Урок 14

1
Урок 14
Энергия поля, Давление. Силы
1. (Задача 2.47) Внутри плоского конденсатора с площадью пластин S и расстоянием d между ними находится пластинка из стекла, целиком заполняющая пространство между пластинами
конденсатора. Диэлектрическая проницаемость стекла – ε. Как изменится энергия конденсатора, если удалить стеклянную пластинку? Решить задачу при условиях: а) конденсатор все время
присоединен к батарее с эдс E; б) конденсатор был сначала подсоединен к той же батарее, а затем отключен и только после этого пластинка была удалена. Найти механическую работу, которая
затрачивается на удаление пластинки в том и другом случае.
2
(1−ε)Q2
S
Решение а) ∆W = (1−ε)CU
;
б)
∆W
=
, A = ∆W , C = 4πd
.
2
2εC
2. (Задача 2.48) Найти энергию электростатического поля заряженного равномерно по объему шара через плотность энергии и через плотность заряда и потенциал. Заряд шара Q, радиус
R.
Решение Энергия электростатического поля может быть подсчитана по двум эквивалентным
формулам:
Z
1
W =
(ED) dV
(1)
8π
Z
Z
1
1
ϕ dq =
ρϕ dV ,
(2)
W =
2
2
где E, D – векторы электрической напряженности и электрической индукции поля,
ϕ – потенциал поля в месте нахождения заряда dq. Первый интеграл берется по всему объему,
где E 6= 0, во втором интеграле интегрирование ведется по всем зарядам системы.
Найдем энергию электростатического поля шара, равномерно заряженного с плотностью ρ.
Используя распределение поля для заряженного шара (см. 1.23) и полагая ε = 1, находим
1
W =
8π
·Za ³
4 ´2 2
πρ R · 4πR2 dR +
3
0
Z∞³
¸
4 ´2 a6
3 Q2
2
πρ
·
4πR
dR
=
,
3
R4
5 a
a
где Q = 43 πa3 ρ – полный заряд шара.
Распределение потенциала внутри шара
¶
µ
Q
Q
R2
ϕ(R) = +
1− 2
a
2a
a
при
R ≤ a.
2
Подставляя потенциал в формулу (2), получаем
¸
Za ·
1
Q
Q³
R2 ´
3 Q2
+
ρ · 4πR2 dR =
.
W =
1− 2
2
a
2a
a
5 a
0
Энергию можно найти и как работу, которую нужно совершить, чтобы «слепить» равномерно заряженный шар. Если уже «слепили» шар радиуса R, то, чтобы нарастить его на dR, нужно добавить
к нему заряд dQ = ρ · 4πR2 dR. Работа, которую следует совершить, чтобы преодолеть силу
отталкивания при наращивании слоя толщиной dR, равна
4 R3
3Q2 R 4
2
dA = πρ
· ρ · 4πR dR =
dR .
3 R
a6
Интегрируя по всем слоям, находим
Za
3Q2
3 Q2
W =A= 6
R 4 dR =
.
a
5 a
0
3. (Задача 2.50) Диполь с моментом p1 находится в начале координат, а другой диполь с
моментом p2 – в точке с радиус-вектором r. Найти энергию взаимодействия этих диполей и действующую между ними силу. При какой ориентации диполей эта сила максимальна?
Решение Напряженность электрического поля, создаваемого диполем p1 в точке r
³ rp ´
p1 3r (rp1 )
1
E = −∇
=− 3 +
3
r
r
r5
Потенциальная энергия взаимодействия диполей p1 и p2
U (r) = − (p2 E) .
или
p2 p1 3 (p1 r)(p2 r)
p2 p1
−
=
(sin θ1 sin θ2 cos φ − 2 cos θ1 cos θ2 ) ,
r3
r5
r3
где θ1 = (c
rp1 ), θ2 = (c
rp2 ), ϕ – угол между плоскостями (p1 r) и (p2 r).
U (r) =
3U
∂U
3p2 p1 (sin θ1 sin θ2 cos φ − 2 cos θ1 cos θ2 )
=
=
.
4
∂r
r
r
Очевидно, что выражение в скобках, зависящее от углов, имеет максимальное значение при θ1 =
θ2 = 0. Это значение равно −2, тогда
Fr = −
6p1 p2
(притяжение!),
r4
и это имеет место когда диполи параллельны.
Fmax = −
3
4. (Задача 2.51) Электрический диполь с моментом p находится в однородном диэлектрике
вблизи плоской границы бесконечно протяженного проводника. Найти потенциальную энергию
взаимодействия диполя с индуцированными зарядами, силу и вращательный момент, приложенные
к диполю. Расстояние a, проницаемость диэлектрика ε.
Решение
U = − (pE)
если p и E независимы, p ∼ E, то 21 .
