Математик

МОСКОВСКАЯ АКАДЕМИЯ ОБРАЗОВАНИЯ НАТАЛЬИ НЕСТЕРОВОЙ
На правах рукописи
Калашников Александр Дмитриевич
Конспект лекций по курсу «Математика»
Москва — 2007 г.
2
Лекция 1
Высказывания и логические связки
Математика использует специальный язык для изложения математических утверждений. Этот язык называется математическая логика. Она имеет много общего с
общечеловеческой, однако необходимо помнить о том, что математическая логика
является набором строгих правил, нарушение которых приводит к потере ясности и
четкости математического изложения.
1.1
Высказывание
Понятие высказывания относится к числу так называемых неопределимых понятий.
Это означает, что его нельзя описать никак иначе, кроме как перечислением синонимов. В математике существует довольно много такого рода понятий. Например, в
геометрии вводятся понятия точка, прямая, плоскость; в арифметике — число.
Высказывание — это повествовательное предложение, о котором точно известно
истинно оно или ложно. Это же можно описать иначе, высказывание — это повествовательное предложение, которому приписано значение истинности, т. е. повествовательное предложение превращается в высказывание, когда ему приписывают ровно
один из двух возможных атрибутов: ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Пример 1. Приведем примеры предложений, не являющихся высказываниями:
Кто вы?
Прочтите это до следующего занятия.
Это утверждение ложно.
Первое предложение является вопросом. Второе — это приказ. Про последнее предложение никак не возможно установить истинно оно или ложно.
Для удобства и сокращения записи принято обозначать высказывания буквами
латинского алфавита1 . Договоримся использовать для обозначения высказываний
малые латинские буквы. Например так:
p: „Завтра будет дождь.”
q: „Квадрат целого числа является положительным числом.”
1
Математики вообще очень любят обозначать все на свете латинскими буквами.
3
Лекция 1. Высказывания и логические связки
4
1.2
Логические связки. Конъюнкция, дизъюнкция
В русском языке для построения сложных предложений используются союзы. Например, и, или, если. . . то и т. д. В математике для этих целей используют логические
связки.
Рассмотрим такие высказывания2 :
p: „Джейн водит автомобиль.”
q: „У Боба рыжие волосы.”
Тогда высказывание: „Джейн водит автомобиль и у Боба рыжие волосы” на языке
математической логики записывается с помощью логической связки так:
p и q.
Чтобы отличать союз и от логической связки, используют обозначение ∧, т. е.
p ∧ q.
Высказывание p ∧ q называется конъюнкцией высказываний p, q.
Аналогично, высказывание „Джейн водит автомобиль или у Боба рыжие волосы”
символически записывается
p ∨ q,
где символ ∨ используется для того, чтобы отличить союз или от логической связки.
Высказывание p ∨ q называется дизъюнкцией высказываний p, q.
1.3
Таблица истинности. Отрицание, исключающее
или
Возникает вопрос: как, зная значения истинности высказываний p, q, установить какой атрибут ИСТИНА или ЛОЖЬ имеет конъюнкция этих высказываний p ∧ q и
дизъюнкция p ∨ q? На этот вопрос позволяет ответить таблица истинности. Для тоТаблица 1.1. Таблица истинности конъюнкции
p
q
p∧q
ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
го, чтобы вычислить значение истинности конъюнкции, необходимо найти в табл. 1.1
строку, соответствующую значениям истинности высказываний в столбцах p, q, тогда
искомое значение находится в той же строке, в столбце p ∧ q.
2
Я буду пользоваться иностранными именами, чтобы никто ничего не подумал...
1.3. Таблица истинности. Отрицание, исключающее или
5
Таблица 1.2. Таблица истинности дизъюнкции
p
q
p∨q
ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
Аналогично, найдя в табл. 1.2 строку, соответствующую значениям истинности
высказываний p, q, значение дизъюнкции этих высказываний находится в той же
строке, в столбце p ∨ q.
Таблицы истинности позволяют строго определить понятия конъюнкции и дизъюнкции.
Определение. Конъюнкцией двух произвольных высказываний p и q называется
высказывание p ∧ q, значение истинности которого определено в табл. 1.1.
Определение. Дизъюнкцией двух произвольных высказываний p и q называется
высказывание p ∨ q, значение истинности которого определено в табл. 1.2.
Очевидно, нет необходимости запоминать таблицы истинности конъюнкции и
дизъюнкции. Конъюнкция двух высказываний p и q истинна только в том случае,
когда истинны оба высказывания одновременно, а во всех других случаях — ложна.
Дизъюнкция же двух высказываний p и q истинна, когда истинно хотя бы одно из
них, и ложна лишь в случае, когда ложны оба высказывания.
Таким образом, логические связки ∧ и ∨ преобразуют два высказывания в одно
по определенным правилам. Поэтому эти связки называются бинарными3 .
Кроме бинарных связок, существует одна унарная логическая связка.
Таблица 1.3. Таблица истинности отрицания
p
∼p
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
Определение. Отрицанием, или опровержением, произвольного высказывания p
называется высказывание ∼ p, значение истинности которого определено в табл. 1.3.
Иначе говоря, опровержение высказывания истинно, если само высказывание ложно.
Опровержение высказывания ложно, когда само высказывание истинно.
Очень часто, с точки зрения русского языка, союз или подразумевает, что имеет
место только одна из двух альтернатив, т. е. исключается случай, когда обе альтернативы возможны одновременно. В обыденной речи такое отличие наверняка понятно
из контекста, однако математический язык должен исключать возможности неоднозначного толкования. Поэтому следует различатьразделительное «или» живого
языка и дизъюнкцию.
3
Как мы увидим дальше, помимо конъюнкции и дизъюнкции существует еще несколько бинарных связок.
Лекция 1. Высказывания и логические связки
6
1.4
Построение сложных высказываний
Рассмотрим высказывание
Сэм уплатит налог за машину или Сэм останется без машины и будет ходить на
работу пешком.
Обозначим p: „Сэм уплатит налог за машину.”, q: „У Сэма есть машина.”, r: „Сэм
будет ходить на работу пешком.” В этих обозначениях, высказывание записывается
с помощью логических связок
p ∨ ((∼ q) ∧ r).
Как можно заметить, здесь приходится пользоваться скобками, чтобы указать какие
именно высказывания связывает каждая логическая связка.
При интерпретации символической записи надо помнить о порядке вычислений.
Наивысший приоритет имеет отрицание, затем следует конъюнкция, а потом дизъюнкция. Вычисление истинности происходит слева направо в порядке соответствующем приоритету. Выражения в скобках имеют приоритет выше отрицания. Таким
образом, предыдущее высказывание можно записать без использования скобок:
p∨ ∼ q ∧ r,
так же, как и со скобками вначале будет вычислено истинность ∼ q, затем конъюнкция получившегося на предыдущем шаге высказывания и r, а в конце — дизъюнкция
с p.
Таким образом, становится понятно, что логические связки позволяют переводить
обычные предложения на строгий язык математической логики, который не допускает различного толкования в зависимости от контекста, либо иных обстоятельств.
1.5
Таблица истинности логической формулы
Поскольку математика является абстрактной наукой, необходимо абстрагироваться от языкового смысла высказываний. Т. е. научиться оперировать формулами без
жесткой привязки к определенным высказываниям.
Рассмотрим формулу p∨ ∼ q ∧ r, где p, q, r — какие-то произвольные высказывания. Приведенная формула указывает нам рецепт, по которому из высказываний
p, q, r строится новое высказывание. Для того, чтобы вычислить истинность большого высказывания (построенного по этой формуле), можно воспользоваться таблицей
истинности.
СЕМИНАР
Задача 1.1. Найдите среди указанных ниже предложений высказывания. Укажите
их истинностные значения.
a. Который час?
1.5. Таблица истинности логической формулы
7
Таблица 1.4. Таблица истинности формулы p∨ ∼ q ∧ r.
p
q
r
∼q
∼q∧r
p∨ ∼ q ∧ r
ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
b. Целое число 1 является наименьшим положительным целым числом.
c. Если x = 3, то x2 = 6.
d. Берегись автомобиля!
e. Волга впадает в Каспийское море.
f. Все четные числа делятся на 2.
g. Загрузите эти пакеты в машину.
h. Это утверждение не может быть истинным.
i. Юпитер — ближайшая к Солнцу планета.
j. Не следует сушить кошку в микроволновой печи.
Задача 1.2. Пусть введены следующие обозначения:
p : „Путешествие на Марс дорогостояще.”
q : „Я совершу путешествие на Марс.”
r : „У меня есть достаточно денег.”
Запишите в символической форме такие высказывания:
a. У меня нет денег и я не совершу путешествие на Марс.
b. У меня нет денег, и путешествие на Марс дорогостояще, или я совершу путешествие на Марс.
c. Неверно, что у меня достаточно денег и я полечу на Марс.
d. Путешествие на Марс не является дорогостоящим и я полечу на Марс, или
путешествие на Марс дорогостояще и я не полечу на Марс.
Лекция 1. Высказывания и логические связки
8
Задача 1.3. Пусть введены следующие обозначения:
p : „Мой компьютер — быстродействующий.”
q : „Я завершу проект вовремя.”
r : „Я сдам экзамен.”
Запишите в символической форме такие высказывания:
a. У меня небыстродействующий компьютер, или я завершу проект вовремя.
b. Я не завершу проект вовремя и не сдам экзамен.
c. Неверно, что я завершу проект вовремя и сдам экзамен.
d. У меня быстродействующий компьютер, или я не завершу проект вовремя и
сдам экзамен.
