Программа курса «Дополнительные главы МСС»

Программа курса «Дополнительные главы МСС»
Составитель программы д. ф.-м. н., профессор И.В. Ширко
Часть I
Механика упруго-пластических сред
1. Теория напряжений и деформаций
Наряженное состояние в точке. Определение вектора напряжений, действующего по
произвольной площадке. Теорема парности касательных напряжений. Преобразование
компонентов напряженного состояния при повороте осей. Тензор напряжений. Главные
оси и главные напряжения. Инварианты тензора напряжений. Ортогональность главных
осей, вещественность главных напряжений. Экстремальные свойства главных
напряжений. Поверхность напряжений Ляме. Круги Мора. Максимальные касательные
напряжения. Условия пластичности Кулона-Мора. Девиатор напряжений и его свойства.
Дифференциальные уравнения равновесия и движения. Эйлерово и Лагранжево описание
сплошной среды. Мера деформаций. Преобразование компонентов деформации к новым
осям. Тензор и девиатор деформаций, и их свойства. Компоненты малой деформации и их
физический смысл. Тождества Сен-Венана. Тензор скоростей деформации.
2. Связь между напряженным и деформированным состояниями
Приложение первого и второго начала термодинамики к процессу деформирования тел.
Работа изменения объема и изменения формы. Упругий потенциал и формулы Грина.
Обобщенный закон Гука для анизотропных тел. Различные случаи упругой симметрии
тела. Формула Кастельяно, теорема Бетти. Теорема Клапейрона. Полная система
уравнений изотропной теории упругости, краевые задачи. Теорема единственности.
Уравнения равновесия упругого тела в перемещениях. Задача Ляме.
3. Теория пластичности
a. Пластические свойства материала. Девиаторная плоскость. Условия пластичности
Сен-Венана и Губера-Мизеса. Деформационная теория пластичности, теория
пластического течения. Девиаторные пространства напряжений и деформаций.
Нагружение и разгрузка. Упрочняющиеся материалы. Связь между теориями
пластичности. Теорема о простом нагружении. Модель идеально жесткопластического
материала. Действительные и допустимые напряженные состояния. Принцип максимума
Мизеса, пластический потенциал. Выпуклость поверхности предельного состояния.
Ассоциированный закон течения. Теория предельного равновесия. Теорема о простом
деформировании. Вязкоупругие и вязкопластические среды.
b. Разрешающая система уравнений предельного равновесия и течения при плоском
деформированном состоянии, характеристика – линия скольжения. Краевые условия в
напряжениях и скоростях. Статическая определимость. Простейшие напряженные
состояния. Интегралы уравнений плоской задачи. Линии разрыва напряжений. Статически
допустимые разрывы компонентов тензора напряжений. Геометрическая интерпретация
на плоскости Мора. Поле скоростей в окрестности линии разрыва напряжений. Линия
разрыва напряжений как нерастяжимая нить. Нагружение острого клина постоянным по
величине боковым давлением. Линии разрыва скоростей. Допустимые разрывы
составляющих скорости. Изменение скачка скорости вдоль линии разрыва. Задача
Прандтля о нагружении полупространства и тупого клина постоянным давлением.
Решение в напряжениях и скоростях. Предельные нагрузки.
c. Упруго-пластическое кручение. Полуобратный метод Сен-Венана и постановка
задачи кручения. Уравнение упругого кручения. Функция напряжений и её свойства.
Стержень эллиптического сечения. Кручение тонкостенных профилей. Теорема о
циркуляции касательных напряжений. Уравнение пластического кручения. Условие
пластичности. Предельное состояние при кручении. Линия разрыва напряжений. Упругопластическое кручение круглого стержня. Мембранная аналогия и аналогия с
поверхностью постоянного ската.
Литература
1. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.: Наука. 1962 г.
2. Ильюшин А.А. Пластичность, часть 1: Упруго-пластические деформации. М.:
ГИТТЛ, 1948 г.
3. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969 г.
4. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М: Наука, 1979 г.
5. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969 г.
6. Ширко И.В. Механика обобщенно-пластических сред. М.: ИЦОП «ФизтехПолиграф» 2007 г.
Часть II
Механика гранулированных сред и теория фильтрации
1. Предельное равновесие и упруго-пластическое деформирование
гранулированных сред
Физико-механические свойства гранулированных сред, грунтов и горных пород.
Влияние гидростатического сжатия. Критерий предельного равновесия гранулированных
сред Кулона. Механические характеристики гранулированных сред: угол внутреннего
трения и коэффициент сцепления. Идеально сыпучий и идеально связанный материалы.
Представление критерия Кулона в инвариантной форме. Круги Мора. Площадки
скольжения. Геометрическая интерпретация в пространстве главных напряжений.
