x - LMS

Тема 12
Минимизация
издержек и кривые
издержек
Тема 12. Минимизация издержек и кривые
издержек
• Равновесие фирмы как проблема минимизации
издержек. Минимизация издержек. Соотношение
изокосты и изокванты. Оптимальная комбинация
факторов производства. Предельная
производительность денег.
• Функции условного спроса на факторы (функции
производного спроса на факторы).
• Выявленная минимизация издержек.
• Отдача от масштаба и функция издержек.
• Долгосрочные и краткосрочные издержки.
Тема 12. Минимизация издержек и кривые
издержек
• Постоянные и квазипостоянные издержки.
• Невозвратные издержки.
• Средние издержки.
• Предельные издержки. Предельные
издержки и переменные издержки.
• Долгосрочные издержки. Долгосрочные
издержки в случае дискретных уровней
размера завода. Долгосрочные предельные
издержки.
Тема 12. Минимизация издержек и кривые
издержек: литература
•
•
•
•
Чеканский и Фролова, гл.9
Вэриан, гл.19-20
Пиндайк и Рубинфельд, гл. 7
Гальперин, Игнатьев и Моргунов,
Т.1, гл.8
• Джейли и Рени, гл. 3, пп.3.3-3.4
Минимизация издержек
• Будем говорить, что фирма является
минимизирующей свои издержки, если она
производит любой заданный объем продукции y  0
с наименьшими из всех возможных совокупными
издержками.
• Через c(y) обозначим минимальное значение
совокупных издержек фирмы, обеспечивающих
производство y единиц продукции.
• c(y) называется функцией совокупных издержек
фирмы.
Минимизация издержек
• Если в качестве переменных функции
совокупных издержек учитывать цены
w = (w1,w2,…,wn), по которым фирма
приобретает используемые в процессе
производства продукции
факторы/ресурсы, то формальная
запись соответствующей зависимости
примет следующий вид:
c(w1,…,wn, y)
Задача минимизации издержек
• Пусть фирма выпускает один продукт, используя для
этого два фактора производства.
• Соответственно, применяемая технология
производства продукта представлена двухфакторной
производственной функцией y = f(x1,x2).
• Предположим, что объем выпуска продукции y  0
задан.
• Тогда при фиксированных ценах факторов w1 и w2
издержки, соответствующие вектору затрат ресурсов
(x1,x2), равны:
w1x1 + w2x2.
Задача минимизации издержек
• При заданных значениях w1, w2 и y
минимизация издержек фирмы сводится к
решению следующей экстремальной
задачи:
min w1 x1  w2 x2
x1 , x2 0
при условии*
f ( x1 , x2 )  y
*Функция f возрастает, поэтому в оптимуме
ограничение всегда будет выполняться как равенство.
Задача минимизации издержек
• Значения затрат факторов x1*(w1,w2,y) и
x1*(w1,w2,y), обеспечивающие минимальные
расходы фирмы на производство y единиц
продукта при ценах (w1,w2), представляют собой
условный спрос фирмы на факторы 1 и 2
(conditional factor demand, derived factor demand).
• Соответственно, наименьшее, среди всех
возможных, значение совокупных издержек
производства y единиц продукции при ценах
(w1,w2) равно
c(w1 , w2 , y)  w x (w1 , w2 , y)  w x (w1 , w2 , y)
*
1 1
*
2 2
Условный спрос на факторы
• Как найти при заданных значениях цен
w1 и w2, а также объема производства
продукции y, оптимальный с точки
зрения минимизации совокупных
издержек вектор затрат факторов?
• Каким образом вычисляются значения
функции совокупных издержек?
Линия уровня издержек (изокоста)
• Линия (кривая), содержащая все точки
(векторы) затрат факторов производства с
одинаковой при некоторой системе цен
(w1,w2) суммарной стоимостью ресурсов,
называется изокостой.
• Например, при ценах w1 и w2 изокоста,
соответствующая суммарной стоимости
ресурсов в $100, задана уравнением
следующего вида: w x  w x  100
1 1
2 2
Линия уровня издержек (изокоста)
• В общем случае для заданных значений
цен w1 и w2, уравнением изокосты (линии
уровня издержек), соответствующей
суммарной стоимости в c денежных
единиц, является w1 x1  w2 x2  c
т.e.
w1
c
x2  
x1 
w2
w2
• Наклон равен - w1/w2
Линия уровня издержек (изокоста)
x2
c”  w1x1+w2x2
c’  w1x1+w2x2
c’ < c”
x1
Линия уровня издержек (изокоста)
x2
Наклоны = -w1/w2.
c”  w1x1+w2x2
c’  w1x1+w2x2
c’ < c”
x1
Изокванта выпуска y единиц продукции
x2
Множество всех возможных сочетаний затрат
факторов, применение которых в
производстве дает выпуск в y’ единиц
продукта. Какой из них связан с
наименьшими совокупными издержками?
f(x1,x2)  y’
x1
Задача минимизации издержек
x2
Все векторы затрат дают выпуск в y’
единиц продукции. Какой из них наиболее
экономичен (в смысле минимизации
совокупных издержек)?
f(x1,x2)  y’
x1
Задача минимизации издержек
x2
Все векторы затрат дают выпуск в y’ единиц
продукции. Какой из них наиболее
экономичен (в смысле минимизации
совокупных издержек)?
f(x1,x2)  y’
x1
Задача минимизации издержек
x2
Все векторы затрат дают выпуск в y’ единиц
продукции. Какой из них наиболее
экономичен (в смысле минимизации
совокупных издержек)?
f(x1,x2)  y’
x1
Задача минимизации издержек
x2
Все векторы затрат дают выпуск в y’ единиц
продукции. Какой из них наиболее экономичен
(в смысле минимизации совокупных
издержек)?
x2*
f(x1,x2)  y’
x1*
x1
Задача минимизации издержек
x2
Минимизирующее издержки решение внутренняя точка:
(a)
f ( x1* , x2* )  y
x2*
f(x1,x2)  y’
x1*
x1
Задача минимизации издержек
x2
Минимизирующее издержки решение внутренняя точка:
*
*
(a) f ( x1 , x2 )  y и
(b) наклон изокосты = наклону
изокванты
x2*
f(x1,x2)  y’
x1*
x1
Минимизация издержек для технологии
Кобба-Дугласа
x2
Минимизирующее издержки решение внутренняя точка:
(a) f ( x1* , x2* )  y и
(b) наклон изокосты = наклону изокванты; т.е.
w1
MP1

