КОНКУРЕНЦИЯ ФИРМ В ЛИНЕЙНОМ ГОРОДЕ ХОТЕЛЛИНГА

КОНКУРЕНЦИЯ ФИРМ В ЛИНЕЙНОМ ГОРОДЕ ХОТЕЛЛИНГА
ПРИ СУЩЕСТВОВАНИИ НЕРЫНОЧНОГО ПРЕИМУЩЕСТВА
ОДНОЙ ИЗ ФИРМ
Косачева А.И.
Научный руководитель
д. ф.-м.н., доцент. Шаповал А.Б.
Финансовый университет при Правительстве
Российской Федерации
Пространственная конкуренция фирм на одномерном множестве хорошо
известна с работы Хотеллинга. Варианты этой классической идеи используются
как в экономике, так и в смежных науках - политэкономии и социологии. В
настоящей работе исследуется влияние нерыночного преимущества одной из
фирм на равновесие при
стандартном предположении о
ценовой и
пространственной конкуренции. Пусть спрос распределен равномерно, две
конкурирующие фирмы собираются открыть по магазину. В каких местах
жители города хотели бы видеть эти магазины? Предполагая, что выбирая
место для покупки, жители ориентируются на цены (чем меньше, тем лучше) и
на удаленность магазина (вновь, разумеется, чем меньше, тем лучше).
Известно, что спрос распределен равномерно и одна из фирм имеет нерыночное
преимущество, найдем оптимальное положения для фирм. Задача может быть
истолкована как независимая игра, в которой игроки – фирмы, стратегии –
выбор расположения и цены. И цель - достичь равновесия по Нэшу.
Естественно моделировать город, вытянутый вдоль главной улицы или берега
моря. В модели город предполагается отрезком (одномерной кривой).
Для решения задачи воспользуемся двухэтапным методом Хотеллинга:
1) фирмы
расположения;
независимо
друг
от
друга
выбирают
свое
место
2) при известном расположении конкурента, фирмы независимо друг
от друга устанавливают цены.
Рассмотрим одномерное пространство, представленное частью линии.
Рассмотрим отрезок, длиной 1. Каждая точка х в этом отрезке обозначает
покупателя, который хочет купить единицу товара, предложенную фирмой.
Отрезок от
0 до 1 это пространственное представление рынка, спрос на
котором распределен равномерно. Простейшая модель Хотеллинг включает 2
фирмы, каждая из которых продает однотипный товар по фиксированной цене.
Фирма i=1,2 выбирает расположение xi вдоль этого отрезка так что х1≤ х2 без
потери потребителей. Цена перемещения рассматривается как линейная
функция от расстояния. В частности, потребитель, живущий в х є [0,1] понесет
издержки t*|х – х1|,если купит товар в фирме номер 1 и t*|х – х2 +d|, если купит
товар в фирме номер 2 (t>0 единица транспортных издержек). Хотя единица
стоимости перемещения должна быть одинаковой для всех потребителей, она
может изменяться в зависимости от расстояния между расположением
потребителя и фирмы, которая обслуживает. Так как цена одинаковая и товар
однотипный, то потребитель всегда предпочтет ближайшую фирму.
1) Простой случай предельного размещения х1=0, х2=1
Каждая фирма i=1,2 устанавливают цену рi одинаковую для всех
покупателей. Для приобретения товара каждый покупатель должен пойти в
одну из этих фирм. Так как предлагаемые товары каждой фирмы однотипны, то
потребитель выберет более низкую «полную цену», включающую в себя цену
товара и издержки на перемещение.
«Полные цены» фирм, для потребителя проживающего в х ∈ [0,1]:
 для фирмы 1: р1+t*x;
 для фирмы 2: p2+t*(1-x+d).
