Д. А. Прокудин Точные решения уравнений смесей жидкостей

Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèé êîìïëåêñ äèñöèïëèíû "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé". 3,5 ï.ë. Àâòîð: ê.ô.-ì.í.
Ïðîêóäèí Ä.À.
Ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ 3-ãî êóðñà ñïåöèàëüíîñòè 010101 "Ìàòåìàòèêà".
Àííîòàöèÿ
 ýòîì êóðñå îñíîâíûì îáúåêòîì èçó÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äâóõêîìïîíåíòíîé ñìåñè âÿçêèõ ñæèìàåìûõ æèäêîñòåé (ãàçîâ), ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé íåêîòîðîå îáîáùåíèå êëàññè÷åñêîé ìîäåëè Íàâüå-Ñòîêñà.
Âîïðîñû î ìàòåìàòè÷åñêîé êîððåêòíîñòè êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè, âîçíèêàþùèõ ïðè ìîäåëèðîâàíèè ñïëîøíûõ ñðåä, âûçûâàåò íåèçìåííûé èíòåðåñ, ïîñêîëüêó èõ ðåøåíèå
âñòðå÷àåò ñóùåñòâåííûå òðóäíîñòè â ìàòåìàòè÷åñêîì ïëàíå, ñòèìóëèðóÿ òåì
ñàìûì äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ.  ÷àñòíîñòè, âîïðîñû äèíàìèêè âÿçêîé æèäêîñòè î÷åíü òðóäíû ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ è íå ñëó÷àéíî çàäà÷à î ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè ìíîãîìåðíîé ñèñòåìû
Íàâüå-Ñòîêñà âêëþ÷åíà â ñïèñîê òàê íàçûâàåìûõ "ïðîáëåì òûñÿ÷åëåòèÿ".
Öåëüþ îñâîåíèÿ äèñöèïëèíû "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ
æèäêîñòåé" ÿâëÿåòñÿ çíàêîìñòâî ñòóäåíòîâ ñ òî÷íûìè ðåøåíèÿìè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèÿ
ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé.
Äëÿ åå óñïåøíîãî èçó÷åíèÿ íåîáõîäèìû çíàíèÿ è óìåíèÿ, ïðèîáðåòåííûå â ðåçóëüòàòå îñâîåíèÿ ïðåäøåñòâóþùèõ äèñöèïëèí: ìàòåìàòè÷åñêèé
àíàëèç, ëèíåéíàÿ àëãåáðà, îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ,
äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè), êîìïüþòåðíûå íàóêè, ïðàêòèêóì íà ÝÂÌ ïî ÄÓ. Ïðîãðàììà äèñöèïëèíû "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé"
ïðåäóñìàòðèâàåò èçó÷åíèå ñòóäåíòàìè ìåòîäîâ íàõîæäåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé, àêòóàëüíûõ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ
ïðàêòè÷åñêèõ çíàíèé, ñâÿçàííûõ ñ áóäóùåé ïðîôåññèîíàëüíîé äåÿòåëüíîñòüþ ìàòåìàòèêîâ.
 ðåçóëüòàòå îñâîåíèÿ äèñöèïëèíû îáó÷àþùèéñÿ äîëæåí:
1) çíàòü: îñíîâíûå ôîðìóëû âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà, îñíîâíûå
ìîäåëè ìåõàíèêè ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé, îñíîâíûå ìåòîäû íàõîæäåíèÿ
òî÷íûõ ðåøåíèé äàííûõ ìîäåëåé;
2) óìåòü: îïåðèðîâàòü ñ âåêòîðàìè è òåíçîðàìè, èñïîëüçóÿ îñíîâíûå
ôîðìóëû âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà, ìîäåëèðîâàòü ðàçëè÷íûå ïðîöåññû ìåõàíèêè ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé, íàõîäèòü òî÷íûå ðåøåíèÿ ýòèõ
ìîäåëåé;
3) âëàäåòü: òåõíèêîé äîêàçàòåëüñòâà (âûâîäà) îñíîâíûõ ôîðìóë âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà, íàâûêàìè ðåøåíèÿ îñíîâíûõ çàäà÷ êóðñà.
ÓÌÊ, ïðåäíàçíà÷åííûé äëÿ îðãàíèçàöèè ó÷åáíîé ðàáîòû ïî äèñöèïëèíå, ñîäåðæèò àííîòàöèþ, ðàáî÷óþ ïðîãðàììó êóðñà, òåêñò ëåêöèé, ïåäàãîãè÷åñêèå èçìåðèòåëüíûå ìàòåðèàëû.
1
ÐÀÁÎ×Àß ÏÐÎÃÐÀÌÌÀ Ó×ÅÁÍÎÉ ÄÈÑÖÈÏËÈÍÛ
¾ÒÎ×ÍÛÅ ÐÅØÅÍÈß ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÑÌÅÑÅÉ ÂßÇÊÈÕ
ÆÈÄÊÎÑÒÅÉ¿
Îðãàíèçàöèîííî-ìåòîäè÷åñêèé ðàçäåë
1. Ïîÿñíèòåëüíàÿ çàïèñêà
Àêòóàëüíîñòü è çíà÷èìîñòü ó÷åáíîé äèñöèïëèíû
Ñîâðåìåííàÿ ãàçîâàÿ äèíàìèêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáøèðíóþ ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêóþ äèñöèïëèíó, çàíèìàþùóþ ïðî÷íîå ìåñòî â ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìå çíàíèé î ïîâåäåíèè ñïëîøíûõ ñðåä. Îáëàñòü ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé ðåçóëüòàòîâ è âûâîäîâ ãàçîâîé äèíàìèêè âåñüìà øèðîêà. Îíà îõâàòûâàåò ïðîöåññû è ÿâëåíèÿ, ïðîèñõîäÿùèå ïðè äâèæåíèè â âîçäóõå ëåòàòåëüíûõ àïïàðàòîâ, ñíàðÿäîâ è ðàêåò, ïðè èñòå÷åíèè ãàçîâûõ ñòðóé, ïðè
ðàñïðîñòðàíåíèè óäàðíûõ âîëí è èõ âîçäåéñòâèè íà ïðåïÿòñòâèÿ.
Êóðñ "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé" ïîñâÿùåí
èçó÷åíèþ ïðèíöèïîâ ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ
æèäêîñòåé.
Ïðè ïîäãîòîâêå ñòóäåíòà-ìàòåìàòèêà êóðñ "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé
ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé" ñîñòàâëÿåò âàæíóþ è íåîòúåìëåìóþ ÷àñòü åãî
ïðîôåññèîíàëüíîãî ñòàíîâëåíèÿ.
Ñîîòâåòñòâèå ðàáî÷åé ïðîãðàììû Ãîñóäàðñòâåííîìó îáðàçîâàòåëüíîìó ñòàíäàðòó âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ
Ðàáî÷àÿ ïðîãðàììà ñîîòâåòñòâóåò òðåáîâàíèÿì, ïðåäúÿâëÿåìûì ê
ñïåöèàëèçàöèè "Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå".
Öåëè è çàäà÷è ó÷åáíîé äèñöèïëèíû
Öåëüþ ïðåïîäàâàíèÿ äèñöèïëèíû "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé
âÿçêèõ æèäêîñòåé" ÿâëÿåòñÿ ôîðìèðîâàíèå ó áóäóùèõ ñïåöèàëèñòîâ ñîâðåìåííûõ òåîðåòè÷åñêèõ çíàíèé â îáëàñòè ãàçîâîé äèíàìèêè è ïðàêòè÷åñêèõ
íàâûêîâ â èññëåäîâàíèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äèíàìèêè ñìåñåé
âÿçêèõ ñðåä, îçíàêîìëåíèå ñòóäåíòîâ ñ íàâûêàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.
Çàäà÷è èçó÷åíèÿ äèñöèïëèíû:
• Îâëàäåíèå íàâûêàìè ìîäåëèðîâàíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ äèíàìèêè
ñìåñåé äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè;
• Ïðèîáðåòåíèå íàâûêîâ ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ çàäà÷ êà÷åñòâåííîãî àíàëèçà.
ñòà
Ìåñòî äèñöèïëèíû â ïðîôåññèîíàëüíîé ïîäãîòîâêå ñïåöèàëè-
Èçó÷åíèå äàííîé äèñöèïëèíû áàçèðóåòñÿ íà çíàíèÿõ ñòóäåíòàìè
îáùèõ êóðñîâ: ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, ëèíåéíàÿ àëãåáðà, îáûêíîâåííûå
äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ
ïðîèçâîäíûõ (óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè), êîìïüþòåðíûå íàóêè,
2
ïðàêòèêóì íà ÝÂÌ ïî ÄÓ. "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ
æèäêîñòåé" äàþò ìàòåìàòèêó îäíî èç ìîùíûõ ñðåäñòâ äëÿ àíàëèçà ÿâëåíèé
è ïðîöåññîâ ðàçëè÷íîé ïðèðîäû ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè.
Ñòðóêòóðà ó÷åáíîé äèñöèïëèíû "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé" ñîñòîèò èç òðåõ îñíîâíûõ ðàçäåëîâ:
• Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå ôîðìóëû âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà;
• Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äèíàìèêè ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé;
• Ñëó÷àè òî÷íîãî èíòåãðèðîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé.
Îñîáåííîñòè èçó÷åíèÿ ó÷åáíîé äèñöèïëèíû
Êóðñ "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé" ïîñòðîåí
ñ ïîçèöèè ìîäåëèðîâàíèÿ ôèçè÷åñêèõ çàäà÷ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Ïðè èçó÷åíèè äàííîé äèñöèïëèíû
íåîáõîäèìûì ÿâëÿåòñÿ âëàäåíèå ìåòîäàìè óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé
ôèçèêè è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà.
Ôîðìû îðãàíèçàöèè ó÷åáíîãî ïðîöåññà ïî äàííîé äèñöèïëèíå
Íà îñíîâå ïðîãðàììû è ó÷åáíîãî ïëàíà, â õîäå ïðîâåäåíèÿ çàíÿòèé
ïî ìàòåìàòè÷åñêèì ìîäåëÿì â ãàçîâîé äèíàìèêå, èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå
ôîðìû: ëåêöèè, ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòà, çà÷åò.
Âçàèìîñâÿçü àóäèòîðíîé è ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû
Îñíîâíûå âîïðîñû ïðîãðàììû âûíåñåíû êàê íà àóäèòîðíûå, òàê è
íà ñàìîñòîÿòåëüíûå çàíÿòèÿ. Íà ëåêöèÿõ ñòóäåíòàì ïðåäëàãàþòñÿ äëÿ
ñàìîñòîÿòåëüíîãî äîêàçàòåëüñòâà íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ òåîðåì.
Òðåáîâàíèÿ ê óðîâíþ îñâîåíèÿ ñîäåðæàíèÿ äèñöèïëèíû
 ðåçóëüòàòå îñâîåíèÿ äèñöèïëèíû îáó÷àþùèéñÿ äîëæåí:
1) çíàòü: îñíîâíûå ôîðìóëû âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà, îñíîâíûå
ìîäåëè ìåõàíèêè ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé, îñíîâíûå ìåòîäû íàõîæäåíèÿ
òî÷íûõ ðåøåíèé äàííûõ ìîäåëåé;
2) óìåòü: îïåðèðîâàòü ñ âåêòîðàìè è òåíçîðàìè, èñïîëüçóÿ îñíîâíûå
ôîðìóëû âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà, ìîäåëèðîâàòü ðàçëè÷íûå ïðîöåññû ìåõàíèêè ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé, íàõîäèòü òî÷íûå ðåøåíèÿ ýòèõ
ìîäåëåé;
3) âëàäåòü: òåõíèêîé äîêàçàòåëüñòâà (âûâîäà) îñíîâíûõ ôîðìóë âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà, íàâûêàìè ðåøåíèÿ îñíîâíûõ çàäà÷ êóðñà.
Âèäû êîíòðîëÿ çíàíèé ñòóäåíòîâ è èõ îò÷åòíîñòè
Ïî òðåì îñíîâíûì ðàçäåëàì êóðñà ïðåäóñìîòðåíû ñàìîñòîÿòåëüíûå
ðàáîòû. Ïî èòîãàì èçó÷åíèÿ êóðñà â êîíöå ñåìåñòðà ïðåäóñìîòðåí çà÷åò.
3
Êðèòåðèè îöåíêè çíàíèé ñòóäåíòîâ
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ çà÷åòà ïî êóðñó "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé" òðåáóåòñÿ: ïîñåùàòü ëåêöèîííûå çàíÿòèÿ; âûïîëíèòü ñàìîñòîÿòåëüíóþ ðàáîòó è òåñò; âûïîëíèòü èíäèâèäóàëüíîå çà÷åòíîå çàäàíèå.
Èíäèâèäóàëüíîå çà÷åòíîå çàäàíèå ïî äàííîé äèñöèïëèíå âêëþ÷àåò
â ñåáÿ îäèí òåîðåòè÷åñêèé âîïðîñ (ñïèñîê âîïðîñîâ ïðèâåäåí â ïåðå÷íå
âîïðîñîâ ê çà÷åòó). Òåîðåòè÷åñêèé âîïðîñ ñîîòâåòñòâóåò ïðîãðàììå äàííîãî
êóðñà. Çà÷åòíîå çàäàíèå ñ÷èòàåòñÿ âûïîëíåííûì, åñëè ñòóäåíò ïðàâèëüíî
îòâåòèë íà òåîðåòè÷åñêèé âîïðîñ. Äîïîëíèòåëüíûå âîïðîñû çàäàþòñÿ äëÿ
óòî÷íåíèÿ çíàíèé ñòóäåíòà, è, êàê ïðàâèëî, íå âûõîäÿò çà ïðåäåëû âîïðîñîâ
â çà÷åòíîì çàäàíèè.
2. Òåìàòè÷åñêèé ïëàí

Ðàçäåë
äèñöèïëèíû
Ñåì. Íåä. Âèäû ó÷åáíîé
ðàáîòû, âêëþ÷àÿ
ñàìîñòîÿòåëüíóþ
ðàáîòó ñòóäåíòîâ
è òðóäîåìêîñòü
(â ÷àñàõ)
1
Íàèáîëåå
óïîòðåáèòåëüíûå ôîðìóëû âåêòîðíîãî è
òåíçîðíîãî àíàëèçà.
Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äèíàìèêè ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé.
Ñëó÷àè òî÷íîãî èíòåãðèðîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé.
5
1-4
Ëåê
4
5
5-8
5
9-18
2
3
4
Çà÷åò
Âñåãî
4
Ñåì
Ñàì
8
Ñóì
12
8
8
16
24
20
44
36
36
72
3. Ñîäåðæàíèå äèñöèïëèíû

1
2
3
Íàèìåíîâàíèå ðàçäåëà äèñöèïëèíû
Íàèáîëåå
óïîòðåáèòåëüíûå
ôîðìóëû
âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà.
Ìàòåìàòè÷åñêèå
ìîäåëè äèíàìèêè ñìåñåé
âÿçêèõ æèäêîñòåé.
Ñëó÷àè òî÷íîãî èíòåãðèðîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé
äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé.
Ñîäåðæàíèå ðàçäåëà äèñöèïëèíû
Âåêòîðíàÿ àëãåáðà è âåêòîðíûé àíàëèç. Òåíçîðíàÿ àëãåáðà è íåêîòîðûå
ôîðìóëû òåíçîðíîãî àíàëèçà.
Óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè. Ìíîãîñêîðîñòíàÿ ìîäåëü
äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé.
Îäíîñêîðîñòíàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé.
Ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ
æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè. Ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ
íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé â êðóãëîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå. Êðóãîâîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ
íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ
âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè.
4. Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå è èíôîðìàöèîííîå îáåñïå÷åíèå
äèñöèïëèíû
à) îñíîâíàÿ ëèòåðàòóðà:
1. Íèãìàòóëèí, Ð.È. Äèíàìèêà ìíîãîôàçíûõ ñðåä. ×. 1 / Ð.È. Íèãìàòóëèí. Ì.: Íàóêà, 1987. - 489 c.
2. Êó÷åð, Í.À. Êðàåâûå çàäà÷è ìåõàíèêè ñìåñåé æèäêîñòåé. ×. 1 / Í.À. Êó÷åð, Ä.À. Ïðîêóäèí. - Ó÷åáíîå ïîñîáèå. ÃÎÓ ÂÏÎ ¾Êåìåðîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò¿. Êåìåðîâî: Êóçáàññâóçèçäàò, 2010. - 154 c.
4. Ñëåçêèí, Í.À. Äèíàìèêà âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè / Í.À. Ñëåçêèí. Ì.: Ãîñóäàðñòâåííîå èçäàòåëüñòâî òåõíèêî-òåîðåòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû, 1955.
- 493 c.
5. Ñåäîâ, Ë.È. Ìåõàíèêà ñïëîøíîé ñðåäû. Ò.1-2 / Ë.È. Ñåäîâ. - Ì.: Íàóêà,
1970. - 835 c.
á) äîïîëíèòåëüíàÿ ëèòåðàòóðà:
1. Àíòîíöåâ, Ñ.Í. Êðàåâûå çàäà÷è ìåõàíèêè íåîäíîðîäíûõ æèäêîñòåé /
Ñ.Í. Àíòîíöåâ, À.Â. Êàæèõîâ, Â.Í. Ìîíàõîâ. - Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1983.
361 c.
2. Rajagopal, K. R. Mechanics of mixtures / K. R. Rajagopal, L. Tao. - London:
World Scientic Publishing, 1995. - 435 c.
3. Áèöàäçå, À.Â. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè / À.Â. Áèöàäçå. Ì.:
Íàóêà, 1982. - 254 c.
5
â)ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå è Èíòåðíåò-ðåñóðñû:
1. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/info/mathwebs.htm (ìèð ìàòåìàòè÷åñêèõ
óðàâíåíèé).
2. http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics (èíôîðìàöèîííûé ñàéò).
5. Ôîðìû òåêóùåãî, ïðîìåæóòî÷íîãî è ðóáåæíîãî êîíòðîëÿ
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî èçó÷åíèÿ
1. Èñòîðèÿ ðàçâèòèÿ ìåõàíèêè æèäêîñòè è ãàçà ( îò ãèäðîìåõàíèêè äðåâíîñòè äî óñòàíîâëåíèÿ âîççðåíèé íüþòîíîâñêîé ýïîõè).
2. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä
3. Ñïîñîáû îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ ñðåäû.
4. Ñòàöèîíàðíûå ïðîöåññû, íåóñòàíîâèâùèåñÿ äâèæåíèÿ.
5. Ëèíèè òîêà è òðàåêòîðèè.
6. Âèõðåâîå è ïîòåíöèàëüíîå äâèæåíèå æèäêîñòè.
7. Èíäåêñíûå îáîçíà÷åíèÿ. Èíòåðâàë èçìåíåíèÿ èíäåêñîâ è ñîãëàøåíèå
î ñóììèðîâàíèè.
8. Ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò.
9. Îáùåå ïîíÿòèå òåíçîðà.
10. Ìåòðè÷åñêèé òåíçîð.
11. Îïåðàöèè ñ òåíçîðàìè.
12. Ìàòðè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ òåíçîðîâ.
13. Ãëàâíûå çíà÷åíèÿ è ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ ñèììåòðè÷íûõ òåíçîðîâ
âòîðîãî ðàíãà.
14. Ñòåïåíè òåíçîðîâ âòîðîãî ðàíãà. Ñîîòíîøåíèå Ãàìèëüòîíà-Êýëè.
15. Îðòîãîíàëüíûå òåíçîðû â ìåõàíèêå è ôèçèêå.
16. Êîâàðèàíòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå.
17. Êðèâîëèíåéíûå èíòåãðàëû. Òåîðåìà Ñòîêñà. Òåîðåìà ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî.
18. Íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå ñïëîøíîé ñðåäû.
14. Ðàñïðåäåëåíèå ìàññû â ñïëîøíîé ñðåäå.
15. Ðàñïðåäåëåíèå ñèë â ñïëîøíîé ñðåäå. Îáúåìíûå è ïîâåðõíîñòíûå
ñèëû.
16. Êðóãè Ìîðà äëÿ íàïðÿæåíèÿ.
17. Ïëîñêîå íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå.
18. Òåîðèÿ ìàëûõ äåôîðìàöèé.
19.Èíâàðèàíòû äåôîðìàöèè.
20. Ïëîñêàÿ äåôîðìàöèÿ. Êðóãè Ìîðà äëÿ äåôîðìàöèè.
21. Ñêîðîñòü, óñêîðåíèå.
22. Òåíçîð ñêîðîñòåé äåôîðìàöèè.
23. Èäåàëüíûå ñðåäû.
24. Èíòåãðàëû óðàâíåíèé äâèæåíèÿ èäåàëüíîé ñðåäû.
25. Òå÷åíèå æèäêîñòåé ïî òðóáàì.
26. Äâèæåíèå æèäêîñòè ìåæäó âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè.
27. Ãðàâèòàöèîííûå âîëíû.
6
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ
1. Âåêòîðíàÿ àëãåáðà è âåêòîðíûé àíàëèç
1. Äàíî ïîëå ñêîðîñòåé v1 = x1 /(1 + t), v2 = 2x2 /(1 + t), v3 = 3x3 /(1 +
t). Íàéòè êîìïîíåíòû óñêîðåíèÿ. Îïðåäåëèòü ëèíèè òîêà è òðàåêòîðèè.
2. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïîëÿ ñêîðîñòåé v1 = x21 x2 + x32 ,
v3 = 0 ëèíèè òîêà áóäóò îêðóæíîñòè.
x1 x22 ,
v2 = −x31 −
3. Íàéòè óãîë ϕ ìåæäó ãðàäèåíòàìè ïîëÿ
u=
x2
x
+ y2 + z2
â òî÷êàõ A(1, 2, 2) è Â(3, 1, 0).
2
2
2
4. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ïîëÿ u = xa2 + yb2 + zc2 â äàííîé òî÷êå M (x, y, z) â
íàïðàâëåíèè ðàäèóñà-âåêòîðà r ýòîé òî÷êè.  êàêîì ñëó÷àå ýòà ïðîèçâîäíàÿ
áóäåò ðàâíà âåëè÷èíå ãðàäèåíòà?
5. Êîëè÷åñòâî òåïëà, ïðîòåêàþùåå â ïîëå òåìïåðàòóðû u çà åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè dS , ðàâíî dQ = −k~n∇udS , ãäå k êîýôôèöèåíò âíóòðåííåé òåïëîïðîâîäíîñòè ~n åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè S . Îïðåäåëèòü êîëè÷åñòâî òåïëà, íàêîïëåííîå òåëîì V çà åäèíèöó
âðåìåíè. Èñïîëüçóÿ ñêîðîñòü ïîâûøåíèÿ òåìïåðàòóðû, âûâåñòè óðàâíåíèå,
êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò òåìïåðàòóðà òåëà (óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè).
2. Òåíçîðíàÿ àëãåáðà è íåêîòîðûå ôîðìóëû
òåíçîðíîãî àíàëèçà
1. Ìàòðèöà
êîýôôèöèåíòîâ,
ñîîòâåòñòâóþùàÿ òåíçîðó Ò âòîðîãî ðàíãà