Задача 1.4. Пусть введены следующие обозначения:
p : „Эта игра трудна.”
q : „Я играю в шахматы.”
r : „Игра в шахматы отнимает много времени.”
Интерпретируйте символическую запись:
a. q ∧ r;
b. ∼ p∨ ∼ q;
c. (p ∨ r) ∧ q;
d. p ∧ q ∧ r.
Задача 1.5. Пусть введены следующие обозначения:
p : „Доги — большие собаки.”
q : „У меня маленький дом.”
r : „У меня есть дог.”
Интерпретируйте символическую запись:
a. p ∧ q∧ ∼ r;
b. p ∧ (∼ q∨ ∼ r);
c. (p∨ ∼ q) ∧ r;
d. (p ∧ r) ∨ (q∧ ∼ r).
Лекция 2
Логические формулы
2.1
Условная связка — импликация
Начнем с рассмотрения высказывания отца, обращающегося к сыну:
„Если в этом семестре ты сдашь все экзамены на «отлично», я куплю тебе машину.”
В обозначениях p: „В этом семестре ты сдашь все экзамены на «отлично».” и q: „Я
куплю тебе машину.” высказывание отца принимает вид: p → q. Рассмотрим ситуацию, когда студент сдает экзамены на «отлично», и за это отец покупает ему машину:
все счастливы и довольны, а высказывание отца p → q так же истинно. Допустим
теперь, что студент сдал экзамены на «отлично», а отец не сдержал обещания и не
купил ему машину; в этом случае, очевидно, высказывание отца p → q оказалось
ложным. Теперь предположим, что, несмотря на приложенные усилия, студент не
сдал экзамены на «отлично», но отец, тем не менее, купил ему машину; здесь глава
семейства предстает как бесспорно щедрый человек, и называть его лжецом никак
нельзя, т. е. его высказывание p → q в этом случае истинно. Наконец, в случае, если
и студент не добился требуемого результата, и отец не купил ему машину, высказывание p → q остается истинным, поскольку студент не выполнил свою часть условий,
то и отец свободен от обязательств.
Таким образом, мы получили таблицу истинности:
Таблица 2.1. Таблица истинности импликации
p
q
p→q
ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
Определение. Импликацией двух произвольных высказываний p и q называется
высказывание p → q, значение истинности которого определено в табл. 2.1. Импликация заменяет собой условные языковые конструкции вроде этих:
9
Лекция 2. Логические формулы
10
Если p, то q.
p достаточно для q. p является достаточным условием для q.
q необходимо для p. q является необходимым условием для p.
Когда p, тогда q.
2.2
Равносильность — эквиваленция
Таблица 2.2. Таблица истинности эквиваленции
p
q
p↔q
ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
Определение. Равносильностью (или эквиваленцией) двух произвольных высказываний p и q называется высказывание p ↔ q, значение истинности которого определено в табл. 2.2. Эквиваленция заменяет собой условные языковые конструкции вроде
этих:
p, если и только если q.
p тогда и только тогда, когда q.
q необходимо и достаточно для p.
p равносильно q.
Пример 2. Рассмотрим решение квадратного уравнения:
x2 − 5x + 6 = 0 ↔ (x = 2 ∨ x = 3).
2.3
Эквивалентность логических формул
Две логические формулы A и B называют эквивалентными, когда они являются
истинными в одних и тех же случаях. Иначе говоря, когда обе логические формулы
имеют одинаковые таблицы истинности. Для обозначения эквивалентности формул
пользуются символом ≡.
Следующая теорема демонстрирует несколько употребительных эквивалентностей.
Теорема 2.1. Пусть p, q, r — произвольные высказывания, тогда
а) Законы идемпотентности
p ∧ p ≡ p;
p ∨ p ≡ p.
б) Закон двойного отрицания
∼ (∼ p) ≡ p.
2.4. Тавталогия и противоречие
11
в) Законы де Моргана
∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q;
∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q.
г) Законы коммутативности
p ∧ q ≡ q ∧ p;
p ∨ q ≡ q ∨ p.
д) Законы ассоциативности
p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r;
p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r.
е) Законы дистрибутивности
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r);
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).
ж) Закон контрапозиции
p → q ≡∼ q →∼ p.
з) Свойства импликации
p → q ≡∼ p ∨ q;
(p → q) ∧ (q → p) ≡ p ↔ q.
Для доказательства этой теоремы нужно всего лишь построить соответствующие
таблицы истинности.
2.4
Тавталогия и противоречие
Логическая формула, истинная во всех возможных случаях, называется логически
истинной или тавталогией; формула, ложная во всех возможных случаях, называется
логически ложной или противоречием.
Каждое высказывание вида p∨ ∼ p является тавталогией. Рассмотрим более
сложное высказывание (p ∧ (p → q)) → q. Чтобы убедиться в том, что это тавталогия, построим таблицу истинности этой формулы
p
q
p→q
p ∧ (p → q) (p ∧ (p → q)) → q
ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
Лекция 2. Логические формулы
12
Введя обозначение для тавтологии T, а для противоречия F, можно убедиться в
справедливости следующих эквивалентностей:
p∧T
p∧F
p∨T
p∨F
p∧ ∼ p
p∨ ∼ p
p→p
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
p,
F,
T,
p,
F,
T,
T.
Альтернативный способ проверки эквивалентности двух логических формул A
и B состоит в том, что составляется новая логическая формула A ↔ B. Если эта
формула является тавталогией, то A ≡ B, иначе — нет.
2.5
Преобразование логических формул
В произвольной формуле можно заменить любую его составляющую на логически
эквивалентное ей высказывание.
Пример 3. Например,
(q ∨ r) ∨ (p∧ ∼ r) ≡
≡ q ∨ (r ∨ (p∧ ∼ r)) ≡
≡ q ∨ ((r ∨ p) ∧ (r∨ ∼ r)) ≡
≡ q ∨ ((r ∨ p) ∧ T) ≡
≡ q ∨ (r ∨ p) ≡
≡ q ∨ (p ∨ r) ≡
≡ (q ∨ p) ∨ r ≡
≡ (p ∨ q) ∨ r.
закон ассоциативности
закон дистрибутивности
эквивалентность
эквивалентность
закон коммутативности
закон ассоциативности
закон коммутативности
Здесь подробно расписано какими свойствами мы воспользовались для обоснования
эквивалентности формул
(q ∨ r) ∨ (p∧ ∼ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r.
2.6
Аксиоматические системы. Умозаключения
Любая математическая дисциплина начинается с введения некоторого количества
неопределяемых понятий и высказываний, описывающие фундаментальные характеристики этих понятий. Это называется постулировать понятия и аксиомы. Далее
математическая дисциплина развивается путем логического вывода новых высказываний (теорем) и определения новых понятий.
2.6. Аксиоматические системы. Умозаключения
13
Определение. Умозаключением называется совокупность высказываний, называемых гипотезами или посылками, и высказывания, называемого заключением. Умозаключение записывают в таком виде:
∴
H1
H2
,
H3
C
где H1 , H2 , H3 — это гипотезы, а C — заключение, символ ∴ читается как „следовательно”.
Правильным умозаключением называется такое умозаключение, заключение которого является истинным всякий раз, когда истинны все гипотезы.
В аксиоматических системах правила вывода теорем выбираются в виде правильных умозаключений. Для проверки правильности умозаключения можно, например,
построить таблицу истинности.
Пример 4. Рассмотрим умозаключение
p
p→q
.
q→r
∴ p∧q∧r
В таблице истинности вычислим значения истинности всех гипотез и заключения
при заданных значениях истинности высказываний p, q, r.
p
q
r
p
p→q
q→r
p∧q∧r
ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА
ИСТИНА ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА ИСТИНА
ЛОЖЬ
Из таблицы видно, что все гипотезы истинны только в первой строчке, и в этом же
случае истинным является и заключение. Значит приведенное умозаключение является правильным.
Пример 5. Рассмотрим другое умозаключение
p→q
q→r
.
r
∴ p
В таблице истинности вычислим значения истинности всех гипотез и заключения
при заданных значениях истинности высказываний p, q, r.
Лекция 2. Логические формулы
14
p
q
r
p→q
q→r
r
p
ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА
ИСТИНА ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
Из таблицы видно, что все гипотезы истинны в первой, пятой и седьмой строках, а
заключение, при этих условиях, является истинным только в первой строчке. Значит
приведенное умозаключение является неправильным.
Существенно упрощает доказательство правильности умозаключения следующий
факт. Умозаключение с гипотезами H1 , H2 , H3 , . . . , Hn и заключением C будет правильным тогда и только тогда, когда высказывание
(H1 ∧ H2 ∧ H3 ∧ . . . ∧ Hn ) → C
является тавталогией.
2.7
Правила вывода, принятые в математике
а) Правило отделения (Modus Ponens)
p→q
p
∴ q
б) Силлогизм
в) Modus Tollens
p→q
q→r
∴ p→r
p→q
∼q
∴ ∼p
г) Расширение
p
∴ p∨q
д) Специализация
p∧q
∴ p
2.7. Правила вывода, принятые в математике
15
е) Конъюнкция
p
q
∴ p∧q
ж) Выбор
p
p → (r ∨ s)
r→q
s→q
∴ q
з) Исключающий выбор
p∨q
p → (r∧ ∼ r)
∴ q
и) Сведение к абсурду (Reductio ad Absurdum)
∼ p → (r∧ ∼ r)
∴ p
Пример 6. Рассмотрим такое умозаключение:
Если яблоко красное, то оно спелое
Яблоко спелое
.
