободным переменным значения: xr 1  C1 ,..., xr  n  Cn  r , где С –
произвольное действительное число. C j  R . Отсюда следует:
x1  f1 C1 ,..., Cn  r 
– множество решений системы уравнений содержит n-r
xr  f r C1 ,..., Cn  r 
произвольных постоянных, то есть является многопараметрическим.
Частный случай, когда ранг системы равен рангу матрицы коэффициентов,
тогда все переменные являются базисными, значит свободных нет, а система
имеет единственное решение.
Система линейных алгебраических уравнений имеет одно единственное
решение, если она совместна, и её ранг равен количеству переменных.
— 16 —
17
Вопрос № 12: Метод Гаусса последовательного
исключения неизвестных:
1. Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных.
а) Матричная форма записи.
б) Прямой и обратный ход.
Метод последовательного исключения неизвестных заключается в решении
системы алгебраических уравнений с одновременным исследованием её на
совместность.
Метод реализуется в два этапа:
Прямой ход метода:
Прямой ход метода Гаусса заключается в преобразовании расширенной
матрицы коэффициентов системы к ступенчатому виду с помощью
элементарных преобразований, то есть как при нахождении ранга матрицы и
базисного минора, но только со строками матрицы. При этом само
преобразование к ступенчатому виду с помощью нескольких шагов, на каждом
из которых исключается одна переменная, то есть обнуляется нижний элемент
одного из столбцов.
В результате выполнения нескольких шагов матрица оказывается
приведённой к ступенчатому виду. На этом этапе можно определить ранг
матрицы и системы.
Если ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов, то
система считается совместной, в противном случае система не совместна.
Если количество уравнений равно количеству неизвестных, то система
имеет единственное решение, если ранг системы меньше числа неизвестных, то
количество решений бесконечно.
Обратный ход метода:
Если решение единственно:
 a11 a12  a1n b1 

 a ' x  b'
n
 0 a22  a2 n b2  nn n
 




b' n 1
 xn 1 
A
0  ann bn 
a' n 1;n 1
 0
 0

0 0
0
0  x  b' n  i

      n i a'n i ;n i


— 17 —
b' n
a' nn
b'
x2  2
a' 22
b'
x1  1
a'11
xn 
18
Вопрос № 13: Однородная система линейных
алгебраических уравнений:
1. Однородная система линейных алгебраических уравнений.
а) Свойства.
2. Теорема о существовании линейно независимых решений.
а) Доказательство.
Система называется однородной, если все свободные члены равны нулю.
Однородная система всегда совместна. Существует только одно решение.
Теорема о существовании не нулевых решений однородной
системы:
Однородная система имеет не нулевые решения тогда, когда ранг матрицы
коэффициентов меньше числа неизвестных.
Доказательство:
Ap  A | 0   Rg Ap   Rg  A  r
Не единственность решения r  n
x0
Однородная система с одинаковым количеством уравнений и неизвестных
имеет не нулевые решения тогда, когда определитель матрицы коэффициентов
не равен нулю.
Теорема:
Любая линейная комбинация решений однородной системы сама является
её решением:
x   ,
 x  C1  C2 
x
Доказательство:
Пусть существуют два решения, A  0; A  0 C1  R  C2  R
C1 A  C2 A  C1 0  C2 0
AC1  C2    0
x  C1  C2 
Теорема о существовании линейно независимых решений:
Путь ранг системы равен рангу матрицы коэффициентов и меньше числа
неизвестных, тогда существует число линейно независимых решений, равное
разности количества переменных и ранга системы.
Доказательство:
Пусть базисный минор содержится в левом верхнем углу матрицы.
— 18 —
19
Строки, не входящие в базисный минор можно отбросить, а свободные
неизвестные перенести через знак равенства.
 x1  xr  nr 1 xr  2  xn 


1ое решение
0  0  E1T
 1   2  1
T
B   1    0
2 ое решение
1  0  E2

 T
ое



  E3 n  r  решение
 
    0
0  1 
2
 1
C  D | E ; M b  det E  1; RgC  n  r
Вопрос № 14: Фундаментальная система решений
однородной системы уравнений:
1. Фундаментальная система решений однородной системы уравнений.
2. Структура общего решения однородной и не однородной системы
уравнений.
 x1  xr  nr 1 xr  2  xn 


0  0  E1T
 1   2  1
B   1    0
1  0  E2T





  E3T
 
    0
0  1 
2
 1
C  D | E ; M b  det E  1; RgC  n  r
1ое решение
2 ое решение
n  r ое решение
Структура общего решения однородной системы уравнений:
ФСР называется система из n-r линейно независимых частных решений
 1 
 1 
 
 


