Исследование распространения волн в

142 Прикладная физика и прикладная механика ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 3
УДК 534.213.4
Г. С. Щелик
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Московский научно-исследовательский центр Шлюмберже
Исследование распространения волн
в нецилиндрических скважинах в анизотропной породе
методом спектральных элементов
Известно, что анизотропия и нецилиндрическая геометрия скважины в ряде случаев существенно влияют на данные измерений акустического каротажа. Сравнительно
мало внимания, однако, было уделено исследованию совместного влияния этих факторов на волновое поле и дисперсию нормальных мод. В рамках данного исследования
методом спектральных элементов было проведено трехмерное моделирование кроссдипольных измерений в нецилиндрических скважинах в трансверсально-изотропных
породах. Установлено, что структура дисперсионных кривых изгибных мод определяется анизотропными свойствами среды на низких частотах и преимущественно габаритными размерами поперечного сечения на средних частотах. Кроме того, нецилиндричность вносит значительные погрешности в определение угла ориентации оси симметрии
анизотропной породы, причем влияние геометрии скважины на дисперсию дипольных
мод проявляется более сильно, если скорость поперечных волн в породе превышает
скорость звука в жидкости.
Ключевые слова: акустический каротаж, дисперсия, метод спектральных элементов, анизотропия, нецилиндрические скважины.
1.
Введение
Задачи распространения упругих волн в цилиндрических волноводах, в том числе и в
применении к технологиям акустического каротажа, активно изучаются с середины прошлого века. За это время было проведено достаточно много систематических исследований влияния различных факторов на структуру и дисперсию волнового поля в скважине.
Из таких факторов можно выделить анизотропию и неоднородность пород, окружающих
скважину, и изменения геометрии ствола. В ряде случаев важен учет особых свойств призабойной зоны и положения измерительного прибора. Сравнительно мало внимания, однако,
уделялось анализу совместного влияния нескольких факторов в силу трудностей применения аналитических подходов к задачам такого рода. С расширением возможностей вычислительной техники численное моделирование становится все более эффективным инструментом для дальнейших исследований в этом направлении.
Ранее уже были опубликованы работы, посвященные моделированию распространения
волн в скважинах в неоднородной породе с изотропными слоями, с измененными свойствами призабойной зоны, в трансверсально-изотропной породе для монопольного и дипольного
источников, а также для случаев азимутальной и ромбической анизотропии в применении
к исследованию дисперсионных кривых нормальных мод [1,2]. Несколько позже проводились исследования с моделированием волнового поля в эллиптических скважинах в анизотропной породе [3], а также в условиях присутствия наклонной границы раздела двух
анизотропных пород и инвазии бурового раствора [4].
К отклонениям от цилиндрического поперечного сечения скважины часто приводят такие факторы, как тектонические разломы, механические повреждения ствола при бурении,
пластические деформации и вымывание мягких пород. Например, разница локальных горизонтальных напряжений может вызвать деформацию скважины к эллиптической форме и
большая ось эллипса в этом случае будет ориентирована вдоль направления минимальных
напряжений [5]. При высоком давлении жидкости в стволе скважины, превышающем порог прочности пород, также могут возникать симметричные разрывы, распространяющиеся
ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 3
Г. С. Щелик
143
вдоль направления минимальных напряжений. В работах [6,7] было проведено исследование влияния эллиптической формы скважины на дисперсию основных мод с применением
метода граничных элементов и конечно-разностного моделирования в двухмерном случае.
Другой подход, основанный на теории возмущений, был впервые предложен в работе [8]
для оценки изменений в осесимметричных модах. Метод позволяет производить быстрые
расчеты дисперсионных кривых нормальных мод, когда параметры возмущенной модели
не сильно отличаются от значений известного начального решения. При этом было показано, что границы применимости теории возмущений могут быть значительно расширены
при более удачном выборе этого начального приближения [9].
Анизотропия горных пород может являться следствием ряда факторов. Некоторые виды известняков и сланцев (например, Austin chalk и Bakken shale) обладают внутренней
анизотропией и могут считаться однородными на масштабах, характерных для каротажа.
Также анизотропия может быть вызвана горизонтально или наклонно расположенными
слоями с толщинами, существенно меньшими, чем характерная длина волны источника.
Кроме того, наличие трещин в окрестности ствола скважины может нарушать симметрию
при распространении волн. За последние десятилетия было проведено множество исследований влияния анизотропии на данные сейсмических и акустических измерений. Уже в первых работах по моделированию распространения волн в скважинах в анизотропной породе
было показано существование трех основных головных волн, соответствующих продольной
(𝑞𝑃 ) и двум поперечным (𝑆𝐻 и 𝑞𝑆𝑉 ) волнам [10]. Однако большая часть распространяющейся энергии содержится в собственных нормальных модах скважины. Достаточно много
внимания было уделено исследованию дисперсионных характеристик волн в анизотропной
породе, возникающих при проведении монопольного и дипольного каротажа [11,12]. К слабоанизотропным породам также может быть применен метод теории возмущений [8, 13].