∴ Яблоко красное
В обозначениях
умозаключение принимает вид
p : яблоко красное
q : яблоко спелое
p→q
q
∴ p
Построим таблицу истинности высказывания
((p → q) ∧ q) → p.
p
q
p→q
(p → q) ∧ q ((p → q) ∧ q) → p
ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
Как видно из таблицы, это высказывание не является тавталогией, поэтому наше
умозаключение неправильно. Мы, безусловно, не можем отрицать того, что яблоки
могут быть и красные, и спелые, но для обоснования этого факта необходимо иное
умозаключение.
Лекция 2. Логические формулы
16
СЕМИНАР
Задача 2.1. Постойте таблицы истинности для следующих логических формул:
a. (p → q) → r.
b. p → (q → r).
c. q → (p ∧ r) ↔ ((q → p) ∧ (q → r)).
d. ((p → q) ∨ r) → (∼ p∨ ∼ q).
Задача 2.2. С помощью таблиц истинности докажите:
a. Закон де Моргана
∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q.
b. Свойство ассоциативности связки ∨
p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r.
c. Свойство дистрибутивности связки ∨ относительно ∧
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).
Задача 2.3. Используя логически эквивалентные высказывания, и не применяя непосредственно таблицы истинности, покажите, что
a. p ≡∼ (p ∧ s) → (∼ s ∧ p).
b. ∼ (p ↔ q) ≡ (p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ p).
Задача 2.4. С помощью таблиц истинности докажите:
a. Правило силлогизма
p→q
q→r
∴ p→r
b. Правило выбора
p
p → (r ∨ s)
r→q
s→q
∴ q
c. Правило сведения к абсурду
∼ p → (r∧ ∼ r)
∴ p
Задача 2.5. Покажите, что следующее умозаключение не является правильным:
p→q
q→r
∴ r
Лекция 3
Множества и предикаты
3.1
Предикаты
Некоторые предложения, имеющие форму высказываний, не являются таковыми,
потому что содержат параметр, при одних значениях которого предложение может
быть истинным, а при других значениях — ложным. Такие параметры называются
переменными. Например, предложение „Студент является отличником.” При подстановке вместо слова „студент” конкретной фамилии это предложение становится
высказыванием, причем для одних фамилий истинным, а для других — ложным.
Параметры, содержащиеся в записи предикатов называются переменными.
Предикат принято обозначать прописной латинской буквой, за которой в скобках
через запятую перечисляются все переменные этого предиката. Следующие предложения, например
P (x) : 3 + x = 5;
Q(x, y) : x2 + y 2 0;
R(x, y, z) : x2 + y 2 z 2 ;
S(x) : −1 sin(x) 1,
являются предикатами. Предикат, содержащий одну переменную, называется одноместным предикатом, например P (x) : 3 + x = 5. Предикат, содержащий две переменных, называется двухместным предикатом, например Q(x, y) : x2 +y 2 0. Предикат, содержащий три переменных, называется трехместным предикатом, например
R(x, y, z) : x2 + y 2 z 2 . И т. д.
Например, при подстановке вместо x числа 2 предикат P (2) : 3 + 2 = 5 превращается в истинное высказывание, т. е. 2 удовлетворяет предикату P (x). А при
подстановке вместо x числа 7 предикат P (7) : 3 + 7 = 5 превращается в ложное
высказывание, т. е. 7 не удовлетворяет предикату P (x).
К предикатам естественным образом применяются изученные нами ранее логические операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и равносильность.
При связывании предикатов логическими связками получаются новые, более сложные предикаты, при этом местность предикатов может меняться.
Пример 7. Система уравнений
x + y = 5,
x − y = 1;
17
18
Лекция 3. Множества и предикаты
является конъюнкцией предикатов P (x, y) : x + y = 5 и Q(x, y) = x − y = 1, при этом
можно записать
P (x, y) ∧ Q(x, y) ↔ (x = 3) ∧ (y = 2).
3.2
Понятие множества и способы задания множеств
Понятие множества относится к неопределимым математическим понятиям. Множество — это набор произвольных мыслимых объектов, которые наш разум воспринимает как единое целое. Объекты, из которых состоит множество, называются его
элементами. Т. е. множество состоит из элементов. Множество считается заданным,
если для любого мыслимого объекта установлено является он элементом этого множества или нет. При этом про элемент говорят, что он принадлежит множеству или
не принадлежит. Отдельно определяется пустое множество ∅, которому не принадлежит ни один элемент.
Пример 8. Множество студентов Факультета A задано в виде списка фамилий. Тем
самым устанавливается, что множеству A принадлежат только перечисленные в
списке люди. Все остальные мыслимые объекты множеству A не принадлежат.
Таким образом, каждое множество определено, когда задано отношение принадлежности: для любого объекта x точно можно утверждать x ∈ A, либо x ∈
/ A.
Для любого объекта x можно точно утверждать, что x ∈
/ ∅.
Конечные множества можно задавать путем перечисления всех его объектов. Но
более продуктивным способом является задание множества путем указания характеристического свойства, которым обладают все его элементы:
X = {x : P (x)},
где P (x) — это предикат с переменной x, а запись означает, что x ∈ X ↔ P (x). Здесь
надо быть аккуратными, т. к. характеристическое свойство должно быть однозначно
понимаемым.
Пример 9. Множество всех решений неравенства x2 − 5x + 6 < 0 можно обозначить
A = {x : x2 − 5x + 6 < 0}. Нетрудно убедиться, что A = (2; 3). Числовые множества
часто задаются в виде промежутков на числовой прямой.
Пример 10. Множество студентов отличников можно обозначить
{студент : студент, сдавший в последнюю сессию все экзамены и зачеты на отлично}.
Как нетрудно заметить, не получится определить множество талантливых писателей
{писатель : писатель обладающий талантом},
поскольку каждый имеет собственное мнение по поводу таланта писателя. А также
множество клиентов цирюльника
{мужчина : мужчина, который сам себя не бреет},
3.3. Операции над множествами
19
поскольку свойство, с помощью которого мы пытаемся определить это множество,
выражено внутренне противоречивым предложением.
Бесконечные множества, количество элементов которых бесконечно, задаются
правилом по которому можно получить отношение принадлежности.
Пример 11. Множество натуральных чисел — N.
a. Число 1 ∈ N;
b. Если число n ∈ N, то и число n + 1 ∈ N.
Т. е. множество натуральных чисел порождается операцией прибавления единицы.
Такой способ построения множеств называется математической индукцией.
Определение. Говорят, что множество X является подмножеством множества Y ,
если для любого x ∈ X выполняется x ∈ Y , т. е. X ⊆ Y . При этом, может существовать (но необязательно) y ∈ Y , для которого выполняется y ∈ X. Если X ⊆ Y и
Y ⊆ X, то X = Y , при этом говорят: множество X совпадает с множеством Y .
Определение. Если множество A является подмножеством множества B, но точно
не совпадает с ним, то множество A называется собственным подмножеством множества B. В символической записи
((A ⊆ B)∧ ∼ (A = B)) → (A ⊂ B).
Пустое множество является собственным подмножеством любого непустого множества ∅ ⊂ A.
3.3
Операции над множествами
Обычно набор «мыслимых объектов» ограничивается некоторым множеством. Назовем его универсальным множеством E или универсом.
Определение. Пусть заданы множества A и B, тогда
a. Множество C = A ∩ B, состоящее из всех элементов x, для которых и x ∈ A, и
x ∈ B, называется пересечением множеств A и B.
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
b. Множество C = A ∪ B, состоящее из всех элементов x, для которых x ∈ A или
x ∈ B, называется объединением множеств A и B.
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
c. Множество C = A \ B, состоящее из всех элементов x, для которых x ∈ A, но
x∈
/ B, называется разностью множеств A и B.
A \ B = {x : x ∈ A∧ ∼ (x ∈ B)}
Лекция 3. Множества и предикаты
20
d. Ā = E \ A. Множество C = Ā, состоящее из всех элементов x, для которых и
x∈
/ A, называется дополнением множества A.
Ā = {x :∼ (x ∈ A)}
Пример 12. Вспомним некоторые числовые множества: Z = N ∪ {x : −x ∈ N} ∪ {0} —
p
множество целых чисел, Q = { : p ∈ Z ∧ q ∈ N} — множество рациональных чисел,
q
I — множество иррациональных чисел, R — множество действительных чисел.
Пример 13. Между числовыми множествами выполняются следующие соотношения
R = Q ∪ I;
I = R \ Q.
3.4
Диаграммы Венна. Свойства операций над множествами
E
A«B
AªB
B
A
A\B
_
A
Рис. 3.1. Диаграммы Венна
3.4. Диаграммы Венна. Свойства операций над множествами
21
Диаграммы Венна представляют собой удобный инструмент для доказательства
разнообразных тождеств теории множеств. Множества на диаграммах изображаются кругами внутри большого прямоугольника, который иллюстрирует универсальное
множество (в некоторых случаях, когда в этом нет необходимости, прямоугольник
не рисуют). Диаграммы на рис. 3.1 иллюстрируют определение операций над множествами.
Используя диаграммы Венна, можно показать справедливость некоторых тождеств теории множеств.
Теорема 3.1. Пусть A, B, C — произвольные множества, а E — универсальное
множество, тогда
а) Законы идемпотентности
A ∩ A = A;
A ∪ A = A.
б) Двойное дополнение
Ā¯ = A.
в) Законы де Моргана
A ∪ B = Ā ∩ B̄;
A ∩ B = Ā ∩ B̄.
