УДК 536.21 К ВОПРОСУ ОБ УЧЕТЕ КОНЕЧНОЙ

УДК 536.21
К ВОПРОСУ ОБ УЧЕТЕ КОНЕЧНОЙ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ТЕПЛА В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
К.Б. Исаев
Институт проблем материаловедения НАНУ им. И.Н. Францевича, Киев, Украина
В рамках релаксационной модели теплового потока, учитывающей конечность
скорости распространения тепла, получено решение одномерного гиперболического
нелинейного уравнения теплопроводности для квазистационарного режима нагрева
полуограниченного
тела.
В
гиперболическом
уравнении
теплопроводности
учитываются стоки (источники) тепла. Показано влияния некоторых факторов на
параметры разрушения и температурное поле в материалах, значения коэффициента
теплопроводности которых отличаются на три порядка.
Ключевые слова
Время
релаксации,
уравнение
теплопроводности,
гиперболическое, квазистационарный режим, скорость звука.
параболическое,
Условные обозначения
q – тепловой поток, Вт/м2; qv – мощность внутренних стоков (источников) тепла, Вт/м3;
Cv = rcp – удельная объемная теплоемкость, Дж/(м3К); cp – удельная теплоемкость,
Дж/(кгК); x, y – координата в подвижной и неподвижной системе координат
соответственно, м; kҐ, kr – коэффициент теплопроводности в параболическом и
гиперболическом уравнениях теплопроводности соответственно, Вт/(мК); Tw,T0 –
температура поверхности и начальная соответственно, 0С; Vw – стационарная линейная
скорость движения поверхности, м/с; υp – скорость звука, м/с; r – плотность, кг/м3; t –
время, сек; tr – время релаксации, сек; ТФХ – теплофизические характеристики.
Введение
В большинстве практических случаев перенос тепла с достаточной степенью
точности
описывается
параболическим
уравнением
теплопроводности
с
соответствующими начальными и граничными условиями. В основе этого уравнения
лежит гипотеза J.B.J.Fourier о бесконечной скорости распространения тепла. Для
современных технологий, которые связаны с одной стороны со сверхнизкими
температурами, а с другой с высокими температурами и скоростями нагрева, имеет
место нарушение гипотезы J.B.J.Fourier. Существуют различные модели теплового
потока, которые учитывают конечность скорости распространения тепла. В данной
работе используется релаксационная модель распространения тепла, которая
предложена P.Vernotte и C.Cattaneo в [l,2], и в одномерном случае для однородного тела
имеет следующий вид :
),(
k (T)
q
T
y
.
(1)
С учетом этого соотношения уравнение теплопроводности принимает следующий вид:
dT
)(
d
d
d
v
( )
dT
d
d
dy
r
( )
dT
m qv
dy
(2)
Одномерное
гиперболическое
уравнение
теплопроводности
(2)
с
соответствующими краевыми условиями описывает распространение тепла в
однородном твердом теле с конечной скоростью. Обобщить его на перенос тепла в
трехмерном случае не представляет никаких трудностей.
1. Постановка задачи и ее решение.
Современные высокоинтенсивные технологические процессы (сварка методом
взрыва, электроискровая и лазерная обработка материалов и др.) связаны с большими
тепловыми потоками и скоростями нагрева. При реализации большинства из них имеет
место унос массы с поверхности материала с огромными скоростями. Для таких
процессов возникает необходимость в учете конечной скорости распространения тепла
в материале. Используя (1) для одномерного случая стационарного разрушения
материала (квазистационарный режим нагрева) под воздействием мощного
постоянного теплового потока с учетом того, что в этом режиме:
x = y – Vw t и T/ t = – Vw ( T/ x), T/ y = T/ x
(3)
из (2) получим следующее уравнение теплопроводности:
dT
dx
T
r
d
dx
v
( )
d
dx
dT
dx
r
( )
dT
dx
m qv .
(4)
Решая (4) методом разделения переменных с граничными условиями
,0 (0,t) Tw
(,t ) T0
const;
(5)
const; Vw const
и предполагая, что мощность внутренних стоков (источников) тепла
T
i
dT
,
dx
получим решение уравнения (4) в неявном виде в интегральной форме
rw
x
2
Tw
v
) t V C (T )] dT
T
T
C
V
T0
vw
T m
f i (T ) dT
i
.
(6)
2. Обсуждение результатов
2
Если величина слагаемого
T незначительна по сравнению с kr(T), то
rv
w
соотношение (4) переходит в решение параболического уравнения теплопроводности
[3] при тех же граничных условиях (5).
