уравнение параболического типа с нелокальными

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 17 (2006). С. 5–10
УДК 517.98
УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
С НЕЛОКАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
c 2006 г.
Ю. Т. СИЛЬЧЕНКО
АННОТАЦИЯ. Для линейного параболического уравнения с главной частью дивергентного вида ставится задача с нелокальными (и нерегулярными) условиями интегрального типа. Найдены достаточные
условия однозначной разрешимости указанной задачи.
1. Рассмотрим уравнение параболического типа
∂v
∂
∂v
=
a(t, x)
+ b(x)v + f (t, x),
∂t
∂x
∂x
(1.1)
где t ∈ (0, 1], x ∈ [0, 1], a(t, x), b(x), f (t, x) — заданные функции, a(t, x) > a0 > 0, b(x) 6 −b0
при некотором a0 и достаточно большом b0 > 0. Нас будет интересовать решение v = v(t, x)
уравнения (1.1), удовлетворяющее краевым условиям
Z1
v(t, 0) = 0,
ϕ(x)v(t, x)dx = 0
(1.2)
0
и условию
Z1
Φ1 (t)v(t, x) + Φ2 (t)v 0 (t, x) dt = v1 (x),
(1.3)
0
где ϕ(x), Φ1 (t), Φ2 (t), v1 (x) — заданные функции. Отметим, что условия (1.2) не являются регулярными. Уравнение теплопроводности с подобными условиями (при ϕ(x) = 1) рассматривалось
в [2]. Вместо начального условия для функции v(t, x) задается нелокальное условие (1.3). Задача с
таким условием, вообще говоря, не является корректной (см. [3, 8]). В данной работе исследуется
задача (1.1)–(1.3) и устанавливаются условия ее однозначной разрешимости.
2. Указанную задачу будем рассматривать в пространстве L2 (по x ∈ [0, 1]) и под ее решением
будет понимать такую функцию v(t, x), для которой все члены в уравнении (1.1) принадлежат
L2 , дифференцирование по t при t > 0 понимается в смысле нормы этого пространства, а также
выполнены условия (1.2)–(1.3). Введем в этом пространстве оператор
d
dv
a(t, x)
− b(x)v
(1.4)
A(t)v(x) = −
dx
dx
с областью определения


Z1


D(A(t)) = Dt = v(x) ∈ W22 (0, 1) : v(0) = 0,
ϕ(x)v(x)dt = 0


0
и оператор
Φ(t)v(x) = Φ1 (t)v(x) + Φ2 (t)v 0 (x)
(1.5)
с областью определения
D(Φ(t)) = {v(x) ∈ W21 (0, 1) : v(0) = 0}.
c
2006
РУДН
5
6
Ю. Т. СИЛЬЧЕНКО
Тогда задача (1.1)–(1.3) сведется к абстрактной задаче
dv
+ A(t)v = f (t), 0 < t 6 1,
dt
Z1
Φ(t)v(t)dt = v1
(1.6)
(1.7)
0
в банаховом пространстве E = L2 , где A(t), Φ(t) — заданные операторнозначные функции, f (t) —
заданная функция со значениями в E, v1 — заданный элемент из E. Подобная задача с однородным уравнением (1.6), постоянным операторным коэффициентом A и скалярной функцией Φ(t)
рассмотрена в [8]. Отметим, что в данной работе используется иной класс полугрупп, чем в [8].
Это позволяет использовать операторы, имеющие неплотные области определения.
3. Рассмотрим условия разрешимости задачи (1.6)–(1.7) в произвольном банаховом пространстве
E. Сделаем основные предположения (для кратности изложения они не предполагаются самыми
общими) и приведем используемые далее факты. Будем считать, что у оператора A(t) при каждом
t ∈ [0, 1] существует ограниченный обратный оператор A−1 (t), Ds ⊂ Dt при s 6 t, операторфункция A(0)A−1 (t) непрерывно дифференцируема и при каждом t существует оператор-функция
Tt (s) = exp{−sA(t)}, обладающая свойствами:
10 . Tt (s) – линейный ограниченный оператор из E в Dt , s ∈ (0, ∞);
20 . Tt (s)Tt (τ ) = Tt (s + τ ), τ, s > 0;
30 . lim Tt (s)v = v для v ∈ Dt ;
t→+0
40 . Tt (s) дифференцируема по s (s > 0) и
d
Tt (s) = −A(t)Tt (s);
ds
50 . Tt (s) коммутирует с A(t) на Dt ;
60 . Выполнены оценки
kTt (s)k 6 M s−α exp(−ws), kTt0 (s)k 6 M s−β exp(−ws)
(1.8)
при некоторых M > 0, w > 0, α > 0, β > 1.
