Многочлены и расширения полей.

Листок 15
11.V.2011. ÷ÙÛËÁ. 2-Ê ËÕÒÓ. íÏÄÕÌØ IV.
Многочлены и расширения полей.
f ∈ Z[x] существует
бесконечно много простых p ∈ N, таких что f имеет корень в Fp = Z=(p).
А152. Выпишите все неприводимые многочлены степени
а ) 6 4 в F 2 [ x]
б ) 2 в F 3 [ x]
и найдите число неприводимых многочленов степени в ) 5 в F2 [x] г ) 6 4 в F3 [x] д ) 6 3 в F9 [x].
А153. Обозначим через Id число неприводимых многочленов степени d в Fq [x]. Докажите, что
Q
1 − qt =
(1 − td )Id в Z[[t]].
А15
1.
Покажите, что для любого отличного от константы многочлена
d> 1
p ∈ N | простое, и a ∈ F∗p . Покажите, что многочлен xp − x − a неприводим
а ) в Fp [x] всегда, а
б ) в Fpn [x] тогда и только тогда, когда p 6 | n.
5
3
105
А155. Докажите неприводимость над Q многочлена
а ) x − 12 x + 36 x − 12
б) x
−9
4
3
2
n
n
в ) x − 8 x + 12 x − 6 x + 2
г) x − x + 1
д ) x + x + 1 при n 6≡ 2 (mod 3)
Q
Q
е)
(x − i ) − 1
ж)
(x − i )2 + 1
(в (e) и (ж) все i ∈ Z различны)
√ √
√
√ √
А15
4.
Пусть
А15
Найдите минимальный многочлен числа
6.
А157.
А158.
А159.
√ √
Совпадает ли поле
Какова степень
Q(
над Q
;
2
; −1) с полем
а)
а)
2+
3 над
Q(−1 +
поля разложения многочлена
√
б)
Q
1+
б)
−2)
√
2 над
√
Q( −1 +
4
p
а) x − 2
б) x − a
Q(
2+
3)
2)?
(1 ).
f (x) = x3 + px + q ∈ k[x] неприводим с дискриминантом D.
Покажите, что поле разложения f имеет над k степень а ) 3, если D ∈ k2 б ) 6, если D 6∈ k2 .
−1
А1510. Пусть группа G ⊂ PGL2 (k) порождается преобразованиями x 7→ x
и x 7→ (1 − x) и
действует на поле рациональных функций k(x) соответствующими заменами координат.
а ) Найдите |G| и опишите все орбиты длины < |G| на проективной прямой P1 (k).
G
б ) Постройте ненулевую G-инвариантную функцию f ∈ k(x), такую что k(f ) = k(x)
совпадает с подполем G-инвариантов.
А1511. Группа диэдра Dn действует на P1 (C) и на C(x) так, что поворот на угол 2=n заменя2i
ет координату по правилу x 7→ e n x, а отражение относительно одной из осей, проходящих
через вершину | по правилу x 7→ x−1 . Найдите все орбиты длины < 2n на P1 и опишите
подполе инвариантов C(x)Dn .
G
А1512. Найдите поле инвариантов C(x1 ; x2 ; : : : ; xn ) , где группа G состоит из
а ) всех
2ki
б ) циклических
перестановок переменных xi
в ) порождена заменами xk 7→ e n xk .
Пусть char k =
6 2 3 и
А15
13.
А1514.
Верно ли, что
а)
cos 36◦
∈ Q(sin
36◦ )
б)
sin 36◦
∈ Q(cos
36◦ ) ?
p > 0 и буквы x, y алгебраически независимы над k.
k(x; y ) ⊃ k(xp ; y p ).
p p
б ) Конечно ли множество промежуточных подполей F : k(x ; y ) ⊂ F ⊂ k(x; y ) ?
А1515. Пусть A | нётерово нормальное кольцо с полем частных K , L ⊃ K | конечное
сепарабельное2 расширение, и B ⊃ A | целое замыкание3 A в L. Верно ли, что B конечно
порождено как A-модуль?
x7→#·x
а)
Пусть char k =
Вычислите степень расширения
Норма и след.
Хар. многочлен, след и определитель оператора умножения
K
-
K
на элемент
# ∈ K , лежащий в конечном расширении K ⊃ k поля k, называются хар. многочленом, следом и нормой
# (над k) и обозначаются K=k (#; x) ∈ k[x] и SpK=k (#); NK=k (#) ∈ k.
А15
16.
Покажите, что для расширения Галуа
ются равенства
А15
17.
но4
А15
K=k (#; x) =
Покажите, что
б)
18.
а)
а)
Q
x − g#)
(
g ∈G
#
k⊂K
б)
G = Aut k (K )Qвыполняg# в ) NK=k (#) = g#
с группой Галуа
#
SpK=k ( ) =
P
g ∈G
g ∈G
∀ # ∈ K ⇐⇒ расширение K ⊃ k чисто несепарабельK ⊃ k форма (#1 ; #2 ) = SpK=k (#1 #2 ) невырождена.
√ √ √ √ √
√
√
SpK=k ( ) = 0
в сепарабельном расширении
Найдите dimQ (Q-линейной оболочки чисел 1,
2,
3,
5,
6,
10,
15,
30).
1p
∈ N простое, a ∈ Q не является p-той степенью
2 т.ч. минимальный многочлен любого элемента # ∈ L не имеет кратных корней ни в каком расширении
3 желающие могут положить A = Z, K = Q, L = Q[#] = Q[x]=(f ), где f | минимальный многочлен для #
4 т.ч. минимальный многочлен любого элемента
# ∈ K r k имеет кратные корни в каком-нибудь расширении