 2
E1 , E2 ,..., En  r ;  E1   , E2   2  x 
0
0
 
 
0
0
 
 
Теорема: Общее решение однородной системы уравнений:
Общим решением однородной системы линейных уравнений является
линейная комбинация столбцов фундаментального решения.
x  C1 E1  C2 E2
— 19 —
20
Структура общего решения не однородной системы уравнений:
Рассмотрим систему линейных уравнений: Неоднородная система Ax  b ,
однородная система: Ax  0
Теорема:
Разность двух решений неоднородной системы является решением
соответствующей однородной системы.
Доказательство:
Пусть столбец α является решением неоднородной системы A  b , β –
решение системы A  b , тогда после вычитания одного из другого получим:
A     0;       удовлетворяет однородной системе. Из теоремы
следует, что общее решение однородной системы является суммой какого-либо
её частного решения и общего решения соответствующей однородной системы
.
однор.
xобщ  x неоднр
 xчастн
частн.
неоднор
X частн
 E0  E1  ...  E n  r
Вопрос № 15: Собственные векторы и собственные
значения матрицы:
1. Собственные векторы матрицы.
2. Собственные значения матрицы.
а) Определение.
б) Свойства.
Арифметическим собственным вектором квадратной матрицы А порядка п
называется такой не нулевой столбец:
Ax  x , где λ – собственной значение матрицы.
У каждой матрицы может быть пара из собственных векторов и
собственных значений.
Множество всех собственных значений матрицы называется спектром.
Ax   x  0
 A  E x  0, x – ненулевые решения однородной системы уравнений.
B  A  E  B  
Однородная система имеет ненулевые решения, если ранг матрицы В равен
количеству коэффициентов.
 A  E x  0 – характеристическое уравнение матрицы А.
— 20 —
21
    det  AE
 a11  

 a21
 a
 31
 
 a
 n1
a12
a22  
a32

an 2
a13
a23
a33  

an 3
a1n 

a2 n 
a3n   ...

 
 ann   



Рациональное алгебраическое уравнение степени N. Всегда имеет N корней,
среди которых могут быть и кратные.
Если определитель матрицы А равен нулю, то характеристический
многочлен не содержит свободных членов.
У вырожденной матрицы хотя бы одно значение равно нулю.
…???
При этом сами фундаментальные решения образуют систему линейно
независимых уравнений.
Свойства собственных векторов и собственных значений
матрицы:
1.
Максимальное количество линейно независимых собственных
векторов, соответствующих данному собственному значению
i  n  Rg  A  i E  .
2.
Линейная комбинация из собственных векторов соответствует
одному и тому же, в свою очередь являющемуся собственным
вектором для этого собственного значения.
Собственные векторы с попарно различными «???» значениями
являются ???
Если матрица АТ=А, то все её собственные значения являются
действительными числами.
Спектр вырожденной матрицы А содержит хотя бы один нулевой
элемент.
Если матрица имеет пары ??? комплексные сопряженные ¿¿¿, То
соответствующие им собственные векторы тоже комплексные.
3.
4.
5.
6.
Вопрос № 16: Нахождение собственных векторов и
собственных значений матрицы:
Для вычисления собственных значений матрицы необходимо составить
характеристическое уравнение:
— 21 —
22
a1n

a12
a11  1
a2 n
a22  2 
a21
0
det  A  E  



 ann  
an 2
an1
составив уравнение можно найти его корни, они-то и будут собственными
значениями матрицы.
Собственные векторы матрицы соответствуют собственным значениям
матрицы.
Вопрос № 17: Линейные операции над векторами:
Линейные операции над векторами.
Базис.
Координаты вектора.
Аффинная система координат.
а) На плоскости.
б) В пространстве.
5. Прямоугольная система координат.
а) На плоскости.
б) В пространстве.
1.
2.
3.
4.
Аналитическая геометрия – это методы решения геометрических задач с
помощью аналитических операций.
Векторная алгебра:
 Геометрическим вектором называется направленный отрезок прямой,
который можно переносить параллельно самому себе.
 Модулем вектора называется его длина.
 Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают.
 Коллинеарными называются вектора, лежащие на параллельных прямых.
 Равными называются коллинеарные, со направленные вектора, имеющие
одинаковую длину.
 Компланорными называются векторы, расположенные в одной и той же, или
в параллельных плоскостях.
— 22 —
23
Линейные операции над векторами:
1. Сложение:
a b  c
2. Умножение на число:
 0
b  a  : 
b  a
b  a
  0

