Электронный справочник «Задачи на движение

НОУ СОШ «Образовательный центр ОАО «Газпром»
Электронный справочник «Задачи на движение»
Автор: Мигунов Алексей, ученик 9 «Е» класса
Руководитель: Корнеева И.М., учитель информатики и ИКТ
Консультант: Мигунова Н.П., учитель математики
Москва
2012 г.
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................................................................... 2
КАК ИСКАТЬ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ? ............................................................................................................. 8
СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО СПРАВОЧНИКА «ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ» ........................ 11
ПРОВЕРЬ СВОИ ЗНАНИЯ ............................................................................................................................. 18
ПРИЛОЖЕНИЕ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ИЗ ТЕКСТОВ ГИА И ЕГЭ ......................................................................... 21
Связь основных характеристик движения: S; V; t ................................................................... 21
Средняя скорость ............................................................................................................................. 22
Движение навстречу ........................................................................................................................ 23
Движение в противоположных направлениях ............................................................................... 24
Движение в одном направлении ...................................................................................................... 25
Движение по окружности (замкнутой трассе) ........................................................................... 27
Движение по воде ............................................................................................................................. 28
Движение протяжённых тел ......................................................................................................... 30
Движение в гору и с горы ............................................................................................................... 30
ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................................................................... 32
1
Введение
Математика – один из моих любимых предметов.
Мне нравится решать задачи, анализировать условие, устанавливать
зависимости между данными и искомыми величинами, составлять
логические цепочки рассуждений. Но не все мои одноклассники умеют
решать задачи. Можно ли помочь им в поиске решения? Существуют ли
общие подходы, алгоритмы к решению задач разных типов?
По каким критериям выделить разные типы задач? С чего начать
решение? Какие формулы использовать? Абстрактные условия задачи,
содержащие
различные
математические
зависимости,
трудно
воспринимаются.
Для того чтобы сделать их наглядными и более доступными для
понимания, мы решили сделать электронный справочник, в котором
тексты задач и элементы теории будут сопровождаться схемами и
интерактивными моделями. Каждый желающий сможет оперативно найти
в нём нужную информацию.
Цель проекта: Составить электронный справочник по теме: «Задачи на
движение», в котором будут представлены все типы задач по выбранной
теме, а тексты задач и элементы теории будут сопровождаться схемами и
интерактивными моделями.
Задачи:
1. Проанализировать тексты задач на движение, предложенные в
школьных учебниках и материалах ГИА и ЕГЭ.
2. Систематизировать задачи по типам.
3. По каждому типу задач показать схемы, выделить подсказки к решению
в виде формул и алгоритмов.
4. Привести примеры
и решения задач разных типов, а также
комбинированных задач.
2
5. К каждой задаче подготовить интерактивные модели.
6. В программе Power Point сделать
электронный справочник по
выбранной теме.
Проанализировав и решив более 60 задач на движение из школьных
учебников и текстов ГИА и ЕГЭ, был подготовлен справочник по решению
задач данной тематики.
В справочнике рассмотрены следующие типы задач:
1. Связь основных характеристик движения: S; V; t
2. Движение навстречу
3. Движение в противоположных направлениях
4. Движение в одном направлении (вдогонку и с отставанием)
5. Движение по окружности.
6. Движение по воде
7. Определение средней скорости
8. Движение протяжённых тел
9. Движение туда и обратно со спусками и подъёмами
По каждому типу представлены схемы движения, даны теоретические
справки, примеры задач и их решение. Для создания интерактивных
моделей мы использовали готовые анимационные картинки, созданные
учителем Савченко Е.М.Х1
Была составлена сравнительная таблица для нахождения суммы и
разности скоростей для разных видов движения. А также вся необходимая
информация была собрана в сводной таблице, которую назвали: «Проверь
свои знания».
При создании электронного справочника «Задачи на движение», были
выделены следующие этапы:
http://gym1.ucoz.ru/load/1-1-0-143, Савченко Е.М. Задачи на движение. Анимация Пути перемещения.
(Материалы курса «Мультимедийные презентации для уроков математики»)
1
3
I.
Планирование презентации - определение основной идеи и целей
презентации, отбор материала, формирование структуры и логики
подачи материала.
II.
Расширение и углубление знаний по теме «Создание презентации в
программе PowerPoint» - изучение методологических особенностей
подготовки слайдов презентации.
III.
Разработка презентации –содержание и соотношение текстовой и
графической информации, а также применение анимационных
эффектов для иллюстрации сюжетов задач.
IV.
Репетиция
презентации
–
проверка
и
отладка
созданной
презентации.
Цель презентации: с помощью программы PowerPoint создать
динамическую презентацию для демонстрации разных типов задач на
движение.
Идея
презентации:
использование
эффектов
анимации
позволит наглядно представить различные виды движения и поможет
понять смысл задачи. Структура «Справочника «Задачи на движение»:
в справочнике предусмотрен слайд с Содержанием, где перечислены
основные виды задач на движение, а также рекомендации для их решения.
С этого слайда по гиперссылке можно перейти на необходимую страницу
и вернуться вновь на содержание.
По каждому виду движения представлен теоретический материал,
содержащий формулы и графические схемы, пример решения задачи, текст
которой иллюстрирован с использованием эффектов анимации.
При составлении справочника использовались требования к
оформлению презентаций2.
В оформлении презентаций выделяют два блока: оформление
слайдов и представление информации на них. Для создания качественной
2
wikikurgan.orbitel.ru/images/6/68/Trebovaniya_k_prezent_iv.doc
4
презентации необходимо соблюдать ряд требований, предъявляемых к
оформлению данных блоков.
Оформление слайдов:
 Соблюдайте единый стиль оформления
 Избегайте стилей, которые будут отвлекать от
Стиль
самой презентации.
