Оганесов О.А. Пересечение поверхностей

МОСКОВСКИЙ
АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Кафедра начертательной геометрии и черчения
О.А.ОАНЕСОВ, Н.Н.КУЗЕНЕВА,
И.М.РЯБИКОВА
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Методическое пособие
к выполнению расчетно-графической
работы для студентов
механических специальностей
МОСКВА 2004
УДК 514.18
ББК 22.151.3
© Московский автомобильно-дорожный институт
(государственный технический университет), 2004г.
3
ВВЕДЕНИЕ
Данное пособие предназначено для студентов факультетов
автомобильного транспорта, дорожных и технологических машин,
конструкторско-механического, управления и энерго-экологического
дневной и вечерней форм обучения, изучающих начертательную
геометрию. В нем кратко излагаются теоретические вопросы,
лежащие в основе решения задач на пересечение поверхностей,
даются практические рекомендации по их выполнению и разбираются
конкретные примеры.
Задачи на пересечение поверхностей - составляющая часть
расчетно-графической работы (РГР) “Пересечение поверхностей” по
начертательной геометрии (НГ). Пособие предназначено для того,
чтобы обеспечить выполнение РГР по вышеупомянутой теме.
Задачу на пересечение поверхностей называют 2-й главной
позиционной задачей (2ГПЗ), которая совместно с задачей на
пересечение линии и поверхности (1ГПЗ) образует один из основных
разделов учебного курса НГ - раздел “Главные позиционные задачи”.
К изучению этого раздела студенты приступают после проработки
разделов “Точка, прямая, плоскость” и “Образование и задание
поверхностей на чертеже”.
Решение 2ГПЗ основывается на трех алгоритмах (см. лекции),
зависящих от вида пересекающихся поверхностей и соответствующих
трем возможным случаям их расположения относительно плоскостей
проекций:
- 1-й случай - обе пересекающиеся поверхности проецирующие
(задача в этом случае обозначается 2ГПЗ-1);
- 2-й случай - одна из пересекающихся поверхностей проецирующая, а вторая нет (2ГПЗ-2);
- 3-й случай - обе пересекающиеся поверхности непроецирующие
(2ГПЗ-3).
Важный для практики случай пересечения двух проецирующих
поверхностей имеет очевидное решение, поэтому для понимания и
усвоения решения 2ГПЗ-1 вполне достаточно лекционного материала
и соответствующих задач из методического пособия по НГ.
4
Из двух оставшихся случаев 2ГПЗ, требующих дополнительной
самостоятельной проработки, наиболее часто встречающимся в
машиностроительных чертежах является случай, когда одна из
пересекающихся поверхностей проецирующая, а вторая нет. В ряде
случаев при выполнении и чтении машиностроительных чертежей
приходится сталкиваться с задачей на пересечение непроецирующих
поверхностей, играющей большую роль в развитии пространственного воображения и общей подготовке будущего специалиста.
Указания о количестве задач на пересечение поверхностей,
входящих в РГР, их типе (2ГПЗ-2 и (или) 2ГПЗ-3) и вариантах заданий
на них в зависимости от специальности учебной группы студенты
получают от преподавателя. Некоторыми специальностями могут
использоваться варианты заданий, приведенные в приложениях
данного пособия. В приложении 1 во всех вариантах одна из
пересекающихся поверхностей гранная, а вторая - кривая, а в
приложении 2 во всех вариантах обе пересекающиеся поверхности
кривые.
Номер варианта задания студента совпадает с порядковым
номером, под которым в журнале учебной группы записана его
фамилия.
В пособии используются условные обозначения и сокращения,
применяемые в курсе лекций и рабочих тетрадях по НГ.
5
1. ОБЩЕЕ УСЛОВИЕ ЗАДАЧ НА ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ЛЕЖАЩИЕ
В ОСНОВЕ ИХ РЕШЕНИЯ
Все задачи на пересечение поверхностей, входящие в РГР,
имеют одинаковое условие:
заданы поверхности
и
; назвать поверхности;
построить проекции линии k их пересечения, показав
построение её характерных точек; определить видимость
линии
k
и взаимную видимость контурных линий
пересекающихся поверхностей; для 2ГПЗ-2 записать графический алгоритм (ГА), а для 2ГПЗ-3 - пространственный
алгоритм (ПА) построения одной точки линии пересечения.
Рассмотрим общие теоретические и практические предпосылки к
решению задач, последовательно комментируя каждое положение их
общего условия.
1. Заданы поверхности
и .
В задании к каждому варианту приведены формулы пересекающихся поверхностей
и
и их чертежи с размерами в мм и
обозначенными элементами определителей.
Размеры даются только для выполнения исходного чертежа и в
дальнейшем не проставляются.
В некоторых задачах РГР направляющими или образующими
линиями одной из поверхностей являются лекальные кривые второго
порядка (эллипс, парабола, гипербола). Способы построения этих
кривых приведены в справочниках и учебниках по машиностроительному черчению, а также во 2-й части методического пособия по
начертательной геометрии для студентов механических специальностей.
6
В вариантах заданий проекции заведомо видимых крайних
контурных линий единой фигуры, которую при пересечении образуют
данные поверхности, показаны основными линиями.
В ряде вариантов заданий для облегчения чтения исходного
чертежа и его однозначности штриховой линией показаны проекции
некоторых линий невидимого контура одной из поверхностей. В
результате пересечения поверхностей видимость этих линий или их
частей может измениться.
2. Назвать поверхности.