b  a
  0

b  0
Вектор, умноженный на минус единицу меняет своё направление
на противоположенное.
3. Вычитание:
– это сложение с вектором, умноженным на минус единицу3.
Теорема о взаимной колиниарности векторов:
Для всех векторов а, не равных нулю, все вектора в колиниарны а, то вектор
в можно представить, как произведение вектора а на некоторое ненулевое
число.
Свойства линейных операций над векторами:
1.
2.
a b b a
a  b  c  a  b  c 
   a      a 
4.  a  b     a    b
3.
Линейная зависимость и независимость геометрических
векторов:
Линейной комбинацией геометрических векторов a1 , a2 , a3 ,...an 
называется вектор b  C1a1  C2 a2  ...  Cn an
Системой из N векторов a1 , a2 , a3 ,...an  называется линейно независимой,
если ни один из них не является и не может быть представлен в виде линейной
комбинации других векторов этой системы.
Единичным называется такой вектор, который имеет единичную и
колиниарен (параллелен) данному.
— 23 —
3
24
Если линейная комбинация всех этих векторов является нулевым вектором,
то в случае равенства нулю всех «С»:
C1a1  C2 a2  ...  Cn an  0
C1  C2  ...  Cn  0
, иначе если
“Ci” не равно нулю, то система векторов называется линейно зависимой.
Теорема №1:
Два колиниарных вектора всегда линейно зависимы.
Теорема №2:
Три комплонарных вектора всегда линейно зависимы.
4
Теорема №3:
Любые четыре геометрических вектора линейно зависимы.
d    a   b   c
Базис:
Базисом на плоскости, или в пространстве называется максимальная
система из линейно независимых векторов.
1. Базис на прямой является единственным вектором, параллельным
данной прямой.
2. Базис на плоскости – это любая пара из не коллинеарных векторов,
параллельных этой плоскости.
3. Базис в пространстве – это любые три не комплонарных вектора.
Разложение вектора по базису называется представление его в виде
линейной комбинации векторов базиса.
Теорема:
Для заданного вектора а и выбранного базиса разложение, по базису
является единственным.
Координаты вектора в базисе:
Координатами любого вектора в пространстве (в базисе) называются
коэффициенты его разложения базису.
Свойства:
При сложении векторов одного и того же базиса, складываются
соответствующие координаты.
Комплонарные вектора – вектора, лежащие в одной плоскости, или в
параллельных плоскостях
— 24 —
4
25
При умножении вектора на число, умножаются все координаты этого
вектора число.
Системы координат на плоскости и в пространстве:
Аффинная система координат:
Аффинной системой координат называется совокупность из точки – начала
координат, и базиса.
Не аффинная система координат:
Не аффинной системой координат является полярная (цилиндрическая,
сферическая) система координат.
Декартова система координат:
Частным случаем аффинной системы координат является прямоугольная
Декартова система координат.
Вопрос № 18: Скалярное произведение векторов:
1. Скалярное произведение векторов.
а) Свойства.
б) Применение.
в) Выражение через координаты сомножителей.
Проекция вектора на вектор:
Pra b  b  cosa ^ b 
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное
произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
a  b  a  b  cosa ^ b  Pra b  b  cosa ^ b 
a  b  a  Pra b  Pra b 
cosa ^ b  
a b
a
a b
a b
Свойства:
1. a  b  b  a – Коммутативность.
2. a  a  a  a  cos 0  a  a 2
2
— 25 —
26
a  0

3. a  b  0b  0
  90

4.   a   b    b  a 


5. a  b  c  a  b  a  c
a  b   i   2 j   3 k  1i   2 j   3 k   1 1i i   2i j   3i k 
 2 1 ji   2 jj   3 jk   3 1k i   2 k j   3 k k 
1
1
i  i  i cos 0  11  1; i  j  0   1  1   2   2   3   3
Скалярное произведение векторов, заданных своими декартовыми
координатами равно сумме по парных произведений соответствующих
координат сомножителей.
Применение скалярного произведения:
1.
a  a 2  12   22   32
2.
Определение перпендикулярности векторов, как скалярное произведение,
равное нулю.
3.
Prb a  a cosa ^ b  
4.
cosa ^ b  
a b 11   2  2   3  3

b
12   22   32
11   2  2   3  3
ab

2
a b
1   22   32  12   22   32
Вопрос № 19: Векторное произведение векторов:
1. Векторное произведение векторов.
а) Свойства.
б) Геометрический смысл.
в) Выражение через координаты сомножителей.
Векторным произведением векторов называется вектор, обозначаемый
a , b  a  b , который обладает двумя свойствами:
1. Перпендикулярен двум исходным векторам.
 
— 26 —
27
2.
3.
Составляет с исходными векторами правую тройку 5
a , b   c  a  b  sin a ^ b 
Направление результирующего вектора определяется по правилу буравчика.
Свойства векторного произведения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
a , b   0
– проверка на колиниарности.
a  0

b  0
a ^ b  0  180

a a  0
a  b  b  a
a   b    a  b 
a  b  c   a  b  a  c
i i  0
i k   j
i jk
jk  i
a 1 ;  2 ;  3 ; b 1 ;  2 ;  3 
a  b  1i   2 j   3k  1i   2 j   3 k  
1 1i  i   2i  j   3i  k    2 1 j  i   2 j  j   3 j  k  
  3 1k  i   2 k  j   3k  k  
 1 1k   2 j    2  3i  1k    3 1 j   2i  
 i  2  3   3  2   j  3 1  1 3   k 1 2   2 1  
i
j
k
  3 1  3
 2
i 2
i
j 1
 1  2  3
 2 3
1  3
1  2
1  2  3
Вопрос № 20: Смешанное произведение векторов:
1. Смешанное произведение векторов.
а) Свойства.
Тройка векторов называется правой, если из третьего вектора кротчайший
поворот от первого ко второму виден, как поворот против часовой стрелки.
— 27 —
5
28
б) Геометрический смысл.
в) Выражение через координаты сомножителей.
Смешанным произведением трёх векторов называется число, обозначаемое
a , b , c , равное скалярному произведению трёх его сомножителей, на
векторное произведение двух первых.