 TRS  
в (x1* , x2* )
w2
MP2
x2*
f(x1,x2)  y’
x1*
x1
Минимизация издержек для технологии
Кобба-Дугласа
• Технология фирмы представлена
производственной функцией КоббаДугласа вида
y  f ( x1 , x2 )  x x
1/3 2/3
1
2
• Цены факторов равны w1 и w2.
• Как выглядят функции условного
спроса фирмы на факторы
производства?
Минимизация издержек для технологии
Кобба-Дугласа
Минимизирующий совокупные издержки производства y единиц продукта вектор затрат (x1*,x2*):
(a)
(b)
y  (x ) (x )
* 1/3
1
* 2/3
2
* 2/3
1
* 1/3
1
w1
y / x1
(1/ 3)( x ) ( x )



w2
y / x2
(2 / 3)( x ) ( x )
*
2
*
1
x

2x
* 2/3
2
* 1/3
2
Минимизация издержек для технологии
Кобба-Дугласа
(a) y  ( x ) ( x )
* 1/3
1
* 2/3
2
w1
x2*
(b)

*
w2 2 x1
Минимизация издержек для технологии
Кобба-Дугласа
(a)
y  (x ) (x )
* 1/3
1
Из (b) имеем,
* 2/3
2
2w1 *
x 
x1
w2
*
2
*
w
x
1
(b)
 2*
w2 2 x1
Минимизация издержек для технологии
Кобба-Дугласа
(a)
y  (x ) (x )
* 1/3
1
Из (b) имеем,
* 2/3
2
2w1 *
x 
x1
w2
*
2
*
w
x
1
(b)
 2*
w2 2 x1
Теперь, подставив в (a), получаем
 2w1 * 
y  (x ) 
x1 
 w2

