Тема I. Термодинамика молекулярных газов. Влияние

2009-2010 ó÷. ãîä. Ôàêóëüòåò ýëåêòðîíèêè.
Òåðìîäèíàìèêà è ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà (Ôèçèêà 5)
(çàäàíèÿ ïî êóðñîâîé ðàáîòå)
Òåìà I. Òåðìîäèíàìèêà ìîëåêóëÿðíûõ ãàçîâ.
Âëèÿíèå ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé.
Òåîðåòè÷åñêàÿ ÷àñòü:
1. Ìîäåëü áîëüöìàíîâñêîãî ãàçà. Îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè ìîäåëè.
2. Âûâîä âûðàæåíèé äëÿ îñíîâíûõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ âåëè÷èí áîëüöìàíîâñêîãî ãàçà:
F (T, V, N )
(Ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ)
G(T, p, N )
(Òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë Ãèááñà)
U (T, V, N ) è U (T, p, N )
(Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ)
S(T, V, N ) è S(T, p, N )
(Ýíòðîïèÿ)
µ(T, V, N ) è µ(T, p, N )
(Õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë)
CV (T, V, N ) è Cp (T, V, N )
(Òåïëîåìêîñòè)
3. Âûâîä ôîðìóëû äëÿ âêëàäà ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé â ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ è òåïëîåìêîñòü
CV ìîëåêóëÿðíîãî ãàçà.
Ðàñ÷åòíàÿ ÷àñòü:
Âàðèàíò Ià. Îñíîâíîé ýëåêòðîííûé òåðì ìîëåêóëû NO åñòü äóïëåò (äâà áëèçêî ðàñïîëîæåííûõ
óðîâíÿ ýíåðãèè), ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ñîñòàâëÿåò ∆ = 0, 0153 ÝÂ. Îáà óðîâíÿ äóïëåòà
äâóêðàòíî âûðîæäåíû.
1) Îöåíèòü òåìïåðàòóðó Týë , ïðè êîòîðîé kTýë ≈ ∆. Êàêîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò ýòà òåìïåðàòóðà?
2) Âûâåñòè ôîðìóëó äëÿ âêëàäà ýëåêòðîííîãî äóïëåòà Fýë â ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ ãàçà.
3) Âûâåñòè ôîðìóëó äëÿ âêëàäà ýëåêòðîííîãî äóïëåòà Cýë â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçà.
4) Âûâåñòè è îáñóäèòü ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ Fýë è Cýë â ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ T Týë
è T Týë .
5) Îöåíèòü âêëàä ýëåêòðîííîãî äóïëåòà â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ïðè êîìíàòíûõ òåìïåðàòóðàõ
T ≈ 20 0 C.
6) Ïîñòðîèòü è îáñóäèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè Cýë îò òåìïåðàòóðû. (Ãðàôèê ñòðîèòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìïüþòåðà).
Äëÿ íàãëÿäíîñòè ñëåäóåò ñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè áåçðàçìåðíîé òåïëîåìêîñòè
Cýë /R (R ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ) îò áåçðàçìåðíîé òåìïåðàòóðû T /Týë .
Âàðèàíò I á. Îñíîâíîé ýëåêòðîííûé òåðì ìîëåêóëû O2 òðåõêðàòíî âûðîæäåí (ïî çíà÷åíèÿì ïðîåêöèè ñïèíà ìîëåêóëû), à ïåðâûé âîçáóæäåííûé óðîâåíü ýíåðãèè ýëåêòðîíîâ (äâóêðàòíî
âûðîæäåííûé) îòäåëåí îò îñíîâíîãî òåðìà ùåëüþ ∆E = 0, 974 ÝÂ.
1) Îöåíèòü òåìïåðàòóðó Týë , ïðè êîòîðîé kTýë ≈ ∆E . Êàêîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò ýòà
òåìïåðàòóðà?
2) Âûâåñòè ôîðìóëó äëÿ âêëàäà âîçáóæäåííîãî ýëåêòðîííîãî óðîâíÿ Uýë âî âíóòðåííþþ ýíåðãèþ ãàçà.
