С. С. Марченков, В. С. Фёдорова РЕШЕНИЯ СИСТЕМ

ÓÄÊ 519.716
Ñ. Ñ. Ìàð÷åíêîâ, Â. Ñ. Ô¼äîðîâà
ÐÅØÅÍÈß ÑÈÑÒÅÌ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ
ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÌÍÎÃÎÇÍÀ×ÍÎÉ ËÎÃÈÊÈ
1
êàôåäðà ìàòåìàòè÷åñêîé êèáåðíåòèêè ôàêóëüòåòà ÂÌèÊ,
e-mail: mathcyb@cs.msu.su)
(
Ðàññìàòðèâàþòñÿ îáùèå âîïðîñû, îòíîñÿùèåñÿ ê ðåøåíèÿì ñèñòåì ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ìíîãîçíà÷íîé ëîãèêè: çàâèñèìîñòü ðåøåíèé îò ôóíêöèîíàëüíûõ êîíñòàíò, âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé ñ çàäàííûì åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì èëè çàäàííûì ìíîæåñòâîì ðåøåíèé.
Îäèí èç ñòàíäàðòíûõ ñïîñîáîâ çàäàíèÿ ôóíêöèé è ìíîæåñòâ ôóíêöèé â ìàòåìàòèêå çàäàíèå ñ ïîìîùüþ ñèñòåì ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé. Ïðè îïðåäåëåíèè ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé èñïîëüçóþòñÿ ôóíêöèîíàëüíûå è èíäèâèäíûå ïåðåìåííûå, à òàêæå ðàçëè÷íûå ôóíêöèîíàëüíûå è èíäèâèäíûå êîíñòàíòû è, âîçìîæíî, ôóíêöèîíàëû è îïåðàòîðû. Íåìàëî ïîäîáíûõ ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ìîæíî íàéòè è â
òåîðèè ôóíêöèé ìíîãîçíà÷íîé ëîãèêè (îñîáåííî â òåîðèè áóëåâûõ ôóíêöèé). Òàê, ñ ïîìîùüþ ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ìîæíî îïðåäåëÿòü
ìíîæåñòâà ìîíîòîííûõ, ñàìîäâîéñòâåííûõ, ëèíåéíûõ è ìíîãèõ äðóãèõ
ôóíêöèé.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèâåä¼ì ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå
max(ϕ(x1 , . . . , xn ), ϕ(max(x1 , y1 ), . . . , max(xn , yn )) =
= ϕ(max(x1 , y1 ), . . . , max(xn , yn )),
êîòîðîå îïðåäåëÿåò (â êëàññå Pk ) ìíîæåñòâî âñåõ n-ìåñòíûõ ôóíêöèé,
ìîíîòîííûõ îòíîñèòåëüíî åñòåñòâåííîãî ïîðÿäêà íà Ek .
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ìû ðàññìàòðèâàåì ôóíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ
ìíîãîçíà÷íîé ëîãèêè. Öåëüþ ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå îáùèõ âîïðîñîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê ðåøåíèÿì ñèñòåì ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé
ýòîãî âèäà: çàâèñèìîñòü ðåøåíèé îò ôóíêöèîíàëüíûõ êîíñòàíò, âõîäÿùèõ â óðàâíåíèÿ, âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé ñ çàäàííûìè åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì èëè ìíîæåñòâîì ðåøåíèé. Àíàëîãè÷íûå
èññëåäîâàíèÿ áûëè íà÷àòû íàìè â ðàáîòå [1], ãäå ðàññìàòðèâàëèñü ðåøåíèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ áóëåâûõ óðàâíåíèé. Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî äëÿ
áóëåâûõ àëãåáð ïîõîæèå çàäà÷è ðàññìàòðèâàëèñü íåñêîëüêèìè àâòîðàìè
[24]. Ïðè ýòîì èññëåäîâàíèÿ ïðîâîäèëèñü äëÿ óðàâíåíèé ñ åäèíñòâåííîé
1 Ðàáîòà
âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÐÔÔÈ, ïðîåêò 09-01-00701
îäíîìåñòíîé ôóíêöèîíàëüíîé ïåðåìåííîé (äëÿ ôóíêöèé, ïðèíèìàþùèõ
çíà÷åíèÿ â áóëåâîé àëãåáðå), à â êà÷åñòâå îïåðàöèé äîïóñêàëèñü âñå îïåðàöèè áóëåâîé àëãåáðû.