В последнее время для получения достоверной картины физических полей все чаще используются конечно-разностные методы [14,15], которые имеют широкие возможности по
моделированию любого вида анизотропии, хотя и требуют больших вычислительных затрат.
В данной работе проводится моделирование волнового поля методом спектральных элементов (SEM), который ранее успешно применялся для расчета задач геофизики [16] и
моделирования акустического каротажа [17]. Численный метод основан на разновидности
метода конечных элементов высокого порядка. Реализация [16] предназначена для решения
уравнений упругого анизотропного тела с возможностью включения заполненных жидкостью областей сложной геометрии. Метод позволяет с высокой точностью моделировать
волны как в однородных областях, так и поверхностные волны на границах раздела сред,
аккуратное воспроизведение которых играет ключевую роль при решении. В работе проведена необходимая адаптация алгоритма к рассматриваемым задачам, разработан блок
построения сеток и задания свойств среды, написаны необходимые алгоритмы обработки
данных. В тестовых расчетах трассы с приемников получены для случая дипольного источника в скважине в изотропных и трансверсально-изотропных породах. Рассматриваются
скважины эллиптической и более сложной геометрии. Ось симметрии анизотропной породы
имеет произвольные углы ориентации по отношению к стволу и направлению деформации
скважины. Для получения дисперсионных кривых нормальных мод из сигнатур приемников используется модификация метода Прони [18].
Структура статьи следующая. В параграфе 2 приведены сведения из теории распространения упругих волн в анизотропных средах и скважинах, необходимые для описания
и обсуждения основных результатов работы. В разделах 3 и 4 проводится оценка точности
расчетного метода и алгоритмов обработки на основе сравнения модельных дисперсионных кривых с доступными аналитическими решениями для цилиндрических скважин и
результатами, полученными ранее методом граничных элементов. Ключевые результаты
по исследованию дисперсии изгибных мод в нецилиндрических скважинах в анизотропной
породе обсуждаются в разделе 5.
144 Прикладная физика и прикладная механика ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 3
2.
2.1.
Теория
Волны в однородной анизотропной среде
Процесс распространения упругих волн в однородном анизотропном теле описывается
системой линейных уравнений движения. В векторной форме эти уравнения имеют вид
𝜌ü = ∇ · T + f ,
(1)
T = C : ∇u,
где u = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) — вектор смещений, 𝜌 — плотность, f — вектор внешних сил, T — тензор
напряжений, имеющий линейную связь с малыми деформациями, определяемую тензором
упругих постоянных C. Тензор четвертого ранга C полностью характеризует упругие свойства породы и в случае общей анизотропии содержит 21 независимую компоненту.
Рассмотрим распространение плоских волн в однородной анизотропной породе. Для этого подставим в систему (1) решение для плоской волны вида 𝑢𝑗 = 𝐴𝑗 exp(𝑖𝜔𝑛𝑙 𝑥𝑙 /𝑉 ), где
𝑛𝑙 — компоненты вектора направления распространения, 𝐴𝑗 — компоненты единичного
вектора поляризации, 𝑥𝑙 — координаты. Тогда уравнения относительно фазовой скорости
𝑉 можно записать в виде
(2)
Как обычно, по всем повторяющимся индексам производится суммирование. Полученное
выражение известно как уравнение Кельвина–Кристофеля [19]. Оно представляет собой
задачу на собственные значения и имеет три независимых решения, соответствующие трем
типам плоских волн с различной поляризацией. Компоненты вектора поляризации 𝐴𝑗 могут быть найдены из (2) для каждого собственного значения 𝑉 2 . По характеру колебаний
эти решения принято соотносить с продольной (𝑃 -волна) и двумя поперечными волнами
(𝑆 -волны). При этом важно отметить, что в случае общей анизотропии волны не могут
иметь чисто продольную или поперечную поляризации.
Большинство анизотропных геологических пород принято характеризовать
трансверсально-изотропным типом симметрии. В главных осях тензор упругих постоянных содержит 5 независимых компонент и может быть записан в виде (обозначения
Фойгта):
𝜌𝑉 2 = 𝐴𝑗 𝐴𝑘 𝐶𝑗𝑚𝑘𝑙 𝑛𝑚 𝑛𝑙 ,
𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑙 = 1, 2, 3.
⎞
⎛
𝐶11 𝐶12 𝐶13 0
0
0
⎜𝐶12 𝐶11 𝐶13 0
0
0 ⎟
⎜
⎟
⎜𝐶13 𝐶13 𝐶33 0
0
0 ⎟
⎟,
⎜
𝐶𝑖𝑗 = ⎜
0
0 𝐶44 0
0 ⎟
⎜ 0
⎟
⎝ 0
0
0
0 𝐶44 0 ⎠
0
0
0
0
0 𝐶66
где 𝐶66 = (𝐶11 − 𝐶12 )/2.
