диссертационная работа Усипбековой Д

КАЗАХСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ К.И. САТПАЕВА
УДК 539.12-19
На правах рукописи
УСИПБЕКОВА ДИНАРА ИЗБАСАРОВНА
Исследование ограниченной нестационарной фотогравитационной
задачи двух и трех тел
6D072300-Техническая физика
Диссертация на соискание ученой степени
доктора философии (PhD) в области физики
Научные консультанты
д.ф.-м.н., профессор Беков А.А.,
д.ф.-м., профессор Малков Е.А.
Алматы, 2014
2
СОДЕРЖАНИЕ
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
3
3.1
3.2
4
4.1
4.2
4.3
4.4
ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
Введение.
Ограниченная нестационарная фотогравитационная задача двух тел
и ее частные решения.
Вводные замечание.
Уравнение движения и частные решения.
Неизотропное истечение массы и частные решения.
Исследование нестационарной задачи двух тел.
Об одном интегрируемом случае динамики твердого тела в
центральном ньютоновском поле тяготения.
Ограниченная нестационарная фотогравитационная задача трех
тел.
Уравнение движения.
Частные решения.
Неизотропное истечение массы и частные решения.
Прямолинейные решения
Треугольные решения
Компланарные решения
Поверхности Хилла ограниченной нестационарной
фотогравитационной задачи трех тел.
Об орбитальном движении, неуправляемого космического объекта
в поле тяготения центрального и внешнего тела.
Модели спутникового варианта ограниченной нестационарной
фотогравитационной задачи трех тел – модели движения спутника
в поле тяготения центральной планеты под влиянием
гравитационного или фотогравитационного возмущения третьего
тела.
Вычисление координат эллиптического, гиперболического, крувого
движения в поле тяготении Хилла.
Вычисление координат эллиптического движения.
Вычисление геоцентрических координат гиперболического
движения.
О построении промежуточной орбиты ИСЗ в цилиндрической
системе координат
Вычисление геоцентрических координат кругового движения.
Заключение
Список использованных источников
3
3
4
15
15
15
18
20
28
28
29
30
33
37
46
49
59
64
95
95
100
102
105
111
112
ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
G  универсальная гравитационная постоянная
C  постоянная интеграла площадей
С – интеграл Якоби
Q  редукция массы
qi  редукционный параметр
Li  точка либрации
L  функция Лагранжа
U  потенциал
W  силовая функция
r12  расстояние между основными телами
 t   суммарная масса основных тел
 i  гравитационные параметры тел
M i  массы основных тел
  безразмерный параметр задачи двух тел переменной массы
  соотношение масс основных тел
V  скорость относительного движения
x, y, z  исходные координаты частицы
 , ,  изображающие координаты частицы
  изображающее время
 , ,  углы Эйлера
  потенциал пробного тела во вращающейся системе координат
li  возмущения в исходных переменных x, y, z, t
 i  возмущения в преобразованных переменных  , , ,
Rt   функция времени, характеризующая переменность массы системы
4
ВВЕДЕНИЕ
Изучение устойчивости частных решений ограниченной задачи двух и
трех тел всегда представляло большой интерес, поскольку на основе такого
исследования можно смоделировать с достаточной степенью точности
поведение реально существующих небесных объектов. В частности,
полученные результаты можно с успехом использовать при построении
теории эволюции двойных звезд, а также в космонавтике.
Упомянем кратко об основных работах, отражающих историю
исследований, посвященных этой теме. Классическая задача двух и трех тел,
движущихся под действием сил взаимного гравитационного притяжения, в
общем виде не интегрируется, но допускает частные решения, в которых все
указанные материальные точки лежат в неизменной плоскости и движутся по
кеплеровским орбитам вокруг барицентра системы. Частные решения, для
которых гравитирующие точки расположены на одной прямой –
коллинеарные точки либрации – были впервые описаны Эйлером [1] еще в
1767 году. Несколько позже Лагранж [2] нашел еще два решения, для
которых три тела образуют равносторонний треугольник – треугольные
точки либрации. Наиболее полно вопрос об устойчивости точек либрации
рассмотрен в ограниченной задаче трех тел, когда предполагается, что одно
из тел имеет бесконечно малую массу и не влияет на движение двух других
тел. Для самой простой круговой задачи трех тел, когда основные тела
движутся по круговым орбитам вокруг общего центра масс, необходимое
условие устойчивости треугольных точек либрации в линейном
приближении, справедливое как для плоского, так и для пространственного
случая впервые упоминается в работе Гашо [3]. Устойчивости точек
либрации фотогравитационной задачи посвящена работа Симмонса,
МакДоналда и Брауна [4].
Исследования поверхностей нулевой скорости этой задачи проведены в
работах [5-7]. В работе [8] рассмотрены главные направления развития
фотогравитационной задачи, приведена основная постановка задачи с одним
и двумя излучающими центрами, приведены уравнения движения,
охарактеризованы треугольные, компланарные и коллинеарные точки
либрации, дано сравнение поверхностей нулевой скорости классической и
фотогравитационной задач, а также сделано обобщение этой задачи в случае
произвольных коэффициентов редукций. Говоря о приложениях
фотогравитационной задачи нельзя не упомянуть о проблемах динамики
звездных полетов с солнечным парусом. Эта задача рассматривалась в
работах [9-13]. В работе [12] случай переменной редукции гравитационного
поля применен к пылевым частицам Солнечной системы и отмечено, что
результаты фотогравитационной задачи могут быть использованы в изучении
движения комет при учете солнечной радиации и корпускулярных потоков
солнечного ветра. В работе [13], где в качестве переменной величины
выбирается парусность частицы, показана возможность применения
5
результатов к микрометеоритным межпланетным частицам с убывающими
радиусами.
Задача трех тел в случае, когда одно из основных тел является
осесимметричным неизлучающим, а второе сферическим излучающим
рассмотрена в работе [14]. Влияние эффекта Пойнтинга-Робертсона на
устойчивость точек либрации в фотогравитационной ограниченной задаче
трех тел изучено в работе [15]. В работе установлены, что учет
релятивистских поправок ведет к неустойчивости точек либрации.
Современное
состояние
проблемы.
В
последние
годы
фотогравитационные задачи исследования, которые начаты в 50-х годах
прошлого столетия, в частности, ограниченная фотогравитационная задача
трех тел, которая может рассматриваться как обобщенная классическая
задача, являются предметом интенсивного исследования многих авторов [5,
16-21].
Это объясняется тем, что при изучении реального движения
естественных и искусственных космических объектов наряду с
гравитационной силой часто приходится учитывать репульсивную силу
светового давления, являющуюся неизменной спутницей гравитирующих и
излучающих тел. При этом суммарная сила, действующая на частицу или
тело со стороны излучающих основных массивных тел, подчиняется тому же
закону, что и гравитационная сила и отличается лишь поправкой на массу
частицы, называемой коэффициентом редукции массы и зависящей от ее
«парусности», определяемой как отношение площади сечения к массе
объекта.
В фотогравитационной задаче трех тел известны следующие основные
варианты:
1) частица с бесконечно малой массой находится под действием
светового давления только от одной основной гравитирующей точечной
массы, обеспечивая ее массу редуцированным репульсивным давлением;
2) частица находится под действием светового давления от каждого
основного тела, оба имеют редуцированную массу;
3) только один или оба гравитирующие и излучающие основные тела
имеют сферическую или эллипсоидальную форму.
Вполне естественно попытаться разработать сформулированную задачу
в том же направлении, как для классической ограниченной задачи трех тел, и
это было проделано (анализ поверхностей нулевой скорости, точки либрации
и их устойчивость и так далее). Затем результаты, полученные для
классической
задачи,
будут
следовать,
как
частные
случаи
фотогравитационной задачи, когда радиацию предполагаем отсутствующей.
С другой стороны, радиационные эффекты дают начало новым аспектам
проблемы.
Основные формулировки задачи с одним и двумя излучающими телами.
Рассмотрим проблему в начальной формулировке, когда коэффициент
редукции массы Q тела с массой M определяется величиной
6
результирующей силы F от двух коллинеарных сил: гравитационная сила
Fгр и сила радиационного давления Fрад , действующих на частицу P с
бесконечно малой массой m :


F 

F  Fгр 1  рад r 0  QFгр r 0
Fгр 

(1)

Здесь значение каждой силы (их проекции на единичный вектор r 0 )
равно
1
w22  m3 (m2  m1m3 )
2
(2)
где G  универсальная гравитационная постоянная,
E  интенсивность радиации,
A  площадь поперечного сечения частицы P .
Тогда Q может быть записано в форме
Q 1
Fрад
Fгр
1
E A
,
GM m
(3)
показывая ее зависимость от парусности частицы A/ m , которая может быть
в общем переменной.
Для описания движения частицы P введем, как и в классической
задаче, вращающуюся прямоугольную систему координат Oxyz с началом O
в барицентре основных тел M 1 и М 2 [21]. Пусть R1 , R2 и R0 есть расстояния
частицы P от основных тел и от начала O , соответственно, так что
R12  x   2  y 2  z 2 ,
R22  x    12  y 2  z 2 ,
R02  x 2  y 2  z 2 ,

М2
M1  М 2
Тогда система уравнений движения есть
7
(4)
U
x
U
y  2 x 
y
x  2 y 
z 
(5)
U
z
где потенциал U равен
U
Q1     1 2

 x  y 2 
R1
R2 2
(6)
Эти уравнения, конечно, не интегрируются, но они имеют девять
семейств частных решений, и пять положений относительного равновесия,
которые являются аналогами точек либрации классической ограниченной
задачи трех тел.
Первые исследования точек либрации фотогравитационной задачи,
формулированной выше, были проделаны В.В. Радзиевским [16], который
нашел, что их расположение строго зависит от коэффициента редукции
массы Q . Сначала он рассмотрел плоский случай [16] и позже
пространственный [22].
Одной из особенностей точек либрации фотогравитационной задачи
есть то, что их появление связано с определенной эволюцией компонентов
особых точек поверхности нулевой скорости. Например, точки L1 и L2 могут
существовать одновременно или L2 может появляться раньше L1 . Кроме
того, точки L4 и L5 в классическом случае образуют форму равностороннего
треугольника с основными телами, а в фотогравитационной задаче с одним
излучающим телом они образуют равнобедренный треугольник.
В.В. Радзиевский также обобщил фотогравитационную задачу на
случай двух излучающих тел (основные тела) с коэффициентами редукции
масс Q1 и Q2 . Тогда силовая функция (6), принимает вид
U
2Q1 1    2Q2  1 2

 x  y 2 ,
R1
R2
2
(7)
и для треугольных точек либрации мы имеем
R1, 2  Q11,/23 ,
(8)
из которого ясно, что треугольные точки либрации могут существовать
только для положительных Q1 и Q2 , когда преобладает гравитация. До тех
8
пор, пока все физически возможные значения Q1 и Q2 подчиняются
неравенству Q1, 2  1, то весь ряд этих точек занимает область ограниченную
двумя окружностями единичного радиуса с центром в каждой из основных
тел с массами  и 1   . В этом случае, треугольные точки уже не образуют
равнобедренного треугольника (кроме случая Q1  Q2 ), так как R1, 2  Q11,/23 .
Таким образом, условия существования этих точек могут быть
представлены неравенствами:
Q1  0 ,
Q2  0 ,
(9)
Q11 / 3  Q21 / 3  1.
В.В. Радзиевский [22] показал существование компланарных точек
либрации (не имеющие аналогов в классическом случае), расположенных в
плоскости xz симметрично относительно оси x вдоль кривой, которая
начинается у одного тела и асимптотически подходит к оси z .
В.В. Радзиевский [22] провел сравнительный анализ поверхности
нулевой скорости с классическим случаем довольно схематически, тогда как
Коломбо (G.Соlоmbо) [23] дал впервые реальную геометрическую картину
сечения поверхностей для точки L2 в системе «Солнце-Земля-пылинка», где
доказывает условия появления L2 раньше L1 .
Детальные анализы поверхности нулевой скорости для двух
излучающих центров и для всех реальных значений параметров  ,Q1 и Q2
были проведены Л.Г. Лукьяновым [5].
Возможное астрономическое применение фотогравитационной задачи
было впервые указано В.В. Радзиевским [22-25]: захват частицы планетой
(основано на интеграле Якоби), происхождение кометы в рамках
ограниченной задачи трех тел, и теория происхождения, структура и
эволюция зодиакальных облаков. Явление зодиакального свечения интересно
в связи с точкой либрации «Солнце-Юпитер-частица». Также отмечена
корреляция возможного размытия с увеличением апериодичности в свечении
частицы облака.
Классическая ограниченная задача трех тел имеет пять точек либрации,
три L1 , L2 , L3 - прямолинейные точки либрации и две L4 и L5 треугольные
точки либрации. Это так называемые эйлеровы и лагранжевы решения в
ограниченной задаче трех тел, имеющие самостоятельный интерес и важные
применения в динамике пассивно гравитирующего тела в поле тяготения
двух активно гравитирующих тел [26-28]. Модификация ограниченной
задачи трех тел вносит качественные изменения на число и расположение
точек либрации. Так учет светового давления в рамках ограниченной
круговой задачи трех тел делает пригодной задачу для исследования
движения частиц газопылевого облака в поле двойной звезды. Впервые
9
такую задачу поставил В.В. Радзиевский [16, 22]. Как известно [20] в ряде
задач звездной динамики необходим, помимо гравитационной силы
взаимодействия, учет силы светового давления. В.В. Радзиевским
установлено существование, помимо коллинеарных и треугольных точек
либрации, компланарных точек либрации, расположенных вне плоскости
обращения звезд. В работах Л.Г. Лукьянова [29], А.Л. Куницына и А.Т.
Турешбаева [19, 30-32] уточнены и дополнены известные ранее результаты
для точек либрации в рассматриваемой ограниченной фотогравитационной
задаче трех тел.
В ограниченной фотогравитационной круговой задаче трех тел
устанавливается
существование
трехпараметрического
семейства
коллинеарных точек либрации [19, 29, 30]. Показана [29] возможность
существования двух прямолинейных точек либрации между основными
телами или за одним из них и даже трех точек либрации между основными
телами. Показывается [19, 30], что в противоположность классической задаче
в пространстве параметров существует область устойчивости коллинеарных
точек либрации. Область существования семейства треугольных точек
либрации в пространстве параметров (коэффициенты редукции масс
основных тел) установлена в работах [29, 31], и найдены необходимые
условия устойчивости лагранжевых решений, которым дана простая
геометрическая интерпретация.
В работе [32] построена область существования трехпараметрического
семейства компланарных точек и исследована их устойчивость по Ляпунову.
Проведенный анализ [32] включает результаты как частный случай,
полученные Ю.А. Черниковым [18] и А.А. Пережогиным [33].
Другая модификация ограниченной задачи трех тел – учет изменения
массы притягивающих тел со временем. В рамках задачи двух тел учет
переменности массы притягивающих тел и ее важность в динамической
эволюции двойной системы ясно осознана в XIX веке и, начиная с
классических работ Гильдена (H. Gylden) и И.В. Мещерского, заложивших
основу математической модели задачи двух тел переменной массы.
исследования ведутся в этом направлении с применением результатов к
звездно-динамическим проблемам [34, 35, 106-108].
Для исследования движения пассивно гравитирующей материальной
точки в гравитационном поле двойной звезды с учетом изменения массы
звезд, в качестве динамической модели используется ограниченная задача
трех тел переменной массы. Простейший случай изотропного изменения
массы гравитирующих тел рассмотрен в работе Б.Е. Гельфгата [36].
Ограниченная задача трех тел переменной массы в других различных
постановках исследована в работах [37-39]. Существование пяти точек
либрации (коллинеарных и треугольных) в ограниченной задаче трех тел
переменной массы установлено Б.Е. Гельфгатом [36]. Установлено в этой
задаче [40-42] существование новых (компланарных) точек либрации,
расположенных вне плоскости обращения основных тел.
10
Движение вблизи лагранжевых треугольных точек либрации L4 и L5
рассмотрено [37] в ограниченной задаче трех тел переменной массы, где
массы основных тел изменяются за счет обмена массы. На основе механизма
перекачки массы в двойной системе при сохранении полной массы и
углового момента исследуются [43, 44] эффекты влияния малых возмущений
в кориолисовых и центробежных силах на положение и устойчивость
треугольных точек либрации ограниченной задачи трех тел переменной
массы.
Дальнейшие исследования точек либрации фотогравитационной задачи
с двумя излучающими телами были проведены Л.Г. Лукьяновым [29, 45-48],
который выбрал широкий диапазон изменения коэффициента редукции масс,
рассматривая все возможные реальные значения Q1 и Q2 . Конечно, для
Q1, 2  1 это приводит к выше указанным рамкам фотогравитационной задачи,
но это может быть полезно, если рассматривать другие возмущающие
факторы (например, кулоновские силы). Было показано, в частности, что при
широком диапазоне редукции масс появляются некоторые другие
компланарные точки. Также на основе линеаризованных уравнений были
проведены исследования устойчивости.
Далее, Л.Г. Лукьянов [47, 48] в такой же обобщенной формулировке
провел исследование существования и устойчивости компланарных [47] и
треугольных [23] точек либрации, которые с одной стороны, имеют
проверенные выше результаты, и с другой стороны, предусмотренную новую
интерпретацию области устойчивости в переменных Q1 и Q2 .
Затем Л.Г. Лукьянов [49, 50] предпринял попытку рассмотреть
переменные значения коэффициента редукции масс. Было показано,
например, что для существования коллинеарных точек необходимо, чтобы
имела место линейная зависимость между Q1 и Q2 . Из этого случая легко
перейти к фотогравитационной задаче с переменными массами основных тел
[40, 41].
Другой переход к нестационарной фотогравитационной задаче двух тел,
опираясь на результаты задачи двух тел переменной массы, проделал Саслау
(W.C. Saslaw) в работе [51] по исследованию движения пробного тела вокруг
звезды с переменной светимостью.
Движение пробного тела вокруг источника с переменной светимостью
рассмотрено в работе [51]. В этом случае задача формально эквивалентна
задаче Гильдена-Мещерского, но имеет иной физический смысл:
нестационарность обусловлена переменностью фотогравитационного поля.
В задачах динамики космического полета с солнечным парусом
[9-11, 13, 52] на базе ограниченной фотографической задачи двух тел при
переменной редукции фотографического поля Солнца приходим к известной
математически эквивалентной задаче Гильдена-Мещерского. Решалась [9]
задача и о вековой эволюции цандеровской орбиты за счет износа солнечного
паруса под действием космических факторов. Рассмотрен [11] более общий
11
случай переменности редукции гравитационного поля, т.е. применение
формул к солнечному парусу и к пылевым частицам Солнечной системы.
В работе [13] в качестве переменного во времени параметра задачи
выбрана парусность частицы. Результаты применяются к микрометеоритным
межпланетным частицам с убывающими радиусами под действием
космических факторов.
Задача трех тел переменной массы при отсутствии реактивных сил
(изотропное изменение масс) имеет, как показано А.А. Орловым [53] частные
решения,
аналогичное
лагранжевым
гомографическим
решениям
классической задачи трех тел в случае изменения масс тел по закону
Мещерского и при выполнении требования одинакового темпа изменения
масс. Как показано Б.Е. Гельфгатом [54], такие гемографические решения
имеют место во всех трех случаях, когда разрешима соответствующая задачи
двух тел переменной массы.
В работах Е.М. Разбитной [55, 56], Д. Серсика [57, 58], Б.Е. Гельфгатом
[36] показано с помощью метода замены переменных существование аналога
интеграла Якоби в ограниченной задачи трех тел переменной массы.
Д. Хаджидеметриу [59] показано, что плоской задаче трех тел
периодическая тела с меньшей массой, убывающей до нуля, вырождается в
периодическую орбиту плоскую эллиптическую орбиту ограниченной задачи
трех тел. Г. Хоредт [37, 60-62] исследовал определения границ
либрационного движения в области лагранжевых точек L4, L5 в рамках
ограниченной задачи трех тел при изотропном изменении массы главного
тела, причем изменение массы не превосходит по порядку величины малую
массу и скорость изменения массы является величиной второго порядка
малости.
Перетекание масс в виде изотропного выброса и направленного потока
данных системах изучалось в [63, 64]. Показано, что при переносе массы с
более массивного компонента на более легкий компонент сближается, а в
противоположном случае – расходятся.
Проводится численное моделирование, образования структуры пояса
астероидов в двойной системе с соотношением масс, близким по значению к
системе Солнце-Юпитер, и при сохранении полной массы и момента
системы в [65-69]. В этой модели потеря массы для малого компонента
происходить путем ее переноса на более массивную по закону типа
Эддингтона-Джинса, а само движение первичной идет по раскручивающейся
спирали с переходом к окончанию переноса массы к постоянной круговой
орбите. В рамках ограниченной задачи трех тел в системе переменным
отношением масс компонентов исследуются в орбиты троянского типа [7072]. Здесь рассматривается линейный закон изменения массы Юпитера –
первичной, различаются случаи медленного (незначительное изменения
массы за период либрации) и быстрого массообмена.
Интересный цикл работ индийских механиков [73-76] посвящен анализу
трех тел переменной массы, в которой рассматривается вариант движения
12
подобного тела в поле тяготения основных тел переменной массы и вариант
движения пробного тела в поле тяготения пассивно гравитирующей точки
(спутника) с переменной массой в поле тяготения двух основных тел с
постоянными массами. Анализ более общей постановки ограниченной задачи
трех тел переменной массы проводится в работах С.М. Эль-Шабури [77-79].
Рассмотрено движение сферического спутника с уменьшающейся массой в
поле тяготения двух основных тел, являющихся ассиметричными
элипсоидами постоянной массы.
В работе П. Андерле [80] рассматривается обобщенная задача двух
неподвижных центров в предположении, что массы центров медленно
меняются со временем. Выведены уравнения для вариации орбитальных
элементов.
В обзорной работе Е.Н. Поляховой [8] рассмотрено состояние
разработок ограниченной фотогравитационной задачи трех тел современной
небесной механики. Дана базовая формулировка задач с одним и двумя
излучающими центрами: приведены основные уравнения, охарактеризованы
коллинеарные, треугольные точки либрации, аналогичные классическим, и
компланарные точки либрации, не имеющие классических аналогов,
сравниваются поверхности нулевой скорости в классической и
фотогравитационной задачах, указаны астрономические приложения. Дано
обобщение задачи на случай произвольных редукций, выходящих за рамки
фотогравитационного случая, перспективная с точки зрения небесной
механики тел с переменной массой.
В работe Л.Г. Лукьянова [50] показана возможность существования
прямолинейного решения в нестационарной фотогравитационной задаче трех
тел, в которой коэффициенты редукции массы тел, характеризующие
световое давление являются переменными величинами и зависят явно от
времени.
В работе [40] исследуются фотогравитационная ограниченная задача
трех тел, получено семейство периодических решений.
В [64] доказано существование симметричных периодических орбит на
основе теории продолжения симметричных периодических движений
обратимой системы.
В этой же задаче исследуются особые точки поверхностей нулевой
скорости и приводится построение этих поверхностей для возможных
значений двух свободных безразмерных параметров, характеризующих
отношение масс и движение основных тел системы [81].
Во всех вышеупомянутых работах предполагалось, что основные тела
движутся вокруг общего центра масс по круговым орбитам (эксцентриситет
е=0). Однако в действительности мы почти всегда имеем дело с орбитами
эллиптическими (е<1). Этот случай существенно сложнее, так как
гамильтониан возмущенного движения явно содержит независимую
переменную – время.
13
Актуальность исследования. Работа посвящена исследованию
движения тел в фотогравитационном нестационарном нецентральном поле
тяготения. Движение тел изучается в рамках ограниченной нестационарной
фотогравитационной задачи трех и двух тел. Разрабатываются
нестационарные динамические задачи с дополнительным учетом изменения
параметров редукции для излучающих и гравитирующих тел в
фотогравитационной формулировке задачи.
Полученные результаты дают возможность провести количественный и
качественный анализ эффектов переменности массы и светового давления
гравитирующих и излучающих тел в движении небесных тел в
нецентральном поле тяготения. Исследования включают в себя разработку
методов исследования фотогравитационных нестационарных задач, и расчет
промежуточного движения небесных тел в нецентральном поле тяготения. В
работе
проводится
исследование
ограниченной
нестационарной
фотогравитационной задачи двух и трех тел, которое сводится к нахождению
частных решений, проверке их на устойчивость, исследованию, построению
поверхностей нулевой относительной скорости.
В настоящее время интенсивно разрабатываются нестационарные
динамические задачи астрономии. Изменение со временем массы, размеров,
формы и других физических параметров небесных тел допускает
экспериментальное определение. Поэтому необходимо формулирование и
исследование динамических задач, принимая во внимание изменение со
временем этих физических параметров.
Тема исследования относится к актуальным задачам теоретической
физики и небесной механики.
Целью
работы
является
исследование
ограниченной
нестационарной фотогравитационной задачи двух и трех тел, которое
сводится, как и в классических случаях задачи, к нахождению частных
решений, проверке их на устойчивость, исследованию, построению
поверхностей нулевой относительной скорости.
Для достижения поставленной цели в работе решали следующие задачи:
- нахождение частных решений ограниченной нестационарной
фотогравитационной задачи двух тел;
нахождение
частных
решений
ограниченной
нестационарной
фотогравитационной задачи трех тел с переменными гравитационными
параметрами;
- исследование поверхностей Хилла ограниченной нестационарной
фотогравитационной задачи трех тел;
вычисление координат эллиптического, кругового, гиперболического
движения в поле тяготения Хилла.
Предмет
исследования:
Системы
уравнений
движения,
описывающие динамику небесных тел.
14
Объектом исследования – являются система двух и
трех
гравитирующих тел; динамика пассивно гравитирующего тела в
фотогравитационном поле одного и двух тел.
Методы исследования. В работе использованы аналитические,
количественные и качественные методы динамики гравитирующих систем.
Научная новизна.
- найдены частные решения - прямолинейные, треугольные, компланарные
ограниченной нестационарной фотогравитационной задачи двух и трех тел с
учетом переменности масс и редукционных параметров гравитирующих тел.
-определены координаты эллиптического, гиперболического и кругового
движения в поле тяготения Хилла.
Основные положения, выносимые на защиту.
 новые частные решения ограниченной фотогравитационной задачи
двух и трех тел.
 результаты исследования устойчивости найденных частных решений.
 результаты анализа поверхностей нулевой относительной скорости
ограниченной нестационарной фотогравитационной задаче трех тел.
 Определение координат
эллиптического, гиперболического и
кругового движения движения в поле тяготении Хилла.
Научная и практическая
значимость работы. Научная и
практическая значимость обусловлена тем, результаты по нахождению
частных решений в рассматриваемых задачах, исследованию их
устойчивости и построению поверхности Хилла представляют интерес с
точки зрения теоретической и небесной механики. Результаты по
исследованию устойчивости найденных частных решений могут быть
использованы в некоторых задачах динамики космического полета.
Источниками исследования являются основные теоретические
положения небесной механики и теоретические результаты оригинальных
научных работ, приведенных в списке использованных источников.
Связь диссертационной работы с научно-исследовательскими
программами. Связь диссертационной работы с научно-исследовательскими
программами. Диссертация выполнялась в рамках проектов: НИР «Развитие
методов
исследования
поступательно-вращательного
движения
искусственных космических объектов с учетом внешних возмущений»,
государственный регистрационный номер №0112РК00381 (2012-2014гг.);
НИР включена в научные планы лаборатории расчета орбитальных
параметров
и
геопозиционирования
Департамента
космического
материаловедения и приборостроения АО «Национальный центр
космических исследований и технологий».
Апробация работы. Результаты, полученные в диссертационной работе
докладывались и обсуждались на: международной конференции
"Актуальные проблемы современной физики", посвященная 75-летию
академика НАН РК Абдильдина М.М. (Алматы, 2013), II-Международной
научной конференции «Высокие технологии – залог устойчивого развития»
15
(Алматы, 2013), Международной научно-практической конференции
«Подготовка инженерных кадров в контексте глобальных вызовов XXI века»
(Алматы, апрель. 2013), XI-th International Conference on Gravitation,
Astrophysics and Cosmology of Asia - Pacific Countries (ICGAC-11), (Almaty,
2013), International Conference
«Modern Challenges and Decisions of
Globalization», (New York, USA), Seattle-2013: 4th International Academic
Research Conference on Business, Education, Nature and Technology, (USA),
Международной конференции "Актуальные проблемы современной физики",
посвященная 70-летию академика НАН РК Такибаева Т.Ж., (Алматы, 2013).
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 24
печатных работах, из них 13 статей в изданиях перечня Комитета по
контролю в сфере образования и науки МОН РК, 7 публикаций в сборниках
тезисов и докладов конференций, 2 – в докладах международных зарубежных
конференций и 2 статьи в рецензируемых журналах.
Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и
списка использованных источников.
В первом разделе получены частные решения ограниченной
нестационарной фотогравитационной задачи двух тел
В втором разделе получены частные решения ограниченной
нестационарной фотогравитационной задачи трех тел с переменными
гравитационными параметрами – прямолинейные L1, 2, 3 ; треугольные L4 , 5 ;
компланарные L6, 7 .
В третьем разделе исследуется поверхности Хилла ограниченной
нестационарной фотогравитационной задачи трех тел.
В четвертом разделе рассматривается вычисление координат в поле
тяготения Хилла
16
1 ОГРАНИЧЕННАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ФОТОГРАВИТАЦИОННАЯ
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ И ЕЕ ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ
1.1 Вводные замечания
Исследуем движение вблизи одного из компонентов двойной звездной
системы (звезды или галактики) [82-85]. Полагая малым гравитационное
влияние вторичной компоненты и считая это влияние возмущающим по
сравнению с влиянием основной компоненты, то им можно пренебречь.
Можно также рассмотреть случай, когда масса вторичного компонента
пренебрежимо мала по сравнению с массой первичного, основного
компонента звездной системы. Тогда в качестве динамической модели
движение будем рассматривать в рамках ограниченной нестационарной
фотогравитационной задачи двух тел. Частные решения стационарной задачи
приводились в работах [88, 89]. В нашем случае дополнительно учитываем
переменность массы, размеров и формы основного компонента,
принимаемого за трехосный излучающий и гравитирующий эллипсоид [90].
Рассмотрим движение пассивно гравитирующей точки во внешнем
поле тяготения вращающегося с угловой скоростью  излучающего
трехосного эллипсоида с медленно меняющимися со временем массой M t  ,
редукционным параметром q0  qi  1 , размерами и формой. Полагаем что,
медленное изменение физических параметров эллипсоида не приводит к
смещению его центра масс. Полуоси эллипсоида a, b, c в общем являются
функциями времени, и пусть, как и в стационарном случае, эллипсоид мало
отличается от однородного шара радиуса R и имеет объем, равный объему
этого шара. Тогда
a 2  R 2   , b 2  R 2   , c 2  R 2   
(10)
где  ,  ,   - малые по сравнению с R 2 величины, которые ввиду
равенства объемов эллипсоида и шара удовлетворяют с точностью до малых
более высокого порядка по соотношению          0 .
1.2 Уравнения движения и частные решения
Уравнения движения материальной точки во вращающейся
прямоугольной системе координат Oxyz с началом в центре масс О
эллипсоида, с осями Ox, Oy, Oz , совпадающими с главными центральными
осями инерции эллипсоида и с направлением угловой скорости  вращения
эллипсоида, совпадающим с направлением оси Oz имеющий вид:
17
~