* 1/3
1
2/3
Минимизация издержек для технологии
Кобба-Дугласа
(a)
*
w
x
1
(b)
 2*
w2 2 x1
y  (x ) (x )
* 1/3
1
* 2/3
2
2w1 *
x1
Из (b) имеем, x 
w2
Теперь, подставив в (a), получаем
*
2
 2w1 * 
y  (x ) 
x1 
 w2 
* 1/3
1
2/3
 2w1 


 w2 
2/3
*
1
x
Минимизация издержек для технологии
Кобба-Дугласа
(a)
y  (x ) (x )
* 1/3
1
* 2/3
2
2w1 *
x1
Из (b) имеем, x 
w2
*
w
x
1
(b)
 2*
w2 2 x1
*
2
Теперь, подставив в (a), получаем
 2w1 * 
y  (x ) 
x1 
 w2

* 1/3
1
Т.о.
 w2 
x 

 2w1 
*
1
2/3
 2w1 


 w2 
2/3
*
1
x
2/3
y
- условный спрос фирмы
на фактор 1
Минимизация издержек для технологии
Кобба-Дугласа
2/3
2w1 *
 w2 
*
*
x1
Т.к. x2 
и x1  
,
 y
w2
 2 w1 
то условный спрос фирмы на фактор 2
представлен функцией вида:
2w1  w2 
x 


w2  2w1 
*
2
2/3
1/3
 2w1 
y 
 y
 w2 
Минимизация издержек для технологии
Кобба-Дугласа
Т.о. наименьшим по совокупной стоимости
вектором затрат факторов на производство y
единиц продукции является
 x (w , w , y), x (w , w , y) 
*
1
1
2
 w 
2

 

  2w1 

2/3
*
2
1
2

 2w1 
y, 
 y 
 w2 

1/3
Кривые условного спроса на факторы
x2
Цены w1 и w2 заданы.
y
y
y
x1
Кривые условного спроса на факторы
x2
y
Цены w1 и w2 заданы.
y
y
y
y
x*2 ( y )
x*2
x*1 ( y )
x*1
y
y
x*1 ( y )
x*2 ( y )
x1
Кривые условного спроса на факторы
x2
y
Цены w1 и w2 заданы.
y
y
y x*2 ( y )
x*2 ( y )
x*2 ( y )
x*2 ( y )
y
y
y
y
y
x*1 ( y )
x*1 ( y )
x*2
x1
x*1 ( y )
x*1 ( y )
x*1
Кривые условного спроса на факторы
x2
y
Цены w1 и w2 заданы.
y
y
y
y x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2
*
x*2 ( y )
x*2 ( y )
x*2 ( y )
y
y
y
x*1 ( y ) x*1 ( y )
x*1 ( y )
y
x1
x 2 ( y )
y
y
x*1 ( y ) x*1 ( y ) x*1
x*1 ( y )
Кривые условного спроса на факторы
x2
y
Цены w1 и w2 заданы.
y
траектория
роста
производства
x*2 ( y )
x*2 ( y )
x*2 ( y )
y
y
y x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2
*
y
y
y
y
y
y
x*1 ( y ) x*1 ( y )
x*1 ( y )
x 2 ( y )
x1
x*1 ( y ) x*1 ( y ) x*1
x*1 ( y )
Кривые условного спроса на факторы
x2
y
Цены w1 и w2 заданы.
y
траектория
роста
производства
x*2 ( y )
x*2 ( y )
x*2 ( y )
y
y
y x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2
*
y
y
y
y
y
y
x*1 ( y ) x*1 ( y )
x*1 ( y )
x1
Условный
спрос на
фактор 2
x 2 ( y )
Условный
спрос на
фактор 1
x*1 ( y ) x*1 ( y ) x*1
x*1 ( y )
Минимизация издержек для технологии
Кобба-Дугласа
Для производственной функции вида
y  f ( x1 , x2 )  x11/3 x22/3
наименьшим по совокупной стоимости
вектором затрат факторов на выпуск y единиц
продукции является
 x (w , w , y), x (w , w , y) 
*
1
1
2
 w 
  2 
  2w1 