В такой породе поляризация одной из поперечных волн, которую принято обозначать
SH, будет всегда перпендикулярна направлению распространения волны. Две другие волны для большинства направлений будут иметь квазипродольную и квазипоперечную поляризации и обозначаются 𝑞𝑃 и 𝑞𝑆𝑉 соответственно. Фазовые скорости этих волн в силу
симметрии могут быть вычислены для любого направления аналитически [19].
Для оценки степени анизотропии породы часто удобно пользоваться параметрами, предложенными Томсеном [20]:
𝜀=
𝐶11 − 𝐶33
,
2𝐶33
𝛾=
𝐶66 − 𝐶44
,
2𝐶44
𝛿=
(𝐶13 + 𝐶44 )2 − (𝐶33 − 𝐶44 )2
.
2𝐶33 (𝐶33 − 𝐶44 )
Здесь 𝜀 и 𝛾 являются мерой анизотропии продольных и поперечных волн соответственно. Параметр 𝛿 характеризует степень приращения скорости и амплитуды в зависимости
ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 3
Г. С. Щелик
145
от направления распространения. В слабоанизотропных породах (при 𝜀, 𝛾, 𝛿 . 0.2) собственные значения и собственные векторы уравнения (2) незначительно отличаются от
соответствующих значений, получаемых в изотропном случае. Такие породы могут быть
аппроксимированы эффективными изотропными моделями [13].
2.2.
Волны в скважине
Поиск решения (1) для системы, включающей скважину, является более сложной задачей. Как правило, в задачах, связанных с каротажем, используют математическую модель
бесконечной цилиндрической скважины в изотропной породе. В предположении идеально упругой твердой породы, заполненной слабосжимаемой жидкостью, такая постановка
допускает аналитическое решение. Аналитическое решение для анизотропного случая найдено только для трансверсально-изотропной породы со скважиной, ориентированной в направлении оси симметрии (VTI) [11,12].
Функция решения должна затухать на бесконечном расстоянии от центра и удовлетворять условиям границы жидкость–твердое тело на стенках скважины. Такие ограничения
допускают существование только определенных незатухающих волн, называемых нормальными модами. Для цилиндрической скважины в изотропной породе, свойства и геометрия
которой не меняются вдоль вертикальной оси, решение уравнений (1) может быть представлено в форме (в цилиндрической системе координат {𝑟, 𝜙, 𝑧}, связанной со скважиной):
𝑢𝑗 = 𝑈𝑗𝑛 (𝑟)𝑒𝑖(𝑘𝑧+𝑚𝜙) 𝑒−𝑖𝜔𝑡 , 𝑗 = 1, 2, 3.
(3)
При подстановке (3) в граничные условия получим дисперсионное уравнение, которое определяет свойства распространяющихся в скважине волн. Дисперсионное уравнение имеет
бесконечное количество решений, которые принято классифицировать двумя целыми числами 𝑚 и 𝑛, определяющими степень азимутальной симметрии и порядок функций Бесселя,
входящих в решение для функций 𝑈𝑗𝑛 (𝑟) [9].
Нормальные моды с 𝑚 = 0 являются полностью симметричными, поле смещений и давления в жидкости не зависит от азимута. Первые два решения имеют названия трубной
волны, или волны Стоунли (𝑛 = 0), и псевдорэлеевской волны (𝑛 = 1). Волна Стоунли локализована на поверхности раздела жидкой и твердой фаз и вызывает относительное движение флюида в пористой среде. Поэтому по скорости её распространения можно определять
проницаемость окружающей породы. Следует отметить, что трубная волна существует на
любых частотах, в том числе и очень низких. В данной работе влияние формы скважины
и анизотропии породы на симметричные моды подробно не рассматривается.
Моды с 𝑚 = 1 принято называть изгибными волнами. Они имеют ярко выраженную дисперсию, а скорость их распространения не превышают скорости поперечных волн в среде.
В симметричной скважине в изотропной среде каждая из волн с определенной дисперсионной кривой является суперпозицией двух решений с одинаковыми скоростями [8]. При
нарушении симметрии задачи, как будет видно в дальнейшем, происходит разделение этих
волн и дисперсионных кривых на нечетные и четные ветви. При некоторой частоте (порядка 1–2 кГц для первой изгибной моды) дисперсионные кривые асимптотически выходят на
значение скорости поперечной волны в породе, а энергия волны резко уменьшается. Это
свойство используется в каротаже для определения скорости поперечной волны в породе,
особенно в случаях, когда это невозможно сделать посредством регистрации головных волн.