Названия пересекающихся поверхностей определяются в
результате визуального анализа данных исходного чертежа и формул
поверхностей. Визуальный анализ исходных данных - важнейший
этап решения задачи, в значительной мере определяющий
дальнейший ход её решения.
На этом этапе также следует установить вид и способы их
образования, возможный характер линии пересечения, наличие
среди данных поверхностей проецирующих поверхностей, а при их
отсутствии - вид и расположение вспомогательных секущих
поверхностей.
Приступая к выполнению РГР, студенты должны уметь задавать
на чертеже изученные поверхности и читать заданный чертеж поверхности, определяя изображенную на нем поверхность.
Напомним, что поверхность в НГ рассматривается как результат
перемещения в пространстве линии, называемой образующей
поверхности. Закон перемещения образующей называют законом
образования поверхности.
Условно выделяют следующие виды поверхностей:
2.1. Линейчатые поверхности, которые могут быть образованы
перемещением (но не вращением) прямой линии.
В учебном курсе к этим поверхностям относят плоскость,
цилиндрическую, призматическую, коническую, пирамидальную
поверхности, линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма
(цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид), линейчатую
поверхность с тремя направляющими и винтовые линейчатые
поверхности (прямой и наклонный геликоиды).
7
2.2. Циклические поверхности, которые могут быть образованы
перемещением (но не вращением) окружности или её дуги.
В курсе рассматривают только три циклические поверхности (все
три - с плоскостью параллелизма):
- циклическую поверхность с линией центров и образующей окружностью постоянного радиуса;
- циклическую поверхность с линией центров и одной направляющей;
- циклическую поверхность с тремя направляющими.
2.3. Поверхности вращения, которые могут быть образованы
вращением линии вокруг неподвижной оси.
В курсе рассматриваются:
- линейчатые поверхности вращения (цилиндрическая, коническая и
однополостный гиперболоид вращения), которые могут быть
образованы вращением прямой линии;
- торы (открытый, закрытый, пересекающийся, сфера) - циклические поверхности вращения, которые могут быть образованы
вращением окружности или её дуги;
- поверхности вращения, которые могут образовываться при вращении лекальных кривых второго порядка вокруг их осей (эллипсоид
вращения, параболоид вращения, однополостный и двухполостный
гиперболоиды вращения);
- поверхности вращения общего вида, образованные вращением
произвольной кривой.
С вопросами задания поверхности на чертеже неразрывно
связана задача на принадлежность точки поверхности (основная
позиционная задача). Эта задача решается в соответствии с
условием: точка принадлежит поверхности, если она принадлежит
линии этой поверхности; сначала на поверхности строится линия, а
затем на линии ищется или задается точка.
Задачу на принадлежность точки линейчатой поверхности целесообразно решать с использованием образующих этой поверхности прямых линий, проекции которых строят по заданному закону
образования (см. формулу поверхности).
8
Аналогично эта задача решается для циклической поверхности, с
той лишь разницей, что образующей этой поверхности является
окружность.
Точки на поверхности вращения удобно строить с помощью
семейства окружностей, которые образуются при вращении точек
образующей линии поверхности. Эти окружности называют
параллелями. Удобство использования параллелей связано с тем, что
на плоскость проекций, перпендикулярную оси вращения, параллели
проецируются в окружности, а на другую плоскость проекций - в
отрезки, перпендикулярные проекции оси вращения.
При определении возможного характера линии пересечения
необходимо учесть следующие моменты:
- кривая и гранная поверхности (призматическая и пирамидальная)
пересекаются по линии, состоящей из частей, каждая из которых есть
результат пересечения кривой поверхности с одной из граней (плоскостей); эти части соединяются между собой в общих точках,
расположенных на ребрах гранной поверхности;
- плоскости (грани) могут пересекать кривую поверхность по линиям, названия, свойства и характер которых должны быть студентам
известны (например, конические сечения, линии, получаемые при
пересечении цилиндрической поверхности плоскостью и т.д.);
- гранные поверхности пересекаются между собой по ломаной
линии, для построения которой достаточно найти точки пересечения
ребер каждой поверхности с другой поверхностью;
- соответствие вида и расположения пересекающихся поверхностей одному из известных частных случаев пересечения поверхностей,
например, теореме Монжа.
Поверхность является проецирующей относительно плоскости
проекций (ПП), если все точки поверхности проецируются на эту ПП в
линию, которую называют основной проекцией проецирующей
поверхности.
При ортогональном проецировании проецирующими могут быть
только некоторые линейчатые поверхности, а именно: плоскость,
цилиндрическая и призматическая поверхности. Основной проекцией
9
проецирующей плоскости является прямая, цилиндрической
проецирующей поверхности - кривая, а призматической - ломаная.
Признак, позволяющий определить проецирующую поверхность
на чертеже: любая прямая - образующая этой поверхности проецируется на ПП в точку, так как является проецирующей прямой.
Главное свойство основной проекции проецирующей поверхности - собирательное: в основную проекцию проецируются все геометрические образы, принадлежащие этой поверхности.
3. Построить проекции линии k пересечения поверхностей,
показав построение её характерных точек.
Любая линия в курсе НГ рассматривается, прежде всего, как
непрерывное множество точек. Поэтому и линия пересечения поверхностей в общем случае строится по точкам, принадлежащим обеим
пересекающимся поверхностям (соответственно проекции линии
пересечения строятся по проекциям указанных точек).
Построение проекций линии k пересечения поверхностей, т.е.
