Статистическое исследование одного алгоритма глобальной
реклама
ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÎÄÍÎÃÎ ÀËÃÎÐÈÒÌÀ ÃËÎÁÀËÜÍÎÉ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ1 Àáàêàðîâ À.Ø.2 , Ñóøêîâ Þ.À.3 Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò ã. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã Àííîòàöèÿ  ðàáîòå ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû è àíàëèç ñòàòèñòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ îäíîãî ñïîñîáà îðãàíèçàöèè ñëó÷àéíîãî ïîèñêà íà ðàçëè÷íûõ êëàññàõ òåñòîâûõ ôóíêöèé è äàþòñÿ ðåêîìåíäàöèè ïî åãî èñïîëüçîâàíèþ íà ïðàêòèêå. Ââåäåíèå Ãëîáàëüíàÿ îïòèìèçàöèÿ ÷àñòî âñòðå÷àþùàÿñÿ íà ïðàêòèêå çàäà÷à. Îòñþäà î÷åíü áîëüøàÿ çíà÷èìîñòü âñåõ ðàçðàáàòûâàåìûõ ìåòîäîâ ãëîáàëüíîé îïòèìèçàöèè. Îäíèì èç èçâåñòíûõ ìåòîäîâ òàêîé îïòèìèçàöèè ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûé ïîèñê. Ïðè÷èíû: ïðîñòîòà àëãîðèòìà, à îòñþäà è ëåãêîðåàëèçóåìîñòü íà ÝÂÌ, ìàëî÷óâñòâèòåëüíîñòü ê íåðåãóëÿðíîñòÿì ïîâåäåíèÿ öåëåâîé ôóíêöèè, à òàêæå âîçìîæíîñòü ê ðàçëè÷íûì ìîäèôèêàöèÿì èñõîäíîãî àëãîðèòìà ñ öåëüþ óëó÷øåíèÿ åãî ñõîäèìîñòè. Ðàññìàòðèâàåìûé â ýòîé ðàáîòå ñëó÷àéíûé ïîèñê [1,2] ïðèíàäëåæèò ê ñåìåéñòâó àäàïòèâíûõ ìåòîäîâ è õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî â ïðîöåññå ðàáîòû íàêàïëèâàåò èíôîðìàöèþ î öåëåâîé ôóíêöèè è èñïîëüçóåò åå äëÿ óâåëè÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè ñõîäèìîñòè ê îïòèìóìó. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñòàòèñòè÷åñêîãî òåñòèðîâàíèÿ íà ìíîæåñòâå êëàññîâ ôóíêöèé äàëè ïîâîä ê ðàçðàáîòêå ïðîãðàììíîãî êîìïëåêñà ñòîõàñòè÷åñêîé ãëîáàëüíîé îïòèìèçàöèè "OPTIMUM" [3], ïîçâîëÿþùåãî ïîëüçîâàòåëþ ðåøàòü ðàçëè÷íûå çàäà÷è îïòèìèçàöèè â äèàëîãîâîì ðåæèìå. Îïèñàíèå ñëó÷àéíîãî ïîèñêà (ÑÏ) Ïóñòü òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü òàêîé âåêòîð x∗ = hx∗1 , x∗2 , . . . , x∗n i, ãäå 0 ≤ xi ≤ 1; i ∈ 1 : n, ïðè êîòîðûõ ôóíêöèÿ öåëè Φ(x∗ ) ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äîïîëíèòåëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà ïåðåìåííûå x1 , . . . , xn ó÷òåíû ïðè ïîñòðîåíèè öåëåâîé ôóíêöèè (íàïðèìåð, ïðè ïîìîùè øòðàôíûõ ôóíêöèé). Çàïèøåì ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó â îáùåì âèäå: Φ(x) → min, x∈X (1) ãäå x = hx1 , x2 , . . . , xn i ∈ [0, 1]n .  îáùåì âèäå ïðîöåññ ñëó÷àéíîãî ïîèñêà ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âåñü ïîèñê ðàçáèâàåòñÿ íà çàäàâàåìîå ïîëüçîâàòåëåì ÷èñëî øàãîâ nstep. Íà êàæäîì øàãå ïî îïðåäåëåííîìó çàêîíó ñëó÷àéíûì îáðàçîì âûáèðàþòñÿ çíà÷åíèÿ âåêòîðà 1 Ðàáîòà âûïîëíÿëàñü ïðè ïîääåðæêå ãðàíòà MO N E02-2.0-28. 2 [email protected]. 3 [email protected]. 1 ïàðàìåòðîâ xj (j íîìåð øàãà), è ïîäñ÷èòûâàåòñÿ çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè Φj = Φ(xj ), i ∈ 1 : n. Äàëåå ïî ôîðìóëå j−1 } Φjmin = min{Φj , Φmin (2) îïðåäåëÿåòñÿ íàèìåíüøåå çíà÷åíèå, ïîëó÷åííîå çà j øàãîâ ïðîöåññà ïîèñêà. Ïîñëå êàæäîãî ðàñ÷åòà ïî ôîðìóëå (2) çàêîí, ïî êîòîðîìó âûáèðàþòñÿ çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ xi , èçìåíÿåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ²-îêðåñòíîñòü ãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà, çàäàâàåìóþ ïîëüçîâàòåëåì èñõîäÿ èç òðåáóåìîé òî÷íîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è, óâåëè÷èëàñü áû. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåòñÿ èíôîðìàöèÿ, ïîëó÷åííàÿ íà ïðåäûäóùèõ øàãàõ ïîèñêà. Òàêîâà îáùàÿ ñõåìà ïîèñêà, ïîïàäàþùàÿ ïîä áàçîâûå ñõåìû, òàê íàçûâàåìûõ, ìàðêîâñêèõ àëãîðèòìîâ ãëîáàëüíîãî ñëó÷àéíîãî ïîèñêà, â êîòîðûõ ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé äëÿ çíà÷åíèé âåêòîðà xj+1 çàâèñèò îò xj è Φj . Ïóñòü Iij ⊂ [0, 1] ïåðñïåêòèâíûé èíòåðâàë äëÿ xi , i ∈ 1 : n, íà øàãå j , òàêîé, ÷òî ïî ïîëó÷åííûì íà ïðåäûäóùèõ øàãàõ äàííûì íàëè÷èå îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ x∗i âíóòðè Iij ïî íàøèì ïðåäñòàâëåíèÿì íàèáîëåå âåðîÿòíî. È ïóñòü I j îáîçíà÷àåò äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå èíòåðâàëîâ Iij , i ∈ 1 : n. Øèðèíà èíòåðâàëà Iij îäèíàêîâà äëÿ âñåõ i ∈ 1 : n, çàâèñèò îò íîìåðà øàãà è ðàâíà 2qj . Êîîðäèíàòà åãî öåíòðà èçìåíÿåòñÿ ïîñëå êàæäîãî øàãà, ïðèâåäøåãî ê óìåíüøåíèþ ôóíêöèè öåëè, è íà j îì øàãå ðàâíà x0ji = max{qj , min{xji , 1 − qj }}, i ∈ 1 : n. (3) Ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé, ñ êîòîðûì ìîäåëèðóþòñÿ çíà÷åíèÿ âåêòîðà x ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíûì êàê âíóòðè I j , òàê è âíå åãî. Òàêîå ðàñïðåäåëåíèå, âî-ïåðâûõ, ëåãêî ìîäåëèðîâàòü, à âî-âòîðûõ, ñ óâåëè÷åíèåì íîìåðà øàãà äîñòàòî÷íî ïðîñòî ìîæíî óìåíüøàòü åãî äèñïåðñèþ. Ïóñòü pj âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çíà÷åíèÿ âåêòîðà x íà j -îì øàãå ïîèñêà áóäóò ïðèíàäëåæàòü I j . Òîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíû: Hj = pj /sj è hj = (1 − pj )/(1 − sj ), (4) ãäå sj = (2qj )n n-ìåðíàÿ ïëîùàäü ïåðñïåêòèâíîé îáëàñòè I j íà j -îì øàãå (ðèñ. 1). Íà ïåðâîì øàãå ÑÏ, êîãäà ó íàñ íåò íèêàêîé èíôîðìàöèè î ïîëîæåíèè ìèíèìóìà, ëîãè÷íî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïåðñïåêòèâíûé èíòåðâàë Ii1 ðàâåí [0, 1] (ïîèñê âåäåòñÿ âî âñåì èíòåðâàëå èçìåíåíèÿ xi ), îòñþäà p1 = 1 è q1 = 1/2. (5)  ïðîöåññå ïîèñêà ïðîèñõîäèò íàêîïëåíèå èíôîðìàöèè î õàðàêòåðå ïîâåäåíèÿ ôóíêöèè öåëè, ïîýòîìó øèðèíó èíòåðâàëà Iij ëîãè÷íî ñ êàæäûì øàãîì ñóæàòü, ÷òî âëå÷åò óìåíüøåíèå âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ pj â I j p1 = 1 äî pjm = pmin < 1. Òàê êàê ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðîöåññ ïîèñêà ñõîäèòñÿ ê ãëîáàëüíîìó ìèíèìóìó, òî îïÿòü-òàêè ëîãè÷íî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî lim pj = 1 j→∞ è lim qj = 0, j→∞ (6) ò.å. ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî äàëåå, íà÷èíàÿ ñ pjm = pmin , ôóíêöèÿ pj óâåëè÷èâàåòñÿ äî åäèíèöû. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èíòåðâàë Iij ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ íàèáîëåå âåðîÿòíîãî ïîëîæåíèÿ îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ xi , ïîýòîìó è ïîèñê â ýòîé îáëàñòè äîëæåí îñóùåñòâëÿòüñÿ ÷àùå è ñ áîëüøåé èíòåíñèâíîñòüþ, ÷åì âíå åãî. Îòñþäà è èç (4) ñëåäóåò, 2 ÷òî 1/2 ≤ pj ≤ 1 è hj ≤ 1 ≤ H j . (8) Ìîæíî ïðåäëîæèòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ôóíêöèé p(j) = pj , óäîâëåòâîðÿþùèõ ïåðå÷èñëåííûì óñëîâèÿì (5)-(8). Îäíàêî ïðè îòñóòñòâèè èíôîðìàöèè î öåëåâîé ôóíêöèè êðèòåðèé ìîæåò áûòü òîëüêî îäèí: ïðîñòîòà ìîäåëèðîâàíèÿ. Ïóñòü smin îáúåì îáëàñòè I jm , ñîîòâåòñòâóþùèé ìèíèìàëüíîìó çíà÷åíèþ pjm = pmin . Òîãäà èñïîëüçóåìûå â ýòîé ðàáîòå ôóíêöèè ìîæíî çàïèñàòü â òàêîì âèäå: ½ sj (pmin − 1)/smin + 1, , åñëè 0 ≤ sj ≤ smin pj = (9) sj (1 − pmin )/(1 − smin ) + (pmin − smin )/(1 − smin ), åñëè smin ≤ sj ≤ 1. ½ Hj = ½ hj = (pmin − 1)/smin + 1/sj , åñëè 0 ≤ sj ≤ smin (1 − pmin + (pmin − smin )/sj (1 − smin ), åñëè smin ≤ sj ≤ 1. (1 − pmin )sj /(1 − sj )smin , åñëè 0 ≤ sj ≤ smin (1 − pmin )/(1 − smin ), åñëè smin ≤ sj ≤ 1. (10) (11) Ðèñ. 1. Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ äâóõ ïåðåìåííûõ. Òåñòèðîâàíèå è îöåíêà ýôôåêòèâíîñòè Äëÿ îöåíêè ýôôåêòèâíîñòè ñëó÷àéíîãî ïîèñêà çäåñü áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ èçâåñòíûå, òàê íàçûâàåìûå, òåñòîâûå ôóíêöèè.  êà÷åñòâå êðèòåðèÿ ýôôåêòèâíîñòè âûáðàíà çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ ãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà îò ÷èñëà îáðàùåíèé ê ôóíêöèè öåëè. Êàê íàì êàæåòñÿ, ýòî îäèí èç íàèáîëåå "ñïðàâåäëèâûõ" êðèòåðèåâ ñðàâíåíèÿ (îöåíêè) ýôôåêòèâíîñòè àëãîðèòìîâ ãëîáàëüíîé îïòèìèçàöèè. Ïåðåä òåì êàê ïåðåéòè ê ðåçóëüòàòàì èññëåäîâàíèÿ ÑÏ, ñêàæåì íåñêîëüêî ñëîâ î ïàðàìåòðàõ ñëó÷àéíîãî ïîèñêà. Ýòà èíôîðìàöèÿ áóäåò ïîëåçíà ïðåæäå âñåãî äëÿ ïîëüçîâàòåëåé, èñïîëüçóþùèõ êîìïëåêñ "OPTIMUM"â êà÷åñòâå ñðåäñòâà ðåøåíèÿ ñâîèõ çàäà÷ îïòèìèçàöèè. Ïàðàìåòðàìè ÑÏ, êîòîðûìè ìîæåò âàðüèðîâàòü ïîëüçîâàòåëü, ÿâëÿþòñÿ: nstep ÷èñëî øàãîâ, ² = qeps òî÷íîñòü, ñ êîòîðîé èùåòñÿ ìèíèìóì, à òàêæå ïàðàìåòðû pmin 3 è qmin . Åñëè ïåðâûå äâà ïàðàìåòðà î÷åâèäíû è ïîíÿòíû ïîëüçîâàòåëþ, òî âëèÿíèå äâóõ ïîñëåäíèõ íà ïîâåäåíèå ÑÏ òðåáóþò íåêîòîðûõ ïîÿñíåíèé. Êàê áûëî ñêàçàíî âûøå, qmin îïðåäåëÿåò n-ìåðíóþ ïëîùàäü smin , òàêóþ, ÷òî íà âñåì ïðîòÿæåíèè ïðîöåññà ïîèñêà, ïîêà sj > smin , ïëîòíîñòü hj íå ìåíÿåòñÿ. Êîãäà æå sj ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå smin , òî hj íà÷èíàåò ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ, ò.å. ïîèñê ñ íàðàñòàþùåé èíòåíñèâíîñòüþ âåäåòñÿ âíóòðè I j . Îò âåëè÷èíû pmin âî ìíîãîì çàâèñèò âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ìèíèìóì â ïðîöåññå ïîèñêà îêàæåòñÿ âíóòðè I j è çíà÷åíèå âûñîòû hj . Òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòðû pmin è qmin â íåêîòîðîì ñìûñëå ïîçâîëÿþò çàäàòü ñîîòíîøåíèå "ëîêàëüíûõ"è "ãëîáàëüíûõ"øàãîâ ê èõ îáùåìó êîëè÷åñòâó è òåì ñàìûì îïðåäåëèòü îáùåå ïîâåäåíèå ÑÏ. Ïðè òåñòèðîâàíèè ñëó÷àéíîãî ïîèñêà áûëè èñïîëüçîâàíû äåñÿòü ðàçëè÷íûõ òåñòîâûõ ôóíêöèé [4,5,6], îòëè÷àþùèõñÿ äðóã îò äðóãà òàêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè, êàê