Тема «Матрицы и определители. Системы линейных уравнений

Методическое пособие
по математике по теме:
Матрицы и определители.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Алгебра - раздел математики, изучающий операции, аналогичные сложению, вычитанию, умножению и
делению, и выполнимые не только над числами, но и над другими математическими объектами.
В центре внимания алгебры оказываются свойства операций, а не объекты, над которыми производятся
операции.
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1.1
Основные определения
Совокупность m x n чисел или иных математических объектов, расположенных в виде прямоугольной
таблицы с m строками и n столбцами, называется матрицей размеров m x n или прямоугольной
матрицей. Такие числа или иные математические объекты, из которых составлена матрица, называются
элементами матрицы.
Если число строк матрицы равно числу столбцов, то такая матрица называется квадратной.
Если
поменять
местами
идентичные
по
номеру
столбцы
и
строки,
то
получим
транспонированную матрицу.
Примеры матриц:
 2 0 sin 
A   3x 4 1,5
 5 6 3x

4 
152
12
1
4  ;
7 
3 x 5 
 2


0
4
6
 1 15 3 


B   2 24 5  ; AT   sin  1,5 3x  .


 4 11 2 


 4   152 12 
 1
4
7 

Здесь А – матрица размером 3 х 5, В – квадратная матрица третьего порядка, АТ –
транспонированная матрица А.
В общем виде элементы любой матрицы могут обозначаться символически аij, где i – номер
строки, в которой расположен элемент, а j – номер столбца.
Определителем (детерминантом) n-го порядка, соответствующим квадратной матрице Аnn
называется число, правила вычисления которого покажем ниже.
В отличие от матрицы, определитель записывается в прямых скобках. Например, для
вышеприведенной матрицы В можно записать определитель
b11 b12 b13 1 15 3
D  det B  b21 b22 b23  2 24 5 .
b31 b32 b33 4 11 2
Минором Мij называется определитель, полученный вычеркиванием в исходном определителе i
– ой строки и j – го столбца.
Таким образом, получаем определитель на один порядок меньший, чем исходный определитель.
Например,
M 23 
b11 b12 1 15

.
b31 b32 4 11
Алгебраическим дополнением элемента аij называется минор, умноженный на (-1)i+j, где i+j – сумма
номеров строки и столбца для элемента аij. Например,
A23   1
23
1 15
1 15