построение проекций её точек, осуществляется в соответствии с
алгоритмом, зависящим от того, какой случай решения 2ГПЗ (2ГПЗ-2
или 2ГПЗ-3) имеет место в задаче. Однако во всех случаях алгоритм
решения 2ГПЗ исходит из уже упомянутого очевидного утверждения:
линия пересечения двух поверхностей - это их общая линия,
принадлежащая каждой из пересекающихся поверхностей.
Алгоритм решения 2ГПЗ при пересечении проецирующей и
непроецирующей поверхностей (2ГПЗ-2):
1. Одна проекция линии пересечения известна.
2. Эта проекция принадлежит основной проекции проецирующей
поверхности, и её следует только обозначить.
3. Неизвестная проекция линии пересечения строится из условия
принадлежности этой линии непроецирующей поверхности.
Таким образом, при решении 2ГПЗ-2 одна проекция точек линии
пересечения задана (она принадлежит известной проекции линии
10
пересечения), а неизвестная проекция точек этой линии определяется
из условия их принадлежности непроецирующей поверхности.
Алгоритм решения 2ГПЗ при пересечении непроецирующих
поверхностей (2ГПЗ-3):
1. Задается вспомогательная секущая поверхность, пересекающая
две заданные поверхности (например, плоскость или сфера).
2. Строятся линии пересечения вспомогательной секущей поверхности с каждой из заданных.
3. Точка (точки) пересечения этих линий между собой - это точка
(точки) искомой линии пересечения.
Для построения другой (других) точки (точек) линии пересечения
задается новая вспомогательная секущая поверхность и т.д.
Выбор вида и расположения вспомогательной секущей поверхности осуществляется в результате визуального анализа исходного
чертежа пересекающихся поверхностей и их формул. Этот выбор
определяется требованием простоты построения линий пересечения
вспомогательной секущей поверхности с заданными поверхностями и
зависит от их вида и расположения друг относительно друга и
плоскостей проекций. Желательно, чтобы указанные линии
пересечения были прямые или окружности.
Универсальный вид вспомогательных секущих поверхностей проецирующие плоскости. При решении задач данной РГР в
к ачестве вспомогательных сек ущих поверхностей можно
рекомендовать плоскости уровня.
Число проекций точек, которые следует построить, должно быть
достаточным для того, чтобы по ним можно было однозначно
определить и вычертить проекции линии пересечения.
Точки линии пересечения подразделяются на характерные,
которые по возможности строятся обязательно, и промежуточные или
произвольные.
Характерными называют точки линии пересечения, которые
выделяются особым расположением на ней по отношению к
пересекающимся поверхностям и плоскостям проекций или занимают
особые места на линии. К характерным точкам линии пересечения
относят:
11
- точки, расположенные на контурных линиях пересекающихся
поверхностей;
- “крайние” относительно плоскостей проекций точки (самая нижняя,
верхняя, левая, правая, ближняя, дальняя);
- точки, являющиеся вершинами кривых второго порядка, а также
точки перегиба линии пересечения (указанные здесь точки строят в
случае, если это в значительной мере не усложняет решение
задачи).
4. Определить видимость линии k и взаимную видимость
контурных линий пересекающихся поверхностей.
При решении вопросов видимости в задачах на пересечение
необходимо учитывать следующее:
- поверхность рассматривается как тончайшая непрозрачная оболочка;
- пересекающиеся поверхности, как уже отмечалось, образуют
единую фигуру (составную поверхность), и контурные линии одной
поверхности в другую поверхность не проникают, существуя лишь
теоретически;
- относительно плоскости проекций видны те части линии пересечения, которые одновременно видны с точки зрения обеих пересекающихся поверхностей;
- взаимная видимость контурных линий пересекающихся поверхностей в общем случае определяется методом конкурирующих точек.
5. Для 2ГПЗ-2 записать ГА, а для 2ГПЗ-3 - ПА построения одной
точки линии персечения.
ГА - описание последовательности графических построений на
чертеже, приводящих к решению задачи.
ПА - описание последовательности геометрических построений в
пространстве, приводящих к решению задачи.
По большому счету ПА представляет собой план решения задачи,
а ГА - конкретное воплощение этого плана на чертеже.
Для краткости изложения ГА и ПА записывают, используя условные
обозначения, чертежным шрифтом №5 или №7.
12
2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ
“ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ“
Каждая задача РГР на пересечение поверхностей решается на
двухкартинном чертеже в масштабе 1:1 на вертикально расположенном формате А3. Все графические построения осуществляются
карандашом с использованием чертежного инструмента.
2ГПЗ рекомендуется выполнять в такой последовательности:
1. В тонких линиях с соблюдением размеров по индивидуальному
варианту задания вычерчивается исходный чертеж с обозначенными
элементами определителей пересекающихся поверхностей, а над
ним каждая на отдельной строке записываются их формулы.
Под формулами записывается условие задачи:
На формате должны быть рамка и заполненная основная
надпись чертежа , в которой записывают его обозначение,
наименование РГР (“Пересечение поверхностей”), название
института и группы, фамилии студента и преподавателя, масштаб
чертежа (1:1), номер листа и количество листов, входящих в РГР.
В графе обозначения чертежа указывают десятизначный номер
40.XX.YYY.000, где 40 - шифр кафедры, XX - номер РГР (в примерах
принимается 02 ), YYY - номер индивидуального варианта задания
(например, для варианта №13 вместо YYY записывают 013).
2. Проводится визуальный анализ исходного чертежа и формул
поверхностей с целью определить:
2.1. Названия поверхностей, которые записываются на одной
строке с соответствующей формулой.
