Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Министерство экономического развития и торговли Российской
Федерации
Государственный университет Высшая Школа Экономики
Кафедра высшей математики ГУ-ВШЭ
Практикум по высшей математике
(обязательный минимум)
для направления 521000 – Психология
Автор: Тюрникова Галина Васильевна
- 2008-
1
Раздел 1. Основы линейной алгебры и аналитической
геометрии.
Тема 1. Матрицы и определители.
Дано:
2 
1 0


A  3  4 5  ;
 2 1  3


1 
7 8


B  1 5  9 ;
 2  3 1


1 3 
 ;
G  
 2  1
K  3;5;8;0 ;
 2 1  3


C  4  2 1 ;
 4 2  6


1 5 0


V1=  0 0 0  ;
 0 1 0


 4 99 83 


x 
 0 8 16 
N 
; X   1  ;

60 17 134
 x2 


 15 43 106 


 1 
 
 0 
N1    ;
2
 
 7 
 
 5
L    ;
 3
V2  0 0 0 0 ;
 x1 
 
Y   x2  ;
x 
 3
 4 99 83 1 


 0 8 16 0 
F 
;
60 17 134 20 


 15 43 106 5 


2

0
V3  
0

0

0
4
0
0
0

0
.
1

0 
Найти: a) D  A  B ; D1  B  A ;
b) M  A  2 B ;
c) K1=3C; L1=KN1; S=K1N1;
d) det A ; N (2-мя способами); detN1;
e) B ; C ;|L| (любым одним способом);
f) A 1 ; C 1 ; N 1 ;У-1. Сделать проверку для A 1 ;
g) L2=AN; C1  C  F ; G1  M  K 
2
F ; M 1  3 A  K  F 1 ;
7
k) минор, алгебраическое дополнение для элемента
k.1)
k.2)
k.3)
k.4)
a 23 det A
b11 det B
n43 det N
f 24 det F
2
k.5) f15 det F
k.6) x13detX
l) rang A; rang C; rang F; rangV1; rangV2; rangV3; rang K; rang N1; rang
G; rang L; rang X.
m) верхнюю/нижнюю треугольные, диагональные матрицы для A, N,
C, N1, F, G, V3.
n) x1,x2 матрицы Х такие, что GX=L.
p)
p.1. x1,x2,x3 матрицы У такие, что АУ=В;
p.2. х1,х2,х3 матрицы У такие, что КУ=N.
Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений.
Даны системы линейных уравнений:
x  3 y  2z  4  0

1)  2 x  6 y  z  2 ,
4 x  8 y  z  2  0

 x  2 y  3z  1

2) 2 x  4 y  6 z  2 ,
3 x  6 y  9 z  2

3x  4 y  2 z  8  0

4)  x  5 y  2 z  5  0 ,
2 x  3 y  4 z  3  0

 x  2 y  3z  6

6)  4 x  y  4 z  9
3x  5 y  2 z  10

x y 5
,
2 x  y  1
10) 
 x  2 x 2  x3  3x 4  0
5)  1
,
2 x1  x 2  x3  4 x 4  0

 4 x1  99 x 2  83 x3  x 4  187

8 x 2  16 x3  24
7) 
,
60 x1  17 x 2  134 x3  20 x 4  231

15 x1  43 x 2  106 x3  5 x 4  169
,
 1.002 x  0.998 y  5
8) 
1.9998 x  1.0001y  1
 x  2 y  3z  1  0

3)  2 x  4 y  6 z  3 ,
 3x  6 y  9 z  2

,
0.9998 x  1.0002 y  5
9) 
,
 2.0001x  0.997 y  1
 x y 3
11) 
,
2 x  y  0
0.3780 x  6.7490 y  34
12) 
,
0.3779 x  6.7488 y  3
0.3781x  6.7492 y  34
13) 
,
0.3779 x  6.7491y  3
3

 x1  2 x 2  2 x 3  2 x 4  1

14) 3x1  7 x 2  3x 3  3x 4  3 ,
3x1  6 x 2  6 x 3  6 x 4  3

 x1  4 x 2  x 3  x 4  1

 x1  2 x 2  2 x 3  2 x 4  1

15)  3x1  7 x 2  3x 3  3x 4  3 ,
3x1  6 x 2  6 x 3  6 x 4  6

 x1  4 x 2  x 3  x 4  1
6 x  12 x2  6 x3  18 x4  15
17)  1
.
  2 x1  4 x2  2 x3  6 x4  5
 x  2 x2  x3  3x4  1
16)  1
,
 2 x1  4 x2  2 x3  6 x4  5
Решить:
а) методом Крамера (2), (3), (5);
б) методом Гаусса (1), (3), (4);
в) матричным методом (3), (5);
г) систему (6) любым методом;
д) системы 7), 8), и 9), 10) любым методом, дать геометрическую
интерпретацию, проанализировать полученные результаты, сделать
необходимые выводы;
е) системы 11), 12 наиболее рациональным методом.
Тема 3. Векторы.
Задание 1.




Дано: a   2;3; e   1;7 ; b  1;4 ; c  2;3 ; A2;2 ; B3;6 .
Найти в координатной форме и дать геометрическую интерпретацию:
 




а) k  a  2b ;
б) c ;
в) m  AB ;

г) cos  , cos  , для m ;
   
д) a; b ; b ; m ;
   
е) a ; b ; b ; m ;
   
ж) a , b ; b , m ;

з) середину m ;

 
 
и) разложить k по базису 1) a , b ; 2) b , m ;
  
  
0
0
0
к) a ; b ; m .
Задание 2.
4

Дано: a  1;1;2 ;

b  1;3;1 ;

c  0;4;1 ;
 0 1 0


A   2 1 1 .
 1 0 1


 
Найти: а) величину угла   a, b ;

б) пр b c ;
 
в) площадь треугольника, построенного на векторах a , c ; длину
любой
его
медианы;
проверить,
не
является
ли
он
прямоугольным;
 
 
г) m  a  A; k  b  A ;
 
 
  
д) m, k ; (a , b , c ) ; ( a , c ) ;
 
  
е) объем параллелепипеда, пирамиды, построенных на a, b , c ;
  
ж) проверить, лежат ли векторы a, b , c в одной плоскости;
0
0
з) a ; b ;
 
и) площадь параллелограмма, построенного на векторах m, k ;
  
k) базис системы векторов: a, b , c , k , m .

Задание 3. Дано: a  1;1;2 ;

b  1;3;1 ;

c  0;4;1 ;
d  3;7;7 .
  
Показать, векторы a, b , c образуют базис. Получить разложение вектора d
в этом базисе.
Задание 4. Раскрыть скобки:
а) i  2 j   k   i  3k   i   i  2 j  3k   j  ;
б) i  2 j   k   i  3k   i  i  2 j  3k   j  .
Тема 4. Собственные значения и собственные векторы.
Дано:
2 
1 0


A  3  4 5  ;
 2 1  3


1 3 
 ;
G  
 2  1
 4 99 83 


 x1 
 0 8 16 
  ;
N 
;
X

60 17 134 
 x2 


 15 43 106 


5
1 
7 8


B  1 5  9 ;
 2  3 1


K  3;5;8;0 ;
 2 1  3


C  4  2 1 ;
 4 2  6


 1 
 
 0 
N1    ;
2
 
 7 
 
 x1 
 
Y   x2  ;
x 
 3
 4 99 83 1 


 0 8 16 0 
.
F 
60 17 134 20 


 15 43 106 5 


 5
L    ;
 3
a) найти собственные значения и собственные векторы матриц
В,G,C,L;
b) какие из предложенных матриц имеют собственные значения и
собственные векторы, какие нет? Почему?
Тема 5. Прямая и плоскость.
1. Доказать/опровергнуть,
что
плоскости
3x  2 y  z  8  0
и
x  y  5 z  13  0 взаимно перпендикулярны.
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M 1 1;2;1 ,
M 2 2;2;3,
M 3 1;0;2 . Каковы координаты
вектора-нормали
этой
плоскости?
3. Найти расстояние от т. M 5;3;2 до плоскости 2 x  3 y  6 z  4  0 .
4. Найти угол между а) прямой
x  y  z  107  0 ;
б)
двумя
x  2 y  1 z  13