Ââåä¼ì íåîáõîäèìûå ïîíÿòèÿ. Ïóñòü k ≥ 2, Ek = {0, 1, . . . , k − 1}, Pk
ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé íà Ek (ìíîæåñòâî ôóíêöèé k -çíà÷íîé ëîãèêè). Åñëè Q ⊆ Pk è n ≥ 1, òî ÷åðåç Q(n) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ
n-ìåñòíûõ ôóíêöèé èç Q.
 îïðåäåëåíèè ÿçûêà ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ïðèäåðæèâàåìñÿ
òåðìèíîëîãèè ðàáîòû [5]. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî êàæäàÿ ôóíêöèÿ èç Pk èìååò èíäèâèäóàëüíîå îáîçíà÷åíèå. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ n-ìåñòíûõ ôóíêöèé
(n)
èç Pk èñïîëüçóåì ñèìâîëû fi , êîòîðûå íàçûâàåì
. Íàðÿäó ñ ôóíêöèîíàëüíûìè êîíñòàíòàìè ðàññìàòðèâà(n)
åì
, äëÿ êîòîðûõ èñïîëüçóåì ñèìâîëû ϕi
(n)
ñ îáëàñòüþ çíà÷åíèé Pk . Êðîìå ôóíêöèîíàëüíûõ ïåðåìåííûõ èñïîëüçóåì îáû÷íûå èíäèâèäíûå ïåðåìåííûå x1 , x2 , . . . ñ îáëàñòüþ çíà÷åíèé
Ek .
Ïóñòü Q ⊆ Pk . Îïðåäåëèì ïîíÿòèå
. Âñÿêàÿ èíäèâèä(n)
íàÿ ïåðåìåííàÿ åñòü òåðì íàä Q. Åñëè t1 , . . . , tn òåðìû íàä Q, fi (n)
ôóíêöèîíàëüíàÿ êîíñòàíòà, ñëóæàùàÿ îáîçíà÷åíèåì ôóíêöèè èç Q, ϕj
ôóíêöèîíàëüíàÿ ïåðåìåííàÿ, òî âûðàæåíèÿ
ôóíêöèîíàëüíûìè
êîíñòàíòàìè
ôóíêöèîíàëüíûå ïåðåìåííûå
òåðìà íàä Q
(n)
(n)
fi (t1 , . . . , tn ),
ϕj (t1 , . . . , tn )
ñóòü òåðìû íàä Q.
Ðàâåíñòâîì íàä Q
íåíèÿìè íàä Q
íàçûâàåì ëþáîå âûðàæåíèå âèäà t1 = t2 , ãäå t1 , t2
òåðìû íàä Q. Ðàâåíñòâà íàä Q ñ÷èòàåì òàêæå
(n )
(n )
. Ïóñòü ϕi1 1 , . . . , ϕimm âñå ôóíêöèîíàëüíûå ïåðåìåííûå, âõîäÿùèå â óðàâíåíèå t1 = t2 .
t1 = t2 íàçûâà(n )
(n )
åì ñèñòåìó {fj1 1 , . . . , fjmm } ôóíêöèé èç Pk , êîòîðàÿ ïîñëå çàìåíû êàæ-
ôóíêöèîíàëüíûìè óðàâÐåøåíèåì óðàâíåíèÿ
(n )
(n )
äîé ïåðåìåííîé ϕis s ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèîíàëüíîé êîíñòàíòîé fjs s
ïðåâðàùàåò óðàâíåíèå t1 = t2 â òîæäåñòâî (îòíîñèòåëüíî âñåõ âõîäÿùèõ
â óðàâíåíèå èíäèâèäíûõ ïåðåìåííûõ). Åñëè Ξ êîíå÷íàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé, òî
Ξ íàçûâàåì ñèñòåìó ôóíêöèé èç
Pk , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì êàæäîãî óðàâíåíèÿ, âõîäÿùåãî â ñèñòåìó
Ξ.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ñ ïîìîùüþ ðåøåíèé ñèñòåì óðàâíåíèé îïðåäåëÿòü
íåêîòîðûå ìíîæåñòâà ôóíêöèé (îò îäíîãî è òîãî æå ÷èñëà ïåðåìåííûõ), âûäåëèì îäíó èç ôóíêöèîíàëüíûõ ïåðåìåííûõ ñèñòåìû Ξ, êîòî(n)
ðóþ íàçîâ¼ì
ñèñòåìû Ξ. Ïóñòü ϕi
(n)
ãëàâíàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ ïåðåìåííàÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé Ξ è F ⊆ Pk .
