Теплоёмкость идеального газа в различных термодинамических

Теплоёмкость идеального газа в различных
термодинамических процессах
В.С. Булыгин
27 февраля 2014 г.
С помощью 1-го начала термодинамики для ν молей идеального газа:
δQ = dU + δA = ν CV dT + P dV ,
где CV — молярная теплоёмкость при постоянном объёме, а давление P , объём V и абсолютная
температура T связаны уравнением Клапейрона–Менделеева
P V = νRT
(1)
получаем выражение для теплоёмкости ν молей идеального газа
C≡
P dV
δQ