Лекция № 19

Лекция № 19
Банаховы алгебры
Ранее мы изучали линейные нормированные пространства. Был
выделен важный класс – банаховы пространства. Эта лекция посвящена
введению в теорию банаховых алгебр, т.е. банаховых пространств, в которых определено умножение элементов.
Определение и примеры банаховых алгебр. Напомним, что
линейным пространством называется непустое множество элементов, в
котором введены две операции – сложение элементов и умножение их
на числа, удовлетворяющие восьми аксиомам, сформулированных в
лекции № 8.
Определение 1. Линейное пространство X называется алгеброй, если в нем введена еще одна операция – умножение, которое удовлетворяет следующим аксиомам:
(1) ( xy) z  x( yz) .
(2) x( y  z )  xy  xz , ( y  z ) x  yx  zx .
(3)  ( xy)  (x) y  x(y) .
(4) Если существует элемент e  X такой, что ex  xe  x для всех
x  X , то e называется единицей алгебры X , а сама алгебра
называется алгеброй с единицей.
Заметим, что единица в алгебре всегда единственна, ибо если бы
элемент e~ также обладал бы свойством (4), то мы бы получили
e~
ee  ~
e.
(5) Если операция умножения коммутативна, т.е. если выполняется
аксиома xy  yx , то алгебру X называют коммутативной алгеброй.
Коммутативные алгебры с единицей и будут, в основном, предметом нашего изучения. Всюду в этой лекции числовое поле, над которым рассматриваются наши алгебры, это поле комплексных чисел C .
В лекции № 9 было введено понятие нормированного пространства, т.е. линейного пространства, снабженного нормой || x || , удовлетворяющей трем аксиомам.
Определение 2. Нормированное пространство X называется
нормированной алгеброй, если оно является алгеброй с единицей, и при
этом выполнены еще две аксиомы:
239
(6) || e || 1 .
(7) || xy |||| x ||  || y || .
Если еще нормированная алгебра X полна (т.е. является банаховым пространством), то она называется банаховой алгеброй.
Отображение F : X  Y называют гомоморфизмом алгебры X
и Y , если выполнены условия
(1)
F ( x  y)  Fx  Fy ,
(2)
F (x)  Fx ,
(3)
F ( xy)  Fx  Fy .
Две алгебры, X и Y , называются (алгебраически) изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение F , удовлетворяющее условиям (1) – (3).
Нормированные пространства X и Y называют изометричными, если существует взаимно однозначное отображение F : X  Y ,
удовлетворяющее условиям (1) и (2) и, кроме того, условию
|| Fx ||Y || x || X .
Определение 3. Две банаховы алгебры X и Y называются
изометрически изоморфными, если существует алгебраический изоморфизм F : X  Y , являющийся изометрией X и Y как нормированных пространств.
Примеры банаховых алгебр. Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. Комплексные числа {z} – простейший пример банаховой алгебры, если ввести норму формулой || z || | z | x 2  y 2 ,
( z  x  iy ).
Комплексные числа образуют поле C . В нем для всех элементов, кроме нуля, определено деление – операция, обратная умножению.
Можно показать, что C есть единственная нормированная алгебра, являющаяся полем.
Пример 2. Пусть T – некоторое компактное хаусдорфово топологическое пространство. Обозначим через C (T ) линейное пространство всех непрерывных комплекснозначных функций x(t ) , заданных на
T с обычными для функций операциями сложения и умножения на числа, в котором норма определяется равенством
|| x || max | x(t ) | .
tT
240
Ранее рассматривался частный случай этой коммутативной банаховой
алгебры – это алгебра C[a, b] . Единицей в этой алгебре служит функция
e(t )  1 .
Задача 1. Убедитесь, что C (T ) действительно есть коммутативная банахова алгебра.
Пример 3. Алгебра A(K ) аналитических функций в круге состоит из всех функций x(z) комплексного переменного z , определенных и непрерывных в круге
K  {z :| z | 1}
и аналитических внутри этого круга. Определим умножение в A(K ) как
обычное умножение функций, и зададим норму формулой
|| x ||  max | x( z ) | .
| z |1
A(K ) таким образом превращается в коммутативную банахову алгебру
с единицей.
Пример 4. Алгебра l1 , элементами которой являются последовательности
|| x || 
x  (0 ,1,...,  n ,...)
комплексных чисел, для которых