Ãîâîðèì, ÷òî ìíîæåñòâî ôóíêöèé
ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé
ãëàâíîé ôóíêöèîíàëüíîé ïåðåìåííîé
F îïðåäåëÿåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé
2
Ξ, åñëè F ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì âñåõ òåõ n-ìåñòíûõ ôóíêöèé, êîòîðûå
(n)
âõîäÿò â ðåøåíèÿ ñèñòåìû Ξ â êà÷åñòâå êîìïîíåíòû ïî ïåðåìåííîé ϕi .
Èíîãäà äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ êîíñòàíò ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñèìâîëû g, h (ñ èíäåêñàìè èëè áåç íèõ), à òàêæå ñèìâîëû yi , zj
äëÿ îáîçíà÷åíèÿ èíäèâèäíûõ ïåðåìåííûõ.
Ñ÷èòàåì, ÷òî íà ìíîæåñòâå Pk çàäàíà îïåðàöèÿ
[6]. Ïîíÿòèÿ ïîëíîòû, çàìêíóòîãî è ïðåäïîëíîãî êëàññîâ îòíîñÿòñÿ ê îïåðàöèè
ñóïåðïîçèöèè.
ñóïåðïîçèöèè
Ïóñòü
Q çàìêíóòûé êëàññ ôóíêöèé èç
Pk è äëÿ ëþáîãî
, ëþáîãî íàáîðà (a1, . . . , an) ∈ Ekn íàéäóòñÿ òàêèå
ôóíêöèè
èç
è òàêîé ýëåìåíò b ∈ Ek , ÷òî
Ò å î ð å ì à
1.
k ≥ 2,
n≥1
g1 , . . . , gn
Q(1) ∪ {x}
(a1 , . . . , an ) = (g1 (b), . . . , gn (b)).
Òîãäà äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g(x1, . . . , xm) ∈ Q ñóùåñòâóåò ñèñòåìà ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé íàä Q(1) ñ îäíîé ôóíêöèîíàëüíîé ïåðåìåííîé,
åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì êîòîðîé ñëóæèò g.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïî óñëîâèþ, äëÿ ëþáîãî íàáîðà (a1 , . . . , am ) ∈
Ekm , ñîîòâåòñòâóþùèõ åìó ôóíêöèé g1 , . . . , gm èç Q(1) è ýëåìåíòà b èç Ek
âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
g(a1 , . . . , am ) = g(g1 (b), . . . , gm (b)).
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ g ìîæåò áûòü êîððåêòíî îïðåäåëåíà ñèñòåìîé âñåõ k m óðàâíåíèé âèäà
ϕ(g1 (x), . . . , gm (x)) = f (x),
ãäå ÷åðåç f (x) îáîçíà÷åíà ôóíêöèÿ g(g1 (x), . . . , gm (x)) èç Q(1) , à íàáîð
ôóíêöèé (g1 , . . . , gm ) ñîîòâåòñòâóåò íàáîðó (a1 , . . . , am ). (Çàìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé íå îáÿçàòåëüíî ñîñòîèò â
òî÷íîñòè èç k m óðàâíåíèé, ïîñêîëüêó äëÿ ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ (a1 , . . . , am )
íàáîðû ôóíêöèé (g1 , . . . , gm ) ìîãóò, âîîáùå ãîâîðÿ, ñîâïàäàòü.) Òåîðåìà
äîêàçàíà.
Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèÿì òåîðåìû 1 óäîâëåòâîðÿåò, íàïðèìåð, ëþáîé
çàìêíóòûé êëàññ, ñîäåðæàùèé âñå ôóíêöèè-êîíñòàíòû; â ýòîì ñëó÷àå
âìåñòî ìíîæåñòâà Q(1) ìîæíî âçÿòü ìíîæåñòâî {0, 1, . . . , k − 1} âñåõ êîíñòàíò. Ê òàêèì êëàññàì îòíîñÿòñÿ, â ÷àñòíîñòè, êëàññ Pk è âñå ïðåäïîëíûå â Pk êëàññû, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ëþáûìè ïðåäèêàòàìè ñåìåéñòâ
O,E,L,B è íåîäíîìåñòíûìè ïðåäèêàòàìè ñåìåéñòâà C (îáîçíà÷åíèÿ ñåìåéñòâ ïðåäèêàòîâ ñì. â [7] èëè [8]). Óñëîâèÿì òåîðåìû 1 óäîâëåòâîðÿþò
3
òàêæå âñå ïðåäïîëíûå â Pk êëàññû, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ëþáûìè ïðåäèêàòàìè ñåìåéñòâà P è îäíîìåñòíûìè ïðåäèêàòàìè ñåìåéñòâà C.
Íàïîìíèì, ÷òî òåðíàðíûé äèñêðèìèíàòîð p îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:
z, åñëè x = y,
p(x, y, z) =
x â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
Åñëè a, b ∈ Ek è a < b, òî ïóñòü
max(x, y), åñëè x, y ∈ {a, b},
maxab (x, y) =
x â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Tk ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé èç Pk , êîòîðûå ñîõðàíÿþò ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Ek (ëþáîé ïðåäèêàò âèäà x ∈ E ,
ãäå E ⊆ Ek ). Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî Tk ñîäåðæèò ôóíêöèþ p, âñå ôóíêöèè
âèäà maxab è çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ñóïåðïîçèöèè.
Ïóñòü π ïåðåñòàíîâêà íà ìíîæåñòâå Ek è f ∈ Pk . Ôóíêöèÿ
π
f (x1 , . . . , xn ) = π −1 (f (π(x1 ), . . . , π(xn ))) íàçûâàåòñÿ
ê
ôóíêöèè f îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè π . Ôóíêöèÿ, äâîéñòâåííàÿ ñåáå
îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè π , íàçûâàåòñÿ
îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè π .
Ôóíêöèÿ f èç Pk íàçûâàåòñÿ
, åñëè f ñàìîäâîéñòâåííà
îòíîñèòåëüíî ëþáûõ ïåðåñòàíîâîê íà Ek . Ìíîæåñòâî âñåõ îäíîðîäíûõ
ôóíêöèé èç Pk îáîçíà÷èì ÷åðåç Hk . Èçâåñòíî (ñì. [9] èëè [10]), ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ èç Hk ñîõðàíÿåò ëþáîå l-ýëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî èç Ek
(l = 1, 2, . . . , k − 2).
Íàçîâ¼ì íàáîðû (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn )
, åñëè äëÿ ëþáûõ i, j (1 ≤ i, j ≤ n) âûïîëíÿåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòü
äâîéñòâåííîé
ñàìîäâîéñòâåííîé
îäíîðîäíîé
îäíîòèïíûìè
(ai = aj ) ⇔ (bi = bj ).
Ó ò â å ð æ ä å í è å 1.
{p, max01 , max02 , . . . , maxk−2,k−1 }
Ïðè ëþáîì k ≥ 2 ñèñòåìà ôóíêöèé
ïîëíà â êëàññå Tk .
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ g(x1 , . . . , xn )
èç êëàññà Tk . Åñëè n = 1, òî, î÷åâèäíî, g(x1 ) = x1 .  ýòîì ñëó÷àå èìååì,
íàïðèìåð, g(x1 ) = max01 (x1 , x1 ).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî n ≥ 2. Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ ðàçëè÷íûõ
íàáîðîâ (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) ∈ Ekn , èç êîòîðûõ õîòÿ áû îäèí ñîäåðæèò
íå ìåíåå äâóõ ýëåìåíòîâ, íàáîðû
(a1 , . . . , an , max01 (a1 , a2 ), max01 (a1 , a3 ), . . . , max01 (an−1 , an ), . . .