Tw
x
)(dT
(7)
T
T
f i (T ) dT
T m
i
T0
Сравнивая (6) с решением параболического уравнения теплопроводности (7)
получаем:
,(V )
kr (T)
V Cv (T)
(8)
r w
'
Равенство
V ) k (T) будет иметь место тогда, когда второе слагаемое в (8) имеет
w
r
незначительную величину по сравнению с первым слагаемым. Это возможно при
относительно небольших скоростях линейного уноса материала. Время релаксации –
это физический параметр материала и r
0. Его влияние сказывается при
определенных условиях нагрева. Это время оценивалось разными авторами для
различных типов материалов, и было найдено, что его значение лежит в пределах от 1010
сек для газов до 10-14сек для металлов [4].
Т.к., линейная скорость уноса материала пропорциональна скорости нагрева, т.е.
Vw = D(T)( Т/¶ t), где D(T) = – 1/( Т/¶ x) получим:
'
rr
w
'
V ) =
T
) = kr (T) – tr [D(T)( Т/¶ t)]2 Cv(T).
(9)
Т.е., при высокоинтенсивных нагревах коэффициент теплопроводности – коэффициент
пропорциональности в законе J.B.J.Fourier, является функцией, как температуры, так и
скорости нагрева (при условии tr = const). Возможно, это будет справедливо и при
других граничных условиях, т.к. коэффициент теплопроводности твердого тела не
зависит от этих условий.
В рамках данной модели теплопереноса dТ/dx является функцией
теплофизических характеристик, стоков (источников) тепла и граничных условий.
Учитывая, что эти характеристики зависят только от температуры, поэтому градиент
температуры тоже зависит только от температуры. Это хорошо видно, если
продифференцировать соотношение (6) по T.
T
T m
dT
dx
fi (T ) dT
i
T0
()
2
Vw C v (T )
(10)
Т.о., при расчете температурных полей в материалах при высокоинтенсивных
нагревах можно использовать параболическое уравнение теплопроводности (во всяком
случае, для квазистационарного режима), коэффициент теплопроводности в котором,
должен быть функцией, как температуры, так и скорости нагрева.
В работах [5,6] численным решением уравнения теплопроводности (2) для
полуограниченного тела с соответствующими граничными условиями получено, что,
во-первых, имеет место фронт температуры после которого Т(y,t) = T0, который
движется в глубь тела и с увеличением времени его амплитуда уменьшается. Вовторых, результаты решения гиперболического уравнения теплопроводности
располагаются выше соответствующего решения параболического уравнения. При этом
для обоих типов уравнения теплопроводности использовались одни и те же
теплофизические характеристики. В работе [7] показано, что для полуограниченного
тела, начиная с некоторого момента времени решения гиперболического и
параболического уравнений теплопроводности совпадают, а фронт температурной
волны сходит на нет.
Квазистационарному режиму нагрева материала предшествуют два режима
нагрева [8] – без линейного движения поверхности нагрева и при движении этой
поверхности по какому-то закону во времени от 0 до Vw = const. Видимо, при
наступлении квазистационарного режима температурная волна затухает, поэтому в
этом режиме
решения параболического
и
гиперболического
уравнений
теплопроводности одинаковы по форме (соотношения (6) и (7)).
В случае постоянства ТФХ и равенства 0 внутренних стоков (источников) тепла
соотношение (6) преобразуется к виду:
() T0
w
w
exp
.
2
w
t
0
(11)
В работе [9] предложено оценивать время релаксации по следующему
соотношению:
tr = 3ar / υp2
(12)
Из (12) получим соотношение для оценки коэффициента температуропроводности
материалов при высоких скоростях нагрева:
ar = tr υp2/3.
(13)
Дифференцируя (11) по x и учитывая (3) получим соотношение для оценки
максимальной скорости нагрева исследуемого материала в квазистационарном режиме.
dT
dt
Vw
max
2
t
2
w
0
.
(14)
w
Влияние конечности скорости распространения тепла на температурное поле
(соотношение (11)) будет ощутимым, если величина tr Vw2 будет больше либо равна
погрешности определения ar. Предполагая, что эта погрешность составляет 10%,
оценим линейную скорость разрушения материалов с большими (медь) и малыми
(полиметилметакрилат – ПММА) значениями коэффициента теплопроводности.
Значения этой характеристики у них отличаются примерно в 2000 раз. Данные, при
которых проводились расчеты, заимствованы из литературных источников. Для ПММА
предполагалось, что для этого материала время релаксации равно этому параметру
теплоизоляционных материалов. В качестве Tw в соотношениях (13) и (14) для меди
использовалась температура испарения, а для ПММА – температура разложения.
Таблица 1. Теплофизические характеристики меди и ПММА.
Материал
aҐ, м2/с
tr, сек
υp, м/с
Tисп, 0С
Медь
1.2 10-4
[10]
10-14
[12]
4700
[13]
2600
[14]
ПММА
1.05 10-7
[11]
10-11
2670
[13]
400
[15]
Как видно из соотношения (11) (при условии, что ar определяется по (13)), с
увеличением линейной скорости разрушения материала его температурное поле
сжимается и при Vw = υp /Ц 3 это поле исчезает, т.е. во всех точках тела (в том числе и
на поверхности) температура постоянна и равна T0. При этом скорость нагрева тела
становится бесконечной. Если линейная скорость уноса материала будет
увеличиваться, то получится, что температура тела выше, чем на поверхности. Что,
естественно, противоречит закону сохранения энергии. Видимо скорость Vw = υp /Ц 3
является предельной для данной модели теплопереноса в твердом теле.