Следуя принятым в геофизике обозначениям, далее также будем называть изгибные моды
дипольными, по названию типа акустического источника, которым они возбуждаются.
Рассмотрение всех мод со всеми типами симметрии и порядковыми номерами не требуется, поскольку на практике источники акустических колебаний возбуждают лишь моды с
𝑚 = 0, 1, 2 (так называемые монопольный, дипольный и квадрупольный источники ). Также
частотный диапазон большинства источников находится в пределах от 1 до 15 кГц и, как
правило, не затрагивает далее второй моды по радиусу (𝑛 6 2).
146 Прикладная физика и прикладная механика ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 3
Как уже упоминалось выше, свойства и структура дисперсионных кривых сильно зависят от скорости поперечных волн в среде. Если скорость распространения моды выше,
чем эта поперечная скорость, энергия начинает рассеиваться в породу, и моду невозможно
зарегистрировать на значительном удалении от источника. Также сильное влияние имеет
соотношение между скоростями поперечных волн в породе и звуковых волн в жидкости.
Если скорость звука в стволе меньше скорости распространения поперечных колебаний
в среде, то все вышеупомянутые моды существуют, а среду принято называть быстрой.
Когда скорость звука больше скорости поперечных волн в породе, незатухающими оказываются только первые по порядку (𝑛 = 0) моды, и говорят, что среда является медленной.
Следует отметить, что в реальных скважинах предположения об однородности вдоль
оси скважины и симметрии по азимуту часто не выполняются. Но зачастую наблюдаемая
на практике структура нормальных мод допускает использование описанной выше системы
обозначений.
3.
Нецилиндрические скважины в изотропной породе
В качестве первого этапа проверки точности расчетного метода и алгоритмов обработки были рассмотрены скважины с нецилиндрической геометрией в изотропной породе.
Методом спектральных элементов (SEM) было проведено моделирование распространения
волн от дипольного источника в двух поляризациях в скважинах эллиптической (рис. 1)
и несимметричной формы (замочная скважина)(рис. 2). При построении модели используются 20-узловые элементы второго порядка кривизны поверхности, функции внутри элементов интерполируются с полиномами 8 порядка.
2a
b
2a
b
Рис. 1. Геометрия скважины эллиптической фор- Рис. 2. Геометрия скважины несимметричной
мы c разбиением на элементы
формы с разбиением на элементы
Таблица 1
Свойства изотропных материалов, используемых в расчетах
Название
Плотность 𝑉𝑃 𝑉𝑆
материала
кг/м3
м/с м/с
Жидкость
1000
1500 Быстрая порода
2160
4848 2601
Медленная порода
2000
2545 1018
Дисперсионные кривые для изгибных мод в эллиптических скважинах c отношениями
большой и малой полуосей 𝜁 = 𝑎/𝑏 = 1.5 и 𝜁 = 2 были сопоставлены с результатами, полученными методом граничных элементов в работе [6]. В сравнении использовались данные
для мод с продольной поляризацией. В качестве наполняющей скважину жидкости взята
чистая вода, значения свойств быстрой и медленной пород, используемых при вычислениях, приведены в табл. 1. Результаты сравнения дисперсионных кривых, полученных двумя
методами, приведены на рис. 3 и рис. 4. Кривые имеют хорошее совпадение почти во всем
диапазоне частот. Относительное расхождение результатов в основном диапазоне частот
ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 3
147
Г. С. Щелик
не превышает 0.5% в медленной породе и 1% в быстрой. Незначительное повышение этого
показателя на низких частотах связано с ростом погрешности вычислений этими методами
в этой области.
1120
1100
Четные
650
Интервальное время, мкс/м
Интервальное время, мкс/м
700
600
550
500
- 10 × 10 см
- 15 × 10 см
- 20 × 10 см
450
400
Нечетные
1080
1060
1040
1020
- 10 × 10 см
- 15 × 10 см
- 20 × 10 см
1000
980
Четные
960
350
2
4
6
Частота, кГц
1
8
Рис. 3. Сравнение результатов моделирования
(маркеры) с дисперсионными кривыми, полученными методом граничных элементов (сплошные
линии), в эллиптических скважинах различного
размера в быстрой породе
600
3
Частота, кГц
4
5
700
- Несимметричная
- Эллиптическая
Интервальное время, мкс/м
650
2
Рис. 4. Сравнение результатов моделирования
(маркеры) с дисперсионными кривыми, полученными методом граничных элементов (сплошные
линии), в эллиптических скважинах различного
размера в медленной породе
700
Интервальное время, мкс/м
Нечетные
20 × 20 см
550
500
450
400
10 × 10 см
650
600
- Несимметричная
- Эллиптическая
20 × 20 см
550
500
450
400
10 × 10 см
350
350
2
4
6
Частота, кГц
8
2
4
6
Частота, кГц
8
Рис. 5. Дисперсионные кривые дипольных мод Рис. 6. Дисперсионные кривые дипольных мод
в несимметричной скважине в быстрой породе. в несимметричной скважине в быстрой породе.
