УДК 536.2.022 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В СИСТЕМЕ ДВУХ ТЕЛ И.В. Рогов, Н.Ф. Майникова, Е.П. Полунин, Н.Ю. Тужилина ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет», г. Тамбов Ключевые слова и фразы: математическая модель; система двух тел; теплопроводность; теплофизические свойства. Аннотация: Представлена математическая модель распространения тепла в системе двух тел применительно к измерительной ячейке информационно-измерительной системы, предназначенной для определения теплофизических свойств теплоизоляционных материалов. Сложность и большой объем экспериментальных исследований по определению теплофизических свойств (ТФС) как традиционных материалов, так и вновь синтезированных, требуют создания новых эффективных методов и средств контроля. Модульная структура современных программно-технических средств в сочетании с принципами открытых вычислительных систем позволила создать информационно-измерительную систему (ИИС) для определения теплофизических свойств теплоизоляционных материалов. По сравнению с известными бикалориметрами [1, 2] данная ИИС имеет ряд преимуществ. А именно: – система позволяет определять не только значение теплопроводности исследуемых материалов, но и значение температуропроводности; – повышение точности определения значений теплопроводности и температуропроводности достигается за счет автоматической обработки экспериментальных данных по разработанному алгоритму согласно решениям соответствующих краевых задач теплопроводности для стадий нагрева и остывания измерительной ячейки (ИЯ). Математическая модель распространения тепла в системе двух тел применительно к поставленной задаче имеет следующий вид. Тепловая схема представлена на рис. 1. Две пластины 1 и 2 (1 – сердечник ИЯ, 2 – испытуемый материал) с известными теплофизическими свойствами находятся в идеальном тепловом контакте. Толщина пластины Рогов И.В. – кандидат технических наук, докторант кафедры «Гидравлика и теплотехника», e-mail: [email protected]; Майникова Н.Ф.– доктор технических наук, профессор кафедры «Теория машин, механизмов и детали машин»; Полунин Е.П. – магистрант кафедры «Гидравлика и теплотехника»; Тужилина Н.Ю. – соискатель, ассистент кафедры «Гидравлика и теплотехника», ТамбГТУ, г. Тамбов. УНИВЕРСИТЕТ им. В.И. ВЕРНАДСКОГО. №1-3(28). 2010. 67 q h1 h λ1→ ∞ λ с1ρ1 сρ Т(h) = T0 сп = с1ρ1h1 2 1 x 0 Рис. 1. Тепловая схема 1 равна h1, а толщина пластины 2 – h. Пластина 1 изготовлена из латуни, обладающей высокой теплопроводностью λ1. В начальный момент времени значения температуры во всех точках обеих пластин одинаковы и равны Т0. На наружную поверхность пластины 1 действует постоянный тепловой поток q. Наружная поверхность пластины 2 находится при постоянной температуре Т0 = const. Требуется определить распределение температуры в пластине 2 в любой момент времени. Дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерного потока тепла имеет вид ∂T ( x, τ) ∂ 2T ( x, τ) , τ > 0, x > 0, =a ∂τ ∂x 2 (1) где τ – время, с; х – координата, м. Начальное условие T ( x,0) = T0 . (2) Граничное условие −λ ∂T (0, τ) ∂T (0, τ) = q − cп , ∂x ∂τ (3) где cп – теплоемкость, отнесенная к единице площади пластины 1, Дж/(м2·K) сп = с1ρ1h 1 , (4) где с1 – удельная теплоемкость пластины 1, Дж/(кг·K); ρ1 – плотность материала пластины 1, кг/м3. Распределение температуры на поверхности пластины 2 68 ВОПРОСЫ СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ И ПРАКТИКИ. T (h, τ) = T0 . (5) Выражения (2), (3) и (5) в безразмерной форме: ∂Θ(χ, Fo) ∂ 2 Θ(χ, Fo) , Fo > 0, χ > 0, = ∂ Fo ∂χ 2 Θ(χ,0) = 0, − (6) (7) ∂Θ(0, Fo) ∂Θ(0, Fo) =1− σ , ∂χ ∂ Fo Θ(1, Fo) = 0, (8) (9) где Fo = aτ h 2 , χ = x h , Θ = λ(T − T0 ) / qh – время, координата, температура в безразмерном виде; σ = сп a / λh = cп / cρh – относительная теплоемкость пластины 1. Применим к системе уравнений (6) – (9) преобразование Лапласа: pΘ L (χ, р) = − ∂ 2 Θ L (χ, р) ∂χ 2 ; ∂Θ L (0, р ) 1 = − pσΘ L (0, р); ∂χ p Θ L (1, p ) = 0. (10) (11) (12) Решение дифференциального уравнения (10) можно представить в виде Θ L (χ, р ) = A ch ( pχ)+ B sh( pχ). (13) Постоянные A и B найдем из выражений (11) и (12), используя решение дифференциального уравнения (13): A ch ( p )+ B sh( p ) = 0; −B p = 1 − pσA. p (14) (15) Решая выражения (14) и (15) относительно постоянных A и B, получим: ( p) ; p р (ch ( p ) + p σ sh ( p )) ch ( p ) B=− . p р (ch ( p ) + p σ sh ( p )) A= sh УНИВЕРСИТЕТ им. В.И. ВЕРНАДСКОГО. №1-3(28). 2010. (16) (17) 69 Решение в виде преобразования Лапласа имеет вид Θ L (χ, р ) = sh ( p )ch( pχ)− ch( p )sh ( pχ). p р (ch ( p ) + p σ sh ( p )) (18) Φ( р) , где ψ( р) Решение (18) есть отношение двух обобщенных полиномов Φ( р) = sh ( p )ch( pχ)− ch( p )sh( pχ) = 1 − χ + ⎛⎜ − 1 χ3 − 1 χ + 1 χ2 + 1 ⎞⎟ p + ...; (19) ⎝ 6 р ( ( p )+ ψ ( р) = p ch p σ sh 2 2 6⎠ ( p )) = p⎛⎜⎜1 + ⎛⎜⎝ 12 + σ ⎞⎟⎠ p + ⎛⎜⎝ 241 + σ6 ⎞⎟⎠ p 2 + ...⎞⎟⎟ . ⎝ ⎠ (20) Найдем корни pn обобщенного полинома ψ ( р), для этого прировняем его к нулю ( ( p )+ p σ sh p ch ( p )) = 0. (21) Отсюда найдем: 1) p 0 = 0 (однократный корень); 2) бесчисленное множество корней, удовлетворяющих уравнению ch ( p )+ p σ sh ( p )= 0 . (22) Воспользуемся теоремой разложения: ⎡ Φ ( р) ⎤ ∞ Φ( рп ) p n Fo L−1 ⎢ e ; ⎥=∑ ⎣ ψ ( р ) ⎦ n = 0 dψ ( р п ) dp ( ( p )+ dψ ( р ) = ch dp p σ sh (23) ( p ))+ p 12 ⎛⎜⎜ sh ( pp ) + σ sh(p p ) + σ ch( p )⎞⎟⎟ . ⎝ ⎠ (24) Для нулевого корня p0 = 0 имеем Φ( р0 ) p0 Fo e = 1 − χ. dψ ( р0 ) dp (25) Для остальных корней ∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ep ( ) ( ) ( )⎞⎟ ⎟ sh pn ch pn χ − ch pn sh pn χ Φ ( рп ) p n Fo ∞ = e dψ ( рп ) σ sh pn 1 ⎛ sh pn n =1 0,5 n =1 + + σ ch pn pn pn ⎜ dp 2⎜ p p n n ⎝ ∑ 70 ∑ n Fo . (26) ⎠ ВОПРОСЫ СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ И ПРАКТИКИ. Введем обозначения p = −μ 2 и p = iμ. (27) С учетом: sh(iμ) = i sin μ; (28) ch(iμ) = cos μ , (29) получим характеристическое