3) Âûâåñòè ôîðìóëó äëÿ âêëàäà âîçáóæäåííîãî ýëåêòðîííîãî óðîâíÿ Cýë â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçà.
4) Âûâåñòè è îáñóäèòü ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ Uýë è Cýë â ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ T Týë
è T Týë .
5) Îöåíèòü âêëàä âîçáóæäåííîãî ýëåêòðîííîãî óðîâíÿ â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ïðè êîìíàòíûõ
òåìïåðàòóðàõ T ≈ 20 0 C.
6) Èçîáðàçèòü è îáñóäèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè Cýë îò òåìïåðàòóðû. (Ãðàôèê ñòðîèòñÿ ñ
èñïîëüçîâàíèåì êîìïüþòåðà)
Äëÿ íàãëÿäíîñòè ñëåäóåò ñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè áåçðàçìåðíîé òåïëîåìêîñòè
Cýë /R (R ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ) îò áåçðàçìåðíîé òåìïåðàòóðû T /Týë .
Óêàçàíèå:
Óêàçàíèå:
1
Òåìà II. Òåðìîäèíàìèêà ìîëåêóëÿðíûõ ãàçîâ.
Âëèÿíèå âðàùåíèÿ ìîëåêóë.
Òåîðåòè÷åñêàÿ ÷àñòü:
1. Ìîäåëü áîëüöìàíîâñêîãî ãàçà. Îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè ìîäåëè.
2. Âûâîä âûðàæåíèé äëÿ îñíîâíûõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ âåëè÷èí áîëüöìàíîâñêîãî ãàçà:
F (T, V, N )
G(T, p, N )
U (T, V, N ) è U (T, p, N )
S(T, V, N ) è S(T, p, N )
µ(T, V, N ) è µ(T, p, N )
CV (T, V, N ) è Cp (T, V, N )
(Ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ)
(Òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë Ãèááñà)
(Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ)
(Ýíòðîïèÿ)
(Õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë)
(Òåïëîåìêîñòè)
3. Âûâîä ôîðìóëû äëÿ âêëàäà âðàùåíèÿ ìîëåêóë â ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ è òåïëîåìêîñòü CV
ìîëåêóëÿðíîãî ãàçà.
Ðàñ÷åòíàÿ ÷àñòü:
Âàðèàíò II à.
Ýêñïåðèìåíòàëüíîå çíà÷åíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé òåìïåðàòóðû Tr äëÿ âðàùåíèé ìîëåêóëû HD
(H è D èçîòîïû âîäîðîäà) ñîñòàâëÿåò Tr = 64 o K.
1) Îöåíèòü ñ ïîìîùüþ ýêñïåðèìåíòàëüíîãî çíà÷åíèÿ Tr ìîìåíò èíåðöèè ìîëåêóëû HD è ðàâíîâåñíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìè â ìîëåêóëå.
2) Âûâåñòè ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ âêëàäà âðàùåíèé ìîëåêóë â ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ ãàçîîáðàçíîãî HD â ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ T Tr è Tr Tr .
3) Âûâåñòè è îáñóäèòü ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ âêëàäà âðàùåíèé ìîëåêóë Câðàù â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçîîáðàçíîãî HD â ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ T Tr è Tr Tr .
4) Îöåíèòü âêëàä âðàùåíèé ìîëåêóë â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçà ïðè êîìíàòíûõ òåìïåðàòóðàõ T ≈ 20 0 C.
5) Ïîñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè Câðàù îò òåìïåðàòóðû, ó÷èòûâàÿ â ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììå
äëÿ âðàùåíèé çíà÷åíèÿ âðàùàòåëüíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà îò J = 0 äî J = 5. (Ãðàôèê ñòðîèòñÿ
ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìïüþòåðà). Ñ êàêîé òî÷íîñòüþ âîñïðîèçâîäèòñÿ ïðè ýòîì ïðåäåëüíûé
êëàññè÷åñêèé ðåçóëüòàò äëÿ Câðàù ?