где рi – цены соответствующих фирм, t – единица транспортных
издержек,
d – нерыночное преимущество фирмы 1
Индивидуальный выбор потребителя является взаимоисключающим и тем
самым прерывным. Так как фирмы продают одинаковый товар, то рынок
обслуживаемый фирмой 1 преобладает, если выполнено условие:
р2 −р1
p1 + tx < p2 + t(1-х+d). => 𝑥 <
2𝑡
+
1+𝑑
≡ 𝑥𝑚
2
Где хm - описывает расположение предельных потребителей, равнодушных
к покупке в фирме 1 или фирме 2. Потребители, которые покупают в
фирме 1 находится слева от предельного потребителя, так как у фирмы 1
«полная цена» для них ниже, чем у фирмы 2, в то время как другие потребители
идут в фирму 2. Если p1 <p2, фирма 1 захватывает больший рынок, чем фирма 2,
так как хm> ½ , но фирма 2 продолжает продавать, пока p2 + td<p1 + t.
Для хm є[0,1] абсолютная величина разности p2 - p1 не должна быть
слишком большой. Формально это условие эквивалентно | p2 + d - p1 |< t , иначе
одна из двух фирм будет обслуживать весь рынок, а её конкурент,
установивший цену выше на сумму затрат на перемещение на другой рынок,
будет обслуживать более далёких потребителей. Так как потребители
равномерно распределены, то спрос фирмы 1 определяется долей рынка, т.е.
D1(p1,p2) = хm, в то время как спросу фирмы 2 дается D2(p1,p2) = 1-хm.
Тогда функции прибыли для каждой из фирм будут:
П1(р1,р2) = р1D1(p1,p2) = p1(
р2 −р1
2𝑡
П2(р1,р2) = р2D2(p1,p2) = p2(1 Пространственная
задача
+
р2 −р1
2𝑡
1+𝑑
2
−
)
1+𝑑
2
дуополии
)
может
быть
истолковано
как
независимая игра, в которой игроки - фирмы и стратегии – цена фирмы, в то
время как функции выигрыша определяется прибылью. Мы стремимся к
равновесию по Нэшу, то есть найти пару цены р1* и р2* такие, что фирма 1
максимизирует прибыль при
цене р1*, когда конкурирующая фирма
устанавливает цену р2*, и, наоборот, для фирмы 2. Функции полезности фирмы
является непрерывной по отношению к ценам обеих фирм и вогнутой по
отношению к своей цене.
Используя условие первого порядка, максимизируем функции прибыли П1
и П2 по р1 и р2 соответственно, получаем:
р1* = t +
𝑑𝑡
3
; p2 * = t -
𝑑𝑡
3
Из найденных цен видно, что нерыночное преимущество отражается на
равновесных ценах. Оно позволяет фирме 1 выставлять более высокую цену и
за счет этого увеличивать прибыль.
2) Случай внутреннего размещения х1,х2 𝝐 [𝟎, 𝟏]
Чтобы изучить возможные расположения фирм, нужно определить их
равновесные цены для каждого расположения х1 и x2 є[0, 1] при x1 < x2.
Определим расстояние между двумя фирмами Δ = x2 – x1> 0.
Если предельный потребитель расположен между фирмами 1 и 2, то
расположение хm найдем из p1+t(хm- х1) = p2+ t(х2 - хm+d)
xm =
р2 −р1
2𝑡
+
𝑥1 +𝑥2 +𝑑
2
Функции прибыли остаются прежними. Используя условие первого порядка
максимизируем функции прибыли П1 и П2 по р1 и р2 соответственно, получаем:
1
р1* = t *( 2 + 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑑)
3
1
p2* = 𝑡*( 4 - 𝑥1 − 𝑥2 − 𝑑 )
3
Найдем новые функции прибыли, подставив полученные цены р1* и p2*:
П1* =
П2* =
1
18
1
18
𝑡 ∗ [(2 + 𝑥1 + 𝑥2 )2 − (2+ 𝑥1 + 𝑥2 ) ∗ 𝑑 – 2𝑑 2 ]
𝑡 ∗ [(4 − 𝑥1 − 𝑥2 )2 − (2 − 𝑥1 − 𝑥2 ) ∗ 3𝑑 +2𝑑 2 ]
Из новых функций прибыли видим, что:

П1* увеличивается с ростом х1

П2* уменьшается с ростом х2
Это приведет к выводу, что фирмы будут сближаются друг с другом для
того, чтобы утвердиться в центре рынка. Эта тенденция к скоплению, известна
как "принцип минимальной дифференциации". Тогда, при выбранном
расположении, цены р1* и p2* не будут равновесием по Нэшу.