Продольная поляризация
Поперечная поляризация
Эллиптическая форма является достаточно простой и распространенной нецилиндрической геометрией для скважин. Однако в реальных условиях набор возможных геометрий
гораздо богаче. Для оценки влияния небольших отклонений от идеальной формы поперечного сечения на дисперсию дипольных мод был проведен ряд расчетов для сильно искаженной скважины. В качестве такой формы было взято сечение, ограниченное кривой
вида 𝑟(𝜃) = 𝑟0 + 𝑟1 [(1 − 𝜉)/(1 − 𝜉 cos 𝜃)]𝑝 , где значения параметров 𝑟0 = 10 см, 𝑟1 = 20 см,
𝜉 = 0.65 и 𝑝 = 8. Форма напоминает замочную скважину (рис. 2). Нарушения поперечного
148 Прикладная физика и прикладная механика ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 3
сечения могут возникать по технологическим причинам в ходе бурения в мягких породах,
особенно в наклонном или горизонтальном стволе. На рис. 5 и рис. 6 приведены результаты
расчета дисперсионных кривых для двух направлений источника в быстрой породе. В отличие от эллиптического случая при продольном расположении источника возбуждаются
две изгибные моды как с продольной, так и с поперечной поляризациями. Дисперсионные
кривые этих мод достаточно близки к кривым для цилиндрических скважин с радиусами,
равными максимальному и минимальному габаритным размерам рассматриваемого сечения. Отметим, что полученные данные хорошо коррелируют и с результатами расчетов для
эллиптической скважины 20 × 10 см (𝜁 = 2), также отображенными на рисунках. Поэтому
заключаем, что вид дисперсионных кривых в области средних частот в достаточной мере
определяется именно геометрическими размерами, а не особенностями формы скважины.
Это означает, что в ряде случаев основные выводы для эллиптических скважин могут быть
применены и к более сложным геометриям.
Результаты для случая распространения волн в медленной породе представлены на
рис. 7 и рис. 8. Расхождение дисперсионных кривых для эллиптической и несимметричной скважин на высоких частотах является следствием усиления влияния особенностей
формы. Замечания, сделанные выше для быстрой породы на низких и средних частотах,
справедливы и для этого случая.
1120
1120
- Несимметричная
- Эллиптическая
Интервальное время, мкс/м
Интервальное время, мкс/м
1140
1100
20 × 20 см
1080
1060
1040
1020
1000
10 × 10 см
980
- Несимметричная
- Эллиптическая
1100
1080 20 × 20 см
1060
1040
1020
1000
10 × 10 см
980
1
2
3
4
Частота, кГц
5
6
0
1
2
3
4
Частота, кГц
5
Рис. 7. Дисперсионные кривые дипольных мод в Рис. 8. Дисперсионные кривые дипольных мод в
несимметричной скважине в медленной породе. несимметричной скважине в медленной породе.
Продольная поляризация
Поперечная поляризация
4.
Цилиндрические скважины в анизотропной породе
В анизотропной породе скорость волны зависит от направления её распространения
и поляризации, поэтому собственные моды скважины могут испытывать расщепление на
несколько волн, как и в случае нецилиндрических скважин. В расчетах использовалась
трансверсально-изотропная модель материала, часто применяемая для описания осадочных горных пород. Ранее было показано [15], что вид дисперсионных кривых дипольных
мод в таких породах определяется взаимной ориентацией оси симметрии материала и оси
скважины, характеризуемой углом 𝜃 (рис. 9). Если эти направления не совпадают (𝜃 > 0°),
то каждая из дисперсионных кривых для дипольных мод (𝑚 = 1) разделится на две ветви, которые в низкочастотном пределе выходят на значения скоростей поперечных волн в
среде в различных направлениях (𝑞𝑆𝑉 - и 𝑆𝐻 - волны). Физически это эквивалентно существованию двух схожих по характеру колебаний волн с ортогональными направлениями
поляризации, ориентированными вдоль главных направлений анизотропной породы. Если
ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 3
Г. С. Щелик
149
направление ствола скважины совпадает с осью симметрии трансверсально-изотропной
породы (𝜃 = 0°), то скорость поперечных волн в плоскости сечения в силу симметрии не
зависит от направления колебаний, и структура дипольных мод имеет вид, аналогичный
изотропному случаю. Помимо 𝜃 положение оси симметрии определяется азимутальным углом поворота 𝜙 (рис. 9). Угол характеризует ориентацию оси анизотропии относительно
направления излучения источника колебаний или геометрии скважины.