Оператор-функцию Tt (s) называют полугруппой (класса A(α, β)), порожденной оператором A(t). Если D0 = E, α = 0, β = 1, то это — класс аналитических полугрупп.
С помощью введенной полугруппы Tt (s) может быть построен разрешающий оператор уравнения (1.6). Имеет место (см. [5])
Теорема 1.1. Пусть в оценках (1.8) α + 1 6 β < 2, x∗ ∈ D0 .
Тогда существует определенная при 0 6 s < t 6 1 оператор-функция U (t, s) : E → Dt
(называемая разрешающим оператором), обладающая следующими свойствами:
10 . U (t, s) непрерывна по совокупности переменных 0 6 s < t 6 1;
20 . U (t, s) непрерывно дифференцируема по t при t > s и
30 . U (t, s)U (s, τ ) = U (t, τ )
40 . Выполнены оценки
∂U (t, s)
= −A(t)U (t, s);
∂t
(0 6 τ < s < t 6 1);
kU (t, s)k 6 M (t − s)−α e−w(t−s) , kA(t)U (t, s)A−1 (s)k 6 M (t − s)−α e−w(t−s) .
(1.9)
Решение задачи Коши существует, единственно и задается формулой
x(t) = U (t, 0)x∗ .
Отметим, что в условиях теоремы 1.1 справедливо предельное соотношение
lim A−1 (t)U (t, 0)v = A−1 (0)v,
t→0
v ∈ E.
(1.10)
Если правая часть f (t) в (1.6) удовлетворяет условию Гельдера
kf (t + ∆t) − f (t)k 6 c | ∆t |ε
(1.11)
УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
с некоторым ε ∈ ((β − 1)/(β − α), 1], то (см. [7]) функция g(t) =
Rt
7
U (t, s)f (s)ds принадлежит Dt и
0
справедлива оценка
kA(t)g(t)k 6 ct−α kf kε .
Здесь kf kε = max kf (t)k +
06t61
(1.12)
kf (t+∆t)−f (t)k
.
(∆t)ε
sup
06t<t+∆t61
Относительно оператора Φ(t) будем предполагать, что он при каждом t подчинен оператору A(t), т. е.
kΦ(t)vk 6 ckA(t)vk для x ∈ Dt ,
а константа c > 0 не зависит от t. В частности, это означает, что Dt ⊂ D(Φ(t)) и операторы
Φ(t)A−1 (t) ограничены при каждом t. Будем считать, что эти операторы Φ(t)A−1 (t) непрерывно
дифференцируемы в норме пространства E, у оператора Φ(0) существует ограниченный обратный Φ−1 (0).
4. Обратимся к уравнению (1.6) с условием (1.7). Решение этого уравнения записывается в виде
(1.13)
v(t) = U (t, 0)v0 + g(t),
где v0 = v(0) — неизвестный пока элемент, g(t) =
Rt
U (t, s)f (s)ds. Для нахождения элемента v0
0
используем условие (1.6) и проинтегрируем равенство (1.13) по t в пределах от 0 до 1, применив
предварительно к этому равенству оператор Φ(t) :
Z1
v1 =
Z1
Φ(t)v(t)dt =
0
Z1
Φ(t)U (t, 0)v0 dt +
0
Φ(t)g(t)dt.
0
В силу оценок (1.9), (1.12) при α < 1 последний интеграл существует
R1
Φ(t)A−1 (t)A(t)g(t)dt .
он записывается в виде
0
Далее, пользуясь свойством 20 разрешающего оператора, в первом интеграле справа в формуле (1) проведем интегрирование по частям, используя (1.10) при выполнении нижней подстановки:
Z1
Z1
Φ(t)U (t, 0)v0 dt = −
0
= [Φ(0)A
Φ(t)A−1 (t)
∂U (t, 0)
v0 dt =
∂t
0
−1
(0) − Φ(1)A
−1
Z1
(1)U (1, 0)]v0 +
[Φ(t)A−1 (t)]0 U (t, 0)v0 dt.
0
[Φ(t)A−1 (t)]0
Здесь, поскольку оператор
ограничен, интеграл справа существует, значит, существует и интеграл (как несобственный) слева. Поэтому
v1 = [Φ(0)A−1 (0) − Φ(1)A−1 (1)U (1, 0)]v0 +
Z1
+
Пусть оператор
[Φ(t)A
−1
0
−1
A(0)Φ (0)Φ(t)A−1 (t)
kA(0)Φ
−1
(0)Φ(t)A
−1
0
Z1
(t)] U (t, 0)v0 dt +
(1.14)
Φ(t)g(t)dt.
0
и его производная ограничены (равномерно по t):
(t)k 6 q,
kA(0)Φ−1 (0)[Φ(t)A−1 (t)]0 k 6 q.