1
0
1
прямыми:
и плоскостью
x  5 y  1 z  11


7
1
2
и
x  4 y  16 z  8


.
1
3
0
5. Составить уравнение прямой, проходящей
а) через точки A7;10;31 и B0;11;5 ;
б) через точку K 1;1;1 , параллельно прямой
x  9 y  11 z  5


;
7
1
0
в) через точку L 1;0;3 параллельно плоскости 2 x  7 y  z  23  0 .
6. Дано:
l1 :
x 1 y  2 z  3


;
1
0
2
6
l2 :
x  4 y  7 z  13


;
0
9
0
 : x  y  z  6  0;
M  2;0;1 .
Найти:
а) точку пересечения l 2 с  ;
б) прямую l 3 , так что M  l 3 , l 3   ;
в) прямую l 4 , так что M  l 4 , l 4 || l1 ;
г) угол 1 между l1 и l2 ;
д) угол  2 между l1 и  .
7. Показать, что прямая l1 :
 : 2x  y  z  0 ,
а
x 1 y 1 z  3


2
1
5
прямая
l2 :
параллельна плоскости
x 1 y 1 z  3


2
1
5
принадлежит
плоскости  : 2 x  y  z  0 .
8. Показать, что прямые 15х+3у-105=0
и
5х+12у+30=0
параллельны.
Найти расстояние между ними.
9. Найти l  1   2 , если
а) 1 : x  y  z  2  0 ,
 2 : 2x  y  z  7  0 ;
б) 1 : 2x  y  z  1  0 ,
2 : x  y  z  5  0;
в) 1 : 2x  2 y  2z  1  0 ,
2 : x  y  z  5  0.
Раздел 2. Основы математического анализа.
Тема 1. Функции и графики.
1. Является ли функцией (если «да», то к какому классу относится, каков
способ задания):
а) x  y  1 ;
б) x 3  y 2  1 ;
в) x 2  y 2  25 ;
7
г) x 2 y  7e x y  25x  17 ;
 3x 3 ,

д) y   cos 2 x
 x  1,

x  (;1]
x  [0;7] ;
x  (7;12]
е) у пациента измерялась температура, результаты:
t(час)
T 0 (град)
6-00
39,5
7-00
38,8
8-00
38,7
9-00
37,6
10-00 11-00
38,3
37,7
12-00
38,5
13-00 14-00
37,9
38,2
T 0 функция ли от t ?
ж) y  (1) n (n=0;1;2;…);
з) y  n! (n=0;1;2;3;…);
и) z  x 2  y 2 ;
к) z  1  x 2  y 2 ;
л) z 2  x 2  y 2  13 .
2. Найти область определения функции:
а) y 
x3
;
x2  9
б) y  ln | x | ;
в) y | ln x | ;
sin x, x  0
д) y   3
.
 2x , x  0
г) y |  x 2  5x  6 | ;
3. Найти множество значений функции:
а) y 
sin x, x  0
x2  1
; б) y  ln | x | ; в) y | ln x | ; г) y   3
.
x
 2x , x  0
4. Построить графики:
а) y  ln | x | ;
x  2
 1,
 2
б) y   x , x  (1;2) ;
 4,
x2

г) y |  x 2  5x  6 | ;
д) x 2  y 2  4 ;
в) y | ln x | ;
е) ху-3=0.
5. Исследовать функцию на четность/нечетность:
а) y 
x2  1
;
x
г) y  cos 2 x  sin x ;
д) y 
б) y 
x2  1
;
x4
x3
;
sin x
е) y 
в) y  3 cos( 2 x  1) ;
x3
;
cos x
sin x, x  0
ж) y   3
.
 2x , x  0
6. Исследовать функцию на периодичность:
8
x2  1
а) y 
;
x
б) y  3 cos( 2 x  1) ;
в) y  cos x  sin x ;
sin x, x  0
д) y   3
.
 2x , x  0
x2  1
1
г) y 
 cos x  4 x  ;
x
x
7. Найти точки пересечения функции с осями координат:
x  2
 1,
 2
б) y   x , x  (1;2) ;
 4,
x2

x2  1
а) y 
;
x
в) y  4 x 2  1 ;
г) y  2 x3  9 x 2  12 x  5 .
8. Найти интервалы знакопостоянства для функций:
x  2
 1,
x2  1
 2
а) y 
; б) y   x , x  (1;2) ;
x
 4,
x2

sin x, x  0
г) y   3
;
 2x , x  0
в) y  4 x 2  1 ;
д) y  2 x3  9 x 2  12 x  5 .
9. Найти наибольшее/наименьшее значения функции:
а) y | ln x | ;
б) y |  x 2  5x  6 | ;
в) y 
x2  1
;
x
x  2
 1,
 2
г) y   x , x  (1;2) .
 4,
x2

10. Построить график функции, провести полное исследование:
а) y  (1) n (n=0;1;2;…); б) y  ( x  4) 2 ;
1
1
в) y  log 0.5 ( x  2) ;
г) y 
;
2
x
д) y  3 sin 2 x  1 ;
е) y  3 sin( 2 x  1) ;
ж) y  ln x ;
з) f ( x)  2 x  2  x ;
 1, при

и) f ( x)   x, при
 x 2 , при

x  (;1]
x  (1;0) .
x  (0; )
Тема 2. Последовательности.
Задание 1. Дано:
9


 n  1
1 
1) x n   n ; 2) x n     ; 3) x n    1n ; 4) x n   
;
 n 
n
5) a n  sin n

;
2
1, n  нечетное
7) an  
;
0, n  четное
6) a n   1n n ;
1
2 
, a1  2; n  2 ;
8) an   an1 
2
an1 
11) a n  n n ;
9) a n 
12) a n  n 2 ; 13) a n  n!;
sin n
15) a n 
;
n
1
n2
14) a n  sin
n
1

16) a n  1   ;
n

; 10) a n 
17) a n 
 1n
n
;

;
n
1
.
n!
Надо для каждой последовательности
а) написать ее в виде a1, a2 , a3 , ..., an ,... ;
б) для (1), (2), (3) дать геометрическую интерпретацию;
в) исследовать на монотонность;
г) исследовать на ограниченность;
д) исследовать на сходимость.
Задание 2. Доказать, что
а)
1

lim  n  2   2 ;
n 
б)

1
lim 1  n   1
n
Задание 3. Найти, если существуют, пределы последовательностей:
1
а) a n  5  ;
n
г) a n  3 
n3
б) a n  2 ;
n
1
;
n
7n 2
в) a n  3 ;
3n
д) a n  n 2  n ;
ж) a n 
7 n 9  2n  5
;
18n 7  7n 6  18n 5  n  5
и) a n 
2n 3  2n  5
;
n 3  7n  18
к) a n 
е) a n 
з) an 
2n 3  2n  5
;
n 3  7n  18
2n7  2n3  5n  2
;
9n8  7n7  9n6  41
6n 13  2n 8  5n 4  17
.
3n 13  5n 9  7 n 3  18n  6
10
Тема 3. Предел функции.
Задание 1. Функция y  f x  задана графически
Найти:
f  x  ; с) lim f  x  ;
а) lim f  x  ;
b) lim
e) lim f  x  ;
f) lim f  x  ;
x  x1  0
x  x1  0
x  
j)
lim
x  x3  0
n) lim
x 0 0
d) lim f  x  ;
x  x1
g) lim
x  x4  0
x  x4  0
f  x  ; h) lim f  x  ;
x  x4
l) lim f  x  ;
f  x  ; k) lim f  x  ;
x  x3
x 
x x2
m) lim
x 00
i) lim
x  x3  0
f x ;
f x;
f  x  ; o) lim f  x  ; p) lim f  x  ; q) lim f  x  ; r) lim f  x  ;
x  x5
x 0
x  x6
x  x7
s) lim f  x  , и т.д.
x  x8
Задание 2. Доказать по определению:
x 1
 2;
x 1
x
а) lim
б) lim
x  1
x 2 3
x 1
 1.
Задание3. Найти, если существуют, пределы функции. При необходимости дать
геометрическую интерпретацию.
1) lim  x  1 ;
x 1
5
;
x x
6) lim
1
;
x 0 x
2) lim
2
7) lim x ;
x 0
3) lim 5 ;
4) lim x ;
x7
3
8) lim x ;
x 0
x0
9) lim sin x ;
x 0
5)
5
;
x 0 x
lim
10) lim ln x ;
x 1
11
1
11) lim
x 
x

