Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Сибирский государственный индустриальный университет»
Кафедра высшей математики
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ
К ПОВЕРХНОСТИ
Методические указания для практических занятий
Новокузнецк
2014
УДК 517.54(07)
К 280
Рецензент
доктор технических наук, профессор, заведующая кафедрой
прикладной информатики
Л.Д. Павлова
К 280 Касательная плоскость и нормаль к поверхности: метод.
указ. / Сиб. гос. индустр. ун-т; сост. О. Л. Базайкина. – Новокузнецк :
Изд. центр СибГИУ, 2014. – 9 с.
Рассмотрены методы построения касательной плоскости и
нормали к гладкой поверхности, представленной в виде графика
функции нескольких переменных (ФНП). Рассмотрены примеры. В
качестве инструмента построения использован градиент ФНП.
Предназначено для студентов – бакалавров и магистров,
изучающих дисциплины «Математика» и «Дополнительные главы
математики».
Печатается по решению Совета Института фундаментального образования
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта учебно-методическая разработка предназначена для
студентов втузов инженерных направлений обучения, изучающих
раздел «Дифференцирование функций нескольких переменных»
учебной дисциплины "Математика". Разработка содержит учебный
материал практических занятий, темой которых является касательная
плоскость и нормаль к гладкой поверхности, рассмотрены примеры.
Для понимания постановок задач и методов их решения
необходимы знания по ранее изученным разделам дисциплины:
линейной алгебре, аналитической геометрии, дифференцированию
функции одной переменной.
Предлагаемая разработка отражает опыт составителя в
проведении практических занятий по дисциплине «Математика» в
ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный индустриальный
университет».
3
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть в Е3 определена гладкая поверхность σ (без складок, рёбер
и угловых точек; мы опускаем точное определение гладкости
поверхности, полагаясь на её интуитивное понимание). Пусть х0 −
точка этой поверхности. Через точку х0 проведём всевозможные
кривые, лежащие на σ. К каждой кривой проведём касательную к ней
в точке х0.
Определение. Если все касательные ко всем кривым,
проходящим через точку х0 гладкой поверхности σ, лежат в одной
плоскости, то эта плоскость называется касательной плоскостью к
поверхности σ в точке х0 (рисунок 1).
Рисунок 1 – Касательная к поверхности σ плоскость
Согласно определению, поверхность σ может располагаться по
одну сторону от касательной плоскости (имея с ней только одну
общую точку), а может и пересекаться с касательной плоскостью по
некоторым линиям (рисунок 2). В любом случае плоскость касается
поверхности в точке х0.
Рисунок 2 – Поверхность располагается по обе стороны
от касательной плоскости
4
Рассмотрим дифференцируемую в области D  E 2 функцию двух
переменных у = f(x) и её график. Пусть х0 − внутренняя точка D. К
точке (х0, f(х0)) графика функции проведём касательную плоскость.
Наша цель − составить уравнение этой плоскости. Если х − точка из
  î êð x0 , то при малой длине вектора x  x0 верно приближение:
f (x)  f (x0 )  y  y0   f x   x  x0  
y
y
(x0 )   x1  x10  
(x )   x2  x20  .
x1
x2 0
Для точки х, отличной от точки х0, приближение становится точным
равенством, если аппликата у точки (х, у) графика функции f(x)
переходит в аппликату Y точки (х, Y) касательной плоскости, её
уравнение имеет вид:
y
y
Y  y0 
(x0 )   x1  x10  
(x0 )   x2  x20  .
x1
x2
Рисунок 1 иллюстрирует различие координат точек графика и
касательной плоскости. Обратим внимание на то, что двумя


координатами вектора нормали N    y (x0 ),  y (x0 ), 1 касательной
 x1
x2

плоскости являются координаты вектора градиента grad f(x0). Это
означает, что дифференцируемость функции f(x) и существование
касательной плоскости к графику функции f(x) являются
равносильными условиями гладкости графика функции f(x).
Можно получить уравнение касательной плоскости, исходя из
других рассуждений. Введём в рассмотрение функцию трёх
переменных u = u(x1, x2, y) = y − f(x1, x2), определённую уже в
трёхмерной области в Е3. В этом случае график функции двух
переменных представляется как поверхность постоянного значения 0
функции u = u(x1, x2, y). Градиент функции u(x1, x2, y) в точке (х0,
f(х0)) как вектор, ортогональный поверхности уровня 0, является
нормалью касательной плоскости (рисунок 2):
 u
N  grad u  x10 , x20 , y0   
 x1
u
u

 x10 , x20 , y0  , x  x10 , x20 , y0  , y  x10 , x20 , y0   
2



f
f
x10 , x20  , 
x10 , x20  ,1 .


