СТОХАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ

Белорусский государственный университет
механико-математический факультет
кафедра математических методов теории управления
В.Г.Кротов
СТОХАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ
(лекционные записки)
Минск 2007-2008
Оглавление
I
Условные вероятности и мартингалы
1 Вероятности и случайные величины
§ 1 Вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Случайные события . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Операции над случайными событиями . . . . . . .
1.3 Системы подмножеств и меры . . . . . . . . . . . .
1.4 Общее определение вероятности . . . . . . . . . . .
1.5 Свойства вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2 Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Случайная величина и ее функция распределения
2.2 Виды случайных величин . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Характеристики случайных величин . . . . . . . .
2.4 Важнейшие распределения . . . . . . . . . . . . . .
§ 3 Независимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Условная вероятность относительно события . . .
3.2 Независимость случайных величин . . . . . . . . .
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
6
6
6
8
9
9
11
11
12
13
15
18
18
18
2 Последовательности случайных величин
§ 1 Предельные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2 Условные математические ожидания . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Условное ожидание относительно события . . . . . . . . . . .
2.2 Условное математическое ожидание относительно σ-алгебры
2.3 Регулярные условные вероятности . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3 Мартингалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Стохастический базис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Мартингалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Разложение Дуба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
20
20
20
21
22
22
23
25
26
26
26
29
II
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Стохастический анализ финансовых рынков
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
3 Финансовый рынок в условиях неопределенности
31
§ 1 Основные структуры и инструменты финансового рынка . . . . . . 31
2
Оглавление
3
1.1 Банковский счет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Облигации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Акции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2 Производные финансовые инструменты . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Фьючерсные контракты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Опционы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3 Обзор классических вероятностных теорий финансового рынка
3.1 Случайное блуждание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Эффективный рынок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Средне-дисперсионный анализ. Диверсификация. . . . . . .
3.4 Модель ценообразования финансовых активов . . . . . . .
3.5 Арбитражная теория расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Стохастическая модель финансового рынка
§ 1 Стохастические уравнения и экспоненты . . .
1.1 Стохастический базис . . . . . . . . . . . .
1.2 Дискретные стохастические уравнения . .
1.3 Стохастические экспоненты . . . . . . . .
§ 2 Модель рынка и инвестиционные стратегии . .
2.1 (B, S)-рынок . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Портфель ценных бумаг и его капитал . .
2.3 Самофинансируемый портфель . . . . . .
5 Арбитраж и полнота (B, S)-рынка
§ 1 Арбитраж . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Арбитражный рынок . . . . .
1.2 Мартингальные меры . . . . .
1.3 Основная теорема финансовой
§ 2 Полнота . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Полный рынок . . . . . . . . .
2.2 Критерий полноты рынка . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
32
33
34
34
35
37
37
39
41
45
47
.
.
.
.
.
.
.
.
48
48
48
48
49
50
50
51
52
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
55
55
55
55
56
57
57
57
6 Платежные обязательства в полных рынках
§ 1 Платежные обязательства и хеджирование . . . . . . . .
1.1 Платежные обязательства . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Хеджирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Опционы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2 Общие формулы расчета цен и хеджирующих стратегий
2.1 Основная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Оценка инвестиционной стоимости снизу . . . . . . .
2.3 Мартингал Mn∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Существование минимального хеджа . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
61
61
61
62
63
63
63
65
65
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
математики
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
Оглавление
7 Биномиальная модель (B, S)-рынка
§ 1 Биномиальная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Описание модели и ее свойства . . . . . . . . . . . . .
1.2 Безарбитражность и полнота . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Лемма о мартингалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2 Формула Кокса-Росса-Рубинштейна . . . . . . . . . . . . .
2.1 Обязательства вида f = f (Sn ) в биномиальной модели
2.2 Справедливая цена европейского опциона . . . . . . .
8 Финансовые расчеты на полном рынке
§ 1 Хеджирование с положительной вероятностью . . . . . .
§ 2 Расчеты с использованием G-финансируемых стратегий
2.1 G-финансируемые стратегии . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Расчет платежных обязательств . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
67
67
67
68
68
69
69
72
.
.
.
.
74
74
77
77
78
9 Неполные рынки и расчеты опционов
82
§ 1 Верхняя и нижняя цены. Пример неполного рынка. . . . . . . . . . 82
§ 2 Формулы расчета верхней и нижней цен . . . . . . . . . . . . . . . 84
§ 3 О финансовых расчетах с учетом риска хеджирования . . . . . . . 87
Предметный указатель
92
Часть I
Условные вероятности и
мартингалы
5
Глава 1
Вероятности и случайные величины
§ 1. Вероятность
1.1. Случайные события
Как и всякая математическая теория, теория вероятностей абстрагируется от
конкретного содержания случайных явлений и изучает их общие свойства. Для
того чтобы сделать случайность предметом математического исследования, надо построить формальную систему, которая могла бы интерпретироваться реальными явлениями, в которых мы наблюдаем эту случайность.
В основе теории вероятностей лежит понятие случайного эксперимента.
Эксперимент считается случайным, если он может закончиться любым из
некоторой совокупности известных результатов, но до его осуществления нельзя
предсказать, каким именно. Различные результаты эксперимента будем называть исходами.
Определение 1.1 Множество всех взаимно исключающих исходов эксперимента называется пространством элементарных событий. Исходы
пространства элементарных событий называются элементарными событиями. Произвольное подмножество пространства элементарных событий
будем называть случайным событием (или просто — событием).
Взаимно исключающие исходы эксперимента — это те, которые не могут
наступить одновременно.
Пространство элементарных событий будем обозначать буквой Ω, а элементарные события — буквой ω (с индексами или без них) или другими ясными из
контекста символами. Мы будем отождествлять элементарное событие ω и множество {ω}, состоящее из одного элемента ω (допуская тем самым вольность в
обозначениях), однако, каждый раз будет ясно, о чем идет речь.
Если эксперимент заканчивается одним из элементарных событий, входящих в случайное событие A, то говорят, что наступило событие A. Поэтому
элементарные события, входящие в событие A, называются благоприятствующими этому событию.
Два случайных события имеют специальные названия: Ω называется достоверным событием (эксперимент обязательно заканчивается каким-то исходом),
а ∅ — невозможным событием.
1.2. Операции над случайными событиями
Случайные события могут быть получены довольно сложным образом. Сейчас
мы определим правила, по которым они образуются из элементарных событий.
6
§ 1. Вероятность
7
Определение 1.2 Суммой событий A и B называется событие A + B,
состоящее из всех элементарных событий, входящих либо в A, либо в B, то
есть
A + B = A ∪ B.
Другими словами, событие A+B состоит в том, что произошло хотя бы одно
из событий A или B.
Определение 1.3 Произведением событий A и B называется событие AB, состоящее из всех элементарных событий, входящих и в A, и в B,
то есть
AB = A ∩ B.
Другими словами, событие AB состоит в том, что события A и B произошли
одновременно.
Определение 1.4 Разностью событий A и B называется событие A−
B, состоящее из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих
в B, то есть
A − B = A \ B.
Другими словами, событие A − B состоит в том, что событие A произошло,
а событие B не произошло.
Определение 1.5 События A и B называются несовместными, если
нет элементарных событий, входящих в A и B одновременно, то есть
AB = ∅.
Это означает, что события не могут произойти одновременно.
Определение 1.6 Событие A, состоящее из элементарных событий, не
входящих в A, называется противоположным к событию A, то есть
A = Ω \ A.
Другими словами, событие A состоит в том, что событие A не произошло.
Определение 1.7 Говорят, что событие A влечет событие B (и в этом
случае пишут A ≺ B), если все элементарные события, входящие в A, содержатся также и в B, то есть
A ⊂ B.
Другими словами, это означает, что при наступлении события A обязательно
произошло и событие B.
8
Глава 1. Вероятности и случайные величины
Теорема 1.1 (cвойства операций) Для любых A, B, C ⊂ Ω справедливы
соотношения
A + B = B + A,
A + A = Ω,
AB = BA,
AΩ = A,
AB ≺ A,
A + ∅ = A,
A = A,
A + B = A · B,
(A + B)C = AC + BC,
AA = ∅,
A − B = AB,
AB = A + B.
Доказательства этих свойств операций над событиями непосредственно вытекают из соответствующих свойств операций над множествами.
1.3. Системы подмножеств и меры
Аксиоматика теории вероятностей существенно опирается не только на аппарат
теории множеств, но и на теорию меры.
Пусть Ω — произвольное множество и A — некоторая система подмножеств
из Ω.
Определение 1.8 A называется алгеброй, если выполнены следующие
условия:
1) Ω ∈ A,
2) если A ∈ A и B ∈ A, то A ∈ A, AB ∈ A, A + B ∈ A.
Другими словами, алгебра содержит достоверное событие, и обычные операции над множествами не выводят за ее пределы. Ясно, также, что операции
над элементами алгебры, примененные конечное число раз, также не выводят
из алгебры.
Отметим, что из свойств 11) и 12) в теореме 1.1 в условии 2) достаточно
требовать лишь, чтобы либо AB ∈ A, либо A + B ∈ A. Кроме того, разность
элементов алгебры также принадлежит ей. Это следует из свойства 9) в теореме
1.1.
Рассмотрение алгебр является естественным в связи с пространствами элементарных событий, так как желательно, чтобы операции над случайными событиями снова приводили к случайным событиям (подмножествам пространства элементарных событий).
Во многих задачах теории вероятностей приходится иметь дело с бесконечными последовательностями событий, например, когда пространство элементарных событий бесконечно.
Определение 1.9 Алгебра A называется σ -алгеброй, если дополнительно выполнено условие
S
T∞
3) если Ai ∈ A при i = 1, 2, . . . , то ∞
i=1 Ai ∈ A и
i=1 Ai ∈ A.
S
T∞
Конечно, в условии 3) достаточно требовать либо ∞
i=1 Ai ∈ A, либо
i=1 Ai ∈
A, так как каждое вытекает из другого.
§ 1. Вероятность
9
Определение 1.10 Пусть Ω — множество и A — система подмножеств
из Ω. Функцию µ, заданную на A и принимающую значения в [0, +∞] будем
называть мерой, если выполнены условия
1) A — σ-алгебра событий,
2) если Ai ∈ A (i = 1, 2, . . .) таковы, что Ai ∩ Aj = ∅ (i 6= j), то
!
∞
∞
[
X
µ
Ai =
µAi
i=1
i=1
(свойство счетной аддитивности меры).
1.4. Общее определение вероятности
Пусть Ω — произвольное пространство элементарных событий и A — некоторая
система случайных событий (подмножеств из Ω).
Определение 1.11 Числовая функция P : A → [0, 1] называется вероятностью, если выполнены следующие условия
1) P — мера,
2) P (Ω) = 1 (нормировка вероятности).
Тройка (Ω, A, P) в таком случае называется вероятностным пространством.
Другими словами вероятность — это нормированная мера (иногда меру µ со
свойством µ(Ω) = 1 называют вероятностной мерой). На свойства вероятности
из определения 1.11 мы будем ссылаться как на аксиомы вероятности.
Вероятность не определяется однозначно — на одном и том же пространстве
элементарных событий вероятность можно определить различными способами.
Выбор вероятностной модели осуществляется на основе дополнительных соображений с привлечением проверки практикой и опытом.
1.5. Свойства вероятностей
Пусть (Ω, A, P) — вероятностное пространство. Свойства вероятности, собранные в следующей теореме, являются почти непосредственными следствиями
определения 1.11 и касаются только свойств конечных систем случайных событий (то есть не связаны с понятиями σ-алгебры и счетной аддитивности).
Теорема 1.2 Вероятность P обладает следующими свойствами:
1) P (∅) = 0 (вероятность невозможного события равна нулю),
2) если события A1 , . . . , An ∈ A попарно несовместны (то есть Ai Aj = ∅
при i 6= j), то
!
n
n
X
X
P
Ai =
P (Ai )
i=1
i=1
(свойство конечной аддитивности вероятности),
10
Глава 1. Вероятности и случайные величины
3) если A ≺ B, то P (A) ≤ P (B) (свойство монотонности вероятности),
4) 0 ≤ P (A) ≤ 1 для любого события A ∈ A,
5) для любого события A ∈ A
P A = 1 − P (A) .
Следующая теорема показывает, как вычислять вероятность суммы несовместных событий в общем случае — без требования несовместности событий.
Теорема 1.3 (формула сложения вероятностей) Для любых событий
A, B ∈ A
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) .
Далее рассмотрим свойства вероятности, связанные с бесконечными системами случайных событий.
Теорема 1.4 Вероятность P обладает следующими свойствами:
1) если Ai ∈ A (i = 1, 2, . . .), то
P
∞
X
!
Ai
≤
i=1
∞
X
P (Ai )
i=1
(субаддитивности вероятности),
T
2) если A1 ⊃ A2 ⊃ . . . , ∞
i=1 Ai = ∅, то
lim P (Ai ) = 0
i→∞
(непрерывность вероятности в нуле),
3) если A1 ⊃ A2 ⊃ . . . , то
lim P (Ai ) = P
i→∞
∞
Y
!
Ai
i=1
(непрерывность вероятности снизу),
4) если A1 ⊂ A2 ⊂ . . . , то
lim P (Ai ) = P
i→∞
∞
X
!
Ai
i=1
(непрерывность вероятности сверху).
На самом деле свойства 2)–4) равносильны свойству счетной аддитивности
вероятности (конечно при соблюдении остальных аксиом).
§ 2. Случайные величины
11
§ 2. Случайные величины
2.1. Случайная величина и ее функция распределения
Определение 1.12 Случайной величиной называется любая функция
ξ : Ω → R, определенная на пространстве элементарных событий Ω, и удовлетворяющая условию
(ξ < x) ≡ {ω ∈ Ω : ξ(ω) < x} ∈ A
для любого x ∈ R.
Определение 1.13 Наименьшую σ-алгебру, порожденную множествами
{ω : ξ(ω) ∈ B}, B ∈ B(R)
(B(R) — σ-алгебра борелевских множеств из R) будем называть σ- алгеброй,
порожденной случайной величиной ξ и обозначать Aξ .
Напомним, что борелевскими множествами в R называются элементы минимальной σ-алгебры подмножеств R, содержащей открытые (или, равносильно,
замкнутые) множества из R.
Если ξ — случайная величина, то для любого x ∈ R определена вероятность
P (ξ < x).
Определение 1.14 Функция
F (x) ≡ Fξ (x) = P (ξ < x) , x ∈ R
называется функцией распределения случайной величины ξ (или ее распределением).
Для любого элементарного исхода ω ∈ Ω число ξ(ω) — реализация случайной
величины при данном исходе эксперимента. Таким образом, ξ принимает свои
значения ”случайно”, в зависимости от исхода, которым закончился случайный
эксперимент.
Теорема 1.5 Если ξ — случайная величина, то
1) Для любых a < b выполнено равенство
P (a ≤ ξ < b) = Fξ (b) − Fξ (a).
2) Если x1 < x2 , то Fξ (x1 ) ≤ Fξ (x2 ) (то есть функция распределения является возрастающей).
3) limx→−∞ Fξ (x) = 0, limx→+∞ Fξ (x) = 1.
4) Fξ непрерывна слева в каждой точке, то есть
lim Fξ (x) = Fξ (y)
x→y−0
для любого y ∈ R.
12
Глава 1. Вероятности и случайные величины
Можно показать, что свойства 2)–4) функции распределения являются характеристическими в том смысле, что если некоторая функция удовлетворяет
этим условиям, то существует случайная величина, для которой она является
функцией распределения.
2.2. Виды случайных величин
Простейшим примером случайной величины может служить индикатор множества1 любого множества A ∈ A

ω∈A
 1
.
(1.1)
χA (ω) =

0
ω∈
/A
Случайная величина называется дискретной, если она представима в виде
X
ξ=
xi χ A i ,
i
где Ai ∈ A, i Ai = Ω (число слагаемых здесь конечно или счетно). Если пространство элементарных событий Ω — конечное или счетное множество, то любая случайная величина на Ω будет дискретной.
Для дискретных случайных величин ξ функция распределения однозначно
определяется вероятностями
S
pk = P (ξ = xk ) , k = 1, . . . , n,
Действительно,
!
P (ξ < x) = P
X
(ξ = xk )
=
X
P (ξ = xk ) =
xk <x
xk <x
X
pk .
xk <x
Соответствие, которое каждому значению xk дискретной случайной величины ξ сопоставляет вероятность pk , с которой она его принимает, называется
законом распределения дискретной случайной величины. Его удобно задавать в виде таблицы
ξ
P
x1
p1
x2
p2
...
...
xn
pn
Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна.
Случайная величина называется абсолютно непрерывной, если существует такая неотрицательная функция fξ ∈ L1 (R), что функция распределения
Fξ представима в виде
Z x
Fξ (x) =
fξ (t) dt, x ∈ R,
−∞
1
Мы используем здесь этот термин вместо, быть может, более привычного ”характеристическая функция”, так как в теории вероятностей последний понимается иначе.
§ 2. Случайные величины
13
Функция fξ в этом случае называется плотностью распределения случайной величины. По теореме Лебега для почти всех x ∈ R
fξ (x) = Fξ0 (x).
Таким образом, суть плотности распределения в том, что она является производной функции распределения.
2.3. Характеристики случайных величин
Определение 1.15 Математическим ожиданием случайной величины ξ ∈ L1 (Ω) называется ее интеграл Лебега по Ω
Z
Z
E (ξ) =
ξ dP =
ξ(ω) dP(ω).
(1.2)
Ω
Ω
Подчеркнем, что математическое ожидание существует не у каждой случайной величины.
С помощью теоремы Фубини и интегрирования по частям легко показать,
что математическое ожидание выражается через функцию распределения случайной величины
Z ∞
x dFξ (x).
(1.3)
E (ξ) =
−∞
Для абсолютно непрерывных случайных величин математическое ожидание
можно выразить также через плотность распределения
Z ∞
E (ξ) =
xpξ (x) dx.
(1.4)
−∞
Теорема 1.6 (свойства математического ожидания)
1) E (aξ + bη) = aE (ξ) + bE (η), a, b ∈ R (свойство линейности),
2) если ξ ≥ 0, то E (ξ) ≥ 0, eсли ξ ≤ η, то E (ξ) ≤ E (η) (свойство монотонности),
3) |E (ξ)| ≤ E (|ξ|),
4) (E (ξη))2 ≤ E (ξ 2 ) E (η 2 ) (неравенство Коши-Буняковского-Шварца),
5) E (χA ) = P (A), A ∈ A.
Математическое ожидание характеризует случайную величину в среднем.
Степень разброса случайной величины относительно ее ”центра” характеризует
дисперсия.
Определение 1.16 Дисперсией случайной величины ξ называется
D (ξ) = E (ξ − E (ξ))2 .
14
Глава 1. Вероятности и случайные величины
В явном виде дисперсия вычисляется по формуле
Z ∞
D (ξ) =
(x − E (ξ))2 dFξ (x).
−∞
Если случайная величина ξ абсолютно непрерывна с плотностью fξ , то
Z +∞
(x − E (ξ))2 fξ (x) dx
D (ξ) =
−∞
Как и математическое ожидание, дисперсия существует не у любой случайной величины ξ — она существует тогда, когда случайная величина ξ 2 имеет
математическое ожидание.
Теорема 1.7 (свойства дисперсии)
1) D (ξ) = E (ξ 2 ) − (E (ξ))2 для любой случайной величины ξ,
2) D (C) = 0,
3) D (aξ) = a2 D (ξ).
Определение 1.17 Число
σ (ξ) =
p
D (ξ)
называется среднеквадратичным отклонением случайной величины ξ.
Среднеквадратичное отклонение обладает свойством положительной однородности
σ (aξ) = |a| σ (ξ) .
Определение 1.18 Ковариацией случайных величин ξ и η называется
Cov (ξ, η) = E ((ξ − E (ξ))(η − E (η))) .
(1.5)
Коэффициентом корреляции двух случайных величин ξ и η называется
Cov (ξ, η)
r(ξ, η) = p
.
D (ξ) D (η)
(1.6)
Ковариация и коэффициент корреляции характеризуют степень линейной
зависимости случайных величин: чем больше абсолютная величина коэффициента корреляции, тем сильнее линейная зависимость между случайными величинами. Если ковариация (или коэффициент корреляции) двух случайных
величин равен нулю, то такие величины называются некоррелированными.
Теорема 1.8 (свойства корреляции)
1) D (ξ ± η) = D (ξ) ± 2Cov (ξ, η) + D (η),
2) если ξ и η некоррелированы, то D (ξ ± η) = D (ξ) + D (η),
3) |r(ξ, η)| ≤ 1.
Можно показать также, что если |r(ξ, η)| = 1, то ξ и η линейно зависимы в
том смысле, что найдутся такие числа a и b, что
P (η = aξ + b) = 1.
§ 2. Случайные величины
15
2.4. Важнейшие распределения
Здесь мы перечислим функции распределения случайных величин, наиболее
важных для теории вероятностей и математической статистики.
1) Биномиальное распределение — функция распределения дискретной
случайной величины ξ=”число успехов в схеме Бернулли”. Это — случайная
величина, закон распределения которой
pm = Pn (m) = Cnm pm q n−m , m = 0, 1, . . . , n.
Здесь p и q = 1 − p — соответственно вероятности успеха и неудачи в каждом
из n независимых испытаний.
Математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины вычисляются по формулам
E (ξ) = np, D (ξ) = npq.
2) Распределение Пуассона — функция распределения дискретной случайной величины, принимающей счетное число значений m = 0, 1, . . . и распределенной по закону
λm −λ
e , m = 0, 1, . . . .
pm =
m!
Число λ > 0 называется параметром распределения. Это распределение является предельным для биномиального, когда λ = np и n → ∞.
3) Геометрическое распределение. Пусть проводится бесконечная серия независимых испытаний, в каждом из которых наступает либо ”успех”, либо ”неудача” с постоянной вероятностью p и 1 − p соответственно. Пусть ξ —
случайная величина, равная числу испытаний до первого успеха. Тогда закон
распределения этой дискретной случайной величины
pm = P (ξ = m) = (1 − p)m p, m = 0, 1, . . . .
В этом случае
1−p
1−p
, D (ξ) =
.
p
p2
4) Равномерное распределение на [a, b] — распределение абсолютно
непрерывной случайной величины с плотностью
(b − a)−1 , x ∈ (a, b),
f (x) =
0, x ∈
/ (a, b).
E (ξ) =
Непосредственные вычисления показывают, что
E (ξ) =
a+b
(b − a)2
, D (ξ) =
.
2
12
5) Показательное распределение — распределение абсолютно непрерывной случайной величины с плотностью
−αx
αe , x > 0,
f (x) =
0, x ≤ 0.