Äëÿ íàãëÿäíîñòè ñëåäóåò ñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè áåçðàçìåðíîé òåïëîåìêîñòè
Câðàù /R (R ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ) îò áåçðàçìåðíîé òåìïåðàòóðû T /Tr .
Âàðèàíò II á. Ìîëåêóëà ìåòàíà CH èìååò ôîðìó òåòðàýäðà è îòíîñèòñÿ ê òèïó øàðîâîãî
âîë÷êà (âñå òðè ãëàâíûõ ìîìåíòà èíåðöèè4 ìîëåêóëû îäèíàêîâû). Âðàùàòåëüíûå óðîâíè òàêîé ìî~
J(J + 1), ãäå I îáùåå çíà÷åíèå òðåõ ãëàâíûõ ìîìåíòà èíåðöèè,
ëåêóëû äàþòñÿ ôîðìóëîé ε = 2I
J = 0, 1, 2, . . . âðàùàòåëüíîå êâàíòîâîå ÷èñëî. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå çíà÷åíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé
òåìïåðàòóðû äëÿ âðàùåíèé ìîëåêóëû ìåòàíà ñîñòàâëÿåò Tr = 50 o K. Ñïèí ÿäðà C ðàâåí íóëþ, îäíàêî ñïèí ÿäðà H îòëè÷åí îò íóëÿ è ðàâåí s = 1/2 (â åäèíèöàõ
~). Òàêèì îáðàçîì, ïîëíûé ÿäåðíûé
ñïèí ìîëåêóëû CH4 ìîæåò áûòü ðàâåí Sÿä = 0, 1, 2. Êàê ïîêàçûâàåò êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèé àíàëèç, äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ J ñóùåñòâóåò îïðåäåëåííîå ÷èñëî êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ñ ðàçëè÷íûìè
çíà÷åíèÿìè ïîëíîãî ÿäåðíîãî ñïèíà. Íèæå ïðèâîäÿòñÿ ýòè ÷èñëà äëÿ ïåðâûõ òðåõ çíà÷åíèé J :
Óêàçàíèå:
2
J
Ïîëíûé ÿäåðíûé ñïèí
J =0
J =1
J =2
Sÿä :
0
−
−
2
1
−
1
1
2
1
−
−
1) Îöåíèòü ñ ïîìîùüþ ýêñïåðèìåíòàëüíîãî çíà÷åíèÿ Tr ìîìåíò èíåðöèè ìîëåêóëû CH4 .
2) Âûâåñòè ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû âðàùåíèé Zâðàù (äëÿ îäíîé
ìîëåêóëû) ïðè òåìïåðàòóðàõ T Tr , ó÷èòûâàÿ ëèøü âêëàä ñîñòîÿíèé ñ J = 0, 1, 2.
3)  òîì æå ïðèáëèæåíèè ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ âêëàäà âðàùåíèé Câðàù â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçîîáðàçíîãî CH4 ïðè T Tr .
4) Îöåíèòü âêëàä âðàùåíèé ìîëåêóë â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçà ïðè êîìíàòíûõ òåìïåðàòóðàõ T ≈ 20 0 C.
5) Ïîñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè Câðàù îò òåìïåðàòóðû, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó èç ïóíêòà 2) çàäàíèÿ. (Ãðàôèê ñòðîèòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìïüþòåðà). Äàåò ëè ýêñòðàïîëÿöèÿ ýòîé
çàâèñèìîñòè íà îáëàñòü T > Tr ðàçóìíóþ îöåíêó êëàññè÷åñêîãî ðåçóëüòàòà äëÿ Câðàù ?
Äëÿ íàãëÿäíîñòè ñëåäóåò ñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè áåçðàçìåðíîé òåïëîåìêîñòè
Câðàù /R (R ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ) îò áåçðàçìåðíîé òåìïåðàòóðû T /Tr .
Óêàçàíèå:
2
Òåìà III. Òåðìîäèíàìèêà ìîëåêóëÿðíûõ ãàçîâ.
Âëèÿíèå êîëåáàíèé àòîìîâ.
Òåîðåòè÷åñêàÿ ÷àñòü:
1. Ìîäåëü áîëüöìàíîâñêîãî ãàçà. Îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè ìîäåëè.