2.2. Вид и способы образования заданных поверхностей.
2.3. Возможный характер линии пересечения.
2.4. Наличие или отсутствие среди данных поверхностей проецирующих поверхностей.
13
2.5. Расположение вспомогательных секущих плоскостей уровня
(параллельно П или П ), которые в РГР используются при построении
линии пересечения непроецирующих поверхностей и пересекают
данные поверхности по прямым линиям и (или) окружностям (в общем
случае - вид и расположение вспомогательных секущих поверхностей).
3. Выполняются графические построения, приводящие к получению проекций характерных и ряда произвольных точек линии k пересечения поверхностей (см. 3.1. для 2ГПЗ-2 или 3.2. для 2ГПЗ-3).
3.1. Одна из пересекающихся поверхностей проецирующая, а
вторая нет (2ГПЗ-2):
а) обозначается основная проекция проецирующей поверхности;
б) обозначается известная проекция k или k линии k пересечения
поверхностей, принадлежащая основной проекции проецирующей поверхности;
в) определяется неизвестная проекция какой-то произвольной точки
линии пересечения k:
- на известной проекции линии k берется произвольная точка проекция точки линии k;
- строится вторая проекция этой точки из условия принадлежности
точки непроецирующей поверхности (решается основная позиционная задача);
- записывается ГА построения проекций произвольной точки
линии k;
г) подобным образом (но без записи ГА) строятся неизвестные
проекции характерных и ряда других произвольных точек линии
д) построенные проекции точек соединяются линией, являющейся
неизвестной проекцией линии пересечения (далее см. пункт 4).
3.2. Обе пересекающиеся поверхности непроецирующие (2ГПЗ-3):
а) определяются проекции произвольной точки искомой линии
пересечения:
- задается произвольная вспомогательная секущая плоскость уровня,
пересекающая данные поверхности, как уже отмечалось, по прямым
и (или) по окружностям;
- строятся проекции линий пересечения вспомогательной секущей
плоскости с каждой из поверхностей;
14
- ищутся проекции искомой точки, в которой пересекаются построенные линии пересечения (точки линии k);
- записывается ПА построения произвольной точки линии пересечения k;
б) подобным образом (но без записи ПА) строятся проекции характерных и ряда произвольных точек линии пересечения k;
в) одноименные проекции найденных точек соединяются в линию,
представляющую собой проекцию искомой линии пересечения k.
4. Определяется видимость линии пересечения.
5. Методом конкурирующих точек определяется взаимная видимость контурных линий пересекающихся поверхностей.
6. Выполненная в тонких линиях задача проверяется преподавателем, который при условии правильности решения дает разрешение
на обводку чертежа.
На полностью выполненном чертеже сохраняются обозначения и
линии построений, позволяющие проследить последовательность
определения проекций одной произвольной точки линии пересечения,
обозначения элементов определителей пересекающихся поверхностей и выделяются проекции характерных точек линии пересечения.
Еще раз подчеркиваем: на всех этапах решения задачи все
графические построения выполняются тонкими линиями; обводить
чертеж можно только с разрешения преподавателя.
Все надписи и обозначения на чертеже выполняются по ГОСТ
2.304-81 “Шрифты чертежные”.
Форма и размеры основной надписи определяются по ГОСТ 2.10468* “Основные надписи” (см. справочники и методические пособия по НГ).
Толщину и тип используемых для решения и оформления задач
линий устанавливает ГОСТ 2.303-68. В РГР применяют:
- сплошную толстую основную линию (рекомендуемая толщина 0,8 1,0 мм) для изображений линий видимого контура;
- штриховую линию для вычерчивания линий невидимого контура;
- сплошную тонкую линию для вычерчивания линий связи, графических построений и проекций реально несуществующих контурных линий пересекающихся поверхностей;
- штрихпунктирную тонкую линию для вычерчивания осевых и
центровых линий.
15
В соответствии с ГОСТ толщина штриховой, штрихпунктирной и
сплошной тонкой линий составляет 1/3 - 1/2 от толщины основной
линии.
В приводимых в следующем разделе примерах решения задач
для лучшего их восприятия и возможности дать подробные пояснения
графические построения осуществляются на нескольких последовательно выполняемых чертежах, начиная с исходного и завершая
готовым. При этом часть построений и обозначений, имеющихся на
промежуточных чертежах, на итоговом чертеже может отсутствовать.
Студент же все построения последовательно выполняет на одном
чертеже, начиная с исходного.
16
3. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ 2ГПЗ В РГР
“ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ”
Пояснения к примерам имеют такую же нумерацию, что и
рекомендуемая в разделе 2 последовательность их выполнения.
ПРИМЕР №1
На рис. 1.1 приведен 31-й вариант задания 2ГПЗ для РГР “Пересечение поверхностей”, используемый в пособии в качестве условия
примера №1.
Пример выполняется в такой
последовательности:
1. В верхней части формата А3 с
рамкой и заполненной основной
надписью чертежа записываются каждая на своей строчке формулы пересекающихся поверхностей и условие
задачи (рис. 1.2). Ниже
в тонких
линиях по размерам, приведенным
на рис. 1.1, вычерчивается исходный
чертеж задачи, на котором обозначаются элементы определителей
поверхностей.
Рис. 1.1
2. Анализ формул и исходного чертежа данных поверхностей
показывает (рис. 1.2), что обе пересекающиеся поверхности являются
линейчатыми.