V
y x
x  2y  
,
x
~

V
2
x y
y  2x  
,
y
~
V
z 
z
2
где
(11)
 x 2   y 2   z 2
~ GqM 3
V 
 GqM
 ....,
r
10
r5
(12)
есть представление внешнего потенциала эллипсоида в ряд по малым
 ,  ,  .
Уравнения (11) преобразованием


r x, y, z   l t   , , , d  dt
где l 3  2 k   t ; k  const ;  t   GqM t , G  гравитационная
могут быть приведены к автономному виду
V
,

V
   2  
,

V
  

(13)
постоянная,
   2  
(14)
где
V  kU , U 
2
2
     
2
2
2
Здесь  - параметр
соотношениями

12 1
 2   2   2
 
 .....,
k 2 
5
(15)
2
0    1;  ,  , 
постоянные, определяемые
3  t 
3  t 
3  t 
  ,
  ,
 
2
2
10 l t 
10 l t 
10 l 2 t 
(16)
Сами функции l t  и t  , определяющие преобразование (13),
находим из соотношений
18
l 2 m3  l02  0 m3  C0
l  m 3 l  k  1 2 l  0
m3
(17)
Отсюда с помощью адиабатического инварианта
l m32  kC02  const
(18)
получаем

0
At  2 Bt  C
2
(19)
Система (14) имеет частные решения вида
  const ,  const ,   const
(20)
аналогичные экваториальным и полярным решениям стационарной задачи.
Экваториальные решения Pi определяются из выражений
P1 P3  :   1    ...,  0 ,  0 ,
P2 P4  :   0 ,  1    ...,  0
(21)
Полярные решения определяются в виде
P5 P6  :   0 ,   0 ,
1
3
1
 k  13
 k
  
 
   ...
k

1
k




(22)
Кроме указанных решений существует другой класс полярных решений – z решения в окрестности гравитирующего и излучающего эллипсоида,
расположенные вдоль оси вращения эллипсоида [90].
Отметим, что результаты исследования динамики двойных звездных
систем на основе рассматриваемой фотогравитационной задачи двух и трех
тел с переменной массой и световым давлением компонент системы с
неизотропным истечением масс представляются важными, поскольку
позволяют исследовать новые свойства полученных гомографических
решений и построить аналоги поверхностей Хилла для последующего
количественного и качественного анализа динамической проблемы [91].
19
Найденные частные решения можно использовать в различных задачах
звездной динамики, например для изучения движения газопылевых частиц в
окрестности двойной или движения звезд и газопылевых частиц во внешнем
поле тяготения двойной галактики с медленно меняющимися
рассматриваемыми физическими параметрами ядер галактик, а также в
астрофизических приложениях для возможной интерпретации возникающих
транзиентных
структурных
особенностей
в
окрестности
таких
эволюционирующих звезд и галактик.
1.3 Неизотропное истечение массы и частные решения
Рассмотрим движение пассивно гравитирующей точки во внешнем поле
тяготения вращающегося с угловой скоростью  излучающего трехосного
эллипсоида с медленно меняющимися со временем массой M t  ,
редукционным параметром q0  qi  1 , размерами и формой. Принимаем
анизотропный случай изменения массы пассивно гравитирующей точки
(абсолютная скорость отделяющихся и присоединяющихся частиц равна
нулю), т.е. дополнительно учитываем реактивную силу, пропорциональную
темпу изменения массы и скорости движения материальной точки. Полагаем
что, медленное изменение физических параметров эллипсоида не приводит к
смещению его центра масс. Полуоси эллипсоида a, b, c в общем являются
функциями времени, и пусть, как и в стационарном случае, эллипсоид мало
отличается от однородного шара радиуса R и имеет объем, равный объему
этого шара. Тогда
a 2  R 2   , b 2  R 2   , c 2  R 2   
(23)
где  ,  ,   - малые по сравнению с R 2 величины, которые ввиду равенства
объемов эллипсоида и шара удовлетворяют с точностью до малых более
высокого порядка по соотношению          0 .
Уравнения движения материальной точки во вращающейся
прямоугольной системе координат Oxyz с началом в центре масс О
эллипсоида, с осями Ox, Oy, Oz , совпадающими с главными центральными
осями инерции эллипсоида и с направлением угловой скорости  вращения
эллипсоида, совпадающим с направлением оси Oz , имеющий вид:
~
m

V
2
y x
x  2y  
 3  x  y ,
x m3
~
m

V
2
x y
y  2x  
(24)
 3  y  x ,
y m3
~
V m 3
z 

z
z m3
где
20
 
r , r1
(25)
есть представление внешнего потенциала эллипсоида в ряд по малым
 ,  ,  и m3 - масса материальной точки.
Уравнения (24) преобразованием


r x, y, z   l t   , , , d  dt
(26)
где
l 3  2 k   t ; k  const ;  t   GqM t , G 
постоянная, могут быть приведены к автономному виду
гравитационная
V
,

V
   2  
,

V
  

   2  
где
V  kU , U 
2
2

(27)
1 2 1
 2   2   2
 
 .....,
k 2 
5
(28)
 2   2  2   2.
Здесь  - параметр
соотношениями
0    1;  ,  , 
постоянные, определяемые
3  t 
3  t 
3  t 
  ,
  ,
 
10 l 2 t 
10 l 2 t 
10 l 2 t 
(29)
Сами функции l t  и t  , определяющие преобразование (26), находим
из соотношений
l 2 m3  l02  0 m3  C0
l  m 3 l  k  1 2 l  0
m3
Отсюда с помощью адиабатического инварианта
21
(30)
l m32  kC02  const
(31)
с учетом одинакого темпа изменения масс
 m 3 m


 m3 m
(32)
где m  функция времени, характеризующая одинаковый темп изменения
масс тел, находим частные решения законов изменения со временем
параметров  , m3 в форме Эддингтона-Джинса при показателях n  3 и n  6
:
   0  n , m 3   0 m3n n  3,6
(33)
Автономные уравнения (27) имеют такой же вид, как и в случае
изотропного истечения масс [90, 92], следовательно, в рассматриваемом
неизотропном случае существуют аналогичные частные решения задач.
Система (27) имеет частные решения вида
  const ,  const ,   const
(34)
аналогичные экваториальным и полярным решениям стационарной задачи.
Экваториальные решения Pi определяются из выражений
P1 P3  :   1    ...,  0,   0,
P2 P4  :   0,  1    ...,  0
(35)
Полярные решения определяются в виде
P5 P6  :   0,   0,
1
3
1
3
 k 
 k 1
  
  
   ...
 k 1
 k 
(36)
Кроме указанных решений существует другой класс полярных
решений – z -решения в окрестности гравитирующего и излучающего
эллипсоида, расположенные вдоль оси вращения эллипсоида [90].
1.4 Исследование нестационарной задачи двух тел
Задача двух тел переменной массы в постановке Гильдена-Мещерского
моделирует изотропное изменение массы гравитирующих тел. Она
отличается от известной кеплеровской задачи лишь переменностью масс
22
гравитирующих тел со временем [102, 107]. Пользуясь идеями метода hпараметризации и метода полуавтономизации [107, 108] с помощью
обобщения известного преобразования Мещерского [116] замены
переменных, приводим уравнения движения задачи Гильдена-Мещерского к
интегрируемому случаю. Решением задачи в этом случае является
эволюционирующая орбита
r
~
p
1  e cos 
(37)
совпадающая по виду с кеплеровской, но с переменным параметром ~p и
эксцентриситетом e :
C2
~
p
,


  
 t 
,
e

  
(38)
где C – постоянная интеграла площадей,  - масса тел, t - время,  полярный угол,  ,  ,  ,  ,  - произвольные постоянные. Решение (38)
обобщает случай интегрируемости задачи для первого закона Мещерского
[111] изменения массы тел: закон изменения массы (38) включает в себя
первый закон Мещерского изменения масс тел и эксцентриситет e орбиты
является переменной величиной, функцией полярного угла. Частными
случаями решения (38) являются адиабатические инварианты
~
p  C2 ,
 e  const ,
~
p
 const ,
e
(39)
указанные также в работах [109, 110]. Таким образом, полученное решение
качественно отличается от известного решения Мещерского в виде
эволюционирующей орбиты с переменными параметром и эксцентриситетом
орбиты, что позволит выявить новые свойства движения в задаче двух и
многих тел переменной массы.
Высокоточное определение орбит космических объектов учитывает
влияние основных возмущающих факторов, таких, как несферичность Земли,
притяжение со стороны Луны и Солнца, сопротивление атмосферы,
солнечная радиация и солнечный ветер. Чем выше требуемая точность
расчета, тем детальнее должен быть учет возмущений, что определяется не
только точностью наблюдаемых данных, но и полнотой теории явлений,
приводящих к возмущению движения космического объекта. В связи с этим
возникает необходимость точной оценки возмущающих динамических и
диссипативных факторов эволюции орбит и построение основной модельной
задачи движения ИСЗ в нестационарном геопотенциале. При этом
промежуточная орбита будет учитывать основной возмущающий фактор
гравитационного характера, вторую зональную гармонику потенциала
притяжения Земли.
23
Накопленные
к
настоящему
времени
теоретические
и
экспериментальные данные свидетельствуют о необходимости учета в
теории движения ИСЗ различных факторов нестационарности геопотенциала,
в частности связанных с изменением со временем формы Земли. В обзорах
известных специалистов (Szebehely V, Seidelman P.K. и др.) по небесной
механике и астрометрии обращается внимание на решение назревших задач,
связанных с движением искусственных спутников, с требованием более
точных аналитических теорий, более точных наблюдений и улучшенных
методов прогнозирования для того, чтобы избежать потенциальных
столкновений тел. Существует большое количество надежно установленных
экспериментальных данных (Марченко А.Н., Бурша М., Yoder C.F., Rubincam
D.P., Грушинский Н.П., Батраков Ю.В., Холшевников К.В., Kozai Y., и др.),
свидетельствующих об изменении со временем второй зональной гармоники
J2 геопотенциала. Оценки величины ее изменения и сопоставления по
порядку величин с учитываемыми в теории движения ИСЗ коэффициентами
зональных гармоник до J20 включительно, свидетельствуют о соизмеримости
диапазонов этих величин, и необходимости учета нестационарности
геопотенциала, связанной с вариациями второй зональной гармоники J2
геопотенциала в теории движения ИСЗ.
Таким образом, современные теоретические и экспериментальные
данные свидетельствуют о необходимости разработки теории движения ИСЗ
в нестационарном геопотенциале. Прикладные результаты работы относятся
к решению задач улучшения орбит, прогнозирования орбит, и для их более
детальной разработки требуется дополнительное исследование[ 113, 114].
Рассматривается движение материальной точки в поле тяготения
несферического тела с медленно меняющимися со временем физическими
параметрами, в частности размерами и формой. Движение ИСЗ в
нестационарном геопотенциале моделируется на основе обобщенной задачи
двух центров с переменным межцентровым расстоянием. Она является
модификацией известной обобщенной задачи двух неподвижных центров
[26], учитывающей возможную вариацию важнейших физических
параметров фигуры Земли. В рассматриваемой модельной задаче потенциал
Земли аппроксимируется с точностью до первых трех зональных гармоник
потенциалом обобщенной задачи двух центров с переменным межцентровым
расстоянием [111]. В этом случае в движении ИСЗ учитывается основной
возмущающий фактор, сжатие Земли, что позволяет найти промежуточное
движение и соответственно определить промежуточную орбиту ИСЗ. В
зависимости от принятой модели и условий интегрируемости дается
классификация
промежуточного
движения,
различная
физическая
интерпретация и возможные применения той или иной модели.
Потенциал U тела Т с переменной массой, размерами и формой как
показано выше, можно представить в виде разложения ряда по сферическим
функциям в системе координат с началом в центре инерции тела
24
n
n

 n

Gm 


R
 R  (k )
U
1   J n   Pn (sin  )     P (sin  )cnk cos k  snk sin k 
r (t ) 

n  2 k 1  r 
 n2  r 

(40)
где обозначения те же, что и ранее: G – гравитационная постоянная, m-масса
тела, r – радиус-вектор внешней притягиваемой точки, Pn – многочлены
Лежандра порядка n, Pn(k) – присоединённые функции Лежандра порядка n
индекса k, R – экваториальный радиус тела, Сnk и Snk безразмерные
коэффициенты, характеризующие форму и структуру тела Т. В общем случае
величины R, Jn, Cnk, Snk – медленно меняющиеся функции, причём можно
представить в виде суммы:
J n (t )  J n0  J nt (t )
(41)
где Jno=const – основная постоянная часть, Jnt – добавочная переменная
часть Jn. Изменение параметров тела предполагается медленным и таким, что
смещениями центра инерции можно пренебречь, т.е., например, на
длительном интервале времени предполагается малым изменение формы
самого тела, как и в теории ИСЗ [26, 114], потенциал (40) тела Т
аппроксимируем с точностью до первых трёх зональных гармоник,
соответствующих J20, J30, потенциалом W обобщённой задачи двух центров с
переменными массами и межцентровым расстоянием
1 1
W  Gm  
 r1 r2 
(42)
где
r1  x 2  y 2   z  ci2 , r2  x 2  y 2  z  ci2

J 
c  c(t )  R  J 2   3 

 J2 
1
2

  c0 q(t )

(43)
2
 0
(44)
а x, y, z – прямоугольные координаты.
Тогда потенциал U можно представить в виде
U=W+R
(45)
где RT- возмущающий потенциал:
n
Gm   R 
Gm 
 J n  J n0  R  Pn (sin  ) 
RT 
jn   Pn sin   


r n2  r 
r n2
r
n
Gm    R  ( k )

    P sin  Cnk cos k  S nk sin k 
r n  2 k 1  r 
25
(46)
здесь
Jn=( Jno - J´no )
(47)
а J´no – коэффициенты разложения функции W в ряд по полиномам
Лежандра.
Рассмотрена задача о движении материальной точки Р в поле тяготения
несферического тела с потенциалом (40) в предположении (45). Векторное
дифференциальное уравнение движения материальной точки, в
барицентрической прямоугольной системе координат запишется в виде:
r = grad r U,
(48)
где r – радиус-вектор материальной точки.
Разработаны формулы промежуточной орбиты и представлены
системы оскулирующих элементов орбиты. Выписаны первые интегралы
уравнений промежуточного движения, переход от сфероидальных координат
к прямоугольным для формул промежуточного движения, элементы
промежуточного движения с точностью до квадрата сжатия Земли
включительно. Дифференциальные уравнения для элементов промежуточной
орбиты выводятся на основе полученного промежуточного движения. В
качестве элементов для описания возмущенного движения выбраны шесть
независимых элементов промежуточной орбиты, являющиеся аналогами
элементов эйлеровой орбиты. Полученные уравнения для медленных
переменных являются точными, поскольку при их выводе не делается
никаких упрощений, связанных с малостью выбранных параметров.
Дифференциальные уравнения для быстрых переменных получены с
коэффициентами, в которых сохранены члены с точностью до квадрата
сжатия Земли включительно. Уравнения для оскулирующих элементов
промежуточной орбиты носят самый общий характер, поскольку они могут
быть использованы для определения возмущений от произвольных
возмущающих сил. Кроме того, они являются также наиболее общими,
поскольку учитывают одновременно нецентральность и нестационарность
поля тяготения.
Дополнительно
рассмотрен
случай
сопротивляющейся
и
гравитирующей
среды.
Полученные
результаты
для
элементов
промежуточной орбиты позволяют в первом приближении дать оценку
динамической значимости совместного влияния различных возмущающих
нестационарных факторов и нецентральности поля тяготения в движении
ИСЗ.
1.5 Об одном интегрируемом случае динамики твердого тела в
центральном ньютоновском поле тяготения
26
Найден новый интегрируемый случай дифференциальных уравнений
вращательных движений твердого тела относительно центра масс в
центральном ньютоновском поле тяготения, когда главные моменты инерции
тела связаны между собой A  B  4C [131, 134].
Полная система дифференциальных уравнений движения тела около
центра масс состоит из трех динамических и трех кинематических уравнений
Эйлера, а также из девяти уравнений Пуассона. Эти уравнения в случае
A  B  4C допускают четыре независимых первых интегралов, согласно
общей теории, этого достаточно для полного интегрирования
вышеназванных дифференциальных уравнений вращательных движений
твердого тела относительно его центра масс в ньютоновском поле тяготения.
Полученные первые интегралы позволяют записать квадратуры для углов
Эйлера.
Полученные квадратуры дают основу для разработки способов
нахождения орбитальных параметров движения космических объектов в
поступательном и вращательном движениях в центральном поле
ньютоновского тяготения. Результаты исследований представляют ценность
при разработке модельных задач небесной механики и динамики
космического полета.
Пусть твердое тело в центральном ньютоновском поле тяготения совершает движение около центра масс, тогда полная система дифференциальных
уравнений в подвижных осях имеет вид [134, 138]:
dp

 (C  B)qr  (C  B)   ,
dt

dq

B
 ( A  C ) pr  ( A  C )  , 
dt

dr

C
 ( B  A) pq  ( B  A)  , 
dt

A
(49)
 sin  sin    cos ,
p

 sin  cos    sin , 
q

 cos    ;
r

(50)
  r   q  ,    p   r ,    q  p 
  sin  sin  ,    sin  cos  ,    cos 

p  q 
  arccos  ,   arctg   ,  
1    2
  
(51)
(52)
(53)
где: (49) – динамические уравнения Эйлера, (50) – кинематические уравнения
Эйлера, (51) – соотношения Пуассона,
27

3
,
R3
 – гравитационная
постоянная, R – расстояние до центра притяжения, (52) – направляющие
косинусы подвижных осей, (53) – соотношения Ю.А. Архангельского, , , 
– углы Эйлера, p, q, r – проекции угловой скорости  на подвижные оси
х,у,z, которые направлены по главным центральным осям инерции тела с
началом в центре масс, A, B, C – главные моменты инерции тела.
Рассмотрим случай, когда главные центральные моменты инерции тела
связаны между собой соотношением
(54)
A  B  4C
Перепишем (49) с учетом (54)
dp

4
 3qr  3  ,
dt

dq

4
 3 pr  3  , 
(55)
dt

dr

 0.

dt

Из последнего уравнения системы (55) имеем
r  r0  const .
(56)
Подставим (56) в первые два уравнения системы (55)
4 p  3qr0  3  ,

4q  3 pr0  3  . 
(57)
Найдем интеграл энергии. Для этого первое уравнение из (57) умножим
на р, второе на q, затем сложим 4 p
dp
dq 
 q   3(q  p )   ,
dt 
 dt
d 
где в соответствии с (51) имеем (q  p ) 
, отсюда находим интеграл
dt
энергии
4( p 2  q 2 )  3  2  2C1
(58)
где С1 – постоянная интеграла энергии.
Найдем интеграл площадей. Для этого умножим первое из (57) на ,
второе на  и сложим
dq 
 dp
4 
     3r0 ( p   q )  0
dt 
 dt
здесь в соответствии с (51)
28
(59)
( p   q )  
Подставим (60) в (59)

d 
dt
dp
dq 3 d 
 
 r0
0
dt
dt 4 dt
(60)
(61)
Предположим, что до дифференцирования по t (61) имел вид
3


 p   q  r0     D  const
4


тогда
d
3

 p   q  r0     0
dt 
4

с другой стороны, продифференцировав, имеем
d
d 
3 d 
dp
dq
p
q  r0

 
0,
dt
dt
4 dt
dt
dt
то есть с учетом (51) имеем
или
d
3
d 
d 
 d
p
q  r0
 p   q  r0    
dt 
4
dt
dt
 dt
d
1

 p   q  r0     0 ,
dt 
4

отсюда находим интеграл площадей
4(p   q)  r0    4C2
(62)
где C2 – постоянная интеграла площадей.
Таким образом, у нас есть четыре первых интеграла:
r  r0  const ,


4( p 2  q 2 )  3  2  2C1 ,

4( p   q)  r0    4C 2 , 
 2    2    2  C3  1. 
(63)
Проверим их на линейную независимость:
1 (r0 )   2 (rC1 )   3 (4C2 )   4 (C3 )  0
29
(64)
здесь r0  2C1  4C2  C3  0 , поэтому (64) выполнимо только при условии
1   2   3   4  0 ,
то есть найденные четыре первых интеграла (63) линейно независимы,
следовательно,
их
достаточно
для
полного
интегрирования
дифференциальных уравнений вращательного движения относительно
центра масс в центральном ньютоновском поле тяготения при A  B  4C .
30
2 ОГРАНИЧЕННАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ФОТОГРАВИТАЦИОННАЯ
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
2.1 Уравнения движения
Исследуем движение пробного тела (газ, пыль, звезда) в
гравитационном поле двойной звезды или галактики на основе ограниченной
нестационарной фотогравитационной задачи трех тел. Частные решения
стационарной задачи рассматривались в работе [16, 22]. Для
нестационарного случая можно указать аналогичные частные решения
задачи [93, 94].
Уравнения движения пассивно гравитирующей материальной точки во
вращающейся барицентрической системе координат Oxyz , плоскость xy
которой совпадает с плоскостью движения основных тел, а ось x все время
проходит через эти точки, имеют следующий вид:
xx
xx
1
2,
x  2 y   2 x   y  
1 r3
2 r3
1
2
y
y
y  2 x   2 y   x  

,
1 r3
2 r3
1
2
z
z
z   

1 r3
2 3
r
1
2
(64)
Здесь r1 ,r2 - расстояния притягиваемой точки от основных тел;  - их
угловая скорость движения;
i  1,2 ,
i  Gqi M i
(65)
где G - гравитационная постоянная;
M i - массы основных тел;
qi - редукционные параметры, функции времени.
Будем рассматривать случай изменения параметров q i в интервале
реальных масштабов для планетных систем:
0  qi  1
(66)
Тогда, так же как и в случае ограниченной задачи трех тел переменной
массы, можно указать частные решения рассматриваемой задачи при законе
изменения параметров q i :
31
0
 t   1   2 
(67)
 t 2  2 t  
Уравнения (64) преобразованием
r  x, y , z  
0
  , ,  ,

 
d   0  dt ,
 
2
(68)
 
   0  0
 
2
приводятся к автономному виду
U
,

U
   2 0  
,

U
  

   2 0  
(69)
где
 2

 2 2 

2
2
2
0
0
01
U
    

 02 ,
2
2


1
2
2
i  1,2
 i2     i   2   2



(70)


   02  ,   01 
1
12
2 
12

0
0
причем 12 ,   постоянные:
r12  m 2  C 2 , 12  0  C 2 ,   0
Здесь r12 -расстояния
интеграла площадей.
между
основными
32
телами;
(71)
C -постоянная
2.2 Частные решения
Частные решения уравнений (69) определяются из системы уравнений
U
U
U
 0,
 0,
0



(72)
Существуют прямолинейные решения Li i  1,2,3
 L   i ,   0,   0, i  1,2,3,
(73)
треугольные решения L4 , L5 , которые определяются условием
13   23  123 
 3C 6
 03
(74)
Если в уравнениях (72) положить   0 , то имеем компланарные
решения L6 , L7  ,0,   , которые, как и в ограниченной задаче трех тел
переменной массы [40,93,94,], можно определить из уравнения
2
3
2
3