ìíîãîýêñòðåìàëüíîñòü, îâðàæíîñòü, ÷èñëî ïåðåìåííûõ è äð. Äàëåå Φ∗ îáîçíà÷àåò èñòèííîå ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè öåëè. Çà îöåíêó âåðîÿòíîñòè P ñõîäèìîñòè ÑÏ ê Φ∗ âûáðàíî îòíîøåíèå ÷èñëà ñëó÷àåâ, â êîòîðûõ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ x∗ öåëåâîé ôóíêöèè îòëè÷àþòñÿ îò îïòèìàëüíûõ ìåíåå, ÷åì íà ² = 0.01. Ïîèñê âåçäå îñóùåñòâëÿåòñÿ â åäèíè÷íîì n-ìåðíîì ãèïåðêóáå. Ñíà÷àëà ïðèâåäåì ðåçóëüòàòû äëÿ óíèìîäàëüíûõ ôóíêöèé. Ôóíêöèÿ 1. Φ(x1 , x2 ) = x21 x22 (x1 + x2 − 1), Φ∗ (0.4, 0.4) = −0.00512. Ðèñ. 2. Ñõîäèìîñòü ÑÏ äëÿ ôóíêöèè 1 â çàâèñèìîñòè îò nstep. Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè, ïîêàçûâàþùèå ñõîäèìîñòü ñëó÷àéíîãî ïîèñêà äëÿ ôóíêöèè 1 â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà îáðàùåíèé ê âû÷èñëåíèþ ôóíêöèè öåëè. Ïàðàìåòðû ñëó÷àéíîãî ïîèñêà, ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîíóìåðîâàííûì êðèâûì ïðèâåäåíû â òàáë. 1. Òàáëèöà 1. Ïàðàìåòðû ñëó÷àéíîãî ïîèñêà ê ðèñ. 1. Íîìåð ãðàôèêà ïàðàìåòðû ÑÏ qmin pmin 0.3 0.9 0.01 0.9 0.01 0.75 0.01 0.5 1 2 3 4 4 Ðèñ. 3. Ñõîäèìîñòü ÑÏ äëÿ ôóíêöèè 1 â çàâèñèìîñòè îò qmin . Èç òàáë. 1 è ðèñ. 2 âèäíî, ÷òî íàèëó÷øóþ ñõîäèìîñòü îáåñïå÷èâàþò ïàðàìåòðû: pmin = 0.9 è qmin = 0.3. Âîçìîæíîå îáúÿñíåíèå ýòîãî òàêîå: òàê êàê ôóíêöèÿ 1 óíèìîäàëüíà, òî ëîãè÷íî îòíîñèòåëüíî íåìíîãî øàãîâ ïîòðàòèòü íà íàùóïûâàíèå åå ìèíèìóìà, à îñòàëüíîå ÷èñëî øàãîâ èñïîëüçîâàòü äëÿ óòî÷íåíèÿ íàéäåííîãî ìèíèìóìà. Èìåííî òàêîå ïîâåäåíèå îáåñïå÷èâàþò ñëó÷àéíîìó ïîèñêó ïàðàìåòðû ÑÏ, ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâîé 1. Äëÿ âûáðàííûõ pmin = 0.9 è qmin = 0.3 h ðàâíî 0.156, à smin ðàâíî 0.36, ýòî ïîçâîëÿåò, ìîäåëèðîâàòü âíóòðè ýôôåêòèâíîé îáëàñòè I j ñ áîëüøåé âåðîÿòíîñòüþ è óâåëè÷èòü ýòó âåðîÿòíîñòü ïîñëå òîãî, êàê sj ñòàíåò ìåíüøå 0.36. Õóæå âûãëÿäèò ñõîäèìîñòü äëÿ pmin = 0.9 è qmin = 0.01. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî çäåñü h = 0.1, âåëè÷èíà sj îêàçûâàåòñÿ áîëüøå smin è íà ïðîòÿæåíèè âñåãî ïðîöåññà ïîèñêà ñ âåðîÿòíîñòüþ p = 0.1 ïåðåìåííàÿ xi ìîäåëèðóåòñÿ âíå I j è ñ âåðîÿòíîñòüþ p = 0.9 âíóòðè èíòåðâàëà I j , êîòîðûé ñæèìàåòñÿ ïðè ýòîì äî íåêîòîðîãî çàäàííîãî ². Àíàëîãè÷íî âåäåò ñåáÿ ñëó÷àéíûé ïîèñê äëÿ êðèâûõ 3 è 4, çà îäíèì ëèøü èñêëþ÷åíèåì âåðîÿòíîñòü, ñ êîòîðîé ìû ìîäåëèðóåì xi âíå I j , óâåëè÷èâàåòñÿ äî 0.25 è 0.5 ñîîòâåòñòâåííî. Íà ðèñ. 3 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè, ïîêàçûâàþùèå ñõîäèìîñòü ñëó÷àéíîãî ïîèñêà äëÿ ôóíêöèè 1 â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðà qmin . Êðèâûå 1, 2 è 3 ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿì pmin ðàâíûì 0.9, 0.75 è 0.5. ×èñëî øàãîâ ÑÏ nstep çàôèêñèðîâàíî è ðàâíî 40. Èç ðèñ. 3 åùå ðàç ìîæíî óâèäåòü, ÷òî íàèëó÷øåé ñõîäèìîñòüþ ÑÏ îáëàäàåò â ñëó÷àå qmin = 0.3, pmin = 0.9. Îñòàëüíûå êîìáèíàöèè pmin è qmin , åñëè òàê ìîæíî ñêàçàòü, îáåñïå÷èâàþò ìåíåå "ëîêàëüíîå"ïîâåäåíèå ñëó÷àéíîãî ïîèñêà, à ïîòîìó â ýòîì ñëó÷àå îêàçûâàþòñÿ õóæå. Ôóíêöèÿ 2. Φ(x1 , x2 , . . . , xn ) = n P (xi − 0.5)2 . i=1 Φ∗ (0.5, 0.5, . . . , 0.5) = 0. Íà ðèñ. 4 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè, ïîêàçûâàþùèå ñõîäèìîñòü ñëó÷àéíîãî ïîèñêà äëÿ ôóíêöèè 2 â çàâèñèìîñòè îò êîëè÷åñòâà åå ïåðåìåííûõ. ×èñëî øàãîâ ÑÏ nstep çàôèêñèðîâàíî è ðàâíî 350. Ïàðàìåòðû ñëó÷àéíîãî ïîèñêà, ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûì 1, 2, 3 è 4, íàõîäÿòñÿ â òàáë. 2. 