г) Законы коммутативности
A ∩ B = B ∩ A;
A ∪ B = B ∪ A.
д) Законы ассоциативности
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C;
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
е) Законы дистрибутивности
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
ж)
A ∪ ∅ = A;
A ∩ E = A;
A ∪ Ā = E;
A ∩ Ā = ∅.
Лекция 3. Множества и предикаты
22
СЕМИНАР
Задача 3.1. Изобразите на диаграмме Венна следующие множества:
a. A ∩ B;
b. (A ∪ B) \ (A ∩ B);
c. A \ B̄;
d. A \ (A ∩ B).
Задача 3.2. С помощью диаграмм Венна докажите законы де Моргана.
3.5
Кванторы всеобщности и существования
Предложение вида „Для любого x ∈ U истинно S(x).” принято заменять символической записью
∀x∈U S(x),
где S(x) — это произвольный предикат. Символ ∀ называется квантором всеобщности, читается „для любого” или „для всех”.
Предложение вида „Существует хотя бы один x ∈ U, для которого истинно P (x).”
принято заменять символической записью
∃x∈U P (x),
где P (x) — произвольный предикат. Символ ∃ называется квантором существования,
читается „существует” или „существует хотя бы один”.
Применение квантора к предикату называется квантифицированием. Квантифицированный одноместный предикат превращается в высказывание. Например, если
P (x) : 3 + x = 5, то ∀x∈R P (x) является ложным высказыванием, а ∃x∈R P (x) — истинное высказывание. Однако, квантифицирование двухместного предиката приводит к
появлению нового предиката, но уже одноместного Q (y) : ∀x∈R Q(x, y). Поэтому для
того, чтобы получить высказывание из двухместного предиката, надо квантифицировать его дважды. Если Q(x, y) : x2 + y 2 0, то ∀x∈R ∀y∈R Q(x, y) является истинным
высказыванием.
Теорема 3.2. Для произвольных предикатов P (x), Q(x) справедливы следующие эквивалентности:
∼ ∀x∈U P (x) ≡ ∃x∈U ∼ P (x);
∼ ∃x∈U Q(x) ≡ ∀x∈U ∼ Q(x);
∀x∈U (P (x) ∧ Q(x)) ≡ ∀x∈U P (x) ∧ ∀x∈U Q(x);
∃x∈U (P (x) ∨ Q(x)) ≡ ∃x∈U P (x) ∨ ∃x∈U Q(x);
3.6. Диаграммы Эйлера
23
Пример 14. Если
p : „Все целые числа являются простыми.”
то
∼ p : „Некоторые целые числа не являются простыми.”
Если
q : „Некоторые люди любят есть репу.”
то
∼ q : „Все люди не любят есть репу.”
(а)
(б)
p
p
q
q
Рис. 3.2. Модельные диаграммы Эйлера
3.6
Диаграммы Эйлера
Для неформальной правильности умозаключений, включающих слова „все” и „некоторые”, можно пользоваться диаграммами Эйлера. На этих диаграммах высказыванию „все p есть q” соответствует рис. 3.2(а), а высказыванию „некоторые p есть q” —
рис. 3.2(б).
Правило проверки умозаключения с помощью диаграмм Эйлера. Для
проверки умозаключения необходимо попытаться построить такую диаграмму Эйлера, на которой посылки истинны, а заключение ложно. Если такое построение осуществимо, то умозаключение неправильно, в противном случае — умозаключение
правильно.
Пример 15. Рассмотрим умозаключение
Все студенты университета выдающиеся
Все выдающиеся люди — ученые
∴ Все студенты университета — ученые
Лекция 3. Множества и предикаты
24
В соответствии с посылками круг студентов университета СК находится внутри круга выдающихся людей
ВЛ, который находится внутри круга ученых У. В соответствии с правилом построения мы должны построить
круг СК так, чтобы он не находился целиком внутри
круга У. Что, очевидно, невозможно, поэтому заключение правильно.
ɋɄ
ȼɅ
ɍ
Пример 16. Рассмотрим умозаключение
Все поэты счастливы
Некоторые поэты ленивы
∴ Некоторые ленивые люди счастливы
ɅɅ
ɉ
ɋɅ
В соответствии с посылками круг поэтов П находится
внутри круга счастливых людей ВЛ, а кроме того круг
поэтов П пересекается с кругом ленивых людей ЛЛ. В
соответствии с правилом построения мы должны построить круг ЛЛ так, чтобы он не пересекался с кругом
СЛ. Что, очевидно, невозможно, поэтому заключение
правильно.
Пример 17. Рассмотрим умозаключение
Некоторые поэты неудачники
Некоторые атлеты неудачники
∴ Некоторые поэты являются атлетами
ɉ
Ⱥ
ɇ
В соответствии с посылками круг поэтов П пересекается
с кругом неудачников Н и круг атлетов А пересекается
с кругом неудачников Н. В соответствии с правилом построения мы должны построить круг П так, чтобы он не
пересекался с кругом А. Что, как показано на рисунке,
возможно, поэтому заключение неправильно.
Пример 18. Рассмотрим умозаключение
Все гении нелогичны
Некоторые политики нелогичны
∴ Некоторые политики гении
Ƚ
ɇɅ
ɉ
В соответствии с посылками круг гениев Г содержится
внутри круга нелогичных людей НЛ, а круг политиков
П пересекается с кругом нелогичных людей НЛ. В соответствии с правилом построения мы должны построить
круг П так, чтобы он не пересекался с кругом Г. Что,
как показано на рисунке, возможно, поэтому заключение неправильно.
3.7. СЕМИНАР
3.7
25
СЕМИНАР
Задача 3.3. Проверьте правильность умозаключений при помощи диаграмм Эйлера.
Все адвокаты богаты
Все богатые едят омаров
∴ Все адвокаты едят омаров
Некоторые гуси — мужчины
Некоторые мужчины играют в гольф
∴ Некоторые гуси играют в гольф
Задача 3.4. Проверьте правильность умозаключений при помощи диаграмм Эйлера.
Некоторые адвокаты богаты
Некоторые врачи богаты
∴ Некоторые врачи — адвокаты
Все мужчины любят мясо
Некоторые учителя — мужчины
∴ Некоторые учителя любят мясо
26
Лекция 3. Множества и предикаты
Лекция 4
Элементы комбинаторики. Понятие
вероятности
4.1
Мощность конечного множества
Определение. Пусть задано конечное множество A = {a1 , . . . , an }, тогда количество
объектов, принадлежащих множеству A, называется мощностью этого множества
или кардинальным числом.
cardA = n.
4.2
Упорядоченные наборы — кортежи
Определение. Упорядоченным набором длины k, или k-местным кортежем, называется объект вида (b1 , b2 , . . . , bk ), в котором b1 — первая компонента, b2 — вторая
компонента, . . . , bk — k-я компонента.
В отличие от множеств, перестановка компонент в упорядоченном наборе приводит к изменению этого набора. Иначе говоря, два упорядоченных набора, состоящие
из одинаковых компонент, но отличающиеся порядком следования компонент, являются разными.
Пример 19. Двухместный кортеж часто называют упорядоченной парой. Например, точки на координатной плоскости задаются упорядоченными парами координат (x, y), где x ∈ R, y ∈ R. Разумеется точки с координатами (1, 2) и (2, 1) являются
различными.
Трехместный кортеж часто называют упорядоченной тройкой. Например, точки в
координатном пространстве задаются упорядоченными тройками координат (x, y, z),
где x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R. Разумеется точки с координатами (1, 2, 3), (2, 1, 3) и (3, 2, 1)
являются различными.
Точно так же кортежи называют упорядоченными четверками, пятерками и т. д.
27
Лекция 4. Элементы комбинаторики. Понятие вероятности
28
4.3
Декартово произведение множеств
Определение. Пусть заданы два множества A и B. Тогда декартовым (прямым)
произведением множества A на множество B называется множество A × B = {(a, b) :
a ∈ A ∧ b ∈ B}, состоящее из всех возможных пар вида (a, b), где a ∈ A, а b ∈ B.
Необходимо заметить, что A × B = B × A.
Пример 20. Пусть A = {1, 2}, B = {3, 4}, тогда A × B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}, а
B × A = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)}.
Для сокращения записи упорядоченный набор ((a, b), c) записывают просто (a, b, c).
Поэтому легко определяется двойное, тройное и т. д. декартово произведение множеств.
Определение. Пусть заданы множества A, B, C, D, E и т. д. (причем некоторые из
них могут совпадать друг с другом), тогда
A × B × C = (A × B) × C; A × B × C × D = (A × B × C) × D;
A × B × C × D × E = (A × B × C × D) × E и т. д.
Пример 21. Декартово произведение R × R называется координатной плоскостью, а
R × R × R — координатным пространством.
4.4
4.4.1
Постулаты комбинаторики
Правило суммы
Пусть некий объект A может быть выбран m способами. После полностью выбранного объекта A можно выбрать некий объект B n способами. При этом одновременный
выбор объектов не допускается. Тогда выбор «A или B» можно осуществить m + n
способами.
Иными словами правило суммы можно сформулировать так: если заданы непересекающиеся множества A и B мощностью m и n соответственно, тогда мощность
множества A ∪ B равна m + n.
cardA = m ∧ cardB = n ∧ A ∩ B = ∅ =⇒ card(A ∪ B) = m + n.
4.4.2
Правило произведения
Пусть некий объект A может быть выбран m способами. После каждого выбора объекта A можно выбрать некий объект B n способами. При этом происходит одновременный выбор объектов. Тогда выбор «A и B» можно осуществить m · n способами.