2/3
*
2
1
2
1/3
 2w1 
y, 

 w2 

y


Минимизация издержек для технологии
Кобба-Дугласа
Т.о. функция совокупных издержек фирмы
имеет вид:
c(w1 , w2 , y)  w x (w1 , w2 , y)  w x (w1 , w2 , y)
*
1 1
*
2 2
Минимизация издержек для технологии
Кобба-Дугласа
Т.о. функция совокупных издержек фирмы имеет
вид:
c ( w1 , w2 , y )  w x ( w1 , w2 , y )  w2 x ( w1 , w2 , y )
*
1 1
 w2 
 w1 

 2w1 
*
2
2/3
1/3
 2w1 
y  w2 
 y
 w2 
Минимизация издержек для технологии
Кобба-Дугласа
Т.о. функция совокупных издержек фирмы имеет
вид:
c ( w1 , w2 , y )  w x ( w1 , w2 , y )  w2 x ( w1 , w2 , y )
*
1 1
*
2
2/3
1/3
 w2 
 2w1 
 w1 
 y  w2 
 y
 2w1 
 w2 
2/3
1
1/3 2/3
1/3 1/3 2/3
   w1 w2 y  2 w1 w2 y
2
Минимизация издержек для технологии
Кобба-Дугласа
Т.о. функция совокупных издержек фирмы имеет
вид:
c ( w1 , w2 , y )  w1 x1* ( w1 , w2 , y )  w2 x2* ( w1 , w 2 , y )
 w2 
 w1 

 2 w1 
1
 
2
2/3
1/3
 2 w1 
y  w2 

 w2 
y
2/3
w11/3 w22/3 y  21/3 w11/3 w22/3 y
1/3
 w1w 
 3

 4 
2
2
y
Минимизация издержек для технологии с
взаимодополняющими факторами
• Пусть производственная функция фирмы
имеет вид:
y  min{4 x1 , x2 }
• Цены факторов заданы величинами w1 и w2
.
• Каков условный спрос фирмы на факторы
производства 1 и 2?
• Как выглядит функция совокупных
издержек фирмы?
Минимизация издержек для технологии с
взаимодополняющими факторами
x2
4x1 = x2
min{4x1,x2}  y’
x1
Минимизация издержек для технологии с
взаимодополняющими факторами
x2
4x1 = x2
min{4x1,x2}  y’
x1
Минимизация издержек для технологии с
взаимодополняющими факторами
x2
4x1 = x2
Где расположен вектор затрат,
обеспечиваюший выпуск y’
единиц продукта с наименьшими
совокупными издержками?
min{4x1,x2}  y’
x1
Минимизация издержек для технологии с
взаимодополняющими факторами
x2
4x1 = x2
Где расположен вектор затрат,
обеспечиваюший выпуск y’
единиц продукта с наименьшими
совокупными издержками?
min{4x1,x2}  y’
x2* = y
x1*
= y/4
x1
Минимизация издержек для технологии с
взаимодополняющими факторами
Производственная функция фирмы имеет вид:
y  min{4 x1 , x2 }
Соответствующие функции условного спроса на факторы
представлены зависимостями:
y
x ( w1 , w2 , y ) 
4
*
1
и
x ( w1 , w2 , y )  y
*
2
Минимизация издержек для технологии с
взаимодополняющими факторами
Производственная функция фирмы имеет вид:
y  min{4 x1 , x2 }
Соответствующие функции условного спроса на факторы
представлены зависимостями:
y
*
*
и
x1 ( w1 , w2 , y ) 
2
1
2
4
Т.о., функция совокупных издержек фирмы имеет вид:
x (w , w , y)  y
c ( w1 , w2 , y )  w x ( w1 , w2 , y )
*
1 1
 w2 x ( w1 , w2 , y )
*
2
Минимизация издержек для технологии с
взаимодополняющими факторами
Производственная функция фирмы имеет вид:
y  min{4 x1 , x2 }
Соответствующие функции условного спроса на факторы
представлены зависимостями:
y
x ( w1 , w2 , y ) 
4
*
1
и
x ( w1 , w2 , y )  y
*
2
Т.о., функция совокупных издержек фирмы имеет вид:
c ( w1 , w2 , y )  w1 x ( w1 , w2 , y )
*
1
 w2 x ( w1 , w2 , y )
*
2
y
 w1