5 Ðèñ. 4. Ñõîäèìîñòü ÑÏ äëÿ ôóíêöèè 2 â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà ïåðåìåííûõ. Òàáëèöà. 2. Ïàðàìåòðû ñëó÷àéíîãî ïîèñêà ê ðèñ. 4. Íîìåð ãðàôèêà ïàðàìåòðû ÑÏ qmin pmin 0.3 0.9 0.3 0.5 0.01 0.9 0.01 0.5 1 2 3 4 Âñå ñêàçàííîå î ïàðàìåòðàõ ñëó÷àéíîãî ïîèñêà ïðè ïðåäñòàâëåíèè ðåçóëüòàòîâ òåñòèðîâàíèÿ ôóíêöèè 1 ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà óíèìîäàëüíóþ ôóíêöèþ 2 (ýòî âèäíî ïî ðàñ÷åòíûì äàííûì íà ðèñ. 4 è çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ ÑÏ â òàáë. 2). Çäåñü ñëåäóåò äîáàâèòü, ÷òî òåñòèðóåìûé çäåñü ÑÏ îðãàíèçîâàí òàêèì îáðàçîì, ÷òî êîëè÷åñòâî ïåðåìåííûõ ôóíêöèè öåëè íå âëèÿåò íà íîìåð øàãà ÑÏ j ∗ , äëÿ êîòîðîãî sj ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå smin , à ïîòîìó ïðè èçìåíåíèè ðàçìåðíîñòè çàäà÷è, äëÿ êîòîðîé óæå ïîäîáðàíû ïàðàìåòðû pmin è qmin , ïîëüçîâàòåëþ ÑÏ ðåêîìåíäóåòñÿ ëèøü óâåëè÷èòü ÷èñëî øàãîâ nstep. Ôóíêöèÿ 3. Φ = n P i=1 ai x2i , ai ∈ (0, 1), i ∈ 1 : n, Φ∗ (0, 0, . . . , 0) = 0. Ýòî ñòîõàñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, êàæäàÿ ðåàëèçàöèÿ êîòîðîé èìååò âûòÿíóòûå ãèïåðïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ëèíèé, çàâèñÿùèå îò ðàçáðîñà êîýôôèöèåíòîâ ai . Íà ðèñ. 5 ïðåäñòàâëåí ãðàôèê, àíàëîãè÷íûé ãðàôèêó íà ðèñ. 4. Ïàðàìåòðû ñëó÷àéíîãî ïîèñêà, ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûì 1,2,3 è 4, ïðåäñòàâëåíû â òàáë. 2. ×èñëî øàãîâ ñëó÷àéíîãî ïîèñêà nstep = 400. Âñå âûøåñêàçàííîå î ôóíêöèè 2 ìîæíî îòíåñòè è ê ðåçóëüòàòàì òåñòèðîâàíèÿ ôóíêöèè 3. Ôóíêöèÿ 4. Φ(x1 , x2 ) = (y1 − y2 )2 + 1/9(y1 + y2 − 10)2 , y1 = 10x1 , y2 = 10x2 , Φ∗ (0.5, 0.5) = 0. Ëèíèè óðîâíÿ äàííîé ôóíêöèè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñëåãêà âûòÿíóòûå ýëëèïñîèäû, îñè êîòîðûõ ïîâåðíóòû íà 45 ãðàäóñîâ îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ. 6 Ðèñ. 5. Ñõîäèìîñòü ÑÏ äëÿ ôóíêöèè 3. Ðèñ. 6. Ñõîäèìîñòü ÑÏ äëÿ ôóíêöèè 4 â çàâèñèìîñòè îò nstep. Ãðàôèê íà ðèñ. 6 ïîêàçûâàåò ñõîäèìîñòü ñëó÷àéíîãî ïîèñêà â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà îáðàùåíèé ê âû÷èñëåíèþ öåëåâîé ôóíêöèè. Ïàðàìåòðû ñëó÷àéíîãî ïîèñêà, ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûì íà ðèñ. 6, ïðèâåäåíû â òàáë. 2. Êîììåíòàðèè, êàñàþùèåñÿ ðåçóëüòàòîâ òåñòèðîâàíèÿ ôóíêöèè 4, àíàëîãè÷íû êîììåíòàðèÿì ê ôóíêöèè 1. Äàëåå ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé äëÿ êëàññà ìíîãîýêñòðåìàëüíûõ ôóíêöèé. Ôóíêöèÿ 5. Φ(x1 , x2 ) = (2x1 − 1)2 + (2x2 − 1)2 − cos 18(2x1 − 1)− − cos 18(2x2 − 1), Φ∗ (0.5, 0.5) = −2. Ôóíêöèÿ 5 èìååò 25 ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ â îáëàñòè 0 ≤ x1 , x2 ≤ 1. Íà ðèñ. 7 ïðåäñòàâëåíà ñõîäèìîñòü ñëó÷àéíîãî ïîèñêà â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà îáðàùåíèé ê âû÷èñëåíèþ öåëåâîé ôóíêöèè. Ïàðàìåòðû ñëó÷àéíîãî ïîèñêà, ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûì 1 - 5 ðàñïîëîæåíû â òàáë. 3. 