УДК 539.2 В.М. Кузнецов, В.И. Хромов Российский химико-технологический университет им. Д.И.Менделеева ОБОБЩЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОГО ЗАКОНА ТЕПЛОЕМКОСТИ ДЕБАЯ НА ФРАКТАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ТЕПЛОЕМКОСТЬ ФРАКТАЛЬНЫХ МАКРО- И НАНОСТРУКТУР Классический закон Дебая для температурной зависимости теплоемкости твердых тел хорошо известен и имеет следующий вид ⎛T ⎞ C = 9nk ⎜ ⎟ ⎝ θD ⎠ 3 xmax ∫ 0 x 4e x (e x − 1) 2 dx . (1) Здесь n = N/L3 – число атомов в единице объема, а N – их общее число в исследуемой структуре; Т – термодинамическая температура; θ D = =ωD k – температура Дебая, соответствующая максимальной частоте колебаний атомов в решетке твердого тела; x = =ω / kT , а xmax = =ω D kT ; = и k – постоянные Планка и Больцмана соответственно. Известны также обобщения закона (1) на случай двумерного (d = 2) и одномерного (d = 1) пространств ⎛T ⎞ C2 = 6nk ⎜ ⎟ ⎝ θD ⎠ 2 xmax ∫ 0 (e x 3e x x − 1) 2 dx , ⎛T ⎞ C1 = 3nk ⎜ ⎟ ⎝ θD ⎠ xmax ∫ 0 x2e x (e x − 1) 2 dx . (2) Выражения (1), (2) описывают структуры, мерами измерения которых служит длина L, площадь S ∼ L2 или объем V ∼ L3 с соответствующей размерностью пространства d = 1, 2, 3. Однако большинство природных объектов имеют неправильные, изломанные или фрагментированные формы, называемые фрактальными структурами. Это облака и деревья, береговые линии озер, рек и морей, галактики и их скопления, сосудистые и дыхательные системы животных, структуры тканей живой плоти и т.д. Фрактальной структурой обладают также пористые материалы, коллоидные агрегаты и изломы различных поверхностей. Пространственная размерность подобных структур, как правило, дробная и они обладают, в тех или иных пределах, свойством масштабной инвариантности. Для определения теплоемкости таких структур необходимо вводить конечную меру их измерения, как в прямом, так и в обратном трехмерном евклидовом пространстве. Поскольку обычные соотношения евклидовой геометрии, согласно которым длина L ∼ площади S1/2 ∼ объему V1/3 более не имеют места, то d концентрация атомов (молекул) во фрактальной структуре n = N L f , a df – показатель размерности пространства. Будем решать задачу определения температурной зависимости теплоемкости фрактальных структур в классическом дебаевском приближении, когда закон дисперсии имеет вид ω = kv (v = const – скорость звука в твердом теле), а интегрирование в обратном k-пространстве производится по шару, а не зоне Бриллюэна. В этом случае d f количество колебательных мод равно N = Bω f , где B = 3n / ωmax , и соответствует сво- d им классическим значениям при d = 1, 2, 3. C помощью известной стандартной процедуры можно показать, что для произвольного значения показателя размерности из диапазона 1 ≤ df ≤ 3 выражение для теплоемкости фрактальной структуры имеет вид ⎛T ⎞ C = 3d f nk ⎜ ⎟ ⎝ θD ⎠ df xmax ∫ 0 x d f +1 x (e e x − 1) 2 dx . (3) В наномасштабе, когда физико-химические свойства тел сильно меняются в зависимости от размера нанообъекта, при определении теплоемкости необходимо проводить обрезание фононного спектра со стороны его длинноволновой части, т.е. изменить в (1), (3) нижний предел интегрирования, а при подсчете числа колебательных мод – ( d d ) f изменить коэффициент B, который в этом случае принимает вид B = 3n ωmax − ωminf . В результате получаем следующее выражение для теплоемкости фрактальных наноструктур C= где θ N = =ωmin k – xmax 3d f n ⋅ k df ⎛ θN ⎞ ⎛ θD ⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎝T ⎠ ⎝ T ⎠ температура, df ∫ x min x d f +1 x e ( e x − 1) связанная 2 dx , с (4) размером наночастицы, a xmin = =ωmin kT = θ N T . На рис. 1 представлены расчеты температурной зависимости теплоемкости C (T ) C∞ , приходящейся на один атом массивного образца из золота (d = 3), золотой фольги (d = 2) и золотой нити (d = 1) – кривые 3, 2, 1 соответственно. Значение C∞ соответствует классическому значению по Дюлонгу и Пти. Там же представлены (пунктирные кривые) значения C (T ) C∞ для фрактальной структуры, изображенной на рис.1, у которой df = 1.77 и df = 2.68 в “плоском” и “объемном” варианте. Рис. 1 На рис. 2 дано сравнение температурного изменения C для той же структуры, когда она является наночастицей (N = 19 при df = 2.68) (кривая 1) и бесконечным по спектру длин волн макрообъектом (кривая 2). Полученные выражения (3) и (4) являются обобщением классического закона Дебая на фрактальные макро- и наноструктуры. Рис. 2.