 Вспомогательная
информация
(управляющие
кнопки) не должны преобладать над основной
информацией (текстом, иллюстрациями).
Фон
Для фона предпочтительны холодные тона
 На одном слайде рекомендуется использовать не
более трех цветов: один для фона, один для
Использование
цвета
заголовка, один для текста.
 Для фона и текста используйте контрастные цвета.
 Обратите внимание на цвет гиперссылок (до и
после использования).
 Используйте
возможности
компьютерной
анимации для представления информации на
Анимационные
эффекты
слайде.
 Не
стоит
анимационными
злоупотреблять
различными
эффектами,
не
они
должны
отвлекать внимание от содержания информации на
слайде.
5
Представление информации:
Содержание
информации
 Используйте короткие слова и предложения.
 Минимизируйте количество предлогов, наречий,
прилагательных.
 Заголовки должны привлекать внимание аудитории.
Расположение
информации
на странице
 Предпочтительно
горизонтальное
расположение
информации.
 Наиболее важная информация должна располагаться
в центре экрана.
 Если на слайде располагается картинка, надпись
должна располагаться под ней.
Шрифты
 Для заголовков – не менее 24.
 Для информации не менее 18.
 Шрифты без засечек легче читать с большого
расстояния.
 Нельзя смешивать разные типы шрифтов в одной
презентации.
 Для выделения информации следует использовать
жирный шрифт, курсив или подчеркивание.
 Нельзя злоупотреблять прописными буквами (они
читаются хуже строчных).
Способы
выделения
информации
Следует использовать:
 рамки, границы, заливку;
 штриховку, стрелки;
 рисунки,
диаграммы,
схемы
для
иллюстрации
наиболее важных фактов.
Объем
 Не стоит заполнять один слайд слишком большим
6
информации
объемом информации: люди могут единовременно
запомнить
не
более
трех
фактов,
выводов,
определений.
 Наибольшая эффективность достигается тогда, когда
ключевые пункты отображаются по одному на
каждом отдельном слайде.
Виды слайдов
Для обеспечения разнообразия следует использовать
разные виды слайдов:
 с текстом;
 с таблицами;
 с диаграммами.
Практическая значимость этой работы заключается в том, что
электронный справочник можно будет использовать на уроках математики.
Он будет также полезен при выполнении домашних заданий и при
самостоятельной подготовке к ГИА и ЕГЭ. Каждый желающий сможет
оперативно найти в нём нужную информацию.
В ходе работы материал был представлен также в виде реферата.
Реферат – сжатое письменное изложение научной информации по
конкретной теме – изложение, в котором выражается и отношение к этой
информации, её оценка.
Проектная деятельность проходила в три этапа:
На первом этапе на заседании предметной секции рассматривался
развернутый план работы над проектом. Затем продолжилась работа с
информационными источниками над теоретической и исследовательской
частями проекта. Второй этап завершился защитой работы на предметной
секции «Математика и информатика». На третьем этапе был представлен
реферат и полная презентация работы. По итогам третьего этапа вышел в
финал, став участником ученической научно-практической конференции.
7
К оценке проектных работ на втором и третьем этапах и в финале
привлекались внешние эксперты – методисты и преподаватели вузов.
Как искать решение задачи?
«Если хочешь научиться решать задачи, решай их», советовал известный математик Д. Пойа в своей книге «Как
решать задачу»3.
Д. Пойа в своей книге «Как решать задачу» предлагает использовать
следующие советы:
№
Основные этапы
Что нужно сделать
О чём говорится в задаче?
Что дано?
1.
Понимание задачи
Что надо найти?
Определено ли неизвестное данными
задачи?
Какова связь между искомой величиной
и известными величинами?
Попробовать свести данные и искомые
Анализ задачи
2.
величины в таблицу.
(путь от неизвестного к Преобразовать
данным)
известные
элементы.
Попытаться получить, таким образом,
новые
элементы,
более
близкие
к
искомым величинам.
Применить аналогию.
Синтез задачи
3.
(реализация найденной
идеи решения)
3
Арифметическое,
(составление
алгебраическое
уравнения)
комбинированное
или
(арифметическое
+
алгебраическое) решение задачи.
А.В. Шевкин. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах; Москва; «Русское слово»; 2002
8
Какую величину нужно было найти и
какую величину получили?
Правдоподобен ли результат? Почему?
Нельзя ли сделать проверку?
4. .
Проверка и
Нет ли другого более короткого способа
критическая оценка
решения?
решения
Испытывать правильность каждого шага,
принимая
лишь
то,
«что
усматривается с полной ясностью или
выводится с полной достоверностью»
(Р. Декарт)
В ходе работы были доработаны советы для решающих задачи на
движение:
1. Прочитав условие задачи, представьте ее как конкретное событие и
сделайте
схематический
чертеж,
нанеся
на
него
все
данные,
содержащиеся в условии задачи.
2. Определите, к какому виду движения относится задача.
3. Какие математические формулы вам понадобятся для того, чтобы
ответить на вопрос задачи.
4. Не забудьте, что все входящие в формулу величины – S, t, v – должно
быть представлены в соответствующих единицах измерения.
Полезно запомнить:
1. Если два тела начинают движение одновременно или догоняют друг
друга, то до встречи они затрачивают одинаковое время
2. При прохождении одного и того же пути, если тела начинают движение
в разное время, то, которое выходит раньше затрачивает времени
больше.
9
Сумма скоростей
Разность скоростей
V1+V2
V1-V2
Движении вдогонку
Встречное движение
в одном направлении (при
(при одновременном начале
1. движения)
1.