 w1  w2 y  
 w2  y
4
 4

Выявленная минимизация издержек
• Если фирма минимизирует издержки на
определенный объем производства, то они
должны быть по крайней мере не выше
того уровня, который при данных ценах
сложился бы при использовании какоголибо иного способа производства.
• Это правило известно как слабая аксиома
минимизации издержек (WACM— Weak
Axiот of Cost Minimisation).
Выявленная минимизация издержек
• Из наблюдений известны два набора
s
s
t
t
цен: (w1 , w2 ) и (w1 , w2 )
• и связанные с ними выбранные
t
t
фирмой количества факторов: (x1 , x2 )
s
s
и (x1 , x2 )
• с помощью каждой из этих выбранных
комбинаций факторов производится
один и тот же объем выпуска y (y
=const).
Выявленная минимизация издержек
• Тогда, если каждая выбранная
комбинация факторов есть
комбинация, минимизирующая
издержки при соответствующих ценах,
то должно соблюдаться
w x +w x w x +w x
s
2
w x w x w x w x
t
2
t
1
s
1
t
1
s
1
t
2
s
2
t
2
s
2
t
1
s
1
s
1
t
1
t
2
s
2
и
Выявленная минимизация издержек
• Эти неравенства называются слабой
аксиомой минимизации издержек:
– если фирма всегда выбирает такой
способ производства y единиц выпуска,
который минимизирует ее издержки, то
комбинации факторов, выбранные
фирмой в моменты времени t и s,
должны удовлетворять указанным
неравенствам
Выявленная минимизация издержек
• После простых преобразований неравенств
получаем
t
t
t
t
s
t
s
t
s
s
s
s
( w1  w1 ) x1  ( w 2  w2 ) x2  ( w1  w1 ) x1  ( w 2  w2 ) x2
и затем
( w  w )( x  x )  ( w  w )( x  x )  0
t
1
s
1
t
1
s
1
t
2
s
2
t
2
что можно представить
w1x1  w2 x2  0
s
2
Выявленная минимизация издержек
w1x1  w2x2  0
• Если при неизменном объеме выпуска фирма
реагирует на изменение цен ресурсов
изменениями спроса на них, то, подставив
значения соответствующих изменений в
неравенство, можно дать первичную оценку
деятельности фирмы:
– Если неравенство не соблюдается, значит,
нарушается слабая аксиома минимизации
издержек. Иными словами, либо до изменения
цен, после него, либо и до, и после изменения
фирма не минимизировала издержки.
Выявленная минимизация издержек
w1x1  w2x2  0
• Если цена фактора 1 возрастает, а цена
фактора 2 — остается постоянной, то Δw2 = 0,
так что неравенство приобретает вид
w1x1  0
• Т.е. если цена фактора 1 возрастает, то спрос
на фактор 1 должен сокращаться;
следовательно, кривая условного спроса на
фактор должна иметь отрицательный наклон.
Средние совокупные издержки
• Для положительного объема продукции
можно определить среднее значение
совокупных издержек производства
фирмой y единиц продукта:
c ( w1 , w2 , y)
AC ( w1 , w2 , y) 
y
– Средние издержки показывают, во что обходится
фирме производство одной единицы продукции в
среднем. В реальной отечественной практике это
называются себестоимостью единицы продукции.
Отдача от масштаба и средние
совокупные издержки
• Присущий используемой технологии уровень отдачи
от масштаба определяет характер изменения
величины средних совокупных издержек фирмы в
ответ на изменение объема продукции.
• Пусть рассматриваемая фирма производит y’ единиц
продукта.
• Как изменится величина средних совокупных
издержек фирмы при удвоении объема выпуска
продукции (изготовлении 2y’ единиц продукта)?
Постоянная отдача от масштаба и
