ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФАЗА ДЛЯ КОГЕРЕНТНОГО СОСТОЯНИЯ

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2014, том 57, №8
ФИЗИКА
УДК 658.567
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминов, Ю.Юсефи
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФАЗА ДЛЯ КОГЕРЕНТНОГО СОСТОЯНИЯ
ГРУППЫ SU(3)
Физико-технический институт им. С.У.Умарова АН Республики Таджикистан
В рамках подхода обобщённых когерентных состояний группы SU(3) проведено вычисление
геометрической фазы для квантово-механических спиновых систем со спином, равным единице, которая существенно обобщает понятие фазы Берри благодаря учёту возбуждения квадрупольных
степеней спиновой динамики.
Ключевые слова: когерентное состояние – фаза Берри – обобщённая геометрическая фаза.
В нерелятивистской квантовой механике состояние системы описывается вектором гильбертового пространства (волновой функцией)   H , которая зависит от времени и некоторых других
переменных в зависимости от рассматриваемой задачи. Эволюция квантовой системы во времени
описывается уравнением Шрёдингера:
i

 H ,
t
где H называют гамильтонианом системы, а
(1)
является постоянной Планка. В дальнейшем для про-
стоты частная производная по времени обозначается точкой    t . Полагается, что векторы состояния нормированы к единице:
 
   1.
(2)
Норма вектора состояния сохраняется во времени вследствие самосопряжённости гамильтониана. Нормировка вектора состояния не устраняет произвольность в выборе вектора состояния в
гильбертовом пространстве, поскольку произвольность в выборе фазовой постоянной всё ещё остаётся.
Теперь опишем задачу, которую рассмотрел М.Берри [1] в её самой простой форме. Предположим для простоты, что гильбертово пространство является конечномерным и вектор состояния
представлен столбцом компонентов N
 1 
    ,
 
 N
(3)
Адрес для корреспонденции: Муминов Хикмат Халимович, Юсефи Юсеф. 734063, Республика Таджикистан,
г.Душанбе, пр. Айни, 299/1,Физико-технический институт АН РТ. E-mail: [email protected].
660
Физика
Х.Х.Муминов, Ю.Юсефи
где  1 , ...,  N являются комплексными функциями некоторого множества переменных, которые
будут определены ниже.
Любое решение уравнения Шрёдингера (1) с условием нормировки (2) определено до постоi0
янного фазового множителя e
, 0  const . Рассмотрим задачу на собственные значения
H  E , E  const.
,
где   H является когерентным состоянием. Предположим, что существует невырожденное энергетическое собственное значение E, которое дифференцируемо зависит от λ (т.е. является функцией
переменных когерентного состояния). Также полагается, что собственная функция     является
дифференцируемой функцией λ. Без потери общности полагаем, что собственная функция  нормирована к единице,    1 . Далее эти требования остаются единственными условиями вплоть до
умножения на фазовый фактор, который может зависеть от λ. В адиабатическом приближении, для
медленно меняющегося гамильтониана, система остается в её мгновенном собственном состоянии.
Поэтому будем искать решение в виде:
  ei ,
где       является неизвестной функцией от λ. Подстановка этого выражения в уравнение
Шрёдингера приводит к уравнению для фазового фактора
  i  E ,
(4)
где мы отбросили общий фазовый фактор eiΘ и использовали коммутативность матриц HeiΘ = eiΘH.
Теперь умножим скалярно левую и правую стороны полученного уравнения на ϕ. В результате получим уравнение для фазы
i   E.
(5)
Начальным условием является  t 0  0 . Поскольку   k  k  , решением уравнения (4) будет:
t
t
   dt k Ak   dtE 
0
0
 (t )


t
d  k Ak   dsE ( s ) .
(0)
(6)
0
Определим Ak    как
Ak ( )  i   k .
(7)
Интеграл по λ берётся вдоль кривой λ(t). Первый член в уравнении (6) называют геометрической фазой или фазой Берри, а второй член называют динамической фазой. Отметим, что компоненты (7) действительны вследствие нормировки волновой функции. Действительно, дифференцирование условия нормировки    1 даёт
661
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2014, том 57, №8
 k     k    k

   k  0 .
Именно это подразумевает действительность компонентов (7) и, следовательно, действительность фазы Берри. Далее, полное изменение фазы волновой функции равно интегралу
1
  B   dtE ,
0
где
B   d  k Ak .
(8)

Эта форма имеет геометрическую интерпретацию для фазы Берри ΘB, которая задана первым
членом в полученном выражении. Выражение для фазы Берри (8) может быть переписано как поверхностный интеграл по компонентам локальной формы кривизны. Используя формулу Стокса,
получим следующее выражение
B 
1
d  k  d  l Fkl ,

S
2
(9)
где S является поверхностью в R3, а Fkl = ∂kAl − ∂lAk являются компонентами локальной формы кривизны.
Далее в рамках нерелятивистской квантовой механики вычислим фазу Берри для частицы со
спином 1/2. Когерентное состояние для спина частицы 1/2 описывается следующей функцией [2]:
  i 

 cos 2 e 
 
.
 sin  
2 

Эта собственная функция нормирована к единице
   1.
Соответствующее решение уравнения Шрёдингера (1) имеет вид
  ei ,
(10)
где фаза Θ удовлетворяет уравнению (5). Компоненты локальной связи Ak  i   k для собственного состояния  могут быть легко вычислены
A  0,
A  0,
A  cos2