скорость сближения равна
одновременном начале движения)
скорость сближения равна V1-V2,
скорость удаления равна V1-V2,
V1+V2
если V1>V2
Движение по окружности в
Движение по окружности в одном
противоположных
направлении
2. направлениях
2.
скорость сближения равна
скорость сближения равна V1-V2,
если V1>V2
V1+V2
Движение по течению
3.
Vпо теч.  Vсобств.  Vтеч.
Движение против течения
3.
Vпротив теч.  Vсобств.  Vтеч.
10
Содержание электронного справочника «Задачи на движение»
НОУ СОШ Образовательный центр ОАО «Газпром»
«Если хочешь научиться решать задачи,
решай их»
Дьёрдь Пойа
Электронный
справочник
«Задачи на движение»
Советы для решающих
1. Прочитав условие задачи, представьте ее как конкретное
событие и сделайте схематический чертеж, нанеся на него все
данные, содержащиеся в условии задачи.
2. Определите, к какому виду движения относится задача.
3. Какие математические формулы вам понадобятся для того,
чтобы ответить на вопрос задачи.
4. Не забудьте, что все входящие в формулу величины:
S, t, v – должны быть представлены в соответствующих
единицах измерения.
Автор проекта:
Мигунов Алексей, 9 класс «Е»
Руководитель:
Корнеева Ирина Михайловна,
учитель информатики и ИКТ
Консультант:
Мигунова Наталья Павловна,
учитель математики
2
Единицы измерения
В задачах на движение рассматриваются
три взаимосвязанные величины:
• Расстояние (S): км, м, дм, см, мм
S - расстояние (пройденный путь)
• Время (t): час, мин, сек
t - время движения
• Скорость (V): км/час, м/мин…
V - скорость - расстояние, пройденное за
единицу времени.
6
4
Единицы длины (расстояния)
 Расстояние – это произведение скорости на
время движения.
S  V t
• 1см =10мм
 Время – это частное от деления расстояния на
скорость движения.
t
• 1дм =10см =100мм
S
V
• 1м =10дм =100см =1000мм
• 1км =1000м =10000дм =100000см =1000000мм
 Скорость - это частное от деления расстояния на
время движения.
S
V 
t
• 1 морская миля =1852м
• 1мм 1см 1дм
10
1м
10
1км
1000
7
5
Единицы времени
Единицы скорости
•
•
•
•
•
•
•
•
•
10
3км/ч =50м/мин
6км/ч =100м/мин
9км/ч =150м/мин
12км/ч = 200м/мин
18км/ч = 300м/мин =5м/с
36км/ч = 600м/мин =10м/с
72км/ч =1200м/мин =20м/с
108км/ч =1800м/мин =30м\с
1 узел = 1 морская миля в час (1м. миля/ч)
• 1мин =60с
• 1ч =60мин =3600с
• 1сут =24ч =1440мин =86400с
• 1сек 1мин 1час 1сут
60
60
24
Х
Х м / мин 
60 км / ч
1000
8
9
11
Средняя скорость
10
Средняя скорость
Средняя скорость
Например, если путь состоит из двух участков
протяженностью S1 и S2, скорости на которых были
равны соответственно V1 и V2, то:
S1
1) t1 
V1
S
S  S2
2) t 2  2
5) V  1
V2
Средняя скорость вычисляется по формуле
V 
S
,
t
где S – путь пройденный телом
t – время, за которое этот путь пройден.
Если путь состоит из нескольких участков, то следует
вычислить всю длину пути и все время движения.
4) S  S1  S2
11
Средняя скорость
2 км/ч
6 км/ч
12
Средняя скорость
Пешеход шёл по дороге 2 часа со скоростью
6км/ч, по болоту 3 часа со скоростью 2км/ч, и по
полю 1час часа со скоростью 6км/ч. Найдите
среднюю скоростью пешехода.
6 км/ч
t1 t 2
3) t  t1  t2
Решение задачи:
1) 6 · 2 = 12 (км) – расстояние, которое пешеход прошёл
по дороге
2) 2 · 3 = 6 (км) – расстояние, которое пешеход прошёл
по болоту
3) 6 · 1 = 6 (км) – расстояние, которое пешеход прошёл
по полю
4) 2 + 3 + 1 = 6 (ч) – общее время
5) 12 + 6 + 6 = 24 (км) – весь путь
6) 24 : 6 = 4 (км/ч) – средняя скорость
Ответ: 4 км/ч
13
14
Движение объектов
навстречу друг другу
Движение объектов
навстречу друг другу
При решении задач на встречное движение полезно
использовать понятие «скорость сближения»
Скорость сближения в этих задачах находится сложением
скоростей движущихся объектов.
Vсближения  V1  V2
Пример:
4 км/ч
А
15
20 км/ч
Vсближения - ?
В
16
12
Движение объектов
навстречу друг другу
Решение:
1) 60 + 100 = 160 (км/ч) – скорость сближения
2) 160 · 4 = 540 (км) – расстояние между городами
Ответ: 540 км
18
Движение в противоположных
направлениях
Движение в противоположных
направлениях
При решении задач на движение в противоположных
направлениях полезно применять понятие
«скорость удаления».
Скорость удаления в этих задачах находится сложением
скоростей движущихся объектов.
Vудаления  V1  V2
Возможны
две ситуации:
1.
20 км/ч
4 км/ч
Расстояние между
объектами через 3 часа - ? 2.
21
Движение
в противоположных направлениях
Из деревни Простоквашино одновременно отправились на
поиски пропавшей коровы Мурки кот Матроскин и пес
Шарик. Один из них побежал в южном направлении,
другой – в северном. Через полчаса расстояние между ними
стало равным 16км, причем Шарик пробежал на 6км
больше, чем Матроскин.
С какой скоростью бежал каждый из них?
