Элементы физики твердого тела. Зонная теория

1
Элементы физики твердого тела.
Зонная теория твердых тел.
1. Энергетические зоны в кристаллах.
2. Зонная структура металлов, диэлектриков, и полупроводников.
3. Собственная проводимость полупроводников.
4. Примесная проводимость полупроводников.
5. Контакт двух металлов.
6. Контакт электронного и дырочного полупроводников.
1. Энергетические зоны в кристаллах.
Энергия электронов в атоме квантована, то есть имеет определенные
дискретные значения. Считается, что электрон находится на определенных
энергетических уровнях, которые зависят от главного n и орбитального l
квантовых чисел.
Верхний энергетический уровень, занятый электронами при абсолютном нуле температуры, называется уровнем Ферми. От него отсчитывается
работа выхода электрона из металла. Число занятых электронами энергетических уровней равно по порядку величины числу свободных электронов в
металле.
Исходные представления зонной теории твёрдых тел.
Модель свободных электронов в металле, хорошо объясняет ряд физических свойств металлов, однако существуют и такие свойства, для интерпретации которых модель свободных электронов оказывается бесполезной.
Так данная модель не в состоянии объяснить различие между электросопротивлением проводников и изоляторов (10 8 Ом  м - у металлов и
10 22 Ом  м - у диэлектриков). Квантовая теория электропроводности не
объясняет существование полупроводников, электрические свойства которых
резко увеличиваются с возрастанием температуры. Статистика ФермиДирака не учитывала электрическое поле положительных ионов кристаллической решетки металлов.
Эти и ряд других вопросов рассматриваются в зонной теории твердых
тел.
Ранее было получено, что энергия валентных электронов в кристалле
изменяется квазинепрерывно, то есть спектр разрешенных значений энергии
состоит из множества близко расположенных дискретных уровней.
2
На движение электрона оказывает влияние периодическое поле решетки, этим объясняется то, что спектр возможных значений энергии электрона
распадается на ряд чередующихся разрешенных и запрещенных зон.
Зонная структура энергетических уровней получается из решения
уравнения Шредингера для электрона, движущегося в периодическом силовом поле
2 2

   U  W .
2m
Решением является k  U k (r )e ikr - функция Блоха,
где U k (r ) - функция имеющая периодичность решетки,