4 11
4 11
Важно помнить, что матрица – это прямоугольная таблица чисел или функций, а определитель –
это число!
1.2
Основные свойства определителей n-го порядка:
1.2.1.Общий множитель всех элементов некоторой строки (столбца) определителя можно
вынести за знак определителя.
1.2.2. Определитель не изменится, если к элементам одного из его столбцов (строк) прибавить
соответствующие по номеру элементы любого другого столбца (строки), умноженные на некоторое
число.
1.2.3. Если некоторый столбец (или строка) состоит из нулей, то определитель равен 0.
1.2.4. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен 0.
1.3 . Основные методы вычисления определителей n-го порядка
Существует несколько способов вычисления определителей, основными из которых являются:
1.3.1. Вычисление определителей 2-го порядка с помощью перемножения элементов главной и
побочной диагоналей. В определителе
a11 a12
a 21 a 22
главной называют диагональ, состоящую из элементов
a12
и
a 21 .
a11
и
a 22 , а побочной - диагональ из элементов
Заметим, что аналогично определяется понятие главной диагонали и для определителей
более высокого порядка.
1.3.2. Вычисление определителей 3-го порядка путем дописывания строк или столбцов – метод
Саррюса. Применение этого метода приведено ниже в примере 2.
1.3.3. Метод рекуррентных соотношений или метод разложения по элементам какой-либо строки
или столбца. Общее выражение для вычисления определителя n – го порядка путем разложения его,
n
например, по элементам первой строки выглядит так
det A   (1)1k a1k M 1k
k 1
Использование метода разложения показано ниже, в примере 3.
1.3.4. Метод изменения элементов определителя. В данном методе используется свойства
определителей 1.2.1 и 1.2.2.
Примеры вычисления определителей.
1. Вычисление определителя второго порядка
Величина определителя
Например,
det A 
a11 a12
= a11  a22  a12  a21 .
a 21 a 22
3 4
 3  2  4  5  14 .
5 2
2. Вычисление определителя третьего порядка.
Наиболее простым способом является дописывание снизу определителя двух первых строк,
a11 a12 a13
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23  a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
a 31 a 32 a 33
a11 a12 a13
т.е.
a 21 a 22 a 23
В образованной таблице чисел перемножаются элементы, стоящие на главной диагонали, знак
результата произведения не изменяется. Затем аналогичным образом следует поступить с элементами,
стоящими на диагоналях, параллельных главной.
Следующим этапом вычислений является аналогичное перемножение элементов, стоящих на
побочной диагонали и на параллельных ей. Знаки у результатов произведений меняются на
противоположные.
Окончание вычислений заключается в сложении полученных шести результатов.
образом, величина определителя будет равна
a11  a 22  a 33  a 21  a 32  a13  a 31  a12  a 23 
a13  a 22  a 31  a 23  a 32  a11  a 33  a12  a 21
Например,
16 0 2 16 0 2
det A  8 1 1  8 1 1  16 1  4 
24 3 4 24 3 4
16 0 2
8 1 1
8  3  2  24  0  1  2  1  24  1  3  16  4  0  8  64  48  48  48  16
Таким
ТИПЫ МАТРИЦ. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ МАТРИЦ
Матрицы впервые были введены в математику английским математиком Артуром Кэли в 1857 году.
Матричные обозначения компактны, удобны и весьма полезны при выполнении линейных
преобразований и решении систем линейных алгебраических уравнений.
Напомним, что матрицу можно определить как квадратную или прямоугольную таблицу чисел или
функций.
1.4
Основные типы матриц:
1) Скаляр – это матрица порядка (1,1).
2) Вектор-столбец - матрица порядка (m,1).
3) Вектор-строка - матрица порядка (1,n).
4) Диагональная матрица – это квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют условиям aij =0
при i ≠ j, т.е. все элементы, не стоящие на главной диагонали равны 0.
5) Единичная матрица (Е) – это диагональная матрица, у которой все элементы на главной диагонали
равны единице.
6) Транспонированная матрица (МТ) – определение дано выше.
7) Вырожденная (особая) матрица – это такая квадратная матрица, детерминант которой равен 0.
8) Обратная матрица. Нахождение элементов и свойства этой матрицы приведем ниже.
Примеры некоторых матриц:
4
A   3 ;
C   0  ;
B   sin x  ;
 
 2 
D   5 4 1 ;
5 0 0
F   0 2 0  ;
0 0 3


1 0 0
E   0 1 0 
0 0 1


Здесь А и В – матрицы-скаляры, С – матрица-столбец, D- матрица-строка, F – диагональная матрица, E –
единичная матрица.
1.5
Основные алгебраические операции с матрицами
2.2.1. Равенство двух матриц. Две матрицы считают равными, если эти матрицы имеют одинаковые
размерности и равны все их соответствующие элементы.
2.2.2. Сложение двух матриц. Сложить можно только матрицы одинаковой размерности. Суммой
матриц А и В называют матрицу С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов
складываемых матриц. Например,
2
 4 2 4 
;
9 1 
5 4
A
; B  
 3 1 1 
5
24
52
44 
6
3
8
A B  