 10 
 20 
2   20   1  
 
 0









1






1

10


20

(75)
Таким образом, рассмотренная фотогравитационная задача имеет в
области изменения параметров (66) семь частных решений, аналогичных
решениям ограниченной задачи трех тел переменной массы. Дополнительные
частные решения для различных законов изменения массы и светимости
можно определить подобно работе [94].
2.3 Неизотропное истечение массы и частные решения
Для изотропного случая изменения масс основных тел частные
решения ограниченной задачи трех тел с переменными массами
рассматривались в работах [36,40,93,94], неизотропный случай – в работе
[39].
В
рассматриваемой
схеме
ограниченной
нестационарной
фотогравитационной задачи трех тел принимаем что, массы и коэффициенты
редукции всех трех тел со временем изменяются в одинаковом темпе при
наличии реактивных сил, пропорциональных темпу изменения массы и
скорости движения тел (неизотропный случай изменения масс тел, когда
абсолютные скорости отделяющихся и присоединяющихся частиц равны
нулю). Уравнения движения пассивно гравитирующей материальной точки
во вращающейся барицентрической системе координат Oxyz , плоскость xy
33
которой совпадает с плоскостью движения основных тел, а ось x все время
проходит через эти точки аналогично [39], имеют следующий вид:
m
xx
xx
1 
2  3  x  y ,
x  2y   2 x  y  
1 r3
2 r3
m
3
1
2
y
y m 3
y  2x   2 y   x  
 y  x ,


1 r3
2 r3 m
3
1
2
z
z m 3
z   


z
1 r3
2 r3 m
3
1
2
(76)
Здесь r1 , r2 -расстояния притягиваемой точки от основных тел;  - их
угловая скорость движения;
i  Gqi M i ,
 i m 3 m

 , i  1,2
i m3 m
(77)
где G - гравитационная постоянная; M i -массы основных тел; q i редукционные параметры, функции времени; m3 -масса пробного тела; m функция времени, характеризующая одинаковый темп изменения масс тел.
Будем рассматривать случай изменение параметров q i в интервале
реальных масштабов для планетных систем:
0  qi  1
(78)
Тогда, так же как и в случае ограниченной задачи трех тел переменной
массы с неизотропным истечением массы [39], можно указать частные
решения рассматриваемой задачи при законе изменения параметров  i и m3
по закону Эддингтона-Джинса при значениях показателя n  3 и n  6 :
   i  in , m 3    m3n
i  1,2,
(79)
n  3,6
Уравнения (76) преобразованием
 
r  x, y, z    0    , ,  
 
3
 
 
d   0  dt ,    0   0
 
 
5
5
34
(80)
приводятся к автономному виду
U
,

U
   2 0  
,

U
  

   2 0  
(81)
где
 2

 2 2 

2
2
2
0
0
01
U
    

 02 ,
2
2


1
2
2
i  1,2
 i2     i   2   2



(82)


   02  ,   01 
1
12
2 
12

0
0
причем 12 ,   постоянные:
r12  m 2  C 2 , 12  0  C 2 ,   0
(83)
Здесь r12 - расстояния между основными телами; C -постоянная
интеграла площадей. Уравнения (82) задачи по виду совпадают с
соответствующими уравнениями для случая изотропного истечения масс [9295], следовательно в рассматриваемом анизотропном случае существуют
аналогичные частные решения задачи.
Частные решения уравнений (81) определяются из системы уравнений.
U
U
U
 0,
 0,
0



(84)
Существуют прямолинейные решения Li i  1,2,3
 L   i ,   0,   0, i  1,2,3,
треугольные решения L4 , L5 , которые определяются условием
35
(85)
13   23  123 
 3C 6
 03
(86)
Если в уравнениях (84) положить   0 , то имеем компланарные
решения L6 , L7  ,0,   , которые, как и в ограниченной задаче трех тел
переменной массы [40,94], можно определить из уравнения
2
3
2
3




10 
 20 
2   20   1  
 
 0
  10   1
     20   1
(87)
Таким образом, рассмотренная фотогравитационная задача имеет в
области изменения параметров (78) семь частных решений, аналогичных
решениям ограниченной задачи трех тел переменной массы. Дополнительные
частные решения для различных законов изменения массы и светимости
можно определить подобно работе [92].
2.4 Прямолинейные решения
В нестационарной фотогравитационной задаче двух и трех тел,
учитывающей изменение со временем гравитационных параметров основных
излучающих и гравитирующих тел существуют частные решения –
экваториальные, полярные, прямолинейные L13 ; треугольные L4 , 5 ;
компланарные L6, 7 . Исследование устойчивости такого рода частных
решений приводит к необходимости исследования устойчивости
неавтономных динамических систем. Как известно, исследование
устойчивости неавтономных систем (неустановившегося движения)
представляет большие трудности, в нашем же случае исследование
устойчивости
значительно
облегчается
благодаря
возможности
автономизации рассматриваемых динамических систем [94, 95].
Частные
решения
рассматриваемых
систем
определяются
соотношениями
[94, 96]:
 


rL  Rt  L , rL  R t  L
i
i
i
(88)
i
 
где rL , rL  векторные выражения координат и скорости решения Li . Здесь и
далее приняты обозначения в работе [94].
В результате преобразования
i
i
  
  
l  li  r  rL ,    i     L
i
i
или в координатах
36
(89)
l : x  x  x i  , y  y  y i  , z  z  z i 
(90)
 :      i  ,      i  ,      i 
(91)
уравнения движения рассматриваемых систем приводятся к уравнениям
возмущенного движения, в которых нулевое решение x  y  z  0 и
      0 соответствует исследуемому частному решению Li . Для
случая ограниченной задачи трех тел переменной массы уравнения
возмущенного движения представлены в [97].
Правые части уравнений возмущенного движения в некоторой области
координат и на некотором интервале независимой переменной, не
содержащем соударения тел и бесконечно большие значения масс тел,
удовлетворяют условиям теоремы Коши, откуда следует в этих областях
переменных существование единственности и непрерывности решения
уравнений возмущенного движения, а также непрерывность зависимости
решений от начальных данных.


Преобразования (89) дают связь возмущений li и li в переменных
x, y, z, t  c возмущениями i и i в переменных  , , ,  :

 

1 
li  Rt  i , li 
 i  Rt  i
Rt 
(92)
 ,  ; l , l;  t , l;  t ,  t ; l ,  t 
(93)
 
Устойчивость движения относительно переменных li и li на конечном
или бесконечном интервале времени t устанавливается на основе


результатов анализа устойчивости относительно переменных  i и  i и
поведения функции Rt  на конечном или бесконечном интервале
переменной  . Работы по исследованию устойчивости относительно


переменных  i и  i указаны в статье [94].

По результатам устойчивости движения относительно переменных  i и

 i достаточно просто установить устойчивость относительно всех или какойлибо части исходных переменных. В результате устанавливается
устойчивость движения относительно групп фазовых переменных:
Отметим, что устойчивость (неустойчивость) движения относительно
 и   величин может давать в зависимости от величин параметров R и R
как устойчивое, так и неустойчивое движение относительно исходных
возмущений l и l .
37
Линейные части систем уравнений возмущенного движения
переводятся друг в друга преобразованием (92) от фазовых переменных l , l
к фазовым переменным  ,   . Матрица преобразования и ее производная
будут непрерывны и ограничены для всякого рассматриваемого интервала
независимой переменной за исключением соударения тел и бесконечно
больших значений масс тел и дополнительного ограничения на поведение
функции R и R .
Тогда преобразование (92) будет представлять преобразование
Ляпунова, и линейные части систем возмущенного движения будут
эквивалентными в смысле Ляпунова. Отсюда следует эквивалентность
результатов устойчивости нулевого решения систем в линейном
приближении лишь для определенных классов функций R и R .
Однако, в силу нестационарности исходной динамической системы,
определяемой различными значениями R , R и другими возможными
переменными физическими параметрами, линейные части уравнений
возмущенного движения, в отличие от систем с периодическими (в частности
постоянными) коэффициентами, могут оказаться неэквивалентными для
устойчивости нулевого решения в отношении всех или какой-либо части
переменных [98, 99].
В общем случае при нелинейном анализе исходной системы результаты
устойчивости движения в сильной степени определяются свойствами
параметров системы. Здесь качественную роль играют функции
преобразования Rt  и R t  , определяемые законом изменения массы тел, а
так же другие возможные переменные физические параметры системы.
Анализ соотношения (92) связи фазовых переменных позволяет
определить механизм возникновения и исчезновения устойчивости по части
переменных l , l . При этом оценка возмущений l и l c помощью известных
 
асимптотических соотношений порядка между величинами R и  i ,  i .
Общий результат можно представить следующим образом.
Рассматриваются все возможные случаи устойчивости (неустойчивости)


движения по переменным  i и  i как по всем, так и в отношении их части
для любого значения независимой переменной, либо на некотором ее
конечном интервале. Эти результаты с помощью соотношений (92) дают
возможность провести классификацию случаев устойчивости и
неустойчивости движения, относительно указанных групп или частиц
переменных (93) на бесконечном или конечном интервале времени для
заданных законов изменения параметров системы.
В классической задаче трех тел все прямолинейные точки либрации
неустойчивы [26, 27]. Рассмотрим вопрос устойчивости в смысле Ляпунова
прямолинейных решений в рассматриваемой задаче.
Для этого составим уравнения возмущенного движения. Введем
возмущения
 
 
38
u    i ,    , w   , i  1,2,3
(94)
где i  координата прямолинейного решения Li i  1,2,3. Тогда уравнения в
вариациях имеют вид
u 
2
  
2


   1  2ai u  0,
   1  2ai   0,
(95)


1
w  1   ai   0,
 

где
ai 
1 
13


 23
(96)
Характеристическое уравнение системы первого приближения
  1  2(    )  ...  0 распадается на два уравнения: одно квадратное
уравнение, соответствующее переменной w , другое - биквадратное,
соответствующее переменным u, .
Квадратное уравнение имеет вид
2

2  1 


 ai   0


1
(97)
Величина 1  ai  отрицательна для каждого i  1,2,3 [89, 90] и
поскольку параметр   0 , то имеем
1
1   ai  0, i  1,2,3
(98)

Следовательно, уравнение (97) имеет пару чисто мнимых корней

1, 2  i  1 


 ai 


1
(99)
Биквадратное уравнение определяется в виде равенства нулю определителя
второго порядка
39
2  1  2ai 
2


2

2  1  2ai 

0
(100)
Раскрывая этот определитель, получим


4
4    2   a i 2  1  a i 1  2a i   0, i  1,2,3



(101)
Уравнение (101), рассматриваемое как квадратное относительно   2
, имеет корни
 2  4 /   a    2  4 /   a 

2
1, 2
i
i
2
4
 1  ai 1  2ai 
(102)
Поскольку величина ai положительна, а величина 1  ai отрицательна для
всех i  1,2,3 [26, 27], то один корень  1 положительный, а другой  2
отрицательный. Следовательно, для каждой прямолинейной точки либрации
Li i  1,2,3 характеристическое уравнение (101) имеет четыре корня вида
  ,  i , где  и  - вещественные величины, отличные от нуля. Отсюда,
согласно теореме А.М.Ляпунова об устойчивости по первому приближению,
следует неустойчивость прямолинейных точек либрации ограниченной
нестационарной задачи трех тел переменной массы.
Таким образом, в рассматриваемой задаче справедлив результат,
имеющий место в классической задаче [26, 27]: все прямолинейные решения
ограниченной нестационарной фотогравитационной задачи трех тел
неустойчивы в смысле Ляпунова.
2.5 Треугольные решения
Для определения устойчивости треугольных решений L4 , L5 введем
возмущения
u     ,    , w   ,
k
k
k  4,5
(103)
где  ,  - координаты треугольных решений, и рассмотрим уравнения в
k k
вариациях
40
u  
2
  
2
w 


1

3
4
   u   1
k
9
4
      1
k
3 3
1  2   0,
4
3 3
1  2 u  0,
4
(104)
w0
Характеристическое уравнение системы (104) квадратное, соответствующее
переменной w :
2 
1

 0,   0
(105)
следующее из третьего уравнения (104) с решениями - порой чисто мнимых
корней
1, 2  i
1

(106)
и биквадратное уравнение, соответствующее переменным u, определяемое
из равенства нулю определителя второго порядка
3
2
k 3 3
1  2 

   1
4
4

 0 , k  4,5
2
3
3
9
k
1  2 
   1
2 
4
4

2 
(107)
Раскрывая этот определитель, получим характеристическое уравнение
4

27
 3 2   1     0
4


4  
(108)
Рассматривая уравнения (108) как квадратное относительно   2 ,
получим следующие два корня:
2


4

1
 4

1, 2     3     3   27  1   
2 






41
(109)
Требуя, чтобы корни характеристического уравнения (108) относительно 
не имели положительных вещественных частей, приходим к неравенствам
4

 3  0,
27
 1     0,
4
2
4

d    3   27  1     0


(110)
По условию задачи   0,   1/ 2, тогда из неравенств (110) второе
выполняется всегда, и остается проверить оставшиеся два неравенства и
условия устойчивости сведутся к виду
2

4 4
0    ,   3   27  1     0
3 

(111)
Заметим, что если параметр   1 (изменение масс происходит в
соответствии с первым законом Мещерского), то условия устойчивости
треугольных точек либрации в классической задаче [26, 27]
1  27 1     0
(112)
Следовательно, в случае   1 результаты по устойчивости
треугольных решений в рассматриваемой задаче совпадают с результатами
классической задачи.
Рассмотрим подробнее условия устойчивости (111). Выпишем
отдельно второе неравенство (111) в виде
2
4

d  ,      3   27  1     0


(113)
Область устойчивости точек либрации L4 , L5 в плоскости параметров
 ,  приведена на рисунке 1. Заштрихована область, в которой выполняются
неравенства (111). Координаты некоторых характерных точек представлены
в таблице 1.
42
Рисунок 1 – Область устойчивости треугольных точек либрации L4 , L5 [103]
(заштрихована)
Таблица 1 – Координаты некоторых характерных точек
Координаты
Обозначение точки на рисунке 1


А
В
С
Д
Е
0
1/2
0,714 1/2
1
0,038
4/3
0
2
0,038
Область устойчивости ограничена прямой OA , представляющей область
изменения параметра  0    1/ 2 , прямой OD , определяющей область
изменения параметра  0    4 / 3 и кривой ABCD , участок BCD которой
представляет функцию    , определяемую формулой (113) при условии
d  0 , дающие граничные значения параметров  и  на этом участке, и
участок AB , ограничивающий предельное значения параметра   1/ 2 .
Отметим, что в точке C значения   *  0,038 соответствует
критическому значению классической задачи [26-28], отделяющей области
устойчивости и неустойчивости точек либрации L4 и L5 .
Как видно из рисунка 1, в области изменения параметра
существуют критические значения
0,714    4 / 3  *  0,714
,
соответствующие каждому значению параметра  в этой области,
отделяющие области устойчивости и неустойчивости точек либрации. В
43
области изменения параметра
0     * условия устойчивости
выполняются для любого значения параметра 0    1/ 2 . Отметим, что
такая же ситуация - выполнение необходимых условий устойчивости во всей
области изменения параметра  0    1/ 2 - может возникнуть и в других
задачах. Например, в обобщенной ограниченной задаче трех тел [26], при
действии гравитационных сил по закону Вебера, необходимые условия
устойчивости треугольных точек либрации могут выполняться для любого
соотношения масс  в области изменения 0    1/ 2 .
Рассмотрим зависимость дискриминанта d  ,   корней (109)
характеристического уравнения (108) от параметра  и  при
фиксированных значениях одного из них. Область устойчивости при этом
определяется из условия (113). На рисунке 2 показана зависимость d    при
фиксированном значении параметра  . Координаты некоторых характерных
точек представлены в таблице 2.
Видна область устойчивости точек либрации L4 , L5 , определяемая
условием d  0 и расположенная выше оси  . Причем каждому значению
параметра  в области 0,714    4 / 3 соответствует критическое значение
массового параметра  , определяемого формулой

1
1 1 4
  3 
*  

2
4 27  

2
(114)
Значению параметра   1 соответствует классическое значение *  0,038 .
Рисунок 2 – Дискриминант d   в треугольных точках либрации.[103]
44
Таблица 2 – Координаты некоторых характерных точек
Обозначение точки на рисунке 2
Координаты
d


0
4/3
0
1
1
0
*  0,038
0
1
6,75  *  0,714
0
0
0,714
1/2
10
0,64
0
4,11
0,64
1/2
0
0

0
1/2

O
A1
A2
B1
B2
C1
C2
Q1
Q2
Этому случаю соответствует участок кривой A1 A2 , и соответственно точка A2
(см. рисунок 2). В области изменения параметра 0    0,71 формула (114)
теряет смысл (значение  * становится комплексным) и ход кривых d   в
этой области изменения параметра  определяется непосредственно из
формулы (113), на рисунке 2 они расположены выше кривой B1 B2 . Для
примера приведена кривая C1C2 , соответствующая значению параметра
  0,64 . В области изменения параметра 0     * возможна устойчивость
точек либрации для всего диапазона массового параметра ( 0    1/ 2 ), а в
области  *    4 / 3 для каждого значения параметра  существует
критическое значение параметра    * , определяемого формулой (114).
Это значение  * разбивает область значений  на три области. При
0     * движение вокруг треугольных точек либрации является
ограниченным и представляет собой суперпозицию двух гармонических
колебаний с разными частотами. В этом случае имеем устойчивость в
линейном приближении. В области *    0,5 движение неустойчиво. При
   * решение содержит вековые члены. Из рисунка 2 видно, что в области
 *    4 / 3 критическое значение  * изменяется в диапазоне 0  *  0,5 ,
причем значение  * растет с убыванием параметра  .
Рассмотрим теперь зависимость дискриминанта d   от параметра 
при фиксированных значениях параметра  . На рисунке 3 представлена
зависимость d   при фиксированных значениях параметра  . Координаты
некоторых характерных точек представлены в таблице 3.
45
Рисунок 3 – Дискриминант d   в треугольных точках либрации.[103]
Таблица 3 – Координаты некоторых характерных точек
Обозначение точки на рисунке 3
Координаты

d

0
0,714
1/2
*  0,038
0
1
0
4/3
0
*  0,038
-1
4/3
-6,75 4/3
1/2
0    1/ 2
0

A
B
C
D
E
Q
Значения параметра  , при которых дискриминант d  0 , определяются
формулой
4
,
(115)

3 1  3 1   


46
причем для значений параметра  в области устойчивости 0    4 / 3 в
формуле (115) берутся значения квадратного корня со знаком плюс.
Из рисунка 3 видно, что в области устойчивости d  0 , ограниченной
кривыми QA, QC и отрезком AC , для каждого значения параметра  в
области изменения  *    4 / 3 существует свое критическое значение
параметра  * в диапазоне 0    1/ 2 , в области же устойчивости,
ограниченной осью Od , отрезком оси O  OA и кривой QA , дискриминант
d  0 для любого значения параметра  в области 0    1/ 2 при изменении
параметра  в диапазоне 0     * .
Заметим, что полученные необходимые и достаточные условия
устойчивости для линейной системы (104) являются лишь необходимыми
условиями устойчивости для полной системы уравнений возмущенного
движения. Для выявления достаточных условий устойчивости в нелинейном
случае нужно проводить дополнительное исследование. В отношении
нелинейного анализа отметим, что из последних результатов по
исследованию устойчивости гамильтоновых систем [100] следует, что в
отсутствие резонансов [101] устойчивость сохраняется и при учете в
уравнениях возмущенного движения членов до сколь угодно высокого
(конечного) порядка.
В отличие от классической задачи в найденных условиях устойчивости
помимо параметра  фигурирует параметр  , влияющий в области
 *    4 / 3 на критическое значение параметра  * . В случае значения
параметра   1 получим соотношения и результаты по устойчивости
треугольных решений классической задачи. Следовательно, в нелинейном
анализе для этого случая остаются справедливыми выводы и результаты по
устойчивости треугольных решений, полученные для классической задачи
[26-28].
2.6 Компланарные решения
Рассмотрим устойчивость по Ляпунову найденных компланарных
решений [49, 50]. Эти решения находятся вне плоскости вращения основных
тел и определяются координатами
L6, 7 :    *,   0,    *
(116)
Можно показать неустойчивость этих решений в общем случае, но
приведем лишь результаты, полученные для наиболее важного в прикладном
аспекте случая   1/ 2 . Это случай симметричной ограниченной задачи трех
тел переменной массы с решениями L6 , L7 , определяемых формулами

  1 1    1
  1     1   
1/ 4
1/ 4
47
3/ 4

1 
 3 / 4 
(117)
и
А  0  2  1  0
(118)
u     j ,    , w     j ,  j  6,7
(119)
Вводя возмущения
где  j ,  j  j  6,7 - координаты комланарных решений, получим уравнения в
вариациях
 1 3    1 5 / 3 
u 
    
 u  0,

4



 

2
  
2

u 
1

  0,
3  1  1    1 
w 

1  
  4   
(120)
2/3

w  0

Составляя характеристическое уравнение системы (120) из условия равенства
нулю определителя третьего порядка
 1 3    1 5 / 3 
2
   

  

  4    
2
1

2 
2
0
0
0
0
0


3  1  1    1 
 

1  
  4   
2/3
2
(121)



Получим характеристическое уравнение, которое распадается на следующие
два:
2/3
3  1  1    1  
 
 0
1  
  4    
2
 2 3    1 5 / 3  2 1  1 3    1 5 / 3 
   
     
 0

4



4




 



4
48
(122)
(123)
Решения уравнения (122) имеют вид
2/3
   1  1    1  
1, 2   3
 1  
 

4


 

 
(124)
Рассматривая уравнение (120) как квадратное относительно 2   ,
получим решения
5/3
5/3
5/3
1  2 3    1  
1  2 3    1 
1  1 3    1 
1, 2     
 
     
  (125)
  
2   4    
4   4    
   4    
2
Условия отсутствия положительных вещественных характеристического
уравнения определяется системой неравенств:
2/3
3  1  1    1  
   0,
1  
  4    
3    1
 

 4  
2
5/3
 0,
5/ 3
1  1 3    1 
   0,
  
   4    
(126)
2
5/3
5/3
1  2 3    1 
1  1 3    1 
     
 0
  
4   4        4    
Так как из условия существования компланарных точек либрации   1
для решений L6, 7 , то первое неравенство системы (126) не выполняется,
следовательно, эти решения являются неустойчивыми по Ляпунову.
В случае возможного выполнения последних трех неравенств системы
(126) для какого-либо значения параметра  можно говорить об условной
устойчивости точек либрации в линейном приближении относительно
отклонений от оси вращения. Однако, видимо, и эта ситуация не имеет места,
поскольку последние три неравенства системы (126) удовлетворяются при
разных интервалах изменения параметра  . Таким образом, компланарные
решения L6 , L7 точек либрации, как и прямолинейные решения L1 , L2 , L3 точек
либрации являются неустойчивыми в смысле Ляпунова.
49
3 Поверхности Хилла ограниченной нестационарной
фотогравитационной задачи трех тел
Применение интеграла Якоби для выяснения некоторых общих свойств
относительного движения малой массы путем построения и исследования
поверхностей нулевой скорости ограниченной задачи трех тел было указано
Хиллом. В его честь эти поверхности называются поверхностями Хилла [26].
Поверхность Хилла определяет, те области вращающегося
пространства, в которых может происходить движение «нулевой массы».
Поэтому, хотя интегрировать уравнения движения даже круговой
задачи не удается, знание этих областей дает все же некоторые сведения о
характере движения [141].
При этом нужно иметь в виду, что так как постоянная С (постоянная
интеграла Якоби) однозначно определяется заданными начальными
условиями, то каждой совокупности начальных условий соответствует
единственная, вполне определенная поверхность Хилла, которая может
состоять, впрочем, из нескольких отдельных полостей.
Нами рассматриваются поверхности Хилла в ограниченной
нестационарной фотогравитационной задаче двух и трех тел, причем
гравитационные параметры двух притягивающих тел изменяются по
объединенному закону Мещерского [102-106], и по закону ЭддингтонаДжинса при значениях показателя n  3 и n  6 .
Уравнения движения пассивно гравитирующей материальной точки во
вращающейся барицентрической системе координат Oxyz , плоскость xy
которой совпадает с плоскостью движения основных тел, а ось x все время
проходит через эти точки, с помощью преобразовании координаты времени
как в случае изотропного, так и неизотропного изменения массы
компонентов приводятся к автономному виду [103, 104]

,


   20  
,


  

   2 0  
где
50
(127)

 02 
2

2
  
2
2

 02  2
2

 01  02

,
1
2
i  1,2
 i2     i    2   2


 1   02  12 ,  2  01  12
0
0
2
(128)
Здесь 12 ,   постоянные, определяемые движениям основных тел:
r12   C 2 ,
  0 
(129)
причем C - постоянная интеграла площадей;
r12 -расстояния между основными телами;
Единицы измерения выберем так, чтобы в координатах Нехвилла
(  , ,  , ) расстояние 12 между основными телами  01 и  02 и суммарная
масса  0 были равны единице, тогда для угловой скорости  0 и параметра 
следует соотношение 02  1. Кроме того, введем массовый параметр  :
02

  , 01   , 0    1 / 2
0
0
(130)
Система (127) имеет первый интеграл, который в принятых единицах
запишется в виде
V 2  2  C ,

1 2
   2   1 1  1  2  1   
2
2  
1
2
(131)
где V 2   2    2   2  скорость относительного движения; С - постоянная
Якоби.
Интеграл (131) - аналог интеграла Якоби ограниченной задачи трех тел
переменной массы. Дополнительные сведения по аналогам интеграла Якоби
и поверхностям Хилла приводятся в работе [36, 39].
Отметим, что выражение (131) отличается от интеграла Якоби
классической ограниченной задачи трех тел наличием в правой части члена
 1 2
1   , что обуславливает изменение вида поверхности Хилла.
 