X’3
X3
X1
X’2
X’1
X2
Рис. 9. Схема ориентации осей симметрии трансверсально-изотропной породы
Для тестовых расчетов были взяты две трансверсально-изотропные породы: известняковая Austin Chalk и сланцеватая Cotton Valey Shale. Эти материалы ранее использовались
для анализа в ряде работ (например, [15, 20]). Упругие параметры и плотности приведены в табл. 2. В качестве жидкости в стволе были взяты параметры воды с плотностью
1000 кг/м3 и скоростью звуковых волн 1500 м/с. По соотношению скорости звука в жидкости и характерной скорости поперечных волн в Austin Chalk и Cotton Valey Shale, эти
породы классифицируется как медленная и быстрая соответственно.
Таблица 2
Свойства анизотропных материалов, используемых в расчетах
Название
Плотность 𝑉𝑃0 𝑉𝑆0
𝜀
𝛾
𝛿
3
материала
кг/м
м/с м/с
Austin Chalk
2200
2522 1044 0.2857 0.1458 0.2241
Cotton Valey Shale
2640
4721 2890 0.1350 0.1800 0.2050
В этом исследовании будем рассматривать частный случай наклонной трансверсальной анизотропии с 𝜃 = 60∘ . Ранее было показано, что в слабоанизотропных породах дисперсионные кривые могут быть аппроксимированы эффективными изотропными моделями [13]. Значения упругих постоянных (параметры Ламе) эквивалентной изотропной модели для кривой, соответствующей горизонтальной поляризации (𝑆𝐻 ), определяются выра2 и 𝜆
2
2
жениями 𝜇𝑆𝐻 = 𝜌𝑉𝑆𝐻
𝑆𝐻 = 𝜌(𝑉𝑞𝑃 − 2𝑉SH ). Аналогичные выражения для вертикально2 ). На рис. 10 и
поляризованной волны (𝑞𝑆𝑉 ) имеют вид 𝜇𝑞𝑆𝑉 = 𝜌𝑉𝑆𝑉2 и 𝜆𝑆𝑉 = 𝜌(𝑉𝑞𝑃2 − 2𝑉𝑞𝑆𝑉
рис. 11 приведены дисперсионные кривые, полученные из данных расчета для анизотропной породы в цилиндрической скважине. Для сравнения на графики нанесены кривые для
эффективных изотропных моделей (сплошные линии), построенные на основании аналитических оценок фазовых скоростей. Результаты подтверждают наличие в обоих случаях
двух типов волн — медленной и быстрой. Как можно заметить, дисперсионные кривые
для медленных волн лучше приближаются изотропной моделью, но даже для быстрых
волн расхождение в скоростях не превышает 2%, что обычно является достаточным для
корректной работы алгоритмов обработки для цилиндрических скважинах. Но, как будет
показано в следующем параграфе, при искажении формы поперечного сечения вид дисперсионных кривых будет существенно отличаться от приближения изотропными моделями.
150 Прикладная физика и прикладная механика ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 3
1020
- Медленная
- Быстрая
550
500
450
400
VqSV
350
- Медленная
- Быстрая
1000
VSH
300
Интервальное время, мкс/м
Интервальное время, мкс/м
600
980
960
940
VqSV
920
900
880
VSH
860
2
4
6
Частота, кГц
8
Рис. 10. Дисперсионные кривые для быстрой и медленной изгибной волны в быстрой
трансверсально-изотропной породе. Сплошные
линии обозначают приближение эффективными
изотропными моделями для каждой из волн
5.
1
2
3
4
5
Частота, кГц
6
7
Рис. 11. Дисперсионные кривые для быстрой и медленной изгибной волны в медленной
трансверсально-изотропной породе. Сплошные
линии обозначают приближение эффективными
изотропными моделями для каждой из волн
Нецилиндрические скважины в анизотропной породе
Деформации формы скважины в анизотропной породе, аналогично изотропному случаю, приводят к изменению вида дисперсионных кривых каждой из существующих дипольных мод. На характер этих изменений помимо геометрических параметров скважины
влияет также взаимная ориентация направлений деформации ствола и анизотропии породы. На рис. 13 приведены дисперсионные кривые для эллиптической скважины в медленной трансверсально-анизотропной породе (Austin Chalk) в случае, когда ось симметрии анизотропной породы повернута относительно направлений деформации скважины
(𝜙 = 45°). Сравнение с результатами расчетов для цилиндрических скважин в анизотропной породе показывает, что дисперсионные кривые лежат между решениями для скважин
с радиусами соответствующими длинам большой и малой полуосей эллипса в анизотропной
породе. В низкочастотной асимптотике полученные дипольные моды будут иметь скорость
поперечных волн в породе, а на высоких частотах приближаться к решению для цилиндрической скважины с наиболее близким радиусом кривизны. При этом в зависимости от
угла поворота 𝜙 эффекты могут как суммироваться, так и вычитаться, тем самым влияя
на удаление медленной и быстрой мод друг от друга в заданных пределах.