U=
=
p2
r3 ε
1
2
n
p2 p1
r3 ε
r = 2a
o
3(p2 r)(p1 r)
−
=
r5 ε
2
(cos 2θ − 3 cos θ) =
2 2
2θ
p2 cos2 θ
− 3p rr5cos
r3 ε
ε
2
− 8ap3 ε (1 + cos2 θ)
=
p2
d
W = − 16εa3 (1 + cos2 θ) , где θ = (p,
ez ); Fz = − 3W
,
a
p2 sin 2θ
Nθ = − 16εa3 .
5. (Задача 2.52) Электрический диполь p0 находится в однородном диэлектрике на расстоянии r от центра заземленного проводящего шара радиуса R. Найти энергию взаимодействия диполя с шаром, силу и вращательный момент, приложенные к диполю. Рассмотреть случай r → R
(r > R).
∗
r∗ )(pr∗ )
0 p)
0r )
+ (p
− 3(p02εr
, где заряд изображения
Решение W
=
− Q(p
∗5
2εr∗3
2εr∗3
(pr)
(p0 r)r R3
R3
Q = r3 R и диполь изображения p = −p0 r3 + 2 r2 r3 отстоят от диполя p0 на расстояние
r∗ = r − R2 /r, а r, r∗ – радиус-векторы положения диполя p0 и его изображений соответственно.
2
2
2
2
p2 R(R2 +r2 cos2 θ )
p2 Rr (R +2r ) cos θ+3R
p20 Rr 2 sin 2θ
Если θ = (d
p, r), то W = − 0 2ε(r2 −R2 )3 , Fr = − 0ε
,
N
=
−
.
4
θ
2
2
(r −R )
2ε(r2 −R2 )3
6. (Задача 2.54) Плоский конденсатор (подключен к батарее, эдс E) с вертикально расположенными пластинами опущен в жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε. Плотность жидкости ρ, расстояние между пластинами d. На какую высоту поднимется жидкость внутри конденсатора?
Решение
D = εE0
E2
εE02
= 0 + ρgh
8π
8π
E
E0 =
d
2
(ε − 1) E0
= h,
8πρg
4
или
h=
(ε − 1) E 2
.
8πρgd2
7. (Задача 2.60) Найти сечение захвата электронов (заряд – e, масса – m, скорость на
бесконечности – υ0 ) абсолютно проводящей нейтральной закрепленной сферой радиуса a.
Решение
Движение электрона в поле индуцированных зарядов сферы эквивалентно движению в поле двух зарядов: e0 = ea/r и (−e0 ), рас0
2
r
-e положенных соответственно в центре и на расстоянии r = a /r,
v
r
где r– расстояние от центра сферы до летящего электрона.
r
′
e
ρ
′
При движении электрона заряды изображения и электрон буa r
ϕ
дут находиться на одной прямой, проходящей через центр сфе− e′
ры, поэтому можно считать, что электрон движется в центральносимметричном поле. В центрально-симметричных полях сохраняется момент количества движения и, значит, движение частицы плоское.
Выбирая полярную систему координат в плоскости движения электрона с началом в центре
сферы, запишем закон сохранения энергии
mυr2 mυϕ2
mυ02
+
=
,
(1)
2
2
2
где υr , υϕ – проекции скорости электрона на направление радиус-вектора r и на перпендикулярное
к нему направление, U – энергия взаимодействия электрона со сферой
U+
U =−
e2 a3
.
2r2 (r2 − a2 )
Исключив скорость υϕ из уравнения (1), воспользовавшись выражением для момента количества
движения M = mυϕ r, получим
mυr2
mυ02
+ Uэф =
,
(2)
2
2
где
M2
e2 a3
Uэф =
−
(3)
2mr2 2r2 (r2 − a2 )
есть эффективное поле, в котором происходит одномерное (по r) движение электрона.
График функции Uэф показан на рисунке. Из этого графика и из уравUэф
2
нения (2) следует, что если энергия электрона, равная
³ mυ
´ 0 /2, меньше,
mv
2
чем максимальное значение эффективной энергии Uэф
, то миниmax
r1
r2 r0
мальное расстояние r0 , на которое может подойти электрон, опреде0
ляется равенством
2
5
Uэф (r0 ) =
mυ02
.
2
³ ´
³ ´
Если энергия электрона больше Uэф
, то электрон упадет на сферу. Найдем Uэф
при
max
max
некотором моменте M электрона.
эф
Дифференцируя по r выражение (3) и приравнивая производную нулю dU
= 0, находим
dr
M 2 r4 − 2r2 X + a2 X = 0 ,
(4)
где введено обозначение X = M 2 a2 + m e2 a3 . Решая уравнение (4), получаем
√
me2 a3
2
2
r = r1 ± r1
,
(5)
M
где
me2 a3
r12 = a2 +
M2
³
´
есть расстояние, на котором обращается в нуль Uэф , Uэф (r1 ) = 0 . В соотношении (5) нужно
выбрать знак «+», иначе r < a. Итак,
r
³ ´
me2 a3
r22 = r12 + r1
,
Uэф
= Uэф (r2 ) .
