h v S F η = радиус шарика. Уравнение второго закона Ньютона с

9.2. Вязкое трение
Силы вязкого трения возникают только при относительном перемещении тел и зависят от физических
свойств среды, прежде всего её вязкости и плотности,
а так же от формы движущегося тела. Кроме того силы сопротивления определяются и режимом движения среды, ламинарным (слоистым) или турбулентным. При обтекании воздухом или жидкостью твёрдых тел, у их поверхностей устанавливается распределение скорости, образуется, так называемый, поРис. 9.5. Силы вязкого трения
граничный слой. Ньютон установил законы трения,
возникающего при относительном перемещении в
сплошной среде двух параллельных поверхностей (рис. 9.5). Измеряя скорость и величину, требующейся для этого силы, Ньютон пришёл к следующей зависимости
v
Fτ = ηS ,
h
(9.4)
где η − коэффициент внутреннего трения (вязкости), S − площадь поверхности 1, движущейся
относительно неподвижной поверхности 2, h − расстояние между поверхностями, v − скорость
относительного перемещения. Закон Ньютона в форме (9.4) справедлив при условии h << S ,
т.е. когда расстояние между поверхностями много меньше их геометрических размеров. Между
поверхностями устанавливается распределение скоростей. Слои среды (жидкости или газа) прилегающие непосредственно к неподвижной плоскости 2 покоятся, а те, что прилегают к движущейся поверхности 1, имеют соответственно скорость v. Передача импульса
(количества движения) между отдельными слоями среды происходит за счёт наличия внутреннего трения
Рассмотрим случай падения сферического тела в жидкой среде,
который имеет ряд интересных прикладных значений, в частности
для измерения вязкости жидкостей (рис. 9.6). На падающий в вязкой
среде шарик действует система трёх сил: сила тяготения
G = mg = ρ Ш gVШ ,
(9.5)
архимедова сила
(9.6)
FA = ρЖ gVШ ,
Рис. 9.6. Падение сферы в
вязкой среде
и сила вязкого трения
(9.7)
Fτ = 6πηav ,
где ρШ − плотность материала шарика, VШ − объём шарика, ρЖ − плотность жидкости, а −
радиус шарика. Уравнение второго закона Ньютона с учётом значений действующих
сил запишется следующим образом
dv
m
= (ρ Ш − ρ Ж )VШ g - 6πav .
(9.8)
dt
Объём шарика равен VШ = 4 3πa 3 , а его Мааса m = ρ Ш VШ , с учётом этого уравнение (9.8)
перепишется следующим образом [16]
9 η
dv ρ Ш - ρЖ
g- 2
=
v.
2a ρ Ш
ρШ
dt
(9.9)
Структура уравнения (9.9) говорит о том, что скорость не может быть больше некоторого
значения v0. Предположим, что скорость достигла некоторого значения и далее не меняется, т.е.
dv/dt =0, следовательно
235
ρШ - ρЖ
9 η
ρ − ρЖ 2a 2g
g= 2
v, ⇒ v 0 = Ш
.
ρШ
2a ρШ
η
9
(9.10)
В дифференциальном уравнении и (9.8) можно разделить переменные, если воспользоваться
соотношением (9.10)
β
dv
2a 2ρШ
= v 0 − v, β =
,
dt
9η
dv
β
= −dt .
v − v0
(9.11)
(9.12)
Интегрирование уравнения (9.12) приводит к результату
⎛ t⎞
v − v 0 = C0 exp⎜⎜ − ⎟⎟ .
⎝ η⎠
(9.13)
Постоянную интегрирования С0 определяется из условий: при t = 0, v = 0, C0 = − v0
⎡
⎛ t ⎞⎤
v = v 0 ⎢1 − exp⎜⎜ − ⎟⎟⎥ .
⎝ η ⎠⎦
⎣
(9.14)
График зависимости скорости от времени представлен на
рис. 9.7, из которого видно, что скорость падения шарика в
вязкой жидкости асимптотически приближается к значению v0.
Только в начальный момент времени при t << η движение будет ускоренным, в дальнейшие моменты времени ускорение
станет уменьшаться, а при t >> станет практически постоянной.
В случае непропорциональности силы сопротивления скорости
при падении тел в средах их скорость тоже будет стремиться к
Рис. 9.7. Зависимость скорости постоянному значению. Например, при десантировании парашютиста с борта летательного аппарата его скорость, как с расот времени
крытым парашютом, так и в противном случае после некоторого времени свободного полёта примет постоянное значение.
