РАВНОВЕСНЫЕ ИНВЕСТИЦИОННЫЕ СТРАТЕГИИ ФИРМ В

РАВНОВЕСНЫЕ ИНВЕСТИЦИОННЫЕ СТРАТЕГИИ ФИРМ
В ВЕРТИКАЛЬНО ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОЙ ДУОПОЛИИ
ШТАКЕЛЬБЕРГА
Малютина Т. Д.
к.э.н., Доцент кафедры менеджмента и финансов
НОУ ВПО "Институт управления" Волгоградский филиал
Статья посвящена вопросам моделирования оптимальных траекторий
реализации инвестиционного процесса фирмами, конкурирующими в
условиях вертикально дифференцированной дуополии Штакельберга и
производящими дифференцированную по уровню качества продукцию,
которая позволяет выявлять оптимальные моменты инвестирования с учетом
цены и уровня качества продукции в условиях микро- и макроэкономической
неопределенности.
Ключевые слова: дуополия Штакельберга, инвестиционный процесс,
конкуренция фирм, дуополистическая конкуренция,
инвестирование,
неопределенность спроса.
Более высокая неопределенность размера товарного рынка оказывает
положительное
воздействие
на
выбор
фирмой
качества
продукции.
Возможность откладывания инвестирования, наличие неопределенности
относительно размера
продукции
позволяют
товарного рынка и гибкости в выборе качества
компании-монополисту
значительного положительного изменения
инвестировать
после
размера товарного рынка,
производя продукции более высокого качества и получая большую прибыль,
чем на рынке меньшего размера [1].
Рассматриваем конкуренцию фирм за качество продукции в рамках
модели Штакельберга, в которой роли фирм как фирмы-лидера (фирмы,
инвестирующей первой) и фирмы-последователя экзогенно устанавливаются
в начале
игры. Обе фирмы характеризуются априори одинаковыми
предельными производственными затратами и постоянными затратами
инвестирования в качество продукции. В равновесии Штакельберга
компания-лидер может предлагать продукцию, качество которой как ниже,
так и выше качества продукции компании-последователя. Расписание игры
следующее.
На
первой
стадии
компания-лидер
принимает
решение
относительно цены, назначаемой ею до вхождения в рынок компаниипоследователя ( pmL ), инвестиций в качество продукции ( s L ) и, наконец,
критического
размера
рынка,
соответствующего
оптимальному
инвестированию ( N L ). Компания-последователь устанавливает инвестиций в
качество продукции ( s F ) и критический размер рынка, соответствующий
вхождению компании в рынок N F  N L . На второй стадии обе фирмы
одновременно устанавливают цены в период дуополистической конкуренции
pdL и p dF .
Что касается функций спроса, будем предполагать, что минимальная
полезность, получаемая потребителями от покупки продукции, достаточно
высока, так что каждый потребитель покупает либо продукцию высокого
качества, либо низкого качества [2]. Модифицируем функцию полезности
следующим образом:
U ( p, s)  u0  s  p ,
где
полезность u 0 достаточно высока для того, чтобы обеспечить
полное покрытие дуополистического товарного рынка. Обозначим через DmL
индивидуальный спрос на продукцию компании-лидера, работающей как
монополия
до
вхождения
компании-последователя
в
рынок.
Далее,
обозначим через DdL и DdF спрос на продукцию компании-лидера и
компании-последователя,
конкуренции. Получаем:
соответственно,
в
pdL  pdF
D 1 L
s  sF
L
d
период
дуополистической
и
pdL  pdF
D  L
s  sF
F
d
при условии s L  s F . Далее,
pdF  pdL
D  F
s  sL
L
d
и
pdF  pdL
D 1 F
s  sL
F
d
при условии s L  s F . Монопольный спрос на продукцию компании-лидера
определяется выражением:
pmL  u0
D 1
.
sL
L
m
Ожидаемая прибыль компании-лидера,  L , определяется следующим
выражением:



F
L
L
L
L
L
 N  N ( pd  c) Dd  N 
 N   N ( pm  c) Dm
  F 
  L    F  

r
r 
N 
 N  
 N 
L
(1)

 N 
  L   ( s L ) ,
N 
в котором первое слагаемое представляет дисконтированную прибыль,
соответствующую
определяет
дуополистической
дисконтированную
составляющая
конкуренции,
монопольную
описывает дисконтированные
второе
прибыль,
и
инвестиционные
Ожидаемая прибыль компании-последователя имеет вид
слагаемое
последняя
затраты.