Полагая в (131) V  0 , получим поверхности нулевой скорости
2  C
51
(132)
которые в пространстве  ограничивают область возможного движения
исследуемого тела.
Формула (131) дает возможность вычислить скорость V движущейся
точки, если задано ее положение в пространстве и, наоборот, можно
определить координаты движущейся точки, если задана скорость V .
Границы области возможного движения определяет уравнение (132).
Переходя к исходному пространству – времени ( x, y, z, t ) с помощью
преобразования (65-68), приходим к выводу, что знание координат и
скоростей и областей возможного движения по формулам (131) и (132) дает к
тому же в области возможного движения в исходных координатах.
Следовательно, чтобы знать области возможного движения в переменных (
x, y, z, t ) необходимо сначала исследовать поверхность Хилла (132). В
случаях   1 , поверхности Хилла переходят в поверхности классической
ограниченной задачи трех тел. Поверхности (132) имеет более сложный вид,
содержат два параметра -  и  . Они симметричны относительно
плоскостей  и  . Если   1/ 2 , то в этом частном случае равных масс
основных тел поверхность Хилла обладает тремя плоскостями симметрии: к
указанным плоскостям симметрии добавляется плоскость симметрии  .
Стационарные решения уравнений (127) (точки либрации) [40,102]
рассматриваются как особые точки поверхностей Хилла.
Для каждой величины постоянной Якоби С мы имеем отдельную
поверхность. Для построения поверхностей нулевой относительной скорости
необходимо установить координаты всех особых точек, поведение
поверхностей Хилла в окрестности особых точек и основных тел,
расположения особых точек по возрастанию постоянной Якоби.
Анализ уравнения (132), проведенный так же как в классическом
случае проблемы, позволяет представить качественный характер и свойства
поверхностей Хилла. Как и в классическом случае при очень большом
значении постоянной Якоби С уравнения (132) удовлетворяется при
достаточно больших значениях одного из членов в выражении для  .
Причем при анализе нужно отдельно выделять случай больших и малых
значений координаты  и учитывать набор различных значений параметра
 . Для каждой величины постоянной Якоби С имеем отдельную
поверхность. Для поверхностей Хилла и особые точки даются уравнениями
  0,
  0,
(133)
  0
Физический смысл особых точек вытекает из уравнений (127), откуда
видно, что в этих точках
52
         0,
         0
(134)
в координатах Нехвилла или точек либрации подробно т.е. это положения
относительного равновесия точки либрации.
Таким образом, в точках либрации выполняются условия (133), это есть
необходимое условия существования экстремума в особых точках. Для
достаточности существования экстремума к уравнениям (133) добавляется
следующее условие: квадратичная форма поверхности должна быть
положительно (отрицательно) определена, тогда в особой точке имеет место
минимум (максимум). А для положительной определенности квадратичной
формы необходимо, чтобы все главные миноры матрицы
 

A   

 


 

 
 

(135)
были положительны - критерий Сильвестра.
Исследования для прямолинейных и треугольных точек либрации
проводятся так же как и в классическом случае [105], поэтому рассмотрим
компланарные точки и покажем, что в них поверхность нулевой скорости
имеет минимум.
Для компланарных точек либрации имеем

 0
 
 0,
(136)
 

0 
 
(137)
 0
поэтому матрица квадратичной формы будет
 

A 0

 
0

0
Для величин  ,  ,  ,  соответствующим компланарным решениям,
имеем
  0,
   0,
     2  0
53
(138)
Таким образом, из критерия Сильвестра следует, что квадратичная
матрица поверхности положительно определена, поэтому в компланарных
точках либрации L6 и L7 будет абсолютный минимум [103-105].
Знание точек либрации и выражение (132) для поверхностей нулевой
скорости позволяет провести качественный анализ поверхностей Хилла для
различных значений параметров  и  .
Рассмотрим изменение формы поверхностей Хилла в зависимости от
величины С.
Поверхность Хилла

 2   2  1 

1  2 21    2

C
 

1
2
(139)
при   1 дают классические поверхности нулевой скорости. Для больших С
при   1 поверхность (139) состоит из трех отдельных поверхностей. Это
квазицилиндр, заключающий в себе две квазисферы с центром в 1 и  2 .
При    внешний цилиндр превращается в сферу:
 2 2   2  C
(140)
При     1 внешняя поверхность есть эллипсоид вращения, вытянутый
вдоль оси O :

 2   2   2 1 

1
C

(141)
При   1 внешний эллипсоид, вытягиваясь, стремится к цилиндру.
Поверхности Хилла мало отличаются от классического случая.
При   1 коэффициент при  2 становится отрицательным, внешняя
поверхность представляет однополостный гиперболоид.
При уменьшении С внешняя поверхность сжимается, а внутренние
квазисферы будут при этом увеличиваться и при некоторых значениях С
каждая пара этих поверхностей будет иметь общую точку. При дальнейшем
уменьшении С поверхность Хилла становится двуполостной и далее полости
стягиваются в точки L6 и L7 , расположенные симметрично относительно
плоскости  . Поверхности Хилла разнообразны ввиду наличия параметров
 и  . Поэтому ограничимся рассмотрением случаев для   0,3 с
различными значениями параметра  :   0,5;   1,66;   5 поскольку для
этих значений параметров хорошо прослеживается качественное отличие
поверхностей Хилла (139) от классического.
54
На рисунках 4-9 показано сечения координатными плоскостями,
поверхностей Хилла в ограниченной нестационарной фотогравитационной
задаче трех тел для указанных значений параметров  и  . Кривые нулевой
скорости на указанных рисунках дают наглядное представление о
поверхностях Хилла и их свойствах, и демонстрируют их качественное
отличие от классических кривых нулевой скорости в ограниченной круговой
задаче трех тел.
Рисунок 4 – Кривые нулевой относительной скорости в плоскости[103]
  : v =0,3;  =1,66; C1 > C2>…>C13.
В плоскости   появляются точки либрации L6 , 7 и кривые нулевой
относительной скорости имеют качественно иной вид, чем в классической
задаче. Изменение вида поверхностей определяется значениями С
постоянной Якоби.
Рисунок 5 – Кривые нулевой относительной скорости в плоскости[103]
 : v =0,3;   1,66 ; C1 > C2 >… >C13.
55
В плоскости  кривые нулевой относительной скорости расположены
симметрично, наличие точек либрации L6 , 7 дает качественно иную картину,
чем в классической задаче. Изменение вида поверхностей определяется
значениями С постоянной Якоби.
Рисунок 6 – Кривые нулевой относительной скорости в плоскости[103]
  : v =0,3;  =5; C1 > C2 >…>C9.
В плоскости   появляются точки либрации L6 , 7 и кривые нулевой
относительной скорости имеют качественно иной вид, чем в классической
задаче. Изменение вида поверхностей определяется значениями С
постоянной Якоби.
Рисунок 7 – Кривые нулевой относительной скорости в плоскости [103]
 : v =0,3;  = 5; C1 > C2 >…>C9.
В плоскости
 кривые нулевой относительной скорости
расположены симметрично, наличие точек либрации L6 , 7 дает качественно
иную картину, чем в классической задаче. Изменение вида поверхностей
определяется значениями С постоянной Якоби.
56
Рисунок 8 – Кривые нулевой относительной скорости в плоскости[103]
  : v =0,3;  =0,5; C1 > C2 >…>C10.
Кривые нулевой относительной скорости в плоскости   при заданных
значениях параметров  ,  определяют качественную картину движения при
изменениях значений С постоянной Якоби.
Рисунок 9 – Кривые нулевой относительной скорости в плоскости   : [103]
  0,3;   0,5; C1  C2  C3  ....  C6 .
Кривые нулевой относительной скорости в плоскости   при
заданных значениях параметров  , 
определяют симметричную
качественную картину движения при изменениях значений С постоянной
Якоби.
3.1 Об орбитальном движении, неуправляемого космического
объекта в поле тяготения центрального и внешнего тела.
При анализе движения космических аппаратов приходится строить
математическую модель, адекватную истинной природе движения[133, 137,
139].
Простейшую модель космического объекта конечных размеров в случае
его орбитального движения можно представить материальной точкой, в
57
которой сосредоточена вся масса тела. Более сложная модель тяготения тел
конечных размеров может учитывать размеры тела, однородность и
неоднородность распределения массы в его объеме.
Выбор модели зависит от постановки задачи. В целом модель должна
быть по возможности проще и при этом должна учитывать основные
особенности движения реального тела, которые существенны для выбранной
постановки задачи.
Известно, что задачи механики космического полета в большинстве
своем не могут быть решены в замкнутом виде в квадратурах, поэтому
применяются различные приближенные методы решения систем
дифференциальных уравнений движения.
Один из актуальных методов изучения возмущенного движения
космического объекта связан с построением новых типов промежуточных
орбит. Все промежуточные орбиты, применяемые в механике космического
полета, можно условно разделить на три вида [119]:

невозмущенные кеплеровские орбиты;

полуаналитические промежуточные орбиты;

некеплеровсие промежуточные орбиты.
Каждая из них обладает определенными преимуществами и изъянами.
Дадим краткую характеристику промежуточных орбит.
Выбор кеплеровской орбиты выгоден, когда эксцентриситет
исследуемой орбиты мал и промежуток времени движения невелик. Как
только эксцентриситет орбиты становится равным и больше предела
Лапласа е = 0,667 кеплеров эллипс становится неприемлемым, так как
решения, представленные рядами, становятся расходящимися и для
сохранения требуемой точности вычислений искомых величин приходится
учитывать большое количество членов этих рядов. Поэтому на сегодня
актуально накопление орбит третьего типа, которые обладают ценными
качествами. Во-первых, они позволяют получать решения без секулярных
членов и без зависимости от предела Лапласа. В работе разработана новая
промежуточная орбита третьего типа.
Пусть космический объект совершает неуправляемый полет в силовом
поле центрального и внешнего тела, тогда силовая функция задачи в
геоцентрических координатах имеет вид [139]:
u
 1 2 1
 vr  (v  v) z 2
r 2
2
(142)
где:  – гравитационный параметр; ,  – постоянные параметры,
обеспечивающие действительное движение перигея и узла орбиты,
r  x 2  y 2  z 2 , x, y, z – координаты ИСЗ (или иного космического объекта).
Дифференциальные уравнения движения объекта в соответствии с (142)
имеет вид [119]:
58
x
y
z







vx
,
y


vy
,
z


v
z
.

r3
r3
r3

Они допускают интеграл площадей в основной плоскости
x 
xy  yx  C
(143)
(144)
и интеграл энергии
1
 1

x 2  y 2  z 2  2  vr 2  (v  v) z 2  h
2
r 2

(145)
где C, h – соответственно постоянные интеграла площадей и интеграла
энергии.
Дифференциальные уравнения (143) в переменных Хилла имеют вид:
d 2w 
 
1
 1  4 w 
0
2
d
(1  s 2 ) 3 / 2
 w 
(146)
d 2s 
 
d  2 2

1

s

0

w


,
dt C 3
d 2  w 4 
(147)
где:
(v  v )C 6
vC 6


,
,   const ,   const ,
4
4

1

 2 w,
 C
w
z
C2 1
 ,   x2  y2 , s  ,

 
(148)
(149)
 – истинная долгота, w – переменная Хилла, s – тангенс широты, здесь ,  ,
s и w – безразмерные величины.
z
M(x,y,z)
r
O

z
y


x
M
Пусть орбита ИСЗ имеет малый наклон к плоскости Оху, тогда
z  0, r2 
Теперь (146) имеет вид:
59
z2
0.
2
d 2w 
 

1


w  1  0 ,
d 2  w 4 
или
wdw
d 
 w 4  2w3  Hw2  
(150)
,
(151)
где постоянная интегрирования
2hC 2
H
– безразмерная величина.
2
(152)
В случае эллиптического типа движения [121]   0, H  0 , поэтому (151)
примет вид
wdw
d 
(153)
 w 4  2w3  Hw2  
Для действительных движений подкоренной полином должен быть
положительным,
(154)
G4 (w)  w4  2w3  Hw2    0
Согласно теореме Декарта [121], полином имеет три положительных и
один отрицательный корень
1 >  2 > 3 > 4 ,
4 – отрицательный корень.
Подкоренной полином положителен на двух интервалах:
А)  4  w   3 , В)  2  w  1 .
На интервале А справедливо следующее преобразование (153) к
нормальной форме Лежандра [121]:
d   *
wd
1  k 2 sin 2 
,
(155)
где
w
 4  31  1 43 sin 2 
(156)
 31   43 sin 2 

2
 
k 2  43 12 ,
13  42
при w   4 ,   0 ; при w   3 ,   , 0  k 2  1,  ik   k   i ( k , i  1,2,3,4 );
* 
60
2
 31 42
,
где: k – модуль эллиптического интеграла 1-го рода,  – промежуточная
переменная.
Преобразуем (156), выделим k 2 , разложим знаменатель по степеням k ,
тогда
w  (w0  k 2 w02  k 4 w04 )  (k 2 w12  k 4 w14 ) cos 2  k 4 w24 cos 4 , (157)
где:
2 
3
w0   3 , w01  31 42 , w02  13
2 4112
8

w14  13
2
Из  
2
2
   
  31 42  , w12  w01 ,
 2 41 21 
  

  31 42  , w24  13
8
  41 21 
2
  
  31 42  .
  41 21 
C2
, используя (157), имеем:
w
  (00  k 2 02  k 4 04 )  (k 2 12  k 414 ) cos 2  k 4  24 cos 4
(158)
здесь
 00
2
 2 

   
  31 42  ,  04   00 1 31   42 31  ,
  3  41 21 
  3  41 21 
4
1
  02 , 14   04 ,  24   04 .
3
3
C2


,  02  00
 3
2
12
Подставив (157) в (155), проинтегрировав от 0 до верхних пределов,
имеем:
  (00  k 2 02  k 4 04 )  (k 2 12  k 4 14 ) sin 2  k 4 24 sin 4 , (159)

где: 00  w0* , 02  * 
w0
1 9


 2w01  ,  03   *  w0  w01  8w02  ,
2
8 8



1 
1 
1 3
8

   *   2w01  w0  , 14    *  w0  w02  ,
4 
2 
4 8
3

1 3
8

 24   *  w0  w01  w02  .
32  8
3

1
2
12
Приняв во внимание второе уравнение из (147), учитывая (157) и (159),
имеем:
(160)
t  (t 00  k 2 t 02  k 4 t 04 )  (k 2 t12  k 4 t14 ) sin 2  k 4t 24 sin 4 ,
где:
t 00 
2 
 1 2w01 
t 00  2w01 8w02 9 6w01

,



,
t




04
2

2 
 w
w
8
w
8
w0  2
w
0
0


0 
 0
t  2w
1
t  8 w
8
w
1
t12  00  01   , t14  00    02  31  022   ,
4  w0
2
4  3 w0
3
w0 2 
t  8 w
2w 
8  w
t 24  00 1   02   31 2 02  01  .
32  3 w0 3
w0 
w0
C 3 *
, t 02 
t 00
2
Обратив (160), имеем:
61
  (00  k 2 02  k 4 04 ) t  (k 2 12  k 4 14 ) sin 2t  k 4  24 sin 4t ,
(161)
где:
 00 
1
t 00
,  02  
t 02
2
 00
,  04 
t
1
(t 00  t 04 ) , 12   12 , 14  00 (t 02 12  t 04 ) ,
2
t 00
 00
t
 24  t 00  24 .
t 00
Таким образом, (159) и (158) посредством (161) определяют полярные
координаты ИСЗ в основной плоскости, как функции времени.
Теперь определим z для ИСЗ из (147), для этого перепишем (147) в виде:


d 2s
 (q00  k 2 q02 )  k 2 q12 cos 2) s  0
2
d
где:
2
q00   00

2
 00
w04
, q02 
2
4w02  00
q12  412  00 
w05

412  00
w04
2 00  02

w04
(162)
 2 00  02
2
44w12  00
.
w05
Введем в (162) обозначения:
q0  q00  k 2 q02 , q1 
1
q12 k 2 ,
2
тогда имеем:
d 2s
 (q0  2q1 cos 2) s  0
d 2
(163)
Решение (163) имеет вид [140]:

q1

s  Acos(C0   ) 
cos[(C0  2)  ]  …

(C0  2) 2  q0


q1


cos[(
C

2
)



]

0
2

(C0  2)  q0

где А и  – постоянные интегрирования,

C0  1  [(q0  1) 2  q12 ]1 / 2

1/ 2
(164)
(165)
z

Имея в виду s  , находим аппликату центра масс ИСЗ
z  s
или

(166)
z  A ( z 00  k 2 z 02 ) cos(C0   )  k 2 z12 cos[(C0  2)  ]  …
где:
z 00

 k 2 z 22 cos[C0  2)  ]
1
  00 , z12   02 , z12  12  q12  00 C101
2
1
1
C10  2(3  q00  2 2  q00 ) , z 22  12  q12  00 C00
2
C00  2(3  q00  2 2  q00 )


62
(127)


Таким образом, орбитальное движение ИСЗ в поле тяготения
центрального и внешнего тела в цилиндрической системе координат на
интервале  4  w   3 определено в виде явных функций времени
выражениями (158), (159) и (167) посредством (161).
Решение задачи не имеет секулярных членов и применимо на
достаточно длительном промежутке времени.
3.2 Модели спутникового варианта ограниченной нестационарной
фотогравитационной задачи трех тел – модели движения спутника
в поле тяготения центральной планеты под влиянием
гравитационного или фотогравитационного возмущения третьего
тела.
Высокоточное определение орбит космических объектов учитывает
влияние основных возмущающих факторов, таких, как несферичность Земли,
притяжение со стороны Луны и Солнца, сопротивление атмосферы,
солнечная радиация и солнечный ветер. Чем выше требуемая точность
расчета, тем детальнее должен быть учет возмущений, что определяется не
только точностью наблюдаемых данных, но и полнотой теории явлений,
приводящих к возмущению движения космического объекта. [141, 142] В
связи с этим возникает необходимость точной оценки возмущающих
динамических и диссипативных факторов эволюции орбит и на первом этапе
проекта она заключалась в построении основной модельной задачи движения
ИСЗ в нестационарном геопотенциале [115, 122, 136,]. При этом была
построена промежуточная орбита, учитывающая основной возмущающий
фактор гравитационного характера, вторую зональную гармонику
потенциала притяжения Земли. Следующим этапом проекта является
разработка
и
анализ
спутникового
варианта
ограниченной
фотогравитационной задачи трех тел. В этом случае уделяется внимание
влиянию возмущающих факторов, таких как притяжение со стороны Луны и
Солнца, и особенностям движения в исследуемой задаче.
Построение модели гравитационной задачи Земля-Луна-спутник.
Строится модель относительного движения спутника в поле тяготения
планеты под влиянием гравитационного возмущения третьего тела. Масса
спутника рассматривается бесконечно малой. Масса возмущающего тела не
обязательно малая по сравнению с общей массой планеты[26,113-116].
Система должна удовлетворять условию малости параметра, в который
входят отношение масс возмущающего тела и планеты, и отношение
больших полуосей орбит спутника и возмущающего тела относительно
центрального. Вводится малый параметр для рассматриваемой системы
0 
2 3
 ,
0
где 2 , 0 - соответственно гравитационные параметры возмущающего тела
и центрального,  - отношение больших полуосей орбит спутника и
63
возмущающего тела относительно центрального и рассматривается область
движения ( r  rс.д. ) внутри сферы действия центрального тела.
ˆ , ˆs имеют вид
Уравнения движения спутника в оскулирующих элементах aˆ , p
daˆ 2aˆ 2 

(r S  V 2  r 2 T ),
dt Gm
dpˆ
2  c 2 ( z  c ) z
r (m 22  Q)  c 2 z ( z  c )r

S
T
dt
Gm
r
r V 2  r 2
c 2 z 3 m

B,
r V 2  r 2
2
2
2
ˆ
ˆ


d
s
(
1

s
)
c
z
(
z

c

)
c
z ( z  c )r  r Q
Sˆ  
S
T
dt  Gmpˆ
r
r V 2  r 2
 22
r ( z  c )r  r 2 z  c 2 (1  sˆ 2 ) z 
m
B
2
2

 32
r V r

Полученные уравнения являются точными, поскольку при их выводе не
делалось никаких упрощений, связанных с малостью c и , и следующие
дифференциальные уравнения для элементов ,  , M :
d
   A1 S   A2T   A3 B,
dt
d
   B1 S   B2T   B3 B,
dt
dM
 n  C1 S   C2T   C3 B.
dt
где
n  n0 m 
mG
, b  V 2  r 2 , ˆ  1  s 2 .
3
aˆ
В уравнениях  означает производную  по входящему явно времени
t. В коэфициентах уравнений сохранены члены с точностью до 
включительно. Полученные уравнения для элементов промежуточной
орбиты носят самый общий характер, поскольку они могут быть
использованы для определения возмущений от произвольных возмущающих
сил
В геоцентрической системе координат с основной координатной
плоскостью совпадающей с плоскостью орбиты Луны, с радиус-векторами
 
r , r1 соответственно определяющими положение спутника и Луны, для
возмущающей функции имеем
2
64
 1
rr 
V  Gm1  
 31 
r1 
 r1  r
где m1 - масса Луны. Для спутника вблизи Земли, разлагая V в ряд по
степеням r r1 и отбрасывая члены выше второго порядка малости, получим
2
 2
Gm1  1  r  3 r r1  
1    
.
V 
r1  2  r1  2 r14 


В основной плоскости движения можно выписать интеграл Якоби
рассматриваемой спутниковой задачи
v2  n 1 ( x2  y 2 )  2
2

r
2
1
r1
C ,
где индекс 1 относится к элементам орбиты Луны. Полученный интеграл
позволяет провести дальнейший анализ задачи.
Для далеких спутников, при С=0 и  =0 элементы  , e, i, 0 ,  0 , M 0
превращаются соответственно в большую полуось, эксцентриситет,
наклонность, долготу узла, аргумент перицентра и среднюю аномалию в
эпоху периодического движения по коническому сечению.
где
da
p
 2a 2 (e sin S *  T * ),
dt
r
de
 p sin S *  p (cos  cos E )T * ,
dt
di
 r cos B * ,
dt
d 0
 r sin  cos eciB * ,
dt
d 0 1
d 0
 [ p cosS *  ( p  r ) sin T * ]  cos i
,
dt
e
dt
dM 0
1  e2

[( p cos  2er ) S *  (r  p ) sin T * ],
dt
e
S* 
S
T
B
,T * 
, B* 
.
m(t )Gp
m(t )Gp
m(t )Gp
Уравнения совпадают с известными уравнениями Ньютона для
оскулирующих кеплеровых элементов.
Движение возмущающего тела представляется эллиптической орбитой,
элементы которой известны. Предложенная модель применена для
гравитационной задачи Земля-Луна-спутник.
65
Динамические особенности гравитационной задачи Земля-Луна-спутник.
Исследование промежуточной орбиты Хилла, проводится дальнейшее
исследование модельной задачи движения ИСЗ на основе второй
промежуточной орбиты Хилла. Задача имеет дальнейшее расширение на
случай нестационарного геопотенциала, учитывающего ее вторую зональную
гармонику. В рассматриваемой модели ИСЗ совершает движение в поле
тяготения Земли, с учетом второй зональной гармоники ее силовой функции,
по орбите малого наклона [106, 112-114].
Пусть пассивно гравитирующее тело Р массы m0 движется в поле
ньютоновского тяготения центрального тела L массы m1, и возмущающего
тела S массы m2. Будем полагать, что m1 > m2 и тело S движется
относительно центрального тела по круговой орбите, тогда силовая функция
плоской второй промежуточной орбиты Хилла имеет вид:
U

x2 y2

1
 0 ( x 2  y 2 ),
2
где   f ( m1  m0 ) – гравитационная постоянная; 0 – постоянный параметр;
x, y – координаты пассивно гравитирующего тела.
Первое слагаемое правой части характеризует поле тяготения
центрального тела, второе - возмущающего тела.
Для классификации движений пассивно гравитирующего тела удобно
использовать уравнения в виде Клеро-Лапласа*
d 2u
1 u
 u  2   0,
d
C u
dt
1

,
d Cu 2
здесь  – истинная долгота; u – обратная величина геоцентрического
радиуса.
Далее, введем новые постоянные в силовую функцию, выполняя
замену следующими равенствами
  0 C6 /  4 ,
u  w / C 2 .
Уравнения Клеро-Лапласа примут вид:
d 2w 
 
 1 
 w  1  0,
2 
d
w4 
dt C 3 1


.
d  2 w 2
Проинтегрировав первое из этих уравнений имеем:
d

dw
w
  Hw  2 w  w
2
3
4
,
где постоянная интегрирования Н определено равенством H  2hC 2 /  .
Продолжена разработка модели спутникового варианта задачи трех тел
в формулировке «Центральное тело – спутник - внешнее тело». Пусть
спутник движется в поле тяготения центрального тела под действием
2
66
гравитационного либо фотогравитационного возмущения от внешнего тела.
Пусть внешнее тело совершает движение по окружности центр которого
находится в центре масс центрального тела, тогда упрощенную силовую
функцию поля тяготения (центрального и внешнего тела) можно взять в
следующем виде:
U



1
1
  x2  y 2   1z 2
r 2
2
(168)
где  - произведение постоянной тяготения на сумму масс центрального тела
и спутника,  и  1 - надлежащим образом подобранные постоянные
множители, x, y, z - координаты центра масс спутника.
Дифференциальные уравнения движения спутникам:
d 2x
x


 x,
dt 2
r3
d 2x
y


 y,
dt 2
r3
d 2x
z


 'z
2
3
dt
r
(169)
допускают первые интегралы
dy
dx
x
y
 C,
dt
dt
2
2
 dx 
 dy 
      2(U  h ),
 dt 
 dt 
(170)
где С – постоянная интеграла площадей; h – постоянная интеграла живых
сил.
Определение динамических особенностей спутникового варианта
нестационарной задачи трех тел. В модели спутникового варианта задачи
трех тел в формулировке «Центральное тело-спутник-внешнее тело»
проводится анализ типов движения, представление в явном виде координат
движения спутника и определяются частные решения задачи. Результаты
анализа для стационарной задачи распространяются на нестационарную
задачу, в которой задаются параметры  ,   в виде явных функций времени.
Указанные параметры учитывают нестационарность влияния центрального и
внешнего тела на движение спутника. Результаты получаются методом
последовательных приближений для уравнений возмущенного движения
спутника.
Дифференциальные уравнения движения в переменных Клеро-Лапласа.
Классификация типов движения. Вводя новую искомую функцию w и
постоянные  ,  , полагая

1

c6
   1 c6
w 2,   4 ,  
,   x2  y 2 ,
(171)
4

c


S
T
B
дифференциальные уравнения S  
принимают
,T  
, B 
Gm0 n
Gm0 u
Gm0 u
вид:
67
d 2w 
 
1
 1  4  w 
0
2
d  w 
1  S 2 3/ 2
d 2w 
 

1


S
d 2  w4 




dt  2
z
 0,

, S
d
c
 
(172)
где S - тангенс широты,  - истинная долгота.
В случае малого наклона орбиты спутника к основной плоскости S<<1,
2
S =0, тогда первое уравнение из (172) после интегрирования принимает вид:
d
w

(173)
dw
  Hw2  2w3  w4
где H 
2hc 2
2
, c - постоянная интеграла площадей, h - постоянная интеграла
энергии.
Варьируя параметры  и Н, получим следующую классификацию
типов движения[125-130]
а) Прямолинейное движение при  = 0, Н =0.
б) Параболический тип движения при  > 0, H = 0.
в) Эллиптический тип движения при  > 0, H < 0.
г) Гиперболический тип движения при  > 0, H > 0.
д) Круговой тип движения при  > 0, H < 0, e = 0,
где е – эксцентристет орбиты пассивно гравитирующего тела.
Последовательно для каждого типа движения удается определить
полярные координаты пассивно гравитирующей точки, как явные функции
времени в виде суммы первых членов степенного ряда по степеням малых
модулей эллиптических интегралов первого рода.
Цилиндрические координаты спутника в случае параболического типа
движения. На интервале  2  w  1 имеем полярные координаты пассивно
гравитирующего тела в случае параболического типа движения на интеграле
 2     1 , как явные функции времени посредством представленных
выражений (43-45).


(174)
   00  k 2 02 u  k11 sin
u  k 2 32 sin u
2K
K


(175)
   00  k 2  02  k11 cos
u  k 2  32 cos u
2K
K
(176)
u   0 t  kT01 sin 1t  k 2T22 sin 1t
Цилиндрические координаты спутника в случае эллиптического типа
движения, на интервале (  4  w   3 ) цилиндрические координаты спутника
имеют вид:
68
2
u     (177)
K
K

2
   00  k 2  02  k 4  04   k 2 12  k 2 14 cos u  k 4  24 cos u     (178)
K
K

2
u  u 00  k 2 u 02  k 4 u 04 t  k 2 u12  k 4 u14 sin t  k 4 u 24 sin
t     (179)
K
K
   00  k 2 02  k 4 04 u  k 212  k 214 sin

u  k 4 24 sin
Из выражений (177-179) видно, что полярный радиус не содержит вековых
членов, а полярный угол пропорционален времени.
Цилиндрические координаты пассивно гравитирующего тела в случае
малого наклона орбиты (параболического типа) к основной плоскости. Для
случая малого наклона орбиты к основной плоскости s  0, s 2  0 , выполнено
понижение порядка дифференциального уравнения
wdw
(180)
d 
  Hw 2  2w 3  w 4
2hc 2
где H  2 - постоянная интегрирования.