В быстрых породах, как следует из рис. 12, характер поведения дисперсионных кривых
на больших частотах сильно зависит от формы скважины, а на низких определяется в
основном анизотропными свойствами породы. Отсюда следует, что в рабочем диапазоне
частот источника геометрия скважины является определяющим фактором для характера
дисперсии дипольных мод.
Для определения параметров анизотропии окружающей скважину породы используется метод кросс-дипольного каротажа. Он основывается на данных измерений приходящего
сигнала от двух дипольных источников, ориентированных в перпендикулярных направлениях. Определение положения оси по азимуту 𝜙 может быть выполнено на основе данных
таких измерений с помощью алгоритма Alford rotation [21]. При моделировании в качестве
входных данных для алгоритма используются результаты расчетов распространения волн
для двух ортогональных начальных ориентаций дипольного источника, имитирующих реальные измерения в скважине. Если скважина в анизотропной породе не является цилиндрической, можно говорить о существовании двух независимых факторов, влияющих на
ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 3
151
Г. С. Щелик
дипольные волны. С точки зрения алгоритмов обработки это эквивалентно влиянию некоторой дополнительной анизотропии в породе, связанной с искаженной формой скважины,
что может приводить к ошибкам в определении направления истинной анизотропии. На
рис. 14а–г приведены результаты определения главных направлений для цилиндрических
и эллиптических скважин в анизотропной породе. Как можно видеть, отклонение от истинного направления в 45° увеличивается с ростом параметра эллиптичности 𝜁 . При этом в
быстрой породе, как уже было сказано выше, даже при относительно небольших деформациях фактор геометрии будет являться определяющим для направлений распространения
главных волн (рис. 14а–г).
1050
Интервальное время, мкс/м
650
600
550
20 × 20 см
500
450
10 × 10 см
400
350
- Быстрая
- Медленная
300
Интервальное время, мкс/м
700
20 × 20 см
1000
950
10 × 10 см
900
- Быстрая
- Медленная
850
2
4
6
Частота, кГц
8
Рис. 12. Сравнение дисперсионных кривых дипольных мод в быстрой анизотропной породе в
эллиптической скважине 20×10 см (черные маркеры) с результатами для цилиндрических скважин радиусом 10 и 20 см
Ось TI
а)
1
3
4
5
Частота, кГц
6
7
Рис. 13. Сравнение дисперсионных кривых дипольных мод в медленной анизотропной породе в
эллиптической скважине 20×10 см (черные маркеры) с результатами для цилиндрических скважин радиусом 10 и 20 см
Ось TI
б)
2
Ось TI
Ось TI
в)
г)
Рис. 14. Результаты определения главных осей анизотропии в эллиптических скважинах 15 × 10
см (а, в) и 20 × 10 см (б, г) в быстрой (а, б) и медленной (в, г) трансверсально-изотропной породе. Главные оси обозначены черными сплошными линиями, истинное положении оси симметрии
отмечено пунктиром, стрелки обозначают ориентацию дипольных источников колебаний
6.
Заключение
В данной работе были продемонстрированы возможности применения метода спектральных элементов к моделированию кросс-дипольных измерений в нецилиндрических скважинах в изотропных и трансверсально-изотропных породах. Построенный комплекс расчета и
обработки модельных данных был проверен на скважинах сложной геометрии в основных
152 Прикладная физика и прикладная механика ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 3
типах пород (быстрая и медленная). По модельным данным с приемников были получены
дисперсионные кривые для нормальных изгибных мод в скважине в диапазоне частот от 2
до 8 кГц. Хорошее согласование этих зависимостей с результатами более ранних исследований и аналитическими оценками свидетельствует о корректной работе используемых численных алгоритмов. К преимуществам используемого подхода можно отнести сравнительно
высокую производительность (обеспеченную высоким порядком точности аппроксимации),
гибкость при моделировании скважин с произвольной геометрией, а также возможность
расчетов в неоднородных средах. Это в будущем позволит использовать его как эффективный инструмент для разработки измерительного оборудования и отладки алгоритмов
обработки данных акустического каротажа.
В рамках выполненных расчетов были получены как известные ранее особенности дипольных мод в анизотропных породах и эллиптических скважинах, так и рассмотрены малоизученные ранее задачи с одновременным влиянием обоих факторов. Было установлено,
что деформация геометрии скважины приводит к существенным изменениям дисперсии
дипольных мод на средних и высоких частотах, на которые приходится большая часть
энергии волны. Особенно сильно данный эффект проявляется в быстрых породах, что свидетельствует о необходимости учета априорных данных о форме скважины (показаний
каверномера) при обработке полевых измерений. Также важной особенностью рассмотренных случаев является невозможность корректного определения направления оси симметрии анизотропной среды с помощью стандартного алгоритма поворота матрицы данных
измерений. Это явление связано с нарушением ортогональности между двумя преимущественными направлениями поляризации быстрой и медленной дипольных волн в скважине.