k - волновое число,
r - равновесное расстояние между двумя соседними атомами в кристалле.
Область k -пространства, внутри которой энергия электрона в кристалле уменьшается квазинепрерывно, называется зоной Бриллюэна, на границах
зоны энергия претерпевает разрыв.
Энергетическая щель обусловлена первым Брэгговским отражением;
для данного интервала энергии не существует решений волнового уравнения.
Решение задач данной теории возможно с помощью методов:
- приближение сильной связи Wсвз  Eк дв электронов (изменение
энергетических уровней по мере сближения атомов в результате переходов валентных электронов);
- приближение слабой связи Wсвз  Eк дв (рассматривается движение
свободного электрона в поле кристалла).
При объединении одинаковых атомов в молекулах или кристаллах
происходит расщепление энергетических уровней на группы из близких
уровней – энергетических зон.
При сближении, когда расстояние между атомами уменьшается до величин, сравнимых с параметрами кристаллической решетки, сильное взаимо-
3
действие атомов приводит к перекрытию их электрических полей. Потенциальные кривые частично накладываются, что приводит к понижению и сужению потенциального барьера для валентных электронов.
Благодаря туннельному эффекту электрон уходит от своего атома и переходит к соседнему. Такие электроны становятся обобществленными (коллективизированными) и образуют квантовый электронный газ.
Энергетические уровни электронов в атомах, находящихся в возбужденном состоянии, имеют конечную ширину Wn, l , связанную соотношением неопределенности для энергии и времени Wn, l  n  h ,
где  - время жизни электрона в возбужденном состоянии   10 8 c .
  1 / - частота просачивания электронов сквозь потенциальный
барьер.
Среднее время жизни валентного электрона в этом случае   2  10 15 с,
что на семь порядков меньше  электрона в изолированном атоме.
По мере сближения свободных атомов кулоновское взаимодействие
между атомными остовами и электронными оболочками приводит к расщеплению энергетических уровней в образующейся сложной системе – из каждого уровня изолированного атома образуется два различных энергетических
уровня системы из двух атомов.
4
Таким образом, получили, что расширение энергетического уровня
электрона связано с уменьшением времени жизни в результате взаимодействия атомов в кристалле.
Узкий энергетический уровень расширяется в широкую полосу – зону
разрешенных значений энергии электрона.
Разрешенные энергетические зоны отделены друг от друга зонами запрещенных значений энергии электронов.
Ширина разрешенной зоны характеризуется энергией Wn, l электрона
на соответствующем уровне в изолированном атоме.
В пределах зоны энергии энергия также квантована. Число дискретных
уровней в зоне (2l  1) N ( N - число атомов в кристалле), на каждом из таких
уровней может находиться не более двух электронов с антипараллельными
спинами.
При внесении в основную кристаллическую решетку полупроводника
примеси, в кристалле возникают дополнительные энергетические уровни,
расположенные в запрещенной зоне, и называемые локальными или примесными энергетическими уровнями.
В зависимости от вида примеси локальные уровни могут располагаться: вблизи дна зоны проводимости и выше верхнего края валентной зоны.
2. Зонная структура металлов, диэлектриков, и полупроводников.
Электрические свойства тел объясняются шириной запрещенных энергетических зон и различными заполнениями разрешенных зон.
Электроны в кристаллах могут переходить из одной зоны в другую, а
также совершать переходы внутри одной зоны. Для этого электрону необходима энергия равная ширине запрещенной зоны.
Необходимым условием электрической проводимости является наличие в разрешенной зоне свободных энергетических уровней, на которые
электрическое поле сторонних сил могло бы перевести электрон.
5
Зона, заполненная электронами частично или пустая( T  0 K ), называется зоной проводимости. Уровни энергии в ней соответствуют энергиям
внешних электронов (коллективизированных).
Зона, целиком заполненная электронами ( T  0 K ), называется валентной. Зона образована из энергетических уровней электронов внутренних оболочек свободных атомов.
В зависимости от степени заполнения валентной зоны электронами и
ширины запрещенной зоны различают:
1. Металлы
У металлов зона проводимости заполнена
частично и содержит свободные верхние, не занятые электронами уровни, то есть при абсолютном
нуле T валентные электроны заполняют попарно
нижние уровни валентной зоны.
Достаточно сообщить электронам, находящимся на верхних уровнях, небольшую энергию
(10  23  10  22 эВ) для того, чтобы перевести их
на более высокие уровни. Энергии электрического
поля достаточно для перевода электрона, следовательно, электроны ускоряются в направлении противоположном полю.
2. Диэлектрики
В диэлектриках первая, не заполненная зона отделена от нижней целиком заполненной зоной широкой запрещенной зоной. Поэтому, пробой изолятора возможен только в сильных электрических полях.
Для того, чтобы перевести электрон в свободную зону ему надо сообщить энергию большую или равную ширине запрещенной зоны. В
случае, когда W0 равна нескольким электрон
вольтам, тепловое движение не может перебросить в свободную зону заметное число электронов.
W0  2 эВ
6
3. Полупроводники
У кристаллических полупроводников запрещенная зона между полностью заполненной
валентной зоной и первой незаполненной зоной
не очень велика.
Если W0  несколько десятых эВ, то
энергии теплового движения достаточно для переброса электрона в свободную верхнюю зону
(зону проводимости). Одновременно становится
возможен переход электрона внутри валентной
зоны на освободившиеся уровни.