Иными словами правило произведения можно сформулировать так: если заданы
множества A и B мощностью m и n соответственно, тогда мощность множества A×B
равна m · n.
cardA = m ∧ cardB = n =⇒ card(A × B) = m · n.
4.5. Понятие выборки
4.5
29
Понятие выборки
Будем рассматривать конечное множество из n элементов E = {a1 , . . . , an }. Выборкой
объема r из n элементов множества E называется произвольный набор элементов
ai1 , ai2 , . . . , air этого множества. Этот набор может быть неупорядоченным, т. е. две
выборки одинакового объема, состоящие из одинаковых элементов, всегда равны. А
может быть упорядоченным, т. е. две выборки, состоящие из одинаковых элементов,
могут отличаться порядком элементов в них. Выборку объема r из n будем называть
(n, r)-выборкой.
Пример 22. E = {1, 2, 3}. Выпишем все возможные подмножества этого множества:
∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}. Каждое из этих подмножеств является
выборкой.
Определение. Упорядоченная выборка объема r n из E = {a1 , a2 , . . . , an } называется (n, r)-перестановкой или перестановкой из n элементов по r. Всякая (n, r)перестановка является упорядоченным набором длины r (ai1 , ai2 , . . . , air ) ∈ E × .
. . × E.
r раз
Пример 23. E = {1, 2, 3}. Выпишем все перестановки из этого множества объема 2:
(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2).
Определение. Неупорядоченная выборка объема r n из E = {a1 , a2 , . . . , an } называется (n, r)-сочетанием или сочетанием из n элементов по r. Всякое (n, r)-сочетание
является подмножеством {ai1 , ai2 , . . . , air } ⊂ E множества E.
Пример 24. E = {1, 2, 3}. Выпишем все сочетания из этого множества объема 2:
{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.
4.6
Формула числа перестановок
Рассмотрим все возможные (n, r)-перестановки. 1-й элемент перестановки мы можем
выбрать n способами, тогда 2-й элемент перестановки мы можем выбрать только
n − 1 способами, т. к. 1-й элемент уже выбран. 3-й элемент перестановки мы можем
выбрать n − 2 способами, т. к. 1-й и 2-й элемент уже выбраны. Вообще, r-й элемент
перестановки можно выбрать n−r +1 способами, т. к. элементы с 1-го по (r −1)-й уже
выбраны. По правилу произведения число всех (n, r)-перестановок без повторений
равно:
Pnr = (n)r = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − r + 1).
(4.1)
Как видно в примере 23, число перестановок из трех по два равно 6. И формула (4.1)
дает P32 = 3 · 2 = 6.
Введя обозначение x! = 1 · 2 · . . . · x, преобразуем формулу (4.1):
Pnr = (n)r =
Заметим, что
n!
.
(n − r)!
(n)n = n! = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1.
(4.2)
Лекция 4. Элементы комбинаторики. Понятие вероятности
30
4.7
Формула числа сочетаний
Рассмотрим все возможные (n, r)-сочетания, r n. Каждому сочетанию соответствует r! перестановок из тех же элементов множества E. Поэтому число (n, r)-сочетаний
без повторений в r! раз меньше числа (n, r)-перестановок, т. е.:
n
(n)r
n!
r
=
Cn =
=
(4.3)
r
r!
r!(n − r)!
СЕМИНАР
Задача 4.1. Вычислите
a. P85;
8
;
b. P11
7
c. C12
;
5
.
d. C12
Задача 4.2. Дана колода карт из 32 листов. Четыре масти по 8 карт от 7-ки до туза.
Найти количество вариантов:
1) выбора двух карт в прикуп;
2) выбора двух тузов тузов в прикупе;
3) выбора 10 карт на одну руку;
4) выбора 10 карт так, чтобы пять из них были одной масти;
Задача 4.3. Сколько диагоналей существует в многоугольнике с n сторонами?
Задача 4.4. В зоомагазине продаются 5 черепах, 7 ящериц и 12 мышей. Сколькими
способами можно выбрать себе 2 черепахи, 3 ящерицы и 5 мышей?
Задача 4.5. Пусть бросают два игральных кубика (или один кубик 2 раза), тогда
сколько существует вариантов:
a. исходов такого броска?
b. выбросить на одной из граней 5?
c. выбросить «шеш-беш», т. е. 6-5?
d. выбросить в сумме 7?
4.8
Введение вероятности
Концепция вероятности базируется на понятии «эксперимент». Точное определение
понятия эксперимент довольно затруднительно, поскольку должно включать в себя
чрезвычайно много аспектов. Но главное, эксперимент обладает следующими необходимыми нам свойствами:
4.8. Введение вероятности
31
a. эксперимент дает более одного исхода;
b. эксперимент можно повторить при одних и тех же условиях требуемое число
раз;
c. исход однократного выполнения эксперимента заранее не известен;
d. множество всех возможных исходов задано до начала эксперимента.
Пример 25. В качестве примера рассмотрим подбрасывание монеты. Здесь есть некоторая натяжка в удовлетворении пункта b., но будем считать, что он выполняется.
Множество исходов S = {R, A}, где R — орел, A — решка.
Если эксперимент состоит в двукратном подбрасывании монеты, то множество
исходов: S = {(R, R), (R, A), (A, R), (A, A)}.
Определение. Пространством элементарных событий S называется множество всех
возможных исходов эксперимента, а сами исходы — элементарными событиями. Событием A называется любое подмножество пространства элементарных событий, т. е.
A ⊂ S, элементарные события, составляющие событие A — благоприятными исходами.
Таким образом, задавая пространство элементарных событий, производится перевод расплывчатых понятий «эксперимент» и «исход» на математический язык теории множеств. В каждый отдельный момент времени, решая какую-либо задачу, связанную с определением вероятности события, пространство элементарных событий
рассматривают, как универсальное множество.
Определение. Вероятность события A в эксперименте с пространством элементарных событий S равна отношению мощностей множеств A и S.
cardA
.
cardS
Если A = S, то событие A называется достоверным.
Иначе говоря, вероятность события A равна числу благоприятных исходов к общему числу исходов.
P (A) =
Как следует из этого определения, вероятности всех исходов (или, другими словами, элементарных событий) принимаются равными друг другу и равными 1/cardS.
Насколько это близко к истине зависит от нематематической природы эксперимента.
Пример 26. Рассмотрим бросание двух игральных костей. Каждое элементарное событие будем представлять в виде упорядоченной пары (m, n), где m — количество
очков на первом кубике, а n — количество очков на втором. Пространство элементарных событий
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), . . . , (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)},
cardS = 36.
Пусть событие A состоит в том, что сумма очков на обеих игральных костях равна 7, тогда A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}, cardA = 6. По определению
получается
cardA
6
1
P (A) =
=
= .
cardS
36
6
Лекция 4. Элементы комбинаторики. Понятие вероятности
32
Теорема 4.1. Пусть эксперимент описывается пространством элементарных событий S. Если A и B являются произвольными событиями, то
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Доказательство. Рассмотрим три попарно непересекающихся множества
(A \ B), (B \ A), (A ∩ B),
при этом имеет место
A = (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∧ B = (B \ A) ∪ (A ∩ B) ∧ A ∪ B = (A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩ B).
card((A \ B) ∪ (A ∩ B))
= (по правилу суммы)
cardS
card(A \ B) + card(A ∩ B)
=
= (по свойству обыкновенных дробей)
cardS
card(A \ B) card(A ∩ B)
+
= (по определению вероятности)
=
cardS
cardS
= P (A \ B) + P (A ∩ B).
P (A) = P ((A \ B) ∪ (A ∩ B)) =
Аналогично,
P (B) = P ((B \ A) ∪ (A ∩ B)) = P (B \ A) + P (A ∩ B)
и
P (A ∪ B) = P ((A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩ B)) = P (A \ B) + P (B \ A) + P (A ∪ B).
Из этих трех равенств следует, что
P (A) + P (B) = (P (A \ B) + P (A ∩ B)) + (P (B \ A) + P (A ∩ B)) =
= (P (A \ B) + P (B \ A) + P (A ∪ B)) + P (A ∩ B) = P (A ∪ B) + P (A ∩ B).
P (A) + P (B) = P (A ∪ B) + P (A ∩ B) =⇒ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Теорема доказана.
Следствие 1. Если A и B являются независимыми событиями, т. е. A ∩ B = ∅,
то
P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
СЕМИНАР
Задача 4.6. Случайным образом выбирается буква русского алфавита. Какова вероятность того, что эта буква является гласной.
4.8. Введение вероятности
33
Задача 4.7. В черном ящике находятся 12 красных, 8 синих, 6 белых и 10 желтых
шаров. Из ящика наугад вытягивается шар. Какова вероятность того, что вынут:
a. красный шар;
b. белый или желтый шар;
c. не белый шар;
d. шар, который не является ни синим, ни белым.
Задача 4.8. Из колоды в 32 карты: 7,8,9,10,В,Д,К,Т четырех мастей, случайным образом сдают две карты.
a. Найти вероятность того, что сданы два туза.
b. Найти вероятность того, что из 10 карт сдано 5 пик.
Задача 4.9. Случайным образом из стандартной колоды, содержащей 52 карты, вытягивается одна карта. Найти вероятность того, что вытянута:
a. валет, дама, король или туз;
b. пиковая карта;
c. дама или пиковая карта;
d. «картинка» или червовая карта.
Задача 4.10. Бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что
a. на обеих игральных костях выпадет одинаковое количество очков;
b. сумма выпавших очков будет четна.
