нижегородский государственный педагогический

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра__мат. анализа__ Дисциплина_теория функций действительного переменного_____
1
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №
1. Конечные и бесконечные множества. Характеристическое свойство бесконечного
множества. Определение Дедекинда бесконечного множества.
2. Понятие метрического пространства. Примеры метрических пространств. Подпространство.
3. Итерационные последовательности. Неподвижная точка. Предел итерационной последовательности.
Экзаменатор
Зав.кафедрой
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра__мат. анализа___Дисциплина__теория функций действительного переменного____
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №
2
1. Биекция. Примеры. Эквивалентные множества. Равномощность. Мощность множества.
2. Свойства метрики.
3. Итерационные последовательности. Неподвижная точка. Предел итерационной последовательности.
Экзаменатор
Зав.кафедрой
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра__мат. анализа__ Дисциплина_теория функций действительного переменного_____
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 3
1. Континуум – гипотеза. Обобщенная континуум – гипотеза.
2. Открытые множества. Объединение и пересечение открытых множеств. Примеры.
3. Сжимающее отображение. Теорема Банаха.
Экзаменатор
Зав.кафедрой
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра__мат. анализа__ Дисциплина_теория функций действительного переменного_____
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №
4
1. Счетные множества. Построить биекцию множества всех положительных рациональных чисел на множество всех натуральных чисел. Счетность множества всех рациональных чисел.
2. Структура открытых множеств на прямой.
3. Сжимающие отображение. Теорема Банаха.
Экзаменатор
Зав.кафедрой
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра__мат. анализа___Дисциплина__теория функций действительного переменного____
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 5
1. Теорема о подмножестве счетного множества.
2. Замкнутые множества. Оюъединение и пересечение замкнутых множеств. Примеры.
3. Сжимающее отображение. Теорема Банаха.
Экзаменатор
Зав.кафедрой
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра__мат. анализа__ Дисциплина_теория функций действительного переменного_____
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 6
1. Теорема о существовании счетного подмножества бесконечного множества.
2. Замкнутые множества на прямой.
3. Метод последовательных приближений. Оценка погрешности.
Экзаменатор
Зав.кафедрой
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра__мат. анализа__ Дисциплина_теория функций действительного переменного____
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 7
1. Теорема об объединении счетных множеств.
2. Классификация точек метрического пространства по отношению к данному множеству. Замыкание. Производное множество. Граница. Свойства.
3. Метод последовательных приближений. Оценка погрешности.
Экзаменатор
Зав.кафедрой
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра__мат. анализа___Дисциплина__теория функций действительного переменного____
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 8
1. Теорема о счетности множества, элементы которого определяются n значками. Примеры.
2. Сходящиеся последовательности в метрическом пространстве. Единственность предела.
3. Построение приближенного значения корня уравнения  ( х)  0 . Диаграмма Ламерея –
Кенигса.
Экзаменатор
Зав.кафедрой
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра__мат. анализа__ Дисциплина_теория функций действительного переменного_____
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 9
1. Мощность декартова произведения конечной совокупности счетных множеств. Примеры.
2. Сходящиеся последовательности в метрическом пространстве. Ограниченность сходящейся последовательности.
3. Построение приближенного значения корня уравнения  ( х)  0 . Диаграмма Ламерея –
Кенигса.
Экзаменатор
Зав.кафедрой
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра__мат. анализа__ Дисциплина_теория функций действительного переменного____
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 10
1. Доказать счетность множества всех алгебраических чисел.
2. Полные метрические пространства. Полнота пространства . Пример неполного пространства.
3. Длины, площади, объемы.
Экзаменатор
Зав.кафедрой
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра__мат. анализа___Дисциплина__теория функций действительного переменного__
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 11
1. Теорема о несчетности множества всех действительных чисел.
2. Пространство С[a, b]. Полнота пространства С[a, b].
3. Абстрактная мера. Счетно – аддитивная мера. Продолжение меры.
Экзаменатор
Зав.кафедрой
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра__мат. анализа__ Дисциплина_теория функций действительного переменного___
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №
12
1. Множество мощности континуума. Построение биекции одного невырожденного промежутка (конечного или бесконечного) на другой невырожденный промежуток.
2. Пространство С[a, b]. Полнота пространства С[a, b].
3. Канторово множество. Определение. Свойства.
Экзаменатор
Зав.кафедрой
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра__мат. анализа__ Дисциплина_теория функций действительного переменного___
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №
13
1. Мощность разности А\В, где cardA = c и cardB  a. Мощность множества всех иррациональных чисел.
2. Пространство С[a, b]. Полнота пространства С[a, b].
3. Канторово множество. Определение. Свойства.
Экзаменатор
Зав.кафедрой
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра__мат. анализа___Дисциплина__теория функций действительного переменного__
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №
14
1. Существование трансцендентных чисел.
2. Пространства n, l1 и l 2 .
3. Канторово множество. Определение. Свойства.
Экзаменатор
Зав.кафедрой
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра__мат. анализа__ Дисциплина_теория функций действительного переменного___
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №
15
1. Мощность булеана множества всех натуральных чисел.
2. Компакты. Определение, примеры. Критерий компактности множества А  n.
3. Схема введения линейной меры Лебега. Мера ограниченного открытого множества.
Понятие меры ограниченного замкнутого множества. Внешняя и внутренняя меры
ограниченного множества. Измеримые в смысле Лебега множества.
Экзаменатор
Зав.кафедрой
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра__мат. анализа__ Дисциплина_теория функций действительного переменного_____
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №
16
1. Формулировка теоремы о мощности множества, элементы которого определяются n
значками (определяются с помощью счетного набора значков), каждый из которых
принимает с значений. Примеры.
2. Признаки полноты метрического пространства.
3. Свойства измеримых по Лебегу множеств.
Экзаменатор
Зав.кафедрой
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра__мат. анализа___Дисциплина__теория функций действительного переменного____
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №
17
1. Сравнение мощностей.
2. Признаки полноты метрического пространства.
3. Мощность класса измеримых по Лебегу множеств.
Экзаменатор
Зав.кафедрой
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра__мат. анализа__ Дисциплина_теория функций действительного переменного______
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №
18
1. Теорема Кантора о мощности булеана. Примеры множеств мощности гиперконтинуума.
2. Отображения метрических пространств. Определение непрерывности отображения в
точке (на     языке ; с помощью окрестностей; на языке последовательностей). Непрерывное отображение.
3. Понятие измеримой функции. Свойства измеримых функций.
Экзаменатор
Зав.кафедрой
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра__мат. анализа__ Дисциплина_теория функций действительного переменного______
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №
19
1. Существование сколь угодно больших мощностей.
2. Отображения метрических пространств. Непрерывное отображение. Непрерывность
сжимающего отображения.
3. Определение интеграла Лебега от ограниченной функции. Основные свойства. Предельный переход под знаком интеграла.
Экзаменатор
Зав.кафедрой
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра__мат. анализа__ Дисциплина_теория функций действительного переменного____
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №
20
1. Существование сколь угодно больших мощностей.
2. Отображения метрических пространств. Непрерывное отображение. Непрерывность
сжимающего отображения.
3. Сравнение интегралов Римана и Лебега. Критерий Лебега интегрируемости по Риману.
Экзаменатор
Зав.кафедрой