a , b , c a  b  c  a ; b ; c 
a  b  d  a , b , c   d  c  d  c  cosd ^ c 
a  b  a  b  cosa ^ b 
a , b , c   a  b  sin   c  cos v

v

a  b  sin   S ; c  cos v  Pra c  0
1. a , b , c 0, когда cos v  0 , а значит угол v – острый, следовательно,
вектора составляют правую тройку.
2. a , b , c 0, когда cos v  0 , а значит угол v – тупой, следовательно,
вектора составляют левую тройку.
3.
a , b , c   S
параллелограм м а
 Pra c  Vпараллелипипеда
Свойства смешанного произведения:
1. a , b , c =0 тогда, когда

 
 
a , b , c   b , a , c 
a, b комплонарны.
2. a , b , c  c , a , b  b , c , a
3.

a 1 , 2 , 3  b 1 ,  2 ,  3  c  1 ,  2 ,  3    
a , b , c   d , c 
i
j
k
d  1  2  3  i
1  2
3
 
d  a,b
  3 
 2 3
 2
k 1
 j   1


 2 3
1  2
 1  3 
1  2  3
 1  3 
2 3
1  2
d , c      1       2     3  1  2  3 
2
3
1
3 
1
2

1  2  3
— 28 —
29
1  2  3 1  2  3
   1  2  3  1  2  3  a , b , c 
1  2  3  1  2  3
Вопрос № 21: Прямая на плоскости:
1. Прямая на плоскости.
а) Уравнения.
1) Общее.
2) Параметрическое.
3) Каноническое.
б) Расстояние до точки.
в) Угол между прямыми.
На плоскости задана прямоугольная декартова система координат.
Уравнение F x, y   0 называется уравнением линии L на плоскости, если
координаты всех точек линии подчиняются закону F, а координаты всех точек,
не лежащих на линии F x1 , y1   0 .
Линия – это геометрическое место точек, координаты которых
удовлетворяют закону F x, y   0 – основное уравнение прямой на плоскости.
Векторное уравнение прямой на плоскости:
N  A; B   M 0 M x  x0 , y  y0   L  N  M 0 M  0
Ax  x0   B y  y0   0 C  x0 , y0  
Ax  By  C  0
q m, n  || M 0 M  x  x0 , y  y0   L  M 0 M  t  q
x  x0 , y  y0   t m, n 
 x  x0  m  t

 y  y0  n  t
Параметрическое уравнение прямой на плоскости:
 x   t   x  x0  m  t  x  mt  x0



 y   t   y  y0  n  t
 y  nt  y0
— 29 —
30
Каноническое уравнение прямой на плоскости:
x  x0 y  y0
y  y1
x  x1

, C  x0 , y0 , q  m, n , q || L

m
n
y1  y2 x1  x2
A
y  y0    x  x0 , C  x0 , y0 , N  A, B , N  L R x1 , y1 , M  x2 , y2 
B
Расстояние от точки до прямой:
Ax  By  C  0  M ; M 0 
 M ; L   MM 0  cos   PrN MM 0 

A x0  x   B y0  y 
A B
2
2

N  MM 0  AB    x0  x; y0  y 


N
A2  B 2
Ax0  By 0  Ax  By
A B
2
2

Ax  By  C
A2  B 2
Угол между прямыми:
A1 x  B1 y  C  0
cos  L1 ; L2  
A2 x  B2 y  C  0
N1  N 2

N1  N 2
A1 A2  B1 B2
A  B12  A22  B22
2
1
Вопрос № 22: Плоскость в пространстве:
1. Плоскость в пространстве.
а) Уравнение:
1) Общее.
2) Параметрическое.
3) Каноническое.
б) Расстояние до точки.
в) Угол между плоскостями.
Общее уравнение плоскости в пространстве:
N  A; B; C   P
M 0 M x  x0 ; y  y0 ; z  z 0   N  A; B; C 
M 0 M  N  0  A x  x0   B y  y0   C  z  z 0   0
— 30 —
31
Параметрическое уравнение прямой:
p Px ; Py ; Pz  || P; q q x ; q y ; q z  || P
p || q
 x  x0  t1 p x  t 2 q x

 y  y0  t1 p y  t 2 q y

 z  z0  t1 p z  t 2 q z
M 0 M  t1 p  t 2 q
Векторное уравнение плоскости в пространстве:
M 0  P
p || P M 0 M , p, q  комплонарн ы


q || P  M 0 M , p, q  0
p || q 
Ax  x0   B y  y0   C z  z 0   0

A
py
qy
pz
qz
 x  x0   y  y 0   z  z 0 

B
px
qx
pz
qz
C
px
qx
px
py
pz
qx
qy
qz
0
py
qy
Расстояние от точки до плоскости:
P : Ax  x0   B y  y0   C z  z 0   0
 M 1 , P   PrN M 0 M 1 
Ax1  By1  Cz1
N  M 0 M1