2.Собственная проводимость полупроводников.
Представителями полупроводников являются германий, кремний, теллур. Это большой класс веществ, удельное сопротивление которых изменяется в широких пределах и уменьшается с увеличением температуры.
Полупроводник называется беспримесными, если он идеально химически чист и имеет идеально правильную кристаллическую решетку.
Электропроводность химически чистого полупроводника называется
собственной проводимостью.
Электронная проводимость ( n – типа) возникает при « перебросе »
электрона из валентной зоны в зону проводимости. Для этого необходимо затратить энергию W0 большую или равную энергии запрещенной зоны.
W0 – энергия активации собственной проводимости.
Проводимость полупроводников может быть вызвана:
- действием сильного электрического поля;
- нагреванием    0e  W0 2 KT ;
7
- освещением.
При перебросе электрона в валентной зоне, на оставленном им месте
возникает избыток положительного заряда - «положительная» дырка. Движение электрона, находящегося в этой зоне, под действием электрического
поля эквивалентно движению «положительного» заряда (дырки), численно
равному заряду электрона; дырки перемещаются по полю.
Электропроводность полупроводника, обусловленная перемещением
«дырок», называется дырочной проводимостью ( p – типа).
Для учета влияния электрического поля кристалла вводится понятие
эффективная масса электрона m* . m* может быть как «отрицательна», так и
«положительна»; то есть электрон с m* движется только под влиянием
внешнего поля.
m* изменяется при изменении энергетического состояния электрона.
m*  const для электронов, находящихся на дне зоны проводимости
( m*  0 ) и у «потолка» валентной зоны ( m*  0 ).
Поэтому Wэ отсчитывают от «дна» зоны проводимости; Wg - от
«потолка» валентной зоны.
Уровень Ферми расположен посередине запрещенной зоны
 э (T )   э (0)   W0 / 2  const ,
где  э - химический потенциал, определяющий уровень Ферми, с
увеличением T уровень Ферми смещается вверх.
3. Примесная проводимость полупроводников.
При введении примесей в кристалл, возникают дополнительные энергетические уровни, расположенные в запрещенной зоне получившие название примесных (локальных) энергетических уровней.
Примеси играют двоякую роль:
1. Рассмотрим замещение атома германия в решетке атомом примеси,
обладающим пятью валентными
электронами (фосфор, мышьяк).
Один электрон не может образовать ковалентной связи и является
лишним; он слабо связан с ядром
и его легко переводят в зону проводимости полупроводника.
Энергетические
уровни
примесных электронов располагаются вблизи дна зоны проводимости. Эти уровни частично заполнены электронами и называются донорными.
8
Для перевода электронов с донорного уровня в зону проводимости,
требуется незначительная энергия Won активации электронной проводимости, которую электрон может получить при тепловом возбуждении.
Атомы примесей, поставляющие электроны, называются атомами – донорами.
В результате переброса электронов с донорных уровней в зону проводимости в полупроводнике возникает электронная примесная проводимость
(проводимость n – типа). Полупроводники такого типа называются электронными (n – типа).
2. Рассмотрим замещение четырехвалентного атома германия атомом
с тремя валентными электронами (бор,
алюминий, индий). В этом случае возникает недостаток одного электрона
для образования квантовых связей.
Недостающий электрон может
быть заимствован у соседнего атома
германия в решетке, у которого появится положительная дырка. Последовательное заполнение электронами
образующихся у атомов германия дырок приводит к появлению проводимости у полупроводника.
В запрещенной энергетической
зоне появляются примесные энергетические уровни, не занятые электронами (акцепторные уровни). Они располагаются несколько выше верхнего
края валентной зоны основного кристалла.
Электроны у верхнего края заполненной зоны могут переходить на
9
акцепторные уровни. Следовательно, нижняя зона будет содержать вакантные электронные уровни. Под действием электрического поля, электроны в
нижней зоне будут последовательно заполнять дырки, что эквивалентно перемещению дырок в направлении, противоположном движению электронов.
Данный тип проводимости называется проводимостью р – типа, полупроводники с такой проводимостью дырочными и полупроводниками р – типа.
Уровень Ферми при T  0 K зависит от типа примесной проводимости.
n – типа
 0   Won 2 ;
p – типа
 0  W0  Wop 2 .
Влияние температуры на уровень Ферми:
Согласно диаграмме, при
достаточно высоких температурах происходит переход к
собственной проводимости полупроводника.
Контактными называется ряд физических явлений, возникающих в области соприкосновения разнородных твердых тел.
Говорят о контакте двух металлов, металла и полупроводника, двух полупроводников.
5. Контакт двух металлов.
Рассмотрим контакт двух металлов.
10
A2  A1 , т.е. электроны во втором металле занимают более высокие
энергетические уровни.
W – энергия, принятая на нуль, энергия покоящегося электрона вне
металла.
e – глубина потенциальной ямы, для электрона внутри металла.
A
– работа выхода, отсчитанная от уровня Ферми.
При соприкосновении металлов электроны проводимости частично
переходят из 2  1 ; происходит выравнивание электрохимических потенциалов  e1  1  e2 2   2 ; происходит смещение энергетических уровней
электронов, т.е. в металле, заряжающемся отрицательно уровни смещаются
вверх, в металле, заряжающемся положительно – вниз.
Разность уровней Ферми в контактирующих
металлах приводит к возникновению внутренней
контактной разности потенциалов:
1   2  1   2  e
Возникший контактный слой толщиной 
можно рассмотреть как плоский конденсатор, тогда:
 