 |  k |   . Превратим его в банахову алгебру, определив умно-
k 0
жение следующим образом: если
x  (0 ,1,...,  n ,...) , а y  (0 ,1,..., n ,...) ,
то z  x  y определим как такую последовательность z  ( 0 , 1,...,  n ,...) ,
где
n 
n
  k n  k .
k 0
Так определенная операция умножения элементов из l1 называется
сверткой.
Пример 5. Рассмотрим Винерово кольцо W , элементами которого являются последовательности всех двусторонних абсолютно суммируемых последовательностей
x  (...,   k ,...,  1,0 ,1,...,  k ,...)
комплексных чисел с нормой || x || 

 |  k |   . Превратим его в бана-
k  
хову алгебру, определив умножение следующим образом: если
241
x  (...,   k ,...,  1,0 ,1,...,  k ,...) , а y  (...,  k ,..., 1,0 ,1,..., k ,...) ,
то произведение (свертку) z  x  y определим как такую последовательность, члены которой z  (...,   k ,...,  1, 0 , 1,...,  n ,...) определяются как
n 

  k n  k .
k  
Так определенная операция умножения элементов из W , называемая
сверткой, превращает банахово пространство W в коммутативную банахову алгебру с единицей.
Задача 2. Убедитесь, что l1 и W действительно есть коммутативные банаховы алгебры. Укажите единичные векторы этих алгебр.
Пример 6. Банахова алгебра ограниченных линейных операторов. Пусть X – банахово пространство. Рассмотрим пространство
L( X , X ) всех линейных непрерывных операторов, отображающих X в
себя, с обычными для операторов действиями сложения, умножения оператора на число и умножения (суперпозиции) операторов. L( X , X ) превращается в банахову алгебру, если ввести обычную операторную норму
|| A ||  sup || Ax || для любого A L( X , X ) .
|| x||1
Все факты, которые убеждают нас в том, что L( X , X ) – банахова алгебра, нами уже доказаны ранее. Алгебра L( X , X ) – важнейший пример
некоммутативной банаховой алгебры с единицей, в качестве которой
выступает тождественный оператор E : Ex  x  x  X .
Обратимые элементы.
Определение 4. Элемент x , принадлежащий коммутативной
банаховой алгебре с единицей, называется обратимым, если существует
такой элемент y  X , что
xy  yx  e , где e – единица алгебры X .
Элемент y называется обратным к x и обозначается через x 1 :
y  x 1 .
Лемма 1. Если расстояние от некоторого элемента x  X до
единицы e алгебры X не превосходит 1 , т.е. || e  x || 1 , то x – обратимый элемент.
Доказательство. Обозначим y  e  x ; тогда || y || 1 и
x  e  y . Таким образом, отыскание обратного к x свелось к отысканию обратного к e  y . Рассмотрим ряд e  y  y 2  ... y n  .... Так как
242
|| y || 1 , то этот ряд сходится по норме банахова пространства X к не
которому z  X , т.е. z  k  0 y k . Утверждается, что z является обратным к x . Действительно,
(e  y)(e  y  y 2  ... y n  ...)  (e  y  y 2  ... y n )  ( y  y 2  ... y n  ...)  e
Таким образом,

x 1  z  k 0 y k , где y  e  x .
(*)
Лемма доказана.
x0  e  x  X .
Лемма 2. Если последовательность {xn } элементов банаховой
алгебры X такова, что xn  e при n   , где e – единица алгебры X ,
Замечание 1. Принято считать, что
то xn1 существует при достаточно больших n , и xn1  e при n   .
Доказательство.
Действительно,
если
то
xn  e ,
yn  e  xn  0 , т.е. существует такое N  0 , что || e  xn || 1  n  N .
Тогда, согласно леммы 1, каждый из xn обратим при  n  N , и в силу
равенства (*)

xn1  k 0 ( yn )k  e  yn  ( yn )2  ... ( yn )k  ... ., ( yn  e  xn ).
Отсюда видно, что

xn1  e  yn  ( yn )2  ... ( yn )k  ...  k 1 ( yn )k ,
и, поскольку || yn || || e  xn || 1 , то