16
Глава 1. Вероятности и случайные величины
Число α называется параметром распределения.
Непосредственный подсчет дает следующие значения математического ожидания и дисперсии
1
1
E (ξ) = , D (ξ) = 2 .
α
α
6) Нормальное распределение — распределение абсолютно непрерывной
случайной величины ξ с плотностью
(x − a)2
1
,
f (x) = √ exp −
2σ 2
σ 2π
где a и σ — параметры распределения, вероятностный смысл которых в том, что
a — математическое ожидание, а σ 2 — дисперсия нормального распределения:
E (ξ) = a, D (ξ) = σ 2 .
В таком случае будем писать , что ξ ∈ N(a, σ).
Распределение класса N(0, 1) будем называть стандартным нормальным
распределением .
Определение 1.19 Функция
1
Φ(x) = √
2π
x
t2
exp −
2
−x
Z
dt , где x ≥ 0,
называется функцией Лапласа.
Эта функция широко используется при работе с нормально распределенными случайными величинами, так как через нее легко выражаются различные
характеристики нормальной случайной величины.
Теорема 1.9 Если случайная величина ξ ∈ N(a, σ), то справедливы следующие равенства
1) при всех x ∈ R
x−a
1 1
Fξ (x) = + Φ
,
2 2
σ
2) при всех x1 < x2
1
P (x1 ≤ ξ < x2 ) =
2
x2 − a
x1 − a
Φ
−Φ
,
σ
σ
3) если ε > 0, то
P (|ξ − a| < ε) = Φ
ε
σ
.
§ 2. Случайные величины
17
7) Гамма-распределение — распределение абсолютно непрерывной случайной величины ξ с плотностью
1
f (x) =
xα−1 e−x/β , x ≥ 0.
Γ(α)β α
8) Бета-распределение — распределение абсолютно непрерывной случайной величины ξ с плотностью
1
xα−1 (1 − x)β−1 , x ∈ (0, 1).
f (x) =
B(α, β)
9) Экспоненциальное распределение — распределение абсолютно непрерывной случайной величины ξ с плотностью
f (x) = λe−λx , x ≥ 0
(совпадает с гамма-распределением при α = 1 и β = 1/λ).
10) Двустороннее экспоненциальное распределение — распределение
абсолютно непрерывной случайной величины ξ с плотностью
f (x) = λe−λ|x| , x ∈ R.
11) Распределение Стьюдента — распределение абсолютно непрерывной
случайной величины ξ с плотностью
− n+1
2
Γ n+1
x2
2
1
+
, x ∈ R.
fn (x) = √
n
πnΓ n2
12) Распределение Пирсона. Пусть ξ1 , . . . , ξs — набор нормальных попарно независимых случайных величин класса N(0, 1). Распределение случайной
величины
s
X
2
χs =
ξk2
k=1
называется распределением Пирсона (или χ2 -распределением) с s степенями свободы.
Плотность этого распределения равна
s s −1 x s
fs (x) = 2 2 Γ
e− 2 x 2 −1 , x ≥ 0.
2
12) Распределение Фишера — распределение абсолютно непрерывной
случайной величины ξ с плотностью
m
m
x 2 −1
n
f (x) =
·
, x ≥ 0.
m+n
B n2 , m2
2
1 + mx
n
13) Распределение Коши — распределение абсолютно непрерывной случайной величины ξ с плотностью
1
α
f (x) =
, x ∈ R.
2
π x + α2
Во всех случаях плотности распределений равны нулю вне указанных промежутков, Γ и B — соответственно гамма- и бета-функции Эйлера.
18
Глава 1. Вероятности и случайные величины
§ 3. Независимость
3.1. Условная вероятность относительно события
Пусть (Ω, A, P) — вероятностное пространство, A, B ∈ A. Следующее понятие
является первым в цепи важных определений, которые будут играть основополагающую роль в теории вероятностей вообще и в стохастической финансовой
математике, в частности.
Определение 1.20 Условной вероятностью события A ∈ A при условии, что произошло событие B ∈ A с P (B) > 0, называется число
PB (A) ≡ P (A|B) =
P (AB)
.
P (B)
(1.7)
Формальный смысл условной вероятности состоит в том, что если AB =
{AB : A ∈ A}, то тройка (B, AB , PB ) является вероятностным пространством,
и для непосредственного вычисления условной вероятности мы переходим к этому вероятностному пространству. В частности, условная вероятность обладает
всеми свойствами вероятности.
Непосредственно из определения 1.20 вытекает равенство
P (AB) = P (B) P (A|B) ,
известное под названием формула умножения вероятностей.
Событие A ∈ A называется независимым от события B ∈ A с P (B) > 0,
если
P (A|B) = P (A) .
Другими словами, это означает, что вероятность наступления события A не
зависит от того, произошло B или нет. Нетрудно установить, что тогда
P (AB) = P (A|B) P (A) = P (A) P (B) .
Первое из этих равенств говорит о том, что тогда и B не зависит от A, а второе
позволяет дать симметричное определение независимости событий, не требующее условий P (A) > 0 и P (B) > 0.
Определение 1.21 События A, B ∈ A называются независимыми, если
P (AB) = P (A) P (B) .
3.2. Независимость случайных величин
Определение 1.22 Случайные величины ξ1 , . . . , ξn называются независимыми, если
!
n
n
Y
Y
P
(ξi < xi ) =
P (ξi < xi ) , x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn
(1.8)
i=1
i=1
§ 3. Независимость
19
Независимость означает, что случайные события (ξ < x) и (η < y) являются
независимыми при любых x, y ∈ R. Это понятие можно выразить на языке
совместных функций распределения.
Определение 1.23 Если ξ1 , . . . , ξn — случайные величины, то функция
!
n
Y
F (x1 , . . . , xn ) = P
(ξi < xi ) , x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn
(1.9)
i=1
называется совместной функцией распределения этих случайных величин.
Теорема 1.10 Случайные величины ξ1 , . . . , ξn являются независимыми тогда и только тогда, когда
F (x1 , . . . , xn ) =
n
Y
Fξi (xi ), x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn .
i=1
Произвольный набор {ξα } случайных величин называется независимым, если для любого конечного набора α1 , . . . , αn допустимых индексов независимым
является набор ξα1 , . . . , ξαn .
Теорема 1.11 Если случайные величины ξ и η независимы, то
E (ξη) = E (ξ) · E (η) , D (ξ + η) = D (ξ) + D (η)
(1.10)
Cov (ξ, η) = r(ξ, η) = 0.
(1.11)
В частности, отсюда следует, что для любого конечного набора независимых
случайных величин ξ1 , . . . , ξn
!
!
n
n
n
n
Y
Y
X
X
E
ξi =
E (ξi ) , D
ξi =
D (ξi ) .
(1.12)
i=1
i=1
i=1
i=1
Глава 2
Последовательности случайных величин
§ 1. Предельные теоремы
1.1. Закон больших чисел
Пусть проводится большое число одинаковых независимых случайных экспериментов, в каждом из которых наблюдается значение некоторой случайной
величины ξ c конечным математическим ожиданием E (ξ). Тогда среднее арифметическое полученных значений для ξ при неограниченном возрастании числа
экспериментов будет приближаться к математическому ожиданию E (ξ). Другими словами, среднее значение независимых одинаково распределенных случайных величин приближается к детерминированной величине и, тем самым,
теряет свой случайный характер. В этом состоит смысл фундаментального закона теории вероятностей — закона больших чисел.
Теорема 2.1 (Чебышева) Пусть {ξk } ∈ L2 (Ω) — последовательность попарно независимых случайных величин, причем
D (ξk ) ≤ c.
Тогда для любого ε > 0
!
n
n
1 X
X
1
ξk −
E (ξk ) < ε = 1.
lim P n→∞
n
n k=1
k=1
В частном случае, когда все ξk имеют одно и то же математическое ожидание, теорему Чебышева можно переформулировать так.
Следствие 2.1 Если ξk — последовательность попарно независимых случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями E (ξk ) = a и
ограниченными дисперсиями, то для любого ε > 0
!
n
1 X
lim P ξk − a < ε = 1.
n→∞
n
k=1
Еще раз подчеркнем, что смысл закона больших чисел состоит в том,
что среднее арифметическое большого числа независимых случайных величин
утрачивает характер случайной величины — оно мало рассеяно.
На теореме Чебышева основан широко применяемый в математической статистике выборочный метод.
20
§ 1. Предельные теоремы
21
Определение 2.1 Говорят, что последовательность случайных величин
ξn сходится по вероятности к случайной величине ξ, если для любого
ε>0
lim P (|ξn − ξ| < ε) = 1.
n→∞
PВn таких терминах заключение следствия можно переформулировать так:
k=1 ξk сходится по вероятности к математическому ожиданию a.
Из закона больших чисел вытекает так называемое ”статистическое определение вероятности”, которое состоит в следующем.
Пусть проводится последовательность независимых одинаковых случайных
экспериментов, в каждом из которых происходит или нет некоторое случайное
событие A. Если обозначить через mn число появлений события A в n экспериментах, то по закону больших чисел
1
n
lim
n→∞
mn
= P (A) по вероятности
n
(это и есть ”статистическое определение вероятности”).
1.2. Центральная предельная теорема
Нормально распределенные случайные величины очень широко распространены на практике. Как дать этому объяснение? Оказывается, справедлив следующий основополагающий принцип: если случайная величина является суммой
большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых
на всю сумму мало, то ее распределение близко к нормальному.
Пусть ξk — последовательность попарно независимых случайных величин
с конечными математическими ожиданиями и дисперсиями. Для n = 1, 2, . . .
определим случайную величину
Sn =
n
X
ξk ,
k=1
математическое ожидание и дисперсия которой соответственно равны
E (Sn ) = An =
n
X
E (ξk ) , D (Sn ) = σn2 =
k=1
n
X
D (ξk ) .
k=1
Тогда математическое ожидание и дисперсия случайной величины
Sn − An
σn
равны соответственно 0 и 1. Центральная предельная теорема утверждает, что
при некотором дополнительном условии функция распределения этой случайной величины близка в определенном смысле к функции распределения стандартного нормального распределения N(0, 1).
22
Глава 2. Последовательности случайных величин
Теорема 2.2 (центральная предельная теорема) Пусть {ξk } — последовательность независимых случайных величин с конечными математическими ожиданиями
E (ξk ) = ak (k = 1, 2, . . .)
и дисперсиями
D (ξk ) = σk2 > 0 (k = 1, 2, . . .).
Предположим еще, что для некоторого δ > 0 выполнено условие
n
1 X 2+δ
E
|ξ
−
E
(ξ
)|
→ 0 (n → ∞).
k
k
2+δ
σn
k=1
Тогда для любого x ∈ R
2
Z x
Sn − An
1
t
lim P
<x = √
exp −
dt.
n→∞
σn
2
2π −∞
В правой части последнего равенства находится функция распределения
стандартного нормального распределения N(0, 1). Поэтому это равенство означает, что асимптотически случайная величина Sn имеет нормальное распределение с математическим ожиданием An и дисперсией Dn .
Приведем следствие из центральной предельной теоремы для одинаково распределенных случайных величин — этот случай имеет большое значение для
математической статистики.
Следствие 2.2 Пусть {ξk } — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечными математическими ожиданиями
E (ξk ) = a (k = 1, 2, . . .)
и дисперсиями
D (ξk ) = σ 2 (k = 1, 2, . . .).
Тогда для любого x ∈ R
2
Pn
Z x
t
1
k=1 ξk − na
√
exp −
<x = √
dt.
lim P
n→∞
2
σ n
2π −∞
§ 2. Условные математические ожидания
2.1. Условное ожидание относительно события
Определение 2.2 Если случайная величина ξ ∈ L1 (Ω) и A ∈ A, причем
P (A) > 0, то условным математическим ожиданием ξ относительно
A называется
E (ξχA )
E (ξ|A) =
.
(2.1)
P (A)
§ 2. Условные математические ожидания
23
Ясно, что условную вероятность случайного события можно вычислить с
помощью условного математического ожидания
P (A|B) = E (χA |B) .
В теории вероятностей приходится рассматривать условные вероятности относительно событий с нулевой вероятностью.
2.2. Условное математическое ожидание относительно σалгебры
Пусть (Ω, A, P) — вероятностное пространство, B ⊂ A — некоторая σ-алгебра
(σ-подалгебра в A).
Определение 2.3 Условным математическим ожиданием случайной величины ξ ∈ L1 (Ω) относительно σ-алгебры B называется случайная величина E (ξ|B) ∈ L1 (Ω), удовлетворяющая условиям
1) является B-измеримой,
2) для любого события B ∈ B
Z
Z
ξ dP =
E (ξ|B) dP.
(2.2)
B
B
Корректность этого определения вытекает из того, что функция множества
Z
Q(B) =
ξ dP, B ∈ B
(2.3)
B
является (знакопеременной) мерой, которая абсолютно непрерывна относительно меры P, рассматриваемой на B. Поэтому по теореме Лебега-Радона∈ L1 (Ω), для
Никодима существует B-измеримая случайная величина η = dQ
dP
которой
Z
η dP, B ∈ B.
Q(B) =
B
Ясно, что η = E (ξ|B). Отсюда же следует, что E (ξ|B) определяется однозначно
только с точностью до P-эквивалентности.
Отметим, что нельзя, вообще говоря, положить E (ξ|B) = ξ, так как ξ не
обязана быть B-измеримой.
В следующей теореме все равенства для условных математических ожиданий выполнены P-почти наверное.
Теорема 2.3
1) E (aξ + bη|B) = aE (ξ|B) + bE (η|B), a, b ∈ R (свойство линейности),
2) если ξ ≥ 0, то E (ξ|B) ≥ 0, eсли ξ ≤ η, то E (ξ|B) ≤ E (η|B) (свойство
монотонности),
3) |E (ξ|B)| ≤ E (|ξ||B),
24
Глава 2. Последовательности случайных величин
4) если B∗ = {∅, Ω} — тривиальная σ-алгебра, то E (ξ|B∗ ) = E (ξ),
5) E (ξ|A) = ξ,
6) E (E (ξ|B)) = E (ξ),
7) если B1 ⊂ B2 , то E (E (ξ|B2 ) |B1 ) = E (ξ|B1 ),
8) если B1 ⊃ B2 , то E (E (ξ|B2 ) |B1 ) = E (ξ|B2 ),
9) если η — B-измеримая случайная величина и случайная величина ξ таковы, что ξ, ηξ ∈ L1 (Ω), то E (ηξ| B) = ηE (ξ| B),
10) если случайная величина ξ ∈ L1 (Ω) не зависит от σ-алгебры B (то есть
не зависит от χB для любого B ∈ B), то E (ξ| B) = E (ξ).
Определение 2.4 Условное математическое ожидание E (χA | B) называется условный вероятностью события A ∈ A относительно B и обозначается P (A| B).
Определение 2.5 Пусть ξ и η — случайные величины и Bη — минимальная σ-алгебра, относительно которой η является измеримой. Тогда условное
математическое ожидание E (ξ| Bη ), если оно определено обозначается E (ξ| η)
и называется условным математическим ожиданием ξ относительно η.
С помощью Bη -измеримости E (ξ| Bη ) можно показать, что существует такая
борелевская функция m, что
m(η(ω)) = E (ξ| η) (ω)
Эту функцию будем обозначать E (ξ| η = y) и называть условным математическим ожиданием ξ относительно события {η = y} или условным математическим ожиданием ξ при условии, что {η = y}.
В соответствии с определением
Z
Z
Z
ξ dP =
E (ξ| η) dP =
m(η) dP,
A
A
A
поэтому по теореме о замене переменной в интеграле Лебега
Z
Z
m(η) dP =
m(y) dFη (y),
{ω:η∈B}
B
где — функция распределения случайной величины η. Следовательно, m — это
борелевская функция со свойством
Z
Z
ξ dP =
m(y) dFη (y).
{ω:η∈B}
B
Это дает возможность дать другое определение для E (ξ| η = y).
§ 2. Условные математические ожидания
25
Определение 2.6 Условным математическим ожиданием случайной величины ξ (с E (|ξ|) < ∞) при условии что {η = y}, называется измеримая
функция m, для которой
Z
Z
ξ dP =
m(y) dFη (y).
{ω:η∈B}
B
Существование такой функции следует из теоремы Радона–Никодима, так
как функция множества
Z
Q(B) =
ξ dP
{ω:η∈B}
является (знакопеременной) мерой, абсолютно непрерывной относительно меры, порожденной функцией распределения Fη .
2.3. Регулярные условные вероятности
Определение 2.7 Если A ∈ A, то условное математическое ожидание
E (χA |B) обозначается P (A|B) и называется условной вероятностью события A относительно σ-алгебры B, B ⊂ A.
Для дальнейшего нам понадобится ряд дополнительных определений, связанных с тем, что условная вероятность не является, вообще говоря, вероятностью.
Определение 2.8 Если B — σ-подалгебра в A, то функция P : Ω× A 7→ R+
называется регулярной условной вероятностью относительно B, если
1) A 7→ P(ω, A) является мерой для каждого ω ∈ Ω,
2) P(ω, A) = P (A| B) (ω) P-почти наверное для каждого A ∈ A.
Если P — регулярная условная вероятность относительно B, то соответствующее условное математическое ожидание вычисляется обычным способом
Z
E (ξ| B) (ω) =
ξ(ψ) P(ω, dψ)
Ω
(P-почти наверное).
Определение 2.9 Если ξ — случайная величина на вероятностном пространстве (Ω, A, P) и B — σ-подалгебра в A, то функция F : Ω × R 7→ R+
называется регулярной условной функцией распределения для ξ относительно B, если
1) x 7→ F (ω, x) является функцией распределения для каждого ω ∈ Ω,
2) F (ω, x) = P (ξ < x| B) (ω) P-почти наверное для каждого x ∈ R.
Мы будем часто использовать обозначение
Law(ξ| B) = P (ξ < x| B) (ω)
26
Глава 2. Последовательности случайных величин
для условной функции распределения случайной величины ξ относительно σалгебры B.
Можно доказать, что условная функция распределения всегда существует и
с ее помощью можно обычным способом вычислять основные характеристики
случайной величины. Например,
Z +∞
x dP (ξ < x| B) (ω).
E (ξ| B) (ω) =
−∞
§ 3. Мартингалы
3.1. Стохастический базис
Пусть задано вероятностное пространство (Ω, A, P). Дополним его потоком A =
{An }n≥0 σ-алгебр (фильтрация), удовлетворяющих условию
A0 ⊆ A1 ⊆ · · · ⊆ An ⊆ A.
Фильтрация A задает на вероятностном пространстве некоторую эволюционно-информационную структуру, что, в свою очередь, определяет и взгляд на
случайные процессы как функции двух переменных, заданные на Ω × Z+ .
Таким образом, базовая вероятностная модель расширяется до стохастического базиса (Ω, A, An , P) (другое название — фильтрованное вероятностное пространство).
Наконец, часто целесообразно расширить понятие стохастического базиса,
задавая вместо одной вероятности P семейство вероятностных мер P. Структура (Ω, A, An , P) называется обычно фильтрованным стохастическим экспериментом.
3.2. Мартингалы
Определение 2.10 Последовательность S = {Sn }n≥0 случайных величин,
заданных на стохастическом базисе (Ω, A, An , P), называется стохастической последовательностью, если при каждом n величина Sn является
An -измеримой.
Другими словами, в стохастической последовательности случайная величина Sn согласована с элементом фильтрации An . Поэтому стохастические последовательности записывают обычно в виде
S = (Sn , An ),
чтобы подчеркнуть свойство An -измеримости.
Стохастическая последовательность (Sn )n∈N0 называется предсказуемой,
если Sn является An−1 -измеримой при каждом n ∈ N0 , A−1 = A0 .
Наряду с предсказуемыми последовательностями, важнейшее место в стохастическом исчислении и анализе занимают мартингалы.
§ 3. Мартингалы
27
Определение 2.11 Стохастическая последовательность S = (Sn , An )n≥0
называется мартингалом, если Sn ∈ L1 (Ω) при каждом n ≥ 0 и
E (Sn | An−1 ) = Sn−1
(2.4)
P-почти наверное при каждом n ≥ 1.
Определение 2.12 Стохастическая последовательность x = (xn , An )n≥0
называется мартингал-разностью, если xn ∈ L1 (Ω), n ≥ 0 и
E (xn | An−1 ) = 0
P-почти наверное при каждом n ≥ 1 (A0 = {∅, Ω}).
Ясно, что с каждой мартингал-разностью x = (xn , An )n≥1 можно связать
мартингал
n
X
Sn =
xk
k=0
и, наоборот, с каждым мартингалом S = (Sn , An )n≥0 связывается мартингалразность
x0 = S0 , xn = Sn − Sn−1 , n ≥ 1.
Если в определении мартингала вместо условия (2.4) потребовать
E (Sn | An−1 ) ≥ Sn−1
или
E (Sn | An−1 ) ≤ Sn−1
то стохастическая последовательность S = (Sn , An )n≥0 называется соответственно субмартингалом или супермартингалом.
Свое происхождение математическое понятие ”мартингал” обязано практике
азартных игр — система игры, заключающаяся в удвоении ставки при проигрыше и прекращении игры при первом выигрыше, называется мартингалом (см.
ниже пример 2.1).
Пример 2.1 Пусть (ηn )n∈N0 — последовательность независимых бернуллиевских случайных величин,
P{ηn = 1} = p, P{ηn = −1} = q, p + q = 1.
Интерпретируя ηn = ±1 как ”успех” или ”неудачу” игрока в n-й партии, определим предсказуемую относительно естественной фильтрации An =
σ {η0 , . . . ηn } стохастическую последовательность Vn = Vn (η0 , . . . ηn−1 ) как ставку игрока в n-й партии. Примером такой стратегии является мартингальная
стратегия, когда удваиваются ставки при проигрыше и игра прекращается при
28
Глава 2. Последовательности случайных величин
выигрыше, то есть Vn = 2n−1 χ {η1 = −1, . . . ηn−1 = −1}. Суммарный выигрыш
за n партий равен
n
X
Xn = Xn−1 + Vn ηn =
Vk ηn .
k=0
”Среднее” изменение суммарного выигрыша на n-м этапе
E (Xn − Xn−1 |An−1 ) = E (∆Xn |An−1 )
— либо нуль (справедливая игра), либо неотрицательно (благоприятная игра),
либо не положительно (неблагоприятная игра). Ясно, что в первом случае Xn
— мартингал (p = q = 1/2), во втором Xn — субмартингал (p ≥ q), в третьем Xn
— супермартингал (p ≤ q).