(1.15)
Тогда к правым частям в (1.14) можно применить оператор A(0)Φ−1 (0). Значит, v1 принадлежит
D(A(0)Φ−1 (0)) и
A(0)Φ−1 (0)v1 = [I − A(0)Φ−1 (0)A(1)Φ−1 (1)U (1, 0)]v0 +
+ A(0)Φ
−1
Z1
(0)
[Φ(t)A
0
−1
0
(t)] U (t, 0)v0 dt + +A(0)Φ
−1
Z1
(0)
Φ(t)g(t)dt.
0
8
Ю. Т. СИЛЬЧЕНКО
Введем (ограниченные) операторы
K = A(0)Φ
−1
(0)A
−1
(1)U (1, 0),
−1
L = A(0)Φ
Z1
(0)
[Φ(t)A−1 (t)]0 U (t, 0)dt.
0
C их помощью последнее равенство запишется в виде
A(0)Φ−1 (0)v1 = (I − K)v0 + Lv0 + A(0)Φ−1 (0)
Z1
Φ(t)g(t)dt.
(1.16)
0
Оценим нормы операторов K и L, пользуясь неравенствами (1.9) и (1.15):
kKk 6 qkU (1, 0)k 6 M qe−w ,
Z1
kLk 6 qkU (t, 0)kdt 6 q
−wt
Me
t
−α
Z∞
dt 6 M q
0
Если
M qe−w
t−α e−wt dt = M q
Γ(1 − α)
.
w1−α
0
< 1, то оператор I − K непрерывно обратим. Поэтому из (1.16) следует равенство
−1
(I − K)
−1
A(0)Φ
−1
v1 = v0 + (I − K)
−1
Lv0 + (I − K)
−1
Z1
A(0)Φ
Φ(t)g(t)dt.
0
Оценим норму оператора (I −
K)−1 L
:
k(I − K)−1 Lk 6
1
Γ(1 − α)
Mq
.
1 − M qe−w
w1−α
Выберем
1
w > max{ln 2M q, [2M qΓ(1 − α)] 1−α }.
Тогда k(I −
(1.17)
K)−1 Lk
< 1 и выражение перед v0 можно обратить:


Z1
−1
v0 = I + (I − K)−1 L
(I − K)−1 A(0)Φ−1 (0) v1 − Φ(t)g(t)dt .
0
Полученная формула определяет единственным образом элемент v0 . Подставив этот элемент в
формулу (1.13), получим решение исходной задачи:
−1
v(t) = U (t, 0) I + (I − K)−1 L
(I − K)−1 A(0)Φ−1 (0)×
Zt
Z1
Zt
× v1 − Φ(t) U (t, s)f (s)dsdt + U (t, s)f (s)ds.
0
0
(1.18)
0
Таким образом, установлена
Теорема 1.2. Пусть выполнены следующие условия:
1. у оператор-функции A(t) при каждом t ∈ [0, 1] существует ограниченный обратный оператор A−1 (t) и Ds ⊂ Dt при s 6 t;
2. оператор Φ(t) подчинен оператору A(t), оператор Φ−1 (0) существует и ограничен,
оператор-функция Φ(t)A−1 (t) непрерывно дифференцируема, выполнены условия (1.15);
3. оператор A(t) при каждом t ∈ [0, 1] порождает полугруппу класса A(α, β) и α + 1 6 β < 2;
4. в оценках (1.8) число w удовлетворяет условию (1.17), где q определяется неравенствами (1.15);
5. функция f (t) удовлетворяет условию Гельдера (1.11) с некоторым ε ∈ ((β − 1)/(β − α), 1];
6. v1 ∈ D(A(0)Φ−1 (0)).
Тогда решение задачи (1.6)–(1.7) существует, единственно и задается формулой (1.18).
УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
9
5. Проверим для операторов A(t) и Φ(t), введенных в п. 2 в пространстве L2 , выполнение
условий теоремы 1.2.
Рассмотрим резольвентное уравнение для оператора A(t) в простейшем случае, когда a(t, x) = 1,
b(x) = −b0 , ϕ(x) = 1:
−v 00 + b0 v + λv = f (x)
R1
с условиями v(0) = 0, v(x)dx = 0. Для этой задачи можно выписать явную формулу решения
0
eρ(x−1)
v(x) = √
2 ρ(1 − 2e−ρ + e−2ρ )
Z1
f (s)ds + v1 (x),
0
√
где ρ = λ + b0 , v1 (x) — остальные слагаемые в формуле решения. Вычисляя норму этой функции,
получим оценку
3
k(A + λI)−1 k 6 C | λ + b0 |− 4 , Reλ > −b0 .