N
A2  B 2  C 2
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:
M 1  x1 ; y1 ; z1  M 2  x2 ; y 2 ; z 2  M 3 x3 ; y3 ; z3  M 1 , M 2 , M 3  L
M 1 M 2   x2  x1 ; y 2  y1 ; z 2  z1  || M 1 M 3  x3  x1 ; y3  y1 ; z3  z1 
M 1M  M 1M 2  M 1M 3  0
x  x1
P : x2  x1
x3  x1
y  y1
y 2  y1
y3  y1
z  z1
z 2  z1  0
z3  z1
— 31 —
32
Угол между прямой и плоскостью:
Углом между прямой и плоскостью называется любой смежный угол,
образованный самой прямой и проекцией этой прямой на плоскости:
Ax  By  Cz  0 
x  x0 y  y 0 z  z 0
L:


 q m; n; p  || L
m
n
p
N  A; B; C ;  P
  q ^ N :   1 
sin 1 
qN

qN


 qN
cos   cos  1  
 sin 1
2
 qN
2
Am  Bn  Cp
A  B  C 2  m2  n2  p 2
2
2
Вопрос № 23: Прямая в пространстве:
1. Прямая в пространстве.
а) Уравнение.
1) Общее.
2) Параметрическое.
3) Каноническое.
4) Переходы между ними.
б) Угол между прямыми.
в) Угол между прямой и плоскостью.
Общее уравнение прямой в пространстве:
Общее уравнение прямой в пространстве выводится из условия задания
прямой, как пересечения двух плоскостей:
 A1 x  B1 y  C1 z  0
L:
 A2 x  B2 y  C2 z  0
Параметрическое уравнение прямой:
 x  x0
 m t

 y  y0
L:
t
 n
 z  z0
 p t

— 32 —
33
Каноническое уравнение прямой:
L:
x  x0 y  y 0 z  z 0


m
n
p
Угол между прямыми:
L1 : A1 x  B1 y  C1 z  0 L2 : A2 x  B2 y  C 2 z  0
cos  L1 ; L2  
N1  N 2

N1  N 2
A1 A2  B1 B2  C1C 2
A12  B12  C12  A22  B22  C 22
Угол между прямой и плоскостью:
sin L^ P  
qN
qN
Вопрос № 24: Три типа взаимного расположения
прямых в пространстве:
1. Три типа расположения двух прямых в пространстве:
а) Параллельные прямые.
б) Пересекающиеся.
в) Скрещивающиеся прямые.
2. Расстояния:
а) Между точкой и прямой.
б) Между параллельными прямыми в пространстве.
в) Между скрещивающимися прямыми в пространстве.
Параллельные прямые в пространстве:
L1 : A1 x  B1 y  C1 z  0 L2 : A2 x  B2 y  C2 z  0
N1 || N 2  N1  N 2  0 
 L1 || L2  
M 2 M 1  q1
q1

A1 B1 C 1


A2 B2 C2
1
m12  n12  p12
— 33 —
q1 , q2   0
i
x2  x1
m1
j
y2  y1
n1
k
z 2  z1
p1
34
Пересекающиеся прямые в пространстве:
L1 : N1 ; L2 : N 2 ; cosL1 ^ L2  
N1  N 2
N1  N 2
Скрещивающиеся прямые:
L1 : M 1 , q1 ; L2 : M 2 , q2
L1  L2
cosL1 ^ L2  
q1  q2
q1  q2
 L1 , L2  
M M
1
2
, q1 , q2
q1 , q2 

Вопрос № 25: Кривые второго порядка:
1. Кривые второго порядка.
а) Типы.
1) Геометрические определения
2) Канонические уравнения.
2. Общее уравнение.
а) Преобразование к каноническому.
1) Перенос начала координат.
2) Поворот осей.
Кривой второго порядка называется алгебраическая линия второй степени,
общее уравнение которой имеет следующий вид:
Ax2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0 . Любые уравнения такого вида можно
привести к каноническому виду.
Кривые второго порядка подразделяются на Эллипс, Гиперболу и Параболу.
Эллипс:
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма
расстояний каждой из которых до двух заданных фокусов есть величина
постоянная
F1MD : MF1 
F2 MD : MF2 
x  c 2  y 2 
x  c 2  y 2
x  c 2  y 2
x  c 2  y 2
 2a
— 34 —
35
x  c 
2
 y  4a   x  c   y  2a
2
a 2  cx  a
a
2
2
2
2
x  c 
2
y
2
x  c 2  y 2 ...
 c 2 x 2  a 2 y 2  a 2 x 2  c 2  b 2  a 2  c 2  0
b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2 : a 2b 2
x2 y2

1
a2 b2
Эксцентриситет:
Эксцентриситет характеризует степень сжатия e 
Коэффициент сжатия: k  1  e 2 
F1 F2 2c c