В случае параболического типа движения параметры принимают
значения   0, H  0 .
Без учета наклона орбиты на интервале 1  w получены решения
следующего вида:
   00kv01  k 2 02  k 3 03 u  k 212 sin
K
u  k 21  k 3 23  *
3
3
u  k 2 52  k 3 53 sin
u
2K
K
2K
5
7
9
k 2 62 sin u   k 2 72 sin
u  k 282 sin
u  ...
K
2K
2K
* sin


u   k 2 42 sin
  e00  k 2 e02   k 2 e12  k 3 e13 cos

K
u  ke21  k 3 e23 cos
(181)

2K
u
2
3
3
u  k 2 e42 cos u  k 2 e52  k 3 e53 cos
u
K
K
2K
(182)
5

5

7

 k 2 e62  k 3 e63 cos u  k 3 e73 cos
u  k 2 e82  k 3 e83 cos
u
K
2K
2K
9
4
 k 2 e112  k 3 e113 cos
u  k 3 e133 cos 5 u  ...
2K
K
 k 3 e33 cos
69




u   0t  k 2T12  k 3T13 sin  0t  kT21  k 2T22  k 3T23 sin
 0t

2
 k 2T32  k 3T33 sin 2 0t  k 2T42  k 3T43 sin 3 0t  k 2T52  k 3T53 *




sin 5 t  k T


(183)
3
5
3
* sin  0t  k 2T62  k 3T63
 0t  k 2T82  k 3T83 *
0
73 sin
2
2
7
11
9
* sin  0t  k 3T93 sin  0t  k 2T102  k 3T103 sin  0t  k 3T113 sin 4 0t  ...
2
2
2





Коэффициенты однозначно определяются через корни подкоренного
полинома.
Теперь координата z - пассивно гравитирующего тела может быть
определена по формуле:
(184)
z  s
где s и  определены выражениями (183) и (185). Полученные решения не
содержат вековых членов в позиционных координатах:


(185)
w  w00  k 2 w02  kw11 cos
u  k 2 w32 cos u  ...,
2K
K


(186)
   00  k 2 02 u  k11 sin
u  k 2 32 sin u  ...,
2K
K


(187)
   00  k 2  02  k11 cos u  k 2  32 cos u  ...,
2

(188)
u   0 t  kT01 sin 1t  k 2T22 sin 1t  ...,
Найдем тангенс широты:

q2
s  A1  2
 c0  q0
q1

c0  12  q0


 
1
1


  cosc0    
2
2




c

1

q
c

1

q
 0
0
0
0 

q
cosc0  1     2 1 cosc0  1    
c  q0 

 




q12
1
 q 2 
cosc0  2    

2
2




c

1

q
c

1

q

0
0 
0
0


q12
1
 q 2 
cosc0  2       

2
2




c

1

q
c

1

q

0
0 
0
0


где



c0  1 

q
 1  q12 ,
2
0

Координата z определяется как произведение  на s .
70

2K
u;
(189)
Выражения (188-189) посредством (189) дают с точностью 0k 4 
цилиндрические координаты  ,  , z пассивно гравитирующего тела в
случае малого наклона орбиты параболического типа, к основной плоскости
на интервале  2  w  1 .
Аналогичные решения, пользуясь выше изложенной методикой, можно
в случае малого наклона орбит к основной плоскости и для орбит
эллиптического, кругового и гиперболического типа.
Движение пассивно гравитирующего тела в поле тяготения шарообразного
центрального тела и внешнего тела. Для орбиты, расположенной достаточно
далеко от центрального тела, поле тяготения центрального тела и внешнего
тела можно апроксимировать силовой функцией Хилла
U
 1 2 3 2 2
    sin 
 2
2
дифференциальные уравнения допускает интеграл энергии
 2
 2
 2
2
2
2
F1         cos2  
  2  3 2 sin 2   h1

и интеграл площадей
(190)
(191)

(192)
F2   2  cos2   h2
Очевидно, что при h1  0 пассивно гравитирующее тело будет
совершать движение по орбите эллиптического типа, при h1  0 по орбите
параболического типа и при h1  0 по орбите гиперболического типа.
Кинетическая энергия пассивно гравитирующего тела имеет вид:
T
 2
1  2

2
2
2
2
        cos  
2

(193)
c3
Из dt  2 2 d видно, что координата  не входит явно в T и U ,
w 
поэтому эта координата является циклической координатой и ей
соответствует циклический интеграл

дТ
d  дТ 
 0,

0
,

 2 cos2   h2  c

д
dt  д  
(194)
Это дает возможность исследовать существование и устойчивость
стационарных движений по методу Рауса.
Исследование устойчивости стационарных движений методом Рауса
Составим функцию Рауса

 2
1  2
c2
 1
R  T *  c      2  
2
2
2
 2  cos 
Найдем потенциальную энергию приведенной системы
W  П  R0  
 1 2 3 2 2
1
c
    sin  
 2
2
2  2 cos2 
Выражения
71
   03    2 

0  0

дают условие существования стационарных круговых движений
(195)

   при t  0,   0,   0
  0 ,
Принимая за невозмущенное движение
движение aˆ, pˆ , Sˆ , , , , введем возмущение x
стационарное
(196)
круговое
   0  x,    0  y
перепишем W в виде
W 

(197)

1
3
2
2
   0  x     0  x  sin 2  0  y  
0  x 2
2
(198)
2
1
c
2
2  0  x  cos2  0  y 
Учитывая, что при
t  0,    0 ,  0  0,   , c 2   2  04 ,    03    2  ,
Найдем

 д 2W 
 2   3   2 ,
 д  0
 д 2W

 д д

  0,
0
 д 2W 

   02 3v   2 
2 
 д  0
В результате получим
1 2
(199)
  3 x 2   02 3   2 y 2 
2
Так как в  2  3 , то (199) будет определенно положительной,
W  W0 

следовательно, невозмущенное движение устойчиво относительно  ,  ,  .
Исследование устойчивости круговых движений по уравнениям первого
приближения.
Дифференциальные
уравнения
движения
пассивно
гравитирующего тела в поле тяготения шарообразного центрального тела и
внешнего тела допускают частное решение

   0 ,   , при t  0,   0,   0
(200)
Введем обозначения



   0  x1 ,   x2 ,   x3 ,   x4 ,     x5
(201)
В уравнениях возмущенного движения пассивно гравитирующего тела
в поле тяготения центрального шарообразного тела и внешнего тела
разложим правые части дифференциальных уравнений в ряд Маклорена в
окрестности x1  x2  x3  x4  x5  0, и сохраним только величины первого
порядка малости относительно возмущений. Тогда дифференциальные
уравнения (возмущенного движения) первого приближения имеют
характеристическое уравнение вида
72
5  2 2 3   4  9 2   0 ,
введем обозначения z 2  4 , тогда
(202)
z 2  2 2 z   4  9 2   0
z1.2   2  3 ,
2    2  3   3  3 i,
3    2  3 i,
4    2  3   3  3 i,
5    2  3 i,
Таким образам, характеристическое уравнение имеет один нулевой
корень 1 и четыре различных мнимых корней. В этом случае все решения
дифференциальных
уравнений
первого
приближения
остаются
ограниченным, и нулевое решение т.е. невозмущенное движения устойчиво.
Исследование устойчивости круговых движении вторым методом Ляпунова,
получено, что при условии      2 03 ,   0 существует частное круговое
движение

  0 ,   
(203)
S
T
B
,T  
, B 
Gm0 n
Gm0 u
Gm0 u
движение введем возмущения по формулам
Принимая
S 

за

невозмущенное

(204)
   0  x1 ,   x2 ,   x3 ,   x4 ,     x5
Используя линейную связку интегралов Н.Г. Четаева, построим
функцию Ляпунова:

2
2
2
2
V   x 22   0  x1  x 42   0  x1    x5  cos2 x3 

 0  x1 

2
2
2
(205)
   0  x1   3  0  x1  sin 2 x3   02 2 
  02  
0

 
   0  x1    x5  cos2 x3   02    0  x1    x5  cos4 x3 
2
  04 2 
4
2
В результате анализа получено, что функция Ляпунова V в
рассматриваемом случае определенно положительна. С другой стороны F1 и
F2 являются первыми интегралами и V  0 , следовательно, все условия
теоремы Ляпунова об устойчивости выполнены и невозмущенное движение
устойчиво относительно переменных  ,  , , ,  .
Поверхности нулевой скорости в гравитационной задаче Земля-Лунаспутник, после упрощений и надлежащих преобразований гравитационный
потенциал сфероида постоянной массы во внешней пассивно гравитирующей
точке приводится к виду
U
fM


fMzc
2
sin
Величины, входящие в это выражение, были описаны ранее.
73
Представленный здесь потенциал отнесен к массе движущейся точки.
Кинетическая энергия, отнесенная к массе движущейся точки, имеет
вид:
T

1 2 1 2
 2   2  2 cos 2 
     2 
2
2

Как показано ранее, дифференциальные уравнения движения точки
допускают интеграл кинетической энергии
1 2 fM fMz c
 –

sin   C2

2
2
где  – скорость точки, С2 – постоянная интеграла кинетической энергии.
Для определения областей возможности и невозможности движения
воспользуемся методом Хилла. Поверхность Хилла (поверхность нулевой
скорости) определится следующим выражением
fM fMz c
(206)
C2 

sin   0

2
Движение возможно только при T  0 . Поэтому поверхность Хилла
разбивает пространство движений на область возможности движения
C2 
fM fMz c

sin   0

2
и область, где движение невозможно
C2 
fM fMz c

sin   0

2

Умножим равенство F2  2  2 cos 2  на 2, тогда получим квадратное
уравнение относительно 
(207)
C2 2  fM  fMz c sin   0
Все формы движения в зависимости от значений постоянной С2 в
рассматриваемой задаче разделим на три класса. Движения при C2 < 0
отнесем к классу эллиптических, при С2 > 0 к классу гиперболических и при
С2 = 0 к классу параболических движений.
В случае эллиптического класса движений поверхности нулевой
скорости запишутся в следующем виде
(208)
C2 2  fM  fMz c sin   0
В случае гиперболического класса движений поверхности Хилла
запишутся так:
C2  2  fM  fMz c sin   0,
zc  0
(209)
В случае параболического класса движений эти поверхности
вырождаются в одну поверхность, т.е.
(210)
  z c sin   0
В этом случае область возможности движения имеет вид:
  z c sin   0
а область невозможности движения соответственно имеет вид:
74
  z c sin   0
Поверхности Хилла в случае эллиптического класса движений, в случае
эллиптического класса движений, поверхность Хилла определяется
афыевыражением
C2 2  fM  fMz c sin   0
Введем обозначение    sin  и поделим уравнение поверхности
почленно на fM, тогда будем иметь:
C3   2  z c   0
где
C  C2 / fM
Прежде чем строить поверхность нулевой скорости, необходимо
примерно оценить пределы изменения входящих в уравнение поверхности
величин, чтобы знать с каких значений до каких значений эти переменные
удовлетворяют рассматриваемой задаче.
Из исходного уравнения, т.е. поверхности Хилла находим
C2 
fM
fM
 zc
sin 

2
Видно, что для каждого значения  значение С2 принимает
минимальное и максимальное значение в зависимости от того, принимает ли
sin  значение (-1) или (+1). Таким образом, экстремальные значения С2
таковы
C2max 
fM
fM
 zc
,
i
 i2
C2min 
fM
fM
 zc
i
 i2
Из этих выражений видно, что С2 достигает наибольшего значения при
самом маленьком значении  i . Самое наименьшее значение С2 достигается
при самом большом значении  i . Право выбора этих величин для  i остается
за нами. Рассуждать будем так. Сфероидальность Земли, т.е. возмущения от
сжатия Земли можно не учитывать начиная с 60000 км, а движение вокруг
Земли вообще возможно при   RЭ . Поэтому возьмем следующие значения
для  i и вычислим нужные значения С2:
min = 7000 км, mах = 45000 км,
C2min 
C2max 
fM
 max
fM

min
fM = 398600,4 км3/с2, zc = 209,9 км
 zc
 zc
fM
( max )2
fM
(
min 2
)
 8,82 км2/с2
 58,65 км2/с2
Из рисунка 11 видно, что поверхности Хилла в целом представляют
собой симметричные относительно оси  поверхности, которые проходят
через начало координат. Каждая из них образует замкнутую снизу и
открытую сверху полость.
75
Рисунок 11 - Поверхности Хилла в плоскости .[107]
Кривые пересечения с плоскостью  описываются, как было ранее
найдено, следующими уравнениями
C ( 2   2 )3 / 2  ( 2   2 )  0
( 2   2 )[C ( 2   2 )1/ 2  1]  0
    0,
2
2
  R ,
2
2
2
 fM 
R 

 C2 
2
2
Из этих уравнений следует, что поверхности Хилла на плоскостях
перпендикулярных оси , оставляют следы в виде окружностей. Радиусы
этих окружностей уменьшаются с увеличением С2. При С2  , R  0, это
означает, что поверхность Хилла будет замкнутой при С2  . Построение
пересечений с оставшимися координатными плоскостями не вносит новых
сведений о поведении поверхностей Хилла. Остановимся теперь на областях
возможности и невозможности движения точки переменной массы. Область
возможности движения определена следующим выражением
C2 
fM fM  z c

sin   0

2
В случае эллиптического класса движения постоянная С2 < 0, поэтому
выражение области возможности движения перепишется следующим
образом:
 C2 
fM fM  z c

sin   0

2
или то же самое
C 3   2  z c   0 .
Таким образом, исходя из последнего выражения можно заключить,
что в случае эллиптического класса движений области возможности
движения при различных значениях С, будут представлены внутренней
76
полостью поверхности Хилла, а области невозможности движения
соответственно оставшейся областью, которая соприкасается наружной
стороной поверхности Хилла.
Уравнения поверхности Хилла
C3   2  z c   0 ,
 2   2  2   2
связывают между собой величины , ,  и С. Очевидно, эта зависимость
между величинами справедлива как в действительной, так и в комплексной
области изменения координат точки переменной массы. Это утверждение, по
крайней мере для координат  и  подтверждается выражением  2   2  0 ,
которое в действительной области дает  = = 0, а в комплексной области 2 =– 2 = (i)2 .
Когда координаты точки принимают значения из области
действительных чисел, всегда верно неравенство    , а когда те же
координаты будут принимать значения из области комплексных чисел, это
неравенство может и не выполняться. На самом деле, пусть  и  принимают
комплексные значения, тогда
 2   2  2   2   2   2   2 ,
  i ,
  i ,
 > 0,
 > 0,
 >
Выясним, при каких значениях С координаты  и  будут принимать
значения из области действительных чисел. Для этого используем уравнение
поверхности Хилла. Рассмотрим изменение С при = 00,  = 900. При = 00 в
случае эллиптического класса движений имеем:
C 2    0
соответственно в области возможности движения
C  1 , C( 2   2 )  1 , C  1 / ( 2   2 ) .
C 2    0 ,
Из этого неравенства следует, что изменение  и  при = 0 в области
действиетльных переменных соответствуют некоторые положительные С
меньшие или равные обратным значениям полярного радиуса ( 2   2 )  0.
При  = 900 имеем поверхность Хилла
C 2    z c  0,    sin  ,
 = 90 0 ,  =  ,
и соответственно область возможности движения
C 2    zc  0,
1.2 
1  1  4Cz c
2C
.
В случае эллиптического класса движений C > 0, поэтому при всех
положительных значениях С величина  будет действительной величиной,
причем

1  1  4Cz c
2C
,
z c = 209,9 км.
На рисунке 12 представлены поверхности Хилла при различных
значениях . Видно, что при изменении значений угла  поверхность Хилла
77
не деформируясь переносится по вертикали в зависимости от значения sin.
При С2  0 имеем    и, наоборот, при   0 имеем С2  . Это
означает, что каждая из поверхностей Хилла не пересекает осей С2, , но
неограниченно приближается к каждой из них. Остановимся на областях
возможности движения.
Рисунок 12 - Поверхности Хилла при различных значениях .[107]
Если области возможности движения точки переменной массы
переписать в следующем виде:
C2 
fM
fM
 zc
sin   0 ,

2
то плоскость, расположенная ниже кривой, есть область возможности
движения при данных значениях параметров.
Рассматривается модель гравитационной задачи Земля-спутник-Солнце
для класса сильно вытянутых траекторий полета спутника. Движение
пассивно гравитирующего тела рассматривается в поле притяжения Земли и
возмущающих сил Солнца. Предполагается, что расстояние спутник-Земля
остается малым по сравнению с расстоянием земля-Солнце. А также
перигейное расстояние орбиты мало по сравнению с апогейным. Движение
Солнца относительно Земли считается круговым [102-110].
Вводится малый параметр для рассматриваемой системы  0 
2 3
 , где
0
2 , 0 - соответственно гравитационные параметры возмущающего тела и
центрального,  - отношение больших полуосей орбит спутника
и
возмущающего тела относительно центрального. Область движения вне
сферы действия и внутри сферы Хилла центрального тела.
Рассматривается движение спутника под действием притяжения Земли
и Солнца. Движение Солнца относительно Земли считается круговым.
Выбирается геоцентрическая система координат с осью Ox, совпадающей в
начальный момент с направлением на Солнце, осью Oz направленному к
северному полюсу эклиптики. В сферических координатах r ,  ,  уравнения
задачи Хилла запишем в виде
78
U
r  r 2  r cos 2  2 
,
r
d 2
U
r   r 2 cos  sin  2 
,
dt

d 2
U
(r cos 2   ) 
,
dt

 
где
U



1
 n2 r 2 3 cos 2  cos 2 (  nt )  1 ,
r 2
n2 
GqM
,
R3
  Gm ,
G-гравитационная постоянная, m и M – массы Земли и Солнца, qредукционный праметр, R – радиус орбиты Земли. Уравнения допускают
аналог интеграла Якоби вида

r 2  r 2  2   (  2n) cos 2   n2 3 cos 2  cos 2 (  nt )  1  2 ,
r



который позволяет провести дальнейшие разработки поставленной задачи.
Исследование предложенной модельной задачи позволяет получить
качественные особенности движения на рассматриваемом промежутке
времени.
Динамические особенности движения пассивно гравитирующего тела в
поле тяготения сжатого сфероида и внешнего тела. Пусть пассивно
гравитирующее тело постоянной массы m совершает движение в поле
тяготения сжатого сфероида постоянной массы M и внешнего тела массы m1 .
Поместим начало системы координат Oxyz в центре масс сфероида, а ось O z
совместим с осью вращения последнего, тогда полагая оси Ox, Oy не
подвижными силовую функцию задачи можем записать в следующем виде:
f M  m f C  A 2
(211)
x  y 2  2 z 2   1 vr 2  1 v  v z 2 ,

5
r
2r
2
2
A  B  C;
C  A , A, B, C - главные момент инерции
где m  M ;
U
сжатого сфероида, x, y, z - координаты пассивно гравитирующего тела, а r соответственно его радиус вектор.
r   2  2 z c sin  z c2 

(212)

zc
tg  tg  sec



Из условия m  M следует, что в (212) массой m можно пренебречь. Масса
*
m1 входит в параметры v и v  . В выражении (212) первое слагаемое
характеризует поле тяготения сферической части сфероида, второе то, что
осталось от сферы, а остальные члены поле тяготения внешнего тела.
Выполним замену переменных В.Г. Демина
(213)
x  ,
y  ,
z  zc   ,
где z c  209,9 км, и перейдем к сферическим координатам
   cos cos ,    cos sin ,    sin
(214)
79
тогда после сохранения величин порядка I 2 в разложениях (132) в степенной
z 
ряд относительно  c  , где r0 - средний экваториальный радиус Земли,
 r0 
получим:
 fMzc
1
1
(215)
U 
sin  v 2  v1  v  2 sin 2 
2


2
2
где   fM ,
 2   2  2   2.
Соответствующие уравнения движения имеют вид:




d
 2 fMzc
2

   2   2 cos2    2 
sin




3

sin

,
dt

3


d 2 
2

   cos    0,


dt 




fMzc
d 2 
2
2
cos  3 2 sin  cos , 
       cos sin  
2

dt 


и существует интеграл энергии



 2   2  2   2 2 cos2  
2


2 fMzc

2
(216)
sin    2  3 2 sin 2   h1 (217)
Дифференциальные уравнения (28) допускает частное круговое
движение

при условиях:
   0 ,    0 , 0  0,   
(218)
   03  9v  3 2 sin 2  0  v   2 
fMzc   04 3v   2 sin 0
(219)
(220)
Таким образом, спутниковая модель задачи трех тел в рассматриваемых
вариантах допускают существование частных решений – круговых движений
спутника в поле тяготения центрального тела и под действием возмущений
со стороны внешнего тела.
Анализ динамических особенностей гравитационной задачи Земляспутник-Солнце, дифференциальные уравнения пассивно гравитирующего
телав поле тяготения Хилла в случае малого наклона орбиты к основной
плоскости.
Для случая малого наклона орбиты к основной плоскости, U - силовая
функция второй промежуточной орбиты Хилла имеет вид:
U

1
1
  0r 2   0  0 z 2
r 2
2
Введем новые переменные:
x  x1 , x  x2 , y  x3 , y  x4 ,
 0  const,
z  x5 , z  x6 ,
 0  const .
80
r 2  x12  x32  x52 ,
дW
 t  1 ,
дh1
дW
 2 ,
дh2
дW
 P ,
д
дW
 P ,
д
дW

 3 , 
дh3


дW
 P ,

д

(221)
Первые интегралы дифференциальных уравнений (221) в новых
переменных имеют вид:
x1 x 2  x3 x 2  C , x 22  x 42  x62  2U  h,



1
1
  0 x12  x32  x52   0   0 x52
2
x12  x32  x52 2
U
Положения равновесия пассивно гравитирующего тела в поле тяготения
Хилла, для определения положений равновесия изображающей точки в
(шестимерном) фазовом пространстве Ox1 ...x 6 необходимо (и достаточно)
исследовать дифференциальные уравнения движения, полагая скорость
изображающей точки равной нулю. То есть необходимо рассмотреть
следующие уравнения:
dx3
dx 2
dx 4
 0,
 0,
 0,
dt
dt
dt
dx1
 0,
dt
dx5
dx6
 0,
 0,
dt
dt
1
1

x2  0,  vo   3  x1  0, x4  0,  vo   3  x3  0,


r 
r 

1
 vo    x5  0.
r3 

Из уравнений первой строчки следует, что все координаты в
положении равновесия изображающей точки равны некоторым константам,
из остальных уравнений видно, что
x6  0.
x1  0,
x 2  0,
x3  0,
x 4  0,
x5  0,
Дальнейшее уточнение приводит к двум положениям равновесия:
x 6  0,

r 0   x10
  x   x  
2

0 2
3
1/ 2
0 2
5
x20  0,
,
    
r 1  x11  x31  x51
Если теперь учесть, что
2
2
r
0 
2 1/ 2


 
v
 0
,
x x04  0,
x12  0,
1/ 3
,
r
1
x14  0,


 
v
 0
x60  0;
x61  0,
1/ 3
,
а равенства
x 20  0,
x40  0,
x60  0,
x14  0,
x16  0,
лишь устанавливают факт
x10  const,
x30  const,
x50  const, x11  const,
x51  const,
81
x31  const,
то можно утверждать, что положения равновесия изображающей точки представляют собой концентрические вложенные одна в другую шаровые
поверхности соответственно радиуса r 0  и r 1 . Далее получим
1/ 3
r


( 0)   
 0 
1/ 3
,
r


(1)   

 2 0 
,
r ( 0)  r (1) ,
следовательно, сфера с радиусом r 0  внешняя, а с радиусом r 1 внутренняя
поверхность, где расположены положения равновесия изображающей точки.
Исследование устойчивости положений равновесия пассивно
гравитирующего тела в поле тяготения Хилла, для установления характера
положений равновесия пассивно гравитирующего тела используем интеграл
энергии:
V 2  x 2 2  x 2 4  x 26  2U  h
(222)
Области возможности движения соответствует неравенство
U+h>0,
(223)
а области невозможности движения соответствует неравенство
U+h<0.
(224)
В положении равновесия x2  x4  x6  0, поэтому имеем
U x1, x2 , x3   h  0,
(225)
где
U

1
  0 r 2  0   0 x52 .
r 2
2
Также следует отметить, что в положении равновесия U  0, то есть
r
 0r 

 0.
(226)
r2
Из (59) получим положения равновесия пассивно гравитирующего тела:
1/ 3
r
(0)


  ,

 0
1  b  0,
1/ 3
r
(1)




2

0

,
1
b ,
3
0  


2
, и
408 
,
1125
где  - широта возмущающего тела.
В положении устойчивого равновесия потенциальная энергия должна
иметь минимум, то есть
  2U 
 2 
 0,
dr
(
0
)

 r r
 2
1 
2
Из R2       ,
2

R1  0,
  2U 
 2 
 0.
dr
(
1
)

 r r
1
c2
R0    2
имеем
2  cos2 
82
(227)
  2U 
 2 
 3 0  0,
dr
(
0
)

 r r
1 b  0
  2U 
 2 
  0  20  0,
dr

 r  r (1 )
0
 0  2,

,
2
  0.
Таким образом, первое положение равновесия
1/ 3
e( 0)   / 0 

2
устойчиво на интервале 0    . Это положение равновесия представляет
собой серию концентрических окружностей, радиусы которых расположены
в следующем интервале:

0 ,
2
 2a 23

 fm
2





13
r
0 
 4a 23
 
 fm 2




13
(228)
Окружность с наименьшим радиусом находится в плоскости Ox1 x3 , а с
наибольшим радиусом в плоскости Ox1 x5 , а остальные окружности
заполняют плотно пространство между ними, оставаясь концентрическими и
непрерывно возрастая в радиусе по мере увеличения широты  от 0 до /2.
Для заданной долготы и широты возмущающего тела будем иметь одну
конкретную окружность в качестве устойчивого положения равновесия, дело
обстоит еще сложнее со второй серией положений равновесия пассивно
гравитирующего тела. Надо установить, при каких значениях параметра b и
широты  выполняются неравенства  0  2 ,    0 . Следует отметить, что
только при выполнении этих условий вторая серия положений равновесия
будет устойчивой.
Подставляя в  0  2 ,    0 выражения
0 
fm2 1  b 
,
4a23
 0 
fm2 1  3b 
2a23
находим, что вторая серия положений равновесия будет устойчивой, если
1
параметр b находится в следующем интервале 0  b  .
3
При b =1/3, = 65° 17', при b = 0,  = 90°, поэтому вторая серия
положений равновесия будет устойчивой, если широта возмущающего тела
находится в следующем интервале 65°17'  90°.
Следовательно, первая серия положений равновесия устойчива при,
0 ≤ φ ≤ 900 вторая серия положений равновесия неустойчива на
интервале 0 < φ < 65017' и устойчива на интервале 65017' ≤ φ ≤ 900 .
Неустойчивые положения равновесия невозможно реализовать,
поэтому далее второе положение равновесия радиуса r 1 можно и не
рассматривать.
83
Для каждого значения долготы и широты возмущающего тела мы
будем иметь одну единственную окружность в качестве устойчивого
положения равновесия пассивно гравитирующего тела при всевозможных
начальных условиях. Для заданных конкретно долготы, широты
возмущающего тела и начальных условий пассивно гравитирующего тела
будем иметь одно единственное положение равновесия, т.е. точку на
окружности, который расположен в пространстве Ox1 x 2 x3 .
Анализ областей движения в гравитационной задаче Земля-спутникСолнце, поверхности нулевой скорости движение спутника происходит в
поле притяжения Земли и возмущающих сил Солнца. Рассмотрим
приближение к реальному движению по радиус-вектору для случая малых
возмущений и равенства нулю начального момента количества движения.
Для получения качественной картины движения учтем, что для траекторий с
максимальным rm можно считать постоянной величину    m  0  n'tm , где
t m момент времени, для которого r  rm [26, 122, 123]. Здесь время полета до
rm и сама величина  m зависят от начальных условий. Предполагается для
таких радиальных движений   0  const,   0  const. Тогда уравнения
движения задачи r 
V
, где
r