34
Лекция 4. Элементы комбинаторики. Понятие вероятности
Лекция 5
Вероятность
5.1
Алгебра событий
Определение. Суммой или объединением нескольких событий A1 , A2 , . . . , An называется событие C, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий
A1 , A2 , . . . , An :
C = A1 + A2 + . . . + An .
Разностью событий A и B называется событие A−B, состоящее в том, что событие
A произошло, а событие B — нет.
Пример 27. Пусть, при бросании игрального кубика, события
A : выпало четное количество очков (т. е. 2, 4, 6).
B : выпало не менее 3 очков (т. е. 3, 4, 5 или 6).
Тогда событие A + B состоит в том, что не выпадает 1. Событие A − B состоит в
том, что выпадает 2. Событие B − A состоит в том, что выпадает либо 3, либо 5.
Определение. Произведением или пересечением (совмещением) событий A и B называется событие AB, состоящее в том, что произошли оба события одновременно.
Произведением или пересечением нескольких событий A1 , A2 , . . . , An называется
событие C, состоящее в том, что произошли все события A1 , A2 , . . . , An одновременно:
C = A1 A2 . . . An .
Пример 28. Пусть, при случайном извлечении одной карты из колоды игральных
карт, события
A : извлечена карта пиковой масти.
B : извлечена дама.
Тогда событие AB состоит в том, что извлечена дама пик.
Определение. Два произвольных события A и B называются несовместными, если
осуществление одного из них исключает осуществление другого.
A и B являются несовместными событиями ⇐⇒ AB = ∅.
35
Лекция 5. Вероятность
36
В противном случае, т. е. когда осуществление одного из этих событий НЕ исключает осуществление другого, события называются совместными (их можно совместить).
Пример 29. Пусть для каждого i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, при бросании игрального кубика,
события
Ai : выпало i очков.
Тогда события A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 будут несовместными и A1 A2 A3 A4 A5 A6 = ∅. Кроме того, эти события будут и попарно несовместны, и любая тройка, и любая четверка, и любая пятерка этих событий являются несовместными событиями.
Определение. Пусть A1 , A2 , . . . , An — некоторые события, причем:
1) любая пара из этих событий являются несовместными событиями;
2) Сумма этих событий является достоверным событием, т. е. A1 + A2 + . . . + An = S.
Тогда события называются полной группой несовместных событий.
Пример 30. События A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 из примера 29 образуют полную группу
несовместных событий.
Определение. Пусть A — это произвольное событие, тогда событие Ā, состоящее в
том, что событие A не произошло, называется противоположным событию A.
Противоположные события A, Ā образует полную группу несовместных событий.
Пример 31. Пусть, при подбрасывании обыкновенной монеты, событие A : выпал «орел».
Тогда событие Ā : выпала «решка».
5.2
Свойства вероятности
1. Каждому случайному событию A ставится в соответствие неотрицательное число
P (A), называемое вероятностью.
2. Вероятность достоверного события P (S) = 1.
3. Вероятность невозможного события P (∅) = 0.
4. ∀A⊂S P (A) = 1 − P (Ā) .
5. ∀A⊂S 0 P (A) 1 .
6. Если события A1 , A2 , . . . , An попарно несовместны, то
P (A1 + A2 + . . . + An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + . . . + P (An ).
7. Если события A1 , A2 , . . . , An образуют полную группу несовместных событий, то
P (A1 + A2 + . . . + An ) = 1.
5.3. Теоремы произведения и сложения
5.3
37
Теоремы произведения и сложения
Определение. Пусть A и B — произвольные случайные события, тогда число P (A|B) —
вероятность события A при условии, что уже произошло событие B, называется
условной вероятностью события A.
Пример 32. В урне находятся 5 белых и 7 черных шаров. Из урны наугад извлекают
один за другим два шара. Пусть события
A : первым извлечен белых шар.
B : вторым извлечен белых шар.
Тогда вероятность события P (A) = 5/12 т. к. всего возможных исходов 12, а благоприятных — 5. Условная вероятность события A P (B|A) = 4/11, т. к. после наступления события A осталось 11 возможных исходов (один шар уже вынут), из них
благоприятных — 4 (один белый шар уже вынут). Условная вероятность события A
P (B|Ā) = 5/11, т. к. после наступления события B осталось 11 возможных исходов,
из них благоприятных — 5 (белых шаров не вынимали).
Определение. Пусть A и B — произвольные случайные события, причем P (A|B) =
P (A), тогда события A называется независимым от B. Если событие A не зависит
от события B, и событие B не зависит от события A, то события A и B называются
независимыми.
Пример 33. Пусть, при двукратном бросании игрального кубика, заданы события
A : при первом броске выпало 2.
B : при втором броске выпало 2.
Тогда выполняются соотношения
P (A|B) =
1
= P (A),
6
P (B|A) =
1
= P (B).
6
Таким образом, события A и B в этом примере являются независимыми.
Теорема 5.1 (произведения). Вероятность произведения двух случайных событий равна произведению вероятности одного их них на условную вероятность другого при наступлении первого:
P (AB) = P (A)P (B|A) = P (B)P (A|B).
Следствие 1. Вероятность произведения двух независимых случайных событий
равна произведению вероятностей этих событий:
P (AB) = P (A)P (B).
Теорема 5.2 (сложения). Вероятность суммы двух случайных событий равна
сумме вероятностей каждого события без вероятности произведения этих событий:
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB).
Лекция 5. Вероятность
38
Пример 34. Два стрелка стреляют по мишени. Рассмотрим два события
A : первый стрелок попал в цель.
B : второй стрелок попал в цель.
Пусть вероятности событий заданы:
P (A) = 0,5;
P (B) = 0,7.
Сосчитаем вероятность того, что в цель попадет хотя бы один из двух стрелков. По
теореме сложения
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB).
В этой формуле неизвестна вероятность произведения наших событий. Т. к. события
A и B являются независимыми (мы считаем, что меткость стрелка не зависит от того,
поразил ли мишень его vis-á-vis), то по теореме произведения P (AB) = P (A)P (B).
Теперь окончательно получаем
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (A)P (B) = 0,5 + 0,7 − 0,5 · 0,7 = 1,2 − 0,35 = 0,85.
5.4
Формулы полной вероятности и Байеса
Пусть события H1 , H2 , . . . , Hn образуют полную группу несовместных событий. Тогда
вероятность случайного события A выражается через условные вероятности P (A|H1),
P (A|H2),. . . ,P (A|Hn ) по формуле
P (A) = P (H1 )P (A|H1) + P (H2 )P (A|H2) + . . . + P (Hn )P (A|Hn ),
(5.1)
которая называется формулой полной вероятности.
Пример 35. На трех станках изготовляют соответственно 25, 35 и 40% всех деталей, причем брак на каждом из станков составляет 15, 12 и 6%. Требуется найти
вероятность того, что взятая наугад деталь дефектна.
Обозначим события, состоящие в том, что взятая деталь изготовлена на первом
втором и третьем станке, H1 , H2 , H3 соответственно. Очевидно, что
P (H1 ) = 0,25, P (H2) = 0,35, P (H3 ) = 0,4,
причем каждое из этих событий является несовместным (невозможно изготовить одну деталь на нескольких станках одновременно) и P (H1 ) + P (H2) + P (H3) = 1, поэтому события H1 , H2 , H3 образуют полную группу несовместных событий. По условию
задачи, условные вероятности
P (A|H1) = 0,15, P (A|H2) = 0,12, P (A|H3 ) = 0,06.
Теперь мы можем вычислить вероятность нашего события по формуле полной вероятности:
P (A) = P (H1 )P (A|H1) + P (H2 )P (A|H2) + P (H3 )P (A|H3) =
= 0,25 · 0,15 + 0,35 · 0,12 + 0,4 · 0,06 = 0,0375 + 0,042 + 0,024 = 0,1035.
5.5. Схема Бернулли
39
Теперь предположим, что событие A наступило, тогда какова будет вероятность
того, что из полной группы несовместных событий H1 , H2 , . . . , Hn произошло именно
событие Hi , i ∈ {1, 2, . . . , n}?
P (Hi |A) =
P (Hi )P (A|Hi)
P (AHi)
=
. (5.2)
P (A)
P (H1 )P (A|H1) + P (H2 )P (A|H2) + . . . + P (Hn )P (A|Hn )
Формула (5.2) называется формулой Байеса.
Пример 36. Имеются три одинаковые коробки: в первой находятся 15 белых шаров,
во второй — 10 белых и 5 черных, в третьей — 15 черных. Из выбранной наугад
коробки извлекли наудачу белый шар. Какова вероятность того, что в этом случае
выбранная коробка была второй?
Обозначим событие, состоящее в том, что наугад выбрана коробка с номером i,
i ∈ {1, 2, 3}, Hi , событие „вынут белый шар” — A. Очевидно,
1
P (H1) = P (H2) = P (H3 ) = .
3
Мы уже научились вычислять вероятности
15
10
0
2
= 1, P (A|H2) =
= , P (A|H3) =
= 0.
15
15
3
15
Тогда искомую вероятность P (H2 |A) можно найти по формуле Байеса:
P (A|H1) =
P (H2|A) =
5.5
P (H2 )P (A|H2)
=
P (H1 )P (A|H1) + P (H2 )P (A|H2) + P (H3 )P (A|H3)
1 2
2
2
·
2
3 3
9
=
=
= 9 = = 0,4.
