Численное решение дифференциальных уравнений В задачах

×èñëåííîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
 çàäà÷àõ ìåõàíèêè ÷àñòî âîçíèêàþò äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ,
êîòîðûå íåëüçÿ ðåøèòü àíàëèòè÷åñêè, ò. å. ïîëó÷èòü ÿâíóþ ôîðìóëó äëÿ
ðåøåíèÿ, ïóñòü äàæå ñ èñïîëüçîâàíèåì ñèìâîëà èíòåãðàëà. Òàêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ìîæíî ðåøèòü òîëüêî ÷èñëåííî, ò. å. ïðèáëèæåííî
ïðè ïîìîùè îïðåäåëåííûõ âû÷èñëåíèé.
Çäåñü áóäåò îïèñàí îäèí èç ñàìûõ ïîïóëÿðíûõ ìåòîäîâ äëÿ ÷èñëåííîãî
ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì ïåðâîãî ïîðÿäêà. Âîîáùå
ãîâîðÿ, â ìåõàíèêå îáû÷íî âñòðå÷àþòñÿ óðàâíåíèÿ è ñèñòåìû óðàâíåíèé
âòîðîãî ïîðÿäêà (óñêîðåíèå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïîëîæåíèå è ñêîðîñòü), ïîýòîìó ïåðåä ïðèìåíåíèåì ýòîãî ìåòîäà èõ íóæíî ïðåîáðàçîâàòü ê ñèñòåìàì
óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà, ââåäÿ äîïîëíèòåëüíûå ïåðåìåííûå, îáîçíà÷àþùèå ïåðâûå ïðîèçâîäíûå êîîðäèíàò.
Äàííûé ìåòîä (ìåòîä Ðóíãå-Êóòòû 4 ïîðÿäêà), êàê è áîëüøîå êîëè÷åñòâî äðóãèõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèé
è ñèñòåì ïåðâîãî ïîðÿäêà, èìååò äåëî ñ çàäà÷àìè Êîøè (çàäàíî íà÷àëüíîå
çíà÷åíèå èñêîìîé ôóíêöèè) âèäà:
dy
= F (x, y), y(x0 ) = y0 .
dx
Çäåñü ìû íå áóäåì äåëàòü íèêàêîãî ðàçëè÷èÿ ìåæäó óðàâíåíèÿìè è ñèñòåìàìè óðàâíåíèé, ïðîñòî â ñëó÷àå óðàâíåíèÿ y(x) áóäåò îáîçíà÷àòü ñêàëÿðíóþ ôóíêöèþ, à â ñëó÷àå ñèñòåì âåêòîð-ôóíêöèþ èç ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷èñëà êîìïîíåíò.
Ìåòîä ñîñòîèò â ïîñëåäîâàòåëüíîì âû÷èñëåíèè ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé yi äëÿ èñêîìûõ âåëè÷èí y(xi ), ãäå xi ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê, â
êîòîðûõ íàì íóæíî ïîëó÷èòü ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ èñêîìîé ôóíêöèè.
 ïðîñòåéøåì ñëó÷àå (áîëåå ñëîæíûå âàðèàíòû ìû ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì) xi àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñ ðàçíîñòüþ h (ýòî ÷èñëî íàçûâàåòñÿ
øàãîì ñåòêè, à ñàìè xi åå óçëàìè).
Ðàñ÷åòíûå ôîðìóëû äëÿ äàííîãî ìåòîäà âûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ãäå
1
yn+1 = yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ),
6
k1 = hF (xn , yn ),
h
1
k2 = hF (xn + , yn + k1 ),
2
2
h
1
k3 = hF (xn + , yn + k2 ),
2
2
k4 = hF (xn + h, yn + k3 ).
(1)
(2)
(3)
(4)
Îöåíêà ïîãðåøíîñòè äàííîãî ìåòîäà äîâîëüíî òðóäíîå äåëî, îäíàêî
èìååòñÿ ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà äëÿ ãëàâíîãî ÷ëåíà àñèìïòîòèêè ïîãðåøíîñòè
1
íà î÷åðåäíîì øàãå, â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïðåäûäóùèå øàãè âû÷èñëåíû
òî÷íî:
1
y(xn+1 ) − yn+1 ≈
31
∗
(yn+1 − yn+1
),
∗
ãäå yn+1
ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå èñêîìîé ôóíêöèè, ïîëó÷åííîå ïî yn−1
è xn−1 ñ øàãîì 2h.
2