1
 n'2 r 2 (3 cos 2 0 cos 2  m  1),
r 2
2

имеют первый интеграл r  2V  2h, где h- постоянная. Качественный анализ
V 
и определение областей возможных изменений радиус-вектора спутника
можно провести используя аналог поверхностей Хилла V  h  0 .
Ограничимся рассмотрением движений при h <0, и для которых
rmax  1,0  1,5 млн.км. В результате получаются возможными случаи
ограниченного движения внутри кривых нулевых скоростей и случаи
неограниченного движения, которые определяются введенным ранее малым
параметром  0 задачи. На рисунке 14 приведены результаты для траекторий
внутри интервала в 2 млн. км, охватывающего сферу Хилла для
рассматриваемой спутниковой задачи.
84
Рисунок 14 - Траектории внутри интервала в 2 млн. км, охватывающего
сферу Хилла для спутниковой задачи.[107]
Случай ограниченных движений реализуется для rmax  1,0 млн.км.
Поскольку рассматриваемая задача по методу и результатам аналогична
спутниковым задачам при наличии возмущений и ограниченной задаче трех
тел в различных ее формулировках, то как и следовало ожидать аналогичны
и результаты качественного анализа поверхностей Хилла в рассматриваемой
спутниковой задаче и в окрестности одного из гравитирующих центров в
ограниченной задаче трех тел.
Построение гравитационной модели Земля-Солнце-космический
аппарат для задач динамики космического полета. Ограниченная задача трех
тел небесной механики применяется для построения гравитационной модели
Земля – Солнце - космический аппарат. Движение космического аппарата
рассматривается как движение пассивно гравитирующего тела в поле
притяжения Земли и Солнца [106-111]. Движение основных тел,
соответствующих модели ограниченной задачи трех тел, считается заданным,
и соответственно задается малый параметр-отношение масс основных тел.
Вводится малый параметр для рассматриваемой системы  0 
2 3
 , где
0
2 , 0 - соответственно гравитационные параметры возмущающего тела и
центрального,  - отношение больших полуосей орбит спутника и
возмущающего тела относительно центрального и область движения вне
сферы Хилла центрального тела.
Уравнения движения пассивно гравитирующей материальной точки во
вращающейся барицентрической системе координат Oxyz, плоскость xy
которой совпадает с плоскостью движения основных тел, а ось x все время
проходит через эти точки, аналогично [112], имеют следующий вид:
85
x  2y   2 x  1
x  x1
xx
 2 3 2 ,
3
r1
r2
y  2x   2 y  1
y
y
 2 3 ,
3
r1
r2
z   1
z
z
 2 3 .
3
r1
r2
Здесь r1 , r2 - расстояния притягиваемой точки от основных тел,  - их
угловая скорость движения, и 1  Gqm1 , 2  Gm2 , где G – гравитационная
постоянная, mi − массы основных тел, q – редукционный параметр.
Исследуется случай изменения параметра q в интервале 0 < q  1.
Динамические особенности е гравитационной модели Земля-Солнцекосмический
аппарат.
Определяются
динамические
особенности
гравитационной модели Земля – Солнце - космический аппарат. Движение
космического аппарата рассматривается как движение пассивно
гравитирующего тела в поле притяжения Земли и Солнца. Движение
основных тел, соответствующих модели ограниченной задачи трех тел,
считается заданным, и соответственно задается малый параметр-отношение
масс основных тел.
Уравнения движения обладают интегралом Якоби вида
V 2  2  C ,
(229)
где

2
x
2
2

 y2  z2 
1
r1

2
r2
,
(230)
r1  ( x  x1 ) 2  y 2  z 2 ,
x1  
2
r12 ,
0
x2 
2
r12 ,
0
r12 - расстояния между основными телами, С – постоянная интеграла
площадей.
Дополнительно рассматривается класс движений, для которых
учитывается влияние редукционного параметра, связанного со световым
давлением. Найденный аналог интеграла Якоби для гравитационной задачи
Земля-Солнце-космический аппарат позволяет определить частные решения
модели- точки либрации. Это прямолинейные и треугольные частные
решения. Полученный результат дает возможность повести качественный
анализ областей движения в рассматриваемой модельной задаче.
Анализ динамических особенностей гравитационной задачи ЗемляСолнце-космический аппарат.
Исследование
устойчивости
круговых
орбит.
Система
дифференциальных уравнений движения в поле тяготения Хилла допускает
частное решение
  0,    0 , z  0,
z  0,
(231)
  0 ,
86
которому соответствует круговое движение в основной плоскости.
Необходимое и достаточное условие устойчивости круговых орбит в смысле
Ляпунова были даны В.Г. Демином
 ''
3 '
''
'' 2 
U zz (U   p U z )  U z   0

0
 ''

3
U   U '   0, U zz''
p

0
 
0
0
Выполняя эти условия для частного решения    0 ,
что они устойчивы, если
0  3  / 0 , 0  3  / 4 0
где  0 
fm 2 (1  b)
 0 
(232)
fm 2 (1  3b)
,
4a 23
2a 23
В нашем случае круговая орбита лежит в основной плоскости, т.е. в
плоскости возмущающего тела, поэтому
b  1,
  0,
,

   получим,
 0  fm 2 / 2a 23 ,


 0  fm 2 /  a 23  0.
В силу этих соотношений необходимые и достаточные условия
устойчивости круговых орбит пассивно гравитирующего тела принимают
вид:
1/ 3
 2a23 

 0  0,62996  

fm
2 

(233)
Сопоставляя условие (65) с (66), можно отметить, что в основной плоскости устойчивые круговые орбиты расположены ближе к центральному
телу, чем устойчивые круговые положения равновесия
1/ 3
 2a23 

0,62996  

 fm 2 
1/ 3
 2a23 
 .
   

 fm 2 
(234)
Анализ областей движения в гравитационной задаче Земля-Солнцекосмический аппарат: поверхности нулевой скорости в гравитационной
задаче Земля-Солнце-космический аппарат. Применение интеграла Якоби
для выяснения некоторых общих свойств относительного движения малой
массы путем построения и исследования поверхностей нулевой скорости
ограниченной задачи трех тел было указано Хиллом. В его честь эти
поверхности называются поверхностями Хилла [106-114, 122].
Поверхность Хилла определяет, те области вращающегося
пространства, в которых может происходить движение «нулевой массы».
Поэтому, хотя интегрировать уравнения движения даже круговой
задачи не удается, знание этих областей дает все же некоторые сведения о
характере движения.
87
При этом нужно иметь в виду, что так как постоянная С
(постоянная интеграла Якоби) однозначно определяется заданными
начальными условиями, то каждой совокупности начальных условий
соответствует единственная, вполне определенная поверхность Хилла,
которая может состоять, впрочем, из нескольких отдельных полостей.
Нами рассматриваются поверхности Хилла в ограниченной
нестационарной
фотогравитационной
задачи
трех
тел,
причем
гравитационные параметры двух притягивающих тел изменяются
изотропно по объединенному закону Мещерского.
Уравнения движения пассивно гравитирующей материальной точки во
вращающейся барицентрической системе координат Oxyz, плоскость ху
которой совпадает с плоскостью движения основных тел, а ось х все
время проходит через эти точки, с помощью преобразования

 
r ( x, y, z)  0   ,,   ,

2

 
d = 
 0


2

 


 dt,     0,
 0 


(235)
 i = Gqi M i , i  1,2, 0 < q i <1,
0
 t   1 +  2 =
t 2  2 t  
,
где  - угловая скорость основных тел, qi -редукционные параметры,
функции времени, М - массы основных тел, функции времени, приводятся к
автономному виду

,


  2 0  
,


  
,

2 0  
  -
(236)
где

 02 
2

2

2   2 
 02 2
2

01 02

1  2
 i     i    2   2 , (i = 1,2)


 1 = - 02 12,
 2  01 12 .
0
0
2
(237)
Здесь 12 ,  - постоянные, определяемые движениям основных тел:
r 12  =  C 2
88
(  > 0),
(238)
причем С- постоянная интеграла площадей; r 12 - расстояние между
основными телами.
Единицы измерения выберем так, чтобы в координатах Нехвилла (
 ,,  , ) расстояние 12 между основными телами  01 и  02 и суммарная
масса  0 были равны единице, тогда для угловой скорости  0 и параметра
 следует соотношение  0 2  1 . Кроме того, введем массовый параметр  :

 02

, 1    01 ,
0
0
(0< 
1
)
2
Система V  F1  F1 0  F2  F2 0  xF22  F22 0 (239) имеет первый
интеграл, который в принятых единицах запишется в виде
V 2  2  С
1
1  
  1 ( 2   2 )  1 (1  ) 2 

,
2
2

1 2
где V 2    2    2    2  скорость относительного движения; С- постоянная
Якоби.
Полученный интеграл есть аналог интеграла Якоби ограниченной
задачи трех тел переменной массы.
Отметим, что полученный интеграл отличается от интеграла
Якоби классической ограниченной задачи трех тел наличием в правой

1


части члена 1   2 , что обуславливает изменение вида поверхности Хилла.

Полагая в (239) V = 0, получим поверхности нулевой скорости 2  C ,
которые в пространстве  ограничивают область возможного движения
исследуемого тела.
Аналог интеграла Якоби дает возможность вычислить скорость V
движущейся точки, если задано ее положение в пространстве и, наоборот,
можно определить координаты движущейся точки, если задана скорость V.
Границы области возможного движения определяет уравнениями
S 
U
S
T
B
,T  
, B 
,
Gm0 n
Gm0 u
Gm0 u
n
 fMz c
1
1
 2 sin  v 2  v1  v  2 sin 2  .

2
2

( 0)
 mg h dx  ,
(h)  nc  exp 


 k 0 T ( x) 
Переходя
к
исходному
пространству-времени (x,y,z,t) с помощью преобразования


fMzc  04 3   2 sin 0
(240)
приходим к выводу, что знание координат и скоростей и областей
возможного движения по формулам (240) дает к тому же области
возможного движения в исходных координатах. Следовательно, чтобы
знать области возможного движения в переменных (x,y,z,t) необходимо
сначала исследовать поверхность Хилла. В случаях   1, поверхности Хилла
переходят в поверхности классической ограниченной задачи трех тел.
Поверхности Хилла в рассматриваемой задаче имеют более сложный вид,
89
содержат два параметра -  и  . Они симметричны относительно
плоскостей  и  . Если  1 / 2 , то в этом частном случае равных масс
основных тел поверхность Хилла обладает тремя плоскостями симметрии: к
указанным плоскостям симметрии добавляется плоскость симметрии  .

Стационарные решения уравнений
(точки
  0 ,
  0 ,
 
либрации) рассматриваются как особые точки поверхностей Хилла.
Поверхности нулевой скорости, для каждой величины постоянной Якоби
С мы имеем отдельную поверхность. Для построения поверхностей нулевой
скорости необходимо установить координаты всех особых точек, поведение
поверхностей Хилла в окрестности особых точек и основных тел,
расположения особых точек по возрастанию постоянной Якоби.
Анализ уравнения, представляющего аналог интеграла Якоби,
проведенный так же как в классическом случае проблемы, позволяет
представить качественный характер и свойства поверхностей Хилла. Как и
в классическом случае при очень большом значении постоянной Якоби
С уравнение удовлетворяется при достаточно больших значениях одного
из членов в выражении для  . Причем при анализе нужно отдельно
выделять случай больших и малых значений координаты  и учитывать
набор различных значений параметра  . Для каждой величины
постоянной Якоби С имеем отдельную поверхность. Для поверхностей Хилла
и особые точки даются уравнениями
   0,
  0,
(241)
   0.
Физический смысл особых точек вытекает из уравнений (169),
откуда видно, что в этих точках
        0,
        0,
(242)
т.е. это положения относительного равновесия в координатах Нехвилла
или точки либрации. Таким образом, в точках либрации выполняются
условия (169), это есть необходимое условия существования экстремума в
особых точках. Для достаточности существования экстремума к уравнениям
(169) добавляется следующее условие: квадратичная форма поверхности
должна быть положительно (отрицательно) определена, тогда в особой
точке имеет место минимум (максимум). А для положительной
определенности квадратичной формы необходимо, чтобы все главные
миноры матрицы были положительны - критерий Сильвестра.
  

А=  

 
 

 
 

 





(243)
Исследования для прямолинейных и треугольных точек либрации
проводятся так же как и в классическом случае [102-114], поэтому
90
рассмотрим компланарные точки и покажем, что в них поверхность нулевой
скорости имеет минимум.
Для компланарных точек либрации имеем
  0  

(244)

 0,
 0
поэтому матрица квадратичной формы будет
  

А=  0

 
Для
величин
решениям, имеем
0

0
 ,  ,  ,  ,
 
0
 





соответствующим
(245)
компланарным
  0,
   0,
(246)
      2  0.
Из критерия Сильвестра следует, что квадратичная матрица
поверхности положительно определена, поэтому в компланарных точках
либрации L6 и L7 будет абсолютный минимум. Знание точек либрации и
выражение (169) для поверхностей нулевой скорости позволяет провести
качественный анализ поверхностей Хилла для различных значений
параметров  и  .
Рассмотрим изменение формы поверхностей Хилла в зависимости
от величины С.
Поверхность Хилла
2(1   ) 2
 2   2  (1  1  ) 2 

 С,
1
2
(247)
при   1 дают классические поверхности нулевой скорости. Для
больших С при   1 поверхность состоит из трех отдельных
поверхностей. Это квазицилиндр, заключающий в себе две квазисферы с
центром в 1 и  2 . При x   внешний цилиндр превращается в сферу:
 2 2   2  С
(248)
При     1 внешняя поверхность есть эллипсоид вращения, вытянутый
вдоль оси O :
 2   2   2 (1- 1  )=С
(249)
При   1 внешний эллипсоид, вытягиваясь, стремится к цилиндру.
Поверхности Хилла мало отличаются от классического случая.
При   1 коэффициент при  2 становится отрицательным, внешняя
поверхность представляет однополостный гиперболоид. На рисунках 15, 16
представлены кривые нулевой относительной скорости.
91
Рисунок 15 - Кривые нулевой относительной скорости в плоскости  .[107]
Рисунок 16 - Кривые нулевой относительной скорости в плоскости  .[107]
При уменьшении С внешняя поверхность сжимается, а
внутренние квазисферы будут при этом увеличиваться и при некоторых
значениях С каждая пара этих поверхностей будет иметь общую точку. При
дальнейшем уменьшении С поверхность Хилла становится двуполостной и
далее полости стягиваются в точки 𝐿6 и, 𝐿7 расположенные
симметрично относительно плоскости  . Кривые нулевой скорости дают
наглядное представление о поверхностях Хилла в рассматриваемой задаче.
92
4 Вычисление координат эллиптического, гиперболического, кругового
движения в поле тяготении Хилла
4.1 Вычисление координат эллиптического движения
В исследуемых раннее спутниковых задачах проводился качественный
анализ движения спутника. Если учесть, что С  0, то из выражения
   0 C 6 /  4 , 0 > 0 следует, что  > 0. С другой стороны, условие С  0 дает
возможность судить о характере величины Н. Из выражения H  2hC 2 / 
следует, что при С  0 в силу знака постоянной интеграла живых сил, Н
может быть равным нулю, меньше и даже больше нуля, т.е. либо Н < 0, либо
Н = 0, либо Н > 0. Варьируя параметры  и Н получим следующую
классификацию типов движения [115, 124]:
1. Прямолинейное движение при  = 0, Н =0.
2. Параболический тип движения при  > 0, H = 0.
3. Эллиптический тип движения при  > 0, H < 0.
4. Гиперболический тип движения при  > 0, H > 0.
5. Круговой тип движения при  > 0, H < 0, e = 0,
где е – эксцентристет орбиты пассивно гравитирующего тела.
К таким же типам движений, после основательного исследования корней
полинома G4 ( w)    Hw 2  2w 3  w 4 , приходит и Б.М.Щиголев.
Он предлагает замечательный метод исследования расположения корней
полинома G4 ( w) . Он разбивает полином G4 ( w) на постоянную  и
переменную часть P( w)  Hw 2  2w 3  w 4 , затем строит графики при
различных значениях Н, откладывая по горизонтали w, а по вертикали P(w).
В каждом случае опуская по вертикали на величину  ось абсцисс, находит
достоверные выводы о расположении корней полинома. Несомненно, метод
эффективен для обнаружения количества и границ действительных корней
полинома. Действительным движениям пассивно гравитирующего тела будут
соответствовать интервалы между корнями полинома, где значение
полинома положительно. В исследовании Б.М.Щиголева остаются в тени
комплексные корни полинома, хотя они укладываются в область
возможности движения, и что примечательно это относится и к
отрицательным корням полинома.
По сути величина w в реальной задаче не может быть отрицательной и
тем более комплексной, но дело в том, что даже при комплексных корнях
полином обращается в нуль, и следовательно, до достижения значения этих
корней полином остается положительным, т.е. интервалы содержат часть
области возможности движения, таким образом, из-за того, что корень
отрицателен или комплексный, видимо, не имеет смысла отбрасывать
существующую область возможности движения.
Вычисление геоцентрических координат эллиптического движения, в
рассматриваемом случае >0, H<0, поэтому имеем:
2
93
wdw
d 
  Hw 2  2 w 3  w 4
,
(250)
По результатам Б.М.Щиголева имеем возможность проследить за
характером изменения переменной части подкоренного полинома.
В области –0,75  Н > –1,25 перемещая ось абсцисс на величину  вниз
можно убедиться в наличии трех положительных корней полинома G4 ( w) .
Оставшийся единственный корень будет отрицательным, ибо комплексные
корни встречаются парами, т.е. сопряженными. Таким образом можно
считать, что полином G4 ( w) в нашем случае имеет три положительных и
один отрицательный корень. Расположим эти корни следующим образом:
1   2   3   4
здесь через  4 обозначен отрицательный корень. Полином (полный)
положителен на интервалах А.  4  w   3 B.  2  w  1 .
Следовательно, они составляют область возможности движения. Полный
полином в области  3  w   2 отрицателен, следовательно, в ней движение
невозможно.
На интервале  4  w   3 справедливо следующее преобразование к
нормальной форме Лежандра:
d 
  wd
1  k sin 
2
2
,
(251)
где
w
 4  31   1 43 sin 2 
 31   43 sin 2 
 ik   k   i ,
=
2
(  31 42 )1/ 2
,
i  1,2 ,3,4 ,
w  4 ,
 = 0,
w = 3 ,
k 2   43  12  13  42 ,
   / 2,
0 <k <1,
,
Преобразуем выражение для k 2 следующим образом:
k2 
 3   4  2   1  3   4  1   2  43  21




;
 3   1  2   4  1   3  2   4  31 42
Преобразуем выражение для w следующим образом. Заменим синусы в
числителе и в знаменателе через косинусы, затем выделим перед косинусами
в коэффициентах k2, после этого разложим знаменатель в ряд по степеням k,
пользуясь биномиальным рядом, в котором 𝑛 =– 1, тогда умножив
полученный ряд на числитель, сохранив величины порядка k4 найдем:
2


  31 42 
  31 42 
2
2
4
4 
w   1   13  1  k 
cos


k
cos

,



  41 21 
  41 21 




94
  31 42 

  1,
  41 21 
 31
 1,
 41
(252)
2
  31 42    31 42 

 
 ,
  41 21    41 21 
 42
 1,
 21
Используя выражение (252) и выражение   C 2 / w , найдем полярный
радиус
(253)
   00  k 2 12 cos 2   k 4  24 cos 4  ,
 00
C2

,
 3
12   00
2
2
 31
  42 

,
 3   41 21 
12
  42 
  00 
 
  41 21 
  1 331  32 .
Подставив (253) в (251), проинтегрировав от нуля до переменных
верхних пределов, имеем:
   00  k 2  02  k 4  04   k 2 12  k 4 14 sin 2  k 4  24 sin 4 , (254)

 

где
 00   3  ,
3 321 242 
,

2
2 
 41 21 
 24
 02
2
1   3  31 42 
 

,
2  2  41 21 
 12
2
1   31 42 1 

  
 3 ,
4   41 21 2 
 04
2
1  9 3 1  31 42
 


8  8
2  41 21
 14
3
2
1   21 42 3 
  
 3 ,
4   241 221 8 
2
3
2
1  3
1  31 42  21 42 

3 

.
32  8
2  41 21  241 221 
Найдем зависимость t  t (  ) . Имеем:
dt 
C3
2
  w 1
d
1  k sin 
2
2
.
Проинтегрировав от нуля до верхних переменных пределов, сохраняя
члены ряда до O(k4) порядка малости, находим искомую зависимость
t  t 00  k 2 t 02  k 4 t 04   k 2 t12  k 4 t14 sin 2  k 4 t 24 sin 4 ,
(255)

 

где
t 00 

C3
 3 2
3 321 242
 3  241 221
,

t 02
2
1
 31
 42 
1

,
 t 00  

2
2



3 41 21 

3 421 242
 32  241 221
9
  ,
8
t 12
95
t 04
2
  31
 42
1

 t 00 

8
  3  41 21
2
  31
 42
1
1

 t 00 
  ,
4
  3  41 21 2 
3
2
 421 242
1   21 42
1
,
t 14  t 00 


4   3  241 221  23  241 221 2 

 431 242
 231 42
 2 2 2 
 1 .
 3  41 21  3  41 21 
t 24
  321 242
1

t 

32 00   3  241 221
Обратив уравнение (255), найдем зависимость  от t. Для этого
используем решение уравнения Лагранжа. Искомая зависимость имеет вид:
   00  k 2  02  k 4  04 t  k 2  12  k 4  14 sin 2t  k 4  24 sin 4t ,
(256)

 

здесь
1
 00  t 00
,

2
 02   t 02 t 00
,

1
1
 14   t 00
t 02 t12 t 00
 t 04 ,


2 2 1
 04  t 00
t 02 t 00  t 04 ,


1
 12   t 00
t12 ,
1 2
 24  t 00
t12  t 24 .
Таким образом, выражения (253) и (254) посредством (256) определяют
координаты пассивно гравитирующего тела в случае А эллиптического типа
движения.
Вычисление полярных координат эллиптического движения, в случае А
эллиптического типа движения на интервале (4,3) в соответствии с
полученными результатами используя эти выражения найдем:



dt  t 00  k 2 t 02  2k 2 t12 cos 2 d ,
   00 
 2   002
(257)
1 2
1
k 12  k 2 12 cos 2 ,
2
2
1  k 2 (12 )  k 2 (12 )cos 2 ,

(258)


(259)
 2   00  k 2  02  k 2 12 cos 2 ,
где

2
 00   200 t 00
,

1
 02  2 00  02  001  t 02 t 00
,
(260)


1
 12  4 00 12  001  t12 t 00
.
Подставив выражения (257), (258), (260), в первое из уравнений движения,
получим:
d 2
d
2
  00  k 2  02  k 2  12 cos 2 ,


2
2
 00  t 00
 00  00   00
   0  00   0V ,  02 
1
2
2
 00 12 t 00
  02  00 t 00

2
1
2
2
 0 12 t 00
 2t 00 t 02  00  00  2t 00 t 02  00
  2t 00 t 02  0  00 
2
1
1
2
2
2
2
2
2t 00 t 02  0V , 12   00 12 t 00
  12  00 t 00
 12  00
t 00
  0 12 t 00

2
2
2
2t 00 t12  00  00  2t 00 t12  00
  2t 00 t12  0  00  2t 00 t12  0V .
2
2
12  00
t 00

96
(261)
Проинтегрировав дифференциальное уравнение (261) получим:
  A  B 


1
1
 00  k 2  02  2  k 2  12 cos 2 ,
2
4
(261)
где А и В - постоянные интегрирования.
Теперь перепишем второе уравнение для полярного угла в следующем
виде:


d
  00  10  k 2 12   k 2  22 sin 2  k 2 32 cos 2  k 2  42  cos 2 , (263)
d
где


 00   002 D t 00  k 2  t 02  t 00 12  ,
2
10   002  0V t 00
,
12   0V t 00  002  2t 02  t 00 12  ,  22  t 00  002 t12  0V ,
32   002 D 2t12  t 00 12  ,
42   002  0V t 00  2t12  t 00 12  .
Проинтегрировав дифференциальное уравнение (242), получим:
   00  


1
1 1
1

10  k 2 12  2  k 2   42   22  cos 2  k 2 32 sin 2 

2
2 2
2
1
(264)
 k 2  42  sin 2  E ,
2
здесь D и Е - постоянные интегрирования [122].
Перепишем выражение (256), сохраняя члены вплоть до O(k2)


   00  k 2  02 t  k 2  12 sin 2t .
(265)
Таким образом, выражения (262), (263), (265) определяют полярные
координаты пассивно гравитирующего тела в случае А эллиптического типа
движения с точностью O(k2).
Вычисление цилиндрических координат эллиптического движения, на
интервале (  4  w   3 ) цилиндрические координаты спутника имеют вид:

2
   00  k 2 02  k 4 04 u  k 212  k 214 sin u  k 4 24 sin
u     (266)
K
K

2
   00  k 2  02  k 4  04   k 2 12  k 2 14 cos u  k 4  24 cos u     (267)
K
K

2
(268)
u  u 00  k 2 u 02  k 4 u 04 t  k 2 u12  k 4 u14 sin t  k 4 u 24 sin
t  
K
K
Из выражений (266-268) видно, что полярный радиус не содержит
вековых членов, а полярный угол пропорционален времени.
Теперь координата z - пассивно гравитирующего тела может быть
определена по формуле:
(269)
z  s
где s и  определены выражениями (267) и (268).
Найдем тангенс широты:
97


q2 
1
1


s  A1  2


  cosc0    
2
2
c0  1  q0  

 c0  q0  c0  1  q0
q1
q

cosc0  1     2 1 cosc0  1    
2
c  q0 
c0  1  q0


 



q12
1
 q 2 
cosc0  2    

2
2




c

1

q
c

1

q

0
0 
0
0
2


q1
1
(270)
 q 2 
cosc0  2       

2
2




c

1

q
c

1

q

0
0 
0
0

2
c0  1  q0  1  q12 ,  
u;
2K
Координата z определяется как произведение  на s .