|| xn1  e || || k 1 ( yn ) k || k 1|| ( yn ) k ||  k 1|| yn || k 
|| yn ||
.
1 || yn ||
Так как yn  e  xn  0 , т.е. || yn || 0 при n   , то
|| xn1  e || || yn || (1 || yn ||)  0 .
Отсюда видим, что xn1  e . Лемма доказана.
Замечание 2. Равенство
|| y ||

k 1|| yn || k  1 || ny
n
||
– это просто сумма число-
вого ряда, которая легко вычисляется. Действительно, если число
то обозначим через
q таково, что | q | 1 ,
S m сумму
Sm  q  q 2  ...  q m ;
Тогда
243
qSm  q 2  q3  ... q m1 .
Вычитая из первого равенства второе, получаем:
Sm 

m1
qq
1 q
. Поскольку при
(1  q)Sm  q  q m1 ,
откуда
m   q m1  0 , то отсюда получаем равенство
q
k 1 q k  1  q .
Обозначим через Eоб множество обратимых элементов коммутативной банаховой алгебры X . Тогда, по доказанному, внутренность
единичного шара с центром в единице e содержится в Eоб , т.е.
{x  X :|| x  e || 1}  Eоб .
Но множество обратимых элементов не исчерпывается внутренностью
единичного шара с центром в единичном элементе нашей алгебры.
Лемма 3. Множество Eоб обратимых элементов банаховой алгебры X представляет собой открытое множество в X . Операция перехода от x к x 1 непрерывна.
Таким образом, множество Eоб обратимых элементов представляют собой топологическую группу по умножению.
Доказательство. Пусть x  Eоб . Докажем, что тогда существует   0 такое, что если || x  y ||  , то y  Eоб . Введем обозначение
z  x  y . Тогда
y  x  z  x(e  x1z) ,
так как x  Eоб , т.е. x 1 существует. Далее,
|| x1z |||| x1 ||  || z || 1 при || z || 1 || x1 || ,
Тогда || e  (e  x1z) |||| x1z || 1 , т.е. элемент (e  x 1z ) содержится
внутри единичного шара с центром в единице нашей алгебры и, следовательно, согласно леммы 1 он обратим. Но тогда обратим и
y  x(e  x1z) как произведение двух обратимых элементов. Далее, так
как (e  x1z)  e при || z || 0 , то согласно леммы 2 при достаточно
малом || z || имеем: (e  x1z)1  e . Поэтому
|| x1  y 1 |||| x1  x1(e  x1z)1 || 0 при || z || 0 .
Тем самым доказано, что операция перехода от x к x 1 непрерывна.
Лемма доказана.
244
Максимальные идеалы.
Определение 5. Идеалом I коммутативной алгебры X называется подпространство X (возможно незамкнутое, т.е. линейное многообразие), обладающее тем свойством, что для всякого y  I и любого
x  X произведение yx I . Идеал, состоящий из одного нуля, а также
идеал, состоящий из всего X , мы называем тривиальными и в дальнейшем исключаем из рассмотрения.
Максимальным называется идеал, не содержащийся ни в каком
другом нетривиальном идеале.
Отметим, что единица e нашей алгебры не может принадлежать нетривиальному идеалу I , так как если e  I , то по определению
ex  x  I  x  X , т.е. I  X .
Никакой из нетривиальных идеалов не содержит обратимых
элементов, т.е. I  Eоб   . Действительно, если x обратим и x  I , то
тогда xx1  e  I , откуда следует, что I  X , т.е. I тривиален. Поскольку внутренность единичного шара состоит из обратимых элементов, т.е.
S1(e)  {x  X :|| x  e || 1}  Eоб ,
то  (e, I )  1 . Поскольку еще нулевой элемент 0 алгебры принадлежит
любому идеалу, то приходим к выводу, что  (e, I )  1 .
Лемма 4. Для того чтобы элемент x  X был обратим, необходимо и достаточно, чтобы он не принадлежал ни к какому идеалу.
Необходимость. Если элемент x обратим и x  I , то тогда
xx1  e  I , откуда следует, что I  X , т.е. I тривиален.
Достаточность. Если элемент x0 банаховой алгебры X необратим, то существует идеал I , содержащий этот элемент. Рассмотрим
множество I x0  { y : y  x0 z, z  X } . Утверждается, что это – нетривиальный идеал. Действительно, если y1, y2  I x0 , то
1 y1  2 y2  1x0 z1  2 x0 z2  x0 (1z1  2 z2 )  I x0 ,
т.е. I x0 – подпространство.
Далее,  y  I x0 и  x  X имеем: yx  ( x0 z) x  x0 ( zx)  x0~
z  I x0 . Таким образом, I x0 – идеал. Так как x0  0 и необратим, то I x0 не может
совпадать со всей алгеброй X ; в противном случае существовал бы
245
элемент z0  X такой, что x0 z0  e , что противоречит необратимости
x0 . Лемма доказана.