 1
2a
2a a
b
1
a
Параметрическое уравнение эллипса:
 x  a sin t
sin 2 t  cos 2 t  1 
 y  b sin t
Оптические свойства:
Если взять эллиптическое зеркало, и в один из фокусов поместить источник
света, то отражённые лучи пересекутся в другом фокусе.
Гипербола:
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, абсолютная
величина разности расстояний каждой из которых до двух заданных фокусов,
находящихся на расстоянии 2с является величиной постоянной, равной 2а.
x  c 2  y 2  x  c 2  y 2
2
 2a
2
x
y
 2  1 b  c2  a2
2
a
b
Эксцентриситет:
e
e
2c c
  1 c2  a 2  b2
2a a
a 2  b2
a2
Оптические свойства:
Гиперболическое зеркало даёт расходящийся пучок света.
— 35 —
36
Парабола:
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, каждая из
которых равноудалена от заданной точки – фокуса, и заданной прямой,
называемой директрисой, причём расстояние от точки до прямой равно р:
2
p
p

2
x   y  x
2
2

2
p
p2

2
2
 x    y  x  xp 
2
4

2
y  2 px
Приведение кривой к каноническому виду:
Приведение общего уравнения второго порядка к каноническому виду
производится в два действия:
1. Определение новой системы координат, оси которой повёрнуты
относительно основной. Поворот определяется слагаемыми,
представляющими собой произведение переменных.
2. Сдвиг начала координат вдоль осей новой системы. Сдвиг
определяется линейными членами уравнения. Преобразование на
данной стадии осуществляется выделением полных квадратов.
Ax 2  2Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0; k x; y  – квадратичная форма.
Приведение квадратичной формы к взвешенной сумме квадратов:
 x   cos    sin 
 cos 
C  

 y   sin    cos 
 sin 
1) B  0
 0
2) C  A
  45
2B
3) C  A tan 2  
CA
sin  

cos  
Вопрос № 26: Поверхности второго порядка:
1. Поверхности второго порядка.
а) Эллипсоид.
б) Конус.
в) Гиперболоиды.
2. Канонические уравнения.
3. Исследование форм методом сечений.
— 36 —
37
 By 2  Cz 2  Dxy  2Exz  2 Fyz   Gx  Hy  Iz   0
С помощью поворота можно исключить смежные произведения
переменных, каждая их которых определяет свою поверхность (эллипсоид,
гиперболоид, параболоид, конус, цилиндроид).
Исследование функции поверхности проводится при помощи канонического
уравнения с помощью метода сечений.
Ax

2
Если все переменные в уравнении есть и все входят квадратично, то:
1. Если все слагаемые положительны, то
x2 y2 z 2

  1 – Эллипсоид.
a 2 b2 c2
1) Строим координаты сечения х=0
(плоскость по YZ)
y2 z2
 1
b2 c2
x2 z 2
 1
a2 c2
x2 y2
3) z  0  2  2  1
a
b
2
2
2
x
y
z
2. 2  2  2  1 – Однополосный
a
b
c
2)
y 0
гиперболоид.
1)
x 0
y2 z2
 1
b2 c2
Гипербола:
2)
y 0
x2 z 2
 1
a2 c2
Эллипс:
3)
z 0
x2 y2

1
a2 b2
Парабола:
— 37 —
38
3.
x2 y2 z 2

  1 – двух полосный гиперболоид:
a2 b2 c2
y2 z2
1) x  0  2  2  1
b
c
Гипербола:
2)
y 0
x2 z 2
  1
a2 c2
Гипербола:
3)
z 0
x2 y2

 1
a 2 b2
Эллипс:
2
4.
2
x
y
z2


 0 – Эллиптический конус
a2 b2 c2
y2 z2
1) x  0   2  2  0
b
c
Пересекающиеся прямые:
2)
y 0
x2 z 2
 0
a2 c2
Эллипс:
3)
z 0
x2 y2

0
a2 b2
Пересекающиеся прямые:
— 38 —
39
Вопрос № 27: Поверхности второго порядка:
1. Поверхности второго порядка
а) Параболоиды.
б) Цилиндроиды.
2. Канонические уравнения.
3. Исследование форм методом сечений.
Все переменные есть, но две из них входят с квадратами, а одна линейно,
получаемые таким образом поверхности называются параболоидами.
1.
z
x 2 y 2 – эллиптический параболоид.

2 p 2q
2
а) x  0  z  y – Парабола.
2q
2
б) y  0  z  x – Парабола.
2p
2
2
в) z  0  x  y  0 – Эллипс.
2 p 2q
2
2
2. z  x  y – Гиперболический параболоид.
2 p 2q
2
а) x  0  z   y – Парабола, ветви вверх.
2q
2
б) y  0  z  x – Парабола, ветви вниз.
2p
2
2
в) z  0  x  y  0 – Гипербола, симметрия относительно ОХ
2 p 2q
Цилиндроиды:
Отсутствует одна из переменных:
2
2
3. x  y  1 – Эллиптический цилиндр.
a 2 b2
y2
 1 – две параллельные прямые.
b2
x2
б) y  0  2  1 – две параллельные прямые.
b
2
x
y2
в) z  0 