x 0
2
;
12) lim
x0
15) lim x  x
2
;
20) lim
x 2
x 3  2x  3
22) lim
x 2  5x
x 
4 x 5  3x 2  8
x 
x
2x 5  2x  1
 sin 3x 
28) lim 

x  0
x 
x
x2
x2  4
1

33) lim 1  
x 
x
x
x
sin 2  
3
35) lim
;
x 0
x2
в) lim f ( x) ,
x 
г) lim f ( x) ,
x 2


sin x, x  ( ;0)
39) f ( x)  
2 ,
 x 3 ,
x  [0;)
в) lim f ( x) ,
x 
з) lim f ( x) ,
x20
40) lim e ;
x 
cos x  cos 3 x
;
x 0
x  sin 2 x
x
1

31) lim 1   ;
x 
x
34) lim m  ln m  4  ln m ;
;
m
x 1
x
2

37) lim 1   ;
x 
x
;
найти
а) lim f ( x ) ,
x 0
б) lim f ( x ) ,
x  4
д) lim f ( x) ,
е) lim f ( x) ;
найти а) lim f ( x ) ,
б) lim f ( x) ,
x20
x2 0
x 0
x
4
е) lim f ( x) ,
ж) lim f ( x) ,
x 0  0
x 2
x2 0
1
x
42) lim e ;
x 
1
;
x
;
и) lim f ( x) ;
41) lim e ;
x 
x 2  3x  2

x
2
30) lim
;
x 1 1  x
x 0  0
x
x
44) lim sin
x  
3x 2  4 x  1
cos
x 3
;
27) lim
;
д) lim f ( x) ,
г) lim f ( x) ,
x2  x
x 1
3x  x
 2x  3 
36) lim 

x   2 x  1 
 x 2  1, x  (;2)
38) f ( x)  
,
x  [2;)
 2 x,
x 2  2x  2
24) lim
x3
x 1
;
x 1 x  2
18) lim
;
x 1
x
;
x  0 sin 4 x
x 3
x2
21) lim
;
sin x
29) lim
;
x 0 tg x
;
 x 
32) lim 
 ;
x  1  x 
x0
x2
26) lim
x3
17) lim
; 23) lim
;
2
;
x 0 sin x
14) lim
13) lim sin x ;
;
2
x2
16) lim 3 ;
x0 x
x 1
;
x2
19) lim
x 
25) lim
3
5
45) lim sin
x 0
x 
1
;
x
46)
lim x ,
x 
1
x
43) lim e ;
x 
47) lim x .
x 0
Задание 4. Найти асимптоты (если существуют) следующих кривых:
12
а)
д)
2
y
x5
;
y  x 2 1 ,
б)
е)
ye
1
x
;
y  x  ln x ,
в)
y  x  arctgx ;
ж)
x2
г) y  2
;
x 4
y  7 x 5  3x 2  x  11 .
Тема 4. Непрерывность функции.
Задание 1. Даны функции:
Надо:
а) найти D y  – для функций (1) – (5);
б) Функцию (1) исследовать на непрерывность в т. x 0 ; в т. x1 ; на отрезке
0; x1  ; в D y  ; на интервале 0; x1  ;
в) исследовать на непрерывность функции (2) – (5) на  ;.
Задание 2. Доказать, что функция
13
а) y 
1
непрерывна в т. x1  1; x2  5 ; терпит разрыв в т. x3  0 ;
x
б) y  sin x непрерывна в т. x1 

; x2  0; в D y  ; на всей числовой
4
прямой.
Задание 3. Исследовать на непрерывность в D y  ; на  ;.
Установить / определить характер разрыва.
cos x, x   ;0
б) y  
; в) y  e x 1 ;


1
,
x

0
;


1
а) y  x  2 x ;
2
1, x    ;0

г) y   x, x  0;1
;
 x 2 , x  1;

е) y 
x 1

x   x  1 x  4
2

;
 0, x    ;0

д) y  sin x, x  0;2
 1, x  2;

ж) y 
5
;
x4
;
з) y  ln x ; и) y  ln
1
.
x
Тема 5. Производная функции. Дифференциал.
Задание 1. Дана функция y  f x графически.
Заполнить таблицу
Промежутки
монотонности
и
критические
точки
…
…
Знак f  x 
14
Поведение
f(x)
Задание 2. Пользуясь определением производной, найти производную функции
y  f x , дать геометрическую интерпретацию.
а) y  x 2  1 ; при x  0; 2;  3 ;

; .
2
б) y  sin x ; при x  0;
Задание 3. Найти производную функции y  f x
б) y  4 x 3 
а) y  4 x 3  5 ;

x2  1
д) y 
;
sin x

г) y  x  1  sin x ;
2

3
1
к) y  x  cos x  cos 3 2 x  3 ;
3
н) y 
1 x2

1
6
;

3
2
x
x


и) y  e 2 x  3 x 2  1 ;
x
л) y  x ; м) y  sin e x
о) a n  n n ;
;
в) y  4 x 3 
е) y  5 x  x  ln x ;
з) y  e 2 x 3 ;
ж) y  x 2  1 ;
cos e 2 x
1
;
x
2
3 x  2
;
п) y  ln | x | ;

р) y  ln 4 sin 2 x 2  1 ;
1, x    ;0

с) y   x, x  0;1
;
2
 x , x  1;

 0, x    ;0

у) y  sin x, x  0;2
 1, x  2;

т) y 
;

( x  4) 3 x
;
sin ( x  2 ) x
ф) y  8 x  5 x
9

7 arccos 6 x
;
3 cos 2 7 x, если
x  1

х) y  ln x 3  1 , если  1  x  1 ;

5,
если
x 1


ц) y 

x 1

x   x  1 x 2  4

;
ч) y 
5 x3  tg 4 (4 x  7)  94 x  ln 6 x
;
7 x5  6 x  (arcsin x)( x  2)  x  e3


ш) y  x .
15
Задание 4. Найти y ; y  для y  f x


4
а) y  1  3 x ;
в) y 
2x  5
;
ln x
б) y  arcsin 1  3x ;
г) y  e 3 x 1 ln x .
Задание 5. Определить знак y  функции y  f x при x  1; 0;  3; x  D y 
а) y  x 2 ;
б) y  3x 3  1 ;
г) y  e x ;
д) y  x .
в) y  ln x ;
Задание 6. Написать уравнения касательной и нормали (если существуют) к
кривой:
а) y  sin x в точке x  0.753 ;
x2 y2

 1 , в точке х1=1; х2=-5;
б)
9 16
в) y  tgx в точке x 

2
.
Задание 7. Исследовать на монотонность, экстремумы функцию y  3 x 2  e x .
Задание 8. Исследовать на выпуклость, вогнутость, точки перегиба функцию
y  x  ln x .
Задание 9. Пусть у = х2 + 5х. Найти dy,  y . Сравнить их между собой для
а) х = 0, x  0.1;
г) х =2, x  0.1;
б) х = 0, x  1;
в)х = 0, x  0.01;
д) х =2, x  0.01; е) х = 2, x  1.
Задание10. Найти y ; y ; dy; d 2 y для y  f x 


4
а) y  1  3 x ;
б) y  arcsin 1  3x ;
в) y 
2x  5
;
ln x
г) y  e 3 x 1 ln x .
Задание 11. Вычислить приближенно с помощью дифференциала: а) sin 1;
б) sin 10 ; в)
3
1,002 ; г) arctg 1.02;
д) arcsin( 1,004) .
Тема 6. Исследование функции.
Задание 1. Функция y  f x задана графически
16
Определить:
1. D f  ;
2. E f  ;
3. Ограниченность (сверху, снизу); наибольшее, наименьшее
значение;
4. Четность, нечетность;
5. Периодичность;
6. Непрерывность; характер точек разрыва; скачок;
7. Монотонность, экстремумы;
8. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба;
9. Асимптоты (горизонтальные, вертикальные и т.д.)
10.Точки пересечения с осями координат.
11.Интервалы знакопостоянства.
12. Сводная таблица.
 y  f x 