где





4.2 Вычисление геоцентрических координат гиперболического
движения.
Предлагается метод определения полярных координат пробного тела в
функциях Якоби во второй задаче Хилла в случае гиперболического типа
движения [129, 132].
В работе [119] была решена вторая задача Хилла для параболического
типа движения пробного тела в функциях Якоби. Теперь, используя
разложения функции Якоби в ряды Фурье, найдем полярные координаты
пробного тела в случае гиперболического типа движения.
В случае гиперболического типа движения пробного тела
дифференциальные уравнения движения в переменных Хилла имеют вид
[119]
d 
dt  2
,

d c
wdw
 w4  2w3  Hw2  

vc6
4
,
H
,   0, H  0 ,
2hc 2
2
,
c2
,
w

(271)
(272)
где  2  x 2  y 2 ; с – постоянная интеграла площадей; h – постоянная
интеграла энергии; w – переменная Хилла;  – истинная долгота; t – время; 
и Н – постоянные параметры;  – произведение постоянной тяготения на
сумму масс центрального и пробного тела.
Для разделения вида корней подкоренного полинома
G4 (w)  w 4  2w3  Hw2  
приведем теорему Декарта из алгебры [120].
Теорема Декарта. Число положительных корней уравнения G4 (w)  0
равно или на четное число меньше числа перемен знака в ряде
коэффициентов этого уравнения, причем равные нулю коэффициенты просто
не считаются.
98
Следствие II. Если в уравнении между двумя членами отсутствуют t*
рядом стоящих членов, то при четном t* уравнение имеет, наверное, t*
комплексных корней , а при t* нечетном (t*–1) комплексных корней, если
коэффициенты тех двух членов в промежутке между которыми отсутствует
t* членов , имеют разные знаки, и (t*+1) комплексных корней, если эти
коэффициенты имеют одинаковые знаки.
В ряду коэффициентов G4 (w)  0 одна смена знака, следовательно, число
положительных корней равно 1.
Между членами Hw2 и  отсутствует член 0  w , поэтому число
комплексных корней равно 2. Всего корней 4, следовательно, на долю
отрицательных корней остается число 1.
Таким образом, имеем один положительный корень 1, один
отрицательный корень 2 и два комплексных корня  3  b1  ic1 ,  4  b1  ic1 .
Теперь перейдем от (271) к нормальной форме Лежандра [121]:
d   *
wd
1  k sin 
2
2
, 0  k 2  1,
(273)
на интервале  2  w  1 полином G4 (w)  0 и


 cos 1 1  w
, 1  ,  2  ,


2
2
2 cos  2 w   2
  2
1
k 2  sin 2 1
, * 
cos 1 cos  2 ,
2
c1
1
1
b1  0 , c1  0 , tg 1  (1  b1 ) , tg  2  ( 2  b1 ) .
c1
c1
tg 2
(274)
Введем функции Якоби [122]
du 
d
1  k 2 sin 2 
, sin   sn u , cos   cn u ,   am u , dn u  amu
(275)
Функции Якоби sn u, cn u, am u допускают следующие разложения в ряды
Фурье
am u   0 
k2
8

k2 
k4
1 
 sin 2 0 
sin 4  O(k 6 ) ,


2
256



k 2 7k 4 
k2 
1 2
k4
 sin  0 
sn u  1 

1

k
sin
3


sin 5  O(k 6 ) ,


0

16 256 
16 
2 
256


k 2 9k 4 
k2 
1 2
k4
 cos  0 
cn u  1 

1

k
cos
2


cos 5  O(k 6 ) ,


0

16 256 
16 
2 
256

u
где  0 
, K
2K
/2

0
d
1  k 2 sin 2 
(276)
(277)
(278)
– полный эллиптический интеграл 1-го рода;
k – модуль эллиптического интеграла 1-го рода.
Перепишем (274) в следующем виде
w
w1  w2 cn u
,
1  w3 cn u
99
(279)
где w1 
1 cos 1   2 cos  2
 cos 1   2 cos  2
cos 1  cos  2
, w2  1
, w3 
.
cos 1  cos  2
cos 1  cos  2
cos 1  cos  2
Теперь учтем, что
1  c1 tg 1  b1 ,  2  c1 tg  2  b1 ,
тогда
 
  

1 cos 1   2 cos  2  2 1  k 2   c1 sin 1 2  b1 cos 1 2  ,
2
2 

 
  

1 cos 1   2 cos  2  2k   c1 cos 1 2  b1 sin 1 2  ,
2
2 

 
cos 1  cos  2  2 cos 1 2  1  k 2 .
2
Подставив эти выражения в (279), имеем
1 

m1  m 2  k  k 3  cn u
2 

w
,
1 3

1  m3  k  k  cn u
2 

 
 
 
где m1  b1  c1 tg 1 2 , m2  c1  b1 tg 1 2 , m3  tg 1 2 .
2
2
2
3
Найдем с точностью O(k ) :
(280)
1 3
7 3
k3


k

k
cn
u

k

k
cos


cos 2 0 ,




0
2 
16 
16


1


1 3
1 2 2
7 3


1  m3  k  2 k  cn u   1  2 m3 k  m3  k  16 k  cos  






m

m2
  3 k 3  3 k 2  cos 2 0  O(k 4 ) .
 16

2


Теперь (280) примет вид:
w  (w00  k 2 w02 )  (kw11  k 3 w13 ) cos 0  (k 2 w22  k 3 w23 ) cos 20 
 k 3 w33 cos 30 ,
(281)
где
1
m3 (m2  m1 m3 ) , w11  m2  m1m3 ,
2
m
3
7
7
1
w13  m2 m32  m2  m1m3 , w22  m3 (m2  m1 m3 ) , w23  2 ,
16
4
16
16
2
1
w33  m2 m32 .
4
w00  m1 , w02 
Из (272), используя (281), найдем полярный радиус пробного тела:
  ( 00  k 2 02  k 3 03 )  (k11  k 313 ) cos 0  (k 2  22  k 3 23 ) cos 20 
 k 3 33 cos 30 ,
где
 00 
 1 w2
w 
c2
,  02   00  11
 02  ,
2

w00
 2 w00 w00 
100
(282)
 w 
 w 
 03   00   33  , 11   00   11  ,
 w00 
 w00 
 w
 w2
2w02 w11 3 w11 w22 
w 
 ,  22   00  11  22  ,
13   00   13 


2
2
 w

 2w 2

2 w00
w00
00


 00 w00 
w w 
 w 
u
 23    23   00 ,  33   00  11 2 22  ,  0 
.
 w

2
K
 w00 
00 

Из (273) найдем истинную долготу (полярный угол):
  ( 00  k 2  02 )u  (k11  k 3 13 ) sin


u  (k 2  22  k 3  23 ) sin u 
2K
K
3
 k 3 33 sin
u,
2K
(283)
где
2K
K
2K
w11 , 13  *
w13 ,  22   * w22 ,



K
2K
  * w23 , 33   *
w33 .

3
00   * w00 , 02   * w02 , 11   *
 23
Найдем зависимость  от t. Для этого используем первое уравнение из
(272)
 c
2
d  * du
c

u
Теперь перепишем (282), учитывая, что  0 
,
2K


  ( 00  k 2  02  k 3  03 )  (k11  k 3 13 ) cos
u  (k 2  22  k 3  23 ) cos u 
2K
K
3
 k 3  33 cos
u
2K
dt 
(284)
(285)
Теперь подставим (285) в (284) и проинтегрируем обе части от нуля до
верхних переменных пределов, тогда получим уравнение времени
t
*c 
2K

( 00  k 2  02  k 3  03 )u 
(k11  k 3 13 ) sin
u

 

2K
K

2K
3
 (k 2  22  k 3  23 ) sin u  k 3
 33 sin

K
3
2K

u

(286)
Обратим выражение (286), используя уравнение Лагранжа и его решение
[26]
F ( z)  z  a  f ( z)  0 ,
z  a  f (a) 
(287)

d
 [ f 2 (a)]   .
1  2 da
2
Для этого перепишем (286) в следующем виде
t  (t 00  t 02 k 2  t 03 k 3 )u  (t11 k  t13 k 3 ) sin


u  (t 22 k 2  t 23 k 3 ) sin u 
2K
K
3

 t 33 k 3 sin
u,
2K
где
t 00   00
*c
,

t 02   02
*c
,

t 03   03
101
*c
,

t11 
*c 2K
11 ,
 
(288)
t13 
*c 2K
 cK
 cK
 c 2K
13 , t 22  *
 22 , t 23  *
 23 , t 33  *
 33 .
 
 
 
 3
Разделим обе части (282) на t 00 и введем обозначения
1
1
1
1
1
, T02  t 02  t 00
, T03  t 02  t 00
, T11  t11  t 00
, T13  t13  t 00
,
T  t  t 00
1
1
1
, T23  t 23  t 00
, T33  t 33  t 00
.
T22  t 22  t 00
Тогда будем иметь уравнение Лагранжа:



u  T  k (T02 k  T03 k 2 )u  (T11  T13 k 2 ) sin
u  (T22 k  T23 k 2 ) sin u 
2K
K

3 
 T33 k 2 sin
u 0,
2 K 
решение которого в соответствии с (287) имеет вид:


T  (k 2 u 22  k 3 u 23 ) sin T 
2K
K
3


 k 3 u 33 sin
T  k 3 u 43T cos
T,
2K
2K
u  (1  k 2 u 02  k 3 u 03 )T  (ku11  k 3 u13 ) sin
(289)
где
T11T22
,
4K
T T 
t
 02 11 , T 
.
2K
t 00
u 02  T02 , u 03  T03 , u11  T11 , u13  T02T11  T13 
u 22 
T T 
T112 
3 T11T22
, u 43
 T22 , u 23  11 13  T23 , u 33 
2K
4 K
4K
Таким образом, используя разложения функции Якоби в ряды Фурье,
найдены полярные координаты пробного тела в случае гиперболического
типа движения, как явные функции времени. Полярные координаты даны
выражениями (283) и (285), в которых промежуточная переменная и
определена выражением (283), как функция времени. На интервале  2  w  1
полярный радиус , а также координаты пробного тела
x   cos  , y   sin 
являются периодическими функциями времени, они не содержат вековые и
смешанных членов.
Полученные решения можно использовать в качестве промежуточной
орбиты при построении точных теорий движения близких ИСЗ различных
назначений.
В случае гиперболического типа движения пассивно гравитирующего
тела Н >0, поэтому полином четвертой степени примет вид:
 w 4  2w 3  Hw 2    0
По теореме Декарта наш полином имеет один положительный и один
отрицательный корень, а отсутствие одного члена между Hw 2 и 
свидетельствует о наличии двух комплексных корней.
Для обоснования этих выводов разобьем G4 ( w) на постоянную и
переменную части:
  P ( w)  0 ,
P( w) = -w 4  2w 3  Hw 2  0
вынося за скобки w 2 , получим:
102
w 2 (  w 2  2w  H )  0,
теперь корни переменной части полинома определяются следующим
образом:
w1  w2  0,
w3  1  1  H , w4  1  1  H .
В нашем случае H > 0, поэтому w3 - отрицательный корень, а w4 положительный корень полинома.
Таким образом, полный полином 𝐺4 (𝑤) == −𝑤 4 + 2𝑤 3 + 𝐻𝑤 2 + 𝛼 = 0
имеет положительный корень 1, отрицательный корень 2, и комплексные
корни  3  b1  C1i ,  4  b1  C1i .
Располагая корни полинома в порядке убывания
1   2   3   4
мы приходим к ситуации, которая у нас складывалась в случае
параболического типа движения. Но следует отметить, что значения корней и
их интервалы будут отличаться от значений и интервалов корней
параболического типа движения. В этом можно непосредственно убедиться,
если выписать формулы Виета для этих типов движения пассивно
гравитирующего тела.
Определение типов движения в основной плоскости и в случае малого
наклона к основной плоскости спутниковой задачи.
Для выяснения типов движения выпишем подкоренной полином
G4 ( w )   r 4  2h1 r 2  2r  h22 .
(290)
Аналогичный определяющий полином в плоской задаче имеет вид:
G4 ( w)    Hw 2  2w 3  w 4 .
(291)
Преобразуем выражение (291) к виду (290) пользуясь известными
равенствами [122]
  C 6 /  4 ,
H = 2hC 2 /  2 ,
w = C 2 / r
тогда будем иметь:
G4 ( w)  r 4  2hr 2  2r  (  C 2 )
(292)
Сопоставляя полиномы можно заметить, что они отличаются друг от
друга незначительно, так как ' и  имеют одинаковый порядок O(10–14), а
остальные коэффициенты совпадают полностью, ибо разделяя переменные в
уравнении Гамильтона - Якоби мы могли выбрать знак перед h22 как
положительным, так и отрицательным, причем это не влияет на остальные
результаты. Таким образом, области возможности и невозможности
движения в обоих случаях совпадают. В случае малого наклона орбиты к
основной плоскости характерный полином содержит три параметра ', h1 и
h2, поэтому он мало пригоден к использованию для общего исследования.
Сопоставив с классификацией в плоской задаче мы убеждаемся, что
результаты
полученные
к
эллиптическому типу движения,
к
параболическому типу движения тела , к гиперболическому типу движения,
103
можно соотнести к случаю малого наклона орбиты к основной плоскости,
учитывая что здесь происходит некоторое смещение границ интервалов
корней. Что касается кругового типа движений, то в случае малого наклона
орбиты к основной плоскости они полностью входят в эллиптический тип
движения, только дополнительно, что е = 0. Используя результаты плоской
задачи при заданных начальных условиях можно выделить существенные
участки областей возможности движения в случае параболических и
гиперболических типов движений пассивно гравитирующего тела, когда
характерный полином имеет четыре комплексных корня.
4.3 О построении промежуточной орбиты ИСЗ в цилиндрической
системе координат.
Построена новая промежуточная орбита ИСЗ в квадратурах, которая
моделирует задачу о движении ИСЗ в поле тяготения центрального и
внешнего тела. Рассматривается пространственное орбитальное движение
ИСЗ. Силовая функция промежуточной орбиты записана в цилиндрической
системе координат , , z. Начало системы координат находится в центре
масс центрального тела и является главной центральной для этого тела.
Силовая функция промежуточной орбиты имеет вид [119, 135]:
U
 1 2 1
 v  (v   v) z 2 ,  2  x 2  y 2
 2
2
где  – гравитационный параметр, первый член характеризует поле тяготения
центрального тела, если ИСЗ относится к разряду далеких ИСЗ, а остальные
члены характеризуют поле тяготения внешнего тела.
Движение ИСЗ происходит в нецентральном поле тяготения.
Нецентральность поля тяготения обусловлена наличием слагаемого
1
(v   v ) z 2
2
Новая промежуточная орбита в квадратурах позволяет решить проблему
критического наклона орбиты ИСЗ [123]. В принятой промежуточной орбите
уравнения движения не имеют особенностей при нулевых наклонах и
эксцентриситетах.
Общее решение уравнений промежуточной орбиты мы получили
методом Гамильтона-Якоби через эллиптические функции.
Промежуточная орбита учитывает вековые возмущения первого
порядка, если принять, что в (293) вторая и третья слагаемые учитывают
сжатье Земли, причем эта схема уже не будет учитывать возмущения
внешнего тела.
Новая теория компактна, проста, и главная ее ценность заключается в
отсутствии вековых и смешанных членов, а также элементарных делителей.
Эта теория дает возможность прогнозировать движение далеких спутников
Земли в неуправляемом режиме. Это важно, так как чтобы оживить станции,
ИСЗ которые попали в нештатные ситуации, надо знать их законы движения.
Пусть ИСЗ относится к разряду далеких ИСЗ [119]. Рассмотрим
орбитальное движение в поле тяготения центрального и внешнего тела. Для
104
аппроксимации поля тяготения центрального и внешнего тела используем
силовую функцию Хилла в цилиндрической системе координат:
U
 1 2 1
 v  (v  v) z 2 ,
 2
2
(293)
где
 – гравитационный параметр; ,  – постоянные параметры,
учитывающие поле тяготения внешнего тела,   x 2  y 2 – полярный радиус
центра масс ИСЗ, z – аппликата центра масс ИСЗ, начало цилиндрической
системы координат Оz находится в центре масс центрального тела.
Кинетическая энергия орбитального движения ИСЗ:
T
1 2
(   2  2  z 2 ) ,
2
(294)
Используя (294) найдем выражения для импульсов
p 
T
T
T
  , p 
  2  , p z 
 z

z

(295)
Функция Гамильтона запишем в виде
H
  1
1 2 1 2
1
 p 
p  p z2    v 2  (v   v) z 2
2 

2
2

  2
(296)
Следует отметить, что Н не зависит явно от времени, поэтому
H
 0,
t
отсюда имеем
(297)
H , , z,V ,V ,Vz   h1
(298)
где h1 – постоянная интегрирования, V – производящая функция.
Запишем уравнение Гамильтона-Якоби

V
V V V
 H  t , , , z,
,
,
t
  z

У нас
H
 0 , поэтому [123]
t

  0

V  h1t  W (, , z)
(299)
(300)
где W (, , z) удовлетворяет (298), т.е.

W W W 
  h1
H  , , z,
,
,
  z 

(301)
Если принять во внимание (296), то (301) будет иметь вид
2
2
2
 W 
1  W   W 
2

  2 
 v 2  (v   v) z  2h1
 
 





z

 
 



(302)
W  W1 ()  W2 ()  W3 ( z) ,
(303)
Пусть
тогда (302) можно переписать в виде:
2
2
2
 dW1 
1  dW2   dW3 
2

  2 
 v 2  (v   v) z  2h1
 
 

  d   dz 
 d 
Потребуем следующее соответствие:
105
(304)
2
 dW2 
2

  h2
 d 
(305)
2
 dW3 

  (v   v) z  h32 ,
dz


(306)
2
 dW1 
2 1 2

  2h1  v2 
 2 h2  h32
 
 d 
(307)
Из (306) имеем
W3   (v  v) z  h32 dz
из (305)
(308)
W2  h2  d  h 2 
из (307)
(309)
W1   v 4  (2h1  h32 ) 2  2  h22 
Подставив (308)-(310) в (303), имеем
W   v 4  (2h1  h32 ) 2  2  h22 
d

(310)
d
 h2    (v  v) z  h32 dz

(311)
В соответствии с общей теорией метода Гамильтона-Якоби теперь
решение канонических уравнений Гамильтона [123]
d H d H dz H

,

,

,
dt p dt p dt p z




dp
H dp
H dp z
H 

,

,

dt
 dt
 dt
z 
(312)
можно представить следующими квадратурами
W
W
W

 t  1 ,
 2 ,
  3 ,
h1
h2
h3


W
W
W
 p ,
 p ,
 pz , 



z

(313)
где 1,2, 3 – постоянные интегрирования.
Перепишем (313) в явном виде
t  1  
2    
3  
h1
 h2
v
4
 (2h1  h32 ) 2

 h3
v 4  (2h1  h32 ) 2  2  h22
p  

(314)
v 4  (2h1  h32 ) 2  2  h22
 d  
2v 3  (2h1  h32 )  
v
4
 (2h1  h32 ) 2


2  h22
2  h22
d

(315)
h3
(v   v) z  h32

dz
(316)
d


2
 d
v 4  (2h1  h32 ) 2  2  h22
106
dz
(317)
pz  
p  h2
(v   v)dz
(318)
(319)
(v   v) z  h32
Полученные квадратуры позволяют найти (t ) из (314), (t ) из (315), z (t )
из (236), следовательно, поставленная задача о движении ИСЗ в поле
тяготения центрального и внешнего тела решена в общем виде.
4.4 Вычисление геоцентрических координат кругового движения.
Рассматривается движение ИСЗ в нецентральном поле тяготения Земли.
Движение ИСЗ исследуется на основе второй промежуточной орбиты Хилла.
Для низкоорбитальных ИСЗ представлена силовая функция задачи в
геоцентрических координатах. Выписаны дифференциальные уравнения
движения ИСЗ в переменных Хилла. Для орбит эллиптического типа, в
случае малого наклона к основной плоскости в стационарном поле тяготения,
представлены полярные координаты. Найдены условия, при котором
эллиптический тип движения трансформируется в круговой тип движения.
На интервале  2  w  1 получены полярные координаты ИСЗ в
стационарном поле тяготения Земли в случае орбит кругового типа.
Разработка задач динамики искусственных космических объектов с учетом
нецентральности поля тяготения дает возможность определения различных
орбитальных параметров для
задач динамики космического полета.
Полученные результаты имеют дальнейшее развитие с учетом факторов
нестационарности поля тяготения. Величина поправок
в движении
космического аппарата, определяемая небесно-механическими моделями
нецентрального поля тяготения, является основой точного определения его
траектории
Пусть ИСЗ относится к разряду низкоорбитальных, тогда силовая
функция задачи в геоцентрических координатах имеет вид [124, 130]:
U
2 f (C  A)
 1 2 1
,
 r  (   ) z 2 ,    
5
2 2
2
Rcp

f (C  A)
5
Rcp
, Rcp  r0
(320)
здесь r  x 2  y 2  z 2 , x, y, z – координаты ИСЗ, ,  – параметры, которые в
стационарной задаче постоянны, а в нестационарной задаче являются
функциями времени,  – гравитационный параметр, A  B  C , А, С – главные
моменты инерции Земли, r0 – экваториальный радиус Земли.
Дифференциальные уравнения движения ИСЗ в переменных Хилла с
учетом (320) можно представить так:
d 
wdw
  Hw2  2w 3  w 4
 

 1  2  s  0 ,
2
d
w 

d 2s
где H 
2hC 2
2
, 
C 6
4
, w
dt
C3

d  2 w 2
(   )C 6
C2
, 2  x 2  y 2 ,  

4
107
(321)
(322)
C – постоянная интеграла площадей, h – постоянная интеграла энергии,
z
s  – тангенс широты,  – истинная долгота,  и  – параметры Хилла.

В случае эллиптического типа движения   0 , H  0 и полином
G4 (w)    Hw2  2w3  w 4 меет корни 1   2   3   4 [119].
Для орбит эллиптического типа, в случае малого наклона к основной
плоскости в стационарном поле тяготения [119,122] имеем (на интервале
 2  w  1 )

2
(323)
u  k 4  24 cos
u  O( k 5 )



2
  ( 00  k 2 02  k 4 04 )u  (k 2 12  k 4 14 ) sin u  k 4  24 sin
u  O(k 5 ) (324)



2

(325)
u  (u 00  k 2 u 02  k 4 u 04 )t  (k 2 u12  k 4 u14 ) sin t  k 4 u 24 sin
t  O( k 5 )


где  ij , ij , u ij – постоянные величины, определяемые через корни полинома
  ( 00  k 2  02  k 4  04 )  (k 2 12  k 4 14 ) cos
/2
G4 ( w) ,  

0
d
1  k 2 sin 2 
– полный эллиптический интеграл первого рода, t –
время.
В случае кругового типа движения   0 , H  0 , e  0 , т.е. эксцентриситет
орбиты равен нулю. Найдем условия, при котором эллиптический тип
движения трансформируется в круговой тип движения. Для этого используем
метод, изложенный в [122]. При u  0 имеем максимальное значение
полярного радиуса
 max   00  k 2 ( 02  12 )  k 4 ( 04  14   24 ) ,
и при u   его минимальное значение
 min   00  k 2 ( 02  12 )  k 4 ( 04  14   24 ) .
В круговом движении e  0 , поэтому, учитывая выражения
 max  a(1  e) ,  min  a(1  e) ,
найдем
(326)
a   00  k 2  02  k 4 ( 04   24 )
e
k2
(12  k 2 14 )  0 , 12  k 2 14
a
(327)
здесь а – радиус круговой орбиты при движении ИСЗ в стационарном поле
тяготения.
Используя, что   а , находим из (322) закон изменения истинной
долготы в круговом движении

С
a
2
 
t или    0 t , 
0
(328)
Таким образом, в стационарном поле ИСЗ совершает движение по
окружности радиуса   а с постоянной угловой скоростью   0 .
Следуя Б.М.Щиголеву выпишем уравнение инверсных траекторий в
108
плоской задаче*:
d 2w 
 
 1 
 w 1  0 .
2
 w4 
d
В случае кругового типа движения
C2

  const ,
w
w = const,
d2w
d 2
 0,
следовательно, условие существования круговых орбит имеет вид:
w 4  w3    0 .
В случае кругового типа движения  > 0, H < 0, e = 0, следовательно,
координаты этого типа движения можно получить из координат
эллиптического типа движения, если в них положить е = 0. Но для этого в
уравнениях эллиптического типа движения надо выделить е, а затем его
приравнять нулю.
Непосредственное интегрирование не корректно, ибо условие   const
искажает картину и не дает значение, т.е. уравнение полярного угла .
Рассмотрим два случая, которые вытекают из случаев А и В.
А.  4  w   3 , B.  2  w  1 ,
ибо области возможности движения в обоих типах движений идентичны,
вернее области возможности движения кругового типа содержатся в области
возможности движения эллиптического типа движения пассивно
гравитирующего тела.
Вычисление полярных координат стационарного кругового движения, в
этом случае для эллиптического типа движения мы получали полярный
радиус
  00  k 2 12 cos 2   k 4 24 cos 4 
(329)
где
 00  C 2  3  ,
 12   00
2
 31
 42
 3  41 21
,
 24   00
 242  1 331
 241 221 32
.
В выражении (329) выполним замену по формулам
cos 2  
1
(1  cos 2 ),
2
cos 4  
3 1
1
 cos 2  cos 4 ,
8 2
8
тогда полярный радиус будет определен в следующем виде:
1
3
1
1

 1

    00  12 k 2   24 k 4    12 k 2   24 k 4  cos 2   24 k 4 cos 4 (330)

 2

2
8
2
8
Найдем условие трансформации эллиптического типа движения в
круговой тип движения, полагая е = 0:
12  k 2 24
(331)
Подставим выражение (331) в выражение (329), получим радиус кругового
типа движения пассивно гравитирующего тела
109
1
   00  k 4  24 (cos 4  1)
8
(332)
Величина
(cos 4  1)  0,
(333)
поэтому  принимает значения из следующего интервала
1 4


  00  k  24      00 ,


4
(334)
если ограничиться решением, точность которого имеет порядок O(k 2), то
получим круговое движение радиуса R = 00.
В этом случае переменная Хилла примет следующий вид:
d 
C2
.
 00 
(335)
Тогда уравнение (335) будет иметь вид:
d 
d
C2
.

 00  1  k 2 sin 2 
(336)
Проинтегрировав (336) справа и слева от нуля до верхних переменных
пределов, найдем полярный угол:
C 2   1 2 
1


 1  k    k 2 sin 2   .
 00   4 
8

Используя выражение
dt 
C3
 2 2
d,
найдем уравнение времени
t
 00 C  1 2 
1

  1  k    k 2 sin 2   .

8
 4 

Сопоставив выражения для t и , имеем

C
 200
t.
Таким образом, получили, что на интервале  4     3 пассивно
гравитирующее тело совершает круговое движение
C2 
  R   00 
,
 3 

C

  2 t.

 00
(337)
Пассивно гравитирующее тело совершает круговое движение с угловой
скоростью
110
d
C
 2  const .
dt  00

(338)
Из выражений (337) и (338) следует, что с течением времени полярный
угол растет совершая незначительные колебания, вместе с тем, угловая
скорость имеет колебательный характер, если не отбрасывать члены порядка
k4. Следовательно, движение по круговой траектории в случае А
неравномерно. Здесь следует иметь в виду, что эти уравнения не полностью
описывают окружность, т.е. они справедливы только в первой четверти,
причем исключая точки начала и конца четверти.
Вычисление полярных координат нестационарного кругового движения в
этом случае для эллиптического типа движения получали полярный радиус в
следующем виде
   00  k 4 14  k 2  22  k 4  24 cos 2  k 4  34 cos 4 ,
(339)


Найдем условие трансформации эллиптического типа движения в
круговой тип движения, т.е. положим е = 0:
(340)
 22   k 2  24 , R0max  a   00  k 4 ( 34  14 ) .
Подставив е = 0 в выражение (339), получим:
   00  k 4 14  k 4  34 cos 4 .
Если учесть, что cos4 принимает значения от (–1) до (+1) включительно,
то получим:
 00  k 4 14  k 4  34     00  k 4 (14   34 ) .
С учетом полученных результатов имеем, что движение происходит по
закону:
   00  k 4 (14   34 cos 4  ),

C3


t



(341)
Если ограничиться точностью порядка O(k2), то из (341) получим
следующий закон движения пассивно гравитирующего тела на интервале
 2    1 :
   00  const ,

C3


t.