 3  5 1  9 1  (1)   2 10 0 
Некоторые свойства сложения матриц
А + В = В + А;
(А + В) + С = А +(В + С).
2.2.3. Умножение матрицы на число. Все элементы исходной матрицы умножаются на заданное число.
Например,
6 3 8
;
 2 10 0 
A
18 9 24 
3A  
.
 6 30 0 
2.2.4. Умножение матриц. Две матрицы могут быть перемножены только тогда, когда число столбцов в
первой из них равно числу строк во второй (такие матрицы называются согласованными).
Результирующая матрица будет иметь столько же строк, как первая, и столбцов, как у второй матрицы.
То есть, если матрица А имеет размер [n,p], а матрица В - размер [p,m], то результирующая матрица
будет иметь размер [n,m]
Символически это правило может быть выражено в следующем виде:
(n,p) х (p,m) = (n,m)
Для вычисления элементов результирующей матрицы существует следующее правило: элементы,
стоящие в i-ой строке и j- ом столбце, равны сумме произведений элементов первой матрицы, стоящих
в i-ой строке на элементы второй матрицы, стоящие в j- ом столбце.
Рассмотрим вначале умножение матрицы-строки А на матрицу-столбец В. Так как размерности матриц
равны [1,p] и [p,1], то размер результирующей матрицы будет равным [1,1], т.е. получаем матрицускаляр. Например,
A  (2 5 1);
4
B   6  ;
3
 
A  B  C   2  4  5  6  1  3    41
Примеры умножения матриц произвольного порядка:
 2 4 3
B   0 2 5  ;
 1 1 7 


1) A   6 1  ;


 2 3
A B C  ?
Данные матрицы перемножить невозможно, так как они не являются согласованными – количество
столбцов в первой матрице равно 2, а количество строк во второй матрице равно 3.
4
2
 4 2 4 

3  ; B  
;
5
9

1


3 5 


2) A   1

A B C  ?
Данные вычисления могут быть записаны и в таком виде
4 2 
 4 2 4 
A  B  C   1 3   

5
9

1

3 5  


4  (2)  2  9
4  4  2  (1)   26 10 14 
 4  4  25

 

 1  4  (3)  5 1  (2)  (3)  9 1  4  (3)  (1)    11 29 7 
 3 4  55
3  (2)  5  9
3  4  5  (1)   37 39 7 

3) Выполним теперь умножение матриц В х А. Получаем
 4 2 4 
B 
;
 5 9 1 
4 2 
A   1 3  ;
3 5 


B A D ?
Очевидно, что размеры результирующей матрицы D - [2,2].
 4  4  (2)  1  4  3
D B A 
 5  4  9  1  (1)  3
4  2  (2)  (3)  4  5   26 34 


5  2  9  (3)  (1)  5   26 22 
Из примеров 2 и 3 видно, что произведение матриц не коммутативно (в общем случае), т.е.
A B  B  A
.
Некоторые свойства произведений матриц
А(ВС) = (АВ)С;
А(В + С) = АВ + АС;
(А + В)С = АС + ВС;
(АВ)Т = ВТАТ
2.2.5. Умножение матрицы-столбца на матрицу-строку. Проиллюстрируем данную операцию на
примере:
24
22   6 8 4 
2
 23
 

 

C  A  B   1   3 4 2   1  3
14
12    3 4 2 
 1 
 (1)  3 (1)  4 (1)  2   3 4 2 
 

 

т.е. получаем квадратную матрицу.
2.2.6. Умножение квадратной матрицы на матрицу-столбец. Покажем выполнение данной операции
для матриц, заданных в общем виде:
 a11 a12 a13   x   a11 x  a12 y  a13z 

   

 a 21 a 22 a 23    y    a 21 x  a 22 y  a 23z 
a
   

 31 a 32 a 33   z   a 31 x  a 32 y  a 33z 
Сравнивая с системой линейных алгебраических уравнений
 a11 x  a12 y  a13 z  b1

a 21 x  a 22 y  a 23 z  b2
a x  a y  a z  b
32
33
3
 31
 a11 a12 a13 
A   a 21 a 22 a 23  ;
a