13. Площадь фигуры:  y  0
.
 x  x ; x 
1 12

Задание 2. Построить график, провести полное исследование функции
x  (10;e)
  2,
ln | x |,
x  (e;0)

y 2
x  (0;1) .
 x ,
 1,
x  [1; )
17
Задание 3. Исследовать функцию y  f x и построить график
а) y  (1) n (n=0;1;2;…); б) y  ( x  4) 2 ;
1
1
в) y  log 0.5 ( x  2) ;
г) y 
;
2
x
д) y  3 sin 2 x  1 ;
е) y  3 sin( 2 x  1) ;
x
x
з) f ( x)  2  2 ;
ж) y  ln x ;
 1, при

и) f ( x)   x, при
 x 2 , при

л) y 
x
4  x2
x  (;1]
x  (1;0) ;
x  (0; )
м) y  x ;
;
x2  9
о) y 
;
x2
н) y  x  9 x  24 x  18 ;
3
к) f  x   3 2 x 2  x 3 ;
2
п) y  x 2  5 x  6 ;
р) y 
1
 2

 x  m 2
e
2 2
(значения параметров
можно задать).
Результат проверить в Mathcad (например).
Тема 7. Первообразная и неопределенный интеграл.
Задание 1. Найти:




а) d x 3  1 ;
б) d sin 2 3t ;
г) d ln x  ;
 1

д) d   cos 2 x  .
 2

1


в) d  cos y  5 2  ;


Задание 2. Найти функцию F  x  так, что:
а) d  F  x   x 2 dx ;
1
г) d  F t   dt ;
t
б) d F  y    y  1dy ;
в) d F t  
1
cos 2 t
dt ;
д) d F x  sin 2 xdx .
Задание 3. Найти неопределенные интегралы:
 3
3 x 2 dx
4 1
3dx
x 

dx ;



9
e
а) 
;
б)
;
в)



7
5
cos 2 x
 x x x

x2

5 
dx ;
г)   x 9 
4
3x 

 ex 
ж)  e x  1  3 dx ;
x 

x 6  2x 3  7x
dx ;
д) 
x2
2
x
x

з)   sin  cos  dx ;
2
2

3  4 cos 3 x
dx ;
е) 
cos 2 x
1 

и)  1  2 dx ;
x 

18
x2
dx ;
к)  2
л)
x 1
2  3x 2
о)  2 2
dx .
x ( x  1)
x2
dx ;
x 1

Задание 4. Пользуясь  t k dt 
м)

1  x  dx ;
2
x4
dx ;
x2 1
н) 
x3
t k 1
 C найти следующие неопределенные
k 1
интегралы:
а)

cos xdx
3
2
 22 x  1 dx ;
5
б)
;
sin x
 cos
в)
д)  cos 3 x sin x dx ;
г)  sin 2xdx ;
3
xd cos x  ;
е)  2 x  5 dx .
3
Задание 5. Проинтегрировать методом подстановки:
а)
 x  3  2 x  dx ;
3 4
2
3 cos x

1  2 sin x

x 2 dx
;
x6  4
к)

e 2 arcsin x
н)
2 5
3
 x  x  2  dx ;
г)
ж)
1 x
2
д)
dx ;
з)
dx ;
x
б)
1 e
л)
x
x 1
о)

5 x

в)
е)
;
и)
dx ;
x

dx
 1
3e x

4x
dx ;
3
2

м)
dx ;
x
3
2

2
3
dx
1
dx ;
;
x
1  x 2 dx ;
 x

x
dx ;
x2
3x
п) x  e
dx
ln x  1
 x2
;
dx .
Задание 6. Проинтегрировать методом интегрирования по частям:
а)
б)  arcsin x  dx ;
 x  sin 2 x  dx ;
г)  (3x 2  2 x  5)  ln x  dx ;
ж)
 x  arcsin x  dx ;
к)  ln 2 x  dx ;
н)
x
 cos
2
x
dx ;
з)
д)  e x  sin x  dx ;
 arctgx  dx ;
л)
 x3
о)
 x  ln x  dx .
2x
в)  (2 x  3)  e 3 x  dx ;
 dx ;
м)
е)
 ln x  dx ;
и)  e x  cos 2 x  dx ;
 xe
x
 dx ;
Задание 7. Проинтегрировать дробно-рациональные функции:
19
5x  3
dx ;
2
x  6 x  40
а)

г)
9 x 3  30 x 2  28 x  88
 ( x 2  6 x  8)( x 2  4) dx ;
ж)
к)
н)

x3  1
dx ;
x3  x2

x3
dx ;
x 2  3x  2

x2
dx ;
x2 1

б)

з)
д)
x
2

 2x
2
в)

x3  1
dx ;
x2 1
5x  1
dx ; е)
 4x  1
x 1
dx ;
3
1
x
20 x 2  25 x  25
и) 
dx ;
( x  2)( x  3)(3x  1)
3x
dx ;
2
x  8 x  11
л)
о)
4
dx ;
2
x  6x  9
x5  x4  8
dx ;
x 3  4x
x3  1
 4 x 3  x dx ;
м)
dx
.
 6x  8
Задание 8. Проинтегрировать тригонометрические функции:
а)
 cos 3x  dx ;
г)
 1  sin x dx ;
б)  cos 3 x  sin 2 x  dx ;
1
д)  sin 7 x  sin 2 x  dx ;
cos x
 1  cos x dx ;
в)  cos 2 x  dx ;
е)
з)
к)  sin 5 x  cos 7 x  dx ;
л)  cos 2 x  sin x  dx ;
 (sin 2 x  sin
3
sin x
3
и) 
ж)  cos 2 x  sin 3 x  dx ;
м)

dx ;
cos x
dx
;
sin x  cos 2 x
2
н)  cos 3 x  dx ;
x  cos x)  dx ;
2
о)  tg3x  dx .
Задание 9. Проинтегрировать:
 x
3x  7 dx ;
б)
ln x
 x 2 dx ;
г)
2x  1
 x 2  5x  6dx ;
д)
(8 x 3  12 x 2  2 x  10)dx
;

( x  3)( x  1) 3
е)
8 x 3  2 x 2  13x  2
 ( x 2  2)( x 2  1) dx ; ж)
и) 
2
sin x
dx ;
x

8 x 3  7 x 2  3x  15
dx ;

x
а)
к)
dx
 2x  1
7
;
в)
dx
 x 4  x  ;
2
2
з)
л)  sin 2 x  dx ;
 sin
м)
2

x  cos 2 x dx ;
 tgxdx ;
20
н)

x4 1
dx ;
x3  x2  x  1
р)  ln x  sin x  dx ;
у)
о)
cos 3 x
 sin 2 x dx ;
 arccos 2 x  dx ;
1
 2 sin x  cos x dx ;
x
dx ;
 8x  4
т)
8

ф)   5 x 7   sin
x


x dx .