−1 3
−2
− 4 9  . Ïðåäñòàâèòü Ò â âèäå ñóììû ñèììåòðè÷íîãî
èìååò âèä:  7
4 − 6 11
è àíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðîâ.
2. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå Aij B ji , åñëè À ñèììåòðè÷íûé, à  àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð âòîðîãî ðàíãà.
3. Ìàòðèöàñìåøàííûõ êîìïîíåíò òåíçîðà Ò âòîðîãî ðàíãà èìååò âèä:
2 3
0
 0 − 4 0 , ïðè÷åì x1 = y 3 , x2 = y 1 + y 2 , x3 = y 1 . Îïðåäåëèòü êîí0 0
0
òðàâàðèàíòíûå êîìïîíåíòû äàííîãî òåíçîðà.

4. Îïðåäåëèòü âåêòîðà êîâàðèàíòíîãî áàçèñà, åñëè x1 = y 2 + y 1 , x2 =
y − y 1 , x3 = y 3 − y 2 .
2
5. Âû÷èñëèòü δij δjk δki .
3. Óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè
1. Íàïèñàòü óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè äëÿ ïîòåíöèàëüíîãî äâèæåíèÿ
ñæèìàåìîé è íåñæèìàåìîé ñðåäû â âèäå óðàâíåíèÿ äëÿ ïîòåíöèàëà.
2. Äîêàçàòü, ÷òî ëàãðàíæåâà ôîðìà óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè è ýéëåðîâà åãî ôîðìà ýêâèâàëåíòíû.
7
3. Íàéòè äèññèïàòèâíóþ ôóíêöèþ äèññèïàòèâíîé ÷àñòè òåíçîðà íàïðÿæåíèé ñìåñè è âûðàçèòü åå ÷åðåç èíâàðèàíòû òåíçîðà ñêîðîñòåé äåôîðìàöèé.
4. Òðóáêà (0 ≤ x ≤ l) ïîñòîÿííîãî ñå÷åíèÿ S íàïîëíåíà ãàçîì, íà÷àëüíàÿ (ïðè t = 0) êîíöåíòðàöèÿ êîòîðîãî ϕ (x). Ïîâåðõíîñòü è òîðöû òðóáêè
ïîðèñòûå, òàê ÷òî ÷åðåç íèõ ïðîèñõîäèò îáìåí êîíöåíòðàöèåé (ïî çàêîíó,
àíàëîãè÷íîìó çàêîíó Íüþòîíà äëÿ êîíâåêòèâíîãî òåïëîîáìåíà) ñ âíåøíåé
ñðåäîé. Êîíöåíòðàöèÿ ãàçà âî âíåøíåé ñðåäå ðàâíà ϑ (t). Ïîñòàâèòü êðàåâóþ
çàäà÷ó îá îïðåäåëåíèè êîíöåíòðàöèè ãàçà u ïðè t > 0 â òðóáêå, êîãäà:
à) ÷àñòèöû ãàçà ðàñïàäàþòñÿ (íàïðèìåð, íåóñòîé÷èâûé ãàç), ïðè÷¼ì ñêîðîñòü ðàñïàäà ãàçà â êàæäîé òî÷êå ïîëîñòè òðóáêè ïðîïîðöèîíàëüíà êîðíþ
êâàäðàòíîìó èç åãî êîíöåíòðàöèè;
á) ÷àñòèöû ãàçà ðàçìíîæàþòñÿ ñî ñêîðîñòüþ, ïðîïîðöèîíàëüíîé ïðîèçâåäåíèþ uut â êàæäîé òî÷êå ïîëîñòè òðóáêè.
4. Ìíîãîñêîðîñòíàÿ è îäíîñêîðîñòíàÿ ìîäåëè äâèæåíèÿ ñìåñåé
âÿçêèõ ñæèìàåìûõ æèäêîñòåé
1. Âûïèñàòü óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè â îðòîãîíàëüíûõ êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ.
2. Âûïèñàòü óðàâíåíèå áàëàíñà èìïóëüñà i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè â îðòîãîíàëüíûõ êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ.
3. Âûâåñòè ìàòåìàòè÷åñêèé ýêâèâàëåíò âòîðîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè äëÿ
"ìíîãîñêîðîñòíîé" ìîäåëè ñìåñè, ïðåäïèñûâàþùåãî ïîëîæèòåëüíîñòü ïðîèçâîäñòâà ýíòðîïèè.
4. Âûâåñòè ìàòåìàòè÷åñêèé ýêâèâàëåíò âòîðîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè äëÿ
"îäíîñêîðîñòíîé" ìîäåëè ñìåñè.
5. Ïðÿìîëèíåéíî-ïàðàëëåëüíîå äâèæåíèå ñìåñåé âÿçêèõ
æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè
Ðàññ÷èòàòü îáúåìíûé ðàñõîä, ñðåäíþþ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, ñèëó òðåíèÿ äëÿ ìîäåëè ñìåñè, îïèñûâàþùåé äâèæåíèå ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè
ñòåíêàìè.
6. Ïðÿìîëèíåéíîå äâèæåíèå ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé â êðóãëîé
öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå
Ðàññ÷èòàòü îáúåìíûé ðàñõîä, ñðåäíþþ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, ìàêñèìàëüíóþ
ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, ñèëó òðåíèÿ äëÿ ìîäåëè ñìåñè, îïèñûâàþùåé äâèæåíèå
ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé â êðóãëîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå.
7. Êðóãîâîå äâèæåíèå ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ
âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè
1. Ñôîðìóëèðîâàòü çàäà÷ó î âðàùåíèè êðóãîâîãî öèëèíäðà, íàïîëíåííîãî
äâóõêîìïîíåíòíîé ñìåñüþ âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé. Íàéòè åå ðåøåíèå.
2. Ñôîðìóëèðîâàòü çàäà÷ó î âðàùåíèè êðóãëîãî öèëèíäðà â áåçãðàíè÷íîé
ñìåñè âÿçêèõ æèäêîñòåé. Íàéòè åå ðåøåíèå.
8
Ïðèìåðû òåñòîâûõ çàäàíèé
1. Èäåàëüíàÿ ñðåäà ýòî ñðåäà
à) íå ñïîñîáíàÿ îêàçûâàòü ñîïðîòèâëåíèå èçìåíåíèþ ôîðìû
á) íå ñïîñîáíà îêàçûâàòü ñîïðîòèâëåíèå èçìåíåíèþ îáúåìà
â) ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà êîòîðîé îäèíàêîâû âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ â ïðîñòðàíñòâå
ã) èíäèâèäóàëüíûå ÷àñòèöû êîòîðîé íå ïîëó÷àþò óñêîðåíèÿ.
2. Èíòåíñèâíîñòü âíóòðåííèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ â äàííîé òî÷êå ñðåäû íà
ïëîùàäêå ñ çàäàííîé îðèåíòàöèåé, îïðåäåëÿåòñÿ
à) âåêòîðîì ïîëíîãî íàïðÿæåíèÿ
á) ñðåäíèì íàïðÿæåíèåì
â) òåíçîðîì íàïðÿæåíèÿ
3. Ðàâíîâåñèå ñðåäû ýòî êîãäà
à)íà òåëî äåéñòâóþò âíóòðåííèå è âíåøíèå ñèëû, êîòîðûå ðàâíû ìåæäó ñîáîé, è ëþáàÿ ÷àñòèöà òåëà äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì
á) òåëî íå èñïûòûâàåò äåéñòâèÿ íèêàêèõ ñèë
â) ëþáàÿ ÷àñòèöà òåëà íå èñïûòûâàåò óñêîðåíèÿ
→
4. Óñëîâèå rot −
v = 0 îçíà÷àåò, ÷òî äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ
à) ïîòåíöèàëüíûì
á) áåçâèõðåâûì
â) óñòàíîâèâøèìñÿ
5. Ãëàâíûå ïëîùàäêè ýòî ïëîùàäêè, íà êîòîðûõ
à) îòñóòñòâóþò íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ
á) îòñóòñòâóþò êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ
â) âíåøíÿÿ íîðìàëü ñîâïàäàåò ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îäíîé èç
êîîðäèíàòíûõ îñåé
ã) èíòåíñèâíîñòü íàïðÿæåíèÿ ìàêñèìàëüíà
6. Óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè âûðàæàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ
à) èìïóëüñà
á) ýíåðãèè
â) ìàññû
7. Èç ïðèâåäåííûõ ñèë âûáåðèòå ïîâåðõíîñòíûå
à) ñèëà òðåíèÿ
á) ñèëà òÿæåñòè
â) ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèëà
8. Èç ïåðå÷èñëåííûõ ñðåä âûáåðèòå èçîòðîïíûå
à) òêàíü
á) âîçäóõ
â) äåðåâî
9. Ëèíèÿ òîêà ýòî
à) êðèâàÿ, â êàæäîé òî÷êå êîòîðîé âåêòîð ñêîðîñòè íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê íåé
á) ëèíèÿ â ïðîñòðàíñòâå, ïî êîòîðîé äâèæåòñÿ ÷àñòèöà
â) âåêòîð ñêîðîñòè, ëåæàùèé â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè
9
Âàðèàíò ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû
1) Ïðèâåñòè ïðèìåðû ïîëåçíîãî è âðåäíîãî ïðîÿâëåíèé ñèë òðåíèÿ â òåõíèêå.
2) Êàêèå âèäû äåôîðìàöèè èñïûòûâàþò: ïëàñò çåìëè ïðè âñïàøêå; ñòåáëè ðàñòåíèé ïðè ñêàøèâàíèè; êëóáíè êàðòîôåëÿ ïðè ïðîõîæäåíèè ìåæäó
êîìêîäàâèòåëÿìè êîìáàéíà?
3) Âåêòîð ñêîðîñòè çàäàí â ýéëåðîâûõ êîîðäèíàòàõ: v1 = x2 , v2 = x3 , v3 = 0.
Îïðåäåëèòü êîîðäèíàòû óñêîðåíèÿ â ëàãðàíæåâûõ êîîðäèíàòàõ.
4) Çàäàíî ïîëå ñêîðîñòåé vi = ξi et , i=1,2,3. ßâëÿåòñÿ ëè ýòî äâèæåíèå óñòàíîâèâøåìñÿ, ïîòåíöèàëüíûì?
5) Ïðèâåñòè ïðèìåð ïðîöåññà, êîòîðûé ìîæíî ñ÷èòàòü óñòàíîâèâøèìñÿ.
Ïðèìåðíûé ïåðå÷åíü âîïðîñîâ ê çà÷åòó
1. Óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè. Óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè.
2. Óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè. Óðàâíåíèå ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà.
3. Óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè. Óðàâíåíèå ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè.
4. Ìíîãîñêîðîñòíàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé.
5. Îäíîñêîðîñòíàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé.
6. Ïðÿìîëèíåéíî-ïàðàëëåëüíîå äâèæåíèå ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè.
7. Ïðÿìîëèíåéíîå äâèæåíèå ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé â öèëèíäðè÷åñêîé
òðóáå.
8. Êðóãîâîå äâèæåíèå ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè.
10
Òåêñò ëåêöèé
Ñîäåðæàíèå
1 Ââåäåíèå
12
2 Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå ôîðìóëû âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà
13
2.1
2.2
2.3
Âåêòîðíàÿ àëãåáðà è âåêòîðíûé àíàëèç . . . . . . . . . . . . . . 13
Òåíçîðíàÿ àëãåáðà è íåêîòîðûå ôîðìóëû òåíçîðíîãî àíàëèçà . 17
Óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äèíàìèêè ñìåñåé âÿçêèõ ñæèìàåìûõ æèäêîñòåé
21
3.1
3.2
3.3
3.4
Óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè . . . . . . . .
Ìíîãîñêîðîñòíàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ ñæèìàåìûõ
æèäêîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Îäíîñêîðîñòíàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ ñæèìàåìûõ
æèäêîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 21
. 24
. 25
. 28
4 Ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ
íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè
28
4.1
Óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ
íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé â êðóãëîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå 35
5.1
Óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 Êðóãîâîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ
íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ
öèëèíäðàìè
49
6.1
Óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
11
1 Ââåäåíèå
Ðåàëüíûå ñðåäû â ïðèðîäíûõ ïðîöåññàõ è ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ ÷åëîâå÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè ñìåñè äâóõ èëè áîëåå êîìïîíåíòîâ. Ãîìîãåííàÿ (èíîãäà
ìíîãîêîìïîíåíòíàÿ) ñìåñü ñîñòîèò èç êîìïîíåíòîâ, îäèíàêîâûõ ïî ñâîåìó
ôàçîâîìó ñîñòàâó. Åñëè æå â ñìåñè èìåþòñÿ êîìïîíåíòû, ðàçëè÷àþùèåñÿ
äðóã îò äðóãà ïî ôàçå, òî ñðåäà íàçûâàåòñÿ ãåòåðîãåííîé (èëè ìíîãîôàçíîé).
Ê ïîñëåäíèì ìîæíî îòíåñòè, íàïðèìåð, æèäêîñòè ñ òâåðäûìè èëè ãàçîâûìè âêëþ÷åíèÿìè. Ñåé÷àñ òðóäíî óêàçàòü îáëàñòü òåõíèêè, íå èñïîëüçóþùóþ íåîäíîðîäíûå ñðåäû (ñìåñè). Ýòî, ïðåæäå âñåãî, ðàêåòíàÿ òåõíèêà ñî
ñëîæíûìè ïî ôèçè÷åñêîìó è õèìè÷åñêîìó ñîñòàâó ïîòîêàìè â ñîïëàõ ðàêåòíûõ äâèãàòåëåé. Ýòî ñîâðåìåííûå õèìè÷åñêèå òåõíîëîãèè, èñïîëüçóþùèå
â ïðîìûøëåííîì ïðîèçâîäñòâå ìíîãîêîìïîíåíòíûå è ìíîãîôàçíûå ïîòîêè
ñëîæíûõ ñìåñåé ðåàãèðóþùèõ ìåæäó ñîáîé âåùåñòâ. Ýòî ýíåðãåòèêà, ïðèìåíÿþùàÿ ïîòîêè ðàçíîîáðàçíûõ ïàðîæèäêîñòíûõ ñìåñåé äëÿ ñíÿòèÿ òåïëà
ñ ïîâåðõíîñòåé íàãðåâà ïàðîãåíåðàòîðîâ è ðåàêòîðîâ. Ýòî ãèäðîòåõíèêà,
çàíèìàþùàÿñÿ çàèëåííûìè èëè íåñóùèìè øóãó ðå÷íûìè ïîòîêàìè, ñàíèòàðíàÿ òåõíèêà, áîðþùàÿñÿ ñ çàïûëåíèåì àòìîñôåðû è âîäíûõ áàññåéíîâ, è
ìíîãèå äðóãèå îáëàñòè òåõíèêè.
Òåîðåòè÷åñêîå îïèñàíèå íåîäíîðîäíûõ ïîòîêîâ, íåçàâèñèìî îò òîãî, áóäåò ëè ïîòîê ãîìîãåííûì èëè ãåòåðîãåííûì, òðåáóåò ïðèíÿòèÿ îñíîâíîãî äîïóùåíèÿ î ñïëîøíîñòè âñåõ ñîâìåñòíî äâèæóùèõñÿ ñîâîêóïíîñòåé ÷àñòèö,
êàê îòäåëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ, òàê è ñìåñè èõ â öåëîì. Ïîäîáíî òîìó, êàê
ýòî ïðèíèìàåòñÿ â ìåõàíèêå îäíîðîäíîé ñðåäû, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â ýëåìåíòàðíîì îáúåìå ñìåñè, òàê æå êàê è â ýëåìåíòàðíûõ îáúåìàõ ñîñòàâëÿþùèõ, íåñìîòðÿ íà ìàëîñòü ýòèõ îáúåìîâ, ñîäåðæèòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîå
÷èñëî ÷àñòèö, äëÿ òîãî ÷òîáû ìîæíî áûëî â äîïóñòèìîì ïðèáëèæåíèè ïðèìåíÿòü ñòàòèñòè÷åñêîå îñðåäíåíèå ôèçè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ýòèõ ÷àñòèö ïî
èõ ìíîæåñòâó.
 ýòîì êóðñå îñíîâíûì îáúåêòîì èçó÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äâóõêîìïîíåíòíîé ñìåñè âÿçêèõ ñæèìàåìûõ æèäêîñòåé (ãàçîâ), ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé íåêîòîðîå îáîáùåíèå êëàññè÷åñêîé ìîäåëè Íàâüå-Ñòîêñà.
Âîïðîñû î ìàòåìàòè÷åñêîé êîððåêòíîñòè êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè, âîçíèêàþùèõ ïðè ìîäåëèðîâàíèè ñïëîøíûõ ñðåä, âûçûâàåò íåèçìåííûé èíòåðåñ ìàòåìàòèêîâ, ïîñêîëüêó èõ ðåøåíèå âñòðå÷àåò ñóùåñòâåííûå òðóäíîñòè â ìàòåìàòè÷åñêîì ïëàíå,
ñòèìóëèðóÿ òåì ñàìûì äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ. Â
÷àñòíîñòè, âîïðîñû äèíàìèêè âÿçêîé æèäêîñòè î÷åíü òðóäíû ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ è íå ñëó÷àéíî çàäà÷à î ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè ìíîãîìåðíîé ñèñòåìû Íàâüå-Ñòîêñà âêëþ÷åíà â ñïèñîê òàê íàçûâàåìûõ "ïðîáëåì
òûñÿ÷åëåòèÿ".
Îñíîâíîé öåëüþ îñâîåíèÿ äèñöèïëèíû "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé" ÿâëÿåòñÿ çíàêîìñòâî ñòóäåíòîâ ñ òî÷íûìè ðåøåíèÿìè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè, îïèñûâàþùèõ
äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé.
12
2 Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå ôîðìóëû âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà
Ìåòîäû âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî èñ÷èñëåíèé èãðàþò âàæíóþ ðîëü â ìåõàíèêå ñïëîøíîé ñðåäû è íåêîòîðûõ äðóãèõ ðàçäåëîâ òåîðåòè÷åñêîé è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàííûõ ñ òåîðèåé ïîëÿ. Îáúÿñíÿåòñÿ ýòî òåì, ÷òî èñïîëüçóåìàÿ â ýòèõ ìåòîäàõ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñèìâîëèêà
ïîëíîñòüþ îòðàæàåò è îáîáùàåò äåéñòâèòåëüíûå ñâÿçè ìåæäó ôèçè÷åñêèìè âåëè÷èíàìè.  íàñòîÿùåì ðàçäåëå ïðèâåäåì íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå
ôîðìóëû âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî èñ÷èñëåíèé â ïðÿìîóãîëüíûõ äåêàðòîâûõ
êîîðäèíàòàõ. Ïîëüçîâàíèå â äàëüíåéøåì ññûëêàìè íà ýòè ôîðìóëû (áåç èõ
âûâîäà) çíà÷èòåëüíî îáëåã÷àåò èçëîæåíèå ìàòåìàòè÷åñêîé ñòîðîíû êóðñà è
ïîçâîëÿåò áîëåå âûïóêëî ïîêàçàòü ôèçè÷åñêóþ ñóùíîñòü åãî ñîäåðæàíèÿ.
2.1 Âåêòîðíàÿ àëãåáðà è âåêòîðíûé àíàëèç
Ââåäåì ñëåäóþùèå îáùåïðèíÿòûå îáîçíà÷åíèÿ.
Ñêàëÿðû áóäåì çàäàâàòü ëàòèíñêèìè èëè ãðå÷åñêèìè áóêâàìè, ñòðî÷íûìè, èíîãäà çàãëàâíûìè, íàïðèìåð, a, b, U, V, α, β .
Âåêòîðû çàäàþòñÿ òåìè æå áóêâàìè, ÷òî è ñêàëÿðû, íî ñî ñòðåëêîé
~ . Ìîäóëü (âåëè÷èíà) âåêòîðà îáîçíà÷àåòñÿ
~, V
~, α
ñâåðõó, íàïðèìåð, ~a, ~b, U
~, β
| ~a |. Åäèíè÷íûé âåêòîð (îðò) ~u, íàïðàâëåííûé âäîëü ~a, çàïèñûâàåòñÿ êàê
~a =| ~a | ~u.
Îñè ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò: Ox, Oy, Oz èëè
Ox1 , Ox2 , Ox3 . Ïðîåêöèè âåêòîðà ~a íà îñè êîîðäèíàò îáîçíà÷àþòñÿ
ax , ay , az èëè a1 , a2 , a3 .
Çíàêè ìàòåìàòè÷åñêèõ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ îáû÷íûå. Çíàê
ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ òî÷êà ìåæäó ñîìíîæèòåëÿìè, íàïðèìåð, ~a ·~b. Çíàê âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íàêëîííûé êðåñò, íàïðèìåð, ~a ×~b.
Îïåðàöèè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ñêàëÿð îáëàäàþò
ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
~a + ~b = ~b + ~a,
~
~a + b + ~c = ~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c,
λ(~a + ~b) = λ~a + λ~b.
(1)
³ ´
¯ ¯ ¯ ¯
c
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ ~a · ~b = ¯~a¯ · ¯~b¯ · cos ~a, ~b èìååò
ñâîéñòâà:
~a · ~b = ~b · ~a,
~
~a · (b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~c,
λ(~a · ~b) = (λ~a) · ~b = ~a · (λ~b),
~
~a · b = 0 ïðè | ~a |6= 0, | ~b |6= 0, òîëüêî åñëè ~a ⊥ ~b,
~a · ~a =| ~a |2 ,
2
~
(~a ± b) =| ~a |2 ±2(~a · ~b)+ | ~b |2 .
13
(2)
Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ ~a ×~b ðàâíî ïî âåëè÷èíå ïëîùàäè
ïàðàëëåëîãðàììà
³ ´
c
| ~a × ~b |=| ~a | · | ~b | · sin ~a, ~b ,
(3)
ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ-ñîìíîæèòåëÿõ, è îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
~a × ~b = −~b × ~a,
~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c,
(4)
λ(~a × ~b) = (λ~a) × ~b = ~a × (λ~b),
~a × ~b = 0 ïðè | ~a |6=| ~b |6= 0.
Ñìåøàííîå ñêàëÿðíî-âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå òðåõ âåêòîðîâ ðàâíî ±
îáúåìó ïàðàëëåëåïèïåäà
~a · (~b × ~c) = ~b · (~c × ~a) = ~c · (~a × ~b),
(5)
ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ-ñîìíîæèòåëÿõ, è îáëàäàåò ñâîéñòâîì
~a · (~b × ~c) = 0 ïðè | ~a |6= | ~b |6=| ~c |6= 0.
(6)
Äâîéíîå âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå òðåõ âåêòîðîâ
~a × (~b × ~c) = (~a · ~c)~b − (~a · ~b)~c,
(~a × ~b) × ~c = (~a · ~c)~b − (~b · ~c)~a.
(7)
 ñèñòåìå êîîðäèíàò (x, y, z) èëè (x1 , x2 , x3 ) ñêàëÿðíîå èëè âåêòîðíîå
ïîëÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí çàäàþòñÿ ôóíêöèÿìè
λ = λ(x, y, z) = λ(x1 , x2 , x3 ),
ax = ax (x, y, z), ay = ay (x, y, z), az = az (x, y, z)
èëè ap = ap (x1 , x2 , x3 ), ãäå p = 1, 2, 3.
(8)
 äàëüíåéøåì, åñëè èíäåêñ â îäíî÷ëåííîì âûðàæåíèè ïîâòîðÿåòñÿ äâà ðàçà, òî ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî ýòîìó èíäåêñó îò 1 äî 3, à çíàê
ñóììû îïóñêàåòñÿ, èñêëþ÷åíèÿ îãîâàðèâàþòñÿ. Ôîðìóëû ïåðåõîäà îò îäíîé
ñèñòåìû êîîðäèíàò (xp ; p = 1, 2, 3) ê äðóãîé (x0q ; q = 1, 2, 3) èìåþò âèä
αpq
3
3
P
P
xp =
αpq x0q = αpq x0q , x0q =
αqp xp = αqp xp ,
q=1
p=1
½
³
´ P
3
0 ïðè q =
6 p,
0
\
= cos xp , xq ,
αps αqs = αps αqs =
1
ïðè
q
= p,
s=1
¯
¯
¯ α11 α12 α13 ¯
¯
¯
¯ α21 α22 α23 ¯ = det(αpq ) = ±1.
¯
¯
¯ α31 α32 α33 ¯
(9)
Âåðõíèé çíàê â âåëè÷èíå îïðåäåëèòåëÿ det(αpq ) ñîîòâåòñòâóåò ñîíàïðàâëåííûì ñèñòåìàì êîîðäèíàò, íèæíèé ïðîòèâîïîëîæíîìó ñëó÷àþ.
Åñëè ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ê ëþáîé äðóãîé (áåçðàçëè÷íî, ñîíàïðàâëåííîé èëè íåò) ôóíêöèÿ λ ñîõðàíÿåò ñâîå çíà÷åíèå, ò. å.
λ(x, y, z) = λ(x0 , y 0 , z 0 ),
òî îíà îïðåäåëÿåò ôèçè÷åñêèé, èëè èñòèííûé, ñêàëÿð.
14
(10)
Ïðîåêöèè ôèçè÷åñêîãî (èñòèííîãî) âåêòîðà ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ê äðóãîé èçìåíÿþòñÿ ïî òåì æå ôîðìóëàì (9), ÷òî è ñàìè
êîîðäèíàòû.
ap = αpq a0q , a0q = αqp ap .
(11)
Åäèíè÷íûå âåêòîðû, îðòû îñåé êîîðäèíàò îáîçíà÷àþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: îñü Ox, Ox1 - îðò ~i, ~e1 , îñü Oy, Ox2 - îðò ~j, ~e2 , îñü Oz, Ox3 - îðò
~k, ~e3 . Îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îðòàìè îñåé êîîðäèíàò:
³
´
½
0
1
~ep × ~eq = ~er .
~ep · ~eq = cos x\
p , xq =
ïðè q 6= p,
ïðè q = p,
(12)
(ïîðÿäîê ðàñïîëîæåíèÿ èíäåêñîâ p, q , r ñîîòâåòñòâóåò êðóãîâîé ïåðåñòàíîâêå
1 → 2 → 3 → 1 → ...). Ðàçëîæåíèå âåêòîðà ïî îðòàì îñåé êîîðäèíàò:
3
P
~a = ap~ep , | ~a |2 = ap ap =
a2p ,
p=1
´
³
, ~ep .
ap = ~a · ~ep =| ~a | · cos ~ad
(13)
Àíàëèòè÷åñêàÿ ôîðìà íåêîòîðûõ ïðîñòåéøèõ îïåðàöèé íàä âåêòîðàìè:
(~a ± ~b ± ~c ± ...)p = ap ± bp ± cp ± ... (p = 1, 2, 3),
(λ~a)p = λap , ~a · ~b = ax bx + ay by + az bz ,
(14)
(~a × ~b)x = ay bz − az by , (~a × ~b)y = az bx − ax bz , (~a × ~b)z = ax by − ay bx ,
¯
¯ ~e1
¯
~a × ~b = ¯¯ a1
¯ b1
~e2
a2
b2
~e3
a3
b3
¯
¯
¯
¯ a1
¯
¯
¯ , ~a · (~b × ~c) = ¯ b1
¯
¯
¯
¯ c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
¯
¯
¯
¯.
¯
¯
Ïðîèçâîäíàÿ âåêòîð-ôóíêöèè ~a(s) ïî ñêàëÿðíîìó àðãóìåíòó s îáîçíà÷àd~a
åòñÿ
, ïðîèçâîäíûå îò ñêàëÿðíîé ϕ è âåêòîðíîé ôóíêöèè ~a ïî íàïðàâëåds
dϕ d~a
íèþ l ,
. Äëÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ èñïîëüçóþòñÿ îáùåïðèdl dl
íÿòûå îáîçíà÷åíèÿ: ãðàäèåíò ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ôóíêöèè ϕ - ∇ϕ , äèâåðãåíöèÿ
(ðàñõîäèìîñòü) âåêòîðíîãî ïîëÿ ~a - div ~a, âèõðü (ðîòîð) - rot ~a. Ýëåìåíò äóãè
êðèâîé îáîçíà÷åí dlR, ïîâåðõíîñòè - dσ , îáúåìà - dxR. Ñèìâîëû èíòåãðèðîâàíèÿ ïî êðèâîé C − (...)dl, ïî ïîâåðõíîñòè ∂Ω (...)dσ , ïî îáúåìó Ω C
∂Ω
R
(...)dx .
Ω
Ïðîèçâîäíàÿ âåêòîð-ôóíêöèè ~a ïî ñêàëÿðíîìó àðãóìåíòó s, ïðè óñëîâèè
ñóùåñòâîâàíèÿ óêàçàííîãî íèæå ïðåäåëà, ðàâíà
~a(s + 4s) − ~a(s)
4~a
d~a
= lim
= lim
.
4s−→0
4s−→0
ds
4s
4s
15
(15)
Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ:
d~a
d~a ds
d~a 0
=
=
f (t), s = f (t),
dt
ds dt
ds
d
d~a d~b
(~a ± ~b ± ...) =
±
± ...,
ds
ds ds
d
dϕ
d~a
(ϕ~a) =
~a + ϕ ,
ds
ds
ds
d
d~a ~
d~b d
d~a ~
d~b
(~a · ~b) =
· b + ~a · ,
(~a × ~b) =
× b + ~a × .
ds
ds
ds ds
ds
ds
(16)
Ïðîèçâîäíûå ïî çàäàííîìó íàïðàâëåíèþ l ñ îðòîì ~l âûðàæàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
d
dϕ ~
d~a
= ~l · ∇,
= l · ∇ϕ,
= (~l · ∇)~a.
dl
dl
dl
(17)
Íåêîòîðûå ÷àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ èíòåãðàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ:
Z
Z
Z
Z
Z
~nϕdσ = ∇ϕ dx,
a~n dσ = ~n · ~a dσ = div ~a dx,
Ω
∂Ω
Z
Z
∂Ω
∂Ω
~n × ~a dσ =
Ω
rot~a dx.
(18)
Ω
∂Ω
Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå äèôôåðåíöèàëüíûå ôîðìóëû âåêòîðíîãî
àíàëèçà:
div(ϕ~a) = ϕ div~a + ~a · ∇ϕ,
rot(ϕ~a) = ϕ rot ~a + ∇ϕ × ~a,
div(~a × ~b) = ~b · rot ~a − ~a · rot ~b,
rot(~a × ~b) = (~b · ∇) ~a − (~a · ∇) ~b + ~a div ~b − ~b div ~a,
∇(~a · ~b) = (~a · ∇) ~b + (~b · ∇) ~a + ~a × rot ~b + ~b × rot ~a,
µ
(~a · ∇) ~a = ∇
div∇ϕ = 4ϕ =
| ~a |2
2
¶
(19)
+ rot ~a × ~a,
∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ
+
+
, rot∇ϕ ≡ 0, div rot ~a ≡ 0,
∂x2
∂y 2
∂z 2
∇ div ~a = rot rot ~a + 4~a, 4~a =
∂ 2~a
∂~a
∂ 2~a
+
+
,
∂x2
∂y 2
∂z 2
(4~a)x = 4ax , (4~a)y = 4ay , (4~a)z = 4az .
Ïðîñòðàíñòâåííûå ïðîèçâîäíûå îò ñêàëÿðíûõ è âåêòîðíûõ ôóíêöèé âûðàæàþòñÿ ðàâåíñòâàìè
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
= (∇ϕ)x ,
= (∇ϕ)y ,
= (∇ϕ)z ,
∂x
∂y
∂z
16
div ~a =
(rot ~a)x =
∂ay
∂az
∂ax
+
+
,
∂x
∂y
∂z
(20)
∂ az
∂ ay
∂ ax
∂ az
∂ ay
∂ ax
−
, (rot ~a)y =
−
, (rot ~a)z =
−
.
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Èíòåãðàëüíûå ôîðìóëû âåêòîðíîãî àíàëèçà â ïðÿìîóãîëüíûõ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ èìåþò âèä
Z
Z
Z
Z
Z
Z
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
n x ϕ dσ =
n y ϕ dσ =
n z ϕ dσ =
dσ,
dσ,
dσ,
∂x
∂y
∂z
∂Ω
∂Ω
∂Ω
∂Ω
∂Ω
∂Ω
Z
Z
Z
Z
Z
Z
nx~a dσ =
∂Ω
Z
∂Ω
∂~a
dσ,
∂x
ny~a dσ =
∂Ω
∂~a
dσ,
∂y
∂Ω
Z µ
(nx ax + ny ay + nz az ) dσ =
∂Ω
∂Ω
(nx ay − ny ax ) dσ =
∂ ay
∂ ax
−
∂x
∂y
Ω
∂Ω
Z µ
Z
(ny az − nz ay ) dσ =
∂ ay
∂ az
−
∂y
∂z
Ω
∂Ω
Z µ
Z
(nz ax − nx az ) dσ =
∂ ax
∂ az
−
∂z
∂x
∂~a
dσ,
∂z
∂Ω
∂ ay
∂ az
∂ ax
+
+
∂x
∂y
∂z
Ω
Z µ
Z
∂Ω
nz~a dσ =
¶
dx,
(21)
¶
dx,
¶
dx,
¶
dx.
Ω
2.2 Òåíçîðíàÿ àëãåáðà è íåêîòîðûå ôîðìóëû òåíçîðíîãî àíàëèçà
Òåíçîðû îáîçíà÷àþòñÿ çàãëàâíûìè ëàòèíñêèìè èëè ãðå÷åñêèìè áóêâàìè, èíîãäà ñòðî÷íûìè, íàïðèìåð, P , Q, S , T , σ . Êîìïîíåíòû òåíçîðîâ òåìè
æå áóêâàìè ñ èíäåêñàìè. ×èñëî èíäåêñîâ ïðè êîìïîíåíòå îïðåäåëÿåò ðàíã
òåíçîðà. Âåêòîð ïî ÷èñëó èíäåêñîâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òåíçîð ïåðâîãî
ðàíãà, ñêàëÿð êàê òåíçîð íóëåâîãî ðàíãà. Â äàëüíåéøåì áóäóò ïðèìåíÿòüñÿ
òåíçîðû âòîðîãî ðàíãà (äèàäû), ó êîìïîíåíò êîòîðûõ äâà èíäåêñà Ppq , Qrs
è ò. ä.
Òåíçîð âòîðîãî ðàíãà Ò çàäàåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ äåâÿòè âåëè÷èí (êîìïîíåíò), ðàñïîëàãàåìûõ â ìàòðèöå (ïåðâûé èíäåêñ - íîìåð ñòðîêè, âòîðîé ñòîëáöà):


T11 T12 T13
T =  T21 T22 T23  = (Tpq ), p, q = 1, 2, 3.
(22)
T31 T32 T33
∗
Òåíçîð T ∗ íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì ñ T , åñëè Tpq
= Tqp . Òåíçîð S , îá∗
∗
ëàäàþùèé ñâîéñòâîì S = S , Spq = Spq , íàçûâàåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì, èëè
ñèììåòðè÷íûì. Çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò òàêîãî òåíçîðà íå çàâèñÿò îò ïîðÿäêà
ðàñïîëîæåíèÿ èíäåêñîâ, ò. å. Spq = Sqp . Òåíçîð A àíòèñèììåòðè÷åí, åñëè
A∗ = −A èëè A∗pq = −Apq è, ñëåäîâàòåëüíî, App = 0, p = 1, 2, 3 (ñóììèðîâàíèå ïî p çäåñü íå ïðåäïîëàãàåòñÿ).
17
×àñòî óïîòðåáëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ òåíçîðíàÿ åäèíèöà I ñèììåòðè÷íûé ñôåðè÷åñêèé òåíçîð ñ êîìïîíåíòàìè, íå çàâèñÿùèìè îò âûáîðà îñåé
êîîðäèíàò:


½
1 0 0
0 ïðè q 6= p,
Ipq =
I =  0 1 0 .
(23)
1 ïðè q = p,
0 0 1
Çíàêè îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ òåíçîðîâ, óìíîæåíèÿ òåíçîðà íà
ñêàëÿð îáû÷íûå. Ðàçëè÷íûå âèäû ïðîèçâåäåíèé äâóõ òåíçîðîâ îáîçíà÷àþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ñêàëÿðíîå - äâóìÿ òî÷êàìè ìåæäó ñîìíîæèòåëÿìè,
âåêòîðíîå íàêëîííûì êðåñòîì, òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ ñìåæíûì ðàñïîëîæåíèåì ñîìíîæèòåëåé, áåç çíàêà ìåæäó íèìè.
Ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò x1 , x2 , x3 ê äðóãîé x01 , x02 , x03
êîìïîíåíòû òåíçîðà ïðåîáðàçóþòñÿ ïîäîáíî ïðîèçâåäåíèÿì êîìïîíåíò (ïðîåêöèé) äâóõ âåêòîðîâ:
0
0
Tpq = αpr αqs Trs
, Tpq
= αrp αsq Trs .
Ñëîæåíèå, âû÷èòàíèå òåíçîðîâ, óìíîæåíèå òåíçîðà íà ñêàëÿð ïðîèçâîäèòñÿ ïî ôîðìóëàì
(P ± Q ± ...)pq = Ppq ± Qpq ± ...,
(λP )pq = (P λ)pq = λPpq .
(24)
Ðàçëîæåíèå òåíçîðà íà ñèììåòðè÷íóþ è àíòèñèììåòðè÷íóþ ÷àñòè:
T ≡
1
1
1
(T + T ∗ ) + (T − T ∗ ) = S + A, S = (T + T ∗ ),
2
2
2
1
1
A = (T − T ∗ ), Spq = Sqp = (Tpq + Tqp ),
2
2
1
Apq = −Aqp = (Tpq + Tqp ).
2
(25)
Óìíîæåíèå âåêòîðà íà òåíçîð èëè òåíçîðà íà âåêòîð îáðàçóåò ñîîòâåòñòâåííî âåêòîðû ~aT è T~a ñ ïðîåêöèÿìè (êîìïîíåíòàìè)
(~aT )p = aq Tqp , (T~a)p = Tpq aq , p = 1, 2, 3.
(26)
(ïðè ñîõðàíåíèÿ ïîðÿäêà ðàñïîëîæåíèÿ ñîìíîæèòåëåé â ëåâîé â ïðàâîé ÷àñòÿõ èíäåêñû ñóììèðîâàíèÿ q ðàñïîëîæåíû ïî ñîñåäñòâó). Èç îïðåäåëåíèÿ
îïåðàöèé (26) âûòåêàþò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
~aI = I~a = ~a − "åäèíè÷íîå" ñâîéñòâî,
S~a = ~aS, (S - ñèììåòðè÷íûé òåíçîð),
(27)
T~a = ~aT ∗ , ~aT = T ∗~a, A~a = ~c × ~a, ~aA = ~a × ~c,
ãäå âåêòîð ~c, ýêâèâàëåíòíûé àíòèñèììåòðè÷íîìó òåíçîðó A, èìååò êîìïîíåíòû
c1 = A32 = A∗23 , c2 = A13 = A∗31 , c3 = A21 = A∗12 .
(28)
18
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ òåíçîðîâ P : Q äàåò ñêàëÿð
P : Q = Ppq Qpq ,
(29)
P : I = I : P = Ppp = P11 + P22 + P33 ,
P : P = Ppq Ppq = P 2 =| P |2 − êâàäðàò ìîäóëÿ òåíçîðà P.
Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ òåíçîðîâ P × Q îïðåäåëÿåò âåêòîð ñ ïðîåêöèÿìè
(P × Q)p = Pqs Qsr − Prs Qsq
(30)
(êðóãîâàÿ ïåðåñòàíîâêà èíäåêñîâ p → q → r → p → ..., ñóììèðîâàíèå ïî s).
Óñëîâèå ñèììåòðèè òåíçîðà P :
(31)
P × I = 0.
Ìóëüòèïëèêàòèâíûé òåíçîð, äèàäà ~a ⊗ ~b ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå äèàäíîãî óìíîæåíèÿ äâóõ âåêòîðîâ ~a è ~b:




a1 b1 a1 b2 a1 b3
a1 b1 a2 b1 a3 b1
~a ⊗ ~b =  a2 b1 a2 b2 a2 b3  , (~a ⊗ ~b)∗ =  a1 b2 a2 b2 a3 b2  . (32)
a3 b1 a3 b2 a3 b3
a1 b3 a2 b3 a3 b3
Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ òåíçîðîâ P Q îïðåäåëÿåò òåíçîð
(P Q)pq = Ppr Qrq , p, q = 1, 2, 3 (ñóììèðîâàíèå ïî r),
(33)
(P I)pq = Ppr Irq = Ppq , P I = IP = P.
Èíâàðèàíòû òåíçîðà 2-ãî ðàíãà:
I1 = Tpp = T11 + T22 + T33 − ïåðâûé, ëèíåéíûé, èíâàðèàíò,
I2 = Tpq Tpq =| T |2 −âòîðîé, êâàäðàòè÷íûé, èíâàðèàíò,
(34)
I3 = det (Tpq ) − òðåòèé, êóáè÷íûé, èíâàðèàíò.
Ðàçëîæåíèå òåíçîðà T íà ñôåðè÷åñêóþ T (s) è äåâèàòîðíóþ T (d) ÷àñòè:
µ
¶
1
1
T ≡ I1 I + T − I1 I = T (s) + T (d) ,
3
3
(35)
1
1
(s)
(d)
I1 I = T , T − I1 I = T .
3
3
Äèôôåðåíöèàëüíàÿ äèàäà, èëè äèôôåðåíöèàëüíûé òåíçîð îáîçíà÷àåòñÿ
∇~a (óñëîâíî ãðàäèåíò âåêòîðà), ñîïðÿæåííàÿ ñ íåþ äèàäà (∇~a)∗ , äèâåðãåíöèÿ ïîëÿ òåíçîðà T div T .
Äèôôåðåíöèàëüíàÿ äèàäà ∇~a è ñîïðÿæåííàÿ ñ íåé äèàäà (∇~a)∗ îïðåäåëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:





∇~a = 
∂ a1
∂ x1
∂ a1
∂ x2
∂ a1
∂ x3
∂ a2
∂ x1
∂ a2
∂ x2
∂ a2
∂ x3
∂ a3
∂ x1
∂ a3
∂ x2
∂ a3
∂ x3

,

(∇~a) = 
∗
19
∂ a1
∂ x1
∂ a2
∂ x1
∂ a3
∂ x1
∂ a1
∂ x2
∂ a2
∂ x2
∂ a3
∂ x2
∂ a1
∂ x3
∂ a2
∂ x3
∂ a3
∂ x3