Упражнения 2.1
1) Если ξ ∈ L1 (Ω) — случайная величина и {An }n≥1 — фильтрация, то стохастическая последовательность E (ξ| An ) является мартингалом. Его обычно
называют мартингалом Леви.
2) Если {ξk }k≥1 — последовательность независимых случайных величин с
E (ξk ) = 0,
n
X
Sn =
ξk ,
k=1
An — минимальная σ-алгебра, относительно которой измеримы случайные
величины ξ1 , . . . , ξn , то (Sn , An ) является мартингалом.
3) Если {ξk }k≥0 — последовательность независимых случайных величин с
E (ξk ) = 1,
n
Y
ξk ,
Sn =
k=1
An — минимальная σ-алгебра, относительно которой измеримы случайные
величины ξ1 , . . . , ξn , то (Sn , An ) является мартингалом.
Упражнения 2.2
1) Если {ξk }k≥0 — последовательность неотрицательных случайных величин
Pn и
{An }n≥0 — фильтрация, то стохастическая последовательность Sn = k=1 ξk
образует субмартингал.
2) Если S = (Sn , An )n≥0 — субмартингал и ϕ — выпуклая функция на R, то
стохастическая последовательность S = (ϕ(Sn ), An )n≥0 образует субмартингал.
§ 3. Мартингалы
29
3.3. Разложение Дуба
Стохастическую последовательность S = (Sn , An )n∈N0 называют возрастающей, если
∆Sn = Sn − Sn−1 ≥ 0
(п.н.) для всех n ∈ N0 . Следующая важная теорема показывает тесную связь
класса субмартингалов, мартингалов и предсказуемых возрастающих последовательностей.
Теорема 2.4 (разложение Дуба) Пусть S = (Sn , An )n≥0 — субмартингал. Тогда существует единственное разложение вида
Sn = Fn + Mn ,
(2.5)
где
1) последовательность {Fn }n≥0 является возрастающей и предсказуемой,
2) последовательность (Mn , An )n≥0 является мартингалом.
Доказательство носит ясный конструктивный характер. Сейчас определены условные математические ожидания E (Sk | Ak−1 ). Положим M0 = S0 , F0 = 0
и
n
X
[Sk − E (Sk | Ak−1 )] ,
(2.6)
Mn = M0 +
k=1
Fn =
n
X
[E (Sk | Ak−1 ) − Sk−1 ]
(2.7)
k=1
Тогда, очевидно, (2.5) выполнено. Легко видеть, свойства 1) и 2) выполнены.
Докажем единственность. В самом деле, пусть имеется другое разложение
Sn = Fn0 + Mn0 с предсказуемой возрастающей последовательностью Fn0 и мартингалом Mn0 . Тогда
0
0
Fn+1
− Fn0 = (Fn+1 − Fn ) + (Mn+1 − Mn ) − Mn+1
− Mn0 .
Беря от обеих частей условное математическое ожидание E (·| An ), видим, что
0
Fn+1
− Fn0 = Fn+1 − Fn = 0
0
в силу An -измеримости Fn+1
и Fn+1 . Так как F00 = F0 = 0, то Fn0 = Fn и Mn0 = Mn
для всех n ≥ 0 и единственность разложения (2.5) доказана.
Часть II
Стохастический анализ
финансовых рынков
30
Глава 3
Финансовый рынок в условиях неопределенности
§ 1. Основные структуры и инструменты
финансового рынка
1.1. Банковский счет
Банковский счет можно рассматривать как ценную бумагу, суть которой
состоит в том, что за использование Ваших денег, лежащих на счету, банк обязуется выплачивать по Вашему счету определенный процент от текущей суммы
счета.
Обычно различают два способа начисления процентов
1) проценты начисляются m раз в год ( простые проценты), например,
m = 12 при помесячном начислении процентов, m = 4 при поквартальном
начислении,
2) проценты начисляются непрерывно ( сложные проценты).
В случае простых процентов процентной ставкой называется относительная часть счета, которую банк обязуется добавить к нему через год.
Предположим, что открыт банковский счет с начальным взносом B0 с процентной ставкой rm начисления процентов m раз в год. Тогда через n лет капитал станет равным
rm mn
,
Bn (m) = B0 1 +
m
а через дробное число лет n +
k
m
(1 ≤ k ≤ n) банковский счет станет равным
rm m(n+ mk )
Bn+ k (m) = B0 1 +
.
m
m
Естественно считать, что случай непрерывно начисляемых процентов является предельным для случая
простых процентов при m → ∞. Поэтому, учиты
1 x
вая, что limx→∞ 1 + x = e, получим
Bn (∞) = B0 enr∞ .
Для того, чтобы варианты вложений, соответствующие двум способам начисления процентов, были эквивалентны, необходимо, чтобы множители наращивания, соответствующие формулам сложных и непрерывных процентов,
совпадали. Поэтому, исходя из заданного непрерывно начисляемого процента
r = r∞ , можно определить соответствующий ему m раз начисляемый процент
формулой
r
rm = m e m − 1 ,
31
32
Глава 3. Финансовый рынок в условиях неопределенности
поэтому по rm соответствующий непрерывный процент r находится из равенства
rm .
(3.1)
r = m ln 1 +
m
В частном случае при m = 1 получаем следующие формулы перерасчета
между r и rb = r1
rb = er − 1, r = ln(1 + rb).
Другой базовой величиной (наряду с годовой процентной ставкой rb), отражающей финансовую политику банка, может служить так называемая годовая
учетная ставка qb, которая позволяет определить, какой счет B0 надо открыть,
чтобы через год иметь на счету B1 = B1 (1), то есть B0 = (1 − qb)B1 . Тогда связь
между rb и qb такова
qb
rb
, rb =
.
qb =
1 + rb
1 − qb
1.2. Облигации
Облигации (the bond) — это долговые обязательства, выпускаемые с целью
аккумулирования средств.
Суть облигаций состоит в том, что по ним эмитент (заемщик) обязуется
выплатить инвестору (кредитору) занятую сумму плюс проценты за установленный период времени.
Облигации могут выпускаться
1) государством для различных государственных программ, выплаты национального долга, . . . ,
2) банками, корпорациями, акционерными компаниями, другими финансовыми институтами с целью накопления средств для расширения производства,
покрытия операционных расходов, . . . ,
3) муниципальными организациями для оплаты различных проектов, строительства, пополнения бюджета и так далее.
Наверняка нельзя утверждать, что облигации являются безрисковыми финансовыми инструментами, так как всегда существует доля риска, связанная
с нарушением обязательств по выплате купонных процентов (так называются периодические процентные выплаты, производимые эмитентом в течение
срока жизни облигации). В этом смысле государственные облигации менее рискованны, чем облигации корпораций, но и купонные проценты, выплачиваемые
корпорациями выше, чем для государственных облигаций.
Существует ряд изданий, которые публикуют рейтинги различных финансовых институтов, выпускающих облигации. Корпорации с высоким рейтингом
выплачивают более низкий купонный процент и наоборот.
Рассмотрим количественные характеристики облигации. Пусть [0, T ] — временной интервал жизни облигации и P (t, T ) — ее стоимость в момент времени
t ∈ [0, T ]. Тогда важны следующие величины
1) момент погашения(the year the bond matures) T ,
§ 1. Основные структуры и инструменты финансового рынка
33
2) номинальная стоимость (face value) P (T, T ) — сумма, выплачиваемая
кредитору в момент погашения,
3) купонная процентная ставка (cupon yield) rc — относительная величина годичных купонных платежей,
4) начальная цена (the original bond price) P (0, T ),
5) рыночная цена P (t, T ),
6) текущая процентная ставка (current yield) rc (t, T ), определяемая как
отношение годовых купонных выплат к текущей рыночной цене
rc (t, T ) = rc ·
P (T, T )
,
P (t, T )
7) доходность до момента погашения ρ(T − t, T ), определяемая как корень
уравнения
T −t
X
P (T, T )
P (T, T )
P (t, T ) =
rc ·
+
(3.2)
k
(1 + ρ)
(1 + ρ)T −t
k=1
(единицей измерения считается год t = 1, 2, . . . , T ). Формула (3.2) является связующей при взаимном пересчете цен и доходности.
Упражнения 3.1
1) Формула (3.2) построена по схеме простых процентов. Вывести аналогичную
формулу в случае непрерывного начисления процентов.
2) Если рыночная цена P (t, T ) совпадает с номинальной P (T, T ), то
ρ(T − t, T ) = rc .
1.3. Акции
Акции (stock, share) — долевые ценные бумаги, выпускаемые государством,
корпорациями, компаниями, фирмами также, как и в случае облигаций, для
увеличения капитала. Чаще всего акция — минимальная неделимая часть собственности в капитале корпорации.
Хотя и существует много видов акций, оговаривающих различные детали
их функционирования на финансовом рынке (доля участия, способ выплаты
дивидендов и т.п.), в основном, различают два вида
1) обыкновенные акции (common stocks), когда обладатели получают
дивиденды как соответствующую часть дохода компании, величина которого
зависит от того, насколько успешной является деятельность компании, в случае
же разорения компании инвестор теряет свои инвестиции,
2) привилегированные акции (preferred stocks) гарантируют инвестору
меньший риск потери инвестиций, фиксированную выплату дивидендов, которые, однако, не зависят от доходов компании.
34
Глава 3. Финансовый рынок в условиях неопределенности
Многих инвесторов покупка акций и облигаций привлекает не дивидендами
(соответственно купонными выплатами), а возможностью заработать деньги
на колебаниях акций, покупая их по низкой цене до того, как это будут делать
остальные, и продавая по высокой цене, когда спрос увеличивается. На этом
основан аукционный рынок (auction market) — публичные биржи, на которых опционы, так же как акции, облигации и т.д. оцениваются по стоимости
соответственно спросу и предложению. Спрос увеличивает цены, в то время как
предложение заставляет цены снижаться. Эти цены предлагаются продавцами
и покупателями.
Покупка и продажа акций осуществляется так называемыми брокерскими компаниями (brokerage house) — инвестиционными фирмами, являющимися
членами биржи по обмену акций. Естественно, что для инвесторов важна информация о состоянии компаний, торгующих своими акциями, курсах акций
и их эволюции. Важна также информация о глобальном состоянии экономики.
Последняя дается системой, например, так называемых средних и индексов Доу
Джонса (Dow Jones).
§ 2. Производные финансовые инструменты
2.1. Фьючерсные контракты
Фьючерс (фьючерсный контракт) — соглашение-обязательство, по которому две стороны обязуются совершить в определенный момент в будущем сделку.
Одна из сторон обязуется купить, а другая продать указанный в контракте актив по цене, оговариваемой в момент заключения соглашения. При заключении
контракта ни одна из сторон ничего не платит другой стороне.
Практический интерес и для продавцов, и для покупателей участников фьючерсного контракта состоит в уменьшении риска, обусловленного неопределенностью будущих цен на рынке. Таким образом, фьючерсы являются формой
взаимного соглашения, которое может устроить обе стороны.
Имеется также близкая к фьючерсу форма соглашения — форвард (форвардный контракт). Разница между фьючерсом и форвардом состоит в том,
что последние заключаются без каких-либо посредников и в принципе существует потенциальная возможность его нереализации.
В то же время фьючерсы заключаются на организованной бирже, причем
задействованные покупатель и продавец могут вовсе не знать друг друга, а
система текущих перерасчетов делает отказ одной из сторон в контракте от
обязательств невыгодным.
Обычно о том, кто хочет что-то купить, говорят, что он занимает длинную позицию (long position), а тот, кто хочет продать занимает короткую
позицию (short position).
Основной вопрос здесь —вопрос о договорной цене, называемой форвардной
(фьючерсной) ценой, которая может оказаться отличной от рыночной цены по-
§ 2. Производные финансовые инструменты
35
ставляемого товара.
2.2. Опционы
Опцион — контракт, дающий покупателю право (но не обязанность!) купить
или продать определенную ценность в установленный период времени на заранее оговариваемых условиях. Здесь имеется своя специфическая терминология
и система понятий.
Предположим, что финансовая активность происходит в моменты времени
n = 1, . . . , N с завершением всякой деятельности в последний момент N . Предположим также, что речь идет об опционах, построенных на акциях, стоимость
которых описывается случайной последовательностью
S = {Sn }N
n=1 .
По общепринятой терминологии опционы делятся на два класса
1) опционы покупателя — колл-опцион (call option), дающий право покупки,
2) опционы продавца — пут-опцион (put option), дающий право продажи.
Важно отметить, что эти инструменты работают в разных направлениях.
Поясним это более подробно после очередной порции терминологии.
По времени исполнения опционы делятся на два типа — американские и
европейские.
Если опцион предъявляется к исполнению только в заранее определенный
момент времени, то говорят, что N — момент исполнения опциона, а опцион
является опционом европейского типа.
Если же опцион предъявляется к исполнению в любой (случайный) момент
времени τ ≤ N , то говорят, что опцион является опционом американского
типа. На практике большинство опционов является опционами американского
типа. Они дают больше возможностей покупателю, допуская свободу в выборе
момента τ .
Рассмотрим для определенности, колл-опцион европейского типа со временем исполнения N . Он характеризуется фиксированной в момент покупки ценой исполнения K. Цена опциона SN в момент исполнения может оказаться
отличной от K. Если SN > K, то покупатель опциона получает прибыль в размере SN − K, купив акции за K и продав их немедленно по рыночной цене
SN . В противном случае, при SN < K, право покупки ему ничего не дает, поскольку он может купить акции по более низкой цене K. В любом случае доход
покупателя вычисляется по формуле
fN = (SN − K)+
Конечно, за покупку такого финансового инструмента надо платить определенную премию CN . Таким образом чистый доход покупателя будет равен

 SN − K − CN , при SN ≥ K,
(SN − K)+ − CN =

−CN
при SN ≤ K.
36
Глава 3. Финансовый рынок в условиях неопределенности
Соответственно доход продавца будет

 CN − (SN − K), при SN ≥ K,

CN
при SN ≤ K.
Отсюда ясно, что покупка колл-опциона связана с надеждой на повышение
цены акций. Дилеры на фондовой бирже, играющие на повышение цен обычно
называются ”быками” (bulls). ”Медведями”(bear) же называют дилеров, которые
играют на понижение цены акций.
Отметим, что естественна зависимость CN не только от N , но и от K.
Для стандартного пут-опциона европейского типа со временем исполнения N
фиксируется величина K, по которой покупатель опциона имеет право продать
в момент N акции. Поэтому, если истинная цена акций в момент N равна SN
и SN < K, то ее продажа по цене K даст доход K − SN . Чистый же доход
покупателя пут-опциона, с учетом премии PN за покупку такого опциона, будет
равна (K − SN ) − PN .
Положение продавца и покупателя — ”две большие разницы” (как говорят
в Одессе!). Покупатель, купив опцион, просто выжидает наступления момента
N , наблюдая за характером изменения цен Sn . Роль же продавца значительно
сложнее, поскольку он должен думать об исполнении контракта и использовать
все имеющиеся в его распоряжении финансовые средства для составления такого портфеля ценных бумаг, который обеспечил бы выплату (SN − K)+ , где K
— продажная цена опциона, a+ = max(a, 0).
Остановимся на вопросе о справедливой цене опциона. Покупатель понимает, что он должен соглашаться с ценой, которая дает возможность продавцу
возможность выполнить условия, заложенные в контракт. Но он понимает также, что не следует переплачивать, а платить ту минимальную цену, которая
еще достаточна для выполнения условий контракта.
Можно убедиться на примерах, что справедливая цена определяется формулой
CN = E (SN − K)+ .
При этом справедливость цены понимается так, что при получении большей
премии продавец заведомо будет иметь безрисковый доход. Кроме того, получение меньшей премии не даст возможность продавцу выполнить контракт.
Упражнения 3.2
1) Пусть опцион-колл состоит в покупке 100 акций стоимостью S0 = 30$ с ценой
исполнения K = 35$, премией за покупку опциона C2 = 250$, N = 2.
Найти доход покупателя в случаях S2 = 40$, S2 = 35, 1$. При каком значении
S2 , его доход будет нулевым?
§ 3. Обзор классических вероятностных теорий финансового рынка
37
2) Пусть стоимость акций {Sn }N
n=0 такова, что
Sn = S0 +
n
X
ξk
k=1
где целое S0 > N и {ξn }N
n=1 — последовательность независимых случайных
величин с распределением вероятностей
1
P (ξk = ±1) = .
2
Показать, что
a) если премия за колл-опцион с ценой исполнения K = S0 больше, чем
E ((SN − K)+ ), то продавец опциона имеет безрисковый доход,
b) если премия меньше, чем E ((SN − K)+ ), то продавец не может выполнить
без потерь условия договора.
§ 3. Обзор классических вероятностных теорий
финансового рынка
3.1. Случайное блуждание
В вероятностной литературе случайным блужданием обычно называют блуждание, описываемое суммой независимых случайных величин. В экономической
литературе этот термин используется и в другом смысле — чтобы подчеркнуть
случайный характер, например, движения цен.
Первая попытка математического описания изменения стоимости акций
{St }t≥0 , опирающегося на теорию вероятностей (на основе анализа статистических данных парижского рынка акций) была предпринята Л.Башелье в его диссертации ”Теория спекуляций” (1900 г.). Он предложил рассматривать {St }t≥0
как случайный процесс.
Анализируя статистические данные цен St∆ с интервалом времени t =
∆
∆
0, ∆, 2∆, . . . , он замечает, что разности
статистическое
t−∆
∆St −S
имеют нулевое
√
∆
среднее и абсолютные отклонения St − St−∆ порядка ∆. Таким свойством
обладает, например, дискретное случайное блуждание
X
St∆ = S0 +
ξk∆ ,
k≤[t/∆]
где независимые одинаково
распределенные случайные величины ξk∆ принима√
ют два значения ±σ ∆ с вероятностями 12 .
Предельный переход при ∆ → 0 приводит к случайному процессу
St = S0 + σWt ,
38
Глава 3. Финансовый рынок в условиях неопределенности
где {Wt }t≥0 — броуновское движение (или винеровский процесс), то есть случайный процесс, для которого W0 = 0, а приращения Wt − Ws независимы t − s > 0
и имеют нормальное распределение класса N(0, t − s).
Отправляясь от такой идеи, Л.Башелье дал формулу для математического
ожидания CT = E ((ST − K)+ ), что с современной точки зрения есть значение
справедливой стоимости опциона. Найденная им формула имеет вид
√
S0 − K
S0 − K
√
√
+ σ Tϕ
,
(3.3)
CT = (S0 − K)Φ
σ T
σ T
где
1
2
ϕ(x) = √ e−x /2 , Φ(x) =
2π
Z
x
ϕ(y) dy.
−∞
На практике при исследовании гипотезы о случайном блуждании по эмпирическим данным используется дискретная модель
Sn = Sn−1 + ξn ,
где ξn — независимые случайные величины, распределенные нормально с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ 2 , то есть ξn ∈ N(0, σ 2 ).
Недостатком описанных моделей случайного блуждания является то, что в
рамках этих моделей допускаются отрицательные значения цен акций.
В тридцатых годах прошлого века появился ряд работ, содержащих богатый статистический материал. Из этих данных следовало, что, скорее всего, не
приращения цен Sk , а приращения их логарифмов
hk = ln
Sk
Sk−1
(3.4)
являются независимыми. Это приводит к дискретной модели движения цен вида
n
X
Hn
Sn = S0 e , Hn =
hk
k=1
(см. (3.4)). где hn — независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ 2 . Использование
такой модели позволяет также избежать недостатка, связанного с возможной
отрицательной ценой.
Долгое время эти наблюдения оставались невостребованными ни теоретиками, ни практиками. Причиной являлось распространенное мнение, что цены
следуют некоторым ритмам, циклам, трендам,. . . , выявление которых и могло бы дать основу для предсказания движения цен.
Современный период исследования эволюции финансовых характеристик
начался с работы М.Кендалла, который, проведя анализ огромного числа статистических данных не обнаружил никаких циклов или ритмов и пришел к
заключению, что логарифмы цен ведут себя как случайное блуждание.
§ 3. Обзор классических вероятностных теорий финансового рынка
39
Эта же мысль получила развитие в работе П.Самуэльсона, введшего в практику геометрическое (его термин — экономическое) броуновское движение со сносом
2
St = S0 + eσWt +(µ−σ /2)t .
(3.5)
Тогда справедливая стоимость опциона равна
CT = S0 Φ(y+ ) − KΦ(y− )
где
S0 σ 2 T
1
ln
±
.
y± = √
K
2
σ T
3.2. Эффективный рынок
Гипотеза случайного блуждания не сразу была принята экономистами, но именно она привела к классической концепции рационально функционирующего (эффективного) рынка, начальной целью которой был поиск аргументации в защиту применения вероятностной идеологии и, в ее рамках, к естественности
гипотезы случайного блуждания и более общей гипотезы мартингальности.
С наглядной точки зрения ”эффективность” здесь означает, что рынок рационально реагирует на обновление информации — под этим понимается следующее
— мгновенно происходит коррекция цен, которые устанавливаются так, что
оказываются в состоянии равновесия, становятся справедливыми, не давая
участникам рынка арбитражных возможностей, — получения прибыли за счет
разницы в ценах,
— участники рынка однородно интерпретируют поступающую информацию,
мгновенно корректируя свои решения при обновлении этой информации,
— участники рынка однородны в своих целевых установках.
С формальной же точки зрения понятие эффективности должно рассматриваться по отношению и в зависимости от характера получаемой информации.
Для уточнения понятия ”информация” будем исходить из того, что неопределенность, возникающая на рынке, может быть описана в рамках некоторого
вероятностного пространства (Ω, A, P). Дополним вероятностное пространство
последовательностью A = {An }∞
n=0 , состоящей из подалгебр An , удовлетворяющих условию
Am ⊆ An ⊆ A при m ≤ n.
События из An будем интерпретировать как информацию, доступную наблюдению до момента n включительно.
Пространства (Ω, A, A, P) с потоками σ-алгебр A = {An }∞
n=0 в теории вероятностей принято называть фильтрованными пространствами . Поток
A = {An }∞
n=0 будем называть также потоком информации.
Покажем теперь, как в рассматриваемом контексте возникают мартингалы.
40
Глава 3. Финансовый рынок в условиях неопределенности
Пусть Sn — цена, например, акции в момент времени n. Введем обозначение
∆Sn = Sn − Sn−1
(3.6)
и рассмотрим относительное изменение цен
ρn =
∆Sn
Sn−1
(3.7)
(его иногда называют процентной ставкой) и предположим, что рынок функционирует так, что относительно потока доступной информации A величины
Sn An -измеримы и
E (ρn | An−1 ) = r
(3.8)
P-почти наверное. Здесь r — некоторое число. Из последних двух формул находим, что
Sn = (1 + ρn )Sn−1
и
Sn−1 =
E (Sn | An−1 )
.