Используя условие первого порядка максимизируем функции прибыли П1 и
П2 по х1 и х2 соответственно, получаем:
4 + 2х1 + 2х2 − 𝑑 = 0
{
−8 + 2х1 + 2х2 + 3𝑑 = 0
Система несовместна => равновесия нет
Фирмы начнут снижать свои цены:
Если фирма 1 будет снижать свою цену до р̂1 = р2* - t△ , то спрос фирмы 1
резко возрастет от х2 до 1, так как все потребители принадлежащие доли рынка
фирмы 2 решили купить в фирме 1,т.к. «полная стоимость» фирмы 1 была
ниже, чем у фирмы 2 для всех этих потребителей.
Однако такое отклонение будет убыточным
П1(р1*,р2*) ≥ П1(р̂1 , р2*)
1
П1(р̂1 , р2*) = р1* - t△ = t *( 4 - 4𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑑)
3
И тогда фирме 1 будет выгоднее вернуться в положение x1 = 0 и установить
цену р1*.
Аналогично для фирмы 2: если фирма 2 будет снижать свою цену до р̂2 :
р̂2 = р1* - t△ => П2(р1*,р2*) ≥ П2(р1*, р̂2 )
Подводя итог можно сказать, что равновесия нет, как и не было для
равнозначных фирм.
Рассмотрим случай, в котором расходы потребителей на
3)
перемещение к фирмам дается квадратичной функцией от расстояния
В данном случае для равнозначных фирм равновесие существует.
Проверим, сохраниться ли это равновесие при нерыночном преимуществе
одной из фирм.
Тогда p1 + t(xm – x1)2 = p1 + t(xm – x2 + d)2
В этом случае получим, что расположение предельного покупателя:
хm =
𝑝2 −𝑝1 +𝑑
2𝑡(𝑥2 − 𝑥1 −𝑑)
+
х22 − х21 − 2х2 𝑑
2(𝑥2 − 𝑥1 −𝑑)
Функции прибыли для каждой фирмы:
П1 = р1D1(p1,p2) =p1 (
𝑝2 −𝑝1 +𝑑
2𝑡(𝑥2 − 𝑥1 −𝑑)
П2 = р2D2(p1,p2) = p2 (1 -
+
х22 − х21 − 2х2 𝑑
2(𝑥2 − 𝑥1 −𝑑)
𝑝2 −𝑝1 +𝑑
2𝑡(𝑥2 − 𝑥1 −𝑑)
−
)
х22 − х21 − 2х2 𝑑
2(𝑥2 − 𝑥1 −𝑑)
)
Воспользуемся условием первого порядка, максимизируя функции прибыли
по цене найдем р1*, р2*:
𝑝1∗ =
𝑝2∗ =
1
(𝑑 + 𝑡( 𝑥22 − 𝑥12 + 2𝑥2 − 2𝑥1 − 2𝑥2 𝑑 − 2𝑑))
3
1
(−𝑑 + 𝑡( 𝑥12 − 𝑥22 + 2𝑥2 𝑑 − 4𝑥1 + 4𝑥2 − 4𝑑))
3
Эти цены являются равновесием по Нэшу для этого этапа. Более того, это
единственное равновесие, так как является решением системы линейных
уравнений.