.
(36)
Òåíçîðû ∇~a è (∇~a)∗ ìîæíî ðàçëîæèòü íà ñèììåòðè÷íóþ è àíòèñèììåòðè÷íóþ ÷àñòè:
1
1
(∇~a + (∇~a)∗ ) + (∇~a − (∇~a)∗ ) = S + A,
2
2
1
1
(∇~a)∗ ≡ ((∇~a)∗ + ∇~a) + ((∇~a)∗ − ∇~a) = S + A∗ .
2
2
∇~a ≡
(37)
Ñèììåòðè÷íàÿ ÷àñòü S íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì ñêîðîñòåé äåôîðìàöèé D(~a)
ïîëÿ âåêòîðà ~a è âûðàæàåòñÿ ðàâåíñòâîì
µ
¶
1
1 ∂ aq
∂ ap
∗
S = D(~a) = (∇~a + (∇~a) ) , Spq = (D(~a))pq =
+
.
(38)
2
2 ∂ xp
∂ xq
Äèâåðãåíöèÿ òåíçîðà div T îïðåäåëåíà ðàâåíñòâàìè
(div T )x =
∂ Tyx
∂ Tzx
∂ Txx
+
+
,
∂x
∂y
∂z
(div T )y =
∂ Txy
∂ Tyy
∂ Tzy
+
+
,
∂x
∂y
∂z
∂ Txz
∂ Tyz
∂ Tzz
(div T )z =
+
+
,
∂x
∂y
∂z
³
´
div ~a ⊗ ~b = (~a · ∇) ~b + ~b div ~a.
(39)
Òåíçîðíûå àíàëîãè èíòåãðàëüíûõ ôîðìóë ðàçäåëà 1.1.1.2 èìåþò âèä
Z
Z
~n T dσ = div T dx,
µ
¶
∂Txx
∂ Tyx
∂ Tzx
(nx Txx + ny Tyx + nz Tzx ) dσ =
+
+
dx,
∂x
∂y
∂z
∂Ω
¶
Z
ZΩ µ
∂Txy
∂ Tyy
∂ Tzy
(nx Txy + ny Tyy + nz Tzy ) dσ =
+
+
dx,
∂x
∂y
∂z
Ω
∂Ω
¶
Z
Z µ
∂Txz
∂ Tyz
∂ Tzz
(nx Txz + ny Tyz + nz Tzz ) dσ =
+
+
dx.
∂x
∂y
∂z
Z
∂Ω
∂Ω
ΩZ
(40)
Ω
2.3 Óïðàæíåíèÿ
1. Âûïèñàòü îïåðàöèè ∇, ∆ íàä ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé ϕ â îðòîãîíàëüíûõ
êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ.
2. Âûïèñàòü îïåðàöèè div , rot íàä âåêòîðíûì ïîëåì ~a â öèëèíäðè÷åñêîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò.
3. Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ñîñòàâëÿþùèõ ñîäåðæèòñÿ â ñèììåòðè÷íîì òåíçîðå
òðåòüåãî ðàíãà?
4. Ïîêàçàòü, ÷òî àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð òðåòüåãî ðàíãà èìååò òîëüêî
øåñòü îòëè÷íûõ îò íóëÿ ñîñòàâëÿþùèõ, îäèíàêîâûõ ïî âåëè÷èíå.
20
5. Êàê áóäóò âûãëÿäåòü êîìïîíåíòû âåêòîðíîãî ïîëÿ, îáðàçîâàííîãî â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ îïåðàöèè div ê äèàäå T â îðòîãîíàëüíûõ êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ?
6. Âûïèñàòü êîìïîíåíòû òåíçîðà ñêîðîñòåé äåôîðìàöèé D(~a) ïîëÿ âåêòîðà
~a â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.
3 Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äèíàìèêè ñìåñåé
âÿçêèõ ñæèìàåìûõ æèäêîñòåé
Ñèñòåìà äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé æèäêîñòåé, ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ äëÿ
êàæäîé êîìïîíåíòû ñìåñè:
1) óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ ìàññû (óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè),
2) çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà,
3) çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè.
Ýòà ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé, êàê ïðàâèëî, îêàçûâàåòñÿ íåçàìêíóòîé, è
äëÿ òîãî ÷òîáû íà åå îñíîâå èçó÷àòü ðàçëè÷íûå çàäà÷è î äâèæåíèè ñìåñåé æèäêîñòåé, íåîáõîäèìî åå äîïîëíÿòü ñîîòíîøåíèÿìè, õàðàêòåðèçóþùèìè îïðåäåëåííûå ñâîéñòâà äàííîé ñðåäû.
Ðàññìîòðèì óêàçàííûå âûøå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ â èíòåãðàëüíîé è äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìàõ.
3.1 Óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè
Ìíîãîêîìïîíåíòíóþ ñðåäó îáðàçóþò N ñðåä (êîìïîíåíòîâ), ïåðåìåøàííûõ òàê, ÷òî â êàæäîì ýëåìåíòàðíîì îáúåìå ïðèñóòñòâóþò ÷àñòèöû, ïðèíàäëåæàùèå âñåì êîìïîíåíòàì (ñîñòàâëÿþùèì). Äëÿ êàæäîé èç ýòèõ êîìïîíåíò â êàæäîé òî÷êå îáúåìà ìîæíî ââåñòè â ðàññìîòðåíèå ïðèâåäåííóþ
ïëîòíîñòü ρi (ìàññà i-îé êîìïîíåíòû â åäèíèöå îáúåìà ñðåäû), ñêîðîñòü ~u(i)
(i = 1, ..., N ) è äðóãèå êèíåìàòè÷åñêèå è äèíàìè÷åñêèå ïàðàìåòðû, îòíîñÿùèåñÿ ê ñâîåé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè. Òàêèì îáðàçîì, â êàæäîé òî÷êå îáúåìà,
çàíÿòîãî ñìåñüþ, áóäóò îïðåäåëåíû N ïëîòíîñòåé ρi , N ñêîðîñòåé ~u(i) è ò. ä.
Óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè. Ôåíîìåíîëîãè÷åñêèé ïîäõîä ê îïèñàíèþ
ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé ñâÿçàí ñ ïðåäñòàâëåíèåì ñðåäíèõ âåëè÷èí (ρi ,
~u(i) è äð.) êàê íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåííûõ â çàíèìàåìîì îáúåìå Ω (îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà R3 ), îãðàíè÷åííîì ïîâåðõíîñòüþ
∂Ω ñ åäèíè÷íîé âíåøíåé íîðìàëüþ ~n.
Òîãäà óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ ìàññû äëÿ i-îé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè ìîæíî
çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Z
Z
Z
∂ρi
dx = − ρi (~u(i) · ~n) dσ + hi dx, i = 1, ..., N,
(41)
∂t
Ω
Ω
∂Ω
ãäå t âðåìÿ, hi õàðàêòåðèçóåò èíòåíñèâíîñòü ïåðåõîäà ìàññû èç îäíîé êîìïîíåíòû ñìåñè â äðóãóþ â åäèíèöó îáúåìà è â åäèíèöó âðåìåíè â ðåçóëüòàòå
21
ïðîöåññîâ ñìåøåíèÿ, èîíèçàöèè, õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé è ò. ï., ïðè÷åì èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìàññû ïðè ðàçëè÷íûõ ôèçèêî-õèìè÷åñêèõ ïðåâðàùåíèÿõ
ñëåäóåò, ÷òî
N
X
hi = 0.
(42)
i=1
Ïðèìåíÿÿ ê ïåðâîìó èíòåãðàëó â ïðàâîé ÷àñòè (41) ôîðìóëó ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî (ñì. ôîðìóëó (18)):
Z
Z
ρi (~u(i) · ~n) dσ = div(ρi ~u(i) ) dx,
(43)
Ω
∂Ω
ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè îáúåìà Ω, ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ
ñîõðàíåíèÿ ìàññû äëÿ êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè:
∂ρi
+ div(ρi ~u(i) ) = hi , i = 1, ..., N.
∂t
(44)
 ÷àñòíîì ñëó÷àå hi = 0, i = 1, ..., N óðàâíåíèÿ (44) èçâåñòíû â ìåõàíèêå
êàê óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè:
∂ρi
+ div(ρi ~u(i) ) = 0, i = 1, ..., N.
∂t
(45)
Óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñîâ. Óðàâíåíèÿ áàëàíñà èìïóëüñîâ
êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåì âèäå:
Z
Z
Z
∂
(i)
(i) (i)
(ρi ~u ) dx = − ρi ~u (~u · ~n) dσ + (P (i) · ~n) dσ+
∂t
Ω
∂Ω
∂Ω
Z
Z
(46)
+ ρi f~(i) dx + J~(i) dx, i = 1, ..., N,
Ω
Ω
ãäå ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (46) ñîîòâåòñòâóåò ïðèòîêó èìïóëüñà iîé ñîñòàâëÿþùåé ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ∂Ω; âòîðîå è òðåòüå ñëàãàåìûå âîçäåéñòâèþ âíåøíèõ ïîâåðõíîñòíûõ è ìàññîâûõ ñèë, ïðèõîäÿùèõñÿ íà
i-óþ
êîìïîíåíòó è õàðàêòåðèçóåìûõ òåíçîðîì P (i) è âåêòîðîì f~(i) ; íàêîíåö, J~(i)
ïðåäñòàâëÿåò èíòåíñèâíîñòü îáìåíà èìïóëüñîì ìåæäó ñîñòàâëÿþùèìè ñìåñè, ïðè÷åì èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ïðè ðàçëè÷íûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ,
àíàëîãè÷íî (42), èìååò ìåñòî
N
X
J~(i) = 0.
(47)
i=1
Èíòåãðàëüíûì ñîîòíîøåíèÿì (46), ïîñëå ïðèìåíåíèÿ ôîðìóëû ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî, ñîîòâåòñòâóþò äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ
èìïóëüñîâ êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé:
∂(ρi ~u(i) )
+ div(ρi ~u(i) ⊗ ~u(i) ) = div P (i) + ρi f~(i) + J~(i) , i = 1, ..., N.
∂t
22
(48)
Ñ ó÷åòîì óðàâíåíèé íåðàçðûâíîñòè (45), óðàâíåíèÿ (48) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:
ρi
∂~u(i)
+ ρi (~u(i) · ∇)~u(i) = div P (i) + ρi f~(i) + J~(i) , i = 1, ..., N.
∂t
(49)
Óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèé. Ðàññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèÿ áàëàíñà ýíåðãèé êàæäîé êîìïîíåíòû ñìåñè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ui óäåëüíóþ (îòíåñåííóþ ê åäèíèöå ìàññû) âíóòðåííþþ ýíåðãèþ i-îé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè,
i = 1, ..., N . Ñóììà âíóòðåííåé ýíåðãèè è êèíåòè÷åñêîé
Ei =
1 (i) 2
|~u | + Ui
2
(50)
íàçûâàåòñÿ ïîëíîé ýíåðãèåé i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè, i = 1, ..., N . Òîãäà, óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè ìîãóò áûòü çàïèñàíû â
ñëåäóþùåì âèäå:
Z
Z
Z
∂
(ρi Ei ) dx = − ρi Ei (~u(i) · ~n) dσ + ~c(i) · ~n dσ+
∂t
Ω
∂Ω
∂Ω
Z
Z
Z
(i)
(i)
(i)
(i)
~
~
+ ρi f · ~u dx + J · ~u dx + Γi dx−
(51)
Ω
Ω
Z
(i)
−
~q
Ω
· ~n dσ, i = 1, ..., N,
∂Ω
ãäå ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (51) ñîîòâåòñòâóåò ïðèòîêó ýíåðãèè iîé ñîñòàâëÿþùåé ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ∂Ω; âòîðîå è òðåòüå ñëàãàåìûå ðàáîòå
âíåøíèõ ïîâåðõíîñòíûõ (õàðàêòåðèçóåìîé âåêòîðîì ~c(i) (â ÷àñòíîì ñëó÷àå
~c(i) · ~n=(P (i) · ~n) · ~u(i) , i = 1, ..., N )) è ìàññîâûõ ñèë, ïðèõîäÿùèõñÿ íà i-óþ
ñîñòàâëÿþùóþ ñìåñè; äàëåå, Γi ïðåäñòàâëÿåò èíòåíñèâíîñòü îáìåíà ýíåðãèåé ìåæäó êîìïîíåíòàìè; ïÿòîå ñëàãàåìîå ïðåäñòàâëÿåò ïðèòîê òåïëà ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ∂Ω, õàðàêòåðèçóåìûé âåêòîðîì ~q(i) . Àíàëîãè÷íî (42) è (47),
èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ïðè ðàçëè÷íûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ èìååò ìåñòî
ôîðìóëà
N
X
(Γi + J~(i) · ~u(i) ) = 0.
(52)
i=1
Èíòåãðàëüíûì ñîîòíîøåíèÿì (51), ïîñëå ïðèìåíåíèÿ ôîðìóëû ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî, ñîîòâåòñòâóþò äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ
ïîëíûõ ýíåðãèé êàæäîé îñòàâëÿþùåé ñìåñè:
∂(ρi Ei )
+ div(ρi Ei ~u(i) ) = div(P (i) · ~u(i) ) + ρi f~(i) · ~u(i) +
∂t
(53)
+J~(i) · ~u(i) + Γi − div~q(i) , i = 1, ..., N.
Ñ ó÷åòîì îáîçíà÷åíèé (50) è óðàâíåíèé (45) è (49), ïîëó÷àåì èç (53)
äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ âíóòðåííèõ ýíåðãèé êàæäîé êîìïîíåíòû ñìåñè:
∂(ρi Ui )
+ div(ρi Ui ~u(i) ) = P (i) : ∇~u(i) + Γi − div~q(i) , i = 1, ..., N.
∂t
23
(54)
Òåì ñàìûì, ïîëó÷åíû óðàâíåíèÿ (45), (48) è (54), êîòîðûå ìàòåìàòè÷åñêè îïèñûâàþò ïåðå÷èñëåííûå â íà÷àëå ðàçäåëà çàêîíû ñîõðàíåíèÿ. Ïðè èçó÷åíèè äâèæåíèÿ îïðåäåëåííîé ñïëîøíîé ñðåäû óðàâíåíèÿ (44), (48) è (54)
êîíêðåòèçèðóþòñÿ çàäàíèåì âåêòîðà ìàññîâûõ ñèë f~(i) äëÿ i-îé êîìïîíåíòû
ñìåñè è îïðåäåëÿþùèõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ è ðåîëîãè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé,
çàìûêàþùèõ ñèñòåìó óðàâíåíèé (44), (48) è (54).
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî åäèíîãî ïîäõîäà â êîíêðåòèçàöèè òåðìîäèíàìè÷åñêèõ è ðåîëîãè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé ïðè ìîäåëèðîâàíèè äâèæåíèÿ ñìåñåé
æèäêîñòåé íà ñåãîäíÿøíèé äåíü íåò. Ïîýòîìó, âûäåëèì äâà îñíîâíûõ ýòî
òàê íàçûâàåìûå "ìíîãîñêîðîñòíîé" è "îäíîñêîðîñòíîé" ïîäõîäû.
 äàííîì êóðñå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìîäåëè äâèæåíèÿ äâóõêîìïîíåíòíûõ (áèíàðíûõ) ñìåñåé. Îáîáùåíèå ðåçóëüòàòîâ äëÿ ñëó÷àÿ ñìåñåé èç òðåõ
è áîëåå êîìïîíåíò ïðèíöèïèàëüíûõ òðóäíîñòåé íå âûçûâàåò.
3.2 Ìíîãîñêîðîñòíàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ
ñæèìàåìûõ æèäêîñòåé
Îäíèì èç âàðèàíòîâ ðåîëîãè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé â ìíîãîñêîðîñòíîé ìîäåëè ñìåñè ÿâëÿþòñÿ ðàâåíñòâà
P (i) = −pi I + σ (i) , i = 1, 2,
σ (i) =
2 ³
X
´
2µij D(~u(j) ) + λij div ~u(j) I , i = 1, 2,
(55)
j=1
ãäå pi äàâëåíèå i-îé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè, σ (i) âÿçêàÿ ÷àñòü òåíçîðà
i-îé êîìïîíåíòû
ñìåñè, D òåíçîð ñêîðîñòåé äåôîðìàöèé
³
³ íàïðÿæåíèé
¡ w~ ¢∗ ´´
w
~
+ ∂∂x
D(w)
~ = 12 ∂∂x
, I åäèíè÷íûé òåíçîð, êîýôôèöèåíòû âÿçêîñòè
λij è µij â îáùåì ñëó÷àå ìîãóò çàâèñåòü îò òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ.
Ïðèíèìàÿ ãèïîòåçó ëîêàëüíîãî ðàâíîâåñèÿ êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè, ìû ìîæåì ââåñòè â ðàññìîòðåíèå òåìïåðàòóðó θi i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè è, íàðÿäó ñ âíóòðåííåé ýíåðãèåé Ui , èñïîëüçîâàòü è äðóãèå òåðìîäèíàìè÷åñêèå ôóíêöèè äëÿ êàæäîé êîìïîíåíòû: ýíòðîïèþ si , ýíòàëüïèþ ii è
ò. ä. Ñîñòàâëÿþùèå êîìïîíåíòû ñìåñè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äâóõïàðàìåòðè÷åñêèå ñðåäû (òåðìîäèíàìè÷åñêèå ôóíêöèè êîìïîíåíòû çàâèñÿò òîëüêî îò
äâóõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ñîñòîÿíèÿ), ò. å.
Ui = Ui (ρi , θi ), pi = pi (ρi , θi ), si = si (ρi , θi ), i = 1, 2,
ïðè÷åì ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ Ãèááñà
µ ¶
1
θi d si = d Ui + pi d
, i = 1, 2.
ρi
(56)
(57)
Èç ðàâåíñòâ (57), ñ ó÷åòîì ïðåäïîëîæåíèé (56), ñëåäóþò ñîîòíîøåíèÿ
pi = θi
∂pi
∂Ui
+ ρ2i
, i = 1, 2.
∂θi
∂ρi
24
(58)
Äàëåå, â ñîîòâåòñòâèè ñ îáîáùåííûì çàêîíîì Ôóðüå, çàäàäèì âåêòîð
òåïëîâîãî ïîòîêà ~q(i) i-îé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè
~q(i) = −ki ∇θi , i = 1, 2,
(59)
ãäå ki = ki (ρi , θi ) òåïëîïðîâîäíîñòü i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè.
×òî êàñàåòñÿ âûðàæåíèé, îïðåäåëÿþùèõ èíòåíñèâíîñòü îáìåíà èìïóëüñîì J~(i) è ýíåðãèåé Γi ìåæäó ñîñòàâëÿþùèìè ñìåñè, òî èõ îáû÷íî ñ÷èòàþò
ïðîïîðöèîíàëüíûìè ðàçíîñòè ñêîðîñòåé è òåìïåðàòóð:
J~(i) = (−1)i+1 c(~u(2) − ~u(1) ), c = const > 0, i = 1, 2,
(60)
c
Γi = (−1)i+1 b(θ2 − θ1 ) + |~u(1) − ~u(2) |2 , i = 1, 2, b = const > 0.
(61)
2
Òàêèì îáðàçîì, çàìêíóòàÿ ìîäåëü äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé æèäêîñòåé ìîæåò áûòü îáðàçîâàíà èç óðàâíåíèé (45), (48),
(53), (55)-(56), (58)-(61), ê êîòîðûì íóæíî äîáàâèòü âûðàæåíèÿ äëÿ ki , λij
è µi,j , i, j = 1, 2.
3.3 Îäíîñêîðîñòíàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ
ñæèìàåìûõ æèäêîñòåé
Òàê íàçûâàåìûé "îäíîñêîðîñòíîé" ïîäõîä îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ ïðè
îïèñàíèè òàê íàçûâàåìûõ ãîìîãåííûõ ñìåñåé, ñîñòîÿùèõ èç õîðîøî ïåðåìåøàííûõ êîìïîíåíò â æèäêîé èëè ãàçîîáðàçíîé ôàçå, à òàêæå ðàñòâîðîâ.
Ïàðàìåòðû, õàðàêòåðèçóþùèå ñìåñü â öåëîì, ïðèíÿòî îïðåäåëÿòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
N
X
ïëîòíîñòü ñìåñè: ρ =
ρi ,
i=1
ñêîðîñòü (áàðèöåíòðè÷åñêàÿ) öåíòðà ìàññ ñìåñè: ρ~u =
N
X
ρi ~u(i) .
i=1
Òîãäà êîíöåíòðàöèÿ i-îé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:
ρi
ci = , i = 1, ..., N .
ρ
 ñëó÷àå áèíàðíîé (N = 2) ñìåñè ïîëîæèì c1 = c. Ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ
c1 + c2 = 1 ïîëó÷èì, ÷òî c2 = 1 − c.
Èíîãäà óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ òàê íàçûâàåìûìè äèôôóçèîííûìè ñêîðîñòÿìè
~v (i) = ~u(i) − ~u, i = 1, ..., N,
ïðåäñòàâëÿþùèìè ñîáîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ îòíîñèòåëüíî
öåíòðà ìàññ èëè ñðåäû â öåëîì.
Ñóììèðóÿ óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ ìàññû äëÿ êîìïîíåíò (44), ñ ó÷åòîì
ñîîòíîøåíèÿ (42) ïîëó÷èì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû äëÿ ñìåñè â öåëîì:
∂ρ
+ div(ρ~u) = 0.
∂t
(62)
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè äëÿ ñìåñè â öåëîì èìååò îáû÷íûé
âèä, òî åñòü îíî "íå ÷óâñòâóåò" îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ.
25
Ðàñïðåäåëåíèå êîíöåíòðàöèè (äëÿ ïðîñòîòû ðàññìàòðèâàåòñÿ áèíàðíàÿ
ñìåñü), õàðàêòåðèçóþùåé ñîñòàâ ñìåñè, ñ òå÷åíèåì âðåìåíè èçìåíÿåòñÿ. Èçìåíåíèå êîíöåíòðàöèè ïðîèñõîäèò äâóìÿ ïóòÿìè. Âî-ïåðâûõ, ïðè ìèêðîñêîïè÷åñêîì äâèæåíèè æèäêîñòè êàæäûé äàííûé åå ó÷àñòîê ïåðåäâèãàåòñÿ