 1 – Эллипс.
a2 b2
а) x  0 
— 39 —
40
2
2
4. x  y  1
a 2 b2
а) x  0  
y2
 1 – две параллельные прямые.
b2
2
б) y  0  x  1– две параллельные прямые.
2
b
2
2
в) z  0  x  y  1– Гипербола.
a 2 b2
5.
x 2  2 py – Параболический цилиндр.
Вопрос № 28: Квадратичная форма многих переменных
и её матрица:
1. Квадратичная форма многих переменных.
а) Её матрицы.
2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
а) Приведение квадратичной формы к взвешенной сумме
квадратов.
Квадратичной формой N переменных называется однородный многочлен
второй степени относительно этих переменных:
k  x1 ,..., xn   a11 x12  a12 x1 x2  ...  a1n x1 xn  a21 x2 x1  a22 x22  ...
n
n
...  a2 n x2 xn  ...  ann xn2   aij xi x j
i 1 j 1
k  x1 , x2   a x  a12 x1 x2  a21 x2 x1  a22 x22  a11 x12 
2
11 1
 a12  a21 x1 x2  a22 x22
k  x1 , x2 , x3   Ax12  Bx 22  Cx32  2 Dx1 x2  2 Ex1 x2  2 Fx1 x3
Квадратичную форму всегда можно представить в матричном виде:
k x1 , x2   x1 a11x1  a12 x2   x2 a21x1  a22 x2  
a  x 
x 
x 
a
 x1 a11a22  1   x2 a21a22  1   x1 x2  11 12  1 
 x2 
 x2 
 a21 a22  x2 
— 40 —
41
 x1 
 
T
k  x1 ,.., xn   x Ax , x    ,
x 
 n
 a11  an1 


A 
 
a  a 
nn 
 1n
 A B  x1 
 
k  x1 , x2   Ax12  2 Bx1 x2  Cx22   x1 , x2 
 B C  x2 
 A D E  x1 

 
k  x1 , x2 , x3    x1 , x2 , x3  D B F  x2 
 E F C  x 

 3 
Диагональным, или каноническим видом квадратичной формы называют её
вид в случае, если матрица коэффициентов является диагональной:
 1 0

 0 2
k  y1 ,..., yn    y1 ,..., yn 



0 0

 0  y1 
 
 0   
 1 y12   2 y22  ...   yn2
    
 
  n  yn 
Для выполнения преобразования необходимо установить связь между
исходными и новыми переменными
Линейное преобразование одной группы переменных:
 x1  C11 y1  ...  C1n yn
такое преобразование, при
 y1 ,..., yn x1 ,..., xn  : 
 x  C y  ...  C y
n1 1
nn n
 n
L
котором каждая из переменных х – линейная комбинация переменной у:
 C11  Cn1 


x  Cy , C   
 
C  C 
nn 
 1n
Если С не вырождена, то есть её определитель не равен нулю, существует
обратная к ней матрица, такая, что:
~
Cy  x ; y  C x
Для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо
произвести такие преобразования, что бы матрица квадратичной формы стала
диагональной.
— 41 —
42
Условия приведения квадратной матрицы к диагональному виду:
Если квадратная матрицы порядка п имеет несколько линейно независимых
собственных векторов и соответствующих собственных значений, то она может
быть приведена к диагональному виду, причём элементы диагональной
матрицы являются собственные значения.
 1 0

 0 2
D
 

0 0

 0

 0
, D  T 1 AT , T  L1 , L2 ,..., Ln 

 

 n 
D  T 1 AT  T 1  T  T 1 A  DT 1  A  TDT 1
Пример:
1 2 1 
 
A  
5
5 4
 6
2
2  5 2 
1  6


0 1
 
2  1  5 4  6   5  2 
4
 0  6 0 
 2
1
2 1 
  
  T  L1 , L2   

L1   ; L2     D   1
5
  1
 5  1
 0 2   0  1
T
1
1   1  5   17



 7   1 2   1 7
T
  17
  
2 
7
 57
5
7
1


7
7
2
1 2

A  TDT 1  ...  
5 4
Понятие об ортогонально матрице:
Для того, что бы новая, повёрнутая система координат была прямоугольной
необходимо, что бы матрицы линейных преобразований была ортогональной.
Матрица линейных преобразований называется ортогональной, если её
столбцы являются ортогональными арифметическими векторами.
Арифметическим вектором в линейной алгебре называется столбец из
нескольких чисел
Скалярным произведением двух векторов одной и той же размерности называется сумма по парных произведений соответствующих координат.
x , y   x T  y
Нормой вектора называется квадратный корень из его скалярного квадрата.
Матрица С называется ортогональной, если её столбцы нормированы.
Ортогональная матрица обладает следующим свойством: операцию


обращения можно заменить операцией транспонирования. C 1  C T
Процедура Шмидта ортогонализации матриц:
Любую систему линейно независимых векторов, то есть базис п-мерного
пространства, можно преобразовать в ортогональную систему векторов с
— 42 —
43
помощью следующей рекуррентной процедуры:
E1  L1

n 1
Lk , Ei  E ; k  2..n

E

L


k
k
i

i 1 Ei , Ei 

Любая арифметическая система координат может быть преобразована в
прямоугольную систему координат:
Доказательство:
E , E    L   L , E  E , E
E , E 