F
F
F
F

 N   N ( pd  c) Dd
 F  
  ( s F )  .
r
N  

(2)
Ниже сначала анализируются равновесные исходы игры в условиях
отсутствия неопределенности спроса, и фирмы инвестируют немедленно,
если ожидаемая прибыль положительна. Затем определяются оптимальные
инвестиционные решения фирмы-лидера и фирмы-последователя в условиях
неопределенности спроса, когда фирмы могут откладывать инвестирование.
Перед
выводом
равновесных
прибылей
анализируются
оптимальные
решения в предположении, что фирма-лидер производит продукцию более
высокого качества, а затем в предположении, что фирма-последователь
производит продукцию более высокого качества.
Далее предполагаем, что на первой стадии игры уровень качества
продукции выбирается в игре Штакельберга, а на второй стадии цены
продукции
устанавливаются
в
равновесии
Нэша.
При
отсутствии
неопределенности спроса обе фирмы инвестируют, и опция откладывания
инвестирования не оптимальна [3]. Прибыль компании-лидера и компаниипоследователя определяется соответственно следующим образом:
N ( pdL  c) DdL
 
  (s L ) ,
r
L

F
N ( p dF  c) DdF

  (s F ) .
r
(3)
(4)
Анализ проводится методом обратного хода, начиная с последней
стадии игры. Сначала предположим, что на второй стадии игры фирма-лидер
производит продукцию относительно более высокого качества. Кривая
реагирования фирмы-лидера может быть записана в виде:
pdL 
1 F
( pd  c  s L  s F ) ,
2
(5)
а кривая реагирования фирмы-последователя имеет вид:
pdF 
1 L
( pd  c ) .
2
(6)
В микроэкономической теории кривая реагирования (ее еще называют
функцией наилучшего отклика) каждой фирмы показывает, как изменяется
максимизирующая прибыль цена продукции одной фирмы в зависимости от
того, как, по её мнению, будет изменяться цена продукции другой фирмы.
Цены, соответствующие равновесию Нэша
 
( pdL , pdF ) представляют собой
значения цен, при которых обе кривые реагирования пересекаются. После
преобразований получаем:
2

pdL  c  ( s L  s F ) ,
3
(7)
1

pdF  c  ( s L  s F ) .
3
(8)
Используя симметрию, получаем, что если на второй стадии игры
фирма-лидер производит продукцию более низкого качества, равновесная
цена продукции фирмы-лидера составляет:
1
c  (s L  s F ) ,
3
а равновесная цена продукции более высокого качества, производимой
фирмой-последователем, составляет:
2
c  (s L  s F ) .
3
Подставляя равновесные цены в функции спроса, получаем, что
равновесный спрос на продукцию более высокого качества составляет
равновесный спрос на продукцию более низкого качества составляет
2
,а
3
1
.
3
Перейдем к анализу первой стадии игры. Рассмотрим сначала
ситуацию, когда компания-лидер предлагает продукцию более высокого
качества. Подставляя выражения для равновесной цены и равновесного
спроса на оба вида продукции в (3) и (4),
прибыль компании-лидера и
компании-последователя при
s L  s F можно записать соответственно в
виде:
4 N (s L  s F )
  ( s L ) ,
9 r
(9)
1 N (s L  s F )
  ( s F ) .
9 r
(10)
На первой стадии компания-лидер выбирает уровень качества
продукции первой, а компания-последователь выбирает уровень качества
продукции, уже имея информацию о качестве продукции, предлагаемой
компанией-лидером. В случае, если компания-лидер предлагает продукцию
относительно более высокого качества, компания-последователь оптимально
выбирает насколько возможно низкий уровень качества продукции, т.е.

s F  0,
(11)
поскольку производная от выражения (3.32) по s F отрицательна [4].
Подставляя
оптимальный
выбор
качества
продукции
компании-
последователя в (3.31) и приравнивая производную по уровню качества
продукции компании-лидера к нулю, получаем:


4N

s L  

9

(
r


)


1
 1
.
(12)
Рассмотрим теперь ситуацию, когда компания-лидер предлагает
продукцию относительно более низкого качества. Подставляя выражения для
равновесной цены и равновесного спроса на оба вида продукции в (3.25) и
(3.26), прибыль компании-лидера и компании-последователя при s L  s F
можно записать соответственно в виде:
1 N (s F  s L )
  ( s L ) ,
9 r
(13)
4 N (s F  s L )
  ( s F ) .
9 r 
(14)
Если компания-лидер предлагает продукцию относительно более низкого
качества, оптимальный уровень качества продукции компании-последователя
определяется выражением:


4N

s F  

 9 ( r   ) 
1
 1
.
(15)
Подставляя оптимальный уровень качества продукции компаниипоследователя в функцию прибыли компании-лидера и далее вычисляя
производную от функции прибыли компании-лидера по уровню качества
продукции показывает, что эта производная отрицательна. Следовательно,
оптимальный уровень качества продукции компании-лидера можно записать
в виде:

s L  0.
(16)
Проанализируем характеристики равновесия. Прибыль производителя
продукции относительно более высокого качества, будь то компания-лидер
или компания-последователь, составляет