M2
max
Подставляя r2 в уравнение
mυ02
,
(6)
2
находим предельное значение момента M0 , а с ним и прицельного параметра ρ0
(M0 = mυ0 ρ0 ) , такое, что при M < M0 электроны захватываются сферой.
После несложных арифметических преобразований уравнения (6) получим промежуточное
уравнение
r
¶
µ
mυ0
me2 a3
= 1,
r1 +
M0
M
откуда следует
√
M02
2 me2 a3
−
= a2 .
(7)
2
2
m υ0
mυ0
Uэф (r2 ) =
Заменяя в уравнении (7) M0 на mυ0 ρ0 , окончательно находим
s
µ
¶
e2 /a
2
2
ρ0 = a 1 + 2
,
mυ02
6
Y
uur
v0
e
uur
p1
θ
ρ
r
r
X
uur
p1′
сечение захвата
s
µ
σ=
πρ20
= πa
2
1+2
¶
e2 /a
.
mυ02
8. (Задача 2.61) Найти сечение рассеяния на малые углы электронов (заряд – e, масса –
m, скорость на бесконечности – υ0 ), пролетающих с большим прицельным параметром ρ мимо
шара радиуса a, если: а) шар проводящий и заземлен; б) шар проводящий и изолирован; в) шар
диэлектрический с проницаемостью ε; г) шар диэлектрический с поляризуемостью v E 2 .
Решение Рассеяние на малые углы означает, что рассматриваются столкновения на больших прицельных расстояниях, где поле соответственно будет слабое. Выберем оси (X,Y ) так, как
показано на рисунке. Пусть P1 – импульс частицы до рассеяния, P01 – после рассеяния, тогда
0
0
sin θ = P1y
/P10 . Поскольку при малых углах sin θ ≈ θ, P10 ≈ P1 = mυ0 , то θ ≈ P1y
/mυ0 . С
другой стороны,
Z∞
0
P1y
= Fy dt.
0
Переходя от интегрирования по t к интегрированию по r и используя приближенные соотношения
dt '
dx
,
υ0
r2 ' x2 + ρ2 ,
Fy = Fr ·
получаем
2ρ
θ'
mυ02
Z∞
ρ
r dr
dx ' p
r 2 − ρ2
,
ρ
,
r
dr
Fr p
.
r2 − ρ2
а) Проводящий шар заземлен.
В этом случае рассеяние происходит в поле заряда e0
(1)
=
−ea/r, находящегося
7
uur
v0
e′
r′
a
e
r
r
ρ
на расстоянии r0 = a2 /r от центра. Сила, действующая на электрон:
Fr =
0
−e2 ar
.
(r2 − a2 )2
Подставляя силу в уравнение (1) и используя при малых углах неравенство r À a, получаем
θ≈
πae2
,
2mυ02 ρ2
откуда
πa2 e2
.
(2)
2mυ02 θ
Связь дифференциального эффективного сечения dσ с прицельным параметром ρ имеет вид dσ =
2πρ(θ) dρ. Деля обе части этого равенства на элемент телесного угла dΩ = 2π sin θ dθ ≈ 2πθ dθ
и делая несложные преобразования, получаем
¯
¯
dσ
1 ¯¯ ∂ρ2 ¯¯ dθ
≈ ¯
.
(3)
dΩ
2 ∂θ ¯ θ
ρ2 ≈
Окончательно
dσ
πae2 1
≈
.
dΩ
4mυ02 θ3
б) Проводящий шар изолирован.
В этом случае сила, действующая на электрон,
2e2 a3
.
r5
Подставим выражение для силы в формулу (1), получим связь угла рассеяния с прицельным параметром
3πa3 e2
θ≈
.
4mυ02 ρ4
Откуда
s
3πa3 e2 1
√ ,
ρ2 ≈
4mυ02
θ
Fr ≈
и дифференциальное эффективное сечение рассеяния (3) для электронов на изолированном проводящем шаре
s
πa2 3e2 /a −5/2
dσ
≈
θ
.
dΩ
8
πmυ02
8
в) Шар диэлектрический с проницаемостью ε.
В этом случае
∞
X
`(` + 1) a2`+1
2
Fr = −e (ε − 1)
.
(ε` + ` + 1) r2`+3
`=0
Ограничимся первым слагаемым, поскольку r À a, тогда
Fr = −e2
θ=
и
2(ε − 1) a3
,
(ε + 2) r5
3π a3 e2 (ε − 1) 1
,
4 mυ02 (ε + 2) ρ4
µ
¶1/2
dσ
πa2 3 e2 /a ε − 1
=
θ−5/2 .
dΩ
8 4 mυ02 (ε + 2)