 31 a 32 a 33 
x
X   y
z

и обозначив


;


 b1 
B   b2  ,
b 
 3
можно получить следующую компактную запись (не только для данной системы из трех уравнений, но
и для любой другой)
AX B .
Замечание. Операция деления в линейной алгебре не определена. Деление на матрицу заменяется
умножением на обратную ей.
1.6
Обратная матрица
Квадратная матрица В=А-1 называется обратной по отношению к матрице А с такими же
размерами, если
АВ = ВА = Е
Алгоритм вычисления элементов обратной матрицы А-1 таков:
1.6.1
Вычисляется определитель матрицы А.
1.6.2
Каждый
элемент
матрицы заменяется соответствующим минором. Знаки
определяются из выражения (-1)i+j.
1.6.3
Транспонировав полученную матрицу, получаем вспомогательную матрицу А *.
1.6.4
Все элементы матрицы А* делят на величину определителя матрицы А.
Таким образом, элементы обратной матрицы могут быть определены как
у миноров
A
ji
.
b 
ij
det A
В последнем выражении следует обратить внимание на последовательность индексов у величин
b и
ij
A .
ji
Пример. Найти матрицу, обратную заданной матрице А:
5 4 1 


A   3 2 2  ;
2 2 1 


5 4 1
det A  3 2 2  4;
2 2 1
Решение.
A 11 
2 2
 6;
2 1
A 21  
A 31 
4 1
 2;
2 1
4 1
 10;
2 2
 A11

A *   A 12
A
 13
A 21
A 22
A 23
3 2
 7;
2 1
A 12  
A 22 
5 1
 3;
2 1
A 32  
5 1
 13;
3 2
A 31 

A 32  ;
A 33 
A
1
3 2
 2;
2 2
A 13 
A 23  
A 33 
5 4
 2;
2 2
5 4
 2;
3 2
 6 2 10   3 / 2 1 / 2 5 / 2 
1
 

  7 3 13    7 / 4 3 / 4 13 / 4 
4
 

 2 2 2   1 / 2 1 / 2 1 / 2 
Проверку правильности нахождения обратной матрицы легко выполнить, учитывая, что произведение
исходной матрицы на обратную должно дать единичную матрицу, т.е.
A  A 1  A  A 1  E .
Замечание. Нахождение обратной матрицы второго порядка (и только второго порядка) можно
выполнить следующим простым способом:
1) найти определитель исходной матрицы А;
2) в исходной матрице А поменять местами элементы, стоящие на главной диагонали, изменить
знаки на противоположные у элементов побочной диагонали, т.е. получить вспомогательную
матрицу;
3) разделить элементы вспомогательной матрицы на величину определителя.
4 1
1  2 1   2 / 5 1 / 5 
1

.
 , то det A  5 и A  
5  3 4   3 / 5 4 / 5 
 3 2
Например, если A  
2
МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Иногда возникает задача нахождения неизвестной матрицы
Х в уравнениях, содержащих
произведения неизвестной и известных матриц. Рассмотрим три типа таких уравнений А.Х = В, Х.А = В
и А.Х.В = С.
Здесь матрицы А, В и С – известные матрицы.
Рассмотрим метод решения каждого из представленных типов уравнений.
В первом уравнении, домножив слева обе части уравнения на матрицу А-1, получим
A  A 1  X  A 1  B . Так как A  A 1  E , то имеем E  X  A 1  B , а умножение на единичную
матрицу не меняет величину левой части (эквивалентно умножению на единицу при работе с числами),
то получаем выражение для нахождения неизвестной матрицы X  A 1  B .
Здесь важно помнить, что произведение матриц не коммутативно, следовательно, домножать обе
части уравнения необходимо именно слева.
Аналогично поступая с уравнением второго типа, имеем
X  A  A 1  B  A 1  X  E  B  A 1  X  B  A 1
При решении уравнения третьего типа имеем (домножая обе части уравнения слева на A 1 и
справа на B 1 )
A  X B  C
 A  A 1  X  B  B 1  A 1  C  B 1
 X  A 1  C  B 1
Пример решения матричного уравнения:
2 1
Дано уравнение 
X
3 2
 3 1   2 4 

 
 . Найти неизвестную матрицу Х.
 1 2   3 1 
Выполнив ранее указанные действия, получаем
2 1
 3 1   2 4 