7 Ðèñ. 6. Ñõîäèìîñòü ÑÏ äëÿ ôóíêöèè 4 â çàâèñèìîñòè îò nstep. Òàáëèöà 3. Íîìåð ãðàôèêà ïàðàìåòðû ÑÏ qmin pmin 0.01 0.5 0.01 0.75 0.01 0.9 0.3 0.9 0.3 0.5 1 2 3 4 5 Êàê âèäíî èç ðèñ. 7 è òàáë. 3, ðåçóëüòàòû òåñòèðîâàíèÿ ìíîãîýêñòðåìàëüíîé ôóíêöèè 5 îòëè÷àþòñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåçóëüòàòîâ óíèìîäàëüíûõ ôóíêöèé. Íàèëó÷øàÿ ñõîäèìîñòü ñëó÷àéíîãî ïîèñêà îáåñïå÷èâàåòñÿ ïàðàìåòðàìè pmin = 0.5, qmin = 0.01. Ïîâåäåíèå ÑÏ ïðè ýòîì ñëåäóþùåå: íà ïðîòÿæåíèè âñåãî ïðîöåññà ïîèñêà ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.5 x ìîäåëèðóåòñÿ âíå I j è, ñîîòâåòñòâåííî, ñ òîé æå âåðîÿòíîñòüþ âíóòðè I j . Áîëüøèå ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäûäóùèì çíà÷åíèåì âåðîÿòíîñòè ìîäåëèðîâàíèÿ x âíóòðè I j îáåñïå÷èâàþò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ÑÏ pmin è qmin , ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûì 2 è 3, ýòèì è îáúÿñíÿåòñÿ óìåíüøåíèå ñõîäèìîñòè. Õóäøèå ðåçóëüòàòû äëÿ ôóíêöèè 5 ñîîòâåòñòâóþò ïàðàìåòðàì ÑÏ, ðàñïîëîæåííûì â ñòðîêàõ 4 è 5 òàáë. 3. Äàëåå ðàññìîòðèì çàâèñèìîñòü ñõîäèìîñòè ñëó÷àéíîãî ïîèñêà îò ïàðàìåòðà qmin äëÿ ôóíêöèè 5, ïðåäñòàâëåííóþ íà ðèñ. 8. Êðèâûå 1, 2 è 3 ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿì pmin ðàâíûì 0.5, 0.75 è 0.9. Ðàñ÷åòû, ïðåäñòàâëåííûå íà ðèñ. 8, åùå ðàç ïîäòâåðæäàþò, ÷òî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ pmin = 0.5 è qmin = 0.01 äëÿ ôóíêöèè 5 ÿâëÿþòñÿ ëó÷øèìè. Îäíàêî âìåñòå ñ ýòèì íà ðèñ. 8 ìîæíî óâèäåòü ñëåäóþùóþ îñîáåííîñòü: êðèâàÿ 1, ñîîòâåòñòâóþùàÿ pmin = 0.5, áóäó÷è íà ó÷àñòêå 0.01 < qmin < 0.12 âûøå äâóõ îñòàëüíûõ êðèâûõ, íà ó÷àñòêå 0.16 < qmin < 0.3 îêàçûâàåòñÿ íèæå. Îáúÿñíèòü ýòè ðåçóëüòàòû ìîæíî ñëåäóþùèì. Íà ó÷àñòêå 0.01 < qmin < 0.12 èíòåíñèâíîñòü ïîèñêà âíóòðè I j ïðè ðàçëè÷íûõ pmin äîñòàòî÷íà äëÿ óòî÷íåíèÿ äî íåêîòîðîãî çàäàííîãî ², à íà ó÷àñòêå 0.16 < qmin < 0.3 åå íåñêîëüêî "íå õâàòàåò"äëÿ òåõ çíà÷åíèé pmin , êîòîðûå îïðåäåëÿþò âåðîÿòíîñòü ìîäåëèðîâàíèÿ x âíóòðè I j .  ÷àñòíîñòè, äëÿ pmin = 0.5 è 8 Ðèñ. 8. Ñõîäèìîñòü ÑÏ äëÿ ôóíêöèè 5 â çàâèñèìîñòè îò qmin . qmin = 0.3 ýòà âåðîÿòíîñòü ðàâíà 0.22, à äëÿ pmin = 0.9 è qmin = 0.3 0.85, ïîýòîìó ïåðâàÿ òî÷êà íà ðèñ. 8 îêàçûâàåòñÿ íèæå âòîðîé. Ôóíêöèÿ 6. Φ(x1 , x2 ) = y12 + y22 − 10 cos(2πy1 ) − 10 cos(2πy2 ), y1 = −5.12 + 10.24x1 , y2 = −5.12 + 10.24x2 , Φ∗ (0.0583, 0.0583)) = Φ∗ (0.9417, 0.9417) = = Φ∗ (0.0583, 0.9417) = Φ∗ (0.9417, 0.0583) = −49.278. Ôóíêöèÿ èìååò â îáëàñòè ïîèñêà 96 ëîêàëüíûõ è 4 ãëîáàëüíûõ ýêñòðåìóìà. Ðèñ. 9. Ñõîäèìîñòü ÑÏ äëÿ ôóíêöèè 6 â çàâèñèìîñòè îò nstep. Íà ðèñ. 9 ïðåäñòàâëåíà ñõîäèìîñòü ÑÏ â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà îáðàùåíèé ê âû÷èñëåíèþ ôóíêöèè öåëè. Ïàðàìåòðû, ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûì 1-5, ïðèâåäåíû â òàáë. 3. Âûâîäû, êàñàþùèåñÿ ñõîäèìîñòè ÑÏ çäåñü àíàëîãè÷íû ïðåäûäóùèì. Êðèâûå ñõîäèìîñòåé ðàñïîëîæèëèñü íà ðèñ. 9 â î÷åðåäíîñòè, ïðèâåäåííîé â òàáë. 3. Äàëåå ïðèâîäèòñÿ ãðàôèê äëÿ ôóíêöèè 6, àíàëîãè÷íûé ãðàôèêó 8.  