6 км
4 км/ч
20 км/ч
2 км
22
Движение
в противоположных направлениях
Решение:
1) 16 – 6 = 10 (км) – удвоенное расстояние, которое
пробежал Матроскин
2) 10 : 2 = 5 (км) – пробежал Матроскин за 30 минут
3) 5 + 6 = 11 (км) – пробежал Шарик за 30 минут
4) 5 · 2 = 10 (км/ч) – скорость Матроскина
5) 11 · 2 = 22 (км/ч) – скорость Шарика
Ответ: 10 км/ч; 22 км/ч
23
16 км
24
Движение
в одном направлении
Движение
в одном направлении
В задачах на движение в одном направлении при
одновременном начале движения объектов полезно
использовать понятия
«скорость удаления» и «скорость сближения».
Vудаления  V1  V2 ,
если V1  V2
Vсближения  V1  V2 ,
если V1  V2
Скорость сближения и скорость удаления
находятся вычитанием меньшей скорости из
большей.
25
26
13
Движение в одном направлении
Движение в одном направлении
Некий юноша пошёл из Москвы к Вологде. Он проходил в
день по 40 вёрст. Через день вслед за ним был послан другой
юноша, проходивший в день по 45 вёрст.
Через сколько дней второй догонит первого?
Решение:
1) 40 · 1 = 40 (верст) – расстояние между
юношами
2) 45 – 40 = 5 (верст/день) – скорость сближения
3) 40 : 5 = 8 (дней) – время до встречи
Ответ: 8 дней
? верст
I
40 верст/день
II
45 верст/день
29
28
Движение в одном направлении
(вдогонку)
Движение в одном направлении
(вдогонку)
Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который
пробегает в 2 мин 500 сажен, а собака в 5 мин -1 300
сажен.
Спрашивается, в какое время собака догонит зайца?
150 сажен
Решение:
1) Vзайца =500:2=250 (сажень/мин)
2) Vсобаки =1300:5=260 (сажень/мин)
3) 260 – 250 = 10 (сажень/мин) – скорость
сближения
4) 150 : 10 = 15 (минут) – время, за которое собака
догонит зайца
Ответ: 15 минут
30
31
Движение по окружности
(замкнутой трассе)
34
Движение по окружности
(замкнутой трассе)
Движение по окружности
(замкнутой трассе)
Если из одной точки круговой трассы два
объекта одновременно начинают движение в
противоположные стороны со скоростями V1 и
V2 соответственно, t- время до их встречи, то
(V1 +V2)·t=c, где с-длина круговой трассы.
35
Если двa объекта одновременно начинают
движение по окружности в одну сторону со
скоростями V1 и V2 соответственно (V1 >V2), то
первый объект приближается ко второму со
скоростью V1 - V2 и в момент, когда первый
объект в первый раз догоняет второй, он проходит
расстояние на один круг больше.
36
14
Движение по окружности
Движение по окружности
(в противоположных направлениях)
(в противоположных направлениях)
Из одной точки круговой трассы одновременно в
противоположных направлениях выехали два автомобиля
(автомобили на схеме изображены звездочками).
Найдите длину круговой трассы, если автомобили
встретились через 2 часа, скорость первого автомобиля 80
км/ч, скорость второго – 100 км/ч.
Решение:
1) 100 + 80 = 180 (км/ч) – скорость сближения
2) 180 · 2 = 360 (км) – длина трассы
Ответ: 360 км.
37
38
Движение по окружности
(в одном направлении)
Движение по окружности
(в одном направлении)
Из пункта А круговой трассы, длина которой равна 30 км,
одновременно в одном направлении стартовали два
автомобилиста (автомобили на схеме изображены
звездочками). Скорость первого равна 92 км/ч, скорость
второго – 77 км/ч.
Через сколько минут первый автомобилист будет
опережать второго ровно на 1 круг?
Решение:
1) 92 – 77 = 15 (км/ч) – скорость удаления
2) 30 : 15 = 2 (ч)
2 часа = 120 минут
Ответ: через 120 минут.
38
41
Движение по воде
течение
течение
41
Движение по воде
Движение по воде
 В задачах на движение по воде скорость течения
считается неизменной.
 При движении по течению скорость течения
прибавляется к скорости плывущего тела.
 При движении против течения – вычитается из
скорости тела.
V по теч. = Vсобств.+Vтеч.
V против теч. = Vсобств.-Vтеч.
V по теч.- Vпротив теч..=2Vтеч.
Vплота=Vтечения
V по течению - ?
 Скорость плота считается равной скорости
течения.
8 км/ч
V собственная
V против течения - ?
2км/ч
42
V течения
43
15
Движение по воде
Движение по воде
Катер, имеющий собственную скорость 15км/ч,
плыл 2ч по течению реки и 3ч против течения.
Какое расстояние он проплыл за все время, если
скорость течения реки 2км/ч?
Какое расстояние пройдет плот за это время?
Решение:
1. 15+2=17(км/ч) – скорость по течению
2. 17·2=34(км) – путь катера по течению
3. 15-2=13(км/ч) - скорость против течения
4. 13·3=39(км) – путь катера против течения
5. 39+34=73(км) – весь путь катера
6. 3+2=5(ч) – время движения плота
7. 5 ·2=10(км) – путь плота
Ответ: путь катера – 73км; путь плота – 10 км.
течение
46
47
Движение по воде
Движение по воде
Папа и сын плывут на лодке против течения. В
какой то момент сын уронил за борт папину шляпу.
Только через 15 минут папа заметил пропажу,
быстро развернул лодку и они поплыли по течению
с той же собственной скоростью. За сколько минут
они догонят шляпу?