 4x
с)
п)
2
dx
 9  8 cos x  sin x ;
Тема 8. Определенный интеграл.
Задание 1. Вычислить:
 3x
2
а)
2

1
 1 dx ;
б)
dx
1 x ;
д)
11

н)
e dx
;
2x
1
ln 2
e
о)
dx
 2  cos x ;
0
3
x sin xdx ;
3
1
dx ;
л)  2
 2 x  4 x  29
2
 cos
1
3
2x
dx
;
x
0
и)
10
x2
dx ;
к)  2
1 x  1

1
з)  tgxdx ;
1
dx
;
1
2
3
е)
0
1  ln x
1 x dx ;
ln 3
x
1
2
2
 x  4  x  dx ;
e
ж)
x
в)
dx ;
2
1
г)
1
0
0
1
1
м)
 x  ln x  dx ;
0
1
2
п)  arcsin x  dx ;
0

2
р)

0
sin dx
2  cos 2 x
(1  x) 2 dx
с) 
.
x2 1
0
1
;
Задание 2. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
y  x2  1

 x  1
а) F: 
;
x

2

 y  0
y  x

б) F:  x  3 ;
 y0

y  x2
в) F: 
;
y

x

 yx 4
г) F: 
;
x

y

6

0

 y  sin x
 x0

д) F: 
;
x



 y  0
 y  sin x
 y0

е)F: 
.
x

0

 x  2
2
21
Задание 3. Вычислить объем тела, площадь поверхности вращения вокруг оси
ОХ фигуры, ограниченной линиями:
y  4  x2
 y  x2
а) F : 
;
б) F : 
.
2
 x y2
y  2  x
Тема 9. Несобственный интеграл.
Задача 1. Исследовать на сходимость/расходимость несобственные
интегралы:

arctgx
dx ;
а)  2
x

1
0

б)
0
 xe

е)
x
( 4 x 2  1) 3

1

dx
з) 
;
2
x

ln
x
e
x
 dx ;

dx
д)  2
;
0 x  2x  2
dx
ж) 
;
x
2

в)
0
1
к)
 cos xdx ;

dx
г) 
;
x
1

0

4
и)

1
2x
dx ;
x2  4
dx
3
(x  2) 2
;

dx ;
л  sin 2 xdx .
0
Задача 2. Вычислить, если возможно/существует, площадь фигуры,
1

y  x

а) F :  x  1 ;
x2


ограниченной линиями:
 y0

б) F :  x  0 .
 y  e x

Тема 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Задача 1. Решить уравнения :
а) y'  x 2  e x ;
б) (1  y )dx  (1  x)dy  0 ;
в) (1  x 2 )dy  2 x( y  3)dx  0,
y(0)  1 ;
г) x 2dy  ( y  1)dx  0 ;
y
д) x 2  y 2  2 xyy'  0,
y(1)  2 ;
ж) y'2 xy  2 x3 ;
з) y' y  e x ;
к) y"2 x( y' )2  0 ;
л) y' ' '  e2 x ;
е) y '  e x 
и) y"
y
;
x
1
;
cos 2 x
м) y"5 y '6 y  0 ;
22
н) y"2 y '1  0 ;
о) y"9  0 , если у(1)=-1, у’(1)=1;
п) y"4 y'4 y  e2 x ,
y(0)  2,
y' (0)  8 ;
р) y" y  2(1  x) ;
т) 4 y IV  3 y" y  0 ;
с) y" y  2 cos x ;
x
х) y"2 y' y  3e ,
ф) yV  9 y" '  0 ;
ц) y"4 y '13 y  0 ;
у) y ' ' ' y  0 ;
y(0)  1,
y' (0)  0 ;
ш) y" '7 y ' '6 y '  0 ;
щ) y ' ' y  xe2 x ;
ю) y' '2 y' y  3e x .
э) y ' ' '4 y '  x ;
Задача 2.Определить тип уравнения, указать метод решения:
а) y ' 
x y
 ;
y x
1
;
cos 2 x
б) y"
д) x3dy  y( x 2  y 2 )dx  0 ;
г) y ' '5 y '6 y  13 sin 3x ;
е) y' '4 y'5 y  xe2 x ;



м) e x  1  e y dx  e y  1  e x dy  0 .
y  для y ''  6 y '  9 y  f ( x) , если
б) f ( x)  3e 3 x ;
а) f ( x)  x 2  2 x ;
ж) f ( x)  7 ;

к) y '''  60  x 2 ;

л) y ''  9 y  x 2  sin x ;
г) f ( x)  xe2 x ;

з) y '  x 2  xy  y 2 ;
ж) xy' y  x  1 ;
и) y '  y  sin x  sin x  cos x ;
Задача 3.Определить вид
в) 4 yV  e2 x 1 ;
д) f ( x)  0 ;
в) f ( x)  cos x ;
е) f ( x)  e 3 x  sin x ;
з) f ( x)  5 x 2  2 x ;
и) f ( x)  4 x 2  e 3 x  cos 5x ;
к) f ( x)  cos 3x  sin 3x ; л) f ( x)  cos 3x  sin 7 x ; м) f ( x)  3 x  5 .
Тема 11. Функции многих переменных. Производная. Дифференциал.
Задача 1. Найти область определения, множество значений функций, построить
график области определения:
а) z  1  x 2  4  y 2 ;
г) u 
1
4  x2  y2  z 2
Задача 2. Построить график:
;
б) z  x 2  y 2 ;
в) u  x 2  y 2  z 2 ;
д) z  ( x  1)( y  2) ; е) z  ln x  ln y .
а) z  x 2  y 2 ;
б) x 2  y 2  z 2  0 .
Задача 3.Построить линии уровня для функции: а) z  x 2  y 2 ;
б) z  x 2  y 2 ; в) z  1  x 2  y 2 .
Задача 4. Исследовать на непрерывность функцию:
23
а) z  ln
x 2  y 2 в точке К(0;0);
б) z 
1
на плоскости XOY;
( x  y) 2
в) z 
1
в области определения;
( x  y) 2
г) z 
1
1 x  y2
2
на плоскости XOY.
Задача 5. Найти частные производные первого порядка, полный дифференциал:
а) z  x 2  y 2 ;
в) u 
б)
u  x 2  y 7  6 xy3 z 8 ;
x
y

 e5  39 ;
3
5y
4z
е) u  ln( ax3  dy 5  5 z 2 ) ;
и) u  arctg (xyz) ;
к)
г) z  x  ln
Задача 6. Найти по определению
д) z  ( x 2  y 2 )2 ;
u  3x 2  4 y  5 z ;
ж)
ze
y
;
x
x
y
;
з) u  3 x 7
y
;
z
sin x  cos(5 y z )
л) u 
.
ze
z z
;
;  x z ;  y z ; z ;
y x
dz
для
функции
а) z  x 2  y 2 ;
б) z  x 2  y 2 при х =1, у = 0, x  0.1, y  0.02;
в) z  x 2  y 2 при х =1, у =-1 , x  0.01, y  0.001;
г) z  x  y
при х =1, у =2 , x  0.05, y  0.001;
д) z  x  y
при х =1, у =2 , x  0.5, y  0.1.
Проанализировать полученные результаты.
Задача 7. Найти частные производные и дифференциал второго порядка:
а) z  x 2  y 2 ;
в) u 
б)
u  x 2  y 7  6 xy3 z 8 ;
x
y

 e5  39 ;
3
5y
4z
д) z  ( x 2  y 2 )2 ;
г) z  x  ln
y
;
x
е) u  ln( ax3  dy 5  5 z 2 ) .
Задача 8. Найти градиент функции   xy2  z 3  xyz в точке A(1;1;2) .
24

1
Задача 9. Найти точки, в которых градиент функции   ln  x  
y

равен
  16 
j.
вектору a  i 
9
Задача 10. С какой наибольшей скоростью может возрастать/убывать функция
  xy  yz  1 при переходе через точку M (1;2;2) ?
Задача 11. Найти наибольшую скорость изменения   2 x3  4 x 2 z 3  3 y  e4 в
точке М(1;0;-1).
Задача 12. Проверить, является ли функция
а)
v  xy
б)
v  e xy
решением уравнения
решением уравнения x 2 
x v
1 v
 

 2v ;
y x ln x y
2
 2v
2  v

y

 0.
x 2
y 2
Задача 13. Для функции z  3x 2 y 3  7 xy 4 найти dz, d 2 z, d 3 z .
Задача 14. Температура воздуха комнаты в каждой точке измеряется
t  3x 4 y 5  7 z . Как она изменяется в направлении вектора l  2;1;1 в
точке M 3;1;2 .
Тема 12. Экстремумы функции многих переменных.
Задача 1. Найти условный/ые экстремум/мы (по возможности 2-мя способами)
функции u  x 2  2 y 3  z ,
если х, у, z удовлетворяют
уравнениям x + y2 + 7 = 0, x – y + z2 = 0.
Задача 2.Найти экстремумы функции:
а) z  x 2  y 2 (эллиптический параболоид);
б) z  1  x 2  y 2 (конус);
в) z  xy (гиперболический параболоид, седлообразная поверхность);
г) z  xy(1  x  y ) .
Задача 3. Найти наибольшее/ наименьшее значение функции z  xy(1  x  y ) в
 x0