îòëè÷èè îò ãðàôèêà 8 çäåñü êðèâûå ñõîäèìîñòè íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ïîäòâåðæäåíèåì ýôôåêòèâíîñòè èñïîëüçóåìîãî çäåñü ñëó÷àéíîãî ïîèñêà ìîæåò ïîñëóæèòü îçíàêîìëåíèå ñ ðàáîòîé [5], ãäå îïòèìèçàöèÿ ôóíêöèè 6 âûïîëíÿëàñü ñ 9 Ðèñ. 10. Ñõîäèìîñòü ÑÏ äëÿ ôóíêöèè 6 â çàâèñèìîñòè îò qmin . ïîìîùüþ ãåíåòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ. Ôóíêöèÿ 7. Φ(x1 , x2 , x3 , x4 ) = sin2 (πz1 ) + 3 ¡ ¢ P (zi − 1)2 (1 + 10 sin2 (πzi+1 )) + i=1 +(z4 − 1)2 , zi = 1 − (11 − 20xi )/4, i ∈ 1 : 4, Φ∗ (0.55, 0.55, 0.55, 0.55) = 0. Ðèñ. 10. Ñõîäèìîñòü ÑÏ äëÿ ôóíêöèè 7 â çàâèñèìîñòè îò nstep. Ôóíêöèÿ 7 ÿâëÿåòñÿ òàêæå ìíîãîýêñòðåìàëüíîé è èìååò â îáëàñòè ïîèñêà 625 ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ. Íà ðèñ. 10 ïðåäñòàâëåíà ñõîäèìîñòü ÑÏ â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà îáðàùåíèé ê âû÷èñëåíèþ öåëåâîé ôóíêöèè. Ïàðàìåòðû ñëó÷àéíîãî ïîèñêà, ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûì 1-5, ïðèâåäåíû â òàáë. 4. 10 Òàáëèöà 4. Íîìåð ãðàôèêà 1 2 3 4 5 ïàðàìåòðû ÑÏ qmin pmin 0.3 0.9 0.3 0.5 0.01 0.9 0.01 0.75 0.01 0.5 Äàëåå ðàññìàòðèâàþòñÿ îâðàæíûå ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ 8. Φ(x1 , x2 ) = 100(y2 − y12 )2 + (1 − y1 )2 , y1 = −10 + 20x1 , y2 = −10 + 20x2 , Φ∗ (0.55, 0.55) = 0. Ðèñ. 11. Ñõîäèìîñòü ÑÏ äëÿ ôóíêöèè 8 â çàâèñèìîñòè îò nstep. Ëèíèè óðîâíÿ ôóíêöèè 8 îáðàçóþò èñêðèâëåííûé îâðàã. Òî÷êà ìèíèìóìà íàõîäèòñÿ íà äíå îâðàãà è â åãî îêðåñòíîñòè ñêëîíû îâðàãà íàèáîëåå êðóòû. Äíî îâðàãà èìååò âèä êâàäðàòè÷íîé ïàðàáîëû. Íà ðèñ. 11 ïðåäñòàâëåíà ñõîäèìîñòü ÑÏ â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà îáðàùåíèé ê âû÷èñëåíèþ öåëåâîé ôóíêöèè. Ïàðàìåòðû ñëó÷àéíîãî ïîèñêà, ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûì 1-4, íàõîäÿòñÿ â òàáë. 5. Òàáëèöà 5. Íîìåð ãðàôèêà 1 2 3 4 ïàðàìåòðû ÑÏ qmin pmin 0.3 0.9 0.01 0.9 0.01 0.75 0.01 0.5 Èç ãðàôèêîâ, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 11, âèäíî, ÷òî äëÿ äîñòèæåíèÿ âåðîÿòíîñòè, áëèçêîé ê 1, ïîíàäîáèëîñü ñäåëàòü äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî âû÷èñëåíèé. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ ïðåæäå âñåãî áîëüøèìè çàòðàòàìè àëãîðèòìà íà òî, ÷òîáû ñïóñòèòüñÿ ê ìèíèìóìó âäîëü îâðàãà. 11 µ Ôóíêöèÿ 9. Φ(x1 , . . . , xs ) = s P i=1 yi2 ¶2 s P − 1 − 0.1 yi , i=1 y1 = 2x1 , yi = −2 + 4xi , i ∈ 2 : 12, Φ∗ (0.5, 0.75 . . . 0.75) = −1.2006. Ðèñ. 12. Ñõîäèìîñòü ÑÏ äëÿ ôóíêöèè 9 â çàâèñèìîñòè îò nstep. Ðåçóëüòàòû ñõîäèìîñòè ÑÏ â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà îáðàùåíèé ê âû÷èñëåíèþ öåëåâîé ôóíêöèè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 12. Ïàðàìåòðû ñëó÷àéíîãî ïîèñêà, ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûì 1-4, ïðèâåäåíû â òàáë. 5. Êàê âèäíî èç ðèñ. 12 è òàáë. 5, ïàðàìåòðû ÑÏ, îáåñïå÷èâøèå íàèëó÷øóþ ñõîäèìîñòü äëÿ ôóíêöèè 9, àíàëîãè÷íû ïàðàìåòðàì äëÿ ôóíêöèè 8. Ñ ðåçóëüòàòàìè ðàñ÷åòà ýòîé ôóíêöèè äðóãèì ìåòîäîì ãëîáàëüíîé îïòèìèçàöèè ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â [6]. Ïðîâåäåííûå èññëåäîâàíèÿ çàâåðøèì ôóíêöèåé 12 èç ñòàòüè [6]. 