Валеева А. Р., Рутковский Н. В. Модели дуополии. 1. Введение.

1
УДК 519.865
Валеева А. Р., Рутковский Н. В.
Модели дуополии.
1. Введение.
В статье изучается рынок однородного, нормального товара, который производится двумя фирмами-дуополистами. Функция спроса этого
рынка представлена в виде P = f (Q) , где Q ед. - объем спроса данного товара, покупаемого потребителями в единицу времени по цене P . Функция
f имеет отрицательную производную и неотрицательную вторую произ-
водную на отрезке [0, Q ] , f (0) = P0 , f (Q) = 0 . График функции спроса называется кривой спроса, точки которой представляют возможные ситуации
на рынке.
В зависимости от характера взаимодействия дуополистов на рынке
устанавливаются определенная ситуация равновесия, представленная соответствующей точкой на кривой спроса. В отличие от рынка совершенной
конкуренции, где точка равновесия является пересечением кривых спроса
и предложения, на рынке дуополистов нет естественного определения кривой предложения, и для нахождения ситуации равновесия требуется другая
характеристика.
В работе рассматриваются четыре модели взаимодействия дуополистов: модель Бертрана, картель дуополии Курно и лидер-последователь
Штаккельберга. Для нахождения равновесных состояний каждой дуополии
используется этастичность спроса по цене Е = Е f (Q) , определяемая формулой
E f (Q) = −
P dQ
f (Q)
⋅
=−
Q dP
Q ⋅ f ' (Q)
(1)
2
Относительно фирм-дуополистов предполагается, что они располагают одинаковой технологией, описываемой функцией издержек С = С (Q) ,
и способны самостоятельно обеспечить потребности рынка при любой
возможной цене. Для простоты расчетов будем считать, что предельные
издержки с = С ' (Q) постоянны. Поскольку производство товара по рыночной цене P < c убыточно, то для дуополистов удобно рассматривать "прибыльную" функцию спроса g (Q) = f (Q) − c .
2. Равновесие дуополии.
2.1. Дуополия Бертрана. В этой модели каждый дуополист стремится увеличить свою прибыль, изменяя цену за товар. Поскольку увеличение цены приводит к потере потребителей и отрицательной прибыли, то
увеличить прибыль можно, лишь снижая цену за товар, если само производство не станет убыточным.
Если ситуация на рынке такова, что оба дуополиста продают свой
товар по одинаковой цене P > c , то даже незначительное понижение цены
одним из дуополистов приведет к увеличению его прибыли почти вдвое,
так как ввиду идентичности фирм можно считать, что объемы их продаж
практически равны. Следовательно, равновесию Бертрана соответствует
точка ( Q 0 ; c ) на кривой спроса, для которой f (Q 0 ) = c или g (Q 0 ) = 0 . Используя эластичность функции g, равновесие Бертрана можно охарактеризовать
равенством:
Eg = 0
(2)
2.2. Картель. Так называют дуополию, в которой фирмы согласуют
свои действия с целью получения наибольшей совокупной прибыли. Картель фактически эквивалентна монополии и ее цель может быть выражена
следующим образом
π = Q ⋅ f (Q) − C к (Q) → max ,
Где π - прибыль картели, C к (Q) - ее издержки.
3
Необходимое условие наибольшей прибыли таково:
π ′ = f (Q) + Q ⋅ f ′(Q) − C к′ (Q) = 0
Учитывая, что C к′ (Q) = c - постоянная, получаем равенство:
Q ⋅ f ′(Q) = −( f (Q) − c) = − g (Q) .
Значит, равновесие картели (Q1 ; P1 ) характеризуется равенством:
Eg = 1
(3)
2.3. Дуополия Курно. Это дуополия, в которой каждый дуополист
определяет свой выпуск из условия наибольшей собственной прибыли,
предполагая выпуск конкурента постоянным. Так, если выпуск первого
дуополиста равен (Q)1 , то второй дуополист определяет свой выпуск (Q) 2 в
соответствии со следующей целью:
π 2 = Q2 ⋅ f (Q1 + Q2 ) − С (Q2 ) → max
Где π 2 - прибыль второго дуополиста, С (Q2 ) - его издержки.
Запишем необходимое условие этого максимума
π 2′ = f (Q1 + Q2 ) + Q2 ⋅ f ′(Q1 + Q2 ) − C ′(Q2 ) = 0
Учитывая, что С ′(Q2 ) = с , Q = Q1 + Q2 , условие на выпуск второго дуополиста примет вид:
Q2 = −
f (Q) − с
g (Q)
=−
f ′(Q)
g ′(Q)
(4)
Поскольку первый дуополист определяет свой выпуск таким же образом,
то в равновесии Курно выполняется равенство:
Q1 = Q2 =
Q
.
2
Теперь из формулы (4) получаем условие на эластичность функции g в
равновесии Курно (Q 2 ; P 2 ) :
Eg =
1
2
(5)
2.4. Дуополия лидер-последователь Штаккельберга. В этой модели второй дуополист-последователь определяет свой выпуск Q2 так же, как
в модели Курно, т. е. Q2 удовлетворяет соотношению (4).
4
Первый же дуополист-лидер, учитывая такую реакцию последователя на любой свой выпуск Q1 , останавливается на таком объеме Q1 , который
приносит ему наибольшую прибыль. Определяя свой выпуск Q1 , лидер тем
самым определяет совокупный выпуск Q = Q1 + Q2 , при котором прибыль
лидера π 1 будет наибольшей, то есть Q является решением задачи:

π 1 = Q1 ⋅ f (Q1 + Q2 ) − С (Q1 ) =  Q +


f (Q) − c 
f (Q) − c 
 → max
 ⋅ f (Q) − C  Q +
f ′(Q) 
f ′(Q) 

Необходимое условие максимума прибыли π 1 - равенство производной π 1′ нулю:



π 1′ = 1 +
 ( f ′(Q)) 2 − ( f (Q ) − c ) ⋅ f ′′(Q ) 

f (Q ) − c 
( f ′(Q)) 2 − ( f (Q ) − c ) ⋅ f ′′(Q ) 
=0
 Q +
 ⋅ f ′(Q ) − c ⋅ 1 +
⋅
+
f
(
Q
)



f ′(Q) 
( f ′(Q ))2
( f ′(Q ))2




или
2( f ′(Q )) − ( f (Q ) − c ) ⋅ f ′′(Q )
⋅ ( f (Q) − с) + Q ⋅ f ' (Q) + ( f (Q) − с) = 0.
2
( f ′(Q) )
2
Используя функцию g (Q) = f (Q) − с , равенство запишется в более
простом виде:
−
Q ⋅ g ' (Q) 3( g ' (Q)) 2 − g (Q) ⋅ g " (Q)
.
=
g (Q)
( g ' (Q)) 2
Представим теперь условие на эластичность функции g в равновесии
Штаккельберга (Q 3 ; P 3 ) :
Eg =
( g ' (Q)) 2
3( g ' (Q)) 2 − g (Q) ⋅ g " (Q)
−1
E g = (2 − Q2′ ) ,
где Q2 = Q2 (Q) = −
(6)
(7).
g (Q)
в силу формулы (4).
g ′(Q)
или
5
3. Сравнение равновесных состояний.
Заметим сначала, что формула (4) для выпуска второго дуополиста,
определена лишь в тех точках "прибыльной" кривой спроса g, в которых
эластичность не превосходит 1, ибо Q2 ≤ Q . Предполагая, что функция
реагирования второго дуополиста на совокупный выпуск, заданная формулой (4), убывает на отрезке [Q1 ;Q 0 ] сформулируем и докажем следующее
утверждение.
Теорема. Равновесные выпуски картели, моделей Курно, Штаккельберга и Бертрана расположены в возрастающем порядке, причем эластичность E g равновесия Штаккельберга принимает значения в промежутке
1 1 
 3 ; 2  .
Доказательство. Докажем сначала второе утверждение теоремы. Из
формулы (7) для эластичности E g в равновесии Штаккельберга и условия
1
′
Q2 < 0 следует, что E g < . Из формулы (6) и условия g ′′(Q) ≥ 0 следует,
2
1
3
что E g ≥ .
Далее, поскольку функции
то и эластичность
E g (Q) =
1
,
Q
−
[
]
g (Q)
убывают на отрезке Q1 ;Q 0 ,
g ′(Q)
1  g (Q) 
 убывает на этом отрезке. Так как
⋅−
Q  g ′(Q) 
эластичности перечисленных равновесий убывают, то соответствующие
равновесные выпуски возрастают.
Литература.
1.
Симкина
Л.Г.,
Корнейчук
Б.В.
Микроэкономика.
Санкт-
Петербург, Питер, 2002.
2. Michal L.Katz, Harvey S. Rosen. Microeconomics. Boston, IRWIN,
1991.