Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин, имеющих равномерное, показательное, нормальное и гамма-распределение. Равномерное распределение Непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределение на участке от a до b , если ее плотность распределения f (x) на этом участке постоянна: 1 f ( x) , x (a, b); b a 0 , x (a, b). (4.24) В дальнейшем для непрерывных случайных величин выражение для плотности f (x) записывается только для тех участков, где она отлична от нуля: f ( x) 1 b a ,a x b. Значения f (x) в крайних точках a и b промежутка ( a, b) не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек равна нулю. Кривая распределения приведена f (x ) на рис. 4.19. Иногда это распределение называют прямоугольным. Математиче1 ское ожидание случайной величины X b a равно середине участка (a, b) : mX a b . 2 a x mX b Рис. 4.19. Кривая равномерного распределения 62 Этот же результат можно получить, вычисляя интеграл вида b mX xf ( x)dx x a 1 b a dx a b 2 . Дисперсия и среднее квадратичное отклонение равны: b ( x mX ) 2 f ( x)dx DX x X DX 1 b a 2 a b a 2 a b dx (b a) 2 12 ; . 2 3 Моды равномерное распределение не имеет. Медиана равна математическому ожиданию, так как равномерное распределение симметрично относительно математического ожидания. Из этого же свойства следует, что третий центральный момент тоже равен нулю ( 3 0 ). Для определения эксцесса вычислим четвертый центральный момент: b 4 ( x mX ) 4 f ( x)dx x a a b 2 4 1 b a dx (b a) 4 80 . Таким образом, эксцесс случайной величины X равен X 4 4 X 3 (b a) 4 (12) 2 80(b a) 4 3 1,2 . Следовало ожидать, что эксцесс этой случайной величины будет отрицательным. f (x ) F ( x) 1 b 1 a a x b Рис. 4.21. Функция распределения a x b Рис. 4.20. Вероятность попадания на участок ( , ) Вычислить вероятность попадания случайной величины X на любую часть ( , ) участка ( a, b) можно путем геометрических представлений (см. рис. 4.20): 63 P{ X } . b a Функция распределения F (x) является функцией, линейно взрастающей от нуля до единицы, при изменении аргумента от a до b . При любом x функция распределения равна площади, ограниченной кривой распределения и лежащей левее точки x (см. рис. 4.20). 0, x x x F ( x) f ( x)dx a a 1 b a 1, x 0, x dx , a a x a ,a b a 1, x b x b b x b. Моделью равномерного распределения является гармоническое колебание со случайной начальной фазой x(t ) cos( 0t 0) , где 0 – частота, а начальная фаза 0 является непрерывной случайной величиной с равномерным законом распределения: f( 0) 1 2 ,0 2 . 0 Показательное распределение Непрерывная случайная величина X имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если ее плотность распределения имеет вид f ( x) e x, x 0, x 0 0 , или f ( x) e x , (x 0) , 0 – единственный параметр распределения. где Функция распределения: x F ( x) (4.25) x f ( x)dx e 64 x dx 1 e x , (x 0) . (4.26) f (x ) F ( x) 1 x 0 Рис. 4.22. Плотность распределения x 0 Рис. 4.23. Функция распределения Математическое ожидание показательного распределения: mX xf ( x)dx x e 0 x 1 . dx (4.27) 0 При интегрировании по частям необходимо учесть, что при x e x стремится к нулю быстрее, чем возрастает любая степень x . Выражение (4.27) показывает, что математическое ожидание случайной величины, имеющей показательное распределение, обратно его параметру . При этом параметр имеет размерность, обратную размерности случайной величины X . Дисперсия и среднее квадратичное отклонение: DX 2 m X2 x2 e x dx 1 1 2 2 , X DX 1 . (4.28) 0 Среднее квадратичное отклонение случайной величины X , распределенной по показательному закону, равно ее математическому ожиданию. Третий центральный момент: 3 x 3 1 e x dx 2 3 , 0 и соответственно коэффициент асимметрии SX 3 3 X 2. Следовало ожидать, что асимметрия показательного распределения будет положительной. 