1+r
Будем теперь считать, что наряду с акцией имеется также банковский счет
такой, что
∆Bn = rBn−1
(3.9)
(r — процентная ставка) с положительным начальным вкладом. Из последних
двух равенств выводим, что
Sn Sn−1
=E
An−1 .
Bn−1
Bn А это и означает, что последовательность Sn /Bn является мартингалом относительно потока A.
Предположение (3.8) представляется естественным с экономической точки
зрения — если оно нарушается (например, в том смысле, что E (ρn | An−1 ) < r
или E (ρn | An−1 ) > r P-почти наверное), то инвесторы быстро бы обнаружили,
что в первом случае более выгодно только инвестирование в акции, а во втором — только на банковский счет. Другими словами, если одна ценная бумага
доминирует другую, то менее ценная должна исчезнуть с рынка. Это отвечает
представлению о правильно функционирующем рынке.
Усложним теперь модель (3.7), предполагая, что есть дополнительный источник дохода (например, дивиденды от обладания акциями), равный δn , который будем предполагать An -измеримым. Тогда суммарный доход будет равен
∆Sn + δn , а относительный —
ρn =
∆Sn + δn
.
Sn−1
(3.10)
§ 3. Обзор классических вероятностных теорий финансового рынка
41
Сделаем теперь ряд предположений, для того, чтобы из локального поведения цен получить представление об их глобальном поведении.
Допустим, что конечны математические ожидания случайных величин |Sn |
и |δn | и что для некоторого числа r ≥ 0 и всех n ≥ 1
E (ρn | An−1 ) = r.
Тогда из (3.10) и последнего равенства находим
Sn−1 =
1
1
E (Sn | An−1 ) +
E (δn | An−1 ) .
1+r
1+r
Точно так же получим равенство
Sn =
1
1
E (Sn+1 | An ) +
E (δn+1 | An ) ,
1+r
1+r
а это с учетом предыдущего равенства дает нам
Sn−1 =
+
1
E (Sn+1 | An ) +
(1 + r)2
1
1
E (δn+1 | An ) +
E (δn | An−1 ) .
2
(1 + r)
1+r
Этот процесс можно продолжить по индукции, приходя к тождеству
k
Sn =
X
1
1
E
(S
|
A
)
+
E (δn+i | An ) .
n+k
n
i
(1 + r)k
(1
+
r)
i=1
Таким образом, делая естественные предположения ограниченности последовательностей |Sn | и |E (δn+i | An ) |, получаем, что цены удовлетворяют равенству
∞
X
1
E (δn+i | An ) .
(3.11)
Sn =
i
(1
+
r)
i=1
Это решение в экономической литературе называют фундаментальным решением.
В частном случае, когда дивиденды со временем не меняются, то есть δn = δ
и E (ρn | An−1 ) = r, то ограниченные цены Sn не меняются со временем
δ
Sn = .
r
3.3. Средне-дисперсионный анализ. Диверсификация.
В 1952 году появилась работа Г.Марковитца, в которой были заложены основы теории портфеля ценных бумаг. Эта работа сыграла определяющую роль в
становлении современной теории и практики финансового менеджмента.
42
Глава 3. Финансовый рынок в условиях неопределенности
Особенно привлекательной здесь оказалась идея диверсификации (diversification) в составлении портфеля (portfolio) ценных бумаг, так как она, с одной стороны, объясняла принципиальную возможность редукции несистематического риска инвестирования, а, с другой стороны, давала практические рекомендации, как это делать.
Термин диверсификация в бизнесе означает включение в портфель инвестиций ценных бумаг широкого круга компаний с целью избежания серьезных
потерь в случае спада, охватившего лишь один из секторов экономики.
Для пояснения основных идей этой теории рассмотрим одношаговую задачу
инвестирования.
Пусть инвестор может разместить свой начальный капитал x в акциях
A1 , . . . , AN , стоимость которых в начальный момент n = 0 равна соответственно
S0 (A1 ), . . . , S0 (AN ). Обозначим через
x = X0 (b) =
N
X
bk S0 (Ak ),
k=1
где bk ≥ 0 — число акций Ak стоимостью S0 (Ak ). Тогда говорят, что имеется
портфель ценных бумаг
b = (b1 , . . . bN ).
Предположим, что эволюция стоимости каждой акции Ak такова, что ее цена
S1 (Ak ) в момент n = 1 удовлетворяет разностному уравнению
∆S1 (Ak ) = ρ(Ak )S0 (Ak )
или
S1 (Ak ) = (1 + ρ(Ak ))S0 (Ak ).
Смысл здесь ρ(Ak ) — случайная процентная ставка акции Ak .
Тогда начальный капитал в момент n = 1 превратится в
X1 (b) =
N
X
bk S1 (Ak ),
k=1
который желательно сделать как можно больше. Но при этом следует учитывать риск, связанный с получением большого дохода.
С этой целью Г.Марковитц рассматривает две характеристики капитала — математическое ожидание E (X1 (b)) и дисперсию D (X1 (b)) (среднедисперсионный анализ).
Задачу оптимизации при выборе наилучшего портфеля можно ставить по
разному, в зависимости от критерия оптимальности.
Можно исследовать на минимум (максимум) некоторую целевую функцию
f (E (X1 (b)) , D (X1 (b))) при бюджетном ограничении на класс допустимых портфелей
B(x) = {b = (b1 , . . . bN ) : bk ≥ 0, X0 (b) = x} , x > 0.
§ 3. Обзор классических вероятностных теорий финансового рынка
43
Другой подход — вариационный, найти
inf D (X1 (b))
где точная нижняя грань берется по тем портфелям b, для которых
b ∈ B(x), E (X1 (b)) = m
Здесь m — некоторый параметр, смысл которого ясен — это капитал, на который
мы собираемся рассчитывать в результате деятельности на рынке.
Покажем теперь, что на самом деле в рассматриваемой задаче вместо стоимости акций можно действовать непосредственно с процентными ставками. Это
делается с помощью подходящей нормировки.
Пусть b ∈ B(x). Положим
dk =
bk S0 (Ak )
x
(3.12)
тогда
N
X
dk = 1, dk ≥ 0.
k=1
и пусть
ρ(d) =
N
X
dk ρ(Ak ).
(3.13)
k=1
Представим капитал в виде X1 (b) = (1 + R(b))X0 (b), тогда
N
R(b) =
=
N
X
k=1
1X
X1 (b)
−1=
bk S1 (Ak ) − 1 =
X0 (b)
x k=1
dk
X
N
S1 (Ak )
dk ρ(Ak ) = ρ(d).
−1 =
S0 (Ak )
k=1
Следовательно, R(b) = ρ(d). Таким образом, для b ∈ B(x)
X1 (b) = (1 + ρ(d))X0 (b)
если d и b связаны соотношениями (3.12). Поэтому с точки зрения оптимизационных задач для X1 (b) можно оперировать с соответствующими задачами для
R(b) = ρ(d).
Вернемся теперь к основным идеям теории диверсификации.
Для этого рассмотрим пару случайных величин ξ1 , ξ2 . Тогда для любых
чисел c1 и c2
D (c1 ξ1 + c2 ξ2 ) = (c1 σ1 − c2 σ2 )2 + 2c1 c2 σ1 σ2 (1 + σ12 ),
44
Глава 3. Финансовый рынок в условиях неопределенности
где
σi = σ(ξi ), σ12 = r(ξ1 , ξ2 ).
Отсюда ясно, что при c1 σ1 = c2 σ2 и σ12 = −1 будет D (c1 ξ1 + c2 ξ2 ) = 0.
Таким образом, если мы хотим сделать меньше D (c1 ξ1 + c2 ξ2 ), надо стремиться к выбору таких пар ξ1 , ξ2 , чтобы коэффициент корреляции r(ξ1 , ξ2 ) был
как можно ближе к −1.
Этот эффект (часто называемый эффектом Марковитца или эффектом отрицательной коррелированности) является одной из основных идей диверсификации при инвестировании — при составлении портфеля ценных бумаг надо
стремиться к тому, чтобы вложения делались в активы, среди процентных ставок которых, по возможности, много отрицательно коррелированных.
Другая важная идея связана с другим эффектом некоррелированности.
Пусть ξ1 , . . . , ξN — набор некоррелированных случайных величин с ограниченными дисперсиями D (ξk ) ≤ c. Тогда
!
N
N
N
X
X
X
2
D
dk ξk =
dk D (ξk ) ≤ c
d2k .
k=1
k=1
k=1
Если взять, например, dk = N −1 (k = 1, . . . , N ), то
!
N
X
c
→ 0, N → ∞.
D
dk ξk ≤
N
k=1
Этот эффект говорит, что если инвестирование производится в некоррели
PN
рованные ценные бумаги, то для уменьшения риска (то есть D
k=1 dk ξk )
надо брать N как можно большим.
Изучим теперь поведение дисперсии D (ρ(d)) величины (3.13), снова взяв
dk = N −1 (k = 1, . . . , N ). Тогда после несложных преобразований, получим.
N
N
1 X
1 X
D (ρ(d)) = 2
D (ρ(Ak )) + 2
Cov (ρ(Ai ), ρ(Ak )) .
N k=1
N i6=k=1
Первое слагаемое, как и раньше (в предположении dk = N −1 (k = 1, . . . , N ))
может быть сделано сколь угодно малым при больших N . Второе же слагаемое
на практике не стремится к нулю и его предельное поведение и отражает тот
систематический риск, который присущ рассматриваемому рынку и диверсификацией редуцирован быть не может. Первое же слагаемое определяет несистематический риск, который может быть уменьшен за счет выбора большого
числа различных акций.
Средне-дисперсионный анализ Г.Марковитца для своих расчетов оптимального портфеля требует знания величин E (ρ(Ak )) и Cov (ρ(Ai ), ρ(Ak )), но не дает
объяснения происхождения этих значений. На практике они оцениваются по
прошлым данным обычными статистическими средними и ковариациями.
§ 3. Обзор классических вероятностных теорий финансового рынка
45
3.4. Модель ценообразования финансовых активов
Теория CAPM (Capital Asset Pricing Model), излагаемая здесь, дает ответ на
вопрос о значениях E (ρ(Ak )) и Cov (ρ(Ai ), ρ(Ak )). Кроме того, она показывает,
как величины случайных процентных ставок ρ(Ak ) отдельных акций Ak зависят
от величины процентной ставки ”большого рынка” ρ, на котором торгуются эти
акции. Кроме того, эта теория в дополнение к ковариациям Cov (ρ(Ai ), ρ(Ak ))
вводит новые величины Cov (ρ, ρ(Ak )).
Существенной особенностью этой теории является наличие безрисковой ценной бумаги (банковский счет) с процентной ставкой r, которая входит во все
формулы теории CAPM в качестве базовой переменной, от которой производится отсчет.
Основные положения теории снова будем иллюстрировать на одношаговой
модели.
Пусть S1 = S0 (1 + ρ) определяет значение случайной цены ”большого рынка”
в момент n = 1 (это может быть, к примеру, какой-либо индекс, отражающий
состояние рынка) и через S1 (A) = S0 (A)(1 + ρ(A)) обозначим стоимость актива
A в этот момент. Движение цены безрискового актива определяется формулой
B1 = B0 (1 + r).
Теория CAPM, опираясь на заложенную в ней концепцию равновесного рынка, устанавливает, что для каждого актива A существует величина β(A), называемая бетой этого актива, для которой
E (ρ(A) − r) = β(A)E (ρ − r) ,
(3.14)
при этом
β(A) =
Cov (ρ(A), ρ)
.
D (ρ)
(3.15)
Другими словами, среднее значение премии ρ(A) − r рискового актива A
относительно безрискового пропорционально среднему значению премии ρ − r.
При этом под равновесным рынком в теории подразумеваются отсутствие
операционных издержек, предполагается, что все участники рынка имеют равные возможности оценивания будущего движения цен и все их решения основаны на средних значениях и ковариациях цен (однородность рынка). Равенство
(3.15) показывает, что значение беты определяется ковариационными свойствами процентных ставок ρ и ρ(A).
Перепишем (3.14) в виде
E (ρ(A)) = r + β(A)E (ρ − r)
(3.16)
и обозначим через ρβ значение процентной ставки ρ(A) для актива A с бетой
β(A) = β. Тогда при β = 0 будет ρ0 = r и ρ1 = ρ при β = 1. С учетом этого
видим, что (3.14) есть уравнение прямой
E (ρβ ) = r + βE (ρ − r)
(3.17)
46
Глава 3. Финансовый рынок в условиях неопределенности
показывающей, как для A изменяется его средний доход E (ρβ ) в зависимости
от β, процентной ставки r и среднего рыночного дохода E (ρ).
Величина β = β(A) играет важную роль при составлении портфеля ценных
бумаг, являясь мерой чувствительности актива на изменения на рынке.
На практике определение беты осуществляется по статистическим данным
линейными регрессионными методами.
Покажем теперь, что, как и в случае средне-регрессионного анализа, риск
D (ρ(A)) складывается из систематического и несистематического рисков. Для
этого обозначим
Cov (ρ(A), ρ)
η(A) = (ρ(A) − E (ρ(A))) −
(ρ − E (ρ)) .
D (ρ)
тогда, очевидно, что
E (η(A)) = 0, E (ρ − E (ρ)) = 0.
Кроме того, E (η(A) (ρ − E (ρ))) = 0, что проверяется непосредственно. Эти соотношения показывают, что величины η(A) и ρ−E (ρ) некоррелированы. Поэтому,
беря дисперсии от обеих частей равенства
ρ(A) − E (ρ(A)) = β(A) (ρ − E (ρ)) + η(A)
(3.18)
получаем
D (ρ(A)) = β 2 (A)D (ρ) + D (η(A)) .
Это равенство и говорит нам о том, что риск D (ρ(A)) инвестирования в
актив A складывается из систематического риска β 2 (A)D (ρ), присущего рынку
и несистематического риска D (η(A)), присущего непосредственно активу A.
Можно показать, что в рамках CAPM несистематический риск также редуцируется диверсификацией — инвестициями в большое число активов, для
которых соответствующие величины η(A) являются взаимно некоррелированными.
Упражнения 3.3 Показать, что премия ρ(A) − r актива A слагается из
премии рынка ρ − r, умноженной на β(A), и величины η(A), то есть
ρ(A) − r = β(A)(ρ − r) + η(A).
Указание: использовать (3.16) и (3.18).
К модели CAPM также следует относиться критически — ведь все связывается с неизвестным будущим поведением среднерыночного возврата. Но всетаки и это представляет определенный, если не практический, то научный интерес: хотя бы сама законность понятия ”беты” актива. Следовательно, необходимо проверить, во-первых, действительно ли в разные периоды времени можно
для фиксированного актива говорить о примерно постоянном значении «бета».
Во-вторых, следует оценить эффективность того условного (при условии, что
будущее поведение рыночного индекса известно) предсказания будущих возвратов актива, которое вытекает из модели. Наконец, не мешает проверить и
утверждение о связи больших значений бета с более высокой изменчивостью
рыночных цен актива.
§ 3. Обзор классических вероятностных теорий финансового рынка
47
3.5. Арбитражная теория расчетов
Более современная, чем CARM, теория ”риска и возврата” APT (Arbitrage
Pricing Theory) отправляется от многофакторной модели. Предполагается, что
величина процентной ставки ρ(A) актива A зависит от некоторого количества
случайных факторов f1 , . . . , fq и шумового возмущения ζ(A)
ρ(A) =
q
X
ai (A)fi + ζ(A),
(3.19)
i=1
причем
E (fi ) = 0, D (fi ) = 1, Cov (fi , fj ) = 0 (i 6= j),
а шум ζ(A) некоррелирован с шумами других активов, некоррелирован с факторами f1 , . . . , fq и E (ζ(A)) = 0.
Формула (3.18) показывает, что теория CARM является частным случаем
теории APT с единственным фактором f1 = ρ.
Теория APT опирается на концепцию отсутствия на рынке асимптотического арбитража. Это означает, что, имея нулевой начальный капитал и оперируя
с большим числом активов, нельзя путем составления соответствующего портфеля извлечь положительную безрисковую прибыль.
Один из основных результатов теории состоит в том, что если на рынке
отсутствует асимптотический арбитраж (возможность получения безрисковых
прибылей), то при достаточно большом числе активов, участвующих в создании
портфеля ценных бумаг, ”большинство” их должно быть таково, чтобы выполнялись асимптотически линейные соотношения
E (ρ(Ai )) ≈ λ0 +
q
X
λk ak (Ai ).
i=1
До недавнего времени финансовая математика развивалась, в основном, в
духе концепции арбитражности (или эффективности) рынка, что с наглядной
точки зрения означает отсутствие на нем арбитражных возможностей, то есть
возможностей извлечения прибылей без риска. Иначе говоря, находясь в рамках
теории эффективного рынка, классическая финансовая математика исходит из
того, что поведение инвесторов обусловлено ”рациональными причинами”, в то
время как для технического анализа более важно ”эмоциональное” состояние
рынка. И если для долгосрочных прогнозов гипотеза безарбитражности еще
приемлема, то для коротких временных промежутков ее вряд ли следует использовать. Как известно из практики, арбитражные возможности постоянно
возникают на небольшой срок.
Глава 4
Стохастическая модель финансового рынка
§ 1. Стохастические уравнения и экспоненты
1.1. Стохастический базис
Исходной позицией, как и раньше, является задание вероятностного пространства (Ω, A, P), где
Ω — пространство элементарных событий, трактуемой как множество возможных состояний рынка,
A — σ-алгебра подмножеств пространства элементарных событий Ω, понимаемое, как совокупность событий, наблюдаемых на рынке,
P — вероятность, являющаяся мерой достоверности того или иного события,
которое можно наблюдать на рынке.
Для более полного учета динамики в поведении цен часто бывает полезно
дополнить вероятностное пространство (Ω, A, P) фильтрацией — потоком A =
{An }n≥0 σ-алгебр, удовлетворяющих условию
A0 ⊆ A1 ⊆ · · · ⊆ An · · · ⊆ A.
(4.1)
Этот поток интерпретируется следующим образом: An — совокупность событий,
наблюдаемых на рынке до момента n включительно.
Таким образом базовая вероятностная модель расширяется до фильтрованного вероятностного пространства (Ω, A, An , P). Другое название —
стохастический базис.
Наконец, часто целесообразно расширить понятие стохастического базиса,
задавая вместо одной вероятности P семейство вероятностных мер P. Структура (Ω, A, An , P) называется обычно фильтрованным стохастическим экспериментом.
1.2. Дискретные стохастические уравнения
Пусть задана стохастическая последовательность U = (Un )n∈N0 . Разностное
уравнение
∆Xn = Xn−1 ∆Un , X0 = 1
(4.2)
будем называть дискретным линейным стохастическим дифференциальным
уравнением относительно U . Его можно переписать также в ”интегральной форме”
n
X
Xn = 1 +
Xk−1 ∆Uk , n ≥ 1.
k=1
48
§ 1. Стохастические уравнения и экспоненты
49
Рассмотрим еще соответствующее неодородное уравнение
∆Xn = ∆Nn + Xn−1 ∆Un , X0 = N0 .
(4.3)
1.3. Стохастические экспоненты
Эти уравнения решаются с помощью дискретной стохастической экспоненты от U
n
Y
En (U ) =
(1 + ∆Uk ), E0 (U ) = 1.
(4.4)
k=1
Теорема 4.1
1) Решение уравнения (4.2) дается формулой Xn = En (U ).
2) Решение уравнения (4.3) дается формулой
)
(
n
X
∆Nk
.
Xn = En (U ) N0 +
E
k (U )
k=1
(4.5)
Доказательство. Ясно, что достаточно доказать вторую часть теоремы.
Доказательство проведем по индукции.
При n = 1 утверждение проверяется непосредственно. Предполагая, что оно
верно для n − 1, докажем его для n.
Из равенств (4.4) и (4.3) получаем
Xn = Xn−1 + ∆Nn + Xn−1 ∆Un = Xn−1 (1 + ∆Un ) + ∆Nn =
#
"
n−1
X
∆Nk
+ ∆Nn =
= (1 + ∆Un )En−1 (U ) N0 +
E
k (U )
k=1
"
#
n−1
X ∆Nk
= En (U ) N0 +
+ En (U )E−1
n (U )∆Nn =
E
(U
)
k
k=1
"
#
n
X
∆Nk
,
= En (U ) N0 +
Ek (U )
k=1
и теорема доказана.
Учитывая важность стохастической экспоненты, рассмотрим некоторые ее
свойства.
Теорема 4.2
1) Правило умножения стохастических экспонент
En (U )En (V ) = En (U + V + [U, V ]),
где
[U, V ] =
n
X
k=1
∆Uk ∆Vk
(4.6)
(4.7)
50
Глава 4. Стохастическая модель финансового рынка
— квадратическая вариация U и V .
2) Если En (U ) 6= 0, то
∗
E−1
n (U ) = En (−U ),
где
Un∗
n
X
(∆Uk )2
= Un −
.
1 + ∆Uk
k=0
Доказательство. 1) Перепишем приращение произведения экспонент в
виде
∆(En (U )En (V )) =
= En−1 (U )∆(En (V )) + En−1 (V )∆(En (U )) + ∆(En (U ))∆(En (V )) =
En−1 (U )En−1 (V ) [∆Un + ∆Vn + ∆Un ∆Vn ] .
Отсюда ясно, что En (U )En (V ) удовлетворяет уравнению (4.2), в котором U заменяется на U + V + [U, V ].
1) следует из 2):
En (U )En (−U ∗ ) = En (U − U ∗ − [U, U ∗ ]) =
En
n
n
n
X
X
X
(∆Uk )3
(∆Uk )2
2
(∆Uk ) +
−
Un − Un +
1 + ∆Uk k=1
1 + ∆Uk
k=1
k=1
!
= En (0) = 1.
§ 2. Модель рынка и инвестиционные стратегии
2.1. (B, S)-рынок
Мы предполагаем, что интересующий нас рынок ценных бумаг функционирует в условиях неопределенности, для вероятностно–статистического описания
которого считаем заданным стохастический базис (Ω, A, A, P). Для простоты
будем дополнительно предполагать, что базис (Ω, A, A, P) дискретен — Ω состоит из конечного числа элементов.
В моделях изменения цен An есть σ-алгебра всех событий, произошедших
до момента n включительно. Измеримость произвольной случайной величины
ξ относительно σ-алгебры An означает, что значения этой случайной величины
становятся полностью известными не позже момента n.
