решения заданий

Задача №1 (20 баллов)
Безумный физик решил облучить в тепловой колонне реактора серебряное кольцо
своего прадедушки массой 10 г и состоящее из исключительно изотопа серебра-109.
Облучал
под тепловыми нейтронами он в течение 300 секунд. Определите, сколько
накопил он изотопа серебра-110 за это время, сколько будет этого изотопа через 300
секунд после конца облечения.
Данные:
Сечение
(n,γ), барн
T1/2, c
Ag-109
90,81
Ag-110
82,85
стабилен
24,56
1
Плотность потока в месте облучения: 1015 см2 ∙с
Решение:
Запишем уравнение для накопления изотопа серебра с учетом распада этого изотопа,
а так же учитывающее «выгорание» ядер мишени и «выгорание» накапливающихся
радионуклидов при облучении мишени:
𝑑𝑁
= 𝜎109 ∙ Ф ∙ 𝑛0 ∙ 𝑒 −𝜎109∙Ф∙𝑡 − 𝜆 ∙ 𝑁 − 𝜎110 ∙ Ф ∙ 𝑁
𝑑𝑡
n0 – начальное содержание ядер серебра-109, σ – сечения захвата нуклида, Ф –
плотность потока, N – число накопленных ядер.
Проинтегрировав данное уравнение получаем количество накопленных ядер за
время облучения:
𝑁=
𝜎109 ∙ Ф ∙ 𝑛0
∙ [𝑒 −𝜎109 ∙Ф∙𝑡обл − 𝑒 −(𝜆+𝜎110 )∙Ф∙𝑡обл ]
𝜆 − 𝜎109 ∙ Ф − 𝜎110 ∙ Ф
𝑚
𝑁 = ∙ 𝑁𝐴
𝑀
В результате расчета имеем на конец облучения массу 3,247 10-05 г изотопа серебра-110.
А чтобы посчитать массу через 300 с после облучения нужно использовать формулу
радиоактивного распада. В итоге имеем 6,82 10-09 г серебра-110.
Задача №2 (30 баллов)
Реактор
ВВЭР
имеет
начальный
запас
реактивности
𝛥𝜌 = 0,049.
Для
компенсации этого запаса требуются подобрать число групп стержней, которые имеют вес
0,9βэфф. Реактор имеет следующие характеристики: высота активной зоны составляет 3 м,
а радиус 1,5 м; коэффициент размножения на быстрых нейтронах μ = 1,044; разница в
возрасте мгновенных и запаздывающих нейтронов составляет 𝛥𝜏 = 310 см2 ; доля
запаздывающих нейтронов в реакторе β = 31,8∙10-4. Определите число групп стержней для
компенсации реактивности.
Решение
Эффективная доля запаздывающих нейтронов в реакторе будет определятся
формулой:
βэфф =
β 𝛼2 𝛥𝜏
e
μ
𝜉0 2
𝜋 2
𝛼 = ( ) + ( ) − материальный параметр ,
𝑅
𝐻
2
где 𝜉0 = 2,405 − первый корень функции Бесселя
Подставив значения радиуса и высоты активной зоны получаем:
𝛼 2 = 3,67 ∙ 10−4
1
см2
Следовательно:
βэфф = 3,41 ∙ 10−3
Запас реактивности в долях βэфф:
𝛥𝜌 =
0,049
= 14,36βэфф
3,41 ∙ 10−3
Так как вес одной группы составляет 0,9βэфф, то число необходимых групп
стержней:
𝑁=
14,36βэфф
𝛥𝜌
=
= 15,95 → 16
0,9βэфф
0,9βэфф
Ответ: необходимо 16 групп стержней.
Задача №3 (30 баллов)
В космических ЯЭУ основной вклад в массу и габариты установки дает
холодильник - излучатель: с ростом площади поверхности излучателя растет и масса
установки. Оцените при каком к.п.д установки электрическая мощность в расчете на
единицу поверхности холодильника излучателя будет максимальной. К.п.д. установки
составляет  от к.п.д. цикла Карно за счет необратимости преобразования энергии.