65 Показательное распределение связано с простейшим потоком событий. Покажем, что интервал времени между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока, т. е. f (t ) e t , (t 0) . Для этого найдем функцию распределения F (t ) случайной величины T – интервала времени между соседними событиями в потоке: F (t ) P{T t} . На оси времени 0t отметим инt тервал T между соседними событиями потока (см. рис. 4.24). Чтобы выполня0 T лось неравенство T t , необходимо, Рис. 4.24. Случайная величина Т чтобы хотя бы одно событие потока попало на участок длины t . Вероятность того, что это так, R1 1 P{ни одно событие не попало } 1 P0 где вероятность P0 для пуассоновского потока равна t 1 e ( t )0 e 0! t t , , откуда функция распределения будет иметь вид F (t ) R1 1 e t , после дифференцирования которой получаем искомую плотность распределения f (t ) F (t ) e t , (t 0) . Показательное распределение широко используется в теории марковских случайных процессов, теории массового обслуживания и теории надежности. 66 Нормальное распределение Случайная величина X распределена по нормальному (гауссовому) закону с параметрами m и , если ее плотность распределения имеет вид ( x m) 2 1 f ( x) e 2 2 , x . (4.29) 2 Кривая нормального распределения (см. рис. 4.25) имеет симметричный холмообразный вид. Максимальное значение кривой, равное 1 f (x ) 1 2 , достигается при 2 x m , т. е. мода M X m. Вычислим основные характеристики случайной величины X , распределенной по нормальному закону. Математическое ожидание M[X ] mX ( x m) 2 1 xf ( x)dx x m Рис. 4.25. Кривая нормального распределения xe 2 2 dx . 2 Сделаем замену переменной интегрирования x m t dx ; dt 2 ;x 2 t m (4.30) 2 и получим 1 mX ( 2 t m) e t2 dt 2 te t2 dt m e t2 dt . Первый из интегралов равен нулю, как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции; второй – это известный интеграл Эйлера – Пуассона e t2 dt 2 e t2 dt . 0 67 Таким образом, математическое ожидание нормального распределения mX m (4.31) совпадает с параметром распределения m . Иногда m называют центром рассеивания случайной величины X . Дисперсия гауссовой случайной величины X D[ X ] DX ( x m) 2 1 2 ( x m X ) f ( x)dx 2 ( x m) e 2 2 dx . 2 Используя замену переменной (4.30), получаем 2 2t 2e DX t2 интегриров ание по частям : dt u 2 te t2 t; du e t2 dt; dv 2te t2 ;v e t2 dt . Первое слагаемое в фигурных скобках равно нулю, так как при t e t2 0 быстрее, чем возрастает t . Второе слагаемое равно Таким образом, дисперсия DX 2 . . (4.32) Значит, параметр распределения есть не что иное, как среднее квадратичное отклонение гауссовой случайной величины X : X DX . Размерности и m совпадают с размерностью случайной величины X . Положение кривой распределения и ее форма полностью определяются параметрами m и . Вычислим моменты нормальной случайной величины X . Так, s -й центральный момент будет s s ( x m) f ( x)dx 1 2 68 ( x m) 2 s ( x m) e 2 2 dx . После замены переменой (4.30) получаем ( 2 )s t se s t2 dt . (4.33) Естественно, что при любом нечетном s 0 , как интеграл в s симметричных пределах от нечетной функции. Для четных s : интегриров ание по частям : ( 2 )s t