L , E  E , E   0
 L , E  
E , E 
n 1
k
k
j
k
k
i 1
k
j
i
j
j
i
i
i
i
j
j
j
n 1

L , E 
  Lk , E j    k i Ei , E j  
i 1 Ei , Ei 

i  j  0

i  j  Ei , E j 
Применяя Процедуру Шмидта к столбцам невырожденной матрицы С
1 3   1 35 
можно сделать её ортогональной: C  
 2 4    2 4 
5

 
Приведение квадратичной формы к каноническому виду:
k x   x Ax
T
 x1 
 
x    ; AT  A  k x   1 y12  ...   n yn2 ; x  y
x 
 n
Для этого воспользуемся свойством собственных векторов и собственных
значений матрицы А. Так как матрица А симметрична, все её собственные
значения, среди которых могут быть кратные, являются действительными
числами.
Каждому i кратности Pi соответствует Pi штук собственных векторов
(линейно независимых). Следовательно, полная система собственных векторов
матрицы А состоит из п штук, и все они линейно независимы, по этому матрицу
из квадратичной формы может быть преобразована к диагональному виду:
0
 1


1
A  D

 A  TDT ,  T L1 ,..., Ln 
0
n 

Так как все столбцы линейно независимой матрицы Т можно сделать
ортогональными с помощью процедуры Шмидта, и нормированными, то:




T  U  E1 ,..., En : U 1  U T
— 43 —
44
В результате матрицу квадратичной формы можно представить в виде:
A  UDU T , тогда подставив это выражение в формулу квадратичной формы,

 
 
 
получим: k x   x TU D U T x  U T x D U T x
T

Замена y  U T x  k x   y T Dy   y ,..., y  1 0  y1    y 2   y 2  ...   y 2
1
n 
2 2
n n
  1 1
 0 n  yn 
Любую квадратичную форму можно преобразовать с помощью линейного
ортогонального преобразования в новые переменные, при этом старые и новые
переменные будут связаны y  U T x  x  Uy , где U состоит из ортогональной
и нормированной системы собственных векторов матрицы А квадратичной
формы, при этом весовыми коэффициентами канонического представления
являются собственный значения матрицы А.
Вопрос № 29: Знакоопределённые квадратичные формы
многих переменных:
1. Знакоопределённые квадратичные формы многих переменных.
а) Критерии знакоопределенности.
1) Собственных значений.
2) Сильвестра.
Понятие знакоопределённости квадратичной формы используется для:
1. Определение типа кривой или поверхности второго порядка по её общему
уравнению.
2. При исследовании функции многих переменных на экстремум, так как
достаточным условием является знакоопределенность второго
дифференциала.
n
n 
2 f
d  z  f  x    

i 1 j 1  xi x j

dxi dx j


Квадратичная форма называется положительно определённой, если она при
любых ненулевых значениях своих аргументов принимает только
положительные значения.
Если квадратичная форма меньше, либо равна нулю, то она отрицательно
полу определена, иначе не определена.
Критерии знакоопределённости квадратичной формы:
Критерий собственных значений матрицы:
Приведём квадратичную форму к каноническому виду:
k x   x T Ax  1 y12  ...  n y n2 ; y  x T Ax , тогда для всех х – у не равно нулю,
— 44 —
45
так как квадрат не нулевых чисел больше нуля. Ответственность за знак
квадратичной формы несу её коэффициенты.
1. Если все собственные значения больше нуля, то квадратичная форма
тоже больше нуля.
2. Если все собственные значения меньше нуля, то квадратичная форма
тоже меньше нуля.
3. Если все собственные значения больше, либо равны нулю, то
квадратичная форма тоже меньше нуля.
4. Если некоторые собственные значения равны нулю, а остальные
меньше, то квадратичная форма отрицательно полу определена.
5. Если некоторые собственные значения больше нуля, а остальные
меньше, то квадратичная форма может иметь любой знак.
Знакоопределённость квадратичной формы совпадает со знаками
собственных значений её матрицы, то есть критерий собственных значений
является полным, но трудоёмким, так как для вычисления собственных
значений необходимо решить характеристическое уравнение матрицы.
Критерий Сильвестра:
Критерий Сильвестра позволяет выделить положительную и отрицательную
знакоопределённость квадратичной формы с помощью вычисления нескольких
определителей, являющихся угловыми минорами квадратичной формы.
После вычисления миноров суждение о знакоопределенности квадратичной
формы выносится по следующему правилу:
1. Если все угловые миноры положительны, то квадратичная форма
положительно определена.
2. Если угловые миноры чередуются знаком, начиная с минуса, то есть:
1i i  0; i  1..n ,то квадратичная форма отрицательно
определена.
3. Если идёт чередование знаков, начиная с плюса, или любое другое
сочетание знаков, или существуют миноры, равные нулю
(последний минор не равен нулю), то форма знака неопределенна.
4. Если последний минор равен нулю, в этом случае критерий
Сильвестра не различает знакоопределённости формы, и
необходимо использовать другой критерий.
Это свидетельствует о грубости метода.
— 45 —
46
Для заметок
— 46 —