2. Âûâîä âûðàæåíèé äëÿ îñíîâíûõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ âåëè÷èí áîëüöìàíîâñêîãî ãàçà:
F (T, V, N )
(Ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ)
G(T, p, N )
(Òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë Ãèááñà)
U (T, V, N ) è U (T, p, N )
(Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ)
S(T, V, N ) è S(T, p, N )
(Ýíòðîïèÿ)
µ(T, V, N ) è µ(T, p, N )
(Õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë)
CV (T, V, N ) è Cp (T, V, N )
(Òåïëîåìêîñòè)
3. Âûâîä ôîðìóëû äëÿ âêëàäà êîëåáàíèé àòîìîâ â ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ è òåïëîåìêîñòü CV
ìîëåêóëÿðíîãî ãàçà.
Ðàñ÷åòíàÿ ÷àñòü:
Âàðèàíò III à. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå çíà÷åíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé òåìïåðàòóðû äëÿ êîëåáàíèé
àòîìîâ â ìîëåêóëå O2 ñîñòàâëÿåò Tv = 2230 o K.
1) Âûâåñòè ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ âêëàäà êîëåáàíèé àòîìîâ Uêîë âî âíóòðåííþþ ýíåðãèþ ãàçîîáðàçíîãî êèñëîðîäà â ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ T Tv è T Tv .
2) Âûâåñòè ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ âêëàäà êîëåáàíèé àòîìîâ Cêîë â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçîîáðàçíîãî êèñëîðîäà â ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ T Tv è T Tv .
3) Îöåíèòü âêëàä êîëåáàíèé ìîëåêóë â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçà ïðè êîìíàòíûõ òåìïåðàòóðàõ T ≈ 20 0 C.
4) Ïîñòðîèòü è îáñóäèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè Cêîë îò òåìïåðàòóðû T äëÿ ãàçîîáðàçíîãî êèñëîðîäà. (Ãðàôèê ñòðîèòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìïüþòåðà). Îïðåäåëèòü ïî ãðàôèêó,
÷åìó
ðàâíî îòíîøåíèå Cêîë ê êëàññè÷åñêîìó ðåçóëüòàòó ïðè êîìíàòíûõ òåìïåðàòóðàõ (T ≈ 20o C).
Äëÿ íàãëÿäíîñòè ñëåäóåò ñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè áåçðàçìåðíîé òåïëîåìêîñòè
Cêîë /R (R ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ) îò áåçðàçìåðíîé òåìïåðàòóðû T /Tv .
Âàðèàíò III á. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå çíà÷åíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé òåìïåðàòóðû äëÿ êîëåáàíèé
àòîìîâ â ìîëåêóëå NO ñîñòàâëÿåò Tv = 2690 o K.
1) Âûâåñòè ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ âêëàäà êîëåáàíèé àòîìîâ Sêîë â ýíòðîïèþ ãàçîîáðàçíîãî NO â ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ T Tv è T Tv .
2) Âûâåñòè ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ âêëàäà êîëåáàíèé àòîìîâ Cêîë â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçîîáðàçíîãî NO â ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ T Tv è T Tv .
3) Îöåíèòü âêëàä êîëåáàíèé ìîëåêóë â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçà ïðè êîìíàòíûõ òåìïåðàòóðàõ T ≈ 20 0 C.
4) Ïîñòðîèòü è îáñóäèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè Cêîë îò òåìïåðàòóðû T äëÿ ãàçà NO. (Ãðàôèê
ñòðîèòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìïüþòåðà). Îïðåäåëèòü ïî ãðàôèêó, ÷åìó ðàâíî îòíîøåíèå Cêîë
ê êëàññè÷åñêîìó ðåçóëüòàòó ïðè òåìïåðàòóðå T = 500o C.
Äëÿ íàãëÿäíîñòè ñëåäóåò ñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè áåçðàçìåðíîé òåïëîåìêîñòè
Cêîë /R (R ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ) îò áåçðàçìåðíîé òåìïåðàòóðû T /Tv .
Óêàçàíèå:
Óêàçàíèå:
3