s s 1 te t2 dt t s 1; du u dv ( 2 )s 1 2 e s 1 t2 s 1 t 2 te t2 ( s 1)t s 2 dt; ;v 1 2 e t2 2 t s 2et dt . Первый член в фигурных скобках равен нулю, и поэтому получаем ( s 1)( 2 ) s s t2 t s 2e dt . (4.34) 2 Подставим в формулу (4.33) ( s ( 2 ) 2) вместо s : s 2 t s 2e s 2 t2 dt . (4.35) Сравнение выражений (4.35) и (4.34) показывает, что эти формулы различаются только множителем ( s 1) s 2 ( s 1) s 2 2 . Следовательно, . Получено простое рекуррентное соотношение, позволяющее выражать центральные моменты более высоких порядков через центральные моменты более низких порядков. Если учесть, что для любой случайной 2 4 величины 0 1 , то получаем 2 ; 4 3 ; 6 Эксцесс нормального распределения равен нулю: 4 4 3 X 4 4 3 0. 69 15 6 . Вероятность попадания случайной величины X на участок от определятся следующим образом: P{ X } 1 f ( x)dx замена : ( x m) 2 e 2 2 до dx 2 t x m m 1 e 2 где m dt m , (4.36) m 1 ( x) t2 2 2 x e t2 2 dt – функция Лапласа. 0 Вероятность того, что абсолютная величина отклонения гауссовой случайной величины X от своего математического ожидания m окажет0 , равна ся меньше любого P{| X m| } 2 ( ). Если в выражении (4.36) положить (4.37) x и учесть, что , 1 , то получаем функцию распределения нормальной слу2 чайной величины X в виде ( ) 1 F ( x) 2 x m . (4.38) Модель нормального распределения. Складывается большое количество независимых случайных величин X1 , X 2 , , X n F ( x) n X 1 Xi , i 1 1/ 2 при этом предполагается, что каждая из X i сравнима по степени своего влияния на рассеивание суммарной случайной величины X . Закон рас70 0 m x Рис. 4.26. Функция распределения нормальной случайной величины пределения суммы этих случайных величин (случайной величины X ) будет тем ближе к нормальному, чем больше число слагаемых n , вне зависимости от того, какие законы распределения имеют отдельные величины X1 , X 2 , , X n . Таково содержание центральной предельной теоремы теории вероятностей. Гамма-распределение и распределение Эрланга Неотрицательная случайная величина X имеет гамма-распределение, если ее плотность распределения выражается формулой k k 1 x f k ( x) где 0, k e (k ) x , ( x 0) , 0 – параметры распределения; (4.39) (k ) – гамма-функция e t t k 1dt , (k ) (4.40) 0 которая обладает следующими свойствами: e t dt 1 . (k 1) k (k ) ; (1) (4.41) 0 Для целых неотрицательных k получаем (k 1) k! . Математическое ожидание случайной величины X , подчиняющейся гамма-распределению, mX 0 x k x k 1e (k ) 1 (k ) 0 x dx e t t k dt замена : t x, dx dt (k 1) . (k ) Учитывая свойства (4.41), окончательно получаем mX k . (4.42) 71 Второй начальный момент находим по формуле 2 0 x 2 k x k 1e (k ) 1 2 (k ) 0 x замена : t dx (k e t t k 1dt 2 2) x, dx dt (k 2 (k ) 2) (k ) k (k 1) 2 , откуда дисперсия DX mX2 2 k (k 1) 2 k2 k 2 2 . (4.43) При k 1 гамма-распределение превращается в показательное с параметром , так как (1) 0! 1 f1 ( x) e x , (x 0) . При k целых и бóльших единицы (k 1) гамма-распределение превращается в распределение Эрланга k-го порядка: f k ( x) ( x) k 1 e (k 1)! x , (x 0, k 2, 3, ) . (4.44) Закон распределения Эрланга k-го порядка тесно связан со стационарным пуассоновским потоком с интенсивностью . Модель распределения Эрланга k-го порядка. Складывается k независимых случайных величин X1 , X 2 , , X k , каждая из которых подчиняется показательному закону с одним и тем же параметром . В этом k случае суммарная случайная величина X X i имеет распределение i 1 Эрланга k-го порядка.