Из предыдущих рассуждений следует, что множество обратимых элементов Eоб банаховой алгебры X есть дополнение к объединению идеалов:
Eоб  X \  I .
Пусть I – идеал. Рассмотрим его замыкание [ I ]  K . Утверждается, что K тоже идеал. Поскольку идеал I является линейным
многообразием, то очевидно, что K тоже замкнутое линейное подпространство. Далее, если y  K , то существует последовательность { yn } ,
yn  I , такая, что yn  y . Тогда для любого x  X имеем:
yx  lim yn x , и так как yn x  I , то отсюда следует, что yx  K , т.е. K –
n 
идеал. Замыкание [I ] нетривиального идеала I не может совпасть со
всей алгеброй X , так как  (e, I )  1 .
Выше изложенное резюмируем следующим образом:
Утверждение 1. Для того чтобы элемент x банаховой алгебры
X был обратим, необходимо и достаточно, чтобы x не принадлежал ни
к какому замкнутому идеалу, т.е.
Eоб  X \  K .
Введенное понятие (идеала) обсудим на примере алгебры C (T )
(см. пример 2). Пусть F – непустое подмножество компакта T . Множество
M F  {x(t )  C (T ) : x(t )  0, t  F} ,
состоящее из функций, обращающихся в нуль на F , образуют, очевидно, идеал в C (T ) .
Максимальные идеалы в C (T ) допускают простое описание,
являющиеся ключом к пониманию всего замысла теории коммутативных банаховых алгебр.
Лемма 5. Максимальный идеал алгебры C (T ) есть совокупность всех функций из C (T ) , обращающихся в нуль в какой-либо одной
фиксированной точке  0 множества T .
Доказательство. Пусть M 0  {x(t )  C(T ) : x( 0 )  0} . Для доказательства нашей леммы нам надо установить два факта:
(А) Идеал M 0 максимален;
246
(В) Если какой-то идеал M алгебры C (T ) максимален, то он
состоит из функций, обращающихся в нуль в какой-то фиксированной (одной!) точке из T .
(А) Если идеал M 0 не максимален, то существует идеал M такой, что
M 0  M . Пусть  (t )  M \ M 0 , т.е.  (t )  M , но  ( 0 )  0 . Тогда для
любой функции x(t )  C(T ) положим
z (t )  x(t ) 
x( 0 ) (t )
.
 ( 0 )
Тогда z ( 0 )  0 , т.е. z(t )  M 0  M . Но тогда
x( 0 )
  (t )  M
 ( 0 )
как линейная комбинация функций из M . Получили, что C (T )  M ,
т.е. идеал M тривиален, откуда делаем вывод, что M 0 – максимальx(t )  z (t ) 
ный идеал.
(В) Пусть какой-то идеал M алгебры C (T ) максимален. Возьмем
функцию 0 (t )  M . Так как идеал не может содержать обратимые элементы, то она обязательно обращается в нуль в какой-нибудь точке
 0  T , ибо в противном случае функция  0 (t ) была бы обратимым элементом алгебры C (T ) , так как тогда функция 1 0 (t ) непрерывна и является обратным элементом к  0 (t ) . Рассмотрим следующее подмножество идеала M :
M 0  { (t )  M : ( 0 )  0 ( 0 )  0}  M .
Поскольку это множество – максимальный идеал, то M 0  M . Лемма
доказана.
Таким образом, мы получили, что в случае банаховой алгебры
C (T ) непрерывных функций на компакте T между максимальными
идеалами и точками из пространства T можно установить взаимно однозначное соответствие. Это позволяет трактовать функции на T как
«функции на пространстве максимальных идеалов».
Спектр и резольвента.
Определение 6. Спектром  (x) элемента x банаховой алгебры X называется множество комплексных чисел  , для которых эле-
247
мент x  e необратим. Если же он обратим, т.е.    (x) , точку 
называют регулярной для элемента x  X .
Функция
(1)
Rx ( )  ( x  e)1 ,
определенная на множестве регулярных точек  элемента x , называется резольвентой этого элемента.
Спектральным радиусом r (x) элемента x  X называется число
r ( x)  sup |  | .
 ( x )
(2)
Таким образом, (при любом фиксированном x  X ) комплексная плоскость разбилась на два непересекающихся множества: множество регулярных значений   C таких, что при них элемент x  e  X обратим,
и оставшуюся часть комплексной плоскости, называемой спектром
 (x) элемента x  X .
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 7. Если X  C , т.е. X есть банахова алгебра комплексных чисел, то в ней обратимы все элементы, кроме нуля. Выражение ( x  e)1 в данном случае выглядит так:
(    1) 1 
1
, где  ,   C , т.е.   1  i 2 ,   1  i2 .
 