4
. . . , maxk−2,k−1 (a1 , a2 ), maxk−2,k−1 (a1 , a3 ), . . . , maxk−2,k−1 (an−1 , an )),
(b1 , . . . , bn , max01 (b1 , b2 ), max01 (b1 , b3 ), . . . , max01 (bn−1 , bn ), . . .
. . . , maxk−2,k−1 (b1 , b2 ), maxk−2,k−1 (b1 , b3 ), . . . , maxk−2,k−1 (bn−1 , bn )) (1)
ñîñòîÿùèå êàæäûé èç k(k − 1)n(n − 1)/4 ýëåìåíòîâ, íå îäíîòèïíû.
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî íàáîð (a1 , . . . , an ) ñîäåðæèò íå ìåíåå äâóõ ýëåìåíòîâ. Âûáåðåì òàêèå ÷èñëà i, j (1 ≤ i, j ≤ n), ÷òî ai < aj è (ai , aj ) 6= (bi , bj ).
Íåïîñðåäñòâåííûì ïåðåáîðîì âàðèàíòîâ óáåæäàåìñÿ â òîì, ÷òî íàáîðû
(ai , aj , maxai aj (ai , aj )),
(bi , bj , maxai aj (bi , bj ))
íå îäíîòèïíû. Ñëåäîâàòåëüíî, íåîäíîòèïíûìè áóäóò è íàáîðû (1).
Êàê èçâåñòíî (ñì. [9] èëè [10]), ôóíêöèÿ p îáðàçóåò áàçèñ ïî ñóïåð(m)
ïîçèöèè â êëàññå Hk . Èçâåñòíî òàêæå, ÷òî ëþáóþ ôóíêöèþ èç Hk
ìîæíî ïîëíîñòüþ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿìè íà ìàêñèìàëüíîì (ïî ÷èñëó
ýëåìåíòîâ) ìíîæåñòâå ïîïàðíî íå îäíîòèïíûõ íàáîðîâ èç Ekm . Îòñþäà
ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî â êëàññå Hk ìîæíî âûáðàòü òàêóþ ôóíêöèþ h îò
k(k − 1)n(n − 1)/4 + n ïåðåìåííûõ, ÷òî áóäåò âûïîëíÿòüñÿ òîæäåñòâî
g(x1 , . . . , xn ) = h(x1 , . . . , xn , max01 (x1 , x2 ), max01 (x1 , x3 ), . . . , max01 (xn−1 , xn ), . . .
. . . , maxk−2,k−1 (x1 , x2 ), maxk−2,k−1 (x1 , x3 ), . . . , maxk−2,k−1 (xn−1 , xn )).
Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
Ïóñòü g n-ìåñòíàÿ ôóíêöèÿ èç Pk .
ôóíêöèè g íàçîâ¼ì óïîðÿäî÷åííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âñåõ ôóíêöèé
âèäà g(xi1 , . . . , xin ), ãäå i1 , . . . , in ∈ {1, . . . , k}. Ïðèíöèï óïîðÿäî÷åíèÿ ìîæåò áûòü, íàïðèìåð, ëåêñèêîãðàôè÷åñêèì:
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ðÿäîì
g(x1 , . . . , x1 ), g(x1 , . . . , x1 , x2 ), . . . , g(xk , . . . , xk , xk−1 ), g(xk , . . . , xk ).
Ïóñòü {g1 (x1 , . . . , xk ), . . . , gkn (x1 , . . . , xk )} õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ðÿä
ôóíêöèè g , ãäå äëÿ åäèíîîáðàçèÿ âñå ôóíêöèè ñ÷èòàåì çàâèñÿùèìè îò
ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xk . Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ðÿä
ôóíêöèè ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò äàííóþ ôóíêöèþ. Äåéñòâèòåëüíî, íàáîð
(g1 (0, . . . , k − 1), . . . , gkn (0, . . . , k − 1)) åñòü âåêòîð çíà÷åíèé ôóíêöèè g ,
ïðèíèìàåìûõ åþ íà âñåõ k n íàáîðàõ èç Ekn .
Ïóñòü k ≥ 2, n ≥ 1, F ⊆ Pk(n) è F 6= ∅. Òîãäà
ñóùåñòâóåò ñèñòåìà ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ôóíêöèîíàëüíûìè
êîíñòàíòàìè p,max01, max02, . . . , maxk−2,k−1, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò ìíîæåñòâî F.