  1
4N

  (  1) ,
9

(
r


)


(17)
а прибыль производителя продукции относительно более низкого качества,
будь то компания-лидер или компания-последователь, составляет:


4N


9

(
r


)


При условии
 

 1

.
4
(18)
4
прибыль производителя продукции более
3
высокого качества превосходит прибыль производителя продукции более
низкого качества. Следовательно, до тех пор, пока компания-последователь
не имеет стимулов опередить компанию-лидера по качеству продукции,
компания-лидер будет оптимально выбирать производство продукции
относительно более высокого качества при
4
  . Компания-лидер
3
выбирает производство продукции более низкого качества в противном
случае. Нетрудно проверить, что компания-последователь будет получать
отрицательную прибыль, если будет производить продукцию, качество
которой выше качества, определяемого уравнением (18). Следовательно,
опережение компанией-последователем качества продукции компаниилидера не оптимально для последователя, так что компания-лидер будет
оптимально выбирать производство продукции относительно более высокого
качества при  
4
при отсутствии неопределенности спроса.
3
На второй стадии игры обе фирмы выбирают цены продукции в
равновесии Нэша. Рассмотрим сначала ситуацию, когда компания-лидер
предлагает продукцию относительно более высокого качества. На первой
стадии игры компания-последователь выбирает уровень качества продукции
и момент инвестирования.
Если компания-последователь производит
продукцию более низкого качества, ее ожидаемая прибыль определяется
выражением:


F
F
L
F
F

 N   N ( s  s ) Dd
 F  
  ( s F )  .
9( r   )
N  

(19)
Вычисляя частную производную от функции ожидаемой прибыли
компании-последователя
по
критическому
уровню
прибыли,
соответствующему началу инвестирования, получаем

L
F
F 
 N   ( s  s )(1   )  ( s )

 F 
9(r   )
NF
N  

.

(20)
Анализ показывает, что частная производная от функции ожидаемой
прибыли компании-последователя по ее уровню качества продукции
отрицательна для каждого критического уровня прибыли, так что компанияпоследователь максимизирует свою ожидаемую прибыль, полагая
Из уравнения (20) и из того, что

s F  0.
  1, следует, что при уровне качества
продукции компании-последователя, равном нулю, частная производная от
функции ожидаемой прибыли компании-последователя по N F отрицательна.
Следовательно, компания-последователь в оптимуме инвестирует насколько
возможно рано, что означает, что она инвестирует сразу после компаниилидера. В этом случае на рынке практически мгновенно будет иметь место
дуополистическая конкуренция, так что монопольной прибылью компаниилидера можно пренебречь.
Подставляя оптимальный выбор компании-последователя в функцию
ожидаемой прибыли фирмы-лидера, получаем:

L L

 N   4N s
  F  
  ( s L )  .
 N   9(r   )

L
Преобразуя
условие
первого
порядка
максимизации
(21)
прибыли
относительно уровня качества компании-лидера, получаем:

( s L ) 1 

4N L
.
9 (r   )
(22)
Частная производная от ожидаемой прибыли фирмы-лидера по
критическому уровню прибыли, соответствующему началу инвестирования,
равна:
 L 

4
(
N
) (1   )

N{
  ( N L )   1 ( s L )  1} .
9( r   )
(23)
Подставляя (21) в (22), преобразуем частную производную от
ожидаемой прибыли фирмы-лидера к виду:


4
 N   4(1   )

 L 
.
9
(
r


)
9

(
r


)
N

 

(24)
Эта частная производная отрицательна, поскольку имеет место неравенство:
 (1   )    0 .
Это неравенство непосредственно следует из предположения
 .
Поскольку частная производная от ожидаемой прибыли компании-лидера по
N L отрицательна, компания-лидер будет инвестировать немедленно [5]. Это
означает, что опцион ожидания инвестирования отсутствует и для компании-
лидера, и для компании-последователя. Оптимальные уровни качества
продукции составляют:


4N

s L  

9

(
r


)


1
 1

и s F  0.
Ожидаемые прибыли компании-лидера и компании-последователя
определяются уравнениями (3.39) и (3.40), соответственно.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда компания-лидер предлагает
продукцию
относительно
более
низкого
качества.
Если
компания-
последователь предлагает продукцию более высокого качества, ее ожидаемая
прибыль составляет:


F
F
L
F

 N   4 N (s  s )
 F  
  ( s F )  .
 N   9(r   )

(25)
На второй стадии игры компания-последователь максимизирует свою
ожидаемую прибыль относительно s F и N F . Из условий первого порядка
можно записать выбор компании-последователя следующим образом
 F 9 ( r   )  ( s L ) 1
N 
,
4(   ) 1
(26)
s L
F
s 
.
 
