Тензорная алгебра Реферат на тему:
реклама
Реферат на тему: Тензорная алгебра План: Введение 1 Определение 2 Функториальность 3 Некоммутативные многочлены 4 Факторалгебры 5 Вариации и обобщения Введение Тензорной алгеброй линейного пространства V (обозначается T(V)) называется алгебра тензоров любого ранга над V с операцией тензорного умножения. Также тензорной алгеброй называется соответствующий раздел линейной алгебры (то есть раздел, занимающийся тензорами, определёнными над одним линейным пространством, в отличие от тензорного анализа, занимающегося тензорными полями, заданными на касательном расслоении многообразия и дифференциальными соотношениями для этих полей). 1. Определение Пусть V — векторное пространство над полем K. Для любого натурального числа k определим k-ую тензорную степень V как тензорное произведение V на себя k раз: Таким образом, TkV состоит из всех тензоров над V ранга k. Будем считать, что T0V — это основное поле K (одномерное векторное пространство над собой). Определим T(V) как прямую сумму TkV для всех k = 0,1,2,… Умножение в T(V) определяется задаваемым тензорным произведением каноническим изоморфизмом: который потом продолжается по линейности на всю T(V). Такое умножение превращает тензорную алгебру T(V) в градуированную алгебру. 2. Функториальность Тензорная алгебра T(V) — это свободная алгебра векторного пространства V. Тензорная алгебра является наиболее общей алгеброй пространства V, то есть любое линейное отображение пространства V в алгебру A над K может быть продолжено единственным образом до гомоморфизма коммутативной диаграммой: . Это утверждение выражается где i — каноническое вложение V в T(V). Тензорную алгебру можно определить как единственную (с точностью до изоморфизма) алгебру, обладающую таким свойством, хотя необходимо ещё явно показать, что такая алгебра существует. Таким образом, тензорная алгебра функториальна, то есть T — это функтор из категории K-Vect векторных пространств над K в категорию K-Alg K-алгебр. 3. Некоммутативные многочлены Если размерность V конечна и равна n, то тензорную алгебру можно рассматривать как алгебру многочленов над K с n некоммутативными переменными. Базисным векторам V соответствуют некоммутативные переменные, причем их умножение будет ассоциативным, дистрибутивным и K-линейным. Заметим, что алгебра многочленов над V — это не T(V), а T(V * ): однородная линейная функция на V является элементом сопряженного пространства V * . 4. Факторалгебры В силу общности тензорной алгебры многие другие важные алгебры пространства V можно получить, накладывая определенные ограничения на образующие элементы тензорной алгебры, то есть строя факторалгебры от T(V). Например, так можно построить внешнюю алгебру, симметрическую алгебру и алгебру Клиффорда. 5. Вариации и обобщения Конструкция тензорной алгебры над линейным пространством естественно обобщается до тензорной алгебры над модулем M над коммутативным кольцом. Если R — некоммутативное кольцо, можно построить тензорное произведение для любых Rбимодулей над M. Для обычных R-модулей оказывается невозможным построить кратное тензорное произведение.
