Общественные блага

Факультет мировой экономики
и мировой политики НИУ ВШЭ,
2011-2012
Ю.В. Автономов
Общественные блага - 2
¾Добровольное финансирование общественного
блага
¾Равновесие по Нэшу при добровольном финансировании
ОБ в квазилинейной экономике
¾Аналитический пример нахождения равновесия
¾Парето-оптимальный объем общественного блага:
уравнение Самуэльсона, его смысл и варианты
¾Графическая иллюстрация
¾Пример аналитического вывода уравнения Самуэльсона
Модель с добровольным финансированием
общественного блага: предпосылки
•
N потребителей, i = 1…N
•
каждый потребитель i распределяет свой доход Ii между xi
(потреблением частных благ), измеряемым в деньгах, и pGgi –
расходами на финансирование общественного блага, которое стоит
pG за единицу.
Æ уравнение бюджетной линии: xi + pGgi = Ii
•
предпочтения каждого потребителя представимы функцией
полезности Ui(xi, G) = xi + vi(G), где G = g1 + … + gN
•
NB: ради удобства, мы рассматриваем квазилинейную экономику
•
Решения о пожертвованиях принимаются всеми потребителями
одновременно: то есть, каждый потребитель, решая, сколько ему
пожертвовать на финансирование общественного блага, принимает
размер пожертвований других как заданный
Равновесие по Нэшу в модели с добровольным
финансированием общественного блага
Равновесие в модели с добровольным финансированием ОБ
представляет собой равновесие по Нэшу в одновременной
игре, где:
• Игроки = потребители
(i = 1…N)
• Стратегии = количество ОБ, которое оплачивают
потребители
(g1, g2 …gN)
• Платежи = значения функций полезности потребителей
(U1(x1, G)…UN(xN,G))
Добровольное финансирование
общественного блага: поиск равновесия
Рассмотрим задачу потребителя i. Ради удобства,
обозначим количество ОБ, финансируемое
всеми остальными потребителями,
кроме i-того, как g-i:
max I i − pG g i + v( g i + g −i )
g i ≥0
⎧⎪ max xi + v( g i + g −i )
xi , g i ≥ 0
⎨
⎪⎩ xi + pG g i = I i
Å Удобно перейти к задаче
безусловной максимизации
Условия первого порядка. ВАЖНО помнить об угловых решениях!
⎧ pG = v' ( g i + g −i ), g i > 0
⎨
⎩ pG ≤ v' ( g −i ), g i = 0
g i = BRi ( g −i , pG )
Это – функция реакции потребителя i
Добровольное финансирование общественного
блага: поиск равновесия - 2
Решив задачу каждого из N потребителей,
мы получили систему из N функций
реакции. Каждая из этих функций
показывает, какой размер пожертвования
на финансирование ОБ (при
фиксированных пожертвованиях
остальных) максимизирует его
полезность.
⎧ g1 = BR1 ( g −1 , pG )
⎪
⎨...
⎪ g = BR ( g , p )
N
−N
G
⎩ N
(g1 * ( pG ),..., g N * ( pG ) )
Решив систему, мы найдем равновесные объемы пожертвований каждого
потребителя.