X 
 

3 2
 1 2   3 1 
 A  X B  C
 X  A 1  C  B 1
2 1
 2 1 
1
 ; det A  1; A  
;
3 2
 3 2 
3 1
1  2 1 
1
B 
 ; det B  5; B  
;
5  1 3 
1 2 
A
9 
 7
;
 12 14 
A 1  C  
X  A 1  C  B 1 
9   2 1   23 / 5 34 / 5 
1  7



.
5  12 14   1 3   38 / 5 54 / 5 
Как и при решении алгебраических уравнений рекомендуется после нахождения решения
сделать проверку, подставив найденное решение в исходное уравнение и убедившись в получении
тождества.
3
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ)
Пусть требуется найти решение СЛАУ n-го порядка (n уравнений с n неизвестными xi):




.


a11 x 1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a 21 x 1  a 22 x 2  ...  a 23 x n  b2
. . .. . .. . .. . .. . .. .
an 1 x 1  an 2 x 2  ...  ann z  bn
Рассмотрим 3 наиболее распространенных метода решения таких СЛАУ.
Решение СЛАУ матричным методом
3.1
Как было показано в п. 2.2.6. система алгебраических уравнений может быть представлена в виде
матричного уравнения A  X  B , если представить коэффициенты при неизвестных величинах
матрицей А размером [n,n], неизвестные величины матрицей-столбцом Х размером [n,1], а свободные
члены матрицей-столбцом В размером [n,1]:
 a11

A
a
 n1
a1n 
 x1 

 
; X   ;
x 
ann 
 n
Тогда решение системы уравнений будет иметь вид:
X  A 1  B
Пример решения СЛАУ
Пусть дана система уравнений
Обозначив
3x  2y  z  3

3x  y  3z  8 .
5x  4y  z  3

3 2 1
x 


 
A  3 1 3 ; X   y  ;
5 4 1
z 


 
3
 
B   8  , получаем
 3
 
1
X  A 1
Вычислив A 1
3 2 1


  3 1 3
5 4 1


x

X  y
z

3 2 1 3

  
 B  3 1 3   8 .
5 4 1  3

  
1
 11 / 2 1 5 / 2 


  6
1
3  , получаем
 7 / 2 1 3 / 2 


  11 / 2 1 5 / 2   3   1 
 
    
1
3    8    1  .
   6
  7 / 2 1 3 / 2   3   2 
 
    
 b1 
 
B  
b 
 n
Отсюда имеем решение СЛАУ: x = 1; y = -1; z = 2.
Замечание. Решение СЛАУ матричным методом легко реализовать на ЭВМ. В частности, в табличном
процессоре EXCEL, входящим в пакет Microsoft Office, имеются встроенные функции, которые могут
быть использованы для решения задач линейной алгебры:
-
МОПРЕД – вычисляется определитель квадратной матрицы;
-
МУМНОЖ – осуществляется перемножение заданных матриц;
-
МОБР – вычисляется обратная матрица.
3.2
Решение СЛАУ с помощью формул Крамера
По правилу Крамера для СЛАУ n-го порядка следует составить и вычислить n + 1 определитель:
один главный определитель системы det A, составленный из коэффициентов при неизвестных, т.е.
определитель матрицы А из предыдущего метода, и n вспомогательных определителей Dk, аналогичных
det A, в котором столбцы коэффициентов при неизвестных последовательно заменяются столбцами
свободных членов. Например, для неизвестной х2, имеем
D2  Dx 
2
a11
a 21
b1
b2
a13
a 23
a1n
a 2n
an 1 bn
an 3
ann
.
На основании свойств определителей можно записать, что
det A  x j  D j .
Например, для определителя третьего порядка
a11 a12 a13
a11 a12 a13
a11 x 1 a12 a13
det A  a 21 a 22 a 23 . det A  x 1  a 21 a 22 a 23  x 1  a 21 x 1 a 22 a 23 .
a 31 a 32 a 33
a 31 a 32 a 33
a 31 x 1 a 32 a 33
Умножив второй столбец на х2, а третий на х3 и сложив их с первым столбцом (согласно
свойствам определителей их величина от такого преобразования не изменяется), получим
a11 x 1  a12 x 2  a13 x 3 a12 a13
b1 a12 a13
det A  x 1  a 21 x 1  a 22 x 2  a 23 x 3 a 22 a 23  b2 a22 a23  D x .
1
a 31 x 1  a 32 x 2  a 33 x 3 a 32 a33
b3 a32 a33
Из этого выражения следует, что x 1 
Dx
1
det A
.
Аналогичные преобразования можно выполнить и для других неизвестных. В общем виде
формулы Крамера представляются как
xk 
Dx
k
det A
.
Таким образом, если главный определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными
det A отличен от нуля, то система имеет единственное решение.
Пример решения системы уравнений с помощью формул Крамера:
Дана СЛАУ
 x  2y  3z  9