уравнение cos μ − μσ sin μ = 0 . (30) μσ tg μ = 1 или ctg μ = μσ . (31) После преобразования: Закон распределения температуры в пластине 2 в любой момент времени в любой точке в безразмерном виде ∞ Θ(χ, Fo) = 1 − χ − 2 ∑ ( sin(μ n ) cos(μ n χ) − cos(μ n ) sin(μ n χ) ) exp − μ n2 Fo , 2 n =1 μ n (sin(μ n ) + σ sin(μ n ) + μ n σ cos(μ n ) ) (32) где μ п – корни характеристического уравнения (31). С учетом характеристического уравнения (31) выражение (32) преобразуется к виду ∞ Θ(χ, Fo) = 1 − χ − 2 ∑ cos(μ n χ) − μσ sin(μ n χ) ( μ 2n 1 + σ + μ 2n σ 2 n =1 ) ( ) exp − μ 2n Fo . (33) Выражение (33) для точки пластины 2 с координатой χ = 0 ∞ Θ(0, Fo) = 1 − 2 ∑ 2 n =1 μ n sin μ n (sin μ n + σ sin μ n + μ nσ cos μ n ) ( ) exp − μ n2 Fo . (34) Изменение температуры пластины 2 в зависимости от времени для точки с координатой χ = 0 определяется формулой ∞ Θ(0, Fo) = 1 − 2 ∑ 2 n =1 μ n 1 ( 1 + σ + μ n2 σ 2 ) ( ) exp − μ n2 Fo . (35) При больших значениях Fo выражение (35) имеет вид Θ(0, Fo) = 1 − 2 ( 1 μ12 1 + σ + μ12 σ 2 ) ( ) exp − μ12 Fo , (36) где μ1 – первый корень характеристического уравнения (31). Разложив уравнение (31) в ряд Маклорена [3] и ограничившись только первым членом ряда, получим выражение для μ1 УНИВЕРСИТЕТ им. В.И. ВЕРНАДСКОГО. №1-3(28). 2010. 71 ctg μ1 = 1 1 1 2 5 − μ1 − μ13 − μ1 − ... , 0 < μ1 < π, 45 945 z 3 μ1 ≈ 3 3 + 9σ (37) (38) . При больших значениях Fo выражение (36) с учетом (38) имеет вид Θ(0, Fo) = 1 − 2 (1 + 3σ)2 3 ⎛ ⎞ exp⎜ − Fo ⎟ . + σ 1 3 ⎝ ⎠ 3 1 + 4σ + 6σ ( 2 ) (39) Подставив выражения для Fo и Θ в формулу (39), получим решение задачи для стадии нагрева при больших значениях Fo T (0, τ) = T0 + qh ⎡ (1 + 3σ)2 exp⎛⎜ − 3аτ ⎞⎟⎤⎥ . ⎢1 − 2 ⎜ (1 + 3σ )h 2 ⎟⎥ λ ⎢⎣ 3 1 + 4σ + 6σ 2 ⎝ ⎠⎦ ( ) (40) Таким образом получена математическая модель распределения тепла в системе двух тел применительно к ИЯ ИИС, предназначенной для определения ТФС материалов. Список литературы 1. Теплофизические измерения и приборы / Е.С. Платунов, [и др.] ; под общ. ред. Е.С. Платунова. − Л. : Машиностроение, 1986. – 144 с. 2. Кондратьев, Г.М. Регулярный тепловой режим / Г.М. Кондратьев. – М. : Гостехиздат, 1954. – 408 с. 3. Смирнов, В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов. – М. : Наука, 1974. – Т. 1. – 480 с. Mathematical Model of Heat Distribution in Two Bodies System I.V. Rogov, N.F. Mainikova, E.P. Polunin, N.U. Tuzhilina Tambov State Technical University, Tambov Key words and phrases: mathematical model; system of two bodies; heat conductivity; thermo-physical properties. Abstract: The paper designs the mathematical model of heat distribution in the system of two bodies with reference to the measuring cell of the information-measuring system intended for identification of thermo-physical properties of heat-insulating materials. © И.В. Рогов, Н.Ф. Майникова, Е.П. Полунин, Н.Ю. Тужилина, 2010 72 ВОПРОСЫ СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ И ПРАКТИКИ.