течение
Решение:
1) Vудаления = Vтечения + Vсобственная –
Vтечения
2) 15 · Vсобственная – расстояние на которое
отплыла лодка
3) Vсобственная + Vтечения – Vтечения = V
собственная – V с которой лодка догоняет
шляпу
4)15 Vсобственная / Vсобственная = 15минут
Ответ: 15 мин
49
49
Движение протяженных тел
Движение протяженных тел
В задачах на движение протяженных тел
требуется, как правило, определить длину одного
из них. Наиболее типичная ситуация: определение
длины поезда, проезжающего мимо столба или
протяженной платформы.
В первом случае поезд проходит мимо столба
расстояние, равное длине поезда,
во втором случае – расстояние, равное сумме
длин поезда и платформы.
51
50
Движение протяженных тел
Поезд длиной 200 м прошел мимо неподвижного
наблюдателя за 30 сек. За сколько времени он
проедет тоннель длиной 200 м?
200 м
Мимо наблюдателя
Движение протяженных тел
Решение:
1)200 · 0,5 = 100 (м/мин) – скорость поезда
2)100 + 200 = 300 (м) – длина тоннеля +
поезда
3)300 : 100 = 3 (мин)
Ответ: за 3 минуты
Тоннель
55
16
Движение в гору и с горы
С учетом движения туда и обратно
движущийся объект за все время движения
проходит:
в гору весь путь,
с горы весь путь.
туда
обратно
56
Движение в гору и с горы
Движение в гору и с горы
Путь от пансионата до почты, который
сначала идёт в гору, а потом под гору,
пешеход прошёл за 1час 40мин, а обратный
путь – за 2час 20мин. В гору он шёл со
скоростью 3км/час, а под гору- со
скоростью 6км/час. Найдите расстояние от
пансионата до почты.
Решение:
Весь путь = Х
x
t на путь в гору = 3
t на путь с горы =
x
6
x x
2
1
 1  2 ,
3 6
3
3
туда
№
57
Анализ задачи
(путь от
неизвестного к
данным)
Синтез задачи
(реализация
3.
найденной идеи
решения)
Проверка и
4. критическая оценка
решения
Сумма скоростей
V1+V2
Разность скоростей
V1-V2
Встречное движение
скорость сближения равна V1+V2
1
Движение в противоположных
направлениях
скорость удаления равна V1+V2,
Движение по окружности в
противоположных направлениях
2 скорость сближения равна V +V
1
2
Какую величину нужно было найти и какую величину получили?
Правдоподобен ли результат? Почему?
Нельзя ли сделать проверку?
Нет ли другого более короткого способа решения?
Испытывать правильность каждого шага, принимая лишь то,
«что усматривается с полной ясностью или выводится59
с
полной достоверностью» (Р. Декарт)
Движение по течению
3
Vпо теч.  Vсобств.  Vтеч.
Движение вдогонку
в одном направлении
скорость сближения равна V1-V2,
скорость
удаления равна V1-V2,
1
если V1>V2
Движение по окружности в одном
направлении
2 скорость сближения равна V -V ,
1
2
если V1>V2
Движение против течения
3
Vпротив теч.  Vсобств. Vтеч.
60
Схемы движения
Комбинированная задача
40
км/ч
Расстояние между двумя автомобилями
300км.
Скорость первого равна 60км/ч,
скорость второго - 40 км/ч
Какое
расстояние
будет
между
автомобилями через 2 часа?
40
км/ч
40
км/ч
60
км/ч
61
ГИА и ЕГЭ
58
Сводная таблица нахождения
скорости
Что нужно сделать
О чём говорится в задаче?
Что дано?
Что надо найти?
Определено ли неизвестное данными задачи?
Какова связь между искомой величиной и известными
величинами?
Попробовать свести данные и искомые величины в таблицу.
Преобразовать известные элементы. Попытаться получить, таким
образом, новые элементы, более близкие к искомым величинам.
Применить аналогию.
Арифметическое, алгебраическое (составление уравнения) или
комбинированное (арифметическое + алгебраическое) решение
задачи.
Задачи из текстов
x 8
Ответ: 8 км.
Поиск решения задач
Основные этапы
1. Понимание задачи
2.
обратно
x
 4,
2
300 км
300 км
300 км
300 км
60
км/ч
60
км/ч
60
км/ч
40
км/ч
62
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
В.К. Совайленко. Система обучения математике в 5-6 классах; Москва;
«Просвещение»; 1991
А.В. Шевкин. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах; Москва;
«Русское слово»; 2002
М.Н. Кочагина, В.В. Кочагин. ГИА2009. Математика: сборник заданий;
Москва; «Эксмо»; 2009
Л.В. Кузнецова и др. Алгебра: сборник заданий для подготовки к гос.
итоговой аттестации в 9 классе; Москва; «Просвещение»
С.А. Шестаков, Д.Д.Гущин. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В12. Рабочая
тетрадь; Москва; издательство МЦНМО; 2010
В.А. Поспелов. Задачи на движение. Санкт-Петербург; изд. дом
Литература; 2008.
Открытый банк задач ЕГЭ по математике http:|| www. mathege.ru
Уроки Adobe Photoshop. http://photoshop.demiart.ru/book-CS3/help.html
Справка программы MS Office PowerPoint 2007
http://gym1.ucoz.ru/load/1-1-0-143 - Мастерская. Мультимедийные
презентации для уроков математики.
91
17
Проверь свои знания
Чтобы проверить свои знания по теме: «Решение задач на движение»,
можно использовать сводную таблицу, которую мы самостоятельно
составили по материалам электронного справочника.
№
1
Вопрос
Какие основные величины
характеризуют движение?
Ответ
Расстояние (путь) - S
Скорость - V
Время- t
2
Единицы измерения расстояния
км, м, дм, см, мм
3
Единицы измерения скорости
км/час, м/мин
4
Единицы измерения времени
час, мин, сек
Как связаны расстояние, скорость,
S  V t
время?