Пусть имеется банковский счет и стоимость условной единицы вложений на
банковский счет описывается последовательностью Bn . Пусть, кроме того имеется пакет акций A, причем рыночные цены одного условного пакета акций A
описывается последовательностью Sn . Можно считать эту последовательность
векторной — это соответствует набору из различных пакетов акций, но мы рассматриваем для простоты скалярную последовательность Sn . Эти две последовательности дают нам модель (B, S)-рынка.
§ 2. Модель рынка и инвестиционные стратегии
51
В качестве модели эволюции цен основных ценных бумаг на финансовом
рынке рассмотрим систему двух дискретных стохастических дифференциальных уравнений, описывающих безрисковый B и рисковый S активы:
∆Bn = rn Bn−1 , ∆Sn = ρn Sn−1 .
(4.8)
Здесь rn — банковская ставка. Ее значение фиксируется в момент n − 1,
поэтому случайная величина rn является An−1 -измеримой. Банковский счет Bn
также An−1 -измерим, поскольку он равен Bn−1 (1+rn ). Банковский вклад можно
также рассматривать как вложение в некоторый дополнительный актив, однако
этот актив имеет важную особенность: его цена в момент n известна уже в
момент n − 1, что для остальных активов обычно не так.
Рыночная цена Sn актива A, наоборот, в момент n−1 еще неизвестна, а фиксируется только в момент n, поэтому она лишь An -измерима. Соответственно,
случайная процентная ставка ρn также An -измерима.
Введем для сумм первых n членов стохастических последовательностей
(rn )n∈N0 и (ρn )n∈N0 обозначения
Un =
n
X
k=0
rk , Vn =
n
X
ρk ,
k=0
Тогда по теореме 4.1 решения уравнений (4.8) в виде стохастических экспонент
Bn = B0 En (U ) = B0
n
Y
(1 + rk ), Sn = S0 En (V ) = S0
k=1
n
Y
(1 + ρk ).
(4.9)
k=1
2.2. Портфель ценных бумаг и его капитал
Давая определение (B, S)-рынка, мы лишь описали процесс изменения стоимости активов и не дали каких-либо ограничений в отношении прав и обязанностей
инвесторов, действующих на этом рынке.
Будем считать, что наш инвестор имеет возможность размещать средства на
банковский счет и брать с него в долг, покупать и продавать акции, причем в
неограниченном количестве и в идеальной ситуации — отсутствуют операционные издержки, активы являются безгранично делимыми (купить или продать
можно любую часть акции, положить на банковский счет или взять с него любую сумму).
Мы хотим описать действия инвестора на нашем рынке и описать его поведение на математическом языке. При этом мы не собираемся давать четких рекомендаций по приумножению капитала, которые гарантированно или с
положительной вероятностью приведут к успеху, поскольку считаем, что это
невозможно. Мы ставим цель описать рекомендации, позволяющие гарантированно остаться в нулях (”при своих”) и, тем самым, дать возможность инвестору
лучше представить риск, связанный с намерением увеличить свой капитал.
52
Глава 4. Стохастическая модель финансового рынка
Опишем теперь основные понятия, которые определяют поведение инвестора
и правила игры на рынке.
Инвестиционной стратегией, или портфелем, будем называть двумерную стохастическую последовательность π = (πn = (βn , γn ))n∈N0 , элементы
которой βn и γn являются An−1 -измеримыми и интерпретируются как количества активов B и S соответственно в момент времени n ∈ N0 .1
Банковский вклад βn может быть отрицательным, что означает взятие в
долг, а объем акций γn также может принимать отрицательные значения, что
соответствует ”коротким продажам” акций.
Капиталом портфеля π называется стохастическая последовательность
Xnπ = βn Bn + γn Sn .
(4.10)
Требование An−1 -измеримости величин βn и γn является естественным в силу следующих соображений. Обычно перед инвестором стоит задача расчета
портфеля ценных бумаг так, чтобы его капитал укладывался в ряд ограничений, например, был не ниже заданной величины в определенные моменты
времени или покрывал некоторое платежное обязательство. Портфель является последовательностью случайных величин βn и γn , и в начальный момент
времени n = 0 их значения еще не определены. Но инвестор знает, что к моменту n − 1, когда потребуется фиксировать βn и γn , у него уже будет достаточно
информации, чтобы выбрать их однозначно. Этой информацией являются рыночные цены Sn−1 и банковские параметры Bn и rn . Таким образом, инвестор
выбирает не фиксированные объемы покупок и продаж на финансовом рынке,
а свою стратегию поведения. Он указывает однозначно в момент времени n − 1,
как он будет реагировать на все возможные изменения рыночных цен в момент
времени n.
2.3. Самофинансируемый портфель
Уточним теперь. как меняются все элементы в (4.10). Для этого сравним распределение капитала в моменты n − 1 и n:
π
= βn−1 Bn−1 + γn−1 Sn−1 ,
Xn−1
Xnπ = βn Bn + γn Sn .
Величины Bn , βn , γn являются An−1 -измеримыми. Поэтому в момент n − 1 из
всех восьми элементов этих представлений владельцу капитала (инвестору) известны семь — неизвестна лишь цена акции Sn , которая является лишь An измеримой и будет известна лишь в момент времени n. При этом, поскольку
значение Sn от инвестора не зависит, то его возможности управления капиталом
сводятся к переброске части капитала с банковского счета в акции и наоборот.
Причем эта переброска должна происходить, когда станет известной цена Sn−1 .
1
В теории портфеля Марковитца портфелем также называется вектор x = (x1 , . . . , xm )из
долей капитала, распределенных между имеющимися в нем активами. Но
там компоненты
Pm
портфеля являются относительными долями, а не абсолютнами, так как k=1 xk = 1.
§ 2. Модель рынка и инвестиционные стратегии
53
Таким образом эта переброска представляет собой переход от одного элемента
стратегии к другому
πn−1 = (βn−1 , γn−1 )
⇒
πn = (βn , γn ).
Мы знаем, что за перевод денег полагается платить комиссионные, а при
покупке–продаже акций надо платить комиссионные издержки. У нас же будет
идеальный случай, в котором будут отсутствовать операционные издержки, комиссионные и любые другие моменты, усложняющие теорию — мы выделяем
класс самофинансируемых стратегий.
Вычислим приращение капитала портфеля за один такт времени. Применив
тождество
∆(an bn ) = an ∆bn + bn−1 ∆an ,
выразим приращение капитала
π
∆Xnπ = Xnπ − Xn−1
= [βn ∆Bn + γn ∆Sn ] + [Bn−1 ∆βn + Sn−1 ∆γn ].
(4.11)
Выражение во второй квадратной скобке справа в (4.11) является An−1 измеримым, оно равно изменению капитала портфеля в момент n − 1 за счет
выбранного изменения самого портфеля, то есть за счет приращений ∆βn и ∆γn
при текущих ценах Bn−1 и Sn−1 . Другими словами, это выражение есть объем
вложенных средств в момент n − 1, который может быть положительным (вливание капитала) или отрицательным (изъятие средств из оборота). Наоборот,
выражение в первой квадратной скобке есть изменение капитала портфеля за
рассматриваемый промежуток времени между тактами n − 1 и n за счет изменения рыночных цен и за счет банковских процентов.
Класс портфелей π, обладающих свойством
Bn−1 ∆βn + Sn−1 ∆γn = 0,
(4.12)
назовем самофинансируемым и обозначим SF.
Смысл этого определения состоит в том, что изменение капитала Bn−1 ∆βn
за счет изменения банковского счета может осуществляться только за счет изменения Sn−1 ∆γn в составе пакета акций и наоборот.
Заметим сразу, что капитал самофинансируемого портфеля π допускает
представление
n
X
π
π
Xn = X0 +
(βk ∆Bk + γk ∆Sk ) ,
(4.13)
k=1
(где ∆B0 = ∆S0 = 0), которое равносильно условию самофинансирования
(4.12).
Можно считать, что изменение капитала Xnπ на (B, S)-рынке в принципе
может зависеть от двух факторов
— правил, определяющих переброску капитала с одного актива на другой,
— условий, обобщающих или модифицирующих связь капитала с (B, S)рынком, то есть уравнение (4.10).
54
Глава 4. Стохастическая модель финансового рынка
В нашем случае первый фактор определяет подкласс самофинансируемых
портфелей, а второй фактор отсутствует. Однако, вместо (4.10) можно рассматривать другие уравнения, в которых будут учитываться дивиденды с акций,
отток и приток капитала, то есть дополнительное инвестирование, расходы на
потребление и т.д.
Глава 5
Арбитраж и полнота (B, S)-рынка
§ 1. Арбитраж
1.1. Арбитражный рынок
Под арбитражем в финансовой математике понимается получение положительной прибыли без риска и без начального капитала. Чаще говорят о рынке, на
котором ”отсутствуют арбитражные возможности”, называя такой рынок ”честным”, ”рационально устроенным” или ”эффективным”.
Отсутствие арбитражных возможностей на рынке означает, что любые прибыли должны быть связаны с определенными рисками иметь убытки. Если
предположить, что участники рынка достаточно информированы, то естественно считать, что арбитражные возможности, если такие могут появиться, сразу
реализуются и исчезают с рынка. С другой стороны, реализация арбитражной
возможности создает прибыль из ничего, и поэтому не считается ”рациональной” или ”честной”.
Среди всех портфелей π ∈ SF выделим те, которые реализуют арбитражную возможность рынка в следующем смысле:
X0π = 0,
Xnπ ≥ 0 при n ≤ N
(P − п.н.)
и
XNπ > 0 с положительной вероятностью.
Уже из самого этого определения ясно его экономическое содержание, а
именно, наличие арбитражного портфеля дает возможность получить прибыль, не рискуя.
Обозначим класс арбитражных портфелей SFarb и будем говорить об арбитражности и безарбитражности рынка в зависимости от того, не пуст или пуст
этот класс.
1.2. Мартингальные меры
Вероятностную меру P∗ , эквивалентную P, назовем мартингальной , или
нейтральной к риску , если относительно P∗ стохастическая последовательность (Sn /Bn )n≤N является мартингалом. Класс этих мер обозначим P∗ .
Теорема 5.1 (критерий мартингальности меры) Пусть стохастическая последовательность (rn )n≤N в модели рынка (4.8) является предсказуемой и rn > −1. Тогда относительно P
!
n
X
Sn
— мартингал ⇐⇒
(ρk − rk )
— мартингал.
Rn =
Bn
k=0
n≤N
55
Глава 5. Арбитраж и полнота (B, S)-рынка
56
1.3. Основная теорема финансовой математики
Следующая теорема, иногда именуемая основной теоремой финансовой
математики, говорит о тесной взаимосвязи введенных выше понятий арбитражности рынка (экономическая категория) и мартингальности меры (математическая категория).
Теорема 5.2 Пусть последовательность (rn )n≤N , rn > −1, в модели рынка
(4.8) детерминирована. Тогда
P∗ 6= ∅ ⇐⇒ SFarb = ∅.
Доказательство. (=⇒) Пусть P∗ ∈ P∗ . Тогда для любой стратегии π ∈ SF
имеем:
∆Xnπ = βn ∆Bn + γn ∆Sn = βn rn Bn−1 + γn ρn Sn−1 =
= βn rn Bn−1 + γn rn Sn−1 + γn ρn Sn−1 − γn rn Sn−1 =
= rn (βn Bn−1 + γn Sn−1 ) + γn Sn−1 (ρn − rn ) =
π
= rn Xn−1
+ γn Sn−1 (ρn − rn ) .
(5.1)
Xnπ
удовлетворяет неоднородному дискретному стохастическоСледовательно,
му дифференциальному уравнению
π
∆Xnπ = ∆Nn + Xn−1
∆Un ,
X0π = X0 ,
где
∆Nn = γn Sn−1 (ρn − rn ) = γn Sn−1 (∆Vn − ∆Un ) .
Поэтому, используя представление (4.5) для его решения, получаем, что
(
)
n
X
Xnπ = En (U ) X0 +
E−1
.
(5.2)
k (U ) ∆Nk
k=1
Далее, в силу детерминированности U , мартингальности P∗ и теоремы 5.1
получаем, что
!
n
X
E−1
=
E∗ (Xnπ | An−1 ) = En (U ) E∗ X0π +
k (U ) ∆Nk An−1
= En (U ) E
Отсюда при
X0π
∗
k=1
π
(X0 | An−1 )
(5.3)
= 0 будет
E∗ (Xnπ | An−1 ) = 0,
и в силу свойства 6) условных математических ожиданий
E∗ (Xnπ ) = E∗ (E∗ (Xnπ | An−1 )) = 0,
Предположим теперь, что SFarb 6= ∅ и π ∈ SFarb , тогда в силу эквивалентности P ∼ P∗ получаем, что E (XNπ ) > 0 — противоречие.
Доказательство импликации (⇐=) труднее и требует привлечения теоремы
об отделимости.
§ 2. Полнота
57
§ 2. Полнота
2.1. Полный рынок
Наряду с безарбитражностью, другой важной характеризацией рынка, позволяющей получить точные формулы в различных финансовых расчетах, является
его полнота.
Будем говорить, что (B, S)-рынок, определенный на дискретном фильтрованном вероятностном пространстве (Ω, A, A, P) с конечным множеством состояний рынка Ω, является полным, если для любой A -измеримой функции
f = f (ω) найдется стратегия π ∈ SF , терминальный капитал которой воспроизводит функцию f , т.е. XNπ (ω) = f (ω) , ω ∈ Ω.
С нематематической точки зрения, свойство полноты обеспечивает доступность всех фигурирующих на рынке активов и отсутствие ограничений для
инвестирования в эти активы.
2.2. Критерий полноты рынка
Справедлива следующая теорема о полноте (B, S)-рынка.
Теорема 5.3 Пусть множество мартингальных мер P∗ не пусто и P∗ ∈
P∗ . Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) (B, S)-рынок является полным;
2) мера P∗ является единственным элементом в P∗ ;
3) всякий мартингал (Mn , An , P∗ ) , 0 ≤ n ≤ N , допускает представление
Mn = M0 +
n
X
γk (ω) ∆mk ,
(5.4)
k=1
где случайные величины γk = γk (ω) являются Ak−1 -измеримыми и
∆mk =
Sk−1
Sk
−
.
Bk Bk−1
Заметим, что ∆mk = Sk−1 Bk−1 (ρk − rk ), и ввиду теоремы 5.1 мартингальное
представление (5.4) эквивалентно представлению
Mn = M0 +
n
X
γ
ek (ρk − rk ),
(5.5)
k=1
где γ
ek = γk Sk−1 Bk−1 ∈ Ak−1 , которое и будет в дальнейшем наиболее часто
использоваться.
Доказательство. 1) =⇒ 2). Предположим, что, наряду с мерой P∗ ∈ P∗ ,
найдется еще такая мера P∗∗ ∈ P∗ , что P∗∗ 6= P∗ , т.е. существует множество
A ∈ A, для которого P∗∗ (A) 6= P∗ (A).
Глава 5. Арбитраж и полнота (B, S)-рынка
58
Возьмем f (ω) = χA (ω) BN . Из предположения полноты рынка следует, что
найдется такая стратегия π ∈ SF , что
P {XNπ (ω) = χA (ω) BN } = 1.
Поскольку P∗ ∼ P и P∗∗ ∼ P, имеем
P∗ {XNπ = χA BN } = P∗∗ {XNπ = χA BN } = 1.
Из мартингальности мер P∗ и P∗∗ вытекает, что
E∗
XNπ
Xπ
Xπ
Xπ
= 0 и E∗∗ N = 0 .
BN
B0
BN
B0
Следовательно, E∗ χA = E∗∗ χA , т.е. P∗ (A) = P∗∗ (A), что противоречит предположению о несовпадении мер P∗ и P∗∗ .
2) =⇒ 1). Покажем, что если P∗ — единственная мартингальная мера, то
(B, S)-рынок является полным.
Определим множества случайных величин ξ = ξ (ω) на (Ω, A):
Σ0 = {ξ ∈ R: существует π ∈ SF
со свойством X0π = 0 и XNπ = ξ},
Σ2 = {ξ ∈ R : E∗ ξ = 0}.
Очевидно, Σ0 ⊆ Σ2 , и для доказательства утверждения 2) =⇒ 1) достаточно
показать, что 2) =⇒ Σ0 = Σ2 =⇒ 1).
Начнем с доказательства второй импликации.
Пусть f есть некоторая A-измеримая функция. В силу того, что Σ0 = Σ2 ,
случайная величина ξ = f −E∗ f является элементом Σ0 . Поэтому найдется такая
стратегия π ∈ SF с πn = (γn , βn )1≤n≤N , что XNπ = ξ. Но тогда стратегия π
eсπ
en =
γ
en , βen
, где γ
en = γn , βen = E∗ f /BN + βn , является самофинансируемой и
1≤n≤N
XNπe = f .
Покажем теперь, что совпадение множеств Σ0 и Σ2 следует из единственности P∗ ∈ P∗ , т.е. что 2) =⇒ Σ0 = Σ2 . С этой целью, как и при доказательстве
теоремы (5.2), каждую случайную величину ξ, заданную на Ω, будем отождествлять с вектором x = (ξ (ω1 ) , . . . , ξ (ωk )) ∈ Rk , где k = |Ω|, а вероятностную
меру P∗ на (Ω, A) — с вектором q ∗ = (q1∗ , . . . , qk∗ ) ∈ Rk , где qi∗ = P∗ {ωi } > 0, i ≤ k.
Ясно, что Σ0 и Σ2 являются линейными подпространствами в Rk .
Если Σ0 6= Σ2 , то, поскольку Σ0 ⊆ Σ2 , найдется ненулевой вектор x
e ∈ Σ2 ,
ортогональный множеству Σ0 :
(e
x, x) =
k
X
x
ei xi = 0,
x ∈ Σ0 .
i=1
Подберем ε > 0 так, чтобы qei = qi∗ − εe
xi > 0 при всех i ≤ k.
Пусть qe = (e
q1 , . . . , qek ). Тогда, если x ∈ Σ0 , то (e
q , x) = (q ∗ , x) = 0.
§ 2. Полнота
59
e на (Ω, A),
Как и при доказательстве теоремы 5.2, можно показать, что мера P
e {ωi } = δ qei , где δ = (e
определенная равенствами P
q1+ . . . + qek )−1 , является мар
e есть мартингал.
тингальной, т.е. последовательность Sn /Bn , An , P
e
В силу предполагаемой единственности меры P∗ получаем равенство P∗ = P,
∗
∗
равносильное тому, что q = δe
q = δq − εδe
x,или
(1 − δ) q ∗ = εδe
x
(5.6)
Однако, так как x
e ∈ Σ2 , векторы q ∗ и x
e ортогональны, и значит, равенство
(5.6) возможно лишь при δ = 1 и нулевом векторе x
e.
Полученное противоречие показывает, что Σ0 = Σ2 .
1) =⇒ 3). Покажем, что свойство полноты рынка обеспечивает возможность
представления всякого мартингала M = (Mn , An , P∗ ) , 0 ≤ n ≤ N , в виде (5.4).
Пусть M –некоторый мартингал и f = MN BN .
Поскольку рынок полон, найдется такая стратегия π ∈ SF , что ее капитал
π
XN в момент N в точности равен f : XNπ (ω) = f (ω).
В силу того, что последовательность (Xnπ /Bn , An , P∗ ) является мартингалом,
имеем Xnπ /Bn = Mn .
Следовательно, используя условие самофинансируемости, получаем
Mn+1 − Mn =
=
π
Xn+1
Xπ
− n =
Bn+1
Bn
βn+1 Bn+1 + γn+1 Sn+1 βn Bn + γn Sn
−
=
Bn+1
Bn
Sn+1
Sn
= γn+1
−
,
Bn+1 Bn
что и приводит к ”интегральному” представлению (5.4).
3) =⇒ 1). Покажем, что возможность представление всякого мартингала в
виде (5.4) влечет за собой свойство полноты для (B, S)-рынка.
Пусть f = f (ω) есть некоторая случайная величина на (Ω, A). Определим
мартингал M = (Mn , An , P∗ ) , 0 ≤ n ≤ N , полагая
f ∗
Mn = E
An .
BN В силу сделанного предположения
Mn = M0 +
n
X
k=1
γk
Sk
Sk−1
−
.
Bk Bk−1
Определим портфель π ∗ с такими πn∗ = (βn∗ , γn∗ ), что γn∗ = γn , βn∗ = Mn −
γn Sn /Bn , n ≤ N .
Глава 5. Арбитраж и полнота (B, S)-рынка
60
Тогда π ∗ ∈ SF , поскольку при n ≤ N
Sn−1 ∆γn∗
Sn
=
+ Bn−1 ∆βn = Sn−1 ∆γn + Bn−1 ∆Mn − ∆ γn
Bn
Sn
Sn
= Sn−1 ∆γn + Bn−1 γn ∆
− ∆ γn
= 0,
Bn
Bn
∗
Xnπ = βn∗ Bn + γn∗ Sn = MN BN .
∗
В частности, Xnπ = MN BN = f , что завершает доказательство импликации
3) =⇒ 1), а вмеcте с ней — и всей теоремы.
Глава 6
Платежные обязательства в полных рынках
§ 1. Платежные обязательства и хеджирование
1.1. Платежные обязательства
Предположим, что целью инвестора является покрытие некоторого платежного
обязательства в момент N . Его стратегия, т.е. портфель ценных бумаг, создается в момент n = 0 и состоит в том, как в моменты n = 1, 2, . . . , N − 1 менять
объемы банковских вкладов и пакетов акций в зависимости от реализовавшейся
рыночной цены. Платежное обязательство может также зависеть от рыночной
цены в момент N , например, если это проданный опцион. Таким образом, как
портфель ценных бумаг, так и платежное обязательство моделируются случайными величинами, зависящими от текущих рыночных цен. В этом смысле
платежное обязательство выражается случайной величиной fN , являющейся
AN -измеримой.
Рассмотрим конечный финансовый рынок (4.8).
Платежным обязательством с датой погашения N будем называть
пару (f, N ), где f — любая AN -измеримая неотрицательная случайная величина.
1.2. Хеджирование
Участник рынка, который должен погасить данное обязательство, должен так
организовать свою инвестиционную деятельность, чтобы соответствующий инвестиционный портфель π принес капитал XNπ ≥ f . Процедура построения такого портфеля, приводящая к достижимости платежного обязательства, называется хеджированием этого обязательства, а сам портфель — хеджирующим портфелем.
Понятие хеджа (hedge — забор) играет существенную роль в финансовой математике, так как в определенной степени представляет различные интсрументы защиты или страхования капиталовложений в финансовой практике. Следующее определение позволяет формализовать действия, с помощью которых
можно реализовать такую защиту.