Другое дело, что с парашютом эта скорость составит порядка 5
− 6 м/с, а без парашюта скорость стабилизируется при значении
60 м/с, что не совместимо с жизнью при достижении земной
тверди. А вот кошки, будучи брошенными, с высоты, инстинктивно разбрасывают в разные стороны лапы, оттопыривают
хвост, т.е. максимально увеличивают сою площадь поперечного
сечения, что обеспечивает им падение с постоянной скоростью
порядка 8 − 10 м/с. При такой скорости животное без угрозы для
жизни может совершать прыжки со значительных высот. Но
Рис. 9.8. Полёт кота
специально бросать кошек с высоты не следует, потому что с
испугу они могут начать группироваться, сопротивление их уменьшится и последствия могут
стать плачевными.
В табл. 9.1 − 9.4 следующих далее приведены значения вязкости некоторых жидкостей и
газов.
Таблица 9.1. Вязкость веществ (η) в жидком состоянии, 10 –3 кг/(м⋅с)
Вещество
Алюминий
Висмут
Калий
Олово
t,0С
700
800
304
451
600
100
700
240
300
400
η
2,9
1,4
1,662
1,272
1,000
0,466
0,14
1,91
1,67
1,38
Вещество
Медь
Натрий
Серебро
Сурьма
236
t,0С
1100
1200
100
132
183
400
700
1167
1200
650
η
3,33
3,12
0,814
0,742
0,635
0,25
0,18
3,02
2,98
1,5
500
600
700
800
300
400
450
500
600
700
800
Свинец
1,18
1,05
0,94
0,87
2,649
1,315
2,057
1,850
1,540
1,356
1,23
700
800
850
43,2
50,5
60,2
79,9
450
500
600
700
Фосфор
Цинк
1,26
1,08
1,05
1,73
1,6
1,45
1,21
3,168
2,779
2,233
1,865
Таблица 9.2. Динамическая вязкость (η) жидкостей, 10 –3 Па⋅с [кг/(м⋅с)]
При температуре 0С
Вещество
0
10
20
50
Анилин
10,2
6,5
4,40
1,80
Ацетон
0,395
0,356
0,322
0,246
Бензол
0,91
0,76
0,65
0,436
Бром
1,253
1,107
0,992
0,746
Вода
1,304
1,002
0,548
Глицерин
12100
39500
1499
Кислота уксусная
1,22
0,74
Масло касторовое
2420
986
Масло машинное
Масло цилиндровое
Нитробензол
3,09
2,46
2,01
1,24
Пентан
0,283
0,254
0,229
Ртуть
1,685
1,615
1,554
1,407
Сероуглерод
0,433
0,396
0,336
Силикон
201
135
99,1
47,6
Спирт метиловый
0,817
0,68
0,584
0,396
Спирт этиловый
1,78
1,41
1,19
0,701
Толуол
0,768
0,667
0,586
0,420
Углерод четырёххлористый
1,35
1,13
0,97
0,65
Хлороформ
0,70
0,63
0,57
0,426
Эфир этиловый
0,296
0,268
0,243
-
100
0,80
0,261
0,46
16,9
4,9
18,7
0,70
1,240
21,5
0,326
0,271
0,387
0,118
Таблица 9.3. Динамическая вязкость (η) воды, при различных температурах (t, 0С) ,10 – 6 Па⋅с [кг/(м⋅с)]
t
η
t
η
0
1797
5
1518
10
1307
15
1140
20
1004
25
895
30
803
70
407
80
357
90
317
100
284
110
256
120
232
130
212
40
655
140
196
50
551
60
470
150
184
160
174
Таблица 9.4. Коэффициент (η) внутреннего трения (вязкости) газов и паров, 10 – 3 Па⋅с, (кг/(м⋅с)
Газ, пар
t,0C
Газ, пар
t,0C
η
η
0
1,67
0
1,92
Азот
Кислород
15
1,74
14,2
1,97
23
1,77
23,0
2,04
Аргон
23
2,21
Метан
17
1,09
0
0,84
Неон
0
2,97
Водород
28,1
0,89
0
1.65
Окись углерода
0
1,72
15
1,74
Воздух
16
1,81
23
1,81
21,6
1,84
0
0,87
Пары воды
0
1,86
100
1,23
Гелий
23
1,98
0
1,62
Пары ртути
Двуокись углерода
23
1,47
300
5,32
237