средние совокупные издержки
• Если используемая фирмой технология обладает
постоянной отдачей от масштаба, то увеличение
выпуска продукции в два раза с y’ до 2y’ требует
удвоения уровня затрат всех производственных
ресурсов.
Постоянная отдача от масштаба и
средние совокупные издержки
• Если используемая фирмой технология обладает
постоянной отдачей от масштаба, то увеличение
выпуска продукции в два раза с y’ до 2y’ требует
удвоения уровня затрат всех производственных
ресурсов.
• Соответственно, происходит удвоение совокупных
издержек производства.
Постоянная отдача от масштаба и
средние совокупные издержки
• Если используемая фирмой технология обладает
постоянной отдачей от масштаба, то увеличение
выпуска продукции в два раза с y’ до 2y’ требует
удвоения уровня затрат всех производственных
ресурсов.
• Соответственно, происходит удвоение совокупных
издержек производства.
• Значение средних совокупных издержек
производства остается неизменным.
Падающая отдача от масштаба и
средние совокупные издержки
• Если используемая фирмой технология обладает
падающей отдачей от масштаба, то удвоение
выпуска продукции с y’ до 2y’ требует более, чем
двукратного увеличения уровня затрат всех
производственных ресурсов.
Падающая отдача от масштаба и
средние совокупные издержки
• Если используемая фирмой технология обладает
падающей отдачей от масштаба, то удвоение
выпуска продукции с y’ до 2y’ требует более, чем
двукратного увеличения уровня затрат всех
производственных ресурсов.
• Совокупные издержки производства возрастают
более, чем вдвое.
Падающая отдача от масштаба и
средние совокупные издержки
• Если используемая фирмой технология обладает
падающей отдачей от масштаба, то удвоение
выпуска продукции с y’ до 2y’ требует более, чем
двукратного увеличения уровня затрат всех
производственных ресурсов.
• Совокупные издержки производства возрастают
более, чем вдвое.
• Значение средних совокупных издержек
производства возрастает.
Возрастающая отдача от масштаба и
средние совокупные издержки
• Если используемая фирмой технология обладает
возрастающей отдачей от масштаба, то удвоение
выпуска продукции с y’ до 2y’ сопровождается
увеличением уровня затрат всех
производственных ресурсов менее, чем в два
раза.
Возрастающая отдача от масштаба и
средние совокупные издержки
• Если используемая фирмой технология обладает
возрастающей отдачей от масштаба, то удвоение
выпуска продукции с y’ до 2y’ сопровождается
увеличением уровня затрат всех производственных
ресурсов менее, чем в два раза.
• Совокупные издержки производства возрастают
менее, чем вдвое.
Возрастающая отдача от масштаба и
средние совокупные издержки
• Если используемая фирмой технология обладает
возрастающей отдачей от масштаба, то удвоение
выпуска продукции с y’ до 2y’ сопровождается
увеличением уровня затрат всех производственных
ресурсов менее, чем в два раза.
• Совокупные издержки производства возрастают
менее, чем вдвое.
• Значение средних совокупных издержек
производства уменьшается.
Отдача от масштаба и средние
совокупные издержки
AC(y)
падающая о.о.м.
постоянная о.о.м.
возрастающая о.о.м.
y
Отдача от масштаба и средние
совокупные издержки
• Каким образом это связано с видом кривых
совокупных издержек производства?