Равновесие в модели с добровольным
финансированием ОБ: аналитический пример
Давайте рассмотрим тот же пример, графический анализ которого мы
представили на прошлой лекции:
- два потребителя – A и B
- максимальная готовность платить за общественное благо
(обратные функции спроса):
pA(G) = 10 – 2G
pB(G) = 5 – G/2
Чтобы найти равновесие с добровольным финансированием
аналитически, нам нужно реконструировать их функции полезности…
Реконструкция квазилинейных функций
полезности из функций спроса
По предпосылкам нашей модели, функции полезности
должны иметь вид Ui(xi, G) = xi + vi(G), где G = gA +gB
В таком случае, предельная готовность платить за ОБ (предельная
частная выгода) должна быть равна предельной полезности ОБ:
v’A(G) = pA(G) = 10 – 2G
v’B(G) = pB(G) = 5 – G/2
Отсюда, проинтегрировав v’A(G) и v’B(G), легко найти vA(G) и vB(G), а
затем (с точностью до константы) и сами функции полезности:
vA(G) = 10G – G2
vB(G) = 5G – G2/4
Æ
Æ
UA(xA,G) = xA + 10G – G2
UB(xB,G) = xB + 5G – G2/4
Поиск равновесия:
Задача потребителя B:
Задача потребителя А:
⎧ max x A + 10G − G
⎪ x A , g A ≥0
⎪
⎨ x A + pG g A = I A
⎪g + g = G
B
⎪⎩ A
→ max I A − pG g A + 10( g A + g B ) − ( g A + g B ) 2
2
g A ≥0
⎧− pG + 10 − 2( g A + g B ) = 0,
⎨
⎩− pG + 10 − 2 g B ≤ 0,
gA > 0
gA = 0
Функция реакции потребителя А:
⎧⎪5 − pG − g , g < 5 − pG
B
B
2
2
gA = ⎨
⎪⎩0, иначе
⎧ max x + 5G − G 2
4
⎪ xB , g B ≥ 0 B
⎪
⎨ xB + pG g B = I B
⎪g + g = G
B
⎪ A
⎩
( g A + g B )2
→ max I B − pG g B + 5( g A + g B ) −
g B ≥0
4
g A + gB
⎧
p
−
+
5
−
= 0,
⎪⎪ G
2
⎨
⎪− p + 5 − g A ≤ 0,
⎪⎩ G
2
gB > 0
gB = 0
Функция реакции потребителя B:
⎧10 − 2 pG − g A , g A < 10 − 2 pG
gB = ⎨
⎩0, иначе
Равновесие при добровольном финансировании
Итак, мы получили функции реакции. Теперь нас интересует, при
каких условиях они будут безбилетничать?
⎧⎪5 − pG − g , g < 5 − pG
B
B
2
2
gA = ⎨
⎪⎩0, иначе
⎧10 − 2 pG − g A , g A < 10 − 2 pG
gB = ⎨
⎩0, иначе
Случай 1: За ОБ не платит никто.
Подставив gA = gB=0 в функции реакции, получим, что такое возможно при
pG ≥ 10
Случай 2: За ОБ платит только потребитель А.
При gA > 0, gB = 0 из функций реакции вытекает, что 10 > pG ≥ 3,(3)
Случай 3: За ОБ платит только потребитель B.
При gA = 0, gB > 0 из функций реакции вытекает, что pG < 3,(3)
Какой из трех типов равновесий реализуется? Это зависит от параметра
pG - или любой иной связи между объемом ОБ и его ценой, которая может
диктоваться технологией, функцией предложения ОБ, и т.п.
«Рыночный спрос» на общественное благо при
добровольном финансировании
Теперь эта кривая уже не вызывает у нас
сомнений – ведь мы аналитически вывели ее!
Парето-оптимальный объем общественного блага:
уравнение Самуэльсона
Общественно оптимальный объем
производства ОБ определяется
равенством MSB(G) = MSC(G).
Расшифруем это подробнее:
MSB (G ) =
= ∑ MPBi (G ) =
i
= ∑ pi (G ) =
i
= ∑ MRSGi $ (G ) =
i
= MSC (G )
Или, коротко:
∑
i
MRSGi $ (G ) =MC (G )
(В нашем случае,
MSC = MC)
Уравнение Самуэльсона: смысл и варианты
Это условие характеризует общественно-оптимальный объем
производства общественного блага.
i
MRS
∑ G $ (G ) =MC (G )
i
Применительно к разным постановкам задачи, это уравнение
может принимать разные формы, например:
∑
i
MRSGX
(G ) = pG (G )
∑
i
MRSGX
(G ) =MRTGX (G )
i
i
Независимо от формулировки, мы всегда сравниваем сумму предельных
частных выгод от потребления общественного блага с предельными
издержками его производства, покупки, и т.д….