Поверхность Ô представляет собой цилиндрическую поверхность, которая образуется перемещением прямой l, пересекающей
e и параллельной при этом самой себе. Контурными линиями
этой поверхности относительно П
являются линии e, l, l , q, а
относительно П - линии e, l , l , q (рис. 1.3).
кривую
Поверхность
представляет собой призматическую поверх-
ность, которая образуется перемещением прямой
t, пересекающей
ABD и параллельной при этом самой себе. Контурными линиями
этой поверхности относительно П являются ABD, аналогичный ему
17
Рис. 1.2
18
треугольник, не обозначенный на рис. 1.3, и ребра
относительно П
-
t, d, b, а
ABD.
Так как образующая
t призматической поверхности проецирую-
щая на П (t П ), то и сама призматическая поверхность является
проецирующей на П .
Анализируя возможный харак тер линии пересечения
поверхностей, отметим следующее.
Плоскость грани призматической поверхности, определяемая
ребрами d и t и параллельная образующей l цилиндрической поверхности Ô , пересекает последнюю по отрезкам прямых, являющихся
образующими поверхности Ô . Две другие грани, определяемые
соответственно ребрами d, b и b, t, пересекают поверхность Ô по
дугам эллипсов. При этом ни одна из граней призматической
поверхности не пересекает отсек цилиндрической поверхности
полностью. Поэтому линия пересечения данных поверхностей будет
представлять собой замкнутую линию, состоящую из трех частей отрезков прямых и двух дуг эллипсов.
3. В примере решается 2ГПЗ-2, в которой одна из пересекающихся поверхностей проецирующая, а вторая нет.
Так как призматическая поверхность проецирующая на П , то
обозначается её основная проекция
на П , совпадающая с
треугольником A B D (рис. 1.3). В треугольник
на П
цируются все точки и линии, принадлежащие поверхности
.
прое-
k пересечения поверхностей принадлежит обеим
пересекающимся поверхностям. Поэтому одна проекция линии k
известна: k
(рис. 1.3).
Неизвестная проекция k линии пересечения строится по точкам,
исходя из принадлежности линии k цилиндрической поверхности
.
Линия
Так как поверхность
линейчатая, то точки на этой поверхности
ищутся с помощью её образующих прямых
l .
19
Рис. 1.3
20
Построения неизвестной проекции произвольной точки M линии
пересечения выполняются в соответствии со следующим ГА (рис. 1.3):
- M
k
- на k берется произвольная точка M ;
- l
M ; l l
- через точку M параллельно l проводится прямая l - фронтальная
проекция образующей l , на которой
располагается точка M;
- 1 =l e
- берется точка 1 , в которой l пересекает e ;
- 1 = (1 ,1 ) e (можно записать 1
e ) - с помощью линии
связи, проведенной из точки 1 на e
ищется точка 1 ;
- l
1 ; l
l
- через точку 1 параллельно l проводится прямая l ;
- M = (M ,M ) l (или M
l ) - неизвестная проекция
M точки M ищется на l с помощью
линии связи, проведенной из точки M ;
- k
M
- неизвестная проекция k линии пересечения k проводится через точку M
и другие точки, построенные аналогичным образом.
ГА определения проекций произвольной точки M линии
пересечения записывается в знаковой форме на свободном месте
чертежа, начиная с задания известной проекции линии пересечения:
1. k
(рис. 1.3).
Заметим (рис 1.3), что одной проекцией M на цилиндрической
поверхности
в общем случае задаются две точки - собственно
точка M и точка M , у которой M
M . Точка M принадлежит
образующей l поверхности
, пересекающей направляющую e
в точке 1 , а точка M - образующей l , пересекающей линию
e в точке 2 (l l ). Кроме точки M на образующей l расположена точка N, а на образующей l точка N , также принадлежащие линии пересечения (точки M и M расположены на дуге одного
эллипса , а точки N и N - другого).
Дальнейшие построения приведены на рис. 1.4, на котором
отсутствуют обозначения точек A, B, D, 2, M , N, N и образующей l .
21
Рис. 1.4
22
Характерными точками линии
k являются (рис. 1.4):
- точка H, расположенная одновременно на ребре b призматической поверхности и контурной относительно П образующей
прямой l цилиндрической поверхности ;
П
- точки E, C, и F, Q, расположенные на контурных относительно
образующих прямых l и l поверхности Ô ;
- точки L, G и P, T, расположенные на ребрах
тической поверхности .
d и t призма-
Так как точка H b, то её проекция H b , а так как H
проекции l и l заданы, то проекция H ищется из условия H
помощью проведенной из H линии связи.
l и
l с
Поскольку проекции образующих l и l также заданы на чертеже, то фронтальные проекции точек E, C и F,Q просто обозначаются
E
F и Q
C (эти проекции есть точки пересечения прямой
l l с k ); проекции E и C находятся с помощью линий связи
на l , а проекции F и Q - на l .
Фронтальные проекции точек
P
T
L, G, P и T известны: L
G
d ,
t . Горизонтальные проекции этих точек ищутся с помощью
образующих цилиндрической поверхности подобно тому, как это
делалось для точки M (на рис. 1.4 проекции этих образующих
построены, но не обозначены).
Для большей точности следует построить проекции еще
нескольких промежуточных точек, принадлежащих дугам эллипсов.
На рис. 1.4 проекции этих точек выделены кружочками, но не
обозначены. Построения проекций выделенных точек аналогичны
построению проекций точки M и поэтому на рис. 1.4 не показаны.
Тонкими линиями соединяются соответствующие горизонтальные
проекции точек.