Ò å î ð å ì à
2.
5
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îïðåäåëèì â êëàññå Tk (k n + k + 2)-ìåñòíóþ
ôóíêöèþ h. Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g èç F ïóñòü
h(x1 , . . . , xk , y1 , y2 , g1 (x1 , . . . , xk ), . . . , gkn (x1 , . . . , xk )) = y1
(2)
h(x1 , . . . , xk , y1 , y2 , z1 , . . . , zkn ) = y2
(3)
è
äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ çíà÷åíèé z1 , . . . , zkn .
Ôóíêöèÿ h ïðèíàäëåæèò êëàññó Tk , ïîñêîëüêó å¼ çíà÷åíèÿ ñîâïàäàþò
ñî çíà÷åíèÿìè ïåðåìåííûõ y1 , y2 .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî n-ìåñòíàÿ ôóíêöèÿ g 0 íå âõîäèò â ìíîæåñòâî F .
Òîãäà ðàâåíñòâî (2) äëÿ ôóíêöèè g 0 íå ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xk .  ñàìîì äåëå, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ôóíêöèè h, íàïðèìåð, äëÿ çíà÷åíèé x1 = 0, . . . , xk = k−1
ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíêöèÿ g ∈ F , ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
(0, . . . , k − 1, g10 (0, . . . , k − 1), . . . , gk0 n (0, . . . , k − 1)) =
= (0, . . . , k − 1, g1 (0, . . . , k − 1), . . . , gkn (0, . . . , k − 1)).
(4)
Îäíàêî, êàê îòìå÷åíî âûøå, âåêòîð
ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò ôóíêöèþ g 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ðàâåíñòâî (4) ïðîòèâîðå÷èò ñîîòíîøåíèÿì g 0 ∈
/ F, g ∈ F .
(n)
Èç äîêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ g èç Pk ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó F òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòíîøåíèå (2) âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî ïî ïåðåìåííûì x1 , . . . , xk , y1 , y2 . Îòñþäà ëåãêî
ïîëó÷èòü èñêîìóþ ñèñòåìó ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ôóíêöèîíàëüíûìè ïåðåìåííûìè. Èìåííî, ñíà÷àëà â ñîîòâåòñòâèè ñ óòâåðæäåíèåì 1 ñòðîèì ñèñòåìó ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé Ξ1 ñ îäíîé ôóíêöèîíàëüíîé ïåðåìåííîé ϕ1 è ôóíêöèîíàëüíûìè êîíñòàíòàìè {p, max01 ,
max02 , . . . , maxk−2,k−1 }, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò ôóíêöèþ h. Çàòåì ââîäèì
íîâóþ (ãëàâíóþ) ôóíêöèîíàëüíóþ ïåðåìåííóþ ϕ2 è â ñîîòâåòñòâèè ñ
ðàâåíñòâîì (2) äîáàâëÿåì ê ñèñòåìå Ξ1 óðàâíåíèå
(g10 (0, . . . , k − 1), . . . , gk0 n (0, . . . , k − 1))
ϕ1 (x1 , . . . , xk , y1 , y2 , ϕ2 (x1 , . . . , x1 ), ϕ2 (x1 , . . . , x1 , x2 ), . . .
. . . , ϕ2 (xk , . . . , xk , xk−1 ), ϕ2 (xk , . . . , xk )) = y1 ,
â êîòîðîì ðàñïðåäåëåíèå ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xk ïîä çíàêîì ôóíêöèîíàëüíîé ïåðåìåííîé ϕ2 ñîîòâåòñòâóåò èõ ðàñïðåäåëåíèþ ïðè ïîëó÷åíèè
õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ðÿäà ôóíêöèè g â ðàâåíñòâå (2). (Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ôóíêöèîíàëüíóþ ïåðåìåííóþ ϕ1 èñïîëüçîâàòü â äîêàçàòåëüñòâå íå îáÿçàòåëüíî å¼ ìîæíî çàìåíèòü ñîîòâåòñòâóþùèì òåðìîì, ïîñòðîåííûì èç ôóíêöèîíàëüíûõ êîíñòàíò p, max01 , . . . , maxk−2,k−1 .) Òåîðåìà äîêàçàíà.