В общем случае эта оценка устанавливается методами работ [1, 6]. Она позволяет (см. [9]) строить
1
соответствующую полугруппу операторов. Для этой полугруппы в оценках (1.8) имеем α = ,
4
5
β = , w > b0 .
4
Покажем, что у оператора A(t) существует ограниченный обратный. Рассмотрим уравнение
d
dv
−
a(t, x)
− b(x)v = f (x)
dx
dx
с условиями v(0) = 0,
z(x) =
Rx
R1
ϕ(x)v(x)dx = 0. Пусть для простоты выкладок ϕ(x) = 1. Положим
0
v(s)ds. Тогда для функции z(x) мы имеем задачу
0
a0x 00 b 0
f (x)
z + z =−
,
a
a
a
z(0) = 0, z(1) = 0, z 0 (0) = 0.
Эти краевые условия являются регулярными (см. [4]), поэтому существует функция Грина G(x, s),
с помощью которой выписывается решение этой задачи:
z 000 +
Z1
z(x) =
G(x, s)
f (s)
ds.
a(t, s)
0
Поэтому
v(x) = A
−1
0
Z1
(t)f = z (x) =
G0x (x, s)
f (s)
ds,
a(t, s)
0
v 0 (x) =
Z1
G00xx (x, s)
f (s)
ds.
a(t, s)
0
Рассмотрим оператор
Φ(t)A−1 (t).
−1
Φ(t)A
Z1
= Φ1 (t)
0
Из формулы (1.5) имеем:
(t)f (x) = Φ1 (t)v(x) + Φ2 (t)v 0 (x) =
G0x (x, s)
f (s)
ds + Φ2 (t)
a(t, s)
Z1
G00xx (x, s)
f (s)
ds.
a(t, s)
0
Поэтому kΦ(t)A−1 (t)f k 6 Ckf k для любой функции f (x) ∈ L2 , что и означает подчиненность
оператора Φ(t) оператору A(t). Теперь сформулируем условия разрешимости задачи (1.1)–(1.3).
10
Ю. Т. СИЛЬЧЕНКО
Теорема 1.3. Пусть выполнены условия:
1. функции a(t, s), a0x (t, x) непрерывны по совокупности переменных, a(t, s) > a0 > 0;
2. функция b(x) непрерывна, b(x) 6 −b0 при достаточно большом b0 > 0 (b0 определяется
по данным задачи так, чтобы выполнялось (1.17));
3. функции Φ1 (t), Φ2 (t), ϕ(x) непрерывны, ϕ(x) 6= 0;
4. функция v1 (x) ∈ D0 ;
5. функция f (t, s) удовлетворяет условию Гельдера в норме пространства L2 :
kf (t + ∆t, ·) − f (t, ·)k 6 C | ∆t |ε
1
,1 .
с некоторым ε ∈
4
Тогда задача (1.1)–(1.3) имеет единственное решение.
Замечание 1.1. Данную задачу можно рассматривать в пространствах Lp с p ∈ [1, ∞), можно
ослабить требования гладкости данных задачи, рассмотреть иные краевые условия, нежели (1.2).
Работа выполнена при содействии РФФИ, проект № 04-01-00141, гранта по поддержке ведущих
научных школ № НШ-1643.2003.1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Галахов Е. И., Скубачевский А. Л. Об одной нелокальной спектральной задаче// Дифф. ур-я. — 1997. —
33, № 1. — С. 25–32.
2. Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием// Дифф. ур-я. — 1977. — 13, № 2. — С. 294-304.
3. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и
анализа. — М.: Наука, 1980.
4. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969.
5. Сильченко Ю. Т. Эволюционные уравнения с неплотно заданным операторным коэффициентом// Сиб.
мат. ж. — 1993. — 34, № 2. — С. 166–169.
6. Сильченко Ю. Т. Обыкновенный дифференциальный оператор с нерегулярными граничными условиями// Сиб. мат. ж. — 1999. — 40, № 1. — С. 183–190.
7. Сильченко Ю. Т., Соболевский П. Е. Разрешимость задачи Коши для эволюционного уравнения в
банаховом пространстве с неплотно заданным операторным коэффициентом, порождпющим полугруппу
с особенностью // Сиб. мат. ж. — 1986. — 27, № 4. — С. 93–104.
8. Тихонов И. В. О разрешимости задачи с нелокальным условием для дифференциального уравнения в
банаховом пространстве// Дифф. ур-я. — 1998. — 34, № 6. — С. 841–843.
9. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения. — Баку: Элм, 1985.
Юрий Тихонович Сильченко
Воронежский государственный университет,
кафедра функционального анализа и операторных уравнений
E-mail: silchenko@kfa.vsu.ru