Тогда спектром любого элемента   C является комплексное число
   . Все остальные точки комплексной плоскости являются регулярными для   C .
Пример 8. Пусть X  C (T ) , т.е. X есть банахова алгебра непрерывных комплекснозначных на компакте T функций. Тогда для обратимости элемента x(t )  C(T ) необходимо и достаточно, чтобы функция x(t ) была всюду отлична от нуля. Резольвента Rx ( ) в данном случае выглядит так:
1
.
Rx ( )  ( x  e)1 
x(t )  
Спектр  (x) совпадает с множеством значений функции x(t ) , а спектральный радиус равен
r ( x) || x || max | x(t ) | .
tT
Пример 9. Пусть X  L(Y , Y ) есть банахова алгебра непрерывных линейных операторов, действующих из нормированного простран248
ства Y в Y , т.е. элементами A X являются ограниченные линейные
операторы A : Y  Y . Понятия спектра и резольвенты совпадают с введенными ранее понятиями спектра и резольвенты для операторов.
Свойства спектра и резольвенты. Как было доказано в лемме
3, множество Eоб обратимых элементов банаховой алгебры X является открытым множеством. Из этого факта легко выводится следующее
утверждение.
Утверждение 2. Множество регулярных значений C \  ( x)
произвольного элемента x банаховой алгебры X является открытым
(на комплексной плоскости) множеством. Кроме того, резольвента
Rx ( )  ( x  e)1 является непрерывной функцией от  на C \  ( x) , и
(1) Rx ( )  Rx ( )  Rx ( )  Rx ( ) ,
(2) Rx ( )  Rx ( )  (   ) Rx ( ) Rx ( ) (Тождество Гильберта.)
Доказательство. Если элемент x  e алгебры X обратим, то в
силу открытости множества Eоб обратимых элементов алгебры X , при
 , достаточно близких к  , обратим и элемент x  e алгебры X , так
как || ( x  e)  ( x  e) || |    | . Таким образом, множество регулярных
точек C \  ( x) элемента x  X открыто. Далее, справедлива очевидная
цепь равенств
Rx ( )  Rx ( )  ( x  e)1  ( x  e)1  [(x  e)(x  e)]1 
 [(x  e)  ( x  e)]1  ( x  e)1( x  e)1  Rx ( )  Rx ( ) ,
которая доказывает равенство (1) (не нуждающееся, впрочем, в доказательстве, если алгебра коммутативна).
Докажем теперь тождество Гильберта (2).
Rx ( )  ( x  e)1  ( x  e)1( x  e)(x  e)1  ( x  e) Rx ( ) Rx ( ) ,
Rx ( )  ( x  e)1  ( x  e)1( x  e)(x  e)1  ( x  e) Rx ( ) Rx ( ) .
Тогда, вычитая из первого равенства второе, получим тождество Гильберта.
Непрерывность резольвенты следует из леммы 3, в которой было доказано, что множество обратимых элементов Eоб открыто, и операция перехода от x к x 1 непрерывна.
Утверждение доказано.
249
Теорема 1. Для любого линейного непрерывного функционала
f  X функция f ( Rx ( ))  F ( ) аналитична на C \  ( x) и F ( )  0