6
Îòìåòèì, ÷òî ïðè k = 2 (ñëó÷àé áóëåâûõ ôóíêöèé) ôóíêöèÿ max01
åñòü äèçúþíêöèÿ, à ôóíêöèþ p â òåîðåìå 2 ìîæíî çàìåíèòü êîíúþíêöèåé.
Ó ò â å ð æ ä å í è å 2. Ïóñòü k ≥ 2, π ïåðåñòàíîâêà íà ìíîæåñòâå Ek , Q ìíîæåñòâî ôóíêöèé èç Pk , ñàìîäâîéñòâåííûõ îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè π, è ìíîæåñòâî ôóíêöèé F îïðåäåëÿåòñÿ íåêîòîðîé ñèñòåìîé ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé íàä Q. Òîãäà ìíîæåñòâî
F âìåñòå ñ êàæäîé ôóíêöèåé f ñîäåðæèò òàêæå äâîéñòâåííóþ ôóíêöèþ f π .
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü ñèñòåìà ôóíêöèé {fi1 , . . . , fim } ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé Ξ íàä Q. Åñëè t1 , t2 òåðìû íàä
ìíîæåñòâîì ôóíêöèé Q ∪ {fi1 , . . . , fim } è ðàâåíñòâî t1 = t2 âûïîëíÿåòñÿ
ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ èíäèâèäíûõ ïåðåìåííûõ, âõîäÿùèõ â òåðìû t1 , t2 ,
òî â ñèëó ñàìîäâîéñòâåííîñòè ôóíêöèé èç Q è ïðèíöèïà äâîéñòâåííîñòè äëÿ ôóíêöèé ìíîãîçíà÷íîé ëîãèêè ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ èíäèâèäíûõ
ïåðåìåííûõ áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî tπ1 = tπ2 , ãäå òåðìû tπ1 , tπ2 ïîëó÷àþòñÿ èç òåðìîâ t1 , t2 çàìåíîé ôóíêöèé fi1 , . . . , fim ñîîòâåòñòâóþùèìè
äâîéñòâåííûìè ôóíêöèÿìè fiπ1 , . . . , fiπm . Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìå óðàâíåíèé Ξ áóäåò óäîâëåòâîðÿòü ñèñòåìà ôóíêöèé {fiπ1 , . . . , fiπm }.
Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
Ïóñòü k ≥ 2, n ≥ 1 è F íåïóñòîå ìíîæåñòâî
ôóíêöèé èç , êîòîðîå äëÿ ëþáîé ïåðåñòàíîâêè π íà ìíîæåñòâå Ek
íàðÿäó ñ ëþáîé ôóíêöèåé f ñîäåðæèò äâîéñòâåííóþ ôóíêöèþ f π . Òîãäà ñóùåñòâóåò ñèñòåìà ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ñ åäèíñòâåííîé
ôóíêöèîíàëüíîé êîíñòàíòîé p, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò ìíîæåñòâî F.
Ò å î ð å ì à 3.
(n)
Pk
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òàê æå, êàê â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2,
îïðåäåëèì â êëàññå Hk ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâ (2) è (3) (k n + k + 2)-ìåñòíóþ
ôóíêöèþ h. Ïî ïîñòðîåíèþ, ôóíêöèÿ h ñîõðàíÿåò ëþáîå ïîäìíîæåñòâî
ìíîæåñòâà Ek . Ïîýòîìó ÷òîáû óñòàíîâèòü âêëþ÷åíèå h ∈ Hk , äîñòàòî÷íî
äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ îäíîòèïíûõ íàáîðîâ
(a01 , . . . , a0k , b01 , b02 , c01 , . . . , c0kn )
(a1 , . . . , ak , b1 , b2 , c1 , . . . , ckn ),
(5)
èç ðàâåíñòâà
h(a1 , . . . , ak , b1 , b2 , c1 , . . . , ckn ) = b1
(6)
ñëåäóåò ðàâåíñòâî h(a01 , . . . , a0k , b01 , b02 , c01 , . . . , c0kn ) = b01 .