êàê öåëîå ñ íåèçìåííûì ñîñòàâîì. Ýòèì ïóòåì îñóùåñòâëÿåòñÿ ÷èñòî ìåõàíè÷åñêîå ïåðåìåøèâàíèå æèäêîñòè; õîòÿ ñîñòàâ êàæäîãî ïåðåäâèãàþùåãîñÿ
ó÷àñòêà æèäêîñòè íå ìåíÿåòñÿ, íî â êàæäîé äàííîé íåïîäâèæíîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà êîíöåíòðàöèÿ íàõîäÿùåéñÿ â ýòîì ìåñòå æèäêîñòè áóäåò ñî âðåìåíåì ìåíÿòüñÿ. Òàêîå èçìåíåíèå êîíöåíòðàöèè ÿâëÿåòñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêè
îáðàòèìûì ïðîöåññîì è íå âåäåò ê äèññèïàöèè ýíåðãèè. Âî-âòîðûõ, èçìåíåíèå ñîñòàâà ìîæåò ïðîèñõîäèòü ïóòåì ìîëåêóëÿðíîãî ïåðåíîñà âåùåñòâ ñìåñè
èç îäíîãî ó÷àñòêà æèäêîñòè â äðóãîé. Âûðàâíèâàíèå êîíöåíòðàöèè ïóòåì
òàêîãî íåïîñðåäñòâåííîãî èçìåíåíèÿ ñîñòàâà êàæäîãî èç ó÷àñòêîâ æèäêîñòè íàçûâàåòñÿ äèôôóçèåé. Äèôôóçèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîöåññîì íåîáðàòèìûì è
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàðÿäó ñ òåïëîïðîâîäíîñòüþ è âÿçêîñòüþ îäèí èç èñòî÷íèêîâ äèññèïàöèè ýíåðãèè â æèäêîé ñìåñè.
Ïðè îòñóòñòâèè äèôôóçèè ñîñòàâ êàæäîãî äàííîãî ýëåìåíòà æèäêîñòè
îñòàâàëñÿ áû íåèçìåííûì ïðè åãî ïåðåäâèæåíèè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîëíàÿ
dc
ïðîèçâîäíàÿ
áûëà áû ðàâíà íóëþ, ò. å. èìåëî áû ìåñòî óðàâíåíèå
dt
∂c
dc
=
+ ~u · ∇c = 0,
dt
∂t
d
∂
ãäå
=
+~v · ∇ áàðèöåíòðè÷åñêàÿ ñóáñòàíöèîíàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ. Ýòî
dt
∂t
óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü, èñïîëüçóÿ (62) â âèäå
∂
(ρc) + div(ρc~u) = 0,
∂t
ò. å. â âèäå óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè äëÿ îäíîãî èç âåùåñòâ ñìåñè (ρc åñòü
ìàññà îäíîãî èç âåùåñòâ ñìåñè â åäèíèöå îáúåìà). Èíòåãðèðóÿ ýòî óðàâíåíèå
ïî ïðîèçâîëüíîìó îáúåìó Ω, ïîëó÷èì ðàâåíñòâî
Z
Z
∂
ρc dx = − ρc~u · ~n dσ,
∂t
Ω
∂Ω
êîòîðîå îçíà÷àåò, ÷òî èçìåíåíèå êîëè÷åñòâà äàííîãî âåùåñòâà â îáúåìå Ω
ðàâíî êîëè÷åñòâó ýòîãî âåùåñòâà, ïåðåíîñèìîìó äâèæóùåéñÿ æèäêîñòüþ ÷åðåç ãðàíèöó îáúåìà.
Ïðè íàëè÷èè äèôôóçèè, íàðÿäó ñ ïîòîêîì ρc~u äàííîãî âåùåñòâà âìåñòå ñî âñåé æèäêîñòüþ èìååòñÿ åùå è äðóãîé ïîòîê, êîòîðûé ïðèâîäèò ê
ïåðåíîñó âåùåñòâ â ñìåñè äàæå ïðè îòñóòñòâèè äâèæåíèÿ æèäêîñòè â öåëîì.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç J~ ïëîòíîñòü ýòîãî äèôôóçèîííîãî ïîòîêà, ò. å. êîëè÷åñòâî
ðàññìàòðèâàåìîãî âåùåñòâà, ïåðåíîñèìîãî ïóòåì äèôôóçèè â åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç åäèíèöó ïîâåðõíîñòè (ñóììà ïëîòíîñòåé ïîòîêîâ îáîèõ âåùåñòâ
äîëæíà áûòü ðàâíà ρ~u, ïîýòîìó, åñëè ïëîòíîñòü ïîòîêà îäíîãî èç íèõ åñòü
ρc~u + J~, òî äðóãîãî ρ(1 − c)~u − J~).
Òîãäà çàêîí èçìåíåíèÿ êîëè÷åñòâà ýòîãî âåùåñòâà â ïðîèçâîëüíîì îáúåìå Ω èìååò âèä
Z
Z
Z
∂
ρc dx = − ρc~u · ~n dσ − J~ · ~n dσ
∂t
Ω
∂Ω
∂Ω
26
èëè â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå
∂
~
(ρc) + div(ρc~u) = −divJ.
∂t
(63)
Îáðàùàÿñü ê óðàâíåíèþ íåðàçðûâíîñòè (45) äëÿ äàííîé êîìïîíåíòû
ñìåñè, âèäèì, ÷òî
J~ = ρc(~u(1) − ~u).
Åñëè ñêîðîñòü ~u(1) äàííîé êîìïîíåíòû îïðåäåëèòü ÷åðåç ñðåäíþþ ñêîðîñòü
~u ñ ïîìîùüþ çàêîíà Ôèêà:
~u(i) = ~u −
òî
D
∇c,
c
J~ = −ρD∇c,
(64)
(65)
ãäå D > 0 íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì äèôôóçèè; îí îïðåäåëÿåò äèôôóçèîííûé ïîòîê ïðè íàëè÷èè îäíîãî òîëüêî ãðàäèåíòà êîíöåíòðàöèè êîìïîíåíòû
c.
Òàêèì îáðàçîì, âìåñòî ñèñòåìû (44) (èëè (45)), îïèñûâàþùåé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû äëÿ êàæäîé èç êîìïîíåíò ñìåñè, â ñëó÷àå áèíàðíîé ñìåñè
èñïîëüçóåòñÿ ýêâèâàëåíòíàÿ åé ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè äëÿ ñìåñè â öåëîì (62) è óðàâíåíèÿ äëÿ êîíöåíòðàöèè (63).
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ñìåñè â öåëîì ðàññìàòðèâàåòñÿ â âèäå:
0
∂
(ρ~u) + div(ρ~u ⊗ ~u) = divP + ρF~ ,
∂t
0
P = −pI + 2µD(~u) + λ div ~u I,
(66)
(67)
ãäå p äàâëåíèå, I åäèíè÷íûé òåíçîð, D(~u) òåíçîð ñêîðîñòåé äåôîðìàöèé,
îïðåäåëÿåìûé âåêòîðîì áàðèöåíòðè÷åñêîé ñêîðîñòè ~u.
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ïèøåòñÿ â âèäå
0
∂E
+ div(E~u) = div(~uP ) − div ~q,
∂t
(68)
¡
¢
ãäå E = ρ U + 12 |~u|2 ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñìåñè, U óäåëüíàÿ âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ, ~q âåêòîð òåïëîâîãî ïîòîêà, âîçíèêàþùèé (êàê è äèôôóçèîííûé ïîòîê
J~) â ðåçóëüòàòå íàëè÷èÿ â æèäêîñòè ãðàäèåíòîâ êîíöåíòðàöèè è òåìïåðàòóðû.
Îäèí èç âàðèàíòîâ çàäàíèÿ âåêòîðà ~q:
~q = −k∇θ,
ãäå θ > 0 òåìïåðàòóðà ñìåñè, k > 0 êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè
ñìåñè.
Óðàâíåíèå ýíåðãèè (68) ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíî, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèì ñîîòíîøåíèåì äëÿ ñìåñè äâóõ âåùåñòâ:
dU = θds +
p
dρ + mdc.
ρ2
27
(69)
Çäåñü m ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì îïðåäåëåííûé õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë
ñìåñè, s ýíòðîïèÿ.
 ñèëó óðàâíåíèé íåðàçðûâíîñòè (62) è èìïóëüñà (66) èç óðàâíåíèÿ (68)
ñëåäóåò óðàâíåíèå äëÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè
0
∂
(ρU ) + div(ρU~u) = P : ∇~u − div ~q − ρ~u · F~ .
∂t
(70)
Èç (69) è (70) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå èçìåíåíèå ýíòðîïèè
ρθ
0
∂s
+ θ(ρ~u · ∇)s = p div~u + P : ∇~u − div ~q + m div J~ − ρ~u · F~ .
∂t
(71)
Ìû ïîëó÷èëè, òàêèì îáðàçîì, ïîëíóþ ñèñòåìó ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ
óðàâíåíèé äëÿ æèäêèõ ñìåñåé. Ýòèìè óðàâíåíèÿìè ÿâëÿþòñÿ: óðàâíåíèå
íåðàçðûâíîñòè (çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû) (62), óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (çàêîí
ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà) (66), (67), óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè äëÿ îäíîé èç êîìïîíåíò ñìåñè (63), óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå èçìåíåíèå ýíòðîïèè (71). Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ (63) è (71) ñòàíîâÿòñÿ îïðåäåëåííûìè ïðè ïîäñòàíîâêå
J~ è ~q, âûðàæåííûõ ÷åðåç ãðàäèåíòû òåìïåðàòóðû è êîíöåíòðàöèè.
3.4 Óïðàæíåíèÿ
1. Äîêàçàòü, ÷òî ëàãðàíæåâà ôîðìà óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè è ýéëåðîâà åãî ôîðìà ýêâèâàëåíòíû.
2. Âûïèñàòü óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè â îðòîãîíàëüíûõ êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ, åñëè îáå êîìïîíåíòû íåñæèìàåìû.
3. Âûïèñàòü óðàâíåíèå áàëàíñà èìïóëüñà i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, åñëè îáå êîìïîíåíòû íåñæèìàåìû, à äâèæåíèå
ÿâëÿåòñÿ óñòàíîâèâøåìñÿ.
4. Âûâåñòè ìàòåìàòè÷åñêèé ýêâèâàëåíò âòîðîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè äëÿ
"ìíîãîñêîðîñòíîé" ìîäåëè ñìåñè, ïðåäïèñûâàþùåãî ïîëîæèòåëüíîñòü ïðîèçâîäñòâà ýíòðîïèè.
5. Âûâåñòè ìàòåìàòè÷åñêèé ýêâèâàëåíò âòîðîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè äëÿ
"îäíîñêîðîñòíîé" ìîäåëè ñìåñè.
4 Ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ
ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè
Ðàññìîòðèì ìîäåëü ìåõàíèêè ñïëîøíîé ñðåäû, îïèñûâàþùóþ èçîòåðìè÷åñêîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè. Áóäåì ðàññìàòðèâàåìóþ ñðåäó
ñ÷èòàòü íåñæèìàåìîé, ò.å. ïðèìåì ÷òî
ρi = const > 0,
28
i = 1, 2
(72)
è äâèæåíèå ïðåäïîëàãàòü óñòàíîâèâøèìñÿ (ñòàöèîíàðíûì)
∂~u(i)
= 0,
∂t
(73)
i = 1, 2.
Ïðè ýòèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ, óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè (45) è áàëàíñà èìïóëüñà (49) ïðèìóò ñîîòâåòñòâåííî âèä
(i)
(i)
(i)
∂u1
∂u2
∂u3
+
+
= 0,
∂x
∂y
∂z
Ã
ρi
(i)
(i) ∂u1
u1
∂x
+
(i)
(i) ∂u1
u2
+
(i)
(i) ∂u2
u2
+
(i)
(i) ∂u3
u2
∂y
Ã
ρi
(i)
(i) ∂u2
u1
∂x
∂y
Ã
ρi
(i)
(i) ∂u3
u1
∂x
(i)
∂y
i+1
ãäå Jk = (−1)
+
(i)
(i) ∂u1
u3
+
(i)
(i) ∂u3
u3
+
(i)
(i) ∂u3
u3
!
=−
∂z
∂z
³
´
(2)
(1)
c uk − uk ,
∂pi
(1)
(2)
(i)
+µi1 ∆u1 +µi2 ∆u1 +J1 ,
∂x
i = 1, 2,
(75)
!
=−
∂z
(74)
i = 1, 2,
∂pi
(1)
(2)
(i)
+µi1 ∆u2 +µi2 ∆u2 +J2 ,
∂y
i = 1, 2,
(76)
!
=−
∂pi
(i)
(2)
(1)
+µi1 ∆u3 +µi2 ∆u3 +J3 ,
∂z
i = 1, 2,
(77)
k = 1, 2, 3, ∆ =
∂2
∂x2
+
∂2
∂y 2
+
∂2
∂z 2 .
Îòíîñèòåëüíî êîýôôèöèåíòîâ âÿçêîñòè µij , i, j = 1, 2 ïðåäïîëàãàåòñÿ,
÷òî µ11 > 0, µ22 > 0, 4µ11 µ22 − (µ12 + µ21 )2 > 0.
Çà÷àñòóþ â ìîäåëÿõ ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä ãèïîòåçà î ãåîìåòðèè ëèíèé òîêà ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷ â àíàëèòè÷åñêîé ôîðìå. Íèæå ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî àíàëîãè÷íîå ïîëîæåíèå äåë èìååò
ìåñòî è â ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ ñðåä.
Ðàññìîòðèì ïðÿìîëèíåéíî-ïàðàëëåëüíîå äâèæåíèå ñìåñåé âÿçêèõ
íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè, ïðîñòèðàþùèìèñÿ â íàïðàâëåíèè îñåé x1 è x3 äî áåñêîíå÷íîñòè (ðèñ.1).
Ðèñ. 4.1. Ê òå÷åíèþ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè
29
Îáîçíà÷èì ðàññòîÿíèå ìåæäó ñòåíêàìè ÷åðåç 2h. Íà÷àëî îñè x2 âîçüìåì íà ñðåäíåé ëèíèè ìåæäó ñòåíêàìè. Èç ïðåäïîëîæåíèÿ î ïëîñêîïàðàëëåëüíîñòè äâèæåíèÿ è èç óðàâíåíèé (74) ñëåäóåò, ÷òî
³
´
~u(i) = u(i) , 0, 0 ,
∂u(i)
= 0,
∂x1
i = 1, 2.
 ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ (75)-(77) ïðèíèìàþò ñëåäóþùèé âèä:
³ 2 (1)
´
³ 2 (2)
´
∂ u
∂ 2 u(1)
∂ u
∂ 2 u(2)
∂pi
=
µ
+
+
µ
+
+
2
2
2
2
i1
i2
∂x1
∂x
∂x
∂x
∂x
2
i+1
+ (−1)
3
2
¡
¢
c u(2) − u(1) ,
∂pi
∂pi
=
= 0,
∂x2
∂x3
3
(78)
(79)
i = 1, 2,
(80)
i = 1, 2.
Èç óðàâíåíèé (78) è (80) íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò, ÷òî
u(i) = u(i) (x2 , x3 ) ,
pi = pi (x1 ) ,
i = 1, 2.
(81)
ßñíî, ÷òî ðàâåíñòâà (79) ìîãóò èìåòü ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îáå
÷àñòè óðàâíåíèé
µ 2 (1)
¶
µ 2 (2)
¶
∂pi
∂ 2 u(1)
∂ 2 u(2)
∂ u
∂ u
+
+
= µi1
+ µi2
+
∂x1
∂x22
∂x23
∂x22
∂x23
+ (−1)
i+1
³
´
c u(2) − u(1) ,
i = 1, 2,
ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé, êîòîðóþ îáîçíà÷èì ÷åðåç ki , i = 1, 2.
∂pi
= ki ïîëó÷àåì, ÷òî
Èç ðàâåíñòâ ∂x
1
pi = ki x1 + Ci ,
i = 1, 2.
(82)
Äëÿ ïîëíîãî îïðåäåëåíèÿ âèäà ïðÿìîé (82), õàðàêòåðèçóþùåé èçìåíåíèå
äàâëåíèÿ âäîëü îñè x1 äëÿ i-îé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè, ò.å. äëÿ îïðåäåëåíèÿ
ïîñòîÿííûõ ki è Ci , äîñòàòî÷íî çàäàòü çíà÷åíèÿ äàâëåíèé p1i è p2i â êàêèõ
ëèáî äâóõ ñå÷åíèÿõ îáúåìà, çàíèìàåìîãî ñìåñüþ (íàïðèìåð, ïðè x1 = 0 è
x1 = l).
Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó îá îïðåäåëåíèè ñêîðîñòè äâèæåíèÿ u(1) è u(2)
êàæäîé èç ðàññìàòðèâàåìûõ êîìïîíåíò ñìåñè æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè ïðè óñëîâèè, ÷òî ïîñòîÿííûå ki çàäàíû. Äëÿ ïðîñòîòû ïðèìåì, ÷òî k1 = k2 = k .
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ u(1) è u(2) íà îñíîâàíèè (79) è (82) èìååì ñëåäóþùóþ
ñèñòåìó óðàâíåíèé:
´
³ 2 (2)
´
³ 2 (1)
∂ 2 u(1)
∂ 2 u(2)
∂ u
∂ u
µi1 ∂x2 + ∂x2 + µi2 ∂x2 + ∂x2 +
2
3
2
3
(83)
¡
¢
i+1
+ (−1)
c u(2) − u(1) = k, i = 1, 2.
Óðàâíåíèÿ (83) íåîáõîäèìî äîïîëíèòü ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íèæíÿÿ ãðàíèöà (ñòåíêà) ïåðåìåùàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ
30
V1 , à âåðõíÿÿ - ñî ñêîðîñòüþ V2 . Òîãäà, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùèì óñëîâèÿì
íà ãðàíèöå:
u(i) |x2 =−h = V1 , u(i) |x2 =h = V2 , i = 1, 2.
(84)
Ðåøåíèå çàäà÷è (83)-(84) ñâîäèòñÿ ê ðàññìîòðåíèþ ñëåäóþùèõ äâóõ ñëó÷àåâ.
1) Åñëè µ12 + µ22 6= 0, òî ñíà÷àëà îïðåäåëèì ôóíêöèþ u(1) êàê ðåøåíèå
îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
∂ 2 u(1)
∂x22
δ (1)
− c 2h
u =
ψ=
δ
2h (V2
k
∆ (µ22
− µ12 ) −
c
∆ψ
−
ck 2
∆ x2 ,
− V1 )x2 + 2δ (V1 + V2 ) − kh2
(85)
ïðè ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ
u(1) |x2 =−h = V1 ,
u(1) |x2 =h = V2 .
(86)
Çäåñü δ = µ11 + µ12 + µ21 + µ22 > 0, ∆ = µ11 µ22 − µ12 µ21 > 0.
Êðàåâàÿ çàäà÷à (85)-(86) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, îïðåäåëÿåìîå
ôîðìóëîé
√ δ
√ δ
u(1) = C1 e c ∆ x2 + C2 e− c ∆ x2 + Ax22 + Bx2 + C,
(87)
ãäå
2k∆
k
1
kh2
−
(µ22 − µ12 ) + (V1 + V2 ) −
,
2
cδ
cδ
2
δ
√
√
√ δ F − e2 c ∆δ h F
√ δ
√ δ F − e2 c ∆δ h F
1
c∆h
3 c∆
h 2
c∆h 2
√ δ
√ δ 1,
, C2 = e
C1 = e
F1 − e
h
h
4 c∆
4 c∆
1−e
1−e
A=
k
,
δ
B=
1
(V2 − V1 ) ,
2h
C=
F1 = V1 − Ah2 + Bh − C, F2 = V2 − Ah2 − Bh − C.
Çíàÿ òåïåðü u(1) , íàéäåì u(2) èç ñëåäóþùåãî âûðàæåíèÿ:
u(2) =
1
µ11 − µ21 (1)
(ψ + kx22 ) −
u .
µ12 + µ22
µ12 + µ22
(88)
2) Åñëè µ12 +µ22 = 0, òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ u(1) , ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé
êðàåâîé çàäà÷å:
∂ 2 u(1)
(µ11 + µ21 )
= 2k,
(89)
∂x22
u(1) |x2 =−h = V1 , u(1) |x2 =h = V2 .
(90)
Òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå µ12 + µ21 6= 0, òî ðåøåíèå çàäà÷è (89)-(90) åäèíñòâåííî è èìååò âèä
u(1) =
ãäå
C1 =
k
x2 + C1 x2 + C2 ,
µ11 + µ21 2
1
(V2 − V1 ),
2h
C2 =
31
1
kh22
(V1 + V2 ) −
.
2
µ11 + µ21
(91)
Äàëåå, îïðåäåëèì ôóíêöèþ u(2) êàê ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è:
∂ 2 u(2)
∂x22
−
c
(2)
µ22 u
k µ11 −µ21
µ22 µ11 +µ21
=
− 2µc22 h (V2 − V1 )x2 −
c
2µ22 (V1
u(2) |x2 =−h = V1 ,
−
x22
ck
µ22 µ11 +µ21 −
+ V2 ) +
(92)
ckh2
µ22 (µ11 +µ21 ) ,
u(2) |x2 =h = V2 ,
(93)
îáùåå ðåøåíèå êîòîðîé ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
√ c
√
x
− µc x2
22
u(2) = C1 e µ22 2 + C2 e
+ Ax2 + Bx + C,
(94)
ãäå
A=
k
µ11 +µ21 ,
√
C1 = e
c
µ22
h
B=
F1 − e
1
2h (V2
3
√
c
µ22
− V1 ),
h F2
−e
C=
2
1−e
√
4
c
µ22
√
µ22
2k
c µ11 +µ21
h
c
µ22
F1 = V1 − Ah2 + Bh − C,
F1
h
,
+ 12 (V1 + V2 ) −
kh2
µ11 +µ21
−
k
c
√
√ c F − e2 µc22 h F
2
1
µ22 h
√
C2 = e
,
4 µc h
22
1−e
F2 = V2 − Ah2 − Bh − C.
Òàêèì îáðàçîì çàäà÷à î äâèæåíèè äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ
íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè ïîëíîñòüþ ðåøåíà.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè â óðàâíåíèÿõ (75)-(77) ìû íå áóäåì áðàòü â ðàñ÷åò
ñëàãàåìûå, îòâå÷àþùèå çà îáìåí èìïóëüñîì ìåæäó ðàçëè÷íûìè ñîñòàâëÿþùèìè ñìåñè (ò.å. ñëàãàåìûå (−1)i+1 c(~u(2) −~u(1) )), òî ðåøåíèå çàäà÷è (83)-(84)
â ýòîì ñëó÷àå èìååò ñëåäóþùèé âèä:
u(1) = −
k
1
1
(µ22 − µ12 )(h2 − x22 ) +
(V2 − V1 )x2 + (V1 + V2 ),
2∆
2h
2
(95)
k
1
1
(µ11 − µ21 )(h2 − x22 ) +
(V2 − V1 )x2 + (V1 + V2 ).
(96)
2∆
2h
2
Ïðîâåäåì ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ðåçóëüòàòîâ äîñòàâëÿåìûõ ïðåäïîëîæåííîé ìîäåëüþ ñìåñè è êëàññè÷åñêîé ìîäåëüþ, îïèñûâàþùåé òå÷åíèå âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáå êîìïîíåíòû ñìåñè ôèçè÷åñêè íåðàçëè÷èìû, ò.å. µ11 = µ22 =
µ, µ12 = µ21 = 0. Òîãäà, èç (87), (88), (95) è (96) ñëåäóåò, ÷òî
u(2) = −