2
.
Соответствующая локальная форма кривизны имеет только два ненулевых компонента:
662
Физика
Х.Х.Муминов, Ю.Юсефи
1
F   F   sin  .
2
Теперь мы вычислим фазу Берри для замкнутой кривой в пространстве параметров λ = λ (t)
 B   dk Ak 

1
1
dk  dl Fkl   d  dF    d  d sin 

S
2 S
2
1
1
   (1  cos  )d   ( ),
2
2
где S есть поверхность в R3 с границей λ(t), а Ω(λ) является телесным углом поверхности S. Этот результат не зависит от того, каким образом параметры λ зависят от времени [3].
Теперь, рамках нерелятивистской квантовой механики вычислим фазу Берри для частицы со
спином 1 в SU(2). Когерентное состояние для спина 1 в действительных параметрах находится в следующей форме [2]:
 
 i
 e sin 2 
2 

1
 
sin  .
 2




 cos 2 e i 
2


Если считать решение уравнения Шрёдингера (1) подобным уравнению (10), то компоненты
локальной связи Ak  i   k для собственного состояния ϕ легко вычисляются
A   0,
A  0,
A  cos ,
а компоненты локальной формы кривизны имеют вид
F   F   sin  .
Теперь вычислим фазу Берри для замкнутой кривой в пространстве параметров    (t ),
 B   dk Ak 

1
dk  dl Fkl   d  dF    d  d sin 

S
S
2
   (1  cos  )d   ( ).
Вообще для группы SU(2) фаза Берри для произвольного спина записывается в следующем
виде
B  ms  (1  cos  )d  ms( ) ,
где ms является собственным значением спина, а Ω является телесным углом.
663
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2014, том 57, №8
Вычислим теперь геометрическую фазу в нерелятивистской квантовой механике (обобщённую фазу Берри) для частицы со спином 1 в SU(3). Когерентное состояние в действительной параметризации в этой группе имеет следующий вид [4,5]:
 i  i

2
i
2
 e (e sin 2 cos g  e cos 2 sin g ) 


sin   i
i

.

( e cos g  e sin g )


2


 e  i (e  i cos2  cos g  ei sin 2  sin g ) 
2
2


Собственные функции здесь нормированы к единице
   1.
Подобно уравнению (9), компоненты локальной связи Ak  i   k
для собственного со-
стояния ϕ легко вычисляются
A  cos 2 g cos  ,
Ag  0,
A  0,
A  cos 2 g .
Теперь мы вычислим геометрическую фазу для замкнутой кривой в параметрическом пространстве
B 
 d 
k
Ak 
1
d  k  d  l Fkl   (cos 2 g  cos  )d   (1  cos 2 g )d  .

S
2
(11)
Полученное выражение (11) для геометрической фазы существенно обобщает понятие геометрической фазы Берри в силу того, что учитывает квадрупольные степени спиновой динамики для
S=1 спиновых систем. Если положить параметр квадрупольной динамики g равным нулю в вышеприведенном соотношении, получим фазу Берри в группе SU(2).
Поступило 12.06.2014 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Berry M.V. Quantal phase factors accompanying adiabatic changes. Proc. R. Soc. Lond., 1984, A392,
рр.45-57.
2. Sakurai J. J. Modern quantum mechanics. 1999.
3. Katanaev M. O. – Russ. Phys. J., 2011, №54, pp. 342-353.
4. Abdulloev Kh. O., Muminov Kh. Kh. – Phys. Solid state, 1994, № 36 (1), pp.1022-1025.
5. Ostrovskii V. S. – Sov. Phys. JETP, 1986, v.64(5), pp.999-1005.
664
Физика
Х.Х.Муминов, Ю.Юсефи
Њ.Њ.Мўминов, Ю.Юсефї
ФАЗАИ ГЕОМЕТРЇ БАРОИ ЊОЛАТЊОИ КОГЕРЕНТИИ ГУРЎЊИ SU(3)
Институти физикаю техникаи ба номи С.У.Умарови Академияи илмхои Чумхурии Точикистон
Дар чањорчўбаи њолатњои коњерентии гурўњи SU(3)фазаи геометрї барои системањои
спинии бо ќиматњои спини воњидї њисоб карда шудааст, ки мафњуми фазаи Берриро аз сабаби
дарназардошти ангезишњои квадруполии дараљањои озоди динамикаи спинї умумї мекунад.
Калимањои калидї: њолатњои когерентї – фазаи Берри – фазаи геометрї.
Kh.Kh.Muminov, Yu.Yusefi
GEOMETRICAL PHASE FOR THE SU(3) COHERENT STATE
S.U.Umarov Physical-Technical Institute, Academy of the Republic of Tajikistan
In the frameworks of SU(3) coherent states approach the geometrical phase for quantum-mechanical
S=1 spin systems is calculated, which generalized the concept of Berry phase due to taking into account excitations of quadrupole degrees of freedom of spin dynamics.
Key words: coherent state – Berry phase – geometrical phase.
665