В общем случае коррекцию на подобные эффекты также необходимо закладывать в промышленные алгоритмы обработки.
Работа выполнена на базе Московского научно-исследовательского центра Шлюмберже.
Автор благодарен своему научному руководителю И. Л. Софронову за конструктивную
критику и помощь в подготовке статьи, а также признателен Т. Жарникову и М. Шарара
за консультации и помощь в проведении численных расчетов.
Литература
1. Cheng N., Cheng C. H., Toksöz M. N. Borehole wave propagation in three dimensions //
Journal of the Acoustical Society of America. — 1995. — V. 97, N. 6. — P. 3483–3493.
2. Wang T., Tang X. Finite-difference modeling of elastic wave propagation: A nonsplitting
perfectly matched layer approach // Geophysics. — 2003. — V. 68, N. 5. — P. 1749–1755.
3. Bolshakov A. O., Zheng Y., Schmitt D. P. Study of Flexural-mode Dispersion With
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Anisotropic Formations and Non-circular Boreholes Using the Finite Element Method //
71st EAGE Conference & Exhibition. — 2009. — P. 8–11.
Mallan R. K., Torres-Verdı́n C., Ma J. Simulation of borehole sonic waveforms in dipping,
anisotropic, and invaded formations // Geophysics. — 2011. — V. 76, N. 4.
Simsek E., Sinha B. K., Zeroug S., et al.Influence of breakouts on borehole sonic
dispersions // 2007 SEG Annual Meeting. — 2007. — P. 313–317.
Randall C. J. Modes of noncircular fluid-filled boreholes in elastic formations // Journal of
the Acoustical Society of America. — 1991. — V. 89, N. 3. — P. 1002–1016.
Randall C. J. Multipole acoustic waveforms in nonaxisymmetric boreholes and formations //
Journal of the Acoustical Society of America. — 1991. — V. 90, N. 3. — P. 1620–1631.
Ellefsen K. J., Cheng C. H., Toksöz M. N. Applications of perturbation theory to acoustic
logging // Journal of Geophysical Research. — 1991. — V. 96. — P. 537–549.
Simsek E., Sinha B. K. Analysis of noncircular fluid-filled boreholes in elastic formations
using a perturbation model // Journal of the Acoustical Society of America. — 2008. —
V. 124, N. 1. — P. 213–7.
ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 3
Г. С. Щелик
153
10. Kurkjian
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
A. L., Chang S. K. Acoustic multipole sources in fluid-filled boreholes //
Geophysics. — 1986. — V. 51, N. 1. — P. 148–163.
White J. E., Tongtaow C. Cylindrical waves in transversely isotropic media // Journal of
the Acoustical Society of America. — 1981. — V. 70, N. 4. — P. 1147–1155.
Chan A. K., Tsang L. Propagation of acoustic waves in a fluid-filled borehole surrounded
by a concentrically layered transversely isotropic formation // Journal of the Acoustical
Society of America. — 1983. — V. 74, N. 5. — P. 1605–1616.
Sinha B. K., Norris A. N., Chang S. K. Borehole flexural modes in anisotropic formations //
Geophysics. — 1994. — V. 59, N. 7. — P. 1037–1052.
Leslie H. D., Randall C. J. Multipole sources in boreholes penetrating anisotropic
formations: Numerical and experimental results // Journal of the Acoustical Society of
America. — 1992. — V. 91. — P. 12–27.
Sinha B. K., Simsek E., Liu Q. H. Elastic-wave propagation in deviated wells in anisotropic
formations // Geophysics. — 2006. — V. 71, N. 6. — P. D191–D202.
Komatitsch D., Tromp J. Introduction to the spectral element method for three dimensional
seismic wave propagation // Geophysical Journal International. — 1999. — V. 139. —
P. 806–822.
Charara M., Vershinin A., Deger E., et al. 3D spectral element method simulation of sonic
logging in anisotropic viscoelastic media // SEG Technical Program Expanded Abstracts
2011. — 2011. — P. 432–437.
Ekstrom M. P. Dispersion estimation from borehole acoustic arrays using a modified matrix
pencil algorithm // Proceedings of ASILOMAR-29. — 1995. — P. 449–453.
Musgrave M. J. P. Crystal Acoustics: Introduction to the Study of Elastic Waves and
Vibrations in Crystals. — San Francisco: Holden-Day, 1970. — 288 p.
Thomsen L. Weak elastic anisotropy // Geophysics. — 1986. — V. 51, N. 10. — P. 1954–
1966.
Alford R. M. Shear data in the presence of azimuthal anisotropy: Dilley Texas // 1986 SEG
Annual Meeting. — Society of Exploration Geophysicists, 1986. — P. 476–479.
Поступила в редакцию 29.10.2013.