V
5
S
V t
t
S
t
S
V
1. Движение навстречу
2. Движение в
противоположных
6
Перечислите основные виды
движения
направлениях
3. Движение в одном
направлении
4. Движение по окружности
(замкнутой трассе)
5. Движение по воде
7
Какая скорость характеризует
движение тел навстречу друг другу?
Скорость сближения
Vсближения  V1  V2
18
Как связаны расстояние, скорость и
8
время при движении тел навстречу
S  (V1  V2 )  t ,
где t  время до встречи
друг другу?
Какая скорость характеризует
9
движение тел в противоположных
направлениях?
Как связаны расстояние, скорость и
10
время при движении тел в
Скорость удаления
Vудаления  V1  V2
S  (V1  V2 )  t ,
где t  время движения
противоположных направлениях?
Какая скорость характеризует
11
движение тел
Vудаления  V1  V2 ,
с отставанием?
если V1  V2
Как связаны расстояние, скорость и
12
время при движении тел с
отставанием?
Какая скорость характеризует
13
14
Скорость удаления
движение тел, когда одно тело
догоняет другое?
S  (V1  V2 )  t ,
где V1  V2
Скорость сближения
Vсближения  V1  V2 ,
если V1  V2
S
, где
V1  V2
Как связаны расстояние, скорость и
t
время при движении тел вдогонку?
V1  V2 , t  время до встречи
15
Как найти скорость по течению?
Vпо теч.  Vсобств.  Vтеч.
16
Как найти скорость против течения?
Vпротив теч.  Vсобств.  Vтеч.
Как найти скорость течения, если
17
известны скорость по течению и
Vпо теч.  Vпротив теч.  2Vтеч.
скорость против течения?
18
Как найти длину круговой трассы
S  (V1  V2 )  t ,
при движении тел навстречу друг
где t  время до встречи
19
другу?
Как найти длину круговой трассы
19
при движении тел в одном
направлении?
S  (V1  V2 )  t ,
где V1  V2
Также эту таблицу можно использовать как справочную.
20
Приложение
Примеры задач из текстов ГИА и ЕГЭ
Задачи систематизированы по типам:
1. Связь основных характеристик движения: S; V; t
2. Средняя скорость
3. Движение навстречу
4. Движение в противоположных направлениях
5. Движение в одном направлении
6. Движение по окружности (замкнутой трассе)
7. Движение по воде
8. Движение протяжённых тел
9. Движение в гору и с горы
1. Связь основных характеристик движения: S; V; t
1. (ГИА 6 баллов) Один автомобиль проходит в минуту на 200м больше,
чем другой, поэтому затрачивает на прохождение одного километра на
10сек
меньше.
Сколько
километров
в
час
проходит
каждый
автомобиль?
2. (ГИА 4 балла) Турист, находящийся в спортивном лагере, должен
успеть к поезду на железнодорожную станцию. Если он поедет на
велосипеде со скоростью 15км/час, то опоздает на 30мин , а если поедет
на мопеде со скоростью 40км/час, то приедет за 2час до отхода поезда.
Чему равно расстояние от лагеря до станции?
3. (ГИА 2 балла) Скорость велосипедиста от посёлка до станции была на
1км/час больше, чем на обратном пути. На обратный путь он затратил
на 2 мин. Больше. Расстояние между пунктами 7км. Найдите
первоначальную скорость велосипедиста.
21
4. (ЕГЭ) Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в
город В, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день
он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По
дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на
обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите
скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
5. (ЕГЭ) Товарный поезд каждую минуту проезжает на 900 метров
меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 3 часа
больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в
км/ч.
2.
Средняя скорость
1. (ЕГЭ) Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со
скоростью 66 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 82
км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего
пути. Ответ дайте в км/ч.
2. (ЕГЭ) Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 24
км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 456 км/ч.
Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего
пути. Ответ дайте в км/ч.
3. (ЕГЭ) Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч,
вторую треть — со скоростью 75 км/ч, а последнюю — со скоростью 60
км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего
пути. Ответ дайте в км/ч.
4. (ЕГЭ) Первые три часа автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч,
следующий час — со скоростью 65 км/ч, а затем один час — со
скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на
протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
5. (ЕГЭ) Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч,
следующие 160 км — со скоростью 100 км/ч, а затем 120 км — со
22
скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на
протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
3.
Движение навстречу
1. Два охотника отправились одновременно навстречу друг другу из двух
деревень, расстояние между которыми 18км. Первый шёл со скоростью
5км/час, а второй - 4км/час. Первый охотник взял с собой собаку,
которая бежала со скоростью 8км/час. Собака сразу же побежала
навстречу второму охотнику, встретила его, повернула и стой же
скоростью побежала навстречу второму охотнику и т.д. Так она бегала
от одного охотника к другому, пока те не встретились. Сколько
километров пробежала собака?
2. (ГИА 2 балла) Два пешехода отправляются одновременно навстречу
друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми равно 50км, и
встречаются через 5 час. Определите скорость каждого пешехода, если
скорость у одного из них на 2км/час больше, чем у другого.
3. (ГИА 4 балла) Из города А в город В, расстояние между которыми
равно 300км, выехал автобус. Через 20мин. Навстречу ему из В в А
выехал автомобиль и через 2час. После выезда встретил автобус. С
какой скоростью ехал автомобиль, если известно, что она была на
20км/час больше скорости автобуса?
4. ( ГИА 6 баллов) Турист и велосипедист одновременно отправились
навстречу друг другу из пунктов А и В. Они встретились через 1,5часа,
после чего каждый продолжил движение в своём направлении.