Тепловая мощность установки QТ = 1 МВт. Произвести расчет при  = 80%.
Решение:
𝑄е
Выразим 𝑛 =
𝑆х
через термический КПД КЯЭУ η и ее тепловую мощность 𝑄Т ,
которая по условию задачи является фиксированной величиной:
𝑛=
φη𝑄Т
𝑆х
.
Площадь поверхности ХИ, применяя закон Стефана-Больцмана:
𝑆х =
𝑄х
𝜎𝜀𝑇х4
,
где 𝑄х - мощность ХИ, 𝑇х – средняя термодинамическая температура ХИ.
Термический КПД выразим двумя способами:
𝜂=𝜑∙
𝑄Т −𝑄х 𝑇н −𝑇х
𝑄Т
=
𝑇н
,
где 𝑇н - средняя термодинамическая температура нагревателя.
𝑄 (1−𝜑𝜂)
Т
Тогда 𝑆х = 𝜎𝜀𝑇
4 (1−𝜂)4 , а значит
н
(1−𝜂)4
𝑛 = 𝜎𝜀𝑇н4 𝜑𝜂 (1−𝜑𝜂).
Если 𝑄Т – const, то 𝑇н – const. Тогда КПД соответствующий наиболее компактной
установке найдем из условия равенства нулю первой производной 𝑛(𝜂):
𝑑𝑛(𝜂)
𝑑𝜂
(1−𝜂)4
(1−𝜂)3
(1−𝜂)4
= 𝜎𝜀𝑇н4 𝜑 [(1−𝜑𝜂) − 𝜂 (4 (1−𝜑𝜂) − 𝜑 (1−𝜑𝜂)2 )]=0.
1 − 𝜂 − 4𝜂(1 − 𝜑𝜂) = 0
Т.к. 𝜂 ≤ 1, значит 𝜂 =
5−√25−16𝜑
8𝜑
.
Ответ: наиболее компактной установке при  = 80% соответствует КПД 𝜂 = 0.24.
Задача № 4 (10 баллов)
Определить массу радиоактивного изотопа
137
55𝐶𝑠
с которым может в течение
недели находится рядом человек без специальных средств защиты. Считать, что за это
время человек получает предельно допустимую годовую дозу (2 бэр/год = 50 мЗв/год).
Расстояние от человека до радиоактивного вещества поддерживается на уровне 1 метра.
Считать, что за это время вещество образца
137
55𝐶𝑠
распадается в стабильный изотоп 137
56𝐵𝑎
через β-распад. Период полураспада равен 30,17 лет, коэффициент качества излучения
составляет К = 1, средняя энергия β-частиц составляет Е = 1,2 МэВ. Человек, массой 100
кг и площадью фронтальной поверхности 1 м2, находится около радиоактивного вещества
круглосуточно.
Решение:
Находим количество частиц, образующих предельно допустимую дозу:
𝑁𝛽 =
𝐷ПДД ∙ 𝑚чел
= 2,083 ∙ 1011 частиц
𝐸∙𝐾
Находим общее количество испущенных образцом частиц, учитывая, что только
некоторая часть попадает в человека, обладающего ограниченной фронтальной
площадью. Считаем, что образец сферический:
𝑁расп = 𝑁𝛽
2
4𝜋𝑟обр
𝑆чел
= 2,618 ∙ 1012
Находим суммарное число ядер в образце, учитывая, что распадаются и
испускают частицы не все ядра цезия:
𝑁0 − 𝑁расп = 𝑁0 ∙ 𝑒
−
𝑙𝑛2
𝑡
𝑇1/2 неделя
𝑁расп
𝑁0 =
1−𝑒
−
𝑙𝑛2
𝑡
𝑇1/2 неделя
Тогда масса образца составит:
𝑚=
(1 − 𝑒
𝑁расп
𝑙𝑛2
−
𝑡
𝑇1/2 неделя
= 6,63 ∙ 10−8 кг
) ∙ 𝑁𝐴 ∙ 𝑀𝐶𝑠
Ответ: 6,63∙10-8 кг
Задача №5 (10 баллов)
На экспериментальной установке, схема которой представлена на рисунке 1,
проводилось измерение теплопроводности неизвестного материала. Измеряемый образец
был изготовлен в виде цилиндра, диаметром 10,0±0,1 мм и длиной 25,0±0,1 мм и
помещался между двумя контактными пластинами. Нижняя пластина снабжена
нагревателем, осуществляющим нагрев образца, верхняя пластина теплоизолирована. К
образцу подведены две термопары, регистрирующие температуру образца в двух точках
(Т1 и Т2). Образец, находится в вакуумированном и экранированном объеме (утечками
тепла в окружающую среду можно пренебречь).