замкнутой области F :  x  y  2 .
 y0

Задача 4.Найти наибольший объем прямоугольного параллелепипеда, если его
полная поверхность S  2a .
25
Задача 5.Найти наибольший объем чемодана, с которым можно пройти в метро.
Ограничения: x  y  z  220см ; где x, y, z – длина, ширина, высота
чемодана.
Задача 6. Выпуск продукции описывается функцией Y  2K 0,3 L0,5 . Определить:
а) максимальный выпуск продукции при бюджетном ограничении
K  2L  4 ;
б) максимальный объем прибыли при ценах p y  30,
pK  pL  2 .
Замечания к задаче 6:
1.
Известно, что понятия «наибольший» и «максимальный»,
«наименьший» и «минимальный» в математике различны. У
экономистов это, к сожалению, одно и то же.
2.
Прибыль рассчитывается по формуле
П  p y  Y  pK  K  pL  L .
Задача 7. Прибыль фирмы за некоторый период деятельности по годам:
Год (t)
1
2
3
4
5
Прибыль (п)
4,5
5,5
4,0
2,0
2,5
а) Составить квадратичную зависимость прибыли по годам
деятельности фирмы.
б) Определить ожидаемую прибыль для 6-го года деятельности. Дайте
геометрическую интерпретацию.
Задача 8.Данные наблюдений зависимости между сроком эксплуатации
автомобиля и затратами на его ремонт:
Срок
экс.(t),год
Затраты
(s),тыс.руб.
3
4
5
6
7
8
7
19
28
34
41
57
а) Составить линейную зависимость затрат по годам.
б) Определить предполагаемую величину затрат для 11-го года
эксплуатации. Дайте геометрическую интерпретацию.
Тема 13. Числовые ряды.
1.
Найти/вычислить Sn – n-ю частичную сумму ряда
26
4
4
4
4


 ... 
 ... ;
1 3 3  5 5  7
(2n  1)( 2n  1)
3
4
n 1
 ... ;
б) ln 2  ln  ln  ...  ln
2
3
n
а)
1 1
1
  ...  n  ... ;
3 9
3
в) 1 
г)
1
1
1
1


 ... 
 ... ;
1 2 2  3 3  4
n  (n  1)
д) 1  3  32  ...  3n  ...
и исследовать на сходимость по определению.
2. Пользуясь необходимым признаком, указать, какие из рядов заведомо
расходятся:

а)

n
n 1
е)
г)
n
 (1) ;
n 1
3
;
n 1
n

 1
1
ж)  1   ;
з)  2 ;
и)
n
n 1 
n 1 n
1 2 3
n
 ... .
л)    ... 
2 5 8
3n  1
n
1 1 1 1
    ... ;
11 12 13 14
к)

1
в) 
;
n 1 n( n  1)


2n  1
д)  n ;
2
n 1


2n  1
б) 
;
n 1 2 n  2

0.001 ;

10n
;

n 1 n!
3.Исследовать на сходимость:

а)

n
0.001 ; б)
n 1

е)
2
n 1
;
2 n 1
n
ж)  n ;
n 1 2
и)

n
2
в)
n 1
;
n 1 n

1
; г)

n 1 n( n  1)


1
  3n
 2n  2 ;
n 1
 2n  1 
 ;
2
 5 
n 1 

м)
2n  1

x
н)

n

n
;
д)
n 1
(n  1)!
;
n
n 1 2  n!

к)

2n  1
;
2n
n 1

3
л)


1
 (2n  1)! ;
n 1
при х= 0,5; при х= 5.
n 1
4.Выяснить, какие из данных рядов сходятся абсолютно, какие условно, какие
расходятся:
(1) n 1 (4n  1)
а) 
;
2n
n 1


(1) n 1
б) 
;
n 1 2n  1
(1) n 1
г)  (1) ln n ;
д) 
;
n2
n 1
n 1
1
1
1
1



 ... ;
з)
ln 2 ln 3 ln 4 ln 5
к) 1 
n



(1) n 1
е) 
2n
n 1

в)

(1) n 1
;
n3 n

(1) n 1  n 3
; ж) 
;
2n
n 1
n 1
и) 1,1  1,01  1,001  … ;
1
1
1


 ... .
2
3
4
27
1
5.Найти сумму, если она есть, ряда
точностью до 10-7 .
1 1 1
1
 
 ...  (1) n n  ...
3 9 27
3
с
6. Найти сумму*) ряда (поверьте, он сходящийся на всей числовой прямой)
x3 x5 x7 x9
x



 ...
3! 5! 7! 9!
с точностью до 10-7 при: а) х = 0,01; б) х = 1,31; в) х = 9,14; г) х = 72,58;
д) х = 2345,67. Результат можно проверить в подходящей компьютерной среде.
Сделайте выводы.
Тема 14. Функциональные (степенные) ряды.
1.Найти область сходимости:

а)
3

n
x ;
n
б)
n0
 ln
n0
;
n
x;
 10

xn
ж) 
;
n 1 n!
xn
е) 
n ;
n 1 n  2
n 1
в)

n
xn
г) 
2n ;
n 1 1  x
x ;
n
n0


д)
 n!x

n

xn
з)  n ;
n 1 2

xn
е) 
.
n 1 n
2.Разложить в ряд Тейлора в окрестности 1) x  1 ; 2) x  2 ; 3) x  0
функции:
а)
f ( x)  esin x ;
б) f ( x)  sin
д) f ( x) 
г) f ( x)  cos 2 x ;
в) f ( x)  (1  x) 5 ;
x;
1
;
1 x
е) f ( x) 
1
;
1  x2
з) f ( x)  ln x ; и) f ( x)  1  x .
ж) f ( x)  arctgx ;
3. Пользуясь рядами Маклорена, найти/вычислить c точностью до 10-3
2
значения:
e
0,5
;
e
6, 2
;
e
55, 7
; e; arctg 0,1 ; ln 2 ;
sin( 890 ) ; sin( 134o ) ; sin( 134) ; sin( 97,4) ;
sin x
1 x dx ;
sin( 0,04) ;
sin( 907o ) .
4. В калькуляторах, языках программирования, т.п. для вычисления значений
трансцендентных функций используется разложение их в ряд Маклорена.
Выясните (можно и методом подбора, но можно и порациональнее) сколько
членов ряда «зашито» для подсчета sin x в любом (на выбор) программном
продукте? Какая точность при этом обеспечивается?
Не забудьте, что есть компьютеры (точнее, соответствующие программы); считать «вручную»
здесь – самоубийство.
*)
28
Тема. Ряды Фурье.
1. Разложить в ряд Фурье функцию:
а)
f ( x)  e x , x    ;   ;
б)
f ( x)  x 2 , x   1; 1 ;
в)
f ( x)  x , x   1; 1 ;
г)
f ( x)  x, x    ;  ;
д)
f ( x)  x , x    ;  ;
e)
f ( x)  x 3 , x    ;   .
2. Результаты наблюдений некоторого процесса:
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
y
11
15
25
9
6
8
23
19
15
8
9
11
17
1
Получить математическую модель этого процесса в аналитическом виде
тригонометрического многочлена а) второго порядка; построить графики 2ой и 3-ей частичных сумм; б) третьего порядка; построить графики 2-ой и 3ей частичных сумм.
Тема. Комплексные числа.
1.
Записать комплексные числа во всех возможных формах, назвать для
каждого из них действительную часть, мнимую, коэффициент при мнимой
части :
1 i
z1= 2;
z5 = cos
z2 =