1 2 1
1
1 2
5
5
·1+ · + ·0
+ +0
3
3 3 3
3 9
9
Схема Бернулли
Пусть вероятность наступления некоторого случайного события A равна p. Тогда
рассмотрим n последовательных испытаний, в каждом из которых может наступить
событие A. Вероятность того, что в k n случаях событие A наступит, а в n − k
случаях — не наступит, неважно в каком порядке, Pn (k) вычисляется по формуле:
Pn (k) = Cnk pk (1 − p)n−k =
n!
pk (1 − p)n−k .
k!(n − k)!
(5.3)
Формула (5.3) называется формулой Бернулли.
Пример 37. Вероятность того, что расход электроэнергии в здании в течение одних
суток не превысит установленной нормы, составляет 0,85. Какова вероятность того,
что в следующие 25 суток расход не превысит норму в течение любых 20 суток?
Обозначим p = 0,85, n = 25, k = 20, тогда по формуле Бернулли получим искомую
вероятность:
20
· 0,8520 · (1 − 0,85)25−20 =
P25 (20) = C25
25!
· 0,8520 · 0,155 ≈ 0,156.
20! · 5!
Лекция 5. Вероятность
40
Пример 38. Среди поставляемых деталей содержится 20% брака. Какова вероятность
среди 4 наугад выбранных деталей обнаружить не менее двух бракованных; не более
двух бракованных?
Приняв p = 0,2, рассчитаем схему Бернулли.
P4 (0) =
4!
· 0,20 · 0,84 = 0,4096.
0! · 4!
4!
· 0,21 · 0,83 = 0,4096.
1! · 3!
4!
P4 (2) =
· 0,22 · 0,82 = 0,1536.
2! · 2!
4!
P4 (3) =
· 0,23 · 0,81 = 0,0256.
3! · 1!
4!
· 0,24 · 0,80 = 0,0016.
P4 (4) =
4! · 0!
Теперь, пользуясь теоремой сложения (события, состоящие в обнаружении 1, 2, 3, 4
и ни одной бракованной детали среди выбранных, являются несоместными), можно
найти искомые вероятности:
P4 (1) =
P (x 2) = P4 (2) + P4 (3) + P4 (4) = 0,1536 + 0,0256 + 0,0016 = 0,1808.
P (x 2) = P4 (0) + P4 (1) + P4 (2) = 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 = 0,9728.
СЕМИНАР
Задача 5.1. В партии из пяти автомобилей один имеет дефект. Какова вероятность
того, что вторая из покупаемых машин будет исправна, если известно, что первая
купленная машина была без дефекта?
Задача 5.2. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что на первом
выпало 5, если известно, что сумма равна 8?
Задача 5.3. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма на
кубиках равна 7, если известно, что сумма нечетна?
Задача 5.4. Допустим, что вероятность рождения девочки 0,49, а мальчика — 0,51.
Если в семье пятеро детей, то какова вероятность, что в ней 3 девочки? Какова
вероятность, что в семье не менее четырех мальчиков?
Задача 5.5. Если футбольная команда выигрывает с вероятностью 60%, то какова
вероятность того, что команда одержит победу в трех из последующих пяти игр?
Задача 5.6. Если монету подбрасывают семь раз, то какова вероятность выпадения
четырех «решек»?
Задача 5.7. Если игральный кубик бросают семь раз, то какова вероятность того,
что шестерка выпадет ровно два раза?
Лекция 6
Случайные величины.
Статистические выборки
6.1
Дискретная случайная величина
Случайной величиной называется числовой результат проведения опыта, который
заранее не известен.
Определение. Пусть задано множество числовых исходов опыта X = {x1 , x2 , . . . , xn },
где n ∈ N, а x1 , x2 , . . . , xn ∈ N. Исход x1 имеет вероятность p1 ; исход x2 имеет вероятность p2 ; . . . ; исход xn имеет вероятность pn . Тогда множество X с заданными
вероятностями {p1 , p2 , . . . , pn }, причем p1 + p2 + . . . + pn = 1, называется дискретной
случайной величиной. Соотношение, сопоставляющее каждому числовому исходу из
X его вероятность, называется законом распределения случайной величины. Закон
распределения дискретной случайной величины обычно задается рядом распределения:
x1
x2
...
xn
p1
p2
...
pn
Пример 39. Рассмотрим бросание обыкновенной монеты. Пусть при выпадении орла случайная величина принимает значение 1, а при выпадении решки — 0. Тогда
1
0
случайная величина задана следующим рядом:
1
1
2
2
Пример 40. Рассмотрим бросание игрального кубика. Пусть значение случайной величины равно количеству очков, выпавшем на кубике. Тогда случайная величина
задана следующим рядом:
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
6
6
6
6
6
6
Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан графически, для чего в прямоугольной декартовой системе координат строят точки
M1 (x1 , p1 ), M2 (x2 , p2 ), . . . , Mn (xn , pn ) и соединяют их отрезками прямых. Полученную
фигуру называют многоугольником распределения.
41
Лекция 6. Случайные величины. Статистические выборки
42
Пример 41. Пусть дискретная величина X имеет следующий закон распределения:
1
2
3
4
5
0,2
0,15
0,25
0,1
0,3
Тогда многоугольник распределения случайной величины X приведен на рисунке
6.1:
0,30
0,25
p
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0
1
2
x
3
4
5
Рис. 6.1. Закон распределения дискретной случайной величины
6.2
Непрерывная случайная величина
Непрерывная случайная величина может принимать любое значение из множества
действительных чисел R. Непрерывная случайная величина задается с помощью
плотности распределения вероятности f (x). Вероятность того, что значение непрерывной случайной величины при выполнении опыта попадает в числовой промежуток (a, b), где a, b ∈ R и a < b равна
b
P (a < X < b) =
f (x)dx.
a
Пример 42. Равномерно распределенная на промежутке (a, b) случайная величина
задается плотностью распределения вероятности:
⎧
0,
при x < a,
⎪
⎨
1
f (x) =
, при a < x < b, .
⎪
⎩ b−a
0,
при x > b,
6.3. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины
43
График функции плотности равномерного распределения приведен на рисунке 6.2.
f(x)
1/(b-a)
0
a
x
b
Рис. 6.2. Плотность распределения равномерно распределенной случайной величины.
Пример 43. Случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону, имеет плотность распределения
0,
при x < 0,
f (x) =
.
−λx
λe , при x 0
График этой функции плотности вероятности приведен на рисунке 6.3
Пример 44. Случайная величина, распределенная по нормальному закону, имеет
плотность распределения
−
1
f (x) = √ exp
σ 2π
(x − a)2
2σ 2 .
График этой функции плотности вероятности приведен на рисунке 6.4.
6.3
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется число, вычисляемое по формуле:
M(X) = x1 p1 + x2 p2 + . . . + xn pn .
(6.1)
Лекция 6. Случайные величины. Статистические выборки
f(x)
44
x
f(x)
Рис. 6.3. Плотность распределения случайной величины, распределенной экспоненциально.
.
x
Рис. 6.4. Плотность распределения случайной величины, распределенной нормально.
Определение. Дисперсией случайной величины X называется математическое ожи-
6.4. Генеральная совокупность, выборка, вариационный ряд
45
дание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
2
D(X) = M X − M(X) .
Дисперсию удобно вычислять по формуле
D(X) = M(X 2 ) − [M(X)]2 .
(6.2)
Средним квадратичным отклонением случайной величины называется арифметический квадратный корень из ее дисперсии:
σ = D(X).
Пример 45. Рассмотрим случайную величину из примера 40, связанную с бросанием
игрального кубика. Найдем ее математическое ожидание
M(X) = 1 ·
1
1
1
1
1
7
1
+2· +3· +4· +5· +6· = .
6
6
6
6
6
6
2
Для нахождения дисперсии этой случайной величины нам понадобиться случайная
величина X 2 :
1
4
9
16
25
36
1
1
1
1
1
1
6
6
6
6
6
6
2
Математическое ожидание случайной величины X равно
M(X 2 ) = 1 ·
1
1
1
1
1
91
1
+ 4 · + 9 · + 16 · + 25 · + 36 · = .
6
6
6
6
6
6
6
Теперь легко можно вычислить дисперсию случайной величины X:
2
7
182 − 147
35
91
91 49
2
2
−
−
=
= .
=
D(X) = M(X ) − [M(X)] =
6
2
6
4
12
12
Среднее квадратичное отклонение
σ=
6.4
D(X) =
35
≈ 1,708.
12
Генеральная совокупность, выборка, вариационный ряд
Цель математической статистики состоит в исследовании закономерностей, которым
подчиняются массовые случайные явления.
Определение. Генеральная совокупность — это множество всех объектов, по которым производится статистическое исследование. Каждый элемент генеральной совокупности обладает одним из заранее заданных признаков из множества X = {x1 , x2 , . . . , xn }.
46
Лекция 6. Случайные величины. Статистические выборки
Определение. Выборка — это множество случайно отобранных элементов генеральной совокупности. Объем выборки — это мощность выборки; иными словами, это
количество элементов в данной выборке. Выборка называется представительной (репрезентативной), если в этой выборке доля объектов с любым признаком равна (или
приблизительно равна) доле таких объектов в генеральной совокупности. Иными
словами, репрезентативная выборка достаточно хорошо представляет количественные соотношения генеральной совокупности.
