0 yxM , и имеет нормальный вектор

Уравнения линии на плоскости и поверхности в пространстве. Уравнением линии на плоскости OXY называется некоторое уравнение f ( x; y ) = 0 , с
двумя переменными, для которого координаты любой точки, принадлежащей
линии, удовлетворяют уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на
линии, не удовлетворяют уравнению.
Уравнением поверхности в декартовой системе координат OXYZ называется некоторое уравнение f ( x; y; z ) = 0 , с тремя переменными, для которого координаты любой точки, принадлежащей поверхности, удовлетворяют уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на поверхности, не удовлетворяют уравнению.
Уравнения прямой на плоскости.
В зависимости от параметров, которые определяют положение прямой на
плоскости, рассматривают различные уравнения прямой.
Уравнение прямой на плоскости с заданным нормальным вектором
и проходящей через точку. Нормальным вектором прямой на плоскости
называется любой вектор перпендикулярный данной
l
G
прямой. Пусть прямая l проходит через точку
n ( A; B)
G
M 0 ( x0 , y 0 ) , и имеет нормальный вектор n ( A; B)
M 0 ( x0 , y 0 )
(рис.1). Выберем на прямой l произвольную точку
M ( x, y )
M ( x, y ) .
A ⋅ ( x − x0 ) + B ⋅ ( y − y 0 ) = 0 .
Рис.1
Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование. В уравнении A ⋅ ( x − x0 ) + B ⋅ ( y − y 0 ) = 0 раскроем скобки
A ⋅ x + B ⋅ y + С = 0 , — общее уравнение прямой, где C = − A ⋅ x0 − B ⋅ y0 .
Обратное
утверждение:
Произвольное
линейное
уравнение
A ⋅ x + B ⋅ y + С = 0 , у которого, по крайней мере, один из коэффициентов отлиG
чен от нуля, является уравнением прямой с нормальным вектором n ( A; B) .
В зависимости от параметров A, B и C , которые определяют положение
прямой на плоскости, исследуем общее уравнение прямой A ⋅ x + B ⋅ y + С = 0 :
A
1) если C = 0 , то y = − x – уравнение прямой, проходящей через начало
B
координат;
C
2) если A = 0 , то y = − – уравнение прямой, которая параллельна оси
B
C⎞
⎛
OX , и проходит через точку M ⎜ 0;− ⎟ ;
B⎠
⎝
C
3) если B = 0 , то x = −
– уравнение прямой, которая параллельна оси
A
⎛ C ⎞
OY , и проходит через точку M ⎜ − ;0 ⎟ ;
⎝ A ⎠
4) если A = 0, C = 0 , то y = 0 – уравнение оси OX ;
5) если B = 0, C = 0 , то x = 0 – уравнение оси OY .
Направляющим вектором прямой называется любой вектор параллельный данной прямой.
Параметрические уравнения прямой на плоскости.
Пусть прямая l проходит через точку
M 0 ( x0 , y0 ) , и имеет направляющий вектор
l
G
G
s (m; n)
s (m; n) (рис.2).
M 0 ( x0 , y 0 )
⎧ x = x0 + t ⋅ m,
⎨
⎩ y = y 0 + t ⋅ n.
Рис.2.
Каноническое уравнение прямой на плоскости.
Пусть прямая l проходит через точку
G
l
G
M 0 ( x0 , y0 ) , и имеет направляющий вектор s (m; n)
s (m; n)
(рис.2).
M 0 ( x0 , y 0 )
Исходное каноническое уравнение имеет вид
x − x0 y − y 0
=
.
Рис.2.
m
n
Уравнение прямой, проходящей через две точки. Составим уравнение
прямой, проходящей через две заданные точки M 1 ( x1 ; y1 ) и M 2 ( x2 ; y 2 ) (рис. 3).
l
x − x1
y − y1
=
.
x2 − x1 y 2 − y1
M 1 ( x1 , y1 )
M 2 ( x2 , y2 )
Рис.3
Уравнение прямой в отрезках. Составим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки A(a;0) и B(0; b) (рис. 4).
Y
a – отрезок, отсекаемый прямой от оси абсцисс;
b
b – отрезок, отсекаемый прямой от оси ординат.
x y
+ =1.
a
X
O
a b
Рис.4
Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом. Пусть точка
M 0 ( x0 ; y 0 ) принадлежит прямой l . Предположим, что для прямой l определен угол
наклона с положительным направление к
l
Y
оси ОХ
k = tgα называется угловым коэфM 0 ( x0 ; y 0 )
b
фициентом прямой. Таким образом, исходное уравнение имеет вид
α
X
y − y 0 = k ⋅ ( x − x0 ) .
O
Если прямая отсекает на оси ОY отРис.6
резок b, то уравнение запишется в виде
y=k⋅x+b.