 i sin

e
;
2
2
z9 = cos 0  i sin 0 ;
z5  e 72i ;
;
z3 = 3+3i ;
z6= 1- 7i;
z1  1 ;
z7= -i;
z8=
z 2  1  i ;
e
2 4 i
;
z 3  4i ;
z 4  2  2i ;
z 7  e 2 ; z 8  e 5 cos 9 x  i sin 9 x  ;
z 6  e 2i ;
z 9  cos 9 x  i sin 9 x  ;
z4 = -1-i;
z10  e 8 cos 9 x  i sin 5 x  .
2.Дано:
z1= 1+i;
z2 = -1-i;
z5 = -2+8i;
z6= 3 + 7i;
z3 = -1;
z4 = 3-7i;
z7= -i;
Выбрав наиболее удобную форму записи, найти:
z3
а) z1+3z7;
б)
в)
 z7  z2 ;
z4  z6
z8=1-i 3 .
z3 ;
г)
5
z8 ;
29
д) z5-1;
е) z23;
ж) (z4+z6)7 ;
з) z72;
и) z73;
к) z75;
л) 4 z 7 .
Дать геометрическую интерпретацию для а); и ); г); д); л).
3. Решить уравнения:
а) x 4  1  0 ;
б) x 2  3x  4  0 ;
в) x 2  1  0 ; г) 3x 2  6 x  15  0 ;
д) x 2  4 x  13  0 .
Раздел 3. Элементы дискретной математики.
Темы 1, 2. Элементы теории множеств и математической логики.
1. Как называется множество артистов, работающих в одном театре?
2. Как называется множество точек земной поверхности, равноудаленных от
Северного полюса?
3. Пусть М – множество млекопитающих. Принадлежат ли этому множеству
следующие элементы: кошка; автомобиль; слон; муха; число 1123;
крокодил; прямоугольный треугольник?
4. Множество А – студенты, изучающие английский язык; множество В –
студенты, изучающие немецкий язык; множество С – студенты изучающие
испанский язык. Что за множества: а) ( A  B )  C , б) A  B  C ,
с) ( A  B)  ( B  C ) .
5. Почему ответ одного известного российского политика: «мама – русская,
папа – юрист» на вопрос: «кто Ваши родители?» - вызывает некий
дискомфорт?
6. Пусть А - множество всех позвоночных животных;
B - множество всех животных;
C - множество всех млекопитающих животных;
D - множество всех волков;
E - множество всех хищных млекопитающих.
Выписать все буквы в таком порядке, чтобы каждая следующая буква
означала подмножество предыдущего.
7. Дайте характеристику множеств:
а) рациональных чисел; б)
иррациональных чисел; в) действительных чисел; г) положительных четных
целых чисел.
8. Приведите пример таких предикатов Р(x,y,z) и R(x,y,z), где x,y,z –
натуральные переменные, чтобы один из них был логическим следствием
другого.
9. Докажите (или опровергните) эквивалентность следующих формул:
а) ( A  B)  C и A  ( B  C ) ;
b) ( A  B)  (C  D)  ( A  C  B  D) и ИСТИНА.
10. Напишите на языке кванторов определение бесконечно большой функции,
бесконечно малой функции, непрерывной в точке функции.
30
11. Напишите на языке кванторов высказывание «никакое нечетное число не
является простым».
12. Напишите на языке кванторов высказывание «некоторые нечетные числа –
простые».
13. Правда ли, что а) A  B  A  B ;
б) A  B  A  B ;
в)
A B B  A B?
14. Высказывание А1 – выигрыш по билету одной лотереи; А2 – выигрыш по
C1  A1 A2  A1 A2 ;
билету
другой
лотереи.
Что
означает
а)
б) C1  A1 A2  A1 A2  A1 A2 .
15. Правда ли, что если верна теорема, то верна и теорема противоположная
обратной для данной?
16. Запишите теорему Пифагора в виде A  B . Что значит для неё: B  A ,
A  B , B  A , A  B , B  A . Возможны другие варианты? Есть ли
среди них эквивалентные?
17. G – грех. P – преступление. Что верно: P  G, G  P ?.
18. «Все гениальное просто». Справедливо ли: «если не просто, то не
гениально»?
Тема 3. Комбинаторика. Метод математической индукции.
1.
2.
Докажите или опровергните следующие равенства:
n(n  1)
а)1+2+3+…+n=
;
2
0 1 3
n 1
1
1 .
b)    ... 
1! 2! 3!
n!
n!
Выведите формулу суммы
а) 1  3  5  ...  (2n  1) ;
б) 1  4  2  7  3  10  ...  n  (3n  1) ;
1
1
1
1


 ... 
в)
.
1 3 3  5 5  7
(2n  1)  (2n  1)
3.
Докажите, что если a>b, a,b –положительные числа, то an > bn.
4.
Сколько разных трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,
если одна и та же цифра может повторяться несколько раз?
5.
Как велико число/количество различных результатов бросаний двух не
отличимых друг от друга игральных кубиков?
6.
В высшей лиге по футболу 18 команд. Борьба идет за золотые,
серебряные, бронзовые медали. Сколькими способами могут быть
распределены медали между командами?
52!
10!8!
5!6!
7.
Вычислите значение выражений: а)5!+6!; б)
; в)
; г)
;
50!
89
4!
д) 6!7!3! .
(n  3)!
(2m)  (2m  1)
n!
8.
Сократить дроби: а)
; б)
; в)
.
n!
( n  2)!
(2m)!
31
9.
Докажите/опровергните, что
(n  2)! n  2