2 Ôóíêöèÿ 10. Φ(x1 , x2 , x3 ) = − (det ||1, yi , yi2 ||3i=1 ) , yi = 1 + 5xi , i ∈ 1 : 3, Φ∗ (0, 0.5, 1) = −976.28. Íà ðèñ. 13 ïðåäñòàâëåíà ñõîäèìîñòü ÑÏ â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà îáðàùåíèé ê âû÷èñëåíèþ öåëåâîé ôóíêöèè, ïàðàìåòðû ñëó÷àéíîãî ïîèñêà, ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûì 1-3 íàõîäÿòñÿ â òàáë. 6. Òàáëèöà 6. Íîìåð ãðàôèêà 1 2 3 ïàðàìåòðû ÑÏ qmin pmin 0.3 0.9 0.01 0.9 0.01 0.75 Èç ðèñ. 13 âèäíî, ÷òî ÷èñëî âû÷èñëåíèé äëÿ ýòîé ôóíêöèè ãîðàçäî áîëüøå, ÷åì äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ. Ýòî ïðåæäå âñåãî îáúÿñíÿåòñÿ ñëîæíîñòüþ ôóíêöèè öåëè. 12 Ðèñ. 13. Ñõîäèìîñòü ÑÏ äëÿ ôóíêöèè 10 â çàâèñèìîñòè îò nstep. Çàêëþ÷åíèå 1). Èññëåäîâàííûé â ýòîé ðàáîòå ñëó÷àéíûé ïîèñê îòíîñèòåëüíî ýôôåêòèâåí äëÿ øèðîêîãî êëàññà òåñòîâûõ ôóíêöèé. 2). Ïðèìåíåíèå ÑÏ íà áàçå ñîâðåìåííûõ ÝÂÌ, à òàêæå ñîçäàíèå íåêîòîðûõ åãî ìîäèôèêàöèé (èñïîëüçîâàíèå ÑÏ â êîìáèíàöèè ñ äåòåðìèíèðîâàííûìè ìåòîäàìè îïòèìèçàöèè è ðàñïàðàëëåëèâàíèå ÑÏ), ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íî ýôôåêòèâíûé èíñòðóìåíò äëÿ ðåøåíèÿ ðàçëè÷íûõ çàäà÷ îïòèìèçàöèè, âîçíèêàþùèõ íà ïðàêòèêå. 3). Ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå ÑÏ è íåêîòîðûõ åãî ìîäèôèêàöèé, â êà÷åñòâå ñðåäñòâà òåõíîëîãèè ROOT (Red Organization of Optimization Technology), ïðåäïîëàãàåòñÿ ñäåëàòü äîñòóïíûì íà Internet ñàéòå http://www.r-tech.narod.ru. Ëèòåðàòóðà: 1. Ñóøêîâ Þ.À. Ìåòîä, àëãîðèòì è ïðîãðàììà ñëó÷àéíîãî ïîèñêà // Ë. ÂÍÈÈÒðàíñÌàø, 1969. 43 ñ. 2. Ñóøêîâ Þ.À. Îá îäíîì ñïîñîáå îðãàíèçàöèè ñëó÷àéíîãî ïîèñêà // Èññëåäîâàíèå îïåðàöèé è ñòàòèñòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. Ë. ËÃÓ. 1972. Âûï.1. Ñ.180-185. 3. Àáàêàðîâ À.Ø., Ñóøêîâ Þ.À. Ïðîãðàììíûé êîìïëåêñ ãëîáàëüíîé îïòèìèçàöèè "OPTIMUM"// Ñáîðíèê íàó÷íûõ ñòàòåé . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè. Òåîðèÿ è ïðèëîæåíèÿ. ÑÏá, ÑÏáÃÓ. 2002. C.70-86. 4. Çàõàðîâ Â.Â. Äåñÿòü ðàñïðîñòðàíåííûõ òåñòîâûõ ôóíêöèé äëÿ ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè // Àâòîìàòèêà è âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà. 1974. Ñ.41-44. 5. Áàòèùåâ Ä.È., Èñàåâ Ñ.À. Îïòèìèçàöèÿ ìíîãîýêñòðåìàëüíûõ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ãåíåòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ // Ìåæâóç. ñá."Âûñîêèå òåõíîëîãèè â òåõíèêå, ìåäèöèíå è îáðàçîâàíèè". ×àñòü 3. Âîðîíåæ, ÂÃÒÓ. 1997. 6. Åðìàêîâ C.Å., Ìèòèîãëîâà Ë.Â. Îá îäíîì ìåòîäå ïîèñêà ýêñòðåìóìà ôóíêöèè, îñíîâàííîì íà îöåíèâàíèè êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöû // Àâòîìàòèêà è âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà. 1977. Ñ.38-41. 13