x1
 x1

 
Обозначив X1, X2, Y координаты произвольной точки касательной
плоскости, получаем её уравнение:

f
f
x10 , x20    X1  x10  

 x , x    X 2  x20   Y  f  x10 , x20   0 .
x1
x2 10 20
5
Очевидно обобщение понятия касательной плоскости для
функции n переменных у = f(x), x  E n . Уравнение касательной
гиперплоскости в пространстве En+1 к графику функции f(x) имеет
n
вид: Y  f  x10 , x20 ,..., xn0    f  x10 , x20 ,..., xn0    X i  xi 0  .
i 1
xi
Пример 1. Поверхность в R3 задана уравнением: x3 + y3 + z3 +
xyz = 6. Составьте уравнение касательной плоскости к поверхности в
её точке Р(1; 2; −1).
Решение. Заданную поверхность представим как поверхность
постоянного значения 6 функции трёх переменных u = x 3 + y3 + z3 +
xyz. Выражение функции является многочленом от трёх переменных,
следовательно, функция дифференцируема в любой конечной
области R3. Перейдём к векторным обозначениям, r = (x, y, z) − точка
из Е3. Нормалью к поверхности служит градиент функции u = u(r).
Запишем векторное поле градиента:
 u u u 
, ,   3x2  yz, 3 y 2  xz, 3z 2  xy

x
y z 


grad u(r)  
.
Вектор grad u(r) в точке r0 = (1, 2, −1) является нормалью искомой
плоскости в точке r0: grad u(r0) = N = (1, 11, 5) . Составляем уравнение
касательной плоскости:
1·(x − 1) + 11·(y − 2) + 5·(z + 1) = 0,
x + 11y + 5z = 18.
Пример 2. На сфере, заданной уравнением x2 + y2 +z2 = 676,
найдите точки, в которых касательные плоскости параллельны
плоскости с уравнением 3x – 12y + 4z – 2 = 0.
Решение. Запишем общее уравнение плоскости, заданное её
нормалью N = (A, B, C) и точкой М(х0, у0, z0):
А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0) = 0.
(1)
Из приведённого в условии примера уравнения плоскости следует,
что касательные плоскости имеют нормаль N, коллинеарную нормали
N1 = (3, – 12, 4). Обратим внимание на то, что центр заданной сферы
совпадает с началом декартовой системы координат. В этом случае
вектор ОМ = r = (x, y , z) численно имеет такие же координаты, как и
точка М(х; у; z) его конца. Выберем в качестве вектора N нормали
касательной плоскости вектор r0 = (x0, y0 , z0), коллинеарный вектору
N1 = (3, – 12, 4), здесь x0, y0 , z0 – координаты точки касания на сфере:
x0
3

y0
12

z0
4

Подставляя найденные выражения координат нормали x0 = 3λ, y0 = –
12λ, z0 = 4λ в уравнение сферы, получаем: 9λ2 + 144λ2 + 16λ2 = 676, λ2
6
= 4, λ = ±2. Таким образом, касательные к сфере плоскости в точках
М1(6; – 24; 8) и М2(– 6; 24; – 8) сферы параллельны заданной
плоскости.
-----------------------------------------------------------------------------------------Простые примеры по теме настоящих методических указаний и
доступное их объяснение можно найти в пособии [1]. Полное
изложение темы имеется в учебнике [2], частично – в пособии [3].
Задачи для самостоятельного решения
1. Найдите уравнение касательной плоскости к эллиптическому
параболоиду с уравнением z = 2x2 + y2 в точке М(1;– 1; 3)
параболоида.
Ответ: 4x– 2y – z – 3 = 0,
2. Составьте уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности в R3, заданной уравнением: x2 + 3y2 – 4z2 = 5, в точке
Р(2; –3; 2) поверхности.
Ответ: 2x – 9y – 8z – 15 =0,
x2 y 3 z 2
.


2
9
8
3. Определите плоскости, касательные к поверхности с уравнением x2
+ 2y2 + 3z2 = 21 и параллельны плоскости x + 4y + 6z = 0.
Ответ: x + 4y + 6z = ± 21.
4. В пространстве R3 задана поверхность: F(x,y,z) = z – xy = 0.
Получите уравнение касательной плоскости к поверхности, если
известно, что эта плоскость нормальна к прямой: x  2  y  2  z 1 .
2
2
1
Ответ: 2x + y – z – 2 = 0.
5. Докажите, что поверхности, заданные уравнениями x + 2y – lnz + 4
= 0 и x2 – xy – 8x + z + 5 = 0, касаются друг друга в точке Р(2; –3; 1).
6. Поверхность задана параметрически: r = G (t), t D  R2, t = (u, v),
7
r E3, r = (x,y,z),
 x  R cos v  sin u,

G :  y  R cos v  cos u,
 z  R sin v.

Составьте уравнение касательной плоскости к поверхности в её
точке М(0; 0; R).
Ответ: z = R.
7. Составьте уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности с уравнением z  1 x2  3 y 2 15 в точке Р(2; –3; 2)
поверхности.
2
Ответ: 2x – 9y – 8z – 15 = 0,
x  2 y  2 z 1
.


2
2
1
Библиографический список
1. Лунгу К.Н. Высшая математика. Руководство к решению задач.
Часть 1: учебное пособие / К. Н. Лунгу, Е. В. Макаров. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2010. – 211 с.
2. Зорич В.А. Математический анализ. Часть II: учебник / В.А.
Зорич. – М.: Наука, 1984. – 640 с.
3. Ляшко И.И. Справочное пособие по высшей математике. 2
Математический анализ: ряды, функции векторного аргумента:
учебное пособие / И.И. Ляшко, А.К. Боярчук [и др.]. – М.:
URSS, 2008. – 224 c.
8
Учебное издание
Составитель
Базайкина Ольга Леонидовна
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ
К ПОВЕРХНОСТИ
Методические указания для практических занятий
Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом
Подписано в печать 10.02.2014
Формат бумаги 60х84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 0,52. Уч.-изд. л. 0,59. Тираж 50 экз. Заказ
Сибирский государственный индустриальный университет
654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42.
Издательский центр СибГИУ
9
10