Уравнение Самуэльсона: аналитический вывод
До сих пор, рассказывая об уравнении Самуэльсона, мы опирались
на графики, экономическую интуицию и аналогии. Однако, как и в
случае с равновесием при добровольном финансировании ОБ,
окончательную уверенность нам придаст аналитический вывод
этого условия.
Мы получим его для частного случая, рассмотрев задачу на поиск
Парето-оптимального распределения в следующей экономике:
•
2 потребителя: A и B
•
2 блага: X (частное) и G (общественное)
•
функции полезности: uA(xA,G), uB(xB,G) – дифференцируемые до
2 порядка, возрастающие и вогнутые по обеим переменным
•
Благо G производится по технологии c функцией издержек c(G) –
выпуклая, дифференцируемая до 2 порядка
•
первоначальная наделенность благом G = 0; первоначальная
наделенность благом X: wA, wB
Задача на поиск Парето-оптимальных
распределений в рассматриваемой экономике:
⎧ max u A ( x A , G )
⎪⎪ x A , xB ,G ≥0
⎨u B ( xB , G ) ≥ u B
⎪ x + x + c(G ) ≤ w + w
A
B
⎪⎩ A B
(Последнее условие означает, что общих
запасов частного блага (денег) должно
хватить и на производство общественного
блага, и на частное потребление)
Далее, мы применим метод Лагранжа
(знак «-» перед множителями, вычитаем из меньшего большее):
L = u A ( x A , G ) − λ ( u B − u B ( x B , G )) − μ ( x A + x B + c ( G ) − w A − w B )
Теперь рассмотрим систему условий первого порядка. Ввиду монотонного
возрастания uA(.), uB(.) и с(.) по всем аргументам, все условия первого
порядка будут выполняться как равенства, то есть, достаточно просто
приравнять производные лагранжиана по xA, xB, G, λ и μ к нулю.
⎧ ∂L ∂u A ( x A , G )
Перепишем эту систему в более
−μ =0
⎪ ∂x =
∂x A
компактных обозначениях:
⎪ A
∂u B ( xB , G )
⎪ ∂L
−μ =0
⎪ ∂x = λ
∂xB
⎪ B
⎪ ∂L ∂u A ( x A , G )
∂u B ( xB , G )
dc(G )
=
+λ
−μ
=0
⎨
∂G
∂G
dG
⎪ ∂G
⎪ ∂L
⎪ ∂λ = u B ( xB , G ) − u B = 0
⎪
⎪ ∂L = w + w − x − x − c(G ) = 0
A
B
A
B
⎪ ∂μ
⎩
⎧MU XA = μ
⎪
B
λ
MU
⎪
X = μ
⎪
A
B
λ
MU
+
MU
⎨
G
G = μMC (G )
⎪u ( x , G ) = u
B
⎪ B B
⎪wA + wB = x A + xB + c(G )
⎩
⎧MU XA = μ
⎪
B
λ
MU
⎪
X = μ
⎪
A
B
λ
MU
+
MU
⎨
G
G = μMC (G )
⎪u ( x , G ) = u
B
⎪ B B
⎪wA + wB = x A + xB + c(G )
⎩
Разделив первое уравнение на
MUXA, получим систему,
характеризующую внутренние
П.О. –распределения.
A
B
⎧ MRSGX
+ MRSGX
= MC (G )
⎪⎪
⎨uB ( x B , G ) = uB
⎪ w + w = x + x + c (G )
B
A
B
⎪⎩ A
Выразим λ и μ из первых двух
уравнений системы, и подставим в
третье:
A
⎧
MU
A
B
A
X
MU
+
MU
=
MU
G
G
X * MC (G )
⎪
B
MU X
⎪⎪
⎨u B ( xB , G ) = u B
⎪w + w = x + x + c(G )
B
A
B
⎪ A
⎪⎩
⎧ MU GA MU GB
+
= MC (G )
⎪
A
B
⎪⎪ MU X MU X
⎨u B ( xB , G ) = u B
⎪w + w = x + x + c(G )
B
A
B
⎪ A
⎪⎩