Велосипедист прибыл в пункт А через 2 часа после выезда из В. За
какое время прошёл путь от А до В турист?
5. (ГИА 6 баллов) Из пунктов А и В, расстояние между которыми 6км,
одновременно вышли навстречу друг другу два пешехода. После их
встречи пешеход, шедший из а, пришёл в в через 24мин, а шедший из В
23
пришёл в А через 54 мин. На каком расстоянии от пункта А встретились
пешеходы?
6. (ЕГЭ) Из двух городов, расстояние между которыми равно 480 км,
навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через
сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 75 км/ч и
85 км/ч?
7. (ЕГЭ) Из городов A и B, расстояние между которыми равно 440 км,
навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и
встретились через 4 часа на расстоянии 240 км от города B. Найдите
скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.
8. (ЕГЭ) Расстояние между городами A и B равно 440 км. Из города A в
город B со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через час
после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 80 км/ч
второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили
встретятся? Ответ дайте в километрах.
9. (ЕГЭ) Расстояние между городами A и B равно 680 км. Из города A в
город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого
навстречу ему из города B выехал со скоростью 80 км/ч второй
автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили
встретились на расстоянии 360 км от города A. Ответ дайте в км/ч.
10.(ЕГЭ) Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и
велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 1 час раньше, чем
велосипедист приехал в A, а встретились они через 40 минут после
выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?
4.
Движение в противоположных направлениях
1. Из одного пункта в противоположных направлениях вышли два
пешехода. Скорость одного из них 6 км/час, и он был в пути на 2 час
больше, чем другой. Скорость другого составляла 2/3 скорости первого.
24
Сколько времени был в пути каждый пешеход, если они удалились друг
от друга на 28км?
2. Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой то момент сын
уронил за борт папину шляпу. Только через 15 мин. Папа заметил
пропажу, быстро развернул лодку и они поплыли по течению с той же
собственной скоростью. За сколько минут они догонят шляпу?
5.
Движение в одном направлении
1. На катке Ваня догоняет Мишу, который находится от него в 24м и
движется со скоростью 6м/сек. Это составляет 3/5 скорости Вани. Через
сколько времени Ваня догонит Мишу и какое он проедет расстояние
при этом?
2. (Старинная задача) Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который
пробегает в 2 мин 500 сажен, а собака в 5 мин -1 300 сажен.
Спрашивается, в какое время собака догонит зайца?
3. (Старинная задача) Некий юноша пошёл из Москвы к Вологде. Он
проходил в день по 40 вёрст. Через день вслед за ним был послан
другой юноша, проходивший в день по 45 вёрст. Через сколько дней
второй догонит первого?
4. (ГИА 4балла) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми
60км, одновременно выехали автобус и автомобиль. В пути автомобиль
сделал остановку на 3мин, но в пункт В прибыл на 7мин. раньше
автобуса. Найдите скорости автомобиля и автобуса, если известно, что
скорость автобуса в 1,2 раза меньше скорости автомобиля.
5. (ГИА 6 баллов) Из турбазы в одном направлении выходят три туриста с
интервалом в 30минут. Первый идёт со скоростью 5км/час, второй 4км\час. Третий турист догоняет второго, а ещё через 4 часа догоняет
первого. Найдите скорость третьего туриста.
6. (ЕГЭ) Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля.
Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал
25
первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13
км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате
чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите
скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч.
Ответ дайте в км/ч.
7. (ЕГЭ)
Два
велосипедиста
одновременно
отправились
в
154-
километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей,
чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго.
Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ
дайте в км/ч.
8. (ЕГЭ) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км,
одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в
час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист.
Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в
пункт В на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
9. (ЕГЭ) Расстояние между городами A и B равно 630 км. Из города A в
город B выехал автомобиль, а через 2 часа следом за ним со скоростью
60 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул
обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите
расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.
10.(ЕГЭ) Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении
из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого
на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние
между пешеходами станет равным 150 метрам?
11.(ЕГЭ) Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью
12 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в
том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после
этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если
сначала он догнал второго, а через 2 часа 45 минут после этого догнал
первого. Ответ дайте в км/ч.
26
6. Движение по окружности (замкнутой трассе)
1. (ГИА 4 балла) Два тела, движущиеся в разные стороны по окружности
длиной 500м с постоянными скоростями, встречаются каждые 125сек.
При движении в одну сторону первое тело догоняет второе каждые 12,5
сек. Найдите скорости каждого тела.
2. (ГИА 4 балла) Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении,
встречаются через каждые 112 мин., а двигаясь в противоположных
направлениях – через каждые 16 минут. Во втором случае расстояние
между ними уменьшилось с 40м до 26м за 12сек. Сколько метров в
минуту проходит каждое тело?
3. (ГИА 4 балла) Два тела, движущиеся в разные стороны по окружности
длиной 500м с постоянными скоростями, встречаются каждые 125сек.
При движении в одну сторону первое тело догоняет второе каждые 12,5
сек. Найдите скорости каждого тела.
4. (ЕГЭ) Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении
из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина
которой равна 22 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются
в первый раз, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости
другого?
5. (ЕГЭ) Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 12 км,
одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля.
Скорость первого автомобиля равна 101 км/ч, и через 20 минут после
старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость
второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
6. (ЕГЭ) Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30
минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после
отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 44
минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость
мотоциклиста, если длина трассы равна 33 км. Ответ дайте в км/ч.
27
7. Движение по воде
1. (ГИА 2 балла) Катер прошёл 20км по течению реки и такой же путь
обратно, затратив на весь путь 1час 45мин. Скорость течения реки
равна 2км/час. Найдите собственную скорость катера.