Таблица 2. Результаты оценки температуропроводности и параметров
разрушения материалов.
Материал
ar, м2/с
Vw, м/с
dT/dt |max, К/с
Медь
7.4 10-8
860
(3.5 104)
2.9 1016
ПММА
2.4 10-5
490
(32.4)
4.2 1012
В табл. 2 приведены результаты расчета коэффициента температуропроводности
двух материалов по соотношению (13). Для сравнения в табл. 1 приведены данные об
этой характеристике, полученные в рамках классической модели переноса тепла при
комнатной температуре. Для меди эта характеристика уменьшилась на 3 порядка, а для
ПММА наоборот увеличилась на 2 порядка (табл. 1,2). В табл. 2 также (в скобках)
приведены линейные скорости разрушения материалов при использовании в качестве ar
данных об aҐ,, которые приведены в табл. 1. Для меди значение Vw более чем в 5 раз
превышает υp /Ц 3. Т.е., для материалов, обладающих высокой теплопроводностью при
решении гиперболического уравнения теплопроводности нельзя использовать
коэффициент температуропроводности, определенный в рамках классической теории
теплопереноса.
Соотношение (14) позволяет провести оценку скорости нагрева материала и при
условии, что tr Vw2 = 10% ar оно приобретает следующий вид: dT/dt |max = (Tw–T0)/9tr.
Результаты расчета по этому соотношению приведены в табл. 2.
Выводы
Получено решение нелинейного гиперболического уравнения теплопроводности
в квазистационарном режиме нагрева – постоянство температуры поверхности
полубесконечного тела и скорости ее движения.
Показано, что для этого режима нагрева тел вместо решения гиперболического
уравнения теплопроводности можно использовать решение параболического
уравнения, при условии, что коэффициент теплопроводности будет функцией, как
температуры, так и скорости нагрева.
Получено, что при Vw = υp /Ц3 температурное поле исчезает, т.е. во всех точках
тела (в том числе и на поверхности) температура постоянна и равна T0, а при этом
скорость нагрева бесконечна.
Литература
1. Vernotte P. The true heat equation. Comp. Rend. Acad. Sci. 1958. Vol. 247. P.2103-2107.
2. Cattaneo C. A form of heat conduction equation, which eliminates the paradox of
instantaneous propagation. Comp.Rend.Acad.Sci. 1958. V. 247. P.431-433.
3. Исаев К. Б. Влияние различных факторов на температурное поле при
квазистационарном режиме нагрева материалов. Пром. теплотехника. 1987. Т. 9, № 3.
С.39-43.
4. Chandrasekharaiah D.S. Thermoelastisity with Second Sound: A Review. Appl. Mech.
Rev. (1986) V.39. No3. P.355-376.
5. Glass D.E., Özisik M.N. and Vick B. Hyperbolic heat conduction with surface radiation.
Int. J. Heat Mass Transfer. 1985. V.28, No10. P.1823-1830.
6. Glass D.E., Özisik M.N. and McRae D.S. Hyperbolic heat conduction with temperaturedependent thermal conductivity. J. Appl. Phys. 1986. V.59, No 6. P.1861-1865.
7. Лыков А.В. Тепломассообменю Справочник. М.: Энергия, 1971. 560с.
8. Исаев К.Б. Теплоперенос в разрушающихся при односторонних нагревах
композиционных материалах. ИФЖ. 1993. Т.65, № 6. С.645-651.
9. Chester M. Second sound in solids. Phys. Rev. (1963) V. 131. P.2013-2015.
10. Тепло-и массообмен. Теплотехнический эксперимент: Справочник. Под общей ред.
В.А. Григорьева и В.М. Зорина. М.: Энергоиздат. 1982. 512с.
11. Васильев Л.А., Фрайман Ю.Е. Теплофизические свойства плохих проводников
тепла. Минск: Наука и техника. 1967. 175с.
12. Maurer M.J. Relaxation model for heat conduction in metals. J. Appl. Phys. 1969. V.40.
P.5123-5129.
13. Таблицы физических величин. Справочник. Под ред. И.К. Кикоина. М.: Атомиздат.
1976. 1008с.
14. Гороновский И.Т., Назаренко Ю.П., Некряч Е.Ф. Краткий справочник химика. Киев:
Наукова думка. 1974. 991с.
15. Шленский О.Ф., Шашков А.Г., Аксенов Л.Н. Теплофизика разлагащихся
материалов. М.: Энергоатомиздат. 1985. 144с.