(27)
Из последнего уравнения следует, что в рассматриваемом сценарии
степень дифференциации продукции, определяемая как
sF
, возрастает с
sL
ростом неопределенности. Подставляя (25) и (26) в (27), можно записать
ожидаемую прибыль компании-последователя следующим образом:
 4 N (   ) 1 



L  1 
9

(
r


)

(
s
)




 s L 

  (  1) .





(28)
Хотя ожидаемая прибыль компании-последователя, очевидно, зависит
от качества продукции компании-лидера, можно вывести зависимость
ожидаемой прибыли компании-последователя для максимального уровня
неопределенности. Неопределенность ограничена условием    . Выведем
выражение для ожидаемой прибыли компании-последователя при    .
Положим x     , что означает, что:
(  1)     x(   1) .
Из уравнения (28) следует, что ожидаемой прибыли компании-последователя
для неопределенности, приближающейся к максимальному уровню, можно
записать следующим образом


4N
lim

x0 9 ( r   ) 


  x (  1)
 1
 s L
[ (  x  1)]
 x



x (1  )
.
Поскольку
x
 ln x
1
lim   lim exp( x ln x)  exp(lim
 exp lim x  1 ,
x0  x 
x 0
x 0 1 x
x0
можно переписать предыдущее равенство в виде


4N


 9 (r   ) 

 1
 (  1) .
Полученный результат означает, что ожидаемая прибыль компаниипоследователя для максимального уровня неопределенности сходится к
выражению для прибыли, определяемому (18).
На
первой
стадии
игры
компания-лидер
максимизирует
свою
ожидаемую прибыль относительно цены продукции, качества продукции и
критического значения N . Ожидаемая прибыль записывается в виде
 4 N (   ) 1 



L  1 
9

(
r


)

(
s
)






 4

 s L 
N L ( pmL  c )( s L  pmL  u0 ) 

 

L



(
r


)
s



L
L
L
L
 N   N ( pm  c)( s  pm  u0 )
L  
 L  


(
s
) .
(r   )s L
N  

Если компания-лидер производит продукцию относительно более
низкого качества, у компании-последователя существует опцион ожидания
инвестирования для производства продукции более высокого качества. Из
уравнения (28) следует, что степень дифференциации продукции и,
следовательно, инвестиционные затраты и интервал времени между
инвестированием обеих компаний возрастают с ростом неопределенности.
Если неопределенность приближается к своему максимальному значению,
прибыль компании–последователя определяется выражением (29). В то же
время компания-лидер может получать монопольную прибыль в течение
этого интервала времени. Поскольку прибыль компании-лидера выше
прибыли компании-последователя, компания-лидер получает более высокую
прибыль, когда она производит продукцию относительно более низкого
качества, чем продукцию более высокого качества (в последнем случае
компания-лидер получает только прибыль, определяемую (27)). Поскольку
стоимость опциона инвестирования
(и функции прибыли) являются
непрерывными функциями неопределенности, компания-лидер оптимально
выбирает производство продукции более низкого качества при достаточно
высоком уровне неопределенности [6]. Если неопределенность спроса ниже
этого порогового значения, период получения монопольной прибыли
недостаточно продолжителен для компенсации невыгодности предложения
продукцию более низкого качества. В этом случае компания-лидер
оптимально предлагает продукцию более высокого качества.
Таким
образом,
проведенный
анализ
показывает,
что
момент
инвестирования в качество продукции является ключевым моментом. С
точки зрения практической инвестиционной политики оптимальной опцией
будет инвестиционная субсидия. В модели монополии при наличии
линейного спроса грант в размере 50% от инвестиционных затрат приводит к
инвестированию, момент которого оптимален с точки зрения общественной
выгоды. Без введения инвестиционных субсидий не будет снижения качества
продукции, однако произойдет откладывание инвестиций на определенный
период.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Фишберн П.К. Теория полезности для принятия решения. – М.:
«Наука», 1978
2.
Блех Ю., Гетце У. Инвестиционные расчеты: модели и методы
оценки инвестиционных проектов. Пер. с нем. – Калининград: «Янтарный
сказ», 1997
3.
Уотшем Т., Паррамоу К. Количественные методы в финансах.
Пер. с англ. – М.: «Финансы», «ЮНИТИ», 1999
4.
Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое
поведение. – М.: «Наука», 1970
5.
Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. –
М.: «Дело», 1995
6.
Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения. –
М.: «Дело», 2000
7.