В начале измерения образец термостатирован при определенной температуре с
помощью внешней печи. Затем включается нагреватель и образец выходит на режим
регулярного нагрева. Определите коэффициент теплопроводности, используя таблицу 1 и
рисунок 2, содержащие экспериментальные данные, снятые во время измерений, и
оцените погрешность. Считать погрешность измерения температуры равной ±0,04 °С.
Термопарные
вводы
Вакуумный
объем
Теплоизолирующая
пластина
Печь
Образец
Нагреватель
Контактная
пластина
к источнику
тока
Рисунок 1. Схема экспериментальной установки.
350
345
340
Температура, °С
335
330
325
320
315
310
305
300
295
0
10
20
30
40
50
60
70
Время, с
T
t11
T2
t1
Рисунок 2. Термограммы измерения.
Таблица 1. Экспериментальные данные
Сила тока на нагревателе, А
0,080±0,003
Напряжение
24±0,1
на нагревателе, В:
Время, с
0
2
4
6
8
9
10
12
14
16
18
20
22
24
Показания
Показания
термопары
термопары
№1 (Т1), °С
№2 (Т2), °С
300
307,82
311,05
313,52
315,60
316,54
317,43
319,08
320,59
322,00
323,33
324,58
325,78
326,92
300
300
300,00
300,00
300,04
300,07
300,12
300,27
300,50
300,79
301,15
301,57
302,05
302,58
Время, с
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
Показания
Показания
термопары
термопары
№1 (Т1), °С
№2 (Т2), °С
330,10
331,10
332,07
333,03
333,96
334,88
335,79
336,68
337,57
338,44
339,31
340,17
341,02
341,87
304,39
305,05
305,74
306,45
307,18
307,92
308,68
309,44
310,22
311,01
311,80
312,60
313,40
314,21
26
28
328,02
329,07
303,15
303,75
58
60
342,72
343,56
315,02
315,84
Решение
Для расчета коэффициента теплопроводности воспользуемся выражением:
𝑞𝐹 = −𝜆
𝑑𝑇
𝑑𝑥
которое можно привести к виду:
𝜆=
𝑞𝐹 ∙ 𝑙
𝐼∙𝑈∙𝑙
=
𝜋𝑑 2
∆𝑇
4 ∙ ∆𝑇
После выхода на регулярный режим (после первых 30 с) можно для конкретного
временного значения посчитать температурный перепад в образце и определить значение
теплропроводности:
Время, с
Δt, °С
λ, Вт/(м∙К)
<λ>, Вт/(м∙К)
40
22,96
22,7
22,3
50
27,51
22,22
60
27,72
22,05
Рассчитать погрешность определения теплопроводности можно используя формулу с
частными производными:
∆𝜆 = √(
2
2
2
2
2
2
𝜕𝜆
𝜕𝜆
𝜕𝜆
𝜕𝜆
𝜕𝜆
𝜕𝜆
𝛿𝐼) + ( 𝛿𝑈) + ( 𝛿𝑙) + ( 𝛿𝑑) + ( 𝛿𝐼) + ( 𝛿𝑇)
𝜕𝐼
𝜕𝑈
𝜕𝑙
𝜕𝑑
𝜕𝐼
𝜕𝑇
= 0,96 Вт/(м ∙ К)