 00

(342)
Сопоставляя круговые движения пассивно гравитирующего тела на
интервалах А и В, можно заметить, что центры кругов находятся в левом
фокусе эллипса, в обоих случаях движение неравномерно, если не
пренебрегать членами порядка k4. В силу того, что интервал А находится
внутри интервала В можно предположить, что окружность радиуса R0max
является наружной. Окружности этих интервалов сливаются в одну
окружность радиуса 00, если k4  0.
111
Заключение
Основные результаты и выводы настоящей диссертации, посвященной
исследованию ограниченной нестационарной фотогравитационной задачи
двух и трех тел можно кратко сформулировать следующим образом:
1. Найдены частные решения – экваториальные и полярные в
ограниченной нестационарной фотогравитационной задаче двух тел.
Полученные решения являются аналогами точек либрации в
ограниченной задаче двух тел переменной массы.
2. Найдены частные решения –
прямолинейные, треугольные,
компланарные в ограниченной нестационарной фотогравитационной
задаче трех тел. Полученные решения являются аналогами точек
либрации в ограниченной задаче трех тел переменной массы.
3. Исследована устойчивость найденных частных решений ограниченной
нестационарной фотогравитационной задачи трех тел.
4. Построены поверхности Хилла ограниченной нестационарной
фотогравитационной задачи трех тел
5. Найдены координаты эллиптического, гиперболического, кругового
движения в поле тяготении Хилла.
112
Список использованных источников
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Euler L., De motu rectilineo trium corporum se mutuo attar henum.,
NbviComm Acad. Sei 1.p, Petr,, 1767, Ul, pp.144.
Lagrange J.L., Eassair sur le problem des trois corps. Paris, 1772.
Gascheau G., Examen d’une classe d’equations differentielles et application
a un cas particulier du problem des trois corps., Comptes Rendus, 1843,
v.16, p.393.
Simmons J.F.L., McDonald A.J.C., Brown J.C., The restricted 3-body
problem with radiational pressure., Celestial Mechanics, 1985, v.35, p. 145.
Лукьянов Л.Г., О поверхностях нулевой скорости в ограниченной
фотогравитационной задаче трех тел., Астр.журн., 1988, т.65, №6,
с.1308.
Rados O., Zagouras C., The zero velocity surfaces in the photogravitational
restricted three-body problem, Earth, Moon and planets, 1998, v.41, №3,
p.257.
Беков А.А., Мухаметкалиева Р.К., О поверхностях нулевой скорости в
двойной звездной системе с излучением., Проблемы физ. и динам,
звезда, систем, 1989, с.18.
Поляхова Е.Н., Ограниченная фотогравитационная задача трех тел:
современное состояние проблемы., Вестник ЛГУ, сер.1, 1990, №4,с.69.
Поляхова Е.Н., Парусная гелиоцентрическая задача с переменной
рудекцией гравитационного поля., Вестник ЛГУ, сер.1, 1984, вып.4,
с.63.
Поляхова Е.Н., Космический полет с солнечным парусом., М.,
Наука,1986.
Поляхова Е.Н., Интегрируемый случай задачи Гильдена-Мещерского
применительно к движению в фотогравитационном поле., Вестник
ЛГУ, сер.1, 1986, вып.3, с.83.
Поляхова
Е.Н.,
Прикладной
фотогравитационный
случай
нестационарной задачи Гильдена-Мещерского., Прикл.небесн. мех. и
управл. движен.: Труды 13науч. Чтений по космонавтике. 24-28 янв.
1989г., с.5.
Поляхова Е.Н., Нестационарная фотогравитационная задача двух тел в
терминах проблемы Гильдена-Мещерского-Джинса., Астр.журн., 1989,
т.66, с.1304.
El-Shaboury S. M., Existence of libration points in the restricted problem of
three bodies with radiation pressure., Eart, Moon and planets, 1990, v.48,
№3, p.233.
Rados O., Zafiropulos F.A., Vrahatis M.N., A numerical study of the
influence of the Pointing-Robertson effect on the equilibrium points of the
photogravitational restricted three-body problem., Astron. Asrophys., 1995,
v. 300, pp. 568, 579.
113
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
Радзиевский В.В. Ограниченная задача трех тел с учетом светового
давления // Астрономический журнал. - 1950. - Т.27, вып. 4.- С. 250256.
Sсhuerman D.W. The restricted three-body problem including radiation
pressure //Astrophysica1 journa1. - 1980. - Vo1. 238, № 1, part 1. - Р. 337342.
Черников Ю.А. Фотогравитационная ограниченная задача трех тел
//Астрономический журнал. -1970. - Т.47, вып. 1. - С. 217-223.
Куницын А.Л., Турешбаев А.Т. Устойчивость треугольных точек
либрации фотогравитационной задачи трех тел // Письма в
Астрономический журнал. -1985. -Т.11, № 1. - С.145-148.
Огородников И. Ф. Ограниченная задача трех тел с учетом светового
давления // Астрономический журнал. - 1950. - Т.27, вып.4. - С. 250256.
Szebehe1y V. Theory of Orbits. - New York: Academic Press. - 1967. - 584
р
Радзиевский В.В. Пространственный случай ограниченной задачи трех
тел, излучающих и гравитирующих тел // Астрономический журнал. 1953. -Т.30. - вып. 3. - С. 256-273.
Co1ombo G., Lautman D.A. and Shapiro I.I. The Earth's Dust Be1t: Fact of
Fiction? 2. Gravitationa1 Focusing and Jacobi Capture // Journal of
Geophysica1 Research. - 1966. - Vo1. 71, No 23. - Р. 5705-5717.
Радзиевский В.В. К теории противосияния
// Астрономический
журнал. 1953. - Т.30, вып. 4. - С. 377-382.
Радзиевский В.В. О гелиоцентрической скорости метеорных тел и
происхождении микрометеоритов // Метеоритика. –М: Наука. - 1966. вып. 27. - С.178-183.
Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные
методы. М.: Наука. - 1981. - 560 с.
Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике.
М.:Наука, 1978.-312 с.
Себехей В. Теория орбит. - М.:Наука. - 1982. - 656 с.
Лукьянов Л.Г. Лагранжевы решения в фотогравитационной
ограниченной задаче трех тел // Астрономический журнал. - 1984. Т61, вып. 3. - С.564-570.
Куницын А.Л., Турешбаев А.Т. О коллинеарных точках либрации
фотогравитационной задачи трех тел // Письма в Астрономический
журнал. - 1983. - Т.9, №27. - С. 432-435.
Kunitsyn A.L., Tureshbaev А.Т. Оn the collinear libration points in the
photogravitational three bodies рrоblеm // Celestial Mechanics. - 1985. Vol.
35, №.2. - Р. 105-112.
Куницын А.Л., Турешбаев А.Т. О компланарных точках либрации
фотогравитационной задачи трех тел // Письма в Астрономический
журнал. - 1985. -Т.11, № 2. - С. 930-933.
114
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
Пережогин А.А. Устойчивость шестой и седьмой точек либрации в
фотогравитационной ограниченной круговой задаче трех тел // Письма
в Астрономический журнал. - 1976. - Т.2, №29. - С.448-451.
Омаров Т.Б. Динамика гравитирующих систем Метагалактики. Алматы: Наука. - 1975. -С.143.
Разбитная Е.П. Задача двух тел с переменными массами:
классификация различных случаев // Астрономический журнал. - 1985.
- Т.62. - Вып.6. - С.1175-1181.
Гельфгат Б.Е. Об аналогах интеграла Якоби в ограниченной задаче трех
тел переменной массы // Современные проблемы небесной механики и
астродинамики. - М.: Наука - 1973. - С. 7-13.
Hodert G.P. Trojal1 orbit with mass exchange of the primaries // Celestial
Mechanics. - 1984. - Vol. 33, No.4. - Р. 367-374.
Shrivastava А.К., Ishwar В. Equations of three bodies with variable mass
// Celestial Mechanics. - 1983. - Vol. 30. - №. 3. - Р.323-328.
Беков А.А. Об аналогах интеграла Якоби в ограниченной задаче трех
тел переменной массы // Труды АФИ АН КазССР. -1987. - Т.47. - С.1229.
Лукьянов Л.Г. О частных решениях в ограниченной задаче трех тел с
переменными массами // Астрономический журнал. - 1989. - Т.66,
вып.1. -С.180-187.
Лукьянов Л.Г. О частных решениях в ограниченной задаче трех тел в
произвольно изменяющимися массами // Астрономический журнал. 1989. Т.66, № - вып.2. - С.385-392.
Беков А.А. Точки либрации ограниченной задачи трех тел переменной
массы // Астрономический журнал. - 1986. - № 1468. - С. 3-5.
Singh I., Ishwar В. Effect of perturbations on the stability of triangular
points in the restricted problem of three bodies with variable mass //
Celestial Mechal1ics. 1985. - Vol. 35, № 3. -Р. 201-207.
Singh I., Ishwar В. Effect of perturbations on the location of equilibrium
points in the restricted problem of three bodies with variable mass //
Celestial Mechanics. 1984. - Vol. 32, № 4. - Р. 297-305.
Лукьянов Л.Г. Компланарные решения в фотогравитационной
ограниченной круговой задаче трех тел // Астрономический журнал. 1984. - Т61, вып. 4.- С.789-794.
Лукьянов Л.Г. О частных решениях фотогравитационной задачи трех
тел // Астрономический журнал. - 1986. - Т. 63, вып. 4. - С.784-790.
Лукьянов Л.Г. Об устойчивости компланарных точек либрации в
ограниченной фотогравитационной задаче трех тел //Астрономический
журнал. - 1987. т.64, вып. 6. - С. 1291-1299.
Лукьянов Л.Г. О семействе точек либрации в ограниченной
фотогравитационной задаче трех тел // Астрономический журнал. 1988. Т.65, вып.2. - С. 422-432.
115
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
Лукьянов Л.Г. Об устойчивости лагранжевых точек в ограниченной
фотогравитационной задаче трех тел // Астрономический журнал. 1986. Т.63, №6. - С. 1222-1229.
Лукьянов
Л.Г.
О
частных
решениях
нестационарной
фотогравитационной задачи трех тел // Вестник МГУ. Серия Физика.
Астрономия. - 1986. - Т.27, №2. - С. 78-83.
Sas1aw W. С. Motion around а source whose luminоsitу changes // Тhе
astrophisica1 journa1. -1978. - Vо1. 226, No 1, part 1. -Р. 240-252.
Беркович Л.М., Поляхова Е.Н. Прикладной фотогравитационный
случай
нестационарной
задачи
Гюльдена-Мещерского
//
Прикл.небесн.мех.и упр.движением // Тр.13 Научн.чтений по
космонавт, посвящ.памяти акад. С.П. Королева и др.сов.ученых –
пионеров освоения косм. пр-ва. Москва. - 1989. - С. 5-6.
Орлов А.А. О лагранжевых частных решениях в задаче трех тел с
переменными массами // АЖ. - 1939. - Т.16. - вып.6. - С.52-56.
Гельфгат Б.Е. Интегрируемые случаи задачи трех тел переменной
массы // Проблемы механики управляемого движения. – Перм. - 1974. Вып. 4. - С. 39-52
Разбитная Е.П. Частный случай ограниченной задачи трех тел с
переменными массами // АЖ. - 1961. - Т. 38. Вып. 3. - С. 528-531.
Разбитная Е.П. Интеграл Якоби в ограниченной задаче трех тел с
перемнными массами // АЖ. - 1971. - Т. 48, Вып. 3. - С. 647-650.
Sersic J.L. Transient annular structures in exploding galaxies // Periodic
orbits, stability and Fesonanceos (ed. G.E.O. Giacaglia) - 1970. - P. 314-321.
Sersic J.L. On the structure of the peculiar galaxies // Bull. Astron. Inst.
Czechosl. - V. 24. - № 3. - P. 150-157.
Hadjidemetriou J.D. Christides Th. Families of periodic orbits in the planar
three-body problem // Celest. Mech. - 1975. - V.12. - № 2. - P. 175-187
Horedt G.A. Variable mass of the primaries and librations around the
triangular points // Celest. Mech. - 1974. - №3. - P.319-326.
Horedt G.A. Mass loss in the plane cirсular restricted three body problem:
application to the origin of the Trojans and Pluto // loarus. - 1974. - V. 23. № 3. - P. 459-464.
Horedt G. Trojan orbite with mass exchange of the primaries // Celest.
Mech. - 1984. - V.33. - №4. - P.367-374.
Kruszewski A. Exchange of matter and period changes in close binary
systems // Adv. In Astron.and Astroph. - 1966. - V.4. - P.233-299.
Пиотровский С.Л. Некоторые проблемы перетекания материи в тесных
двойных системах // АЖ. - 1967. - Т. 44, Вып. 2. - С.241-259.
Дьяков Б.Б. Резников Б.И. Модель образования планет в системе
двойной звезды // Препринт № 595, Физ.-тех. Ин-т АН СССР. - 1978. 38 с.
Омаркулов К.А. Беков А.А. Абдыкаримова АО существовании
устойчивых спиральных орбит в нестационарной звездной системе с
116
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
осевой симметрией // Сб. Проблемы физики и динамики звездных
систем. ТашГУ им. Ленина Ташкент. - 1989. - С.50
Djakov B.B. Reznikov B.I. Computer simulation of planet formation in a
binary star systems: terrestial planets // Moon and Planets. - 1980, - V.23. №4. - P. 429-443.
Дьяков Б.Б. Резников Б.И. Численное моделирование образования
структуры пояса астероидов // Препринт № 698. Физ-тех ин-т АН
СССР. Л. - 1981. - 27С.
Djakov B.B. Reznikov B.I. Computer simulation of the firmations of
asteroid belt structure // Moon and Planets. - 1981. - V.25. - №1. - P.113128.
Djakov B.B. Reznikov B.I. Trojan-type orbits in the system of two
gravitational centers with variable masses and separation // Moon and
Planets. – 1982. - V.26. - №4. - P.371-382.
Дьяков Б.Б. Резников Б.И. Троянские орбиты в системе двух
гравитирующих центров переменной массы с изменяющимсямежцентровым расстоянием // Бюлл. Итн-та теор.астрон. АН СССР. 1984. - Т. 15, № 6 (169).
Дьяков Б.Б. Резников Б.И. Движение в окрестности треугольных точек
либрации при переменном отношении масс компонент // Препринт №
904. Физ-тех. ин-т Л. - 1984. - 32с.
Ishwar B. Librations around the collinear points with variable primary
masses // Proc.Nat.Acad.Sci:India. - 1978 A48. - №4. - P.195-199
Shrivastava A.K., Ishwar B. Stability of equilaferal solutions in the restricted
problem of three bodies with variable mass // Proc. Nat. Acad. Sci. India. 1985 See.A.V.55. - №2. - P.152-156.
Singh J., Ishwar B. Effect of perturbalions on the stability of triangular in the
bodies with variable mass // Celest. Mech. -1985. - V.35. - P.201-207.
Das R.K. Shrivastava A.K. Ishwar B. Equations of motion of elliptic
restricted problem of three bodies with variable mass // Celest. Mech. 1988. - V. 45, № 4. - P. 387-393.
El-Shaboury S.M. The equilibrium solutions of the restricted problem of
three rigid bodies with variable mass // Astrophys. and Space. - 1989. - V.
155, №2. - P. 209-214.
El-Shaboury S.M. Existence of particular solutions in the generalized
restricted problem of three bodies with variable mass // Astrophys. and
Space. Sci. - 1990. - V. 174, №1. - P. 151-154.
El-Shaboury S.M. Equations of motion of elliptical restricted problem of a
body with variable masses // Astrophys. And Space. Sci. - 1990. - V.174,
№2. - P. 291-296.
Andrle P. A generalized problem of the fixed centers with variable masses.
The eduations for the variations of orbital elements // Bull. Astron. Inst.
Czechosl. - 1983. - V. 34, №5. - P. 317-319.
117
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
Лукьянов Л.Г. О поверхностях нулевой скорости в ограниченной
задаче трех тел с переменными массами // АЖ. - 1992. - Т.69, вып.3. С. 640-648.
Радзиевский В.В. Задачи двух гравитирующих и излучающих тел
// Астрономический журнал. -1951. -Т.28, Вып.5. - С.363-372.
Радзиевский В.В. Фотогравитационная задача двух тел при
анизотропном излучении // ДАН 'СССР. - 1953. - Т. 90. 3. - С. 353-354
Binney J.J. The dynamics shapes and origin of elliptical galaxies // Phil.
Trans. - 1980. - V. 296, №1419. - Р.329-338.
Огородников К.Ф. Динамика звездных систем. М.: Наука, 1958. – 627 с.
Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.:
Наука. - 1975. - 800с.
Sandage A. The Hubble atlas of galaxies. Washil1gtol1. D.C.- 1961. - 230p.
Батраков Ю.В. Периодические движения частицы в поле тяготения
вращающегося трехосного эллипсоида // Бюл.ИТА. - 1957. - Т.6, №8. С.524-542.
Журавлев С.Г. Фотогравитационная ограниченная задача двух тел //
Вопросы небесной механики и звездной динамики. Алма-Ата: Наука,
1990. - С.23-28.
Беков А.А. О движениях частицы в окрестности гравитирующего
вращающегося трехосного эллипсоида с переменными физическими
параметрами // Труды АФИ. - 1992. - Т.50. - С.45-61.
Bekov А.А. Surfaces of zero velocity in the restricted nonstationary
photogravitational three-body problem // Transactions of Kazakh-Amеriсan
University. - 2001. №2. - Р.23-26.
Bekov A.A. On the dynamics of non-stationary binary stellar systems//Order
and chaos in stellar and planetary systems // ASP Conference series. - 2004.
- V.316. - P.366-370.
Беков А.А., Рыстыгулова В.Б. О частных решениях нестационарной
фотогравитационной задачи трех тел // Известия МОН РК, НАН РК.
Сер. физ.-мат. - 2002. - №4. - с.47-49.
Беков А.А. О существовании и устойчивости точек либрации в
ограниченной задаче трех тел с переменными массами // Проблемы
физики звезд и внегалактической астрономии. - Алматы: Гылым, 1993.
- С.91-114.
Беков А.А., Рыстыгулова В.Б., Андрюшин В.И. Об устойчивости
частных решений нестационарной фотогравитационной задачи трех тел
// Известия МН-АН РК. - Сер. физ.-мат. -1999. -№24.
Беков А.А. О частных решениях в окрестности гравитирующего
вращающегося трехосного эллипсоида // Аналитическая небесная
механика.- Казань. - 1990. - С. 75-81.
Лукьянов Л.Г. Об устойчивости точек либрации в ограниченной задаче
трех тел с переменными массами // Астрономический журнал. - 1990. Т.67, Вып.1. - С. 167-172.
118
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация по
отношению к части переменных. - М.: Наука, 1987. - 253 с.
Воротников В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к
части переменных. - М.: Наука, 1991. - 284 с.
Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. - М.: Мир, 1973. - 167 с.
Куницын А.Л., Маркеев А.П. Устойчивость в резонансных случаях //
Итоги науки и техники. Серия: Общая механика. - М.: ВИНИТИ, 1979.
- Т.4. - С.58-139.
Мещерский И.В. Работы по механике тел переменной массы. - М.:
ГИТТЛ, - 1952. - 105 с.
Беков А.А., Бейсеков А.Н., Алдибаева Л.Т. К динамике
нестационарных двойных звездных систем // Известия HAН РК. Сер.
физ.-мат. - 2005. - №4. - С.10-15.
БековА.А., Бейсеков А.Н., Алдибаева Л.Т. К динамике нестационарных
двойных звездных систем с неизотропным истечением массы //
Известия НАН РК. Сер. физ.-мат. - 2006. - №4. - С.3-7.
Беков А.А., Мухаметкалиева Р.К. Об устойчивости точек либрации
ограниченной задачи трех тел переменной массы // Динамика
бесстолкновительных гравитирующих систем. Труды АФИ АН
КазССР. 1989. - Т.49. - С.11-32.
Мещерский И.В. Работы по механике тел переменной массы //М.,
ГИТТЛ. 1949, - 276 с.
Беков А.А. Задача Гильдена-Мещерского. I. Точные решения
//Препринт № 90-06. Астрофиз. ин-т им. В.Г.Фесенкова АН КазССР,
1990, - 43с.
Беков А.А. О промежуточном движении и системах оскулирующих
элементов в задаче Гильдена-Мещерского //Проблемы физики звезд и
внегалактической астрономии. Алматы. 1993, - с. 115-134.
Беков А.А. Задача Гильдена-Мещерского.III. Параметрические
решения //Препринт № 90-02. Астрофиз. ин-т им. В.Г.Фесенкова. 1990,
- 24 с.
Радзиевский В.В., Суркова Л.П. Об эволюции элементов орбит в
тесных двойных системах //Астрон. журнал.1973, т. 50, вып. 6, - с.
1200-1200.
Беков А.А. О движении материальной точки в нестационарном
нецентральном поле тяготения //Проблемы физики звезд и
внегалактической астрономии., Алматы, Гылым. 1993, - с. 76-90.
Омаркулов К.А. Движение тел в нестационарных нецентральных
гравитационных полях . Кокшетау, 2001, - 146 с.
Субботин, М.Ф. Введение в теоретическую астрономию . М.: Наука,
1968.- 800с.
Демин, В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле
тяготения. М.: Наука, 1968.- 352 с.
119
115. Мартыненко, Б.К. Спутниковая модель системы трех тел // Бюллетень
ИТА. -1966.- Т.10, №9(122).- С.611-623.
116. Вашковьяк, М.А. Некоторые характеристики траекторий с апогеем вне
сферы действия Земли // Космические исследования. -1967.- Т..5, № 3.С.323-338.
117. Хриган, А.Х. Физика атмосферы . Л.: Гидромет, 1978. –Т.1.
118. Мак-Картни, Э. Оптика атмосферы . М.: Мир, 1979.
119. Шинибаев М.Д. Поступательное движение пассивно гравитирующего
тела в центральном и нецентральном поле тяготения.- Алматы, 2001. 128 с.
120. Сушкевич А.К. Основы высшей алгебры. М.-Л.: ОГИЗ, 1941. 460 с.
121. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и
инженеров. М.: Наука, 1970. 720 с.
122. Аксенов Е.П. Специальные функции в небесной механике. М.: Наука,
1985. 312 с.
123. Итоги науки и техники. Серия: Исследование космического
пространства.- М., 1980.- Т.15.- 160 с.
124. Шинибаев М.Д., Исаков М.Е. К вопросу орбитального движения ИСЗ в
нестационарном поле тяготения Земли //Материалы казахстанскоукраинской
научно-практической
конференции
«Современные
космические технологии».–Алматы, 2008.– 7-9 октября. С. 153-155.
125. М.Д.Шинибаев,
А.А.Беков,
С.С.Бекболатова,
Б.Тилеубердиев,
К.С.Астемесова, Д.И.Усипбекова. Параболический тип движения ИЗС
в стационарном поле тяготения Земли. // Известия НАН РК. Серия
физико-математическая. №2, 2012 год., 24-27стр.
126. А.А.Беков,
М.Д.Шинибаев,
А.О.Белес,
Ж.С.Садуакасова,
К.С.Астемесова, Д.И.Усипбекова. Параболический тип движения ИЗС
в нестационарном поле тяготения земли. (интервал  2  w  1 , случай
v(t )  v02 t 2 )// Доклады НАН РК, №2, 2012 год., 18-23стр.
127. А.А.Беков,
М.Д.Шинибаев,
А.О.Белес,
Ж.С.Садуакасова,
К.С.Астемесова, Д.И.Усипбекова. Параболический тип движения ИЗС
в нестационарном поле тяготения земли. (интервал  2  w  1 , случай
v  v0 sin  ) // Вестник НАН РК, №2, 2012 год., 14-18стр.
128. А.А.Беков,
М.Д.Шинибаев,
С.К.Досыбеков,
А.М.Таскулова,
К.С.Астемесова, Д.И.Усипбекова. Цилиндрические координаты
пробного тела в поле тяготения Хилла// Вестник НАН РК, 2012, №2,
с.3-8.
129. М.Д.Шинибаев,
А.А.Беков,
С.К.Досыбеков,
К.С.Нурсеитов,
А.М.Таскулова, Д.И.Усипбекова. Гиперболический Тип Движения
Пробного Тела Во Второй Задаче Хилла. // Вестник НАН РК, , №2,
2012 год., 9-13 стр.
130. А.А.Беков,
М.Д.Шинибаев,
К.С.Астемесова,
Д.И.Усипбекова.
Круговые орбиты ИЗС в стационарном тяготения Земли. // Вестник
НАН РК, №4, 2013 год., 21-23 стр.
120
131. А.А.Беков, М.Д.Шинибаев, К.С.Астемесова, Д.И.Усипбекова. Об
одном интегрируемом случае динамики твердого тела в силовом поле.
// Доклады НАН РК , №4, 2013 год., 65-68 стр.
132. А.А.Беков,
К.С.Астемесова,
Д.И.Усипбекова.
Об
эволюции
излучающих двойных систем с переменной массой // Известия НАН
РК. Серия физико-математическая. №4, 2013 год., 70-74 стр.
133. М.Д. Шинибаев, А.А. Беков, С.С.Дайырбеков, А.С. Рамазанова, Б.Т.
Алимкулова,
Д.И.Усипбекова
Об
орбитальном
движении,
неуправляемого космического объекта в поле тяготения центрального и
внешнего тела.// Доклады НАН РК, №3, 2014год., 21-25 стр.
134. М.Д. Шинибаев, А.А. Беков, Е.С.Аяшева, С.С.Даирбеков, Сансызбаева
А.С., Д.И.Усипбекова. Об одном интегрируемом случае динамики
твердого тела в центральном ньютоновском поле тяготения. //Известия
НАН РК. Серия физико-математическая. №3, 2014год., 128-130стр.
135. М.Д.Шинибаев,А.А.Беков,С.С.Дайырбеков,К.А.Улукбаев,К.С.Астемес
ова, Д.И.Усипбекова. О построении промежуточной орбиты ИСЗ в
цилиндрической системе координат.// Доклады НАН РК №4, 2014год.,
16-19стр.
136. М.Д.Шинибаев,
А.А.Беков,
С.С.Дайырбеков,
Е.Кытайбеков,
К.С.Астемесова, Д.И.Усипбекова. Орбитальное движение пробного
тела в центральном поле тяготения Хилла. // Вестник НАН РК №4,
2014 год., 4-7 стр.
137. М.Д.Шинибаев,
А.А.Беков,
С.С.Дайырбеков,
Е.Кытайбеков,
К.С.Астемесова, Д.И.Усипбекова. Орбитальные движения пробного
тела в случае малого наклона орбиты к основной плоскости.// Вестник
НАН РК №4, 2014 год., 11-14стр.
138. Шинибаев М.Д. Поступательно-вращательные движения твердого тела
в стационарном и нестационарном поле тяготения Земли.- Алматы,
2010.- 132 с.
139. Шинибаев М.Д., Есенов Е.К. Орбитальные движения близкого ИСЗ в
нестационарном поле тяготения Земли.- Алматы, 2009.- 90 с.
140. Чеботарев Г.А. Аналитические и численные методы небесной
механики.- М.-Л., 1965.- 367 с.
141. Абишев М.Е. Бейсен Н.А., Бошкаев К.А., Токтарбай С., Жами Б.А.
Устойчивость орбит в ограниченной задаче трех тел. Сборник тезисов
8-ой Международной научной конференции «Современные достижения
физики и фундаментальное физическое образование», 9-11 октября,
2013. - Алматы. - С. 43.
142. Жилисбаева К.С. Саспаева А.Д. Обратная задача динамики
исскуственного
спутника
Земли,
под-верженного
действию
гравитационного и аэродинамического моментов. Тезисы докладов
Межд. конференции «Космос на благо человечества - взгляд в
будущее», 6-7 январь 2011г., г. Астана, 144-145с.
121