Документ 204440

Рекомендовано методической
комиссией ММФ
протокол № 1
от 30 января 2014г.
.
Утверждено
на Ученом совете ММФ:
протокол № 6
от 27 марта 2014г.
ПРОГРАММА
вступительного экзамена в аспирантуру
по профилю–« Математическая логика, алгебра и теория чисел»
ОБЩАЯ ЧАСТЬ. РАЗДЕЛ 1
1. Понятие топологического пространства. Непрерывные отображения
топологических пространств. Компактность в топологических пространствах.
2. Понятие метрического пространства. Полные метрические пространства. Принцип
сжимающих отображений и его применения.
3. Мера Лебега. Измеримые функции и их свойства. Теорема Д.Ф. Егорова. Интеграл
Лебега и его основные свойства. Предельный переход под знаком интеграла
Лебега.
4. Гильбертовы пространства. Ортогональные системы функций. Полные системы,
критерий полноты. Неравенство Бесселя. Сходимость рядов Фурье в гильбертовом
пространстве. Равенство Парсеваля.
5. Линейные интегральные уравнения Фредгольма 2-ого рода. Теоремы Фредгольма.
6. Линейные пространства и их подпространства. Базис и размерность. Теорема о
ранге матрицы. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
7. Билинейные и квадратичные формы в линейных пространствах. Приведение
квадратичных форм к нормальному виду. Закон инерции.
8. Линейные отображения в линейных пространствах. Собственные векторы и
собственные значения. Приведение матрицы линейного оператора к жордановой
форме.
9. Группы. Подгруппы. Порядок элемента. Циклические группы. Факторгруппа.
Теорема о гомоморфизме.
10. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и
единственности решения задачи Коши.
11. Линейные дифференциальные уравнения n – го порядка с постоянными
коэффициентами.
12. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка,
их классификация. Задача Дирихле для уравнения Лапласа.
13. Элементарные функции комплексного переменного и связанные с ними
конформные отображения. Дробно-линейные функции. Простейшие многозначные
функции.
14. Теорема Коши об интеграле по замкнутому кругу. Интеграл Коши. Ряд Тейлора.
Ряд Лорана. Изолированные особые точки аналитических функций.
15. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Нормальная кривизна
поверхности. Геодезические линии. Формула Эйлера. Гауссова кривизна
поверхности.
16. Понятие о простейшей проблеме вариационного исчезновения. Уравнение Эйлера.
17. Схема Бернулли. Теорема Муавра-Лапласа.
18. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
Литература
1. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии.
2. Арнольд В.И.
Обыкновенные дифференцированные уравнения.
3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики.
4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального
анализа.
5. Кудрявцев Л.Д.
Математический анализ.
6. Курош А.Г.
Курс высшей алгебры.
7. Мальцев А.И.
Основы линейной алгебры.
8. Маркушевич А.И. Введение в теорию аналитических функций.
9. Никольский С.М. Курс математического анализа.
10. Петровский И.Г. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
11. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными.
12. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
13. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.
14. Рашевский П.К. Дифференциальная геометрия.
ОБЩАЯ ЧАСТЬ. РАЗДЕЛ 2
(специальность 01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА.
1. Логика высказываний. Исчисление высказываний, его корректность и полнота.
2. Логика предикатов первого порядка: язык, интерпретации, модели. Теорема
компактности, теорема Лёвенгейма – Скулема. Исчисление предикатов первого
порядка. Нестандартные модели арифметики.
3. Теории первого порядка. Полные теории. Категоричные в данной мощности
теории. Разрешимые теории. Категоричность в счётной мощности, теории плотного
порядка без первого и последнего элементов.
4. Парадоксы наивной теории множеств. Аксиоматическая теория множеств. Аксиома
выбора. Вполне упорядоченные множества и теорема Цермело. Лемма Цорна.
Континуум – гипотеза.
5. Общее понятие алгоритма. Варианты формализации понятия алгоритма.
Универсальный алгоритм. Вычислимые функции, перечисляемые и разрешимые
множества. Неразрешимые алгоритмические проблемы. Теорема Райса.
6. Первая теорема Геделя о неполноте формальной арифметики. Неразрешимость
формальной арифметики. Теорема Тарского о невыразимости арифметической
истинности в арифметике. Теорема Черча о неразрешимости логики предикатов.
7. Время и память как меры сложности вычислений. Классы P, NP и PSPACE.
Полиноминальная сводимость. NP – полные проблемы.
АЛГЕБРА
1. Теоремы о гомоморфизмах групп. Классы сопряженных элементов. Центр и
коммутант группы. Разрешимые группы. Теорема Силова.
2. Представления групп. Лемма Шура. Теорема Машке.
3. Характеры представлений. Определимость представления своим характером.
Представления конечных групп.
4. Конечно порождённые модули над кольцами главных идеалов. Приложения
конечно порождённых абелевых групп к теории жордановой нормальной формы.
5. Задание групп образующими элементами и определяющими соотношениями.
Алгоритмические проблемы для конечно определённых групп.
6. Поля алгебраических чисел.
7. Конечные поля.
8. Нетеровы кольца. Теорема Гильберта о базисе.
1.
2.
3.
4.
5.
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Теорема о разложении целых чисел в произведение простых сомножителей.
Важнейшие арифметические функции.
Сравнения, их свойства. Теоремы Эйлера и Ферма.
Сравнения с одной неизвестной величиной.
Сравнения второй степени. Квадратичный закон взаимности. Первообразные
корни и индексы.
Сравнение высших степеней.
ЛИТЕРАТУРА
Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и трудно решаемые задачи. М.: Мир, 1982.
Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. 2-е изд. М.: Наука, 1987.
Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. 2-е изд. М.: Наука, 1986.
Мендельсон Э. Введение в математическую логику. 3-е изд. М.: Наука, 1984.
Новиков П.С. Элементы математической логики. 2-е изд. М.: Наука, 1973.
Ершов Ю.Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. М.: Наука, 1980.
Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. 3. Основные структуры алгебры. М.: Физмат лит,
2000.
Винберг Э.Б. М. Курс алгебры. М.: Наука, 1983.
Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. М.: Наука, 1983.
Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.
Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1964.
Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.
Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.
Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.
Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию чисел. М.: Изд-во
МГУ, 1995.
Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.
Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей М.: Наука,
1985.
Коробков Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.
Серр Ж.П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972.
Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Мир, 1974.
Программа сформирована на основе федеральных государственных
образовательных стандартов высшего образования по программам специалитета и
магистратуры.