u(1) = u(2) = u(1) = u(2) = −
k 2
1
1
(h − x22 ) +
(V2 − V1 ) x2 + (V1 + V2 ). (97)
2µ
2h
2
ßñíî, ÷òî êàðòèíà äâèæåíèÿ òàêîé ñìåñè íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò òå÷åíèÿ âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ñ òåìè æå ñâîéñòâàìè. Òàêæå ñîõðàíÿåòñÿ âñå êà÷åñòâåííûå çàâèñèìîñòè (ðàñõîä, ñðåäíÿÿ è ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü
äâèæåíèÿ, êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ è äð.) ïðèñóùèå êëàññè÷åñêîé ìîäåëè, îïèñûâàþùåé äâèæåíèå âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ìåæäó äâóìÿ
ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè.
32
µ11 −µ21
µ11 +µ21
,
Òåïåðü, âûÿñíèì âîïðîñ î âëèÿíèè íà ôèçè÷åñêóþ êàðòèíó òå÷åíèÿ
ñìåñè ñëàãàåìûõ, îòâåòñòâåííûõ çà îáìåí èìïóëüñîì ìåæäó åå ñîñòàâëÿþùèìè.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì çàäàäèì çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ âÿçêîñòè
µ11 = 0.1, µ12 = 0.02, µ21 = 0.01, µ22 = 0.3; çíà÷åíèÿ ïåðåïàäà äàâëåíèÿ - k = 200; ðàññòîÿíèå ìåæäó ñòåíêàìè - h = 10; ñòåíêè áóäåì ñ÷èòàòü íåïîäâèæíûìè, ò.å. V1 = 0, V2 = 0. Ïîñòðîèì ãðàôèêè ôóíêöèé
u(i) , ū(i) , i = 1, 2, èçìåíÿÿ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà c â ïðåäåëàõ îò 0.0001 äî
0.1.
¯ - u(1) , · · · ¯ - ū(1)
max ¯u(1) − ū(1) ¯ = 2694.6
max
[−10;10]
[−10;10]
-¯ u(2) , · · · -¯ū(2)
¯u(2) − ū(2) ¯ = 926.3
Ðèñ. 4.2. c = 0.0001
- u(1) , · ·¯· - ū(1)
¯(1)
¯
max u − ū(1) ¯ = 17966.9
¯ - u(2) , · · · ¯- ū(2)
max ¯u(2) − ū(2) ¯ = 6176.1
[−10;10]
[−10;10]
Ðèñ. 4.3. c = 0.001
33
- u(1) , ·¯· · - ū(1)
¯
(1)
¯
max u − ū(1) ¯ = 41166.1
- u(2) , · · ·¯ - ū(2)
¯ (2)
¯
max u − ū(2) ¯ = 14150.8
[−10;10]
[−10;10]
Ðèñ. 4.4. c = 0.01
- u(1) , ·¯· · - ū(1)
¯
(1)
max ¯u − ū(1) ¯ = 46790.5
- u(2) , · · ·¯ - ū(2)
¯ (2)
max ¯u − ū(2) ¯ = 16084.2
[−10;10]
[−10;10]
Ðèñ. 4.5. c = 0.1
Èç äàííûõ ãðàôèêîâ âèäíî, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè ïàðàìåòðà c, ìàêñèìóì ðàçíîñòè ïî ìîäóëþ ìåæäó u(i) è ū(i) âîçðàñòàåò. Êîãäà c äîñòèãàåò
çíà÷åíèÿ 1, òî ýòà ðàçíèöà èìååò ïîðÿäîê 1027 . Òàêèì îáðàçîì, â ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ñìåñè, ñëàãàåìûå îòâåòñòâåííûå çà îáìåí èìïóëüñîì ìåæäó
åå ñîñòàâëÿþùèìè ñïîñîáíû ñóùåñòâåííî âëèÿòü íà ôèçè÷åñêóþ êàðòèíó
òå÷åíèÿ.
34
4.1 Óïðàæíåíèÿ
1.  êëàññå ãëàäêèõ ôóíêöèé äîêàçàòü åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è (83)(84).
2. Ðàññ÷èòàòü îáúåìíûé ðàñõîä, ñðåäíþþ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, ìàêñèìàëüíóþ
ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, ñèëó òðåíèÿ äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çäåñü ìîäåëè ñìåñè.
3. Íàéòè åùå îäèí ñïîñîá ðåøåíèÿ çàäà÷è îá óñòàíîâèâøåìñÿ òå÷åíèè äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè. Ñðàâíèòü ðåøåíèÿ.
5 Ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ
ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé â
êðóãëîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå
Ðàññìîòðèì ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ
íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé â êðóãëîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå.
Âûáåðåì äåêàðòîâû îñè êîîðäèíàò òàê, ÷òîáû îñü z áûëà íàïðàâëåíà ïî
îñè òðóáû. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Σ = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < R2 } ïîïåðå÷íîå
ñå÷åíèå òðóáû ïëîñêîñòüþ Oxy , êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êðóã ðàäèóñà R
è ÷åðåç C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = R2 } êîíòóð, îãðàíè÷èâàþùèé Σ (ñì.
Ðèñ. 5.1). Áóäåì èñêàòü ðåøåíèÿ, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ëèíèè òîêà ïðÿìûå,
(i)
(i)
(i)
ïàðàëëåëüíûå îñè z , èíà÷å ãîâîðÿ, ïðèìåì, ÷òî u1 = u2 = 0, u3 6= 0, i =
1, 2.
Ðèñ. 5.1. Ê òå÷åíèþ ñìåñè âÿçêèõ æèäêîñòåé â öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå
 ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà óðàâíåíèé (45), (49) ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ è
ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä:
(i)
∂u3
= 0,
∂z
∂pi
∂pi
=
= 0,
∂x
∂y
35
i = 1, 2,
i = 1, 2,
(98)
(99)
µ
∂pi
∂z
= µi1
(1)
∂ 2 u3
∂x2
+
(1)
∂ 2 u3
∂y 2
³
i+1
+ (−1)
c·
¶
µ
+ µi2
(2)
u3
−
(1)
u3
(2)
∂ 2 u3
∂x2
+
(2)
∂ 2 u3
∂y 2
¶
+
´
,
(100)
i = 1, 2.
Çàìåòèì, ÷òî áëàãîäàðÿ ïðèíÿòûì ïðåäïîëîæåíèÿì, çàäà÷à î äâèæåíèè ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé â êðóãëîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå ñòàëà
ëèíåéíîé.
Ê ñèñòåìå óðàâíåíèé (98)-(100) ïðèñîåäèíèì ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
(i)
u3 |x2 +y2 =R2 = 0,
(i)
u3 |x2 +y2 =0 < ∞,
pi |z=0 = p1i ,
pi |z=l = p2i ,
i = 1, 2,
i = 1, 2,
(101)
(102)
ãäå l = const > 0.
Çàìåòèì, ÷òî èç (98) è (99) íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò, ÷òî
(i)
(i)
u3 = u3 (x, y) ,
i = 1, 2
(103)
è
pi = pi (z) ,
(104)
i = 1, 2.
ßñíî, ÷òî ðàâåíñòâî (100) ìîæåò èìåòü ìåñòî òîëüêî òîãäà, êîãäà îáå
÷àñòè óðàâíåíèé
Ã
!
Ã
!
(1)
(1)
(2)
(2)
∂pi
∂ 2 u3
∂ 2 u3
∂ 2 u3
∂ 2 u3
+ µi2
+
= µi1
+
+
∂z
∂x2
∂y 2
∂x2
∂y 2
i+1
+ (−1)
³
´
(2)
(1)
c · u3 − u3
,
ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè âåëè÷èíàìè.
i
Îáîçíà÷èâ ∂p
∂z ÷åðåç −ki (ki = const > 0,
pi = −ki z + Ci ,
i = 1, 2
i = 1, 2), áóäåì èìåòü
i = 1, 2,
ãäå Ci , i = 1, 2 - ïðîèçâîëüíûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà.
Âåëè÷èíà
∂pi
ki = −
∂z
(105)
(106)
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èçìåíåíèå äàâëåíèÿ âäîëü îñè òðóáû äëÿ i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè, îòíåñåííîå ê åäèíèöå äëèíû òðóáû, è íàçûâàåòñÿ ïåðåïàäîì
äàâëåíèÿ âäîëü îñè òðóáû i-îé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè.
Äëÿ ïîëíîãî îïðåäåëåíèÿ âèäà ïðÿìîé (105), õàðàêòåðèçóþùåé èçìåíåíèå äàâëåíèÿ âäîëü îñè òðóáû äëÿ i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè, ò.å. äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïåðåïàäîâ äàâëåíèé ki è ïîñòîÿííûõ Ci , äîñòàòî÷íî çàäàòü çíà÷åíèÿ
äàâëåíèé p1i è p2i â êàêèõ-ëèáî äâóõ ñå÷åíèÿõ òðóáû (ñì. ãðàíè÷íîå óñëîâèå
(102)). Òàêèì îáðàçîì, ïîäñòàâëÿÿ â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (102) ñîîòíîøåíèÿ
(105) ïîëó÷àåì, ÷òî
pi = −
p0i − p1i
z + p0i ,
l
36
i = 1, 2.
(107)
Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó îá îïðåäåëåíèè ñêîðîñòè äâèæåíèÿ êàæäîé
(1)
(2)
èç ðàññìàòðèâàåìûõ êîìïîíåíò ñìåñè æèäêîñòåé u3 è u3 â òðóáå ïðè óñëîâèè, ÷òî ïåðåïàäû äàâëåíèé ki i-îé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè çàäàíû è ðàâíû
k = const > 0.
(1)
(2)
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ u3 è u3 íà îñíîâàíèè (100) è (106) èìååì ñëåäóþùóþ
ñèñòåìó óðàâíåíèé:
¶
µ
¶
µ
(1)
(2)
(2)
(1)
∂ 2 u3
∂ 2 u3
∂ 2 u3
∂ 2 u3
+
+
µ
+
+
µi1
i2
∂x2
∂y 2
∂x2
∂y 2
(108)
³
´
(2)
(1)
i+1
+ (−1)
c · u3 − u3
= −k, i = 1, 2,
êîòîðóþ äîïîëíèì ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïðèëèïàíèÿ (101) íà êîíòóðå C :
(i)
(i)
u3 |x2 +y2 =R2 = 0,
u3 |x2 +y2 =0 < ∞,
i = 1, 2.
(109)
Ñêëàäûâàÿ óðàâíåíèÿ (108), ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó:
(110)
∆w = −2k,
w|x2 +y2 =R2 = 0,
(111)
w|x2 +y2 =0 < ∞,
(2)
(1)
2
2
∂
∂
ãäå w = (µ11 + µ21 ) u3 + (µ12 + µ22 ) u3 , ∆ = ∂x
2 + ∂y 2 . Ýòà çàäà÷à èìååò
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
w (x, y) =
¢¢
k¡ 2 ¡ 2
R − x + y2 .
2
(112)
Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåõîäÿ â (110) ê ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, ââåäÿ íîâûå
íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå ïî ôîðìóëàì x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, ïðèõîäèì ê
ñëåäóþùåé êðàåâîé çàäà÷å:
d2 w 1 dw
+
= −2k,
dr2
r dr
(113)
w|r=R = 0, w|r=0 < ∞.
(114)
Ïåðåïèñàâ îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (113) â âèäå
µ
¶
d
dw
r
= −2kr,
dr
dr
(115)
ïîëó÷àåì îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ
k
w (r) = − r2 + C1 ln |r| + C2 ,
2
(116)
ãäå Ci , i = 1, 2 - ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Ïîäñòàâëÿÿ (116) â ãðàíè÷íûå
óñëîâèÿ (114) è âîçâðàùàÿñü ê äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì, â èòîãå, ïîëó÷àåì
ðåøåíèå (112) çàäà÷è (110)-(111).
Äàëüíåéøåå ðåøåíèå çàäà÷è (108)-(109) áóäåò ðàçäåëåíî íà äâà ýòàïà.
Ýòàï 1. Ïóñòü µ11 + µ21 6= 0. Òîãäà, èç (108) ñëåäóåò, ÷òî
(1)
u 3 (x, y) =
¡ 2 ¡ 2
¢¢ µ12 + µ22 (2)
k
u .
R − x + y2 −
2 (µ11 + µ21 )
µ11 + µ21 3
37
(117)
Ïîäñòàâèì (117) â ïåðâîå óðàâíåíèå (108) è ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó äëÿ
(2)
îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè u3 :
¡
¡
¢¢
(2)
(2)
∆u3 − Au3 = −B R2 − x2 + y 2 + C,
(2)
u3 |x2 +y2 =R2 = 0,
ãäå
A=c
δ
> 0,
∆
B=c
(2)
u3 |x2 +y2 =0 < ∞,
k
> 0,
2∆
∆ = µ11 µ22 − µ12 µ21 > 0,
íèå.
C=−
i = 1, 2,
(118)
(119)
k
(µ11 − µ21 ),
∆
δ = µ11 + µ12 + µ21 + µ22 > 0.
Ò.ê. ïîñòîÿííàÿ A > 0, òî çàäà÷à (118)-(119) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøå-
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (118)-(119) ïåðåéäåì ê ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
(r, ϕ). Ââåäåì íîâûå íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå ïî ôîðìóëàì x = r cos ϕ, y =
r sin ϕ è ïåðåïèøåì (118)-(119) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
(2)
(2)
¡
¢
d2 u 3
1 du3
(2)
+
− Au3 = −B R2 − r2 + C,
2
dr
r dr
(2)
u3 |r=R = 0,
(2)
u3 |r=0 < ∞,
i = 1, 2.
(120)
(121)
Îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (120) ÿâëÿåòñÿ ìîäèôèöèðîâàííûì óðàâíåíèåì Áåññåëÿ, åãî îáùåå ðåøåíèå èìååò ñëåäóþùèé âèä:
(2)
u3 (r) = C1 I0
³√
´
³√ ´ A(BR2 − Br2 − C) − 4B
Ar + C2 K0
Ar +
,
A2
(122)
R∞
P∞ (r2 /4)k
)
√
ãäå I0 (r) = k=0 (k!)2 è K0 (r) = 0 cos(rτ
dτ - ìîäèôèöèðîâàííûå ôóíêτ 2 +1
öèè Áåññåëÿ íóëåâîãî ïîðÿäêà ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà ñîîòâåòñòâåííî, Ci , i =
1, 2 - ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
Ðèñ. 5.2. Ãðàôèê ôóíêöèè I0 (r)
38
Ðèñ. 5.3. Ãðàôèê ôóíêöèè K0 (r)
Ïîäñòàâèì òåïåðü ðåøåíèå (122) â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (121), ïîëó÷èì
ðåøåíèå çàäà÷è (120)-(121):
³√ ´ A ¡BR2 − Br2 − C ¢ − 4B
AC + 4B
(2)
³
´
u3 (r) =
I0
Ar +
.
(123)
√
A2
A2 I0
AR
Èç ôîðìóë (117) è (123) íàõîäèì, ÷òî
¡
¢
(1)
u3 (r) = 2(µ11k+µ21 ) R2 − r2 −
µ
³√ ´ A BR2 −Br2 −C −4B ¶
(
)
µ12 +µ22
AC+4B
√
Ar +
.
− µ11 +µ21 A2 I AR I0
A2
)
0(
(124)
Âîçâðàùàÿñü ê äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì, â èòîãå, ïîëó÷èì ðåøåíèå çàäà÷è (108)-(109) â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå (ò.å. êîãäà µ11 + µ21 6= 0):
¡
¡
¢¢
(1)
u3 (x, y) = 2(µ11k+µ21 ) R2 − x2 + y 2 −
µ
´ A BR2 −B x2 +y2 −C −4B ¶ (125)
³p
(
(
) )
µ12 +µ22
AC+4B
2
2
A (x + y ) +
− µ11 +µ21 A2 I √AR I0
,
A2
)
0(
³p
´
(2)
2 + y2 ) +
√
u3 (x, y) = A2AC+4B
I
A
(x
0
I0 ( AR)
(126)
A(BR2 −B (x2 +y 2 )−C )−4B
+
.
2
A
Ýòàï 2. Ïóñòü µ11 + µ21 = 0. Òîãäà, µ12 + µ22 6= 0 (ïîñêîëüêó δ > 0). Èç
(112), â ýòîì ñëó÷àå ñëåäóåò, ÷òî
(2)
u 3 (x, y) =
¡ 2 ¡ 2
¢¢
k
R − x + y2 .
2 (µ12 + µ22 )
(127)
Ïîäñòàâèì (127) â ïåðâîå óðàâíåíèå (108), ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó äëÿ
(1)
îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè u3 :
¡
¡
¢¢
(1)
(1)
∆u3 − Au3 = −B R2 − x2 + y 2 + C,
(1)
u3 |x2 +y2 =R2 = 0,
(1)
u3 |x2 +y2 =0 < ∞,
39
i = 1, 2,
(128)
(129)
ãäå
A=
c
> 0,
µ11
B=
ck
> 0,
2µ11 (µ12 + µ22 )
C=
k µ12 − µ22
·
.
µ11 µ12 + µ22
Ðåøåíèå çàäà÷è (128)-(129) ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî ðåøåíèþ çàäà÷è
(120)-(121) (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííûõ A, B è C ). Ïåðåõîäÿ â (128)-(129) ê
ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, ïîëó÷àåì
³√ ´ A ¡BR2 − Br2 − C ¢ − 4B
AC + 4B
(1)
³√
´ I0
u3 (r) =
Ar +
.
(130)
A2
A2 I0
AR
Âîçâðàùàÿñü ê äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì, íàõîäèì ðåøåíèå çàäà÷è
(108)-(109) â ñëó÷àå, êîãäà µ11 + µ21 = 0:
³p
´ A ¡BR2 − B ¡x2 + y 2 ¢ − C ¢ − 4B
AC + 4B
(1)
³√
´ I0
u3 (x, y) =
A (x2 + y 2 ) +
,
A2
A2 I0
AR
(131)
¡ 2 ¡ 2
¢¢
k
(2)
2
u 3 (x, y) =
R − x +y
.
(132)
2 (µ12 + µ22 )
Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à (108)-(109) ïîëíîñòüþ ðåøåíà.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè â óðàâíåíèÿõ áàëàíñà èìïóëüñà ìû íå áóäåì
áðàòü â ðàñ÷åò ñëàãàåìûå, îòâå÷àþùèå çà îáìåí èìïóëüñîì ìåæäó ðàçëè÷íûìè ñîñòàâëÿþùèìè ðàññìàòðèâàåìîé ñìåñè æèäêîñòåé (ò.å. ñëàãàåìûå
¢
i+1 ¡ (2)
(−1)
c ~u − ~u1 , i = 1, 2), òî ðåøåíèå çàäà÷è (108)-(109) â ýòîì ñëó÷àå
èìååò ñëåäóþùèé âèä:
¢¢
k (µ22 − µ12 ) ¡ 2 ¡ 2
R − x + y2 ,
(133)
4∆
¢¢
k (µ11 − µ21 ) ¡ 2 ¡ 2
(2)
ū3 (x, y) =
R − x + y2 .
(134)
4∆
Ïðîâåäåì ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ðåçóëüòàòîâ äîñòàâëÿåìûõ ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëüþ ñìåñè è êëàññè÷åñêîé ìîäåëüþ, îïèñûâàþùåé òå÷åíèå âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå êðóãëîãî ïîïåðå÷íîãî
ñå÷åíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáå êîìïîíåíòû ñìåñè ôèçè÷åñêè íåðàçëè÷èìû,
ò.å. µ11 = µ22 = µ, µ12 = µ21 = 0. Òîãäà èìååì
¢¢
k ¡ 2 ¡ 2
(2)
(1)
(2)
(1)
u3 = u3 = ū3 = ū3 =
R − x + y2 .
(135)
4µ
(1)
ū3 (x, y) =
ßñíî, ÷òî êàðòèíà äâèæåíèÿ òàêîé ñìåñè íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò òå÷åíèÿ
âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ñ òåìè æå ñâîéñòâàìè. Òàêæå ñîõðàíÿþòñÿ
âñå êà÷åñòâåííûå çàâèñèìîñòè (ðàñõîä, ñðåäíÿÿ è ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü
äâèæåíèÿ, êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ è äð.) ïðèñóùèå êëàññè÷åñêîé ìîäåëè, îïèñûâàþùåé äâèæåíèå âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå êðóãëîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ.
Òåïåðü, âûÿñíèì âîïðîñ î âëèÿíèè íà ôèçè÷åñêóþ êàðòèíó òå÷åíèÿ
ñìåñè ñëàãàåìûõ, îòâåòñòâåííûõ çà îáìåí èìïóëüñîì ìåæäó åå ñîñòàâëÿþùèìè.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì çàäàäèì çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ âÿçêîñòè
µ11 = 0.1, µ12 = 0.02, µ21 = 0.01, µ22 = 0.3 (µ11 + µ21 6= 0); çíà÷åíèÿ ïåðåïàäà äàâëåíèÿ - k = 200; ðàäèóñ òðóáû - R = 1. Ïîñòðîèì ãðàôèêè ôóíêöèé
(i)
(i)
u3 , ū3 , i = 1, 2, èçìåíÿÿ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà c â ïðåäåëàõ îò 0.0001 äî 1.
40
(1)
(1)
- u3 , · · · - ū3
¯
¯
¯ (1)