Определение 6.1 Пусть на (B, S)-рынке задано начальное значение капитала x и платежное обязательство (f, N ). Самофинансируемый портфель π
называется (x, f, N )-хеджем, если для любого ω ∈ Ω
X0π = x, XNπ (ω) ≥ f (ω).
61
(6.1)
62
Глава 6. Платежные обязательства в полных рынках
Хедж называется минимальным, если во втором условии (6.1) имеет
место знак равенства (в этом случае говорят о достижимости платежного обязательства).
Множество всех (x, f, N )-хеджей будем обозначать H(x, f, N )
Определение 6.2 Инвестиционной стоимостью платежного обязательства называется величина
C(N ) = inf{x > 0 : H(x, f, N ) 6= ∅}
(6.2)
1.3. Опционы
Природа платежного обязательства может быть весьма произвольной. Одна
из центральных задач, связанных с хеджированием платежных обязательств,
возникает при расчете опционов.
Пусть эмитент на (B, S)-рынке выпустил ценную бумагу на покупку (продажу и т.д.) некоторого актива. Чтобы приобрести такую бумагу, необходимо заплатить эмитенту некоторую премию C. При этом приобретается право
предъявить данную бумагу к исполнению в момент времени N и получить выплату в размере f . Такая производная ценная бумага называется опционом
европейского типа, а сама сделка — контрактом с опционом.
Здесь возникают два основных вопроса
— по какой цене покупать опцион
— как хеджировать платежное обязательство по данному опциону.
Иногда вместо термина инвестиционная стоимость опциона используется
термин справедливая цена опциона. Это связано с тем, что определение
6.2 преследует две цели — удовлетворить
1) продавца — он может на данном рынке достигнуть обязательства,
2) покупателя — он платит в некотором смысле минимальную премию продавцу, позволяющую тому выполнить обязательство.
Пример 6.1 (Опционы на покупку и продажу)
Опцион на покупку (колл-опцион) — это опцион с платежным обязательством
f = (SN − K)+ ,
по которому его держатель имеет возможность приобрести актив по фиксированной цене K (цена поставки актива) в момент N (момент исполнения), в то
время как рыночная цена актива равна SN . Понятно, что этот опцион предъявляется к исполнению при SN > K и не предъявляется при SN ≤ K.
Опцион на продажу (пут-опцион) — это опцион, по которому держатель имеет право продать актив по фиксированной цене K. Соответствующее
платежное обязательство имеет вид
f = (K − SN )+ .
§ 2. Общие формулы расчета цен и хеджирующих стратегий
63
§ 2. Общие формулы расчета цен и
хеджирующих стратегий
2.1. Основная теорема
Сначала сделаем ряд предположений относительно (B, S)-рынка (4.8).
Прежде всего, будем считать, что рынок является безарбитражным и полным. Кроме того, последовательность {rn } безрисковых процентных ставок считаем детерминированной, причем rn > −1 (n = 0, . . . , N ).
В силу теорем 5.2 и 5.3 существует единственная мартингальная мера P∗ и
справедливо мартингальное представление (5.4). Мартингальная мера P∗ участвует в формулировке следующей теоремы, дающей общие формулы для инвестиционной стоимости платежного обязательства, минимального хеджа и соответствующего ему капитала.
Теорема 6.1 Пусть (B, S)-рынок является безарбитражным и полным,
причем последовательность {rn } детерминирована и rn > −1 при n = 0, . . . , N .
Тогда для платежного обязательства (f, N )
1) его инвестиционная стоимость определяется формулой
−1
∗
C(N ) = E∗ (E−1
N (U )f ) = EN (U )E (f )
(6.3)
2) существует такой минимальный (C(N ), f, N )-хедж π ∗ , что его капитал представим в виде
∗
Xnπ = E∗ E−1
(6.4)
N (U )En (U )f An
при этом
∗
γn∗
X π − γn∗ Sn−1
γ
en Bn
∈ An−1 , βn∗ = n−1
∈ An−1 ,
=
Sn−1
Bn−1
(6.5)
где {e
γn }n≤N — предсказуемая
последовательность из разложения (5.5) для
−1 ∗
мартингала E BN f An n≤N
Доказательство этой теоремы разобьем на несколько частей.
2.2. Оценка инвестиционной стоимости снизу
Рассмотрим произвольный хедж π ∈ H(x, f, N ) и его дисконтированный капитал Mnπ = Xnπ /Bn Другими словами этот капитал уравнивается в цене в различные моменты времени приведением к состоянию банковского счета. В силу
(5.2) получаем следующую цепочку равенств
!
n
X
1
En (U )X0 + En (U )
E−1
=
Mnπ =
k (U )∆Nk
Bn
k=1
64
Глава 6. Платежные обязательства в полных рынках
=
X0 B0−1
+
n
X
Bk−1 γk Sk−1 (ρk − rk )
(6.6)
k=1
Так как P∗ — мартингальная
мера, то по теореме 5.1 стохастическая послеPn
e
довательность Sn = k=1 (ρk − rk ) является мартингалом относительно меры
P∗ . Тогда
E
∗
∗
∗
e
e
e
e
Sn An−1 − E Sn−1 An−1 = E Sn − Sn−1 An−1 =
= E∗ (ρn − rn | An−1 ) = 0,
так как ρn − rn — мартингал-разность.
Далее, используя конечность Ω, предсказуемость γn и Bn , An –измеримость
последовательности Sn и равенство (6.6), покажем, что Mnπ — мартингал относительно P∗ .
E∗ (Mnπ | An−1 ) =
=
X0 B0−1
+
n−1
X
Bk−1 γk Sk−1 (ρk − rk ) + E∗ Bn−1 γn Sn−1 (ρn − rn ) An−1 =
k=1
π
π
= Mn−1
+ Bn−1 γn Sn−1 E∗ ((ρn − rn )| An−1 ) = Mn−1
.
Далее покажем, что E∗ (MNπ ) = X0 B0−1 . В самом деле,
X0 B0−1 = M0π = E∗ (M1π | A0 ) = E∗ (E∗ (M2π | A1 )| A0 ) = E∗ (M2π | A0 ) =
= . . . = E∗ (MNπ | A0 ) = E∗ (MNπ )
или
−1
π
∗
π
x = X0 = E∗ E−1
N (U )XN = EN (U )E (XN ) .
Отсюда и из (6.1) вытекает, что для (x, f, N )-хеджа π
∗
x ≥ E−1
N (U )E (f )
(6.7)
∗
x = E−1
N (U )E (f ) ,
(6.8)
и
если хедж является минимальным.
Учитывая соотношение (6.2), из (6.7) получим неравенство
∗
C(N ) ≥ E−1
N (U )E (f ) .
(6.9)
§ 2. Общие формулы расчета цен и хеджирующих стратегий
65
2.3. Мартингал Mn∗
Рассмотрим мартингал
−1 Mn∗ = E∗ BN
f An , n = 0, . . . , N.
(6.10)
при условии (6.8).
Покажем, что (6.10) действительно является мартингалом. Используя телескопическое свойство условного математического ожидания получим
−1 −1 ∗
E∗ (Mn∗ | An−1 ) = E∗ E∗ BN
f An An−1 = E∗ BN
f An−1 = Mn−1
.
В силу (6.8) справедливы равенства
x
−1
−1 ∗
∗
M0∗ = E∗ BN
f = BN
E (f ) = B0−1 E−1
N (U )E (f ) =
B0
Поскольку функция f является AN – измеримой, то
−1
MN∗ = BN
f.
Обозначим
−1
γk∗ = γ
ek Bk Sk−1
, k = 1, . . . , N
и перепишем в этих терминах представление (5.5) мартингала Mn∗
n
Mn∗
Xγ
ek∗ Sk−1
x
+
(ρk − rk ).
=
B0 k=1 Bk
2.4. Существование минимального хеджа
Докажем теперь существование такой самофинансируемой стратегии π ∗ , что
соответствующий ей дисконтированный капитал совпадает с Mn∗ , то есть
∗
Xnπ
= Mn∗ , n = 0, . . . , N
Bn
(6.11)
В самом деле, положим
β1∗ =
x − γ1∗ S0
, π1∗ = (β1∗ , γ1∗ )
B0
и, соответственно,
∗
X1π = β1∗ B1 + γ1∗ S1 .
Тогда для дисконтированного капитала имеем
∗
∗
M1π
Xπ
S1
x
= 1 = β1∗ + γ1∗
=
+ γ1∗
B1
B1
B0
S1
S0
−
B1 B0
=
66
Глава 6. Платежные обязательства в полных рынках
x
γ
e1 B1
=
+
B0
S0
S1
S0
x
S1 B1
−
=
+γ
e1
−
=
B1 B0
B0
S0 B0
x
+γ
e1 (ρ1 − r1 ) = M1∗
=
B0
Продолжая этот процесс по индукции с выбором βn∗ и γn∗ по формулам (6.5),
убеждаемся в справедливости равенства (6.11).
Таким образом, для построенного хеджа в силу (6.10) имеем
∗
Xnπ
∗
−1 f An .
= Mnπ = Mn∗ = E∗ BN
Bn
Учитывая также экспоненциальное представление (4.9) для Bn , получаем
равенство (6.4) для капитала этого хеджа.
В частности, для начального и конечного капитала имеем
∗
∗
∗
π
X0π = E−1
N (U )E (f | An ) = x, XN = f.
Это и означает минимальность построенного хеджа , что вместе с (6.9) приводит
к равенству (6.3).
Покажем, наконец,
что π ∗ является самофинансируемым. В самом деле, так
∗
n Sn
, то, используя еще равенство
как βn∗ = Mn∗ − γB
n
Mn∗
−
∗
Mn−1
=
γn∗
Sn−1
Sn
−
Bn Bn−1
(см. представление (5.5) мартингала Mn∗ ), получаем
Bn−1 ∆βn∗ + Sn−1 ∆γn∗ =
∗
Sn−1
γn−1
γn∗ Sn
∗
∗
∗
= Bn−1 Mn −
− Mn−1 −
+ Sn−1 (γn∗ − γn−1
)=
Bn
Bn−1
Sn
∗
∗
∗
= Bn−1 Mn − Mn−1 − γn Bn−1
− Sn−1 =
Bn
Sn
Sn
∗
∗
= γn Bn−1
− Sn−1 − γn Bn−1
− Sn−1 = 0.
Bn
Bn
Теорема доказана.
Глава 7
Биномиальная модель (B, S)-рынка и формула
Кокса-Росса-Рубинштейна
§ 1. Биномиальная модель
1.1. Описание модели и ее свойства
Рассмотрим (B, S)-рынок (4.8) в предположении, что последовательность rn не
зависит от n и неслучайна, то есть
rn (ω) = r > 0, ω ∈ Ω, n = 0, 1, . . . .
Положительная постоянная r — процентная ставка банковского счета. Последовательность ρn будем считать случайной и принимающей два значения a и b,
причем
− 1 < a < r < b.
(7.1)
Введем еще две последовательности случайных величин
εn + 1
2ρn − a − b
εn =
, δn =
,
b−a
2
тогда величины ρn можно выразить через эти последовательности
a+b b−a
+
εn ,
ρn =
2
2
ρn = a + (b − a)δn .
(7.2)
(7.3)
Через свои значения эти случайные величины связаны следующим образом
εn (ω) = 1 ⇔ δn (ω) = 1 ⇔ ρn (ω) = b,
εn (ω) = −1 ⇔ δn (ω) = 0 ⇔ ρn (ω) = a.
Сделанные предположения приводят к следующему уточнению стохастического базиса, на котором рассматривается модель. Именно, в рассматриваемом
случае можно считать
Ω = {−1, +1}N ,
то есть Ω — множество упорядоченных наборов +1 или −1 длины, а в качестве
вероятностных мер P брать такие, относительно которых ρn является последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин,
принимающих только два значения: a и b
0 < q = P{ρn = a}, 0 < p = P{ρn = b}, p + q = 1.
Пусть еще A — совокупность всех подмножеств Ω и
A0 = {∅, Ω}, An = σ(ε1 , . . . , εn ).
Полученная таким образом модель рынка называется биномиальной.
67
(7.4)
Глава 7. Биномиальная модель (B, S)-рынка
68
1.2. Безарбитражность и полнота
Теорема 7.1 Если выполнено условие (7.1), то биномиальный (B, S)-рынок
является безарбитражным и полным.
Доказательство. Любая вероятностная мера P сейчас определяется вероятностью p из равенств (7.4). Возьмем в качестве p значение
p∗ =
r−a
b−a
и обозначим соответствующую меру P∗ . Тогда
E∗ (ρn − r) = a(1 − p∗ ) + bp∗ − r = (b − a)p∗ − (r − a) = 0.
P
Следовательно, последовательность nk=1 (ρk − r) является мартингалом относительно P∗ . По теореме 5.1 мера P∗ является мартингальной, а по теореме
5.2 рынок не допускает арбитража.
Доказательство полноты опускаем.
1.3. Лемма о мартингалах
Лемма 7.1 Пусть (Ω, A, P) — вероятностное пространство и {ρn }N
n=0 —
последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, со свойствами (7.1), (7.4) и p = (r − a)/(b − a). Пусть еще An =
σ(ρ1 , . . . , ρn ), n = 1, . . . , N .
Тогда для любого мартингала Mn с E (M0 ) = 0 справедливо представление
(в виде стохастического интеграла)
Mn =
n
X
αk ∆mk ,
(7.5)
k=1
где αk — предсказуемая последовательность и
n
X
mn =
(ρk − r).
k=1
Используя соотношения (7.2), (7.3) связи между системами ρn , εn и δn представление (7.5) можно переписать и в терминах функций εn и δn
Mn =
n
X
(ρ)
(ρ)
αk ∆mk
=
k=1
n
X
k=1
(ε)
(ε)
αk ∆mk
=
n
X
(δ)
(δ)
αk ∆mk
(7.6)
k=1
где
(ρ)
(ε)
(δ)
∆mk = ρk − r, ∆mk = εk − 2p + 1, ∆mk = δk − p.
В следующей лемме даются выражения для коэффициентов этих разложений в биномиальных терминах.
§ 2. Формула Кокса-Росса-Рубинштейна
69
Лемма 7.2 Пусть MN имеет следующую структуру
MN = g(∆N )
(7.7)
где g — некоторая функция, ∆k = δ1 + · · · + δk , ∆0 = 0.
Тогда
(δ)
αk = GN −k (∆k−1 ; p),
где
Gn (x; p) =
n
X
(7.8)
[g(x + k + 1) − g(x + k)] Cnk pk (1 − p)n−k .
(7.9)
k=0
(δ)
(δ)
Доказательство. В силу равенств ∆Mn = αn ∆mn , Mn = E (MN | An ) и
условия (7.7) получаем
αn(δ) =
=
E (MN | δ1 , . . . , δn−1 , 1) − E (MN | δ1 , . . . , δn−1 )
=
1−p
E (g(∆N )| δ1 , . . . , δn−1 , 1) − E (g(∆N )| δ1 , . . . , δn−1 )
.
1−p
(7.10)
Кроме того, на множестве ω : ∆n−1 , δn = 1
E (g(∆N )| An ) = E (g(x + 1 + ∆N − ∆n )) ,
E (g(∆N )| An−1 ) = E (g(x + ∆N − ∆n−1 )) =
= pE (g(x + 1 + ∆N − ∆n )) + (1 − p)E (g(x + ∆N − ∆n )) .
Следовательно,
E (g(∆N )| An ) − E (g(∆N )| An−1 ) =
= (1 − p)E (g(x + 1 + ∆N − ∆n ) − g(x + ∆N − ∆n )) =
= (1 − p)
N
−n
X
[g(x + k + 1) − g(x + k)] CNk −n pk (1 − p)N −n−k =
k=0
= (1 − p)GN −n (x; p).
Вспоминая (7.10), отсюда получаем (7.8).
§ 2. Формула Кокса-Росса-Рубинштейна
2.1. Обязательства вида f = f (Sn ) в биномиальной модели
Здесь мы рассмотрим случай, когда платежное обязательство имеет вид f (SN ),
где f — некоторая функция. Такой подход является естественным при стремлении выразить зависимость платежного обязательства от реальной цены актива.
Глава 7. Биномиальная модель (B, S)-рынка
70
Ниже для такого случая будут получены формулы для инвестиционной стоимости платежного обязательства и капитала хеджирующего портфеля, рассматриваемых в рамках биномиальной модели (4.8) и (7.1), (7.2).
Формулы (6.3) и (6.4), справедливые в силу теорем 6.1 и 7.1 преобразуются
к виду
∗
C(N ) = (1 + r)−N E∗ (f (SN )) , Xnπ = (1 + r)n−N E∗ (f (SN )| An ) .
Проведем дальнейшие преобразования для этих величин. Для этого введем
функцию
n
X
Fn (x; p) =
(7.11)
f x(1 + b)k (1 + an−k ) Cnk pk (1 − p)n−k
k=0
и заметим, что
N
Y
(1 + ρk ) = (1 + b)∆N −∆n (1 + a)(N −n)−(∆N −∆n ) .
k=n+1
Следовательно, так как p∗ = (r − a)/(b − a), то
!!
N
Y
∗
(1 + ρk )
= FN −n (x; p∗ )
E f x
k=n+1
и
∗
Xnπ = (1 + r)n−N E∗ (f (SN )| An ) =
!
!
N
Y
(1 + ρk ) ρ1 , . . . , ρn =
= (1 + r)n−N E∗ f Sn
k=n+1
= (1 + r)n−N FN −n (Sn ; p∗ ).
(7.12)
Кроме того,
∗
C(N ) = X0π = (1 + r)−N FN (S0 ; p∗ ).
(7.13)
Детализируем теперь структуру минимального хеджа πn∗ = (βn∗ , γn∗ ) из теоремы 6.1.
Рассмотрим дисконтированный капитал этого хеджа в момент N исполнения
опциона
∗
f S0 (1 + b)∆N (1 + aN −∆N )
XNπ
f (SN )
MN =
=
=
= g(∆N ).
BN
BN
BN
Используя (6.11) и (7.6), мы получим, что
MN = M0 +
N
X
γ ∗ Sn−1
n
n=1
Bn
(ρn − r) = M0 +
N
X
γ ∗ Sn−1
n
n=1
Bn
(b − a)(δn − p∗ ).
§ 2. Формула Кокса-Росса-Рубинштейна
71
Из леммы 7.2 и представления (7.6) вытекает, что
γn∗ =
GN −n (∆n−1 ; p∗ )Bn
aδn Bn
=
(b − a)Sn−1
(b − a)Sn−1
(7.14)
где функция Gn определена по формуле (7.9), в которой следует взять
−1
g(x) = BN
f S0 (1 + b)x (1 + a)N −x .
Осталось выразить γn∗ через функцию Fn . Очевидно, что
"
x+k+1 !
N
−n
X
1
+
b
−1
GN −n (x; p) = BN
f S0 (1 + a)N
−
1+a
k=0
−f
S0 (1 + a)N
1+b
1+a
x+k !#
CNk −n pk (1 − p)N −n−k
Отсюда с учетом равенства
n−1
Sn−1 = S0 (1 + a)
1+b
1+a
∆n−1
при x = ∆n−1 получаем
−1
GN −n (∆n−1 ; p) = BN
N
−n
X
"
Sn−1 (1 + a)N −n+1
f
k=0
−f
Sn−1 (1 + a)N −n+1
=
1+b
1+a
k !#
1+b
1+a
k+1 !
−
CNk −n pk (1 − p)N −n−k =
FN −n ((1 + b)Sn−1 ; p∗ ) − FN −n ((1 + a)Sn−1 ; p∗ )
BN
Следовательно (см. (7.14)),
γn∗ =
= (1 + r)−(N −n)
GN −n (∆n−1 ; p∗ )Bn
=
(b − a)Sn−1
FN −n ((1 + b)Sn−1 ; p∗ ) − FN −n ((1 + a)Sn−1 ; p∗ )
.
(b − a)Sn−1
(7.15)
Первая компонента хеджирующего портфеля находится теперь отсюда и (7.12)
∗
βn∗
=
X π − γn∗ Sn−1
= n−1
=
Bn−1
FN −n+1 (Sn−1 ; p∗ )
FN −n ((1 + b)Sn−1 ; p∗ ) − FN −n ((1 + a)Sn−1 ; p∗ )
− (1 + r)n−N
=
BN
(b − a)Bn−1
Глава 7. Биномиальная модель (B, S)-рынка
72
−1
BN
{FN −n+1 (Sn−1 ; p∗ ) − (1 + r) [FN −n ((1 + b)Sn−1 ; p∗ ) − FN −n ((1 + a)Sn−1 ; p∗ )]} .
(7.16)
Сведем теперь формулы (7.12), (7.13), (7.15), (7.16) в единую теорему о
структуре цены минимального хеджирующего портфеля и его капитала в рассматриваемом случае.
Теорема 7.2 Пусть на биномиальном рынке (4.8) при условиях (7.1), (7.2)
рассматривается платежное обязательство (f (SN ), N ). Тогда
1) его инвестиционная стоимость определяется формулой
C(N ) = (1 + r)−N FN (S0 ; p∗ )
где
r−a
,
b−a
а функция Fn определена равенством (7.11),
2) минимальный хедж πn∗ = (βn∗ , γn∗ ) существует и его компоненты задаются формулами (7.16) и (7.15)
3) капитал минимального хеджа описывается формулами
p∗ =
∗
Xnπ = (1 + r)n−N FN −n (Sn ; p∗ ).
2.2. Справедливая цена европейского опциона
Рассмотрим европейский опцион на покупку с платежным обязательством
f (SN ) = ((SN − K)+ , N ). В этом случае функция (7.11) при x = S0 , p = p∗
и n = N имеет вид
)
(
k
N
X
1
+
b
CNk (p∗ )k (1 − p∗ )N −k max 0, S0 (1 + a)N
FN (S0 ; p∗ ) =
−K .
1
+
a
k=0
Обозначим через
(
k0 = min k ∈ Z+ : S0 (1 + a)N
1+b
1+a
)
k
>K
.
Ясно, это число выбрано так, что
FN (S0 ; p∗ ) = 0 при k0 > N
и тогда C(N ) = 0.
Пусть k0 ≤ N , тогда
C(N ) = (1 + r)−N FN (S0 ; p∗ ) =
= S0
N
X
k=k0
CNk (p∗ )k (1
∗ N −k
−p )
1+a
1+r
N 1+b
1+a
k
−
§ 2. Формула Кокса-Росса-Рубинштейна
−N
−K(1 + r)
N
X
73
CNk (p∗ )k (1 − p∗ )N −k .
k=k0
Введем обозначения
N
X
1+b ∗
p , B(j, N, p) =
CNk pk (1 − p)N −k .
pe =
1+r
k=j
(7.17)
Тогда из последнего выражения для C(N ) вытекает следующее утверждение о
справедливой цене европейского опциона на покупку.
