Инвариантные лагранжевы подмногообразия диссипативных

Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. А. Аграчев, Инвариантные лагранжевы подмногообразия диссипативных систем, УМН, 2010, том 65, выпуск 5(395), 185–186
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 95.129.140.250
17 ноября 2015 г., 16:01:44
2010 г. сентябрь — октябрь
т. 65, вып. 5 (395)
УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК
В МОСКОВСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ
СООБЩЕНИЯ МОСКОВСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА
Инвариантные лагранжевы подмногообразия диссипативных систем
А. А. Аграчёв
Пусть M – компактное риманово многообразие класса C k , k > 2, с римановой
структурой (ξ, η) 7→ hIq−1 ξ, ηi, ξ, η ∈ Tq M , q ∈ M , где Iq : Tq∗ M → Tq M – самосопряженное линейное отображение, определяющее положительно определенную квадратичную форму z 7→ hz, Iq zi, z ∈ Tq∗ M .
Пусть V ∈ C k (M ) и ω – такая замкнутая дифференциальная 1-форма на M класса C k , что ∇ω = 0, где ∇ω – ковариантная производная формы ω. Рассмотрим
гамильтониан H ∈ C k (T ∗ M ), заданный формулой
H(z) =
1
hIq (z + ωq ), z + ωq i + V (q),
2
z ∈ Tq∗ M.
~ – гамильтоново векторное поле на T ∗ M , отвечающее гамильтониану H,
Пусть H
а ` – “вертикальное” эйлерово векторное поле векторного расслоения T ∗ M → M .
В локальных координатах z = (p, q), p, q ∈ Rn , Tq∗ M = (Rn , q),
эти объекты имеют
X ∂H ∂
∂H ∂
1
∗
~
вид: H(p, q) = (p + ω(q)) Iq (p + ω(q)) + V (q), H(p, q) =
−
,
2
∂pi ∂q i
∂q i ∂pi
i
X i ∂
`(p, q) =
p
.
∂pi
i
~
Рассмотрим диссипативную систему ż = H(z)
− α`(z), где α – положительная константа. Нетрудно видеть, что любая ограниченная траектория этой системы лежит
в множестве
n
o
def
BH = z ∈ T ∗ M : H(z − ωπ(z) ) 6 max H(0q ) ,
q∈M
где 0q – начало координат векторного пространства Tq∗ M и π : T ∗ M → M , π(Tq∗ M ) = q.
Для всякого z ∈ T ∗ M обозначим через ρ(z) максимальное собственное значение
симметричного оператора ξ 7→ R(ξ, Iq z)Iq z + ∇ξ (∇V ), ξ ∈ Tq M , где R – риманова
кривизна. Наконец, положим r = max{ρ(z) : z ∈ BH }.
Обозначим ZΩα множество всех таких абсолютно непрерывных кривых γ : R+ → M ,
+∞
что интеграл
−1
e−αt hIγ(t)
γ̇(t), γ̇(t)i dt сходится. Введем функционал дисконтного
0
действия
+∞
Z
Iα (γ) =
0
e−αt
1 −1
hIγ(t) γ̇(t), γ̇(t)i − V (γ(t)) + hωγ(t) , γ̇(t)i dt,
2
γ ∈ Ωα .
Теорема 1. Пусть u(q) = − inf{Iα (γ) : γ ∈ Ωα , γ(0) = q}, q ∈ M . Если r 6 0
√
или 0 < r < α2 /4 и k < 2/(1 − 2 r/α), то:
k
1) u ∈ C (M ) и отображение (H, α) 7→ u непрерывно в топологии C 2 ;
185
186
В МОСКОВСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ
(УМН, ТОМ 65, ВЫП. 5)
2) функция u удовлетворяет модифицированному уравнению Гамильтона–Якоби
H(du) + αu = 0, а {dq u : q ∈ M } ⊂ T ∗M – инвариантное подмногообразие системы
~
ż = H(z)
− α`(z);
3) существует такая содержащая 0 окрестность O функции u в C 2 (M ), что для
любого v0 ∈ O классическое решение vt задачи Коши
∂ut
+ H(dut ) + αut = 0,
∂t
u 0 = v0 ,
определено для всех t > 0 и kdvt − dukC 1 → 0 с экспоненциальной скоростью при
t → +∞.
Замечание. Теорема 1 справедлива для гамильтонианов на Rn ×Rn вида H(p, q) =
|p + a|2 /2 + V (q), где a ∈ Rn – постоянный вектор и V – гладкий периодический
потенциал. Здесь r – максимум собственных чисел матриц d2 V /dq 2 , q ∈ Rn . Если
r < α2 /4, то уравнение
2
1 du
+ V (q) + αu = 0
+
a
2 dq
имеет периодическое решение
u класса C k , где k – максимальное целое число, строго
p
меньшее, чем 2/(1 − 1 − 4r/α2 ). При этом {(du/dq, q) : q ∈ Rn } – инвариантное
подмногообразие системы
q̇ = p + a,
ṗ = −
dV
− αp.
dq
Доказательство теоремы 1 основано на результатах работ [1] и [2]. В самом деле,
теорема 1 есть некоторое усиление результатов работы [1]. А именно, рассматривается
более широкий класс гамильтонианов (допускаются ненулевые формы ω), улучшается
гладкость функции u и формулируются свойства устойчивости полученного решения.
В действительности, форма ω не влияет на каноническую связность и операторы кривизны, так что рассмотрение более общих гамильтонианов не требует существенного
изменения доказательства.
Улучшение гладкости и устойчивость опираются на работу [2]. В самом деле,
предложение 1 из [1] влечет, что {dq u : q ∈ M } – нормально гиперболическое инвариантное подмногообразие (см. определение в [2]) потока, порожденного векторным
~
полем H(z)
− α`(z). Более того, это нормально гиперболическое инвариантное подмногообразие имеет нулевое неустойчивое подрасслоение и, в действительности, может быть названо “нормально устойчивым” инвариантным подмногообразием. Теорема 4.1 из [2] содержит оценки степени гладкости нормально гиперболического инвариантного подмногообразия в терминах показателей Ляпунова, а анализ доказательства
предложения 1 из [1] дает явные оценки показателей Ляпунова через константы r и α.
Список литературы
[1] А. А. Аграчев, Дифференциальные уравнения и топология. I, Тр. МИАН, 268, МАИК,
М., 2010, 24–39; англ. пер.: A. A. Agrachev, Proc. Steklov Inst. Math., 268 (2010), 17–31.
[2] M. W. Hirsch, C. C. Pugh, M. Shub, Invariant manifolds, Lecture Notes in Math., 583,
Springer-Verlag, Berlin, 1977.
А. А. Аграчёв (A. A. Agrachev)
Математический институт им. В. А. Стеклова РАН;
International School for Advanced Studies (SISSA)
E-mail: [email protected], [email protected]
Представлено В. M. Закалюкиным
Принято редколлегией
08.07.2010