Через точки L , P и G , T проходят отрезки проекций образующих, по которым грань, определяемая ребрами
цилиндрическую поверхность.
d и t, пересекает
Через точки L , E , M , H , F , G и горизонтальные проекции
соответствующих промежуточных точек проходит проекция дуги
23
одного эллипса, а через точки P , C , H , Q , T и проекции других
промежуточных точек проходит проекция дуги второго эллипса.
4. Определяется видимость линии пересечения k.
У призматической поверхности относительно П видны все точки,
лежащие в двух верхних гранях (см. П на рис. 1.4), определяемых
ребрами b, d и b, t, и не видны все точки, лежащие в нижней
грани, определяемой ребрами d и t. Поэтому с точки зрения призматической поверхности полностью видны относительно П обе дуги
эллипса и не видны отрезки образующих.
У цилиндрической поверхности относительно П видны все точки,
расположенные выше контурных для П образующих l и l , являющихся в рассматриваемом случае границами видимости (рис. 1.4).
Поэтому с точки зрения цилиндрической поверхности относительно П
видны дуги эллипсов, проходящие через точку
H и расположенные
выше точек E, F и C,Q, а все остальные участки линии пересечения
не видны. Такой же будет и итоговая видимость линии пересечения
относительно П (рис. 1.5), поскольку только указанные дуги эллипсов
одновременно видны относительно П с точки зрения обеих
пересекающихся поверхностей.
Вопрос видимости линии пересечения относительно плоскости П
не рассматривается, так как относительно П видимым является тре-
ABD призматической поверхности (рис. 1.3), с которым
конкурирует линия пересечения k.
угольник
5. Взаимная видимость контурных линий пересекающихся
поверхностей в общем случае определяется методом конкурирующих
точек.
Пусть требуется определить взаимную видимость линий l и t
относительно плоскости П . На них берется пара конкурирующих
3 и 4 (рис. 1.4.), у
которых 3 4 =l t . Так как точка 3 образующей l цилиндрической
поверхности выше точки 4 образующей t призматической поверхности (см. на проекции 3 и 4 этих точек на рис. 1.4), то видимой
относительно П до точки C является образующая l (см. рис. 1.5 и
относительно этой плоскости проекций точек
рис. 1.4).
24
Рис. 1.5
25
Аналогично решен вопрос взаимной видимости относительно
линий l и t, d и e, d и l, l и b, b и l (рис. 1.5).
Еще раз обращаем внимание на уже отмечавшееся условие:
контурные линии поверхности после пересечения со второй
поверхностью в эту поверхность не проникают и внутри её реально не
существуют. Поэтому на рис. 1.5 контурные линии поверхности,
оказавшиеся внутри второй поверхности, показаны тонкой линией как
существующие лишь теоретически для облегчения чтения чертежа.
П
Так линия l реально существует и видна до точек C и E (рис. 1.4 и рис.
1.5), в которых она пересекает призматическую поверхность, а ребро
t, части которого не видны относительно П , реально существует до
точек P и T пересечения его с цилиндрической поверхностью.
ПРИМЕР №2
На рис. 2.1 приведен 32-й вариант задания, используемый в
пособии в качестве условия примера №2, выполняемого в следующей
последовательности:
1. На формате А3 записываются
формулы данных поверхностей и
условие задачи, затем в тонких
линиях по размерам вычерчивается
исходный чертеж (рис. 2.2).
2. Анализ формул и исходного чертежа показывает, что поверхность
тор, а
- цилиндрическая поверхность.
Тор образуется вращением вокруг
оси j дуги окружности m. Контурными
линиями тора относительно П являются дуги окружностей m и m
и
Рис. 2.1
окружность q, а относительно П окружность q (рис. 2.3).
Цилиндрическая поверхность
образована перемещением
образующей прямой l , пересекающей направляющую окружность n
26
Рис. 2.2
27
и параллельной при этом самой себе. Контурной линией этой
поверхности относительно П
является окружность n, а контурными
линиями относительно П - окружности
n , n и образующие l, l
(проекция n на рис. 2.3 не обозначена).
l проецируется на П в точку, то l проецирующая прямая на П (l П ) и, следовательно, проецируюТак как образующая
щей на П
является цилиндрическая поверхность
, то в
примере №2 решается 2ГПЗ-2.
Линией пересечения двух кривых поверхностей является в
общем случае кривая линия. Так как пересекающиеся поверхности поверхности второго порядка, то линией их пересечения будет
пространственная кривая четвертого порядка.
3. Обозначается основная проекция
цилиндрической поверхности, совпадающая с окружностью n , в которую на П
ся все точки поверхности (рис. 2.3).
Проекция k
проецируют-
искомой линии пересечения k известна:
k
(рис. 2.3), при этом k совпадает только с той частью окружности,
которая находится внутри очерка тора на П .
k линии k ищется приближенно по точкам,
исходя из условия принадлежности линии k тору, точки на поверхНеизвестная проекция
ности которого строятся с использованием окружностей - параллелей. Так как ось j вращения тора перпендикулярна плоскости П , то
на П параллели проецируются в окружности, а на П - в отрезки.
Неизвестная проекция M произвольной точки
ся в соответствии с ГА (рис. 2.3):
1.
k
M линии k строит-
- с этого условия начинается построение любой точки линии k;
M
3. q
2.
k
M ;M
- на k
j
берется произвольная точка M ;
- через точку M из центра j проводит-
q - горизонтальная
проекция параллели q , на которой
расположена точка M;
ся окружность
28
Рис. 2.3
29
4.