q S S



  .
C C  0S
0
Изменение концентрации электронов n0 в контактном слое, по сравнению со всем объемом металла незначительно
n
1

n   e ; n ~ n0 .
n 150
Поэтому  и  контактного слоя почти не отличаются от характеристик самих металлов. Электроны в металлах подчиняются статистике ФермиДирака: функция распределения электронов по ячейкам f 
dn
и функция
dg
dn
незначительно изменяются при повышении температуры
dW
только на «хвосте» распределений, т.е. зависимость  T  очень слабая внутраспределения
ренняя контактная разность потенциалов при повышении температуры изменяется незначительно.
Различают и внешнюю контактную разность потенциалов, она определяется работой выхода электронов из металла.
11   12    A1  A2  e ,  0,...1.., B и зависит от частоты состояния поверхности.
6. Контакт электронного и дырочного полупроводников.
11
Рассмотрим контакт двух полупроводников с различными n  и
p  типами проводимости. Такой контакт называется электронно-донорным
переходом или p  n  переходом .
Они используются для выпрямления переменных токов, для генерирования и усиления высокочастотных токов.
Предположим, что донорный полупроводник с работой выхода An и
уровнем Ферми  n приведен контакт с акцепторным полупроводником с A p
и  p . В результате контакта, электроны переходят из n в p , а дырки в обратном направлении. Одновременно будет идти выравнивание химических
потенциалов и установление равновесия.
В контактном слое толщиной 1 n  полупроводника образуется объемный положительный заряд, в контактном слое  2 p  полупроводника
создается отрицательный заряд.
При равных концентрациях электронов и дырок 1   2 .
Между слоями 1 и  2 возникает  к контактная разность потенциалов, направленная от донорного к акцепторному полупроводнику.
Переход электрона из n в p связан с преодолением  к и совершением
работы, которая переходит в потенциальную энергию.
В результате, на протяжении толщины контактного слоя  , все энергетические уровни электронов в полупроводнике p подняты по сравнению с
уровнями электронов в полупроводнике n на высоту e к . Электрическое
поле, связанное с  к затрудняет переход электронов из n в p и облегчает их
переход из p в n полупроводник.
Поток электронов из n в p определяется выражением:
J 0 n  p  B exp  n  e к  кT 
J 0n  p  J 0n  p
12
Поток электронов из p в n

J 0 n  p  B exp   p кT

Аналогично равны и встречные потоки дырок. Следовательно, при равновесии потоки основных носителей тока компенсируются не основными и
результирующий поток носителей через p  n переход равен 0. Приложим к
p  n переходу внешнюю разность потенциалов  в направлении, совпадающем с направлением контактной разности потенциалов  к . Т.е. «+» подключен к n , «–» к p .
Это приводит к увеличению высоты потенциального барьера для электронов, которые переходят из n в p на e и нарушению равновесия p  n
перехода. Поток электронов J np уменьшается, т.к. барьер высотой e к   
смогут преодолеть в exp e кT  раз меньшее число электронов, чем барьер высотой J пр  J опр exp e KT 
Изменение высоты барьера не изменяет потока электронов из p в n ,
который определяется  p . В итоге в цепи возникает результирующий поток
электронов p  n , а электрический ток в обратном направлении.
J  J J
J
e  e кT  1 .
n
np
0np
0 np


На n  p переходе этот ток идет через контактный слой увеличенной
толщины 1 . Направление внешней разности потенциалов называется запорным.
В запорном направлении p  n переход практически не пропускает
электрический ток.
Приложим внешнюю разность потенциалов так, что «+»у n проводника, «+» у p .
13
При этом высота потенциального барьера уменьшается на e к и равна
e к    , поток электронов слева направо увеличивается в expe к кT 
раз.
Результирующий ток, направленный справа налево, проходит через
контактный слой уменьшенной толщины  2 .
J  J J
expe кT   J
J
ee кT  1 .
n
np
0np
0 пр
0 np


Направление внешней разности потенциалов, которое приводит к такому току, называется пропускным.
Полный ток через p  n переход J n  J p