Теорема 7.3 (Формула Кокса-Росса-Рубинштейна) Для европейского
опциона на покупку с платежным обязательством ((SN − K)+ , N ) справедливая цена определяется равенством
C(N ) = S0 B(k0 , N, pe) − K(1 + r)−N B(k0 , N, p∗ ),
где
(7.18)
1+b
K
/ ln
,
k0 = 1 + ln
S0 (1 + a)N
1+a
причем C(N ) = 0, если k0 > N .
Непосредственно из этой теоремы и равенства
x = max {0, x} − max {0, −x}
выводится формула для справедливой цены европейского опциона на продажу
с платежным обязательством (K − SN )+
P(N ) = E∗ (1 + r)−N max{0, K − SN } =
= C(N ) − E∗ (1 + r)−N SN + K(1 + r)−N =
C(N ) − S0 + K(1 + r)−N .
Это равенство, связывающее цены C(N ) и P(N ), называется колл-пут-паритетом.
Глава 8
Финансовые расчеты на полном рынке с
использованием несамофинансируемых стратегий
§ 1. Хеджирование платежных обязательств,
достижимых с положительной вероятностью
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о хеджировании платежных обязательств, достижимых не почти наверное, как в предыдущих разделах, а с
заданной вероятностью. Именно, ранее речь шла о хеджах, для которых
XNπ ≥ f P∗ -почти наверное
(см. (6.1)). То теперь это неравенство должно будет выполняться с заданной
вероятностью. Такой подход связан с бо́льшим риском, который увеличивается с
уменьшением этого уровня вероятности. Но удовлетворительное решение такой
задачи хеджирования возможно при меньшем начальном капитале.
Пусть на полном (B, S)-рынке (4.8) с детерминированной последовательностью rn > −1 и B0 = 1 задано платежное обязательство (f, N ) с E∗ (f ) > 0, где E∗
— математическое ожидание относительно мартингальной меры P∗ . С данным
обязательством свяжем следующий класс самофинансируемых стратегий
SF (f, N ) = {π ∈ SF : XNπ ≥ f − E∗ (f )}
Зададим уровень риска платежного обязательства α ∈ (0, 1) и стратегию
π ∈ SF (f, N ) будем называть (α, x, f, N )-хеджем (или просто α-хеджем), если
X0π = x и выполнены неравенства
P (XNπ ≥ f ) ≥ 1 − α, P∗ {XNπ ≥ f } ≥ 1 − α.
(8.1)
Множество α-хеджей обозначим H(α, x, f, N ) и α-ценой платежного обязательства назовем величину
C(N, α) = inf{x > 0 : H(α, x, f, N ) 6= ∅}.
(8.2)
Лемма 8.1 Для любого портфеля π ∈ SF (f, N ) выполнено неравенство
P∗ (XNπ ≥ f ) ≤
X0π
,
C
где
C = E∗ E−1
N (U )f
— инвестиционная стоимость обязательства (f, N ).
74
(8.3)
§ 1. Хеджирование с положительной вероятностью
75
Доказательство. Учитывая определение класса SF (f, N ), мартингальность меры P∗ , формулу
(
)
n
X
Xnπ = En (U ) X0 +
E−1
.
k (U ) ∆Nk
k=1
(см. (5.2)), и применяя неравенство Чебышева, получаем
P∗ (XNπ ≥ f ) = P∗ (XNπ − f + E∗ (f ) ≥ E∗ (f )) ≤
π
E∗ E−1
E∗ (XNπ )
E∗ (XNπ − f + E∗ (f ))
X0π
N (U )XN )
=
=
≤
=
E∗ (f )
E∗ (f )
C
E∗ E−1
N (U )f
Здесь было использовано равенство (5.3), из которого следует, что
π
∗
∗
π
∗
π
π
E∗ E−1
N (U )XN = E (E (X0 | An−1 )) = E (X0 ) = X0 .
Лемма доказана.
Из неравенства (8.3) вытекает необходимое условие того, что стратегия π ∈
SF (f, N ) является α-хеджем.
1 − α ≤ P∗ (XNπ ≥ f ) ≤
x
C
или
x ≥ (1 − α)C.
(8.4)
Как и при доказательстве теоремы в данном случае строится α-хедж πα с
равенством в (8.4).
Введем плотность исходной меры относительно мартингальной меры
ZN =
dP
.
dP∗
Нетрудно видеть, что существует λ = λ(α) > 0, для которого
P∗ {ZN ≥ λ} ≥ 1 − α.
(8.5)
и для упрощения рассуждений считаем, что λ ≥ 1.
Рассмотрим мартингалы
−1
Mnα = E∗ χ{ZN ≥λ} An , MnC = E∗ EN
(U )f An
По теореме 5.3 в силу полноты рынка они допускают представления
Mnα
=α+
n
X
ϕk E−1
k (U )Sk−1 (ρk
− rk ),
MnC
=C+
k=1
с предсказуемыми последовательностями ϕk и γk∗ .
n
X
k=1
γk∗ E−1
k (U )Sk−1 (ρk − rk )
76
Глава 8. Финансовые расчеты на полном рынке
Пусть начальный капитал равен X0 = (1 − α)C. Определим портфель πα =
формулами
(βnα , γnα )
γnα
=
γn∗
− ϕn C,
βnα
πα
− γnα Sn−1
Xn−1
=
,
En−1 (U )
(8.6)
и покажем, что он является (α, (1 − α)C, f, N )-хеджем.
В самом деле из (5.2) в силу (8.5) получаем
En−1 (U )Xnπα
= (1 − α)C +
n
X
γkα E−1
k (U )Sk−1 (ρk − rk ) =
k=1
= (1 − α)C +
n
X
γk∗ E−1
k (U )Sk−1 (ρk
k=1
− rk ) −
n
X
ϕk E−1
k (U )Sk−1 C(ρk − rk ) =
k=1
= (1 − α)C − (1 − α)C + MnC − CMnα
Отсюда выводим
πα
−1
E−1
N (U )XN = EN (U )f − Cχ{ZN <λ}
и, следовательно,
πα
−1
E−1
N (U )XN ≥ EN (U )f − C
и
XNπα ≥ f − EN (U )C = f − EN (U )E∗ E−1
(U
)f
= f − E∗ f
N
Последнее неравенство означает, что πα ∈ SF (f, N ).
Далее, из (8.5) вытекает, что
α
P∗ XNπ ≥ f = P∗ f − CEN (U )χ{ZN <λ} ≥ f =
= P∗ χ{ZN <λ} ≤ 0 = P∗ {ZN ≥ λ} ≥ 1 − α.
Наконец, отсюда и из (8.5) получаем, что
α
P XNπ ≥ f = E∗ χ{XNπα ≥f } ZN ≥
E∗ χ{XNπα ≥f } χ{ZN ≥λ} ZN ≥ λ(1 − α) ≥ 1 − α.
Последние два неравенства показывают, что для стратегии πα выполнено условие (8.1) и, следовательно, πα есть (α, (1 − α)C, f, N )-хедж.
Это показывает, что возможно хеджирование платежного обязательства с
заданной вероятностью 1 − α. При этом начальные средства могут быть уменьшены на величину αC, но при этом имеется риск, что принятое обязательство
погасить не удастся.
Упражнения 8.1
1) Доказать, что на безарбитражном (B, S)-рынке для стандартного европейского опциона на покупку (продажу) C(N2 ) ≥ C(N1 ) (соответственно
P(N2 ) ≥ P(N1 )) при N2 ≥ N1 .
§ 2. Расчеты с использованием G-финансируемых стратегий
77
2) Доказать, что справедливая цена C(N, S0 , K) стандартного европейского опциона на покупку удовлетворяет следующим условиям
a) монотонна по S0 и K,
b) выпукла по S0 и K,
c) положительно однородна степени 1, то есть C(λS0 , λK) = λC(S0 , K) при
λ > 0.
3) Доказать единственность минимального (C(N ), f, N )-хеджа.
4) Пусть на финансовом рынке с банковским счетом ∆Bn = rBn−1 заданы два
обменных курса
i
∆Sni = Sn−1
ρin (i = 1, 2),
где ρin — последовательности бернуллиевских случайных величин. Получить
формулу обменного курса, считая известными ковариации Cov (ρ1n ρ2n ) = Cn .
§ 2. Расчет платежных обязательств с
использованием G-финансируемых стратегий
2.1. G-финансируемые стратегии
Продолжая изучение рынка (4.8) , можно представить себе более реальную ситуацию, когда изменения портфеля сопровождаются либо притоком, либо оттоком капитала. Будем моделировать эти изменения портфеля при помощи стохастической последовательности G = (Gn ).
Введем класс GF таких (G-финансируемых) стратегий π = (βn , γn ), что
Bn−1 ∆βn + Sn−1 ∆γn = −∆Gn
где
Gn =
n
X
∆Gk ,
(8.7)
G0 = 0.
k=1
Если ∆G ≥ 0 (соответственно, ∆G ≤ 0), то G-финансируемую стратегию
π будем называть стратегией с потреблением (соответственно, стратегией с
рефинансированием или инвестированием).
Заметим, что ввиду (4.12) самофинансируемость означает 0-финансируемость.
В соответствии с ”уравнением баланса” (8.7) для капитала X π стратегии
π ∈ GF имеем:
Xnπ = βn Bn + γn Sn ,
π
Xn−1
= βn Bn−1 + γn Sn−1 + ∆Gn ,
∆Xnπ = βn ∆Bn − γn Sn−1 + ∆Gn .
(8.8)
78
Глава 8. Финансовые расчеты на полном рынке
Из соотношений (8.8) получаем, аналогично (5.1), что для n ∈ N
π
∆Xnπ = rn Xn−1
+ γn Sn−1 (ρn − rn ) − (1 + rn )∆Gn
(8.9)
Применяя к неоднородному линейному стохастическому уравнению (8.9)
формулу (4.5), получаем для решения следующее выражение:
(
)
n
n
X
X
Xnπ = E(U ) X0π +
E−1
E−1
.
(8.10)
k (U )γk Sk−1 (ρk − rk ) −
k−1 (U )∆Gk
k=1
k=1
Полагая
Mnπ
=
X0π
+
n
X
E−1
k (U )γk Sk−1 (ρk − rk ),
k=1
GEn =
n
X
E
E−1
k−1 (U )∆Gk , G0 = 0,
(8.11)
k=1
из формулы (8.10) получаем, что
π
π
E
E−1
n (U )Xn = Mn − Gn
(8.12)
Из (8.11),(8.12) и теоремы 5.1 вытекает, в частности, что если G — мартингал
π
относительно мартингальной меры P∗ , то отношение E−1
n (U )Xn также является
мартингалом.
Из (8.12) вытекает, что
E
∗
π
E−1
N (U )XN
=
X0π
−
N
X
E ∗ E−1
k−1 (U )∆Gk .
(8.13)
k=1
Для (B, S)-рынка (4.8) с заданным на нем платежным обязательством (f, N )
сохраняются определения 6.1, 6.2, с заменой класса SF на GF . Соответствующие цены и хеджи будут при этом называться G-ценами и G-хеджами.
В условиях полного (B, S)-рынка с единственной мартингальной мерой P∗
и предсказуемой последовательностью rn > −1), как установлено выше в § 2
главы 6, задача расчета и хеджирования платежных обязательств получила
свое адекватное решение в классе SF .
В следующих двух параграфах подобная задача решается для G-финансируемых стратегий (для определенности, стратегий с потреблением). При этом
будет установлено на какую величину отличается справедливая цена от G-цены.
2.2. Расчет платежных обязательств
Пусть G-финансируемая стратегия π является (x, f, N )-хеджем (G-хеджем).
Тогда из (8.13) вытекает, что
x = X0 ≥ E∗ E−1
N (U )f +
N
X
k=1
E∗ E−1
k−1 (U )∆Gk ,
§ 2. Расчеты с использованием G-финансируемых стратегий
а в случае минимальности π
(
x = E∗
E−1
N (U )f +
N
X
79
)
E∗ E−1
k−1 (U )∆Gk
.
(8.14)
k=1
Покажем теперь, что при выполнении (8.14) существует минимальный Gхедж.
Для доказательства этого утверждения определим мартингал Mn∗ следующим образом:
!
N
X
−1
∗ −1
−1 ∗
∗
−1
∗
E Ek−1 (U )∆Gk An
(8.15)
Mn = B0 Mn = B0 E EN (U )f +
k=1
Ввиду (8.14)заметим, что
M0∗ =
x
.
B0
(8.16)
Далее, в силу полноты рынка данный мартингал имеет мартингальное представление, которое запишем с учетом (8.16) в виде
n
Mn∗
X
x
=
+
α∗ (ρk − rk ),
B0 k=1 k
n ≤ N.
(8.17)
Покажем, что на основе знания величин αn∗ и ∆Gn можно построить такой
минимальный (x, f, N )-хедж (G-хедж) π ∗ ∈ GF , что стохастическая последовательность
!
n
X
∗
∗
π
Mnπ = B0−1 E−1
E−1
N (U )Xn +
k−1 (U )∆Gk
k=1
∗
является мартингалом относительно P , совпадающим с Mn∗ .
На первом шаге положим
γ1∗ = α1∗ B1 S0−1 , β1∗ =
x − ∆G1 − γ1∗ S0
.
B0
Тогда с учетом (8.17) имеем:
∗
∗
M π = B1−1 X π + B0−1 ∆G1 =
= B1−1 (β1∗ B1 + γ1∗ S1 ) + B0−1 ∆G1 =
= β1∗ + γ1∗ B1−1 S1 + B0−1 ∆G1 =
=
B1
S1
x
− B0−1 ∆G1 − α1∗
+ α1∗ + B0−1 ∆G1 =
B0
B0
S0
x
=
+ α1∗ (β1 − r1 ) = M1 .
B0
80
Глава 8. Финансовые расчеты на полном рынке
Продолжая этот процесс, получим такую G-финансируемую стратегию π ∗ , что
для любого n ≤ N
∗
Mn∗ = Mnπ .
В результате, используя (8.15), имеем:
∗
Xnπ
=
Mn∗ Bn
n
X
− Bn
B0−1 E−1
k−1 (U )∆Gk =
k=1
= Bn E∗
−1
BN
f+
N
X
k=1
−Bn
n
X
!
(U
)∆G
B0−1 E−1
k An −
k−1
B0−1 E−1
k−1 (U )∆Gk =
k=1
= E∗
E−1
N (U )En (U )f +
N
X
k=n+1
!
−1
En (U )Ek−1 (U )∆Gk An .
(8.18)
В частности, для всех ω
∗
∗
XNπ = f и X0π = x,
и, следовательно, π ∗ — минимальный G-хедж.
Таким образом, получена следующая теорема.
Теорема 8.1 Пусть на полном рынке последовательность rn > −1 детерминирована и P∗ — мартингальная мера. Пусть еще стохастическая последовательность G = (Gn )n≤N , G0 = 0, определяет G-финансируемые стратегии
на этом рынке. Тогда для платежного обязательства (f, N )
1) инвестиционная стоимость равна
!
N
X
C(N, G) = E∗ E−1
E−1
;
(8.19)
N (U )f +
k−1 (U )∆Gk
k=1
2) существует минимальный (C, f, N )-хедж π ∗ = (βn∗ , γn∗ )n≤N , определяемый формулами
∗
γn∗ =
X π − γn∗ Sn−1 − ∆Gn
αn∗ Bn
, βn∗ = n−1
,
Sn−1
Bn−1
где αn∗ — из разложения (8.17);
3) капитал минимального G-хеджа определяется формулами
!
N
X
−1
−1
π∗
∗
Xn = E EN (U )En (U )f +
En (U )Ek−1 (U )∆Gk An .
k=n+1
§ 2. Расчеты с использованием G-финансируемых стратегий
81
Пример 8.1 Рассмотрим
Pn биномиальный рынок (4.8) и предсказуемую последовательность Gn = q k=1 Sk−1 , где q ≥ 0 — неотрицательное число. Пусть
f = f (SN ) представляет собой платежное обязательство, владение которым
обеспечивает получение дивиденда qSn−1 в каждый момент n = 1, 2, . . . , N .
Нетрудно проверить, что
!
N
X
E∗
En (U )E−1
(U
)∆G
=
k An
k−1
k=n+1
= qE∗ Sn + (1 + r)−1 Sn+1 + . . . + (1 + r)n+1−N SN −1 An =
= q(N − n)Sn .
(8.20)
Следовательно, согласно (8.18)–(8.20) получим следующую формулу для Gцены
C(N, G) = (1 + r)−N FN (S0 ; p∗ ) + qN S0 ,
где FN (x; p) определяется по формуле (7.11)
Глава 9
Неполные рынки. Расчеты опционов и проблемы
минимизации риска
§ 1. Верхняя и нижняя цены. Пример неполного
рынка.
Рассматривавшаяся ранее модель безарбитражного (B, S)-рынка (3.1)–(3.2)
наделялась свойством полноты, которая, согласно теореме 3.3, означает единственность мартингальной меры. Относительно последней производились все
финансовые расчеты. возникает вопрос о возможности подобных расчетов в
условиях неполного рынка (3.1)–(3.2), когда мартингальная мера неединственна.
Выясним прежде всего, что естественно считать ценой опциона (европейского типа) с платежным обязательством (f, N ) в рамках неполной модели (B, S)рынка (3.1)–(3.2). Участник рынка может выступать и в качестве продавца, и
в качестве покупателя опциона. Разные цели продавца и покупателя приводят
к назначению, вообще говоря, разных цен продажи C∗ (N ) и покупки C∗ (N ) и
появлению ненулевой разницы C∗ − C∗ ), называемой спрэдом.
Заметим, что в случае полного рынка существует возможность совмещения
противоположных интересов продавца и покупателя, выражающаяся в существовании справедливой цены C(N ).
Перейдем к уточнению сказанного. Для этого введем следующие классы
самофинансируемых портфелей π = (β, γ):
H∗ (x, f, N ) = {π ∈ SF : XNπ ≥ f, X0π = x > 0},
H∗ (x, f, N ) = {π ∈ SF : XNπ ≤ f, X0π = x > 0}.
Определим теперь верхнюю и нижнюю цены платежного обязательства
(f, N ) (опциона с платежным обязательством (f, N )) следующими формулами
C∗ (N ) = inf{x ∈ H∗ (x, f, N ) 6= ∅},
C∗ (N ) = sup{x ∈ H∗ (x, f, N ) 6= ∅}.
Пусть π ∈ SF . Тогда согласно (3.5) и (3.5’) для капитала X π этого портфеля
имеем:
(
)
N
X
XNπ = EN (U ) X0 +
E−1
k−1 (U )γk Sk−1 (ρk − rk ) .
k=1
Следовательно, для мартингальной меры P̃
π
ẼE−1
N (U )XN = ẼX0 = x
82
§ 1. Верхняя и нижняя цены. Пример неполного рынка.
83
Поэтому
∗
C∗ ≤ ẼE−1
N (U )f ≤ C .
(9.1)
Если мера P̃ единственна и детерминированная последовательность rn такова, что rn > −1, то согласно теореме 4.1 существует минимальный C(N ), f, N хедж, который, очевидно, принадлежит обоим классам H∗ и H∗ и
C(N ) = ẼE−1
N (U )f.
Таким образом, мы приходим в условиях полного рынка к равенству
C∗ = C = C∗ ,
т.е. полный рынок характеризуется отсутствием спрэда.
Если же рынок не полон, то из (9.1) вытекает, что
−1
∗
C∗ (N ) ≤ inf∗ ẼE−1
N (U )f ≤ sup ẼEN (U )f ≤ C (N ).
P
(9.2)
P∗
Неравенства (9.2) приводят к идее, что в целом ряде случаев левое и правое неравенства в (9.2) превращаются в равенства. При этом обычно супремум
строго больше инфимума и, следовательно, неполный рынок характеризуется
ненулевым спрэдом.
Указанная идея реализуется ниже сначала в виде примера, а затем — в виде
некоторой общей теоремы.
Пример 9.1 Рассмотрим следующую одношаговую модель (B, S)-рынка
(3.1)–(3.2):
B1 = B0 = S0 ≡ 1, S1 = 1 + ρ,
где ρ может принимать три значения, +1/2, 0, −1/2, с положительными вероятностями p1 , p2 , p3 , p1 + p2 + p3 = 1.
Мартингальность индуцируемой набором (p1 , p2 , p3 ) меры P означает, что
1
1
Eρ = p1 − p3 = 0
2
2
и поэтому p3 = p1 . Далее,
p2 = 1 − p1 − p3 = 1 − 2p1 ,
и в результате для любого p1 , 0 < p1 < 1/2, формулами p3 = p1 , p2 = 1 − 2p1
определяется мартингальная мера. Для рассматриваемой модели имеем даже
целое семейство P∗ таких мер и, следовательно, рынок не полон.
Пусть платежное обязательство (f, 1) имеет вид
f = f (S1 ) = (S1 − 1)+ = ρ+ .
Найдем верхнюю C∗ и нижнюю C∗ цены этого обязательства.
84
Глава 9. Неполные рынки и расчеты опционов
Рассмотрим две последовательности мартингальных мер P∗n и Pn∗ :
1
1
1
1
1
∗
∗
= Pn ρ = −
=
1−
, P∗n {ρ = 0} = ;
Pn ρ = +
2
2
2
n
n
1
1
1
1
∗
n
Pn ρ = +
=
= P∗ ρ = −
, Pn∗ {ρ = 0} = 1 − .
2
2n
2
n
Ясно, что при n → ∞
E∗n ρ+
1
=
4
1
1
1−
↑
n
4
и
1
↓ 0,
4n
и, следовательно, с учетом неравенств (9.2) получаем, что
En∗ ρ+ =
1
C∗ (1) = 0, C∗ (1) = .
4
Заметим, что предельные меры P∗ и P∗ , сосредоточенные, соответственно,
в точках {−1/2, 1/2} и {0}, являются экстремальными для P∗ и усреднение
платежного обязательства по ним дает значение верхней и нижней цен.
§ 2. Формулы расчета верхней и нижней цен для
выпуклых платежных обязательств
Пусть в модели (B, S)-рынка (3.1 величины ρn ) принимают значения a =
a1 < a2 < ... < am = b, а rn ≡ r ∈ {a2 , ..., am−1 }. Для семейства мартингальных мер P∗ выполнено соотношение Eρn = r. Обозначим P∗ и P∗ две ”почти
мартингальные меры”, определяя их равенствами:
P∗ {ρn = b} =
r−a
= p∗ ,
b−a
b−r
= 1 − p∗ ,
b−a
P∗ {ρn = r} = 1.