Октаэдрические площадки. Аппроксимация предельной поверхности Мизеса-Шлейхера.
Напряженное состояние гранулированной среды. Представление компонентов тензора
напряжений в виде, тождественно удовлетворяющем критерию Кулона. Обобщеннопластическая среда Л. Прандтля. Уравнение равновесия гранулированной среды при
плоском деформированном состоянии, статическая определимость. Предельные нагрузки.
Уравнения характеристик. Условия гиперболичности разрешающей системы уравнений.
Условия на поверхности заданные в напряжениях. Неоднозначность граничных условий.
Интерпретация на плоскости Мора. Краевые задачи и численные методы их решения.
Деформационное состояние гранулированной среды. Недостатки феноменологической
теории, основанной на гипотезе несжимаемости. Модель идеально жесткопластического
материала. Действительные и допустимые напряженные состояния. Принцип максимума
Мизеса, пластический потенциал. Ассоциированный закон течения. Выпуклость
поверхности предельного состояния. Теория течения Дракера-Прагера. Явление
делатансии. Разрешающая система уравнений предельного равновесия и течения при
плоском деформированном состоянии гранулированной среды, характеристика - линия
скольжения. Краевые условия в напряжениях и скоростях. Плоскость характеристических
параметров и плоскость годографа. Простейшие напряженные состояния. Интегралы
уравнений плоской задачи.
Линии разрыва скоростей в гранулированных средах. Допустимые разрывы
нормальной и касательной составляющих скорости. Связь с явлением делатансии.
Изменение скачка скорости вдоль линии разрыва. Задача Прандтля о нагружении
полупространства и тупого клина постоянным давлением. Решение в напряжениях и
скоростях. Предельные нагрузки.
Предельное равновесие оснований и склонов гранулированной среды под действием
силы тяжести. Максимальное и минимальное поле напряжений Ренкина. Физический
смысл двузначности решения, интерпретация на плоскости Мора. Совместное поле
скоростей и следующие из него ограничения на статические решения. Устойчивость
откосов с прямолинейной горизонтальной границей. Краевые задачи на плоскости
характеристических параметров. Активное и пассивное давления гранулированной среды
на подпорные стенки. Интерпретация на плоскости Мора. Учет условий трения на
подпорной стенке. Построение поля скоростей. Подпорные стенки в склоне, наклоненном
к горизонту.
Напряженное состояние продуктивного пласта в окрестности скважины. Связь с
теорией гидроразрыва. Интегрируемость уравнений теории течения Дракера-Прагера.
Простое (пропорциональное) деформирование. Деформационная теория упругопластического деформирования гранулированной среды.
2. Теория фильтрации
Гранулированный состав и пористость гранулированных сред. Скорость фильтрации.
Опытные законы фильтрации, коэффициенты фильтрации. Идеальные и фиктивные
гранулированные среды. Теоретические методы определения коэффициентов фильтрации.
Система уравнений установившейся теории фильтрации. Закон Дарси и его связь с
уравнением Эйлера. Плоская задача, комплексный потенциал, формулировка краевых
условий. Комплексный потенциал и годограф скорости. Течение в окрестность
продуктивной скважины. Контур дренирования.
Явление переноса в потоках, имеющих градиенты скорости. Течение флюида в
гранулированной среде как возмущенное течение. Средние и пульсационные
составляющие скорости. Дополнительные напряжения Рейнольдса. Длина смещения
Прандтля. Тензор эффективных вязких напряжений. Уравнения теории фильтрации,
учитывающие силы пористого сопротивления, инерции и эффективной вязкости.
Безразмерные числа потока. Число So и его физический смысл. Уравнения пограничного
слоя. Течение в плоском канале. Анизотропные течения. Тензоры коэффициентов
фильтрации и эффективной вязкости. Оптимизация структуры пористой среды.
Литература
1. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде.
ОГИЗ, Гостехиздат. 1947 г.
2. Полубаринова-Кочина П.Я. Гидродинамика. Теория фильтрации. М.: Наука.
1991 г.
3. Христианович С.А. Избранные работы. М.: Наука. 1998 г.
4. Максимов В.М. Подземная гидродинамика. М.: Наука. 2001 г.
5. Ширко И.В. Парфус В.О. Вязкие свойства течений несжимаемой жидкости в
анизотропной и неоднородной гранулированной среде. ТОХТ. №6 2004 г.
6. Соколовский В.В. Статика сыпучих сред. М.: Наука. 1978 г.
7. Цитович Н.А. Механика грунтов. Госстройиздат. 1980 г.
8. Ширко И.В. Механика обобщенно-пластических сред. М.: ИЦОП «ФизтехПолиграф» 2007 г.