1 =q
m
- определяется горизонтальная проекция 1 точки 1, принадлежащей дуге
окружности m и вращающейся с ней
по параллели q ;
5.
1
m
- с помощью линии связи на m ищется
проекция 1 точки 1;
q
7. M
6.
1 ; q
q
j
- строится проекция q
параллели q ;
- на q с помощью линии связи ищется
точка M ;
8.
k
M
- проекция
k
линии
k проводится
через точку M и другие точки, построенные аналогичным образом.
В рассматриваемом примере в обязательном порядке строятся
проекции следующих характерных точек линии k (рис. 2.3):
- точки H, принадлежащей контурным линиям m и q тора;
- точки P, принадлежащей контурной параллели q тора;
- точки E, расположенной на контурной образующей l цилиндрической поверхности (E строится аналогично построению M );
- точки F, расположенной на образующей
m тора (F
m ,
F
m );
- точки Q - самой верхней точки кривой k (Q строится аналогично построению M ).
Для большей точности аналогично точке M строят еще несколько
промежуточных точек кривой k типа точки L (кроме L другие точки на
рис. 2.3 не показаны). Обратим внимание на то, что в общем случае с
помощью параллели
q
одновременно можно строить по две точки
линии k.
В завершении выполнения пункта 3 тонкой линией с помощью
H , M , L , Q
проекцию k линии пересечения k.
лекала (лекал) соединяют точки
и т.д., получая
30
Рис. 2.4
31
4. Рассматривать вопрос видимости линии k относительно
плоскости П не имеет смысла.
При определении видимости линии k относительно плоскости П
рекомендуется провести такие рассуждения (рис. 2.3):
- относительно П
с точки зрения тора видна дуга линии
k,
лежащая в его передней части между точками H и F;
- относительно П с точки зрения цилиндрической поверхности
видна дуга линии
k, лежащая в её передней части между
точками H и E;
- таким образом, относительно П
видна часть линии
k между
точками H и F (рис. 2.3 и рис. 2.4).
На рис. 2.3 и рис. 2.4 дополнительно в масштабе увеличения
k и проекций контурных относительно П линий поверхностей в окрестностях точек F и E.
2,5:1 показан фрагмент кривой
5. Взаимная видимость контурных линий пересекающихся
поверхностей, как и в ПРИМЕРЕ №1, определяется с использованием
метода конкурирующих точек (на рис. 2.3 показаны проекции 2
3
конкурирующих относительно П точек контуров тора и цилиндрической поверхности) и условия о непроникновении контурных линий
одной поверхности внутрь другой (рис. 2.4).
В окончательном виде без промежуточных и поясняющих
обозначений выполненный ПРИМЕР №2 приведен на рис. 2.4.
ПРИМЕР №3
На рис. 3.1 приведен 33-й вариант задания, используемый в
пособии в качестве условия примера №3.
Пример №3 выполняется в последовательности, изложенной в
разделе 2 пособия:
1. На формате А3 записываются формулы поверхностей и
условие задачи и в тонких линиях по размерам вычерчивается
исходный чертеж (рис. 3.2).
2. Анализ формул и исходного чертежа показывает, что поверхность
m вокруг
- коноид, прямолинейная образующая l кото-
- тор, образованный вращением дуги окружности
оси j, а поверхность
32
рого пересекает направляющие a и u и
параллельна плоскости параллелизма
Г, которая в свою очередь параллельна плоскости П . Названия поверхностей записывают у соответствующих
формул (рис. 3.3).
Контурными линиями тора относительно плоскости П
являются
образующие m и m и параллель q, а
относительно плоскости П
- параллель q. Контурными линиями коноида
относительно П являются направляющие a и u и образующие l и l , а относительно П - направляющая u и
Рис. 3.1
образующие l и l (рис. 3.3).
Ни одна из заданных поверхностей не является проецирующей,
поэтому в примере №3 решается 2ГПЗ-3 - третий случай задачи на
пересечение поверхностей.
Для построения проекций точек линии пересечения k ,
представляющей собой пространственную кривую, целесообразно
использовать горизонтальные секущие плоскости
, параллельные
плоскости параллелизма коноида
Г и перпендикулярные оси
j тора. Эти плоскости рассекут тор по окружностямпараллелям q , а коноид - по прямолинейным образующим l .
3. Построение проекций произвольной точки M линии пересечения k осуществляется в соответствии с таким ПА (рис. 3.3):
I.
П
- задается плоскость
, параллельная горизонвращения
тальной плоскости П
поверхности;
II. q =
и пересекающая данные
- с использованием точки
1=
m строится окруж-
ность-параллель q , по которой плоскость
пересекает тор и которая проецируется на П
отрезок
q , а на П
веденную из центра
- в окружность
C
q
j ;
q
в
, про-
33
Рис. 3.2
34
Рис. 3.3
35
III. l =
- с использованием точки
2=
u (a
П )
строится образующая l , по которой плоскость
пересекает коноид, причем
l
, а
l
IV. M = q
V. k
l
M
a ,2 ;
- точка M пересечения параллели q и образующей l принадлежит линии пересечения k,
при этом M = q
l ,а M
;
- проекции линии k строятся по проекциям
принадлежащих ей точек, которые ищутся
аналогично проекциям точки M.
Представленный ПА записывается на свободном месте формата.
Из рис. 3.3 видно, что в общем случае с помощью секущей плоскости
ищутся проекции двух точек линии пересечения M и M .