P∗ {ρn = a} =
Ясно, что P∗ P и P∗ P, но E∗ ρn = E∗ ρn = r.
Поступая по аналогии с примером (9.1), определим последовательности мартингальных мер P∗n и Pn∗ сходящейся к P∗ и P∗ , соответственно (в том смысле,
что P∗n {A} ← P∗ {A}, Pn∗ {A} ← P∗ {A}, A = {ρ = ak }, k = 1, 2, ..., m):
P∗n {ρ = b} = p∗ −
1
,
2n
§ 2. Формулы расчета верхней и нижней цен
P∗n {ρ = a} = 1 − p∗ −
85
1
,
2n
1
,
n
а остальная вероятностная масса 1/n распределена в оставшихся точках так,
чтобы E∗n ρ = r, En∗ ρ = r.
Сформулируем основной результат о расчетах верхней и нижней цен, при
доказательстве которого будем производить необходимые усреднения сразу по
мерам P∗ и ∗ , определенным для последовательностей мартингальных мер P∗n и
Pn∗ .
P∗n {ρ = r} = 1 −
Теорема 9.1 Справедливы следующие утверждения.
1) В условиях конечного безарбитражного рынка (3.1)–(3.2) с некоторым
платежным обязательством (f, N ) верхняя и нижняя цены связаны соотношением (9.2).
2) Если платежное обязательство f = f (SN ) является выпуклой функцией от SN , то
C∗ (N ) = sup ẼEN
−1 (U )f,
P∗
C∗ (N ) = inf∗ ẼEN
−1 (U )f.
P
(9.3)
Доказательство. Первое утверждение доказано в более общем случае в
предыдущем разделе. Относительно второго утверждения поступим следующим образом. Зафикируем значения ρ1 , ..., ρN −1 и определим величины µ =
µ(ρ1 , ..., ρN −1 ) как решения следующих уравнений
f (SN −1 (1 + b)) = µ(SN −1 (1 + b)) + ν,
f (SN −1 (1 + a)) = µ(SN −1 (1 + a)) + ν.
т.е.
µ=
ν=
(9.4)
f (SN −1 (1 + b)) − f (SN −1 (1 + a))
SN −1 (b − a)
(1 + b)f (SN −1 (1 + a)) − (1 + a)f (SN −1 (1 + b))
(b − a)
Рассмотрим линейную функцию
y(ρ1 , ..., ρN −1 , x) = µ(ρ1 , ..., ρN −1 )SN −1 (1 + x) + ν(ρ1 , ..., ρN −1 ),
которая с учетом (9.5) при x = r равна
y(r) = µSN −1 (1 + r) + ν =
1+r
[f (SN −1 (1 + b)) − f (SN −1 (1 + a))] +
b−a
(9.5)
86
Глава 9. Неполные рынки и расчеты опционов
+
(1 + b)f (SN −1 (1 + a)) − (1 + a)f (SN −1 (1 + b))
.
(b − a)
(9.6)
Заметим, что
E∗ (f (SN −1 (1 + ρN ))|AN −1 ) =
1
{(r − a)f (SN −1 (1 + b)) + (b − r)f (N −1 (1 + a))} .
b−a
Из (9.6) и (9.7) вытекает, что
=
(9.7)
E∗ (f (SN )|AN −1 ) = µSN − 1(1 + r) = ν.
Поэтому, полагая
βN =
ν
, γN = µ,
B0 (1 + r)N
получаем, что
βN B0 (1 + r)N −1 + γN SN −1 = E∗ (f (SN )(1 + r)−1 |AN −1 ).
(9.8)
Заметим, что в силу выпуклости f
y(x) ≥ f (SN −1 (1 + x)), a ≤ x ≤ b.
(9.9)
Проводя индукцию назад в соотношении (9.8), построим такую самофинансируемую стратегию π = (βk , γk )k≤N , что
β0 B0 + γ0 S0 = E∗
f (SN ) N
.
1+r
(9.10)
Ввиду (9.9) π ∈ H∗ и, следовательно, из 9.10 получаем, что
C∗ (N ) = infH∗ (β0 B0 + γ0 S0 ) ≥ sup Ẽ
P∗
f (SN )
.
(1 + r)N
Отсюда и из (9.2) вытекает первое неравенство в (9.3).
Для доказательства второго равенства в (9.3) находим, в силу выпуклости
f , что при фиксированных ρ1 , ..., ρN −1 и всех x
f (SN −1 (1 + x)) ≥ f (SN −1 (1 + r)) + (x − r)λ(ρ1 , ..., ρN −1 ),
(9.11)
где λ = λ(ρ1 , ..., ρN −1 ) есть некоторое число.
Из (9.11) при помощи взятия условного ожидания относительно алгебры
AN −1 и P̃ ∈ P∗ получаем, что
Ẽ(f (SN )(1 + r)−N |AN −1 ) ≥ Ẽ(f (SN −1 (1 + r))(1 + r)−N |AN −1 ) =
= E∗ (f (SN )(1 + r)−N |AN −1 ).
(9.12)
f (SN )
f (SN )
=
E
.
∗
(1 + r)N
(1 + r)N
(9.13)
Следовательно,
inf∗ Ẽ
P
§ 3. О финансовых расчетах с учетом риска хеджирования
87
Далее, из (9.11) вытекает, что
f (SN −1 (1 + ρN )) ≥ βN B0 (1 + r)N + γN SN −1 (1 + ρN ),
(9.14)
где
βN =
f (SN −1 (1 + r)) − (1 + r)) − (1 + rλ )
,
(1 + r)N
γN =
λ
SN −1
.
(9.15)
(9.16)
Из (9.12)–(9.17) вытекает, что
βN B0 (1 + r)N −1 + γN SN −1 = E∗ (f (SN )(1 + r)−1 |AN −1 ).
(9.17)
Проводя индукцию назад в соотношении (9.17), тем самым построим такую
π = (βk , γk )k≤N ∈ H∗ , что
β0 B0 + γ0 S0 = E∗
f (sN )
.
(1 + r)N
(9.18)
из (9.18) с учетом (9.13) получаем соотношение
C∗ = sup(β0 B0 + γ0 S0 ) ≥ inf∗ Ẽ
H∗
P
f (SN )
,
(1 + r)N
а вместе с ним и второе утверждение в (9.3).
Теорема доказана.
Как мы видели ранее, в условиях полного рынка использование несамофинансируемых стратегий приводит к изменению цены платежного обязательства
на усредненную по единственной мартингальной мере сумму дисконтированных
инвестиций и потребления. Что же происходит в неполном рынке?
§ 3. О финансовых расчетах, учитывающих риск
хеджирования платежных обязательств
Проводившиеся до сих пор финансовые расчеты использовали идею дисконтирования, т.е. уравнивания стоимости капитала в различные моменты времени. Последнее обстоятельство проявлялось в том, что отношение капитала
самофинансируемого портфеля к величине банковского счета оказывалось мартингалом относительно некоторой (мартингальной) меры. Однако, использование банковского счета не всегда является единственной надежной и удобной
с технической точки зрения альтернативой тем или иным вложениям. Такую
роль может играть любой самофинансируемый портфель с положительным капиталом. В связи с этим естественно следующее определение.
88
Глава 9. Неполные рынки и расчеты опционов
Определение 9.1 Самофинансируемая стратегия ϕ = (ξ, η), имеющая положительный капитал A = (An )n∈N0 , называется P-дисконтирующим портфелем, если для любого другого самофинансируемого портфеля π = (β, γ) с
капиталом X π отношение X π /A является мартингалом относительно исходной меры P.
Заметим, что P-дисконтирующий портфель единственен. Действительно, если ϕ = (ξ, η) и ϕ0 = (ξ 0 , η 0 )-два таких портфеля с капиталами A и A0 , A0 =
A00 = 1, то A/A0 , A0 /A являются мартингалами относительно P. Следовательно,
E(An /A0n ) = E[(An /A0n )−1 ] = 1 и силу выпуклости функции 1/x и неравенства
Йенсена An /A0n ≡ 1. Предполагая предсказуемость rn > −1, обсудим вопрос о
свойствах таких портфелей.
Для P-дисконтирующего портфеля ϕ = (ξ, η) с капиталом A = (An )n∈N0 ,
A0 = 1, положим ln = ηn Sn−1 /An−1 . Тогда с учетом (3.1) и самофинансируемости
ϕ имеем:
∆An = ξn ∆Bn + ηn ∆Sn = ξn (rn Bn−1 ) + ηn (ρn Sn−1 ) =
= ξn rn Bn−1 + ηn rn Sn−1 + ηn Sn−1 ρn − ηn Sn−1 rn =
= rn An−1 + ln An − 1(ρn − rn ) = An−1 (rn + ln (ρn − rn )).
Следовательно,
An = En (Σnk=1 (rk + lk (ρk − rk ))),
(9.19)
rn + ln (ρn − rn ) > −1
(9.20)
и при условии
капитал An положителен.
Наряду с (9.19) и (9.20), P-дисконтирующий портфель с капиталом A характеризуется еще одним ”мартингальным” свойством.
Если π = (β, γ) ∈ SF и Xπ —капитал этого портфеля, то Xnπ /An — мартингал относительно P тогда и только тогда, когда
Mn = Σnk=1
ρ k − rk
(M0 = 0),
1 + rk + lk (ρk − rk )
— мартингал относительно той же меры.
Для доказательства воспользуемся формулами (3.5’) и (9.19) и получим, что
π
X
Xπ Xπ
E(U ) ∆
= n − n−1 =
X0 + Σnk=1 γk Sk−1 E−1
k (U )(ρk − rk ) −
A n
An
An−1
An
−
En−1 −1
X0 + Σn−1
k=1 γk Sk−1 Ek (U )(ρk − rk ) =
An−1
En−1 (U )
1 + rn
n−1
X0 + Σk=1
γk Sk−1 E−1
(U
)(ρ
−
r
)
+
k
k
An−1
1 + rn + ln (ρn − rn )
1 + rn
+
γn Sn−1 E−1
n (U )(ρn − rn ) −
1 + rn + ln (ρn − rn )
§ 3. О финансовых расчетах с учетом риска хеджирования
89
−1
− X0 + Σn−1
γ
S
E
(U
)(ρ
−
r
)
=
k
k−1
k
k
k=1
k
ρn − rn
En−1 (U )
−1
−ln
X0 + Σn−1
=
k=1 γk Sk−1 Ek (U )(ρk − rk ) +
An−1
1 + rn + ln (ρn − rn )
1 + rn
−1
γn Sn−1 En (U )(ρn − rn ) =
+
1 + rn + ln (ρn − rn )
Xn−1
ρn − rn
γn Sn−1
ρn − rn
=
−ln
+
.
(9.21)
An−1
1 + rn + ln (ρn − rn )
An−1 1 + rn + ln (ρn − rn )
Ясно, что из (9.21) непосредственно вытекает сформулированное утверждение, а наличие последовательности (ln )n≥0 и мартингала M определяет условия
существования P-дисконтирующего портфеля.
Заметим, что банковский счет B является P-дисконтирующим портфелем
тогда и только тогда, когда P — мартингальная мера.
Рассмотрим теперь несамофинансируемый портфель π = (β, γ), изменение
капитала X π , которого определяется последовательностью инвестиций и потребления Gn (π) : ∆Xnπ = βn ∆Bn + γn |∆Sn − ∆Gn (π). Аналогично (9.21) и (6.4)
имеем:
π
π
Xn−1
∆Gn
γn Sn−1
ρn − rn
X
− ln
+
(1 + rn ) (9.22)
=
∆
A n
An−1
An−1 1 + rn + ln (ρn − rn )
An
Стратегию π назовем самофинансируемой в среднем (π ∈ SFm ), если сто−1
n
a
хастическая последовательность GA
n = Σk=1 Ak ∆Gk (1 + rk ), G0 = 0, является
мартингалом относительно P.
Из данного определения и (9.22) следует, что X — капитал самофинансируемого в среднем портфеля тогда и только тогда, когда X/A — мартингал
относительно P.
Если рассматривается опцион европейского типа с платежным обязательством (f, N ), то определим его справедливую цену Cm как минимальный начальный капитал X0 в классе таких стратегий π ∈ SF , что XNπ ≥ f . Из предыдущего ясно, что Cm = A0 EA−1
N f.
Использование несамофинансируемых стратегий (например, из класса SFm ),
несет определенный риск неуплаты по обязательству (f, N ). В качестве меры
2
такого риска для стратегии π ∈ SFm рассмотрим дисперсию Rπ = E(GA
N ) . Тогда
риском хеджирования платежного обязательства (f, N ) назовем величину R =
inf π∈SFm Rπ , где стратегия π имеет начальный капитал Cm .
Обращаясь теперь к формуле (9.22), нетрудно заметить, что риск платежного обязательства (f, N ) достигается на стратегии, для которой мартингалы
M и GA ортогональны.
При традиционном подходе, который рассматривается ниже, дисконтирование осуществляется при помощи капитала bn = En (U ) портфеля ϕ = ((ξn , 0))n∈N0
с последующим подбором мартингальной меры P∗ , относительно которой X π /B
— мартингал для любой стратегии π ∈ SF . Если такая мера P∗ единственна
90
Глава 9. Неполные рынки и расчеты опционов
(полный рынок), то все расчеты осуществляются при посредстве P∗ и не зависят
от исходной меры P.
Для неполного рынка таких мер, а следовательно, и минимизирующих риск
стратегий, может быть, вообще говоря, много. Однако, часто (но не всегда, как
показывают примеры) существует одна мартингальная мера P̂, универсальная
для всех обязательств и относительно которой финансовые расчеты и мининмизация риска осуществляются по той же схеме, что и для полного рынка. Эта
мера, называемая минимальной мартингальной мерой, выделяется в классе
P∗ тем свойством, что для любой самофинансируемой в среднем (относительно P̂) GEn (π) = Σnk=1 E−1
k−1 (U )∆Gk (π), ортогональный мартингалу (относительно
n
P̂) Mn = Σk=1 (ρk − rk )/(1 + rk ) также остается мартингалом и относительно
исходной меры P.
Важно отметить, что наличие минимальной мартингальной меры эквивалентно существованию P-дисконтирующего портфеля.
В заключение кратко изложим, как в рамках традиционного подхода осуществляется расчет цены и хеджирование платежного обязательства при минимизации риска. Адекватное решение этой проблемы дается при помощи мартингальной ”проекционной” техники Кунита-Ватанабе.
Предполагая, что уже исходная мера P = P∗ является мартингальной, аналогично (6.4) для любой стратегии π ∈ SFm имеем:
−1
π
n
E
E−1
n (U )Xn = X0 + Σk=1 γk Sk−1 Ek (U )(ρk − rk ) + Gn (π).
(9.23)
Определим остаточный риск такой стратегии формулой rnπ = E((GEN −
GEn )2 )|An .
Минимизация Rnm понимается в следующем смысле. Стратегия π̃ называется
(n, π)-совпадающей, если XNπ = XNπ̃ и β˜k = βk , k ≤ n − 1, γ˜k = γk , k ≤ n. Тогда
стратегия π минимизирует риск, если Rnπ ≤ Rnπ̃ (P-п.н.) для любого n и любой
(n, π)-совпадающей стратегии π̃.
Стратегию, для которой GEn (π) — мартингал, ортогональный M (по мере P),
назовем оптимальной.
Оказывается, эти понятия совпадают. Для наших целей удобнее использовать понятие оптимальной стратегии.
Рассмотрим мартингал Mnf = E(E−1
N (U )f |An ), для которого имеет место разложение Кунита-Ватанабе Mnf = X0 + Σnk=1 γkf ∆(S/E)k + Lfn , X0 = EE−1
N (U )f , где
f
f
S/E и L — ортогональные (относительно P) мартингалы, γ —предсказуемая
последовательность.
Заметим, что ∆(S/E)n = Sn−1 E−1
n (U )(ρn − rn ) и, следовательно,
f
Mnf = X0 + Σnk=1 γkf Sk−1 E−1
k (U )(ρk − rk ) + Ln .
(9.24)
Полагая теперь Xn = En (U )Mnf , γn = γnf , βn = E−1
n (U )(Xn − γn Sn ), получаем в силу (9.23) и (9.24) оптимальную стратегию π = (β, γ) с терминальным
капиталом, равным в точности платежному обязательству.
Упражнения 9.1
§ 3. О финансовых расчетах с учетом риска хеджирования
91
1. Рассмотрим одношаговую модель (3.1) с B1 = B0 = 1 и s1 = S0 (1 + ρ). Для
платежного обязательства (f, 1) построим стратегию, минимизирующую
риск. При этом достаточно знать X0 и γ1 , поскольку β1 определяется из
достижимости этого платежного обязательства: β1 = f − γ1 S1 .
Для стратегии (β1 , γ1 ) изменение капитала имеет вид ∆X1 = γ1 ∆S1 +(β1 −
β0 ) = γ1 ∆S1 + ∆G1 .
Следовательно, риск от выбора такой стратегии при хеджировании платежного обязательства f равен E(δG1 )2 = E(f − X0 − γ1 ∆S1 )2 .
Из этого ясно, что минимизация риска сводится к решению известной
задачи о нахождении наилучшей линейной оценки для f которая определяется формулами
γˆ1 =
Cov (f, ∆S1 )
1
Cov (f, S1 )
=
=
[Ef ρ − Ef ρ],
DS1
D∆S1
s0 Dρ
X0 = Ef − γˆ1 E∆S1 =
1
[Eρ2 Ef − Ef ρEρ].
Dρ
2. Доказать, что оптимальная и минимизирующая риск стратегии совпадают.
3. Рассмотрим на неполном (B, S)-рынке портфель π ∈ SF обозначая его
начальный и терминальный капитал, соответственно, x и XNπ (x). Предполагая мартингальность исходной меры P, найти такие x∗ > 0 и π ∗ ∈ SF ,
∗
что E(xπN − f )2 − inf x,π E(XNπ (x) − f )2 , где f есть AN -измеримое платежное
обязательство.
4. Доказать, что [0, C∗ ) и (C∗ , ∞) являются максимальными множествами
цен, приводящим к арбитражным возможностям для покупателя и продавца опциона и, следовательно, отрезок [C∗ , C∗ ] определяет множество
безарбитражных цен.
5. Рассмотрим в рамках трехшаговой симметричной модели биномиального (B, S)-рынка опцион европейского типа с платежным обязательством
f = (S3 − S0 )+ . Ограничиваясь самофинансируемыми стратегиями, изменяемыми только в момент n = 2, произвести расчет этого опциона сведением к двухшаговой модели неполного рынка. Доказать, что
C∗ = S0 (λ2 − 1)/(λ2 + 1), где λ > 1 есть параметр исходной симметричной
модели.
Предметный указатель
дисперсия, 13
длинная позиция, 34
(B, S)-рынок
полный, 57
σ-алгебра, 8
порожденная случайной величиной, 11
инвестиционная стоимость, 62
инвестиционная стратегия, 52
индикатор множества, 12
акция, 33
обыкновенная, 33
привилегированная, 33
алгебра, 8
аукционный рынок, 34
капитал портфеля, 52
ковариация, 14
колл-опцион, 35, 62
колл-пут-паритет, 73
короткая позиция, 34
корреляция
коэффициент, 14
купонные проценты, 32
банковский счет, 31
борелевские множества, 11
брокерская компания, 34
броуновское движение
геометрическое, 39
экономическое, 39
быки” (bulls), 36
мартингал, 27
мартингал-разность, 27
мартингалом Леви, 28
математическое ожидание, 13
условное, 22
относительно σ-алгебры, 23
медведи (bear), 36
мера, 9
аддитивность
счетная, 9
мера
мартингальная, 55
нейтральная к риску, 55
модель рынка
биномиальная, 67
вероятностное пространство
фильтрованное, 26, 39, 48
вероятность, 9
аддитивность
конечная, 9
монотонность, 10
непрерывность в нуле, 10
непрерывность сверху, 10
непрерывность снизу, 10
нормировка, 9
субаддитивность, 10
условная, 18
относительно σ-алгебры, 25
регулярная, 25
годовая учетная ставка, 32
независимость
случайных величин, 18
случайных событий, 18
несовместные события, 7
диверсификация, 42
облигация, 32
92
Предметный указатель
доходность, 33
момент погашения, 32
начальная цена, 33
номинальная стоимость, 33
процентная ставка
купонная, 33
текущая, 33
рыночная цена, 33
операции над событиями
произведение, 7
разность, 7
сумма, 7
опцион, 35
американского типа, 35
европейского типа, 35, 62
момент исполнения, 35
колл, 62
на покупку, 62
на продажу, 62
пут, 62
справедливая цена, 62
цена исполнения, 35
платежное обязательство, 61
достижимость, 62
портфель, 52
последовательность
возрастающая, 29
стохастическая, 26
квадратическая вариация, 50
предсказуемая, 26
поток σ-алгебр, 26
поток информации, 39
пространство
вероятностное, 9
элементарных событий, 6
процентная ставка, 31
проценты
простые, 31
сложные, 31
пут-опцион, 35, 62
разложение Дуба, 29
распределение, 11
Коши, 17
93
Пирсона, χ2 , 17
Пуассона, 15
Стьюдента, 17
Фишера, 17
бета-, 17
биномиальное, 15
гамма-, 17
геометрическое, 15
двустороннее экспоненциальное,
17
нормальное, 16
стандартное, 16
показательное, 15
равномерное, 15
экспоненциальное, 17
рынок
арбитражный, 55
безарбитражный, 55
самофинансируемый класс портфелей, 53
случайная величина, 11
абсолютно непрерывная
плотность, 13
дискретная, 12
закон распределения, 12
дисперсия, 13
математическое ожидание, 13
некоррелированная, 14
непрерывная, 12
среднеквадратичное отклонение,
14
функция распределения, 11
случайное событие, 6
благоприятствующее, 6
достоверное, 6
наступление, 6
невозможное, 6
противоположное, 7
элементарное, 6
случайный эксперимент, 6
среднеквадратичное отклонение, 14
статистическое определение вероятности, 21
94
стохастическая экспонента
дискретная, 49
правило умножения, 49
стохастический базис, 26, 48
стратегия мартингальная, 27
стратегия с потреблением, 77
субмартингал, 27
супермартингал, 27
сходимость по вероятности, 21
теорема
закон больших чисел, 20
центральная предельная, 22
фильтрация, 26, 48
фильтрованный стохастический эксперимент, 26, 48
форвард, 34
формула умножения, 18
фундаментальное решение, 41
функция Лапласа, 16
функция распределения, 11
совместная, 19
условная, 25
регулярная, 25
фьючерс, 34
хедж, 61
минимальный, 62
хеджирование, 61
хеджирующий портфель, 61
эффект Марковитца, 44
Предметный указатель