Отдача от масштаба и совокупные издержки
c
Наклон = c(2y’)/2y’
= AC(2y’).
Наклон = c(y’)/y’
= AC(y’).
c(2y’)
c(y’)
y’
2y’
y
Если технология имеет падающую о.о.м., то средние
совокупные издержки возрастают с ростом выпуска
продукции y
Отдача от масштаба и совокупные издержки
c
c(y)
Наклон = c(2y’)/2y’
= AC(2y’).
Наклон = c(y’)/y’
= AC(y’).
c(2y’)
c(y’)
y’
2y’
y
Если технология имеет падающую о.о.м., то средние
совокупные издержки возрастают с ростом выпуска
продукции y
Отдача от масштаба и совокупные издержки
c
c(2y’)
Наклон = c(2y’)/2y’
= AC(2y’).
Наклон = c(y’)/y’
= AC(y’).
c(y’)
y’
2y’
y
Если технология имеет возрастающую о.о.м., то средние
совокупные издержки убывают с ростом выпуска
продукции y
Отдача от масштаба и совокупные издержки
c
c(2y’)
c(y)
Наклон = c(2y’)/2y’
= AC(2y’).
Наклон = c(y’)/y’
= AC(y’).
c(y’)
y’
2y’
y
Если технология имеет возрастающую о.о.м., то средние
совокупные издержки убывают с ростом выпуска
продукции y
Отдача от масштаба и совокупные издержки
c
c(y)
c(2y’)
=2c(y’)
Наклон = c(2y’)/2y’
= 2c(y’)/2y’
= c(y’)/y’,
т.о.
AC(y’) = AC(2y’).
c(y’)
y’
2y’
y
Если технология имеет постоянную о.о.м., то средние
совокупные издержки неизменны при росте выпуска
продукции y
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки
• В долгосрочной перспективе фирма может
варьировать уровень затрат всех факторов
производства.
• Предположим, что рассматриваемая фирма не может
варьировать уровень затрат фактора 2, который
равен x2’ единицам.
• Как соотносятся в этом случае краткосрочные
совокупные издержки производства y единиц
продукта с долгосрочными совокупными издержками
на тот же самый объем?
Краткосрочные и долгосрочные
совокупные издержки
• Минимизация издержек в долгосрочной перспективе
сводится к решению следующей экстремальной
задачи
min w1 x1  w2 x2
x1 , x2  0
при условии
f ( x1 , x2 )  y
• Минимизация издержек в краткосрочной перспективе
сводится к решению следующей экстремальной
задачи
min w x  w x
x1 0
при условии
1 1
2
f ( x1 , x2 )  y
2
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки
• Задача минимизации издержек в краткосрочной
перспективе представляет собой сужение
аналогичной задачи в долгосрочной переспективе,
получаемое в результате введения дополнительного
ограничения x2 = x2’.
• Если в задаче для долгосрочного периода
оптимальным значением для x2 будет x2’, то тогда
дополнительное ограничение x2 = x2’ не является
существенным. Т.о., долгосрочные и краткосрочные
совокупные издержки фирмы на y единиц продукции
оказываются одинаковыми.
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки
• Задача минимизации издержек в краткосрочной
перспективе представляет собой сужение аналогичной
задачи в долгосрочной переспективе, получаемое в
результате введения дополнительного ограничения x2 =
x2’.
• Если в задаче для долгосрочного периода оптимальное
значение x2  x2”, то x2 = x2” является существенным
ограничением. В краткосрочной перспективе оно не
позволяет фирме вывести свои совокупные издержки
на уровень долгосрочных значений. Поэтому,
краткосрочные совокупные издержки выпуска y единиц
продукции оказываются выше аналогичных
долгосрочных издержек.
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки

y
x2
y 
Рассмотрим три уровня
выпуска продукции
y
x1
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки

y
x2
y 
y
В долгосрочной перспективе
фирма свободна в выборе уровня
затрат как x1, так и x2. Наиболее
экономичными сочетаниями затрат
будут...
x1
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки

y
x2
y 
Траектория долгосрочного
роста выпуска продукции
y
x2
x2
x2
x1
x1
x1
x1
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки
y 
Долгосрочные издержки:
x2
c( y )  w1 x1  w2 x2
c( y )  w1 x1  w 2 x2
c( y )  w1 x1 w 2 x2
y 
y
x2
x2
x2
x1
x1
x1
x1
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки
• Теперь предположим, что
производственная деятельность
фирмы подвержена краткосрочному
ограничению, состоящему в том, что
затраты фактора 1 установлены на
уровне x1 = x1”.
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки

y
Траектория
Долгосрочные издержки:
краткосрочного
c( y )  w1 x1  w2 x2
роста выпуска
c( y )  w1 x1  w 2 x2
продукции
x2
y 
c( y )  w1 x1 w 2 x2
y
x2
x2
x2
x1
x1
x1
x1
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки

y Траектория
x2
краткосрочного
роста выпуска
продукции
y 
y
Долгосрочные издержки:
c( y )  w1 x1  w2 x2
c( y )  w1 x1  w 2 x2
c( y )  w1 x1 w 2 x2
x2
x2
x2
x1
x1
x1
x1
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки

y
Долгосрочные издержки:
Траектория
краткосрочного
c( y )  w1 x1  w2 x2
роста выпуска
c( y )  w1 x1  w 2 x2
продукции
x2
y 
c( y )  w1 x1 w 2 x2
y
x2
x2
x2
Краткосрочные издержки:
cs ( y )  c( y )
x1
x1
x1
x1
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки

y Траектория
x2
краткосрочного
роста выпуска
продукции
y 
y
Долгосрочные издержки:
c( y )  w1 x1  w2 x2
c( y )  w1 x1  w 2 x2
c( y )  w1 x1 w 2 x2
Краткосрочные издержки:
x2
x2
x2
cs ( y )  c( y )
cs ( y )  c( y )
x1
x1
x1
x1
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки

y
Траектория
Долгосрочные издержки:
краткосрочного
c( y )  w1 x1  w2 x2
роста выпуска
c( y )  w1 x1  w 2 x2
продукции
x2
y 
c( y )  w1 x1 w 2 x2
y
Краткосрочные издержки:
cs ( y )  c( y )
x2
x2
x2
cs ( y )  c( y )
x1
x1
x1
x1
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки

y
Траектория
Долгосрочные издержки:
краткосрочного c( y  )  w x   w x 
1 1
2 2
роста выпуска
c( y )  w1 x1  w 2 x2
продукции
x2
y 
c( y )  w1 x1 w 2 x2
y
Краткосрочные издержки:
cs ( y )  c( y )
c s ( y )  c( y  )
x2
x2
x2
c s ( y )  c( y )
x1
x1
x1
x1
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки
• Краткосрочные совокупные издержки превышают
соответствующие долгосрочные издержки при всех
объемах производства, за исключением того, при
котором краткосрочное ограничение на значение
квазификсированного фактора задает его оптимальный
в долгосрочной перспективе уровень потребления.
• Это означает, что кривая долгосрочных совокупных
издержек всегда имеет общую точку с краткосрочной
кривой совокупных издержек при каждом конкретном
значении выпуска продукции.
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки
Кривая краткосрочных совокупных издержек всегда
имеет общую точку с кривой долгосрочных
издержек, превышая во всех остальных точках
соответствующие значения функции долгосрочных
совокупных издержек.
cs(y)
c(y)
F
w 2x 2
y
y
y 
y
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки

y
x2
y 
y
x2
x2
x2
x1
x1
x1
x1
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки

y
x2
y 
y
x2
x2
x2
x1
x1
x1
x1
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки

y
x2
y 
cs ( y )  c( y )
y
x2
x2
x2
x1
x1
x1
x1
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки

y
x2
y 
y
cs ( y )  c( y )
cs ( y )  c( y )
x2
x2
x2
x1
x1
x1
x1
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки

y
x2
y 
y
x2
x2
x2
x1
x1
x1
x1
Краткосрочные и долгосрочные совокупные
издержки

y
x2
y 
y
cs ( y )  c( y )
c s ( y )  c( y  )
x2
x2
x2
c s ( y )  c( y )
x1
x1
x1
x1