Определение. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n,
при этом элементов с признаком x1 извлечено n1 , элементов с признаком x2 — n2 , . . . ,
элементов с признаком xk — nk , причем n1 + n2 + . . .+ nk = n. Наблюдаемые значения
x1 , x2 , . . . , xk называются вариантами. Последовательность всех вариант, записанных
в возрастающем порядке называется вариационным рядом. Числа n1 , n2 , . . . , nk , сумма которых n1 + n2 + . . . + nk = n равна объему выборки, называются частотами
соответствующих вариант. Числа w1 = n1 /n, w2 = n2 /n, . . . , wk = nk /n называются
относительными частотами соответствующих вариант. Мода вариационного ряда —
это варианта xm , частота (или относительная частота) которой больше частот предшествующей и следующей вариант, т. е. xm−1 < xm ∧ xm+1 < xm .
Статистическое распределение выборки — это соответствие между вариантами и
их частотами (или относительными частотами). Статистическое распределение выборки обычно записывается в виде таблицы, в первой строке которой указываются
значения вариант, а во второй — значения частот:
x1
x2
...
xk
n1
n2
...
nk
или
x1
x2
...
xk
w1
w2
...
wk
Графическим представлением вариационного ряда являются: полигон частот и
полигон относительных частот. Полигон частот — это ломанная в прямоугольной
декартовой системе координат, соединяющая точки (x1 , n1 ), (x2 , n2 ), . . . , (xk , nk ). Полигон относительных частот — это ломанная в прямоугольной декартовой системе
координат, соединяющая точки (x1 , w1 ), (x2 , w2 ), . . . , (xk , wk ).
Пример 46. Рассмотрим распределение 80 предприятий по числу работающих на них:
x, чел. 150 250 350 450 550 650 750
n, прд.
1
3
7
30
19
15
5
Рассчитаем относительные частоты данной выборки:
x, чел.
150
250
350
450
550
650
750
w, прд. 1/80 3/80 7/80 3/8 19/80 3/16 1/16
На рисунках 6.5 (а,б) приведены полигоны частот и относительных частот данной
выборки. Очевидно, у данного вариационного ряда есть только одна мода — 450.
6.5. Характеристики вариационного ряда
n
(ɚ)
30
47
0,40
n
(ɛ)
0,35
25
0,30
20
0,25
15
0,20
0,15
10
0,10
5
x
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0,05
0,00
0
100
200
300
400
500
600
700
800
x
Рис. 6.5. (а) — полигон частот; (б) — полигон относительных частот
6.5
Характеристики вариационного ряда
Рассмотрим произвольную выбору объема n, заданную своим статистическим распределением:
x1
x2
...
xk
n1
n2
...
nk
w1
w2
...
wk
Выборочной средней называется число
x1 n1 + x2 n2 + . . . + xk nk
= x1 w1 + x2 w2 + . . . + xk wk .
n
Выборочной дисперсией называется число
x̄ =
(x1 − x̄)2 n1 + (x2 − x̄)2 n2 + . . . + (xk − x̄)2 nk
.
n
Дисперсию можно вычислять и через относительные частоты
D(x) =
D(x) = (x1 − x̄)2 w1 + (x2 − x̄)2 w2 + . . . + (xk − x̄)2 wk .
Средним квадратическим отклонением называется число σ = D(x).
Пример 47. Рассмотрим статистическую выборку из примера 46.
x̄ =
40800
150 + 250 · 3 + 350 · 7 + 450 · 30 + 550 · 19 + 650 · 15 + 750 · 5
=
= 510.
80
80
(150 − 510)2 + (250 − 510)2 · 3 + (350 − 510)2 · 7 + (450 − 510)2 · 30
+
80
(550 − 510)2 · 19 + (650 − 510)2 · 15 + (750 − 510)2 · 5
=
+
80
1232000
3602 + 2602 · 3 + 1602 · 7 + 602 · 30 + 402 · 19 + 1402 · 15 + 2402 · 5
=
= 15400.
=
80
80
√
σ = D(x) = 15400 ≈ 124,1.
D(x) =
48
Лекция 6. Случайные величины. Статистические выборки
СЕМИНАР
Задача 6.1. Для случайной величины, которая с вероятностями 1/2 принимает значения −1 и 1, вычислить математическое ожидание и дисперсию.
Задача 6.2. Для случайной величины, равной количеству выпадающих на двух игральных кубиках очков, построить закон распределения. Вычислить математическое
ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Задача 6.3. Проводились опыты с бросанием одновременно 12 игральных кубиков.
Наблюдаемая величина x равно число кубиков, на которых выпало 4, 5 или 6 очков.
Данные n = 4096 опытов приведены в следующей таблице:
x 0 1 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
nx 0 7 60 198 430 731 948 847 536 257 71 11 0
Найти моду выборки, выборочное среднее, выборочную дисперсию, построить
полигоны частот и относительных частот.
Задача 6.4. Проводились опыты с бросанием одновременно 12 игральных кубиков.
Наблюдаемая величина x равно число кубиков, на которых выпало 6 очков. Данные
n = 4096 опытов приведены в следующей таблице:
x
0
1
2
3
4
5
6 7
nx 447 1145 1181 796 380 115 24
8
Найти моду выборки, выборочное среднее, выборочную дисперсию, построить
полигоны частот и относительных частот.
Задача 6.5. Наблюдались показания 500 наугад выбранных часов, выставленных в
витринах. Пусть i — это номер промежутка от i-го часа до (i + 1)-го, а ni — это число часов, показания которых находятся в i-ом промежутке. Результаты наблюдении
занесены в следующую таблицу:
i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ni 41 34 54 39 49 45 41 33 37 41 47 39
Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, построить полигоны частот
и относительных частот.
Задача 6.6. При проведении n = 2608 опытов по наблюдению α-частиц, излучаемых
радиоактивным веществом за определенный период времени (7,5 с), значение случайной величины x равно числу излученных частиц. Получены следующие данные:
x 0
1
2
3
4
5
6
7
8 9 10 11 12
nx 57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 10 4
2
Найти моду выборки, выборочное среднее, выборочную дисперсию, построить
полигоны частот и относительных частот.
Задание
1 ВАРИАНТ
a. Пусть введены следующие обозначения:
p : „Путешествие на Марс дорогостояще.”
q : „Я совершу путешествие на Марс.”
r : „У меня есть достаточно денег.”
Запишите в символической форме такие высказывания: ”У меня нет денег, и я
не совершу путешествие на Марс.” ”У меня нет денег, и путешествие на Марс
дорогостояще, или я совершу путешествие на Марс.”
b. Постойте таблицу истинности логической формулы
((p → q) ∨ r) → (∼ p∨ ∼ q).
c. Изобразите на диаграмме Венна множество A \ (A ∩ B).
d. Сколько диагоналей существует в многоугольнике с n сторонами?
e. Если игральный кубик бросают семь раз, то какова вероятность того, что шестерка выпадет ровно два раза?
2 ВАРИАНТ
a. Пусть введены следующие обозначения:
p : „Путешествие на Марс дорогостояще.”
q : „Я совершу путешествие на Марс.”
r : „У меня есть достаточно денег.”
Запишите в символической форме такие высказывания: ”Неверно, что у меня
достаточно денег и я полечу на Марс.” ”Путешествие на Марс не является дорогостоящим и я полечу на Марс, или путешествие на Марс дорогостояще и я
не полечу на Марс.”
b. Постойте таблицу истинности логической формулы
q → (p ∧ r) ↔ ((q → p) ∧ (q → r)).
49
50
Лекция 6. Случайные величины. Статистические выборки
c. Изобразите на диаграмме Венна множество A \ B̄.
d. В зоомагазине продаются 5 черепах, 7 ящериц и 12 мышей. Сколькими способами можно выбрать себе 2 черепахи, 3 ящерицы и 5 мышей?
e. Если монету подбрасывают семь раз, то какова вероятность выпадения четырех
«решек»?
3 ВАРИАНТ
a. Пусть введены следующие обозначения:
p : „Мой компьютер — быстродействующий.”
q : „Я завершу проект вовремя.”
r : „Я сдам экзамен.”
Запишите в символической форме такие высказывания: ”У меня небыстродействующий компьютер, или я завершу проект вовремя.” ”Я не завершу проект
вовремя и не сдам экзамен.”
b. Постойте таблицу истинности логической формулы
p → (q → r).
c. Изобразите на диаграмме Венна множество (A ∪ B) \ (A ∩ B).
d. В черном ящике находятся 12 красных, 8 синих, 6 белых и 10 желтых шаров.
Из ящика наугад вытягивается шар. Какова вероятность того, что вынут:
а) красный шар; б) шар, который не является ни синим, ни белым.
4 ВАРИАНТ
a. Пусть введены следующие обозначения:
p : „Мой компьютер — быстродействующий.”
q : „Я завершу проект вовремя.”
r : „Я сдам экзамен.”
Запишите в символической форме такие высказывания: ”Неверно, что я завершу проект вовремя и сдам экзамен.” ”У меня быстродействующий компьютер,
или я не завершу проект вовремя и сдам экзамен.”
b. Постойте таблицу истинности логической формулы
(p → q) → r.
c. Изобразите на диаграмме Венна множество A ∩ B.
d. В черном ящике находятся 12 красных, 8 синих, 6 белых и 10 желтых шаров.
Из ящика наугад вытягивается шар. Какова вероятность того, что вынут:
а) белый или желтый шар; б) не белый шар.
Список литературы
1. Дж. А. Андерсон Дискретная математика и комбинаторика: пер. с англ. —
М.: Издательский дом “Вильямс”, 2004. — 960 с.
2. С. В. Павлов Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. — М.: РИОР, 2006. — 186 с.
3. Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведев, А. В. Чистяков Сборник задач по математической статистике: Учеб. пособие для втузов. — М.: Высш. шк., 1989. — 255 с.:
ил.
51