2. (ГИА 2 балла) Катер прошёл 20км по течению реки и такой же путь
обратно, затратив на весь путь 1час 45мин. Скорость течения реки
равна 2км/час. Найдите собственную скорость катера.
3. (ГИА 2 балла) Моторная лодка прошла 10км по озеру и 4км против
течения, затратив на весь путь 1час. Найдите собственную скорость
лодки, если скорость течения реки равна 3км/час.
4. (ГИА 2 балла) Катер прошёл 15км по течению реки и 4км по озеру,
затратив на весь путь 1час. Найдите собственную скорость катера, если
скорость течения реки равна 4км/час.
5. (ГИА 2 балла) Лодка может проплыть 15км по течению реки и ещё 6км
против течения за то же время, за какое плот может проплыть 5км по
этой реке. Найдите скорость течения реки, если известно, что
собственная скорость лодки 8км/час.
6. (ГИА 6 баллов) Плот проплывает из пункта А в пункт В за 12 час, а
моторная лодка – за 3час. За какое время моторная лодка преодолеет
такое же расстояние в стоячей воде?
7. (ЕГЭ) Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась
в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше.
Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения
равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
8. (ЕГЭ) Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255
км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите
скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1
км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход
возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
28
9. (ЕГЭ) От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью
первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью
на 1 км/ч большей отправился второй. Расстояние между пристанями
равно 420 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба
теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.
10.(ЕГЭ) Байдарка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в
15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, байдарка отправилась
назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/ч) собственную
скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.
11.(ЕГЭ) Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними
195 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На
следующий день она отправилась обратно со скоростью на 2 км/ч
больше прежней, сделав по пути остановку на 2 часа. В результате она
затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь
из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.
12.(ЕГЭ) Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 20 км/ч,
проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный
пункт. Скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в
исходный пункт теплоход возвращается через 36 часов после отплытия
из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?
13.(ЕГЭ) Расстояние между пристанями A и B равно 189 км. Из A в B по
течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась
яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и
возвратилась в A. К этому времени плот прошел 50 км. Найдите
скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2
км/ч. Ответ дайте в км/ч.
29
8.
Движение протяжённых тел
1. (ЕГЭ) Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 50 км/ч, проезжает
мимо придорожного столба за 72 секунды. Найдите длину поезда в
метрах.
2. (ЕГЭ) Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 70 км/ч, проезжает
мимо лесополосы, длина которой равна 1000 метров, за 1 минуту 48
секунд. Найдите длину поезда в метрах.
3. (ЕГЭ) По морю параллельными курсами в одном направлении следуют
два сухогруза: первый длиной 130 метров, второй — длиной 120
метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый
момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа
второго составляет 600 метров. Через 11 минут после этого уже первый
сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго
сухогруза до носа первого равно 800 метрам. На сколько километров в
час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?
4. (ЕГЭ) По двум параллельным железнодорожным путям в одном
направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости
которых равны соответственно 80 км/ч и 50 км/ч. Длина товарного
поезда равна 800 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если
время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 2 минутам.
Ответ дайте в метрах.
9.
Движение в гору и с горы
1. (ГИА 4 балла) Путь от пансионата до почты, который сначала идёт в
гору, а потом под гору, пешеход прошёл за 1час 40мин, а обратный путь
– за 2час20мин. В гору он шёл со скоростью 3км/час, а под гору- со
скоростью 6км/час. Найдите расстояние от пансионата до почты.
2. (ГИА 4 балла) Путь от посёлка до озера идёт сначала горизонтально, а
затем в гору. От посёлка до озера велосипедист доехал за 1 час, а
30
обратно за 46мин. Его скорость на горизонтальном участке была равна
12км/час,
на
подъёме-8км/час,
а
на
спуске-15км/час.
Найдите
расстояние от посёлка до озера.
3. (ГИА 6 баллов) Автомобиль едет из А в В сначала 2мин с горы, а затем
6мин в гору. Обратный же путь он проделывает за 13мин. Во сколько
раз быстрее автомобиль едет с горы, чем в гору?
4. (ГИА 6 баллов) Дорога от посёлка до станции идёт сначала в гору, а
потом под гору, при этом её длина равна 9км. Пешеход на подъёме идёт
со скоростью, на 2км/час меньшей, чем на спуске. Путь от посёлка до
станции занимает у него 1час 50мин, а обратный путь занимает 1час
55мин. Определите длину подъёма на пути к станции и скорости
пешехода на подъёме и спуске?
31
Литература
1. В.К. Совайленко. Система обучения математике в 5-6 классах; Москва;
«Просвещение»; 1991
2. А.В. Шевкин. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах;
Москва; «Русское слово»; 2002
3. М.Н. Кочагина, В.В. Кочагин. ГИА2009. Математика: сборник заданий;
Москва; «Эксмо»; 2009
4. Л.В. Кузнецова и др. Алгебра: сборник заданий для подготовки к гос.
итоговой аттестации в 9 классе; Москва; «Просвещение»
5. С.А. Шестаков, Д.Д.Гущин. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В12.
Рабочая тетрадь; Москва; издательство МЦНМО; 2010
6. В.А. Поспелов. Задачи на движение. Санкт-Петербург; изд. дом
Литература; 2008.
7. Открытый банк задач ЕГЭ по математике http:// www. mathege.ru
8. Уроки Adobe Photoshop. http://photoshop.demiart.ru/book-CS3/help.html
9. Справка программы MS Office PowerPoint 2007
10.wikikurgan.orbitel.ru/images/6/68/Trebovaniya_k_prezent_iv.doc,
Рекомендации по созданию презентации
11.http://gym1.ucoz.ru/load/1-1-0-143
-
Мастерская.
Мультимедийные
презентации для уроков математики.
32