Îäíàêî èç îäíîòèïíîñòè íàáîðîâ (5) âûòåêàåò, ÷òî íàéä¼òñÿ ïåðåñòàíîâêà π , êîòîðàÿ ïåðåâîäèò ïåðâûé èç íàáîðîâ (5) âî âòîðîé, ò.å.
a01 = π(a1 ), . . . , a0k = π(ak ), b01 = π(b1 ), b02 = π(b2 ), c01 = π(c1 ), . . . , c0kn = π(ckn )
(7).
7
Äàëåå, èç ðàâåíñòâà (6) è îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè h (ñì. ðàâåíñòâî (2))
ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè g èç ìíîæåñòâà F âûïîëíÿþòñÿ
ñîîòíîøåíèÿ
c1 = g1 (a1 , . . . , ak ), . . . , ckn = gkn (a1 , . . . , ak ).
Çíà÷èò, ñ ó÷¼òîì ðàâåíñòâ (7) âòîðîé èç íàáîðîâ (5) ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå
(π(a1 ), . . . , π(ak ), π(b1 ), π(b2 ), π(g1 (a1 , . . . , ak )), . . . , π(gkn (a1 , . . . , ak ))).
Îäíàêî â ñèëó îïðåäåëåíèÿ äâîéñòâåííîñòè èìååì
−1
π(gi (a1 , . . . , ak )) = giπ (π(a1 ), . . . , π(ak )) (1 ≤ i ≤ k n ).
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè îïðåäåëåíèè ôóíêöèè h ñîãëàñíî ðàâåíñòâó (2) âòî−1
ðîé èç íàáîðîâ (5) ïîÿâèòñÿ äëÿ ôóíêöèè g π . Îñòà¼òñÿ çàìåòèòü, ÷òî
−1
ïî óñëîâèþ òåîðåìû ôóíêöèÿ g π ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó F .
Òðåáóåìàÿ ñèñòåìà ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé äàëåå ñòðîèòñÿ ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ñèñòåìå èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 2. Òåîðåìà 3
äîêàçàíà.
 ñëó÷àå áóëåâûõ ôóíêöèé ôóíêöèîíàëüíóþ êîíñòàíòó p â òåîðåìå
3 ìîæíî íå èñïîëüçîâàòü.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ìàð÷åíêîâ Ñ.Ñ., Ô¼äîðîâà Â.Ñ. Î ðåøåíèÿõ ñèñòåì ôóíêöèîíàëüíûõ áóëåâûõ óðàâíåíèé // Äèñêðåòíûé àíàëèç è èññëåäîâàíèå îïåðàöèé.
2008. 15.  6. Ñ. 4857.
2. Ekin O., Foldes S., Hammer P.L., Hellerstein L. Equational characterizations of Boolean function classes // Discrete Mathematics. 2000. 211. P.
2751.
3. Foldes S. Equitional classes of Boolean functions via the HSP Theorem
// Algebra Universalis. 2000. 44. P. 309324.
4. Pippenger N. Galois theory for minors of nite functions // Discrete
Mathematics. 2002. 254. P. 405419.
5. Ìàð÷åíêîâ Ñ.Ñ. Ýêâàöèîíàëüíîå çàìûêàíèå // Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà. 2005. 17. Âûï. 2. Ñ. 117-126.
6. ßáëîíñêèé Ñ.Â. Ââåäåíèå â äèñêðåòíóþ ìàòåìàòèêó. Ì.: Íàóêà,
1986.
7. Rosenberg I.G. Über die funktionale Vollständigkeit in den mehrwertigen
Logiken // Rozpravy Československe Akad. Věd. Řada Math. Přir. Věd.
Praha. 1970. 80. S. 393.
8
8. Ìàð÷åíêîâ Ñ.Ñ. Ôóíêöèîíàëüíûå ñèñòåìû ñ îïåðàöèåé ñóïåðïîçèöèè. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2004.
9. Ganter B., Plonka J., Werner H. Homogeneous algebras are simple //
Fund. Math. 1973. 79.  3. P. 217220.
10. Ìàð÷åíêîâ Ñ.Ñ. Îäíîðîäíûå àëãåáðû // Ïðîáëåìû êèáåðíåòèêè,
âûï. 39. Ì.: Íàóêà, 1982. Ñ. 85-106.
9