(1) ¯
max ¯u3 − ū3 ¯ = 0.0641
[0;1]
Ðèñ. 5.4. c = 0.0001
41
(2)
(2)
- u3 , · · · - ū3
¯
¯
¯ (2)
(2) ¯
max ¯u3 − ū3 ¯ = 0.0219
[0;1]
Ðèñ. 5.5. c = 0.0001
(1)
(1)
- u3 , · · · - ū3
¯
¯
¯ (1)
(1) ¯
max ¯u3 − ū3 ¯ = 0.6403
[0;1]
Ðèñ. 5.6. c = 0.001
42
(2)
(2)
- u3 , · · · - ū3
¯
¯
¯ (2)
(2) ¯
max ¯u3 − ū3 ¯ = 0.2201
[0;1]
Ðèñ. 5.7. c = 0.001
(1)
(1)
- u3 , · · · - ū3
¯
¯
¯ (1)
(1) ¯
max ¯u3 − ū3 ¯ = 6.3
[0;1]
Ðèñ. 5.8. c = 0.01
43
(2)
(2)
- u3 , · · · - ū3
¯
¯
¯ (2)
(2) ¯
max ¯u3 − ū3 ¯ = 2.2
[0;1]
Ðèñ. 5.9. c = 0.01
(1)
(1)
- u3 , · · · - ū3
¯
¯
¯ (1)
(1) ¯
max ¯u3 − ū3 ¯ = 51.2
[0;1]
Ðèñ. 5.10. c = 0.1
44
(2)
(2)
- u3 , · · · - ū3
¯
¯
¯ (2)
(2) ¯
max ¯u3 − ū3 ¯ = 17.6
[0;1]
Ðèñ. 5.11. c = 0.1
(1)
(1)
- u3 , · · · - ū3
¯
¯
¯ (1)
(1) ¯
max ¯u3 − ū3 ¯ = 178.4
[0;1]
Ðèñ. 5.12. c = 1
45
(2)
(2)
- u3 , · · · - ū3
¯
¯
¯ (2)
(2) ¯
max ¯u3 − ū3 ¯ = 61.3
[0;1]
Ðèñ. 5.12. c = 1
Ðàññìîòðèì òåïåðü âòîðîé ñëó÷àé, êîãäà µ11 + µ21 = 0. Íåòðóäíî ïðî(2)
(2)
âåðèòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëû äëÿ u3 è ū3 èäåíòè÷íû. Ïîýòîìó,
(2)
(2)
ãðàôèêè ôóíêöèé u3 , ū3 ñòðîèòü íå áóäåì. Çàäàäèì çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ âÿçêîñòè µ11 = 0.1, µ12 = 0.02, µ21 = −0.1, µ22 = 0.3 (µ11 + µ21 = 0);
çíà÷åíèÿ ïåðåïàäà äàâëåíèÿ - k = 200; ðàäèóñ òðóáû - R = 1. Ïîñòðîèì ãðà(1)
(1)
ôèêè ôóíêöèé u3 , ū3 , èçìåíÿÿ ñíîâà çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà c â ïðåäåëàõ îò
0.0001 äî 1.
(1)
(1)
- u3 , · · · - ū3
¯
¯
¯ (1)
(1) ¯
max ¯u3 − ū3 ¯ = 0.0233
[0;1]
Ðèñ. 5.14. c = 0.0001
46
(1)
(1)
- u3 , · · · - ū3
¯
¯
¯ (1)
(1) ¯
max ¯u3 − ū3 ¯ = 0.2339
[0;1]
Ðèñ. 5.15. c = 0.001
(1)
(1)
- u3 , · · · - ū3
¯
¯
¯ (1)
(1) ¯
max ¯u3 − ū3 ¯ = 2.3032
[0;1]
Ðèñ. 5.16. c = 0.01
47
(1)
(1)
- u3 , · · · - ū3
¯
¯
¯ (1)
(1) ¯
max ¯u3 − ū3 ¯ = 19.9241
[0;1]
Ðèñ. 5.17. c = 0.1
(1)
(1)
- u3 , · · · - ū3
¯
¯
¯ (1)
(1) ¯
max ¯u3 − ū3 ¯ = 83.9740
[0;1]
Ðèñ. 5.18. c = 1
Èç äàííûõ ãðàôèêîâ âèäíî, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè ïàðàìåòðà c, ìàêñèìóì
(i)
(i)
ðàçíîñòè ïî ìîäóëþ ìåæäó u3 è ū3 âîçðàñòàåò â îáîèõ ñëó÷àÿõ. Òàêèì
îáðàçîì, â ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ñìåñè, ñëàãàåìûå îòâåòñòâåííûå çà îáìåí èìïóëüñîì ìåæäó åå ñîñòàâëÿþùèìè ñïîñîáíû ñóùåñòâåííî âëèÿòü íà
ôèçè÷åñêóþ êàðòèíó òå÷åíèÿ.
48
5.1 Óïðàæíåíèÿ
1.  êëàññå ãëàäêèõ ôóíêöèé äîêàçàòü åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è (108)(109).
2. Ðàññ÷èòàòü îáúåìíûé ðàñõîä, ñðåäíþþ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, ìàêñèìàëüíóþ
ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, ñèëó òðåíèÿ äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé â ýòîì ðàçäåëå ìîäåëè
ñìåñè.
3. Íàéòè åùå îäèí ñïîñîá ðåøåíèÿ çàäà÷è îá óñòàíîâèâøåìñÿ òå÷åíèè äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé â êðóãëîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå. Ñðàâíèòü ðåøåíèÿ.
6 Êðóãîâîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó
äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè
Áóäåì ðàññìàòðèâàåìóþ ñðåäó ñ÷èòàòü íåñæèìàåìîé, ò.å. ïðèìåì ÷òî
ρi = const > 0,
i = 1, 2
(136)
è äâèæåíèå ïðåäïîëàãàòü óñòàíîâèâøèìñÿ (ñòàöèîíàðíûì)
∂~u(i)
= 0,
∂t
i = 1, 2.
(137)
Ïðè ýòèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ, óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè (45) è áàëàíñà èìïóëüñà (49) ïðèìóò ñîîòâåòñòâåííî âèä
(i)
(i)
(i)
∂u1
∂u2
∂u3
+
+
= 0, i = 1, 2,
(138)
∂x
∂y
∂z
Ã
!
(i)
(i)
(i)
∂pi
(2)
(i)
(i) ∂u1
(i) ∂u1
(1)
(i) ∂u1
=−
+ u2
+ u3
+µi1 ∆u1 +µi2 ∆u1 +J1 , i = 1, 2,
ρi u1
∂x
∂y
∂z
∂x
(139)
Ã
!
(i)
(i)
(i)
∂pi
(i) ∂u2
(i) ∂u2
(i) ∂u3
(1)
(2)
(i)
ρi u1
+ u2
+ u3
=−
+µi1 ∆u2 +µi2 ∆u2 +J2 , i = 1, 2,
∂x
∂y
∂z
∂y
(140)
!
Ã
(i)
(i)
(i)
∂pi
(i) ∂u3
(i) ∂u3
(1)
(i) ∂u3
(2)
(i)
+ u2
+ u3
=−
+µi1 ∆u3 +µi2 ∆u3 +J3 , i = 1, 2,
ρi u1
∂x
∂y
∂z
∂z
(141)
³
´
(i)
(2)
(1)
i+1
∂2
∂2
∂2
ãäå Jk = (−1)
c uk − uk , k = 1, 2, 3, ∆ = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 .
Îòíîñèòåëüíî êîýôôèöèåíòîâ âÿçêîñòè µij , i, j = 1, 2 ñíîâà ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî µ11 > 0, µ22 > 0, 4µ11 µ22 − (µ12 + µ21 )2 > 0.
 äàëüíåéøåì, ïîñêîëüêó áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êðóãîâîå äâèæåíèå
äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè, òî íàì áóäåò óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíèÿìè (138)-(141)
49
â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z :
(i)
(i)
(i)
(i)
∂ur
ur
1 ∂uϕ
∂uz
+
+
+
= 0,
∂r
r
r ∂ϕ
∂z
(142)
i = 1, 2,
·
¸
µ
2
u(i) ∂u(i)
(u(i) )
(i) ∂u(i)
(i) ∂u(i)
(1)
u(1)
i
ρi ur ∂zr + rϕ ∂ϕr + uz ∂zr − ϕr
=
µ
+ ∂p
∆ur − rr2 −
i1
∂r
µ
¶
³
´
(i)
(2)
(2)
(1)
u(2)
i+1
2 ∂uϕ
r
+µi2 ∆ur − r2 − r2 ∂ϕ + (−1)
c ur − ur , i = 1, 2,
¸
µ
·
(i)
(i)
(i)
(i)
u(i)
u(i)
(i) ∂uϕ
(1)
(i) ∂uϕ
ϕ ∂uϕ
z uϕ
1 ∂pi
+ r ∂ϕ = µi1 ∆uϕ −
ρi ur ∂z + r ∂ϕ + uz ∂z − r
µ
¶
³
´
(i)
u(2)
(2)
(2)
(1)
i+1
ϕ
2 ∂ur
+µi2 ∆uϕ − r2 + r2 ∂ϕ + (−1)
c uϕ − uϕ , i = 1, 2,
¸
·
u(i) ∂u(i)
(i) ∂u(i)
(i) ∂u(i)
ρi uz ∂rz + rϕ ∂ϕz + uz ∂zz +
´
³
(1)
(2)
i+1
+ (−1)
c uz − uz , i = 1, 2,
2
2
(1)
2 ∂uϕ
r 2 ∂ϕ
(143)
u(1)
ϕ
r2
+
(1)
2 ∂ur
r 2 ∂ϕ
(144)
∂pi
∂z
(1)
(2)
= µi1 ∆uz + µi2 ∆uz +
(145)
2
∂
1 ∂
1 ∂
∂
ãäå ∆ = ∂r
2 + r ∂r + r 2 ∂ϕ2 + ∂z 2 .
Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü êðóãîâîå äâèæåíèå ñìåñè ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè (ñì. Ðèñ. 1) ñ÷èòàÿ, ÷òî òðàåêòîðèè âñåõ ÷àñòèö
ñðåäû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äóãè êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé, òî åñòü
u(i)
r = 0,
u(i)
z = 0,
u(i)
ϕ 6= 0,
i = 1, 2.
(146)
Ðèñ. 6.1. Ê òå÷åíèþ ñìåñè âÿçêèõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè
50
¶
+
¶
+
Ïðè ýòîì ïðåäïîëîæåíèè èç óðàâíåíèé (142) óðàâíåíèé íåñæèìàåìîñòè ïîëó÷èì:
(i)
∂uϕ
= 0, i = 1, 2.
(147)
∂ϕ
Òàêèì îáðàçîì, ñêîðîñòü êàæäîé ÷àñòèöû âäîëü åå òðàåêòîðèè îñòàåòñÿ íåèçìåííîé. Ýòà ñêîðîñòü ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ëèøü ïðè ïåðåõîäå
îò
ò.å. â çàâèñèìîñòè îò ïåðåìåííûõ r è z
³ îäíîé ÷àñòèöû ê äðóãîé,
´
(i)
(i)
uϕ = uϕ (r, z) , i = 1, 2 .
Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ (143)-(145) ïðè èñïîëüçîâàíèè òîæäåñòâ
(146), (147) ïðèíèìàþò ñëåäóþùèé âèä:
³
(i)
uϕ
´2
∂pi
= ρi
, i = 1, 2,
∂r
r
µ
¶
µ
u(1)
(1)
(2)
∂pi
ϕ
+ µi2 r ∆uϕ −
∂ϕ = µi1 r ∆uϕ − r 2
´
³
(1)
(2)
i+1
+ (−1)
cr uϕ − uϕ , i = 1, 2,
∂pi
= 0,
∂z
2
(148)
u(2)
ϕ
r2
¶
+
i = 1, 2,
(149)
(150)
2
∂
1 ∂
∂
ãäå ∆ = ∂r
2 + r ∂r + ∂z 2 .
Ïóñòü âíóòðåííèé öèëèíäð èìååò ðàäèóñ b è âðàùàåòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω 1 , à âíåøíèé èìååò ðàäèóñ à è âðàùàåòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω 2
(ñì. Ðèñ. 1). Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïðèëèïàíèÿ ÷àñòèö æèäêîñòè ê ñòåíêàì
öèëèíäðîâ áóäóò èìåòü âèä
¯
¯
¯
(i) ¯
u(i)
=
ω
b,
u
= ω2 a, i = 1, 2.
(151)
¯
1
ϕ
ϕ ¯
r=b
r=a
Èç óðàâíåíèé (150) ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî
pi = pi (r, ϕ) ,
i = 1, 2.
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèÿ (148) ïî ïåðåìåííîé ϕ, ïîëó÷èì
∂ 2 pi
= 0,
∂r∂ϕ
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
÷òî
∂pi
∂pi
=
(ϕ) ,
∂ϕ
∂ϕ
i = 1, 2.
i = 1, 2.
(152)
(153)
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì òåïåðü óðàâíåíèå (148) ïî ïåðåìåííîé z, ïîëó÷àåì
(i)
∂uϕ
= 0, i = 1, 2.
(154)
∂z
Èç ïîñëåäíèõ ñîîòíîøåíèé è (147) âûòåêàåò, ÷òî ñêîðîñòü äâèæåíèÿ êîìïîíåíò ñìåñè åñòü ôóíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîé r, òî åñòü
(i)
u(i)
ϕ = uϕ (r) ,
51
i = 1, 2.
Äàëåå ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ (149). Èõ ëåâàÿ ÷àñòü çàâèñèò òîëüêî îò
ϕ, à ïðàâàÿ ÷àñòü îò ýòîé ïåðåìåííîé íå çàâèñèò. Ñëåäîâàòåëüíî, îáå ÷àñòè
ðàâíû îäíîé è òîé æå ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå, òî åñòü
∂pi
= Ki ,
∂ϕ
(155)
i = 1, 2.
Èç (155) âûòåêàåò, ÷òî pi = Ki ϕ + Ri (r), i = 1, 2, íî òîãäà äàâëåíèå i-îé
êîìïîíåíòû ñìåñè ïðè èçìåíåíèè óãëà ϕ áóäåò ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèåé. Äëÿ
óñòðàíåíèè ýòîé ìíîãîçíà÷íîñòè íóæíî ïîëîæèòü Ki = 0, i = 1, 2.
(i)
Óðàâíåíèÿ (149) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè uϕ i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè
i = 1, 2, ïðè ó÷åòå ðàâåíñòâ (154) è (155) òîãäà áóäóò ïðåäñòàâëÿòüñÿ â âèäå
¶
¶
µ µ
¶
¶
µ µ
du(1)
u(1)
du(2)
u(2)
d
d
r drϕ
− ϕr
+ µi2 dr
r drϕ
− ϕr
+
µi1 dr
(156)
³
´
(2)
(1)
i+1
+ (−1)
cr uϕ − uϕ = 0,
i = 1, 2
èëè
d
µi1 dr
h
´i
´i
h
³
(1)
(2)
d
1 d
+ µi2 dr
+
ruϕ
ru
ϕ
r dr
´
³
(1)
(2)
c uϕ − uϕ = 0, i = 1, 2.
1 d
r dr
i+1
+ (−1)
³
Ïåðåïèøåì ñèñòåìó (157) â âèäå
! µ
¶Ã
µ
(1)
−c
A[uϕ ]
µ11 µ12
+
(2)
c
µ21 µ22
A[uϕ ]
c
−c
¶Ã
(1)
uϕ
(2)
uϕ
!
µ
=
(157)
0
0
¶
,
(158)
£
¤
d 1 d
ãäå A[v] =
(rv)
dr
r
dr
µ
¶ . Óìíîæèì îáå ÷àñòè (158) íà ìàòðèöó, îáðàòíóþ ê
µ11 µ12
ìàòðèöå
, ïîëó÷èì
µ21 µ22
!
Ã
µ
¶ Ã (1) ! µ ¶
(1)
c
0
A[uϕ ]
uϕ
−µ22 − µ12 µ22 + µ12
+
=
, (159)
(2)
(2)
0
µ21 + µ11 −µ21 − µ11
∆
A[uϕ ]
uϕ
ãäå ∆ = µ11 µ22 − µ12 µ21 > 0. Âû÷èòàÿ òåïåðü èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (159)
âòîðîå, ïîëó÷àåì îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
A[v] −
(1)
cδ
v = 0,
∆
(160)
(2)
ãäå v = uϕ − uϕ . Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ôóíêöèè v , ñ ó÷åòîì (151), èìåþò
âèä
v|r=b = 0, v|r=a = 0.
(161)
Çàäà÷à (160), (161) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå è íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî
(1)
(2)
îíî ÿâëÿåòñÿ íóëåâûì, ò.å. v(r) = 0, à çíà÷èò uϕ (r) = uϕ (r). Îòñþäà ñðàçó æå ñëåäóåò, ÷òî íà ïðîöåññ äâèæåíèÿ äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ
íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè ñîâåðøåííî íå âëèÿåò îáìåí èìïóëüñîì ìåæäó ñîñòàâëÿþùèìè ñìåñè è äëÿ îïðå(i)
äåëåíèÿ ñêîðîñòè uϕ (r) i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé
çàäà÷å:
¯
¯
(i) ¯
(i) ¯
A[u(i)
]
=
0,
u
=
ω
b,
u
= ω2 a, i = 1, 2.
(162)
¯
1
ϕ
ϕ
ϕ ¯
r=b
r=a
52
Çàäà÷à (162) îáëàäàåò åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì, êîòîðîå, íåòðóäíî ïðîâåðèòü, èìååò âèä
·
¸
¡
¢
1
(ω1 − ω2 ) a2 b2
(i)
2
2
uϕ
ω
a
−
ω
b
r
+
,
i = 1, 2.
(163)
(r) = 2
2
1
a − b2
r
Èç ïîñëåäíèõ ñîîòíîøåíèé âèäíî, ÷òî ñêîðîñòè äâèæåíèÿ îáåèõ êîìïîíåíò
ñìåñè ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè îäèíàêîâû è çàâèñÿò òîëüêî
îò ðàäèóñîâ è óãëîâûõ ñêîðîñòåé âðàùåíèÿ öèëèíäðîâ.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ äàâëåíèÿ i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè èìååì èç (148) ñëåäóþùóþ ôîðìóëó:
Z
pi (r) = ρi
(i)
(uϕ (r))2
dr + Ci ,
r
îòêóäà è èç (164) ïîëó÷àåì, ÷òî
h¡
¢2 2
ρi
pi (r) = (a2 −b
ω2 a2 − ω1 b2 r2 +
2
2)
¡
¢
+2a2 b2 (ω1 − ω2 ) ω2 a2 − ω1 b2 ln r −
i = 1, 2,
(ω1 −ω2 )2 a4 b4
2r 2
i
+ Ci , i = 1, 2.
(164)
(165)
Äàëåå îïðåäåëèì êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå ñèëû âÿçêîñòè i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè äëÿ êðóãîâîãî äâèæåíèÿ. Ïîñêîëüêó êîìïîíåíòû òåíçîðà ñêîðîñòåé
äåôîðìàöèé â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìåþò âèä
1 ∂vϕ
vr
∂vz
∂vr
, Dϕϕ =
+ , Dzz =
,
∂r
r ∂ϕ
r
∂z
µ
¶
1 1 ∂vr
∂ ³ vϕ ´
Drϕ =
+r
,
2 r ∂ϕ
∂r r
µ
¶
µ
¶
1 ∂vϕ
1 ∂vz
1 ∂vz
∂vr
=
+
, Dzr =
+
,
2 ∂z
r ∂ϕ
2 ∂r
∂z
Drr =
Dϕz
òî èç ôîðìóëû σ (i) = 2
2
P
j=1
(166)
µij D(~u(j) ), i = 1, 2 (ïåðåïèñàííîé â öèëèíäðè-
÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò), â ñèëó (146) è (166), ñëåäóåò, ÷òî ñèëà âÿçêîñòè
i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè ðàâíà
(i)
σrϕ
=−
2
a2 b2 (ω1 − ω2 )
(µi1 + µi2 )
,
2
r
a2 − b2
i = 1, 2.
(167)
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñèëû âÿçêîñòè âñåé ñìåñè èìååì òîãäà ôîðìóëó
(1)
(2)
σrϕ = σrϕ
+ σrϕ
=−
2δ a2 b2 (ω1 − ω2 )
,
r2
a2 − b2
(168)
ãäå δ = µ22 + µ12 + µ21 + µ11 > 0.
Òåïåðü ïîäñ÷èòàåì ìîìåíò ñèë âÿçêîñòè i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè, ðàñïðåäåë¼ííûõ ïî êàêîé-ëèáî îêðóæíîñòè ðàäèóñà r, îòíîñèòåëüíî îñè ñèììåòðèè.
Îáîçíà÷àÿ ýòîò ìîìåíò ÷åðåç Li , áóäåì èìåòü:
Z 2π
a2 b2 (ω1 − ω2 )
(i) 2
, i = 1, 2.
(169)
Li =
σrϕ
r dϕ, = −4π (µi1 + µi2 )
a2 − b2
0
53
Ìîìåíò ñèë âÿçêîñòè äëÿ âñåé ñìåñè òîãäà ïðèìåò âèä
L = L1 + L2 = −4πδ
a2 b2 (ω1 − ω2 )
.
a2 − b2
(170)
Òàêèì îáðàçîì ìîìåíò ñèë âÿçêîñòè, ðàñïðåäåë¼ííûõ ïî ëþáîé îêðóæíîñòè, îòíîñèòåëüíî îñè ñèììåòðèè íå çàâèñèò îò ðàäèóñà ýòîé îêðóæíîñòè.
Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè ìû âîçüì¼ì ñëîé, îãðàíè÷åííûé äâóìÿ îêðóæíîñòÿìè,
òî ìîìåíòû ñèë âÿçêîñòè, ðàñïðåäåë¼ííûõ ïî ýòèì îêðóæíîñòÿì, áóäóò ðàâíû ïî âåëè÷èíå, íî îáðàòíû ïî çíàêó (â ñèëó ðàçíûõ íàïðàâëåíèé íîðìàëè),
ò.å. äëÿ ìîìåíòîâ ñèë âÿçêîñòè áóäåò âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ.
Èòàê, ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à îá óñòàíîâèâøåìñÿ êðóãîâîì äâèæåíèè äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè ïîëíîñòüþ ðåøåíà.
Çàìåòèì , ÷òî ôîðìóëà (164) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè, ôîðìóëà (165) äëÿ äàâëåíèÿ i-îé ñîñòàâëÿþùåé (ñ ρ1 = ρ2 = ρ) è
ôîðìóëû (167), (169) äëÿ ñèëû âÿçêîñòè è ìîìåíòà ñèë âÿçêîñòè i-îé êîìïîíåíòû (ñ µ11 = µ22 = µ, µ12 = µ21 = 0), êîòîðûå îïèñûâàþò äâèæåíèå
äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ ñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè (êîãäà îáå êîìïîíåíòû ôèçè÷åñêè íåðàçëè÷èìû)
ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò ñ ôîðìóëàìè, îïèñûâàþùèìè àíàëîãè÷íîå äâèæåíèå
âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. Ñîîòâåòñòâåííî äàííîé ìîäåëè ñìåñè â ýòîì
ñëó÷àå ïðèñóùè âñå ôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè òå÷åíèÿ, èìåþùèåñÿ ó ìîäåëè Íàâüå-Ñòîêñà, îïèñûâàþùåé ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè.
Äàëåå, çàäàäèì çíà÷åíèÿ ðàäèóñîâ öèëèíäðîâ b = 1, a = 2, ω1 =
(i)
10, ω2 = 20 è ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèé uϕ (r), i = 1, 2 (ñì. Ðèñ. 2).
54
(i)
Ðèñ. 6.2. uϕ (r) = 13 (70r −
40
),
r
i = 1, 2
Èç äàííîãî ðèñóíêà âèäíî, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ñ óâåëè÷åíèåì
ðàäèóñà r óâåëè÷èâàåòñÿ ñêîðîñòü êðóãîâîãî äâèæåíèÿ êîìïîíåíò ñìåñè.
Ðàññìîòðèì äàëåå íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè. Óìåíüøàÿ çíà÷åíèå ðàäèóñà âíóòðåííåãî öèëèíäðà b äî íóëÿ, ïîëó÷èì èç (164), (165), (168) è (170):

