Квантование атома водорода

Квантование момента импульса
L
2
r p
ex
x
ey
y
ez
z
px
py
pz
В центральном поле
L сохраняется
L , Lz
0
Lz , Lx
i Ly
Ly , Lz
i Lx
dL
dt
r F 0
Собственные значения L2
Совместны L2 и Lz
Вращательное движение
x
Lˆz
i
px
e
p
i x
Aeim
Lz
e
Собственные значения Lz
i
Lz
1 i Lz
e
2
i
Lz
Квантование атома водорода
В СИ:
e
e2
2
4
0
При Е<0
- собств. функция H
- собств. функция L2 и Lz
Собственные значения H Собственные значения L2
Главное квантовое число
Орбитальное квантовое число
Магнитное квантовое число
Кратность вырождения
Собственные значения Lz
(размер, энергия)
(форма)
(ориентация)
Состояния электрона в атоме водорода
Пример:
- собственная функция H
- собственная функция L2 и Lz
Пример:
Вероятность найти электрон в элементе объема dV
dP
Вероятность найти электрон на расстоянии от r до r+dr
dP
*
dV
*
4 r 2 dr
Плотности вероятности для s-cостояний
электрона в атоме водорода
*
*
*
1s
4 r2
3s
2s
*
4 r2
*
4 r2
*
Волновые функции атома водорода
Волновые функции атома водорода
Опыт Штерна-Герлаха
Отто Штерн
Вальтер Герлах
(1922)
F
F
Br
S
q[ vB r ]
z
B
z
2s 1 2
Гиромагнитное
отношение
s
1
2
B
Удвоенный магнетизм!
sz
Sz
e
m
Вместо
lz
Lz
e
2m
Спин электрона
Собственный момент – спин
Орбитальный момент
(Гаудсмит и Уленбек (1925))
L rmv
Спиновое квантовое число s
e
r2
2 r/v
e
e
L
2m
L 2m
I r2
μ
l
lz
B
B
B
e
2m
l (l 1)
ml
магнетон Бора
S
S
e
m
s
2
s
sz
2
s ( s 1)
Sz
B
ms
3
2
1
2
s( s 1)
ms
ms
Электрон:
sz
B
s
Электрон:
S
1
2
s, s 1,..., s
B
Оптическая аналогия
опыта Штерна-Герлаха
Поляризатор пропускает фотоны с
проекцией Е и задерживает с
.
Магнит ШГ пропускает атомы с
проекцией
и задерживает с
Pz - вероятность найти
фотон в состоянии
Ez
z
z'
Ez '
Ey'
y'
Pzz '
Ez
Pz
E z2
Pz '
Ez2'
Ez '
Магнит ШГ ведет себя как
поляризатор, если в формулы
оптики подставить /2
E z cos( )
Вероятность пройти прибор Z и Z’
Pz '
Pz
cos2 ( )
Pzz '
cos 2 ( )
2
Моделирование: Stern-Gerlach Experiment
Полный момент импульса электрона
J L S
L
Lz
l (l 1)
ml
l
0,1, 2,..., n 1
ml
Спектральные обозначения
0, 1, 2..., l
2
Lj
S
s ( s 1)
s
1
2
2s 1 мультиплетность
Sz
ms
ms
1
2
J
j ( j 1)
j
l s l
Jz
mj
mj
S1/2 ;2 P1/2 ;2 P3/2 ...
1
2
j , j 1,..., j
В случае S>L мультиплетность 2L+1
Правило отбора
j
0, 1
Правило отбора
l
1
Тонкая структура линий водорода
Релятивистские эффекты (в т.ч. спин – орбитальное
взаимодействие) приводят к расщеплению уровней.
Уровни с одинаковыми n, j совпадают 2s1/ 2 2 p1/2 и т.п.
Резкая
серия
Магнитные моменты:
спиновый
орбитальный
3s1/ 2
3 p3/2
3 p1/2
3d5/2
l
gl
3d3/2
Б
L
s
gs
Б
S
Энергия взаимодействия
Диффузная серия
Главная
серия
2 p3/2
2 p1/2
2s1/ 2
2
E
16
Ry
4.5 10 5 эВ
Обозначения
nl j
1s1/ 2
Правила отбора
l
1
j 0, 1
e2
c
1
137
Постоянная тонкой структуры
Спектры водородоподобных атомов
По сравнению с атомом водорода, в
щелочных металлах для данного n
энергия меньше при малых l т.к. электрон
находится ближе к ядру, где экранировка
меньше. Например, основное состояние
лития 2s ниже на 2 эВ. При увеличении n
электрон удаляется от ядра и уровни
энергии мало отличаются от уровней H.
En
Ry
n2
Enl
Валентный электрон, искажает
распределение зарядов и электрическое
поле остова. В первом приближении поле
остова можно рассматривать как
наложение поля точечного заряда Ze и
поля точечного диполя. В результате к n
добавляется σl - Ридберговская поправка
(отрицательная), зависящая от n, l. Часто
эту поправку вычитают из n, и называют
“квантовый дефект” (положительный).
Ry
(n
l
)2
Уровни энергии водорода лития и натрия
Спектры водородоподобных атомов
Тонкая структура линий Li
l 0
s
E, эВ
0.85
1
p
2
d
n 3
1.5
n 2
3.4
En
13.6
n 4
В спектрах атомов с
одним оптическим
электроном
наблюдаются
спектральные серии
и тонкое
расщепление линий,
аналогичные
наблюдаемым в
спектрах атома
водорода.
Ry
n2
Enl
n 1
Водород
Литий 3Li
Ry
(n
l
)2
Принцип запрета Паули
Заполнение электронных оболочек (слоев)
Кратность вырождения
N
2n2
Полностью заполненные оболочки (замкнутые)
Вольфганг Паули
(1940)
В любом квантовом состоянии
не может находиться
более одного электрона
Нобелевская премия по физике
(1945)
L
0
S
0
J
0
Характеристические рентгеновские спектры
Полосы поглощения
Периодическая таблица Д.И.Менделеева
Ионизационные потенциалы
атомов.
Минимальной энергией обладают
конфигурации с наибольшим спином
и орбитальным моментом
“Правило” (n+l) : Заполнение оболочек
происходит в порядке возрастания суммы (n+l)
Спектры рентгеновского излучения
Заполнение электронных оболочек (слоев)
Полностью заполненные оболочки (замкнутые)
L
0
S
0
J
0
Характеристические рентгеновские спектры
U l г е у С. T., Experimental
Investigation of the Energy in
the Continuous X-Ray Spectra
of Certain Elements, Phys. Rev.
11, 401 (1918).
Формула Мозли:
3
E 13.6 ( Z 1)2
4
Полосы поглощения
Атом в магнитном поле
J
L S
Б
J
L
1 (
g
Б
Ориентация векторов механического
и магнитного моментов электронной
оболочки атома
S
( L 2S )
2
2
2
J
)
J
S
L
J
1
2
J
2J 2
J ( J 1) S ( S 1) L( L 1)
g 1
2 J ( J 1)
Множитель Ланде (g-фактор)
g
Изменение энергии уровня в магнитном поле
Б
J
g
E
g
Б
Б
BmJ
J ( J 1)