С помощью секущих плоскостей, параллельных
, аналогично
проекциям точки M строятся проекции других точек линии
k, представленные, но не обозначенные на рис. 3.4,
кроме проекций точек N и N . При этом построения представленных
пересечения
проекций точек на рис. 3.4 не показаны. Заметим, что плоскость
задана слишком высоко и точек линии пересечения в ней нет, так
как образующая коноида l и параллель тора q , расположенные в
этой плоскости, между собой не пересекаются.
Характерные точки A и A линии пересечения определяются как
точки пересечения лежащих в плоскости
контурной параллели
тора q и контурной образующей коноида l . Точки A и A - самые
k, точка A одновременно самая левая и
дальняя точка кривой, а точка A - её самая ближняя точка (рис. 3.4).
нижние точки кривой
Другие характерные точки линии пересечения ищут приближенно.
Соединив плавной кривой горизонтальные проекции построенных
точек, получают горизонтальную проекцию k
линии пересечения.
Точка пересечения
ную точку
S линии k с линией m определяет характер-
S линии пересечения - точку, лежащую на меридиане
36
Рис. 3.4
37
тора. Проекция S этой точки ищется на m . Дуга линии k между
точками N
и N проводится приближенно, но так, чтобы она не
касалась прямой l (рис. 3.4).
Соединив подобным образом плавной кривой фронтальные
проекции построенных точек, включая точку S , получают фронтальную проекцию k линии пересечения (рис. 3.4). Самая верхняя точка
линии пересечения k находится между точками N и N немного
выше их. Поэтому между точками N и N кривая k проводится
приближенно, но так, чтобы она не касалась линии l .
4. Определяется видимость линии пересечения k относительно
плоскостей П и П .
Поскольку относительно П
видны все точки отсеков обеих
поверхностей, то относительно П видна вся линия k (рис. 3.5).
Относительно П у тора видны только те точки, которые расположены в его передней части до меридиана m, m , а у коноида все его точки. Поэтому относительно П
видна дуга кривой между
точками S и A (рис. 3.4 и рис. 3.5).
5. Взаимная видимость контурных линий пересекающихся
поверхностей в примере №3 также решается методом конкурирующих
точек.
Для определения взаимной видимости меридиана m тора и образующей l коноида относительно плоскости П используются точки
3 и 4, конкурирующие относительно неё (рис. 3.4). Из положения
проекций 3 и 4 (рис. 3.4) следует, что относительно П будет виден
меридиан тора (рис. 3.5). Аналогично с помощью точек 5 и 6 решается вопрос взаимной видимости относительно П направляющей коноида u и части меридиана m тора ниже точки S (рис. 3.4 и рис. 3.5).
При определении взаимной видимости контурных линий относительно П учитывают, что контурная образующая коноида l пересекается в точках A и A
(рис. 3.4) с контурной параллелью q тора.
Поэтому в соответствии с принятой моделью между указанными
точками образующей l не существует (рис. 3.5), а параллель q
частично закрыта поверхностью коноида.
В окончательном виде без промежуточных и поясняющих обозначений выполненный ПРИМЕР №3 приведен на рис. 3.5.
38
Рис. 3.5
39
Приложение 1
40
41
42
43
44
Приложение 2
45
46
47
48
49
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Оганесов О.А. Курс лекций по начертательной геометрии: Учебное пособие для студентов механических специальностей: Ч.1/
МАДИ(ГТУ).-М., 2002.-101с.
Оганесов О.А. Курс лекций по начертательной геометрии: Учебное пособие для студентов механических специальностей: Ч.2/
МАДИ(ГТУ).-М., 2002.-79с.
Рыжов Н.Н. Курс начертательной геометрии. Часть 1.: Учебное
пособие /МАДИ(ТУ).-М., 1995.-72с.
Рыжов Н.Н. Курс начертательной геометрии. Часть 2.: Учебное
пособие /МАДИ(ТУ).-М., 1996.-68с.
Локтев О.В. Краткий курс начертательной геометрии: Учеб. для
втузов.-3-е изд., испр.-М.: Высш.шк., 1999.-136с.
Фролов С.А. Начертательная геометрия: Учеб. для втузов.-2-е
изд., перераб. и доп.-М.: Машиностроение., 1983.-240с.
Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия: Учеб. для втузов.-2-е
изд., перераб. и доп.-М.: Высш.шк., 1981.-262с.
Посвянский А.Д. Краткий курс начертательной геометрии: Учеб.
для втузов.-3 изд.-М.: Высш.шк., 1970.-240с.
Федоренко В.А., Шошин А.И. Справочник по машиностроительному черчению. -Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1981.
-416с.
50
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ................................................................................................. 3
1. Общее условие задач на пересечение поверхностей и
теоретические положения, лежащие в основе их решений............ 5
2. Последовательность выполнения задач по теме “Пересечение
поверхностей“..................................................................................... 12
3. Примеры выполнения 2ГПЗ в РГР “Пересечение поверхностей”.. 16
Пример №1..........................................................................................16
Пример №2..........................................................................................25
Пример №3..........................................................................................31
Приложение 1.......................................................................................... 39
Приложение 2.......................................................................................... 44
Список рекомендуемой литературы ..................................................... 49
Редактор Ю.К.Фетисова
Технический редактор Н.Е.Знаменская
Подписано в печать 01.06.2004г.
Печать офсетная.
Усл.печ.л. 3,1
Тираж 1500 экз.
Заказ 328
Формат 60х84/16
Уч.-изд.л. 2,5
Цена 12 р.
Ротапринт МАДИ(ГТУ). 125319, Москва, Ленинградский просп., 64