 2x  4y  z  11 . Найти неизвестные x, y и z.
3x  4y  2z  18

Решение.
Вычислим определители:
1 2 3
det A    2 4 1  14;
3 4 2
Dy  y
Dx  x
1 9 3
 2 11 1  14;
3 18 2
9 2 3
 11 4 1  56;
18 4 2
1 2 9
D z   z  2 4 11  14.
3 4 18
Находим неизвестные по формулам Крамера
x 
x
56

 4;

14
y 
y


14
 1;
14
z 
z
14

 1.

14
Как предлагалось ранее, после нахождения решения СЛАУ рекомендуется выполнить проверку,
подставив найденные величины неизвестных во все уравнения системы, и убедиться, что все уравнения
обращаются в тождества.
3.3
Решение СЛАУ методом Гаусса
Наиболее распространенным (без использования ЭВМ) методом решения СЛАУ является метод
Гаусса, в основе которого лежит идея последовательного исключения неизвестных.
Рассмотрим для примера конкретную систему из трех уравнений
3x  2y  z  5

 x y z 0
4 x  y  5z  3

Переставим уравнения 1 и 2 (так удобнее для вычислительного процесса):
 x y z 0

3x  2y  z  5
4 x  y  5z  3

От второй строки вычтем первую, умноженную на 3 (коэффициент при х), а от третьей – первую,
умноженную на 4 (также коэффициент при х в третьем уравнении), получим систему уравнений, в
которой неизвестная величина х присутствует только в первом уравнении (уже отсюда ясно, для чего в
первом уравнении исходной системы коэффициент при х желательно иметь равным единице – удобнее
подбирать множители перед вычитанием из последующих уравнений)
 x y z 0