(i)

uϕ (r) = ω2 r,


pi (r) = 12 ρi ω22 r2 + Ci ,
(171)

σrϕ = 0,


L = 0.
Ïîëó÷åííûå ôîðìóëû (171) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðåøåíèå çàäà÷è î âðàùåíèè
êðóãîâîãî öèëèíäðà, íàïîëíåííîãî äâóõêîìïîíåíòíîé ñìåñüþ âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé. Òàêèì îáðàçîì, ïðè óñòàíîâèâøåìñÿ äâèæåíèè ñìåñü
âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé âíóòðè öèëèíäðà âðàùàåòñÿ êàê àáñîëþòíî
òâåðäîå òåëî. Äëÿ ïîääåðæàíèÿ ðàâíîìåðíîãî âðàùåíèÿ öèëèíäðà ñî ñìåñüþ
âÿçêèõ æèäêîñòåé íå òðåáóåòñÿ ìîìåíò âíåøíèõ ñèë. Îòìåòèì åùå, ÷òî åñëè
ïîëîæèòü ρ1 = ρ2 = ρ, òî ôîðìóëû (171) ñîâïàäàþò ñ ôîðìóëàìè, îïèñûâàþùèìè àíàëîãè÷íîå äâèæåíèå âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè.
×òîáû ïîëó÷èòü ðåøåíèå çàäà÷è î âðàùåíèè êðóãëîãî öèëèíäðà â áåçãðàíè÷íîé ñìåñè âÿçêèõ æèäêîñòåé, íåîáõîäèìî â ôîðìóëàõ (164), (165),
(168) è (170) âíà÷àëå ïîëîæèòü
ω2 = 0,
55
à çàòåì ðàäèóñ âíåøíåãî öèëèíäðà a óâåëè÷èâàòü äî áåñêîíå÷íîñòè.  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì:

(i)

uϕ (r) = ωr1 b2 ,



ρ ω 2 b4
pi (r) = Ci − i2r12 ,
(172)
2

σrϕ = − 2δbr2ω1 ,



L = −4πδω1 b2 .
Äëÿ ïîääåðæàíèÿ ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ öèëèíäðà â íåîãðàíè÷åííîé ñìåñè æèäêîñòåé, íåîáõîäèìî ïðèëîæèòü ìîìåíò âíåøíèõ ñèë, ïðîïîðöèîíàëüíûé óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ öèëèíäðà, êîýôôèöèåíòó âÿçêîñòè δ ñìåñè
è êâàäðàòó ðàäèóñà öèëèíäðà.
 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå (170) äëÿ ìîìåíòà ñèë âÿçêîñòè
ñìåñè ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ â ïðèáîðàõ ñ êîíöåíòðè÷åñêèìè öèëèíäðàìè,
ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ âÿçêîñòè æèäêîñòåé.
Èçìåðÿÿ êàêèì ëèáî ñïîñîáîì ìîìåíò ñèë âÿçêîñòè ñìåñè, ìû ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü ïî ýòîé ôîðìóëå ïîäñ÷èòàòü çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà âÿçêîñòè δ
ñìåñè, à òåì ñàìûì óçíàòü (çíàÿ µ11 è µ22 êîýôôèöèåíòû âÿçêîñòè êàæäîé
êîìïîíåíòû ñìåñè) çíà÷åíèå µ12 + µ21 .
6.1 Óïðàæíåíèÿ
1. Ñôîðìóëèðîâàòü çàäà÷ó î âðàùåíèè êðóãîâîãî öèëèíäðà, íàïîëíåííîãî
äâóõêîìïîíåíòíîé ñìåñüþ âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé. Íàéòè åå ðåøåíèå.
2. Ñôîðìóëèðîâàòü çàäà÷ó î âðàùåíèè êðóãëîãî öèëèíäðà â áåçãðàíè÷íîé
ñìåñè âÿçêèõ æèäêîñòåé. Íàéòè åå ðåøåíèå.
56