при |  |  .
Доказательство. Поскольку Rx ( ) – непрерывная функция от
 , а f  X  – непрерывный линейный функционал, то для 0   ( x)
lim
  0
F ( )  F (0 )
 lim
  0
  0
 R ( )  Rx (0 ) 
.
f  x

  0


Справедливо тождества Гильберта
R x (  )  R x ( 0 )  (   0 )R x (  )  R x ( 0 ) .
Тогда
F (  )  F ( 0 )
lim
 lim f R x (  )R x (  0 )  f ( R x2 ( 0 )) .
 0
 0
  0
Таким
образом,
установлена
аналитичность
F ( )  f ( Rx ( ))
на
C \  ( x) .
Далее, так как при |  ||| x ||  регулярно (т.е.   C \  ( x) ), и
| F ( ) || f ( Rx ( )) ||| f || X   || Rx ( ) || || f || X   || ( x  e) 1 || 
|| f || X 
C
 0 при |  |  .
||
| |
Теорема доказана.
Следствие 1. Спектр  (x) любого элемента x банаховой алгебры X есть непустое компактное множество комплексной плоскости
C , а для спектрального радиуса справедлива оценка
r ( x) || x || .
(3)

 || ( x   e) ||
Действительно, если  (x) – пустое множество, то в силу теоремы 1 для любого линейного непрерывного функционала f  X 
функция F ( )  f ( Rx ( )) является аналитической функцией на всей
комплексной плоскости, т.е. F ( ) – целая функция, причем F ( )  0
при |  |  . Значит, F ( )  0 , т.е. f ( Rx ( ))  f ((x  e)1)  0 для любого
f  X  . Но тогда в силу следствия из теоремы Хана-Банаха
x 1  0 , что невозможно. Итак, спектр  (x) не пуст. Далее, если
|  ||| x || , то
250

( x  e) 1  (1  )( e  x  ) 1    ( x  ) k ,
k 0
причем этот ряд сходится по норме пространства X , откуда легко выводится оценка (3). Компактность спектра следует из того, что множество  (x) замкнуто на комплексной плоскости как дополнение к множеству регулярных точек, которое, как мы убедились, открыто. А замкнутое ограниченное множество компактно.
Заключение. Теория нормированных колец возникла в недрах
функционального анализа. Основной вклад в ее развитие сделали советские математики в 50-60 годах 20-го века во главе с И.М.Гельфандом.
Это – очень красивая теория, сравнимая по красоте разве что с теорией
аналитических функций.
Эта лекция – очень краткое введение в теорию коммутативных
нормированных колец, которую иначе называют теорией банаховых алгебр.
Литература
Основная
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1977.
Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. –
М.: Гостехиздат, 1948.
Дьедонне Ж. Основы современного анализа. – М.: Мир, 1964.
Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. – М.: Физматгиз, 1960.
Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. –
М.: Наука, 1965.
Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.: Наука,
1977.
Рудин У. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1975.
Дополнительная
8.
Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. – М.: Наука, 1966.
251
9. Келли Дж. Л. Общая топология. – М.: Наука, 1968.
10. Гельфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца. – М.: Физматгиз, 1960.
11. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. – М.:
ИЛ, 1962.
12. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральная теория. – М.: Мир, 1966.
13. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральные операторы. – М.: Мир, 1974.
14. Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. –
Гостехиздат, 1948.
15. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – М.: Наука, 1973.
16. Иманалиев М.И. Обобщенные решения интегральных уравнений
первого рода. – Фрунзе: Илим, 1981.
17. Борубаев А.А., Панков П.С. Компьютерное представление кинематических топологических пространств. – Бишкек: КГНУ, 1999.
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ
Подписано к печати 27.03.2002. Формат 60х84 1/16.
Офсетная печать. Объем 16,25 п.л.
Тираж 200 экз. Заказ 76.
Издательство Кыргызско-Российского Славянского университета
720000, Бишкек, Киевская, 44
Отпечатано в типографии КРСУ
720000, Бишкек, Шопокова, 68
252