  y  4z  5 .
  5y  9z  3

Затем вторую строку умножим на 5 и вычтем из третьей





x y z 0
.
 y  4z  5
 11z  22
В итоге получаем систему ступенчатого типа, решение которой (начиная с последнего
уравнения) не представляет труда. Получаем
Z = 2: Y = 4Z - 5 = 3; X = Z - Y = -1.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
1 ВАРИАНТ
2 ВАРИАНТ
3 ВАРИАНТ
4 ВАРИАНТ
ИВАНЮТА Т.
ЮДИНА В.
СПИРИДОНОВА Н.
ТИХАНОВА П.
ВАСИЛЬЕВ И.
АНДРЕЕВА Е.
БАСОВА С.
БАКУШЕВ С.
БРЕХОВ А.
ВЬЮГИН М.
ВИНОГРАДОВ В.
ДРУЖКОВ Е.
ЛИТВИНЕНКО К.
ИВАНЮТА О.
НИКОЛАЕВ Д.
НИКИФОРОВ С.
ИВАНОВ С.
НИКОЛАЕВ А.
НУЖДИН Я.
ПРОХОРОВ Р.
ФРАНЦЕН М.
ЧОРНОУЗ В.
ЕФИМОВ В.
АЛЕКСЕЕВ А.
Контрольная работа
по дисциплине «Элементы высшей математики»
Вариант I
Тема «Матрицы и определители. Системы линейных уравнений»
Задание 1.Найти матрицу С = 3А – 2В, если
4
А = (−1
2
2
2
−1
7
1
)
(
;
В
=
−5
4
3
6
3
−3
−4
−2
1 ).
2
Записать матрицу СТ.
Задание 2.Найти произведение матриц АВ:
2 1
4 −1 −3
а) А = (
), В = (
)
−3 0
2 −5 0
1 2 −3
6 4
б) А = (3 2 −4), В = (2 1
2 −1 0
3 3
5
2)
3
Задание 3. Найти определитель матрицы:
2
3
5
(4
2 −4)
−1 −1 2
Задание 4. Найти обратную матрицу:
1
2
2
А = ( 0 −2 −3)
−1 1
2
Задание 5.Решить систему линейных уравнений
а) по правилу Крамера;
б) методом обратной матрицы
2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 3,
{𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 = −1,
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 5
Контрольная работа
по дисциплине «Элементы высшей математики»
Вариант II
Тема «Матрицы и определители. Системы линейных уравнений»
Задание 1.Найти матрицу С = 3B – 2A, если
5
А = (−8
6
4
3
−5
3
1
−1) ; В = (0
3
7
1
4
−1
2
−5)
0
Записать матрицу СТ.
Задание 2.Найти произведение матриц АВ:
2 0
3 4 2
а) А = (
), В = (1 3)
1 0 5
0 5
1 2
0
1 0
б) А = (5 0 −4), В = (3 1
2 −1 0
3 2
2
0)
3
Задание 3. Найти определитель матрицы:
1
(3
4
−2 3
5 −1)
1
2
Задание 4. Найти обратную матрицу:
2 −2 1
А = (2 1 −2)
1 2
2
Задание 5.Решить систему линейных уравнений
а) по правилу Крамера;
б) методом обратной матрицы
𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −3,
{−2𝑥1 + 6𝑥2 + 9𝑥3 = −11,
−4𝑥1 − 3𝑥2 + 8𝑥3 = −2
Контрольная работа
по дисциплине «Элементы высшей математики»
Вариант III
Тема «Матрицы и определители. Системы линейных уравнений»
Задание 1.Найти матрицу С = 2А – 4В, если
7 −4 2
4 7
А = (0 6 −8) ; В = (9 −2
3 −9 1
3 −8
−1
5)
4
Записать матрицу СТ.
Задание 2.Найти произведение матриц АВ:
2
а) А = (
0
0 3
1 1
), В = ( 1 5)
3 2
−1 1
1 2 3
1
б) А = (1 2 4), В = (0
0 −1 0
3
1 5
1 2)
0 3
Задание 3. Найти определитель матрицы:
5
(3
2
4 1
2 −2)
2 1
Задание 4. Найти обратную матрицу:
2 1 −1
А = (5 2 4 )
7 3 2
Задание 5. Решить систему линейных уравнений
а) по правилу Крамера;
б) методом обратной матрицы
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 3,
{ 2𝑥1 + 6𝑥2 + 4𝑥3 = −6,
3𝑥1 + 10𝑥2 + 8𝑥3 = 21
Контрольная работа
по дисциплине «Элементы высшей математики»
Вариант IV
Тема «Матрицы и определители. Системы линейных уравнений»
Задание 1.Найти матрицу С = 2А + 5В, если
0 6 −8
0
2 −4
А = (3 −9 1 ) ; В = (−1 −3 6 )
7 −4 2
7 −5 1
Записать матрицу СТ.
Задание 2.Найти произведение матриц АВ:
3
а) А = (
1
1 2 7
2
), В = (
)
0 4 8
1
1 −2 −3
1 0
б) А = (0 2
),
В
=
(
4
2 1
2 0
1
1 3
3
1)
2
Задание 3. Найти определитель матрицы:
16 0 2
( 8 1 1)
24 3 4
Задание 4. Найти обратную матрицу:
1
2
2
А = ( 0 −2 −3)
−1 1
2
Задание 5.Решить систему линейных уравнений
а) по правилу Крамера;
б) методом обратной матрицы
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 0,
{3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 5,
4𝑥1 − 𝑥2 + 5𝑥3 = 3