.
(n  4)! n  3
10.
Записать разложения биномов: а) ( x  1) 6 ; б) (a  b) 5 ;
в) ( x  y) 8 ;
г) (2 x  1) 4 .
11.
Вычислить наибольший биномиальный коэффициент разложения
( x  y) 7 .
12.
Сколькими способами можно составить список из 10 человек?
13.
На вечере встречи 30 выпускников обменялись фотографиями. Сколько
всего было роздано фотографий?
14.
Запишите разложение: (a+b)10; (2х-1)4.
15.
Напишите формулы общих членов разложения биномов: (m+n)p; (х-1/у)к.
16.
Сколько элементов должно содержать множество, чтобы число всех
перестановок из элементов этого множества не превышало 100?
17.
В шахматном турнире участвуют 5 школьников и 15 студентов.
Сколькими способами могут распределиться места, занятые в турнире
школьниками, если никакие два участника не набрали одинаковое количество
очков?
18.
Сколько различных аккордов можно взять из 10 выбранных клавишей
рояля, если каждый аккорд может содержать от 3-х до 10-и звуков?
19.
Сколькими способами можно выбрать (составить набор) из 8 пирожных,
если имеется 4 сорта?
20.
Сколькими способами могут быть распределены золотые, серебряные и
бронзовые медали между 18 участниками?
21.
В полуфинале участвуют 20 шахматистов. В финал попадают трое.
Сколько вариантов для образования финальной тройки?
22.
Сколько разных восьмизначных чисел можно составить из цифр {0;1}?
23.
Сколько разных трехзначных чисел можно составить из цифр{1;2;3;4;5},
если одна и та же цифра может повторятся несколько раз?
24.
Из цифр{1;2;3;4;5} составляются пятизначные числа, не кратные пяти не
содержащие одинаковых цифр. Сколько таких чисел можно составить?
25.
В группе 20 мальчиков и 20 девочек. Для участия в концерте нужны:
танцевальный дуэт, дуэт певцов, гимнастический дуэт. Каждый дуэт состоит из
мальчика и девочки. Сколькими способами это можно сделать при условии, что
каждый умеет петь, танцевать и все гимнасты?
26.
Как велико число различных результатов (сумма цифр на верхних
гранях) бросаний двух не отличимых друг от друга кубиков?
27.
30 книг: 27 различных авторов и трехтомник одного автора – помещены
на одной книжной полке. Сколькими способами можно расставить эти книги на
полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?
Раздел 4. Основы теории вероятностей.
Темы 1,2,3. События. Операции над событиями. Вероятность.
Сложение, умножение вероятностей. Повторение испытаний.
1. Каков смысл событий: U+U; V+V; U+V?
2. Событие А-«попадание первым выстрелом»,
Событие В-«попадание вторым выстрелом».
32
В чем состоит событие А+В; АВ?
3. В каком из двух равенств A  B  B и AB  B событие B является
достоверным, в каком невозможным, событие А случайное?
4. Используя 1)диаграммы Эйлера-Венна, 2)таблицы истинности показать: а)
A  B  A  B ; б) A  B  A  B .
5. Дать геометрическую интерпретацию: а) D  A  B  A ; б) G  ( A  B )  C .
6. Событие А – обе пули при двух выстрелах попали в цель. Что означает A ?
7. Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет число
очков, делящихся на 2?
8. Пусть имеется партия из 500 изделий, в которых 2 бракованных. Какова
вероятность того, что в выборке из 5 изделий не будет ни одного
бракованного?
9. В партии К изделий. Среди них L бракованных. Из партии наугад
одновременно извлекают S изделий. Какова вероятность того, что среди
этих S изделий будет ровно Q бракованных?
10. Внутрь круга радиуса R наугад брошена точка. Какова вероятность того, что
точка окажется внутри вписанного в круг квадрата?
11. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры. Помня лишь,
что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что
он набрал нужный номер?
12. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков на
выпавших гранях равна семи?
13. Монета брошена два раза. Какова вероятность того, что хотя бы один раз
выпал герб?
14. Два человека договорились о встрече. Условия встречи: в установленное
место они приходят независимо друг от друга в произвольный момент
времени между 13.00 и 14.00 час. Придя, каждый ожидает другого не более
получаса и уходит не позднее 14.00. Какова вероятность того, что они
встретятся?
15. При приеме партии из 80 изделий, среди которых 6 бракованных,
проверяется 40 наугад выбранных изделий. Определить вероятность того,
что партия будет принята, если условия приемки допускают не более двух
бракованных изделий среди проверенных.
33
16. Производится один выстрел по круговой мишени, состоящей из яблока, двух
концентрических колец. Вероятность попадания при одном выстреле в
яблоко 0.11; в кольца соответственно 0.24 и 0.35. Найти вероятность
промаха.
17. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления на первой
кости нечетного числа очков и на второй пяти очков?
18. Подбрасываются две монеты. Какова вероятность появления хотя бы одного
герба?
19. Из колоды в 36 карт наугад одна за другой вынимаются две карты. Найти
вероятность того, что а) вынуты два валета; б) вынуты обе карты пиковой
масти; в) вынуты валет и дама.
20. В цехе три типа автоматических станков производят одни и те же детали.
Производительность их одинакова, качество работы различно: станки 1-го
типа производят 94% деталей отличного качества; 2-го типа - 90%; 3-го
типа – 85%. Все детали со всех станков в неотсортированном виде сложены
на складе. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь
окажется отличного качества, если количество станков 1-го типа – 5 штук;
2-го – 3 штуки; 3-го – 2 штуки.
21. В 1-м ящике 6 белых и 4 черных шаров; во 2-м – 7 белых и 2 черных; в 3-м –
только 6 белых. Наугад выбирается один из ящиков и из него наугад
вытаскивают шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что он из 2го ящика?
22. Охотник сделал три выстрела по кабану. Вероятность попадания при первом
выстреле 0.4; при втором – 0.5; при третьем – 0.7. Одним попаданием
кабана
можно
убить
с
вероятностью
0.2;
двумя
попаданиями
с
вероятностью 0.6; тремя – наверняка. Найти вероятность того, что кабан
будет убит.
23. Буквы, составляющие слово ЗАДАЧА, написаны на отдельных карточках.
Наудачу по одной извлекаются 4 карточки без возвращения их в игру.
Какова вероятность того, что при этом получится слово ДАЧА?
24. В трех ящиках находятся однотипные изделия: в 1-м – 10 изделий, из них 3
нестандартных; во 2-м – 15 изделий, из них 5 нестандартных; в 3-м – 20
изделий, из них 6 нестандартных. Наудачу выбирается одно изделие и оно
34
оказалось нестандартным. Определить вероятность того, что взятое изделие
было из 2-го ящика.
25. По данным переписи населения (1891г.) Англии и Уэльса установлено:
темноглазые отцы и темноглазые сыновья составили 5% обследованных
лиц; темноглазые отцы и светлоглазые сыновья – 7.9%; светлоглазые отцы
и темноглазые сыновья – 8.9%; светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья
– 78.2%. Найти связь (по вероятности) между цветом глаз сына и отца.
26.Oбразуют ли полную группу события А-«попаданий нет», В-«попадание
одно», С-«попадания два», если: а) в цель выпущено два выстрела; б) в
цель выпущено три выстрела.
27.Таня и Ваня договорились встречать Новый год в компании из 10 человек.
Они оба очень хотели сидеть за праздничным столом вместе. Какова
вероятность исполнения их желания, если среди их друзей принято места
распределять путем жребия?
28. Бросают один раз две монеты. Чему равна вероятность появления хотя бы
одного герба?
29. Военный летчик получил задание уничтожить три рядом расположенных
склада
боеприпасов
противника.
На
борту самолета
одна
бомба.
Вероятность попадания в первый склад 0.01, во второй – 0.008, в третий –
0.025.
Любое попадание в результате детонации вызывает взрыв и остальных
складов. Какова вероятность
того,
что склады противника будут
уничтожены?
30. В билетах по математике 20 вопросов. Из 10 студентов, пришедших на
экзамен, трое подготовились отлично: знают ответы на все 20 вопросов;
четверо – хорошо: знают ответы на 16 вопросов; трое – удовлетворительно:
знают ответы на 10 вопросов; один совсем не готовился и знает ответы
только на 5 вопросов. Каждый студент выбирает наугад 3 вопроса из 20.
Первый отвечающий ответил на все три вопроса. Какова вероятность того,
что он отличник?
31. В лотерее выпущено 200 000 билетов. 50 000 из которых выигрышные.
Куплено 10 билетов. Какова вероятность того, что по крайней мере один из
купленных билетов выигрышный?
35
32. Какова вероятность того, что при 5 бросаниях игральной кости появится
хотя бы один раз шестерка? Хотя бы два раза пятерка?
33. Подводная лодка атакует крейсер, выпуская по нему одну за другой 4
торпеды. Вероятность попадания каждой торпедой равна 0.75. Любая из
торпед с одинаковой вероятностью может пробить один из 10 отсеков
крейсера, которые в результате попадания наполняются водой. При
заполнении хотя бы двух отсеков крейсер тонет. Вычислить вероятность
гибели крейсера в результате этой атаки.
34. Вероятность встретить на улице знакомого равна 0.2. Сколько среди первых
100 случайных прохожих можно надеяться встретить знакомых с
вероятностью 0.95?
35. Вероятность рождения мальчика 0.515. какова вероятность того, что среди
80 новорожденных 42 мальчика?
36. Среди 1000 человек приблизительно 8 левшей. Какова вероятность того, что
среди сотни наугад выбранных человек не окажется ни одного левши?
37. Вероятность получения по лотереи проигрышного билета равна 0.1. Какова
вероятность того, что среди 500 наугад купленных билетов не менее 48 и не
более 55 безвыигрышных?
38. Вероятность того, что смерть человека произойдет на 21-м году жизни равна
0.006. Застраховано 1000 двадцатилетних людей. Годовой взнос каждого
1500 рублей. В случае его смерти страховая кампания выплачивает 120 000
рублей. Какова вероятность того, что в конце года выплата по страховкам
превысит сумму страховых взносов?
39. Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того, что герб повился
два раза?
40. Производится залп в 50 выстрелов. Вероятность одного попадания 0.04.
Найти вероятность того, что при залпе будет два попадания.
41. В результате многолетних наблюдений для некоторой местности было
выяснено, что вероятность того, что 1 июля будет дождь, равна
4
. Найти
17
наивероятнейшее число дождливых дней 1-го июля на ближайшие 50 лет.
42. При некотором технологическом процессе 85% продукции первого сорта.
Найти наивероятнейшее число изделий первого сорта в партии из 150
изделий.
36
43. Вероятность рождения девочки 0.49. Найти наивероятнейшее число девочек
из 250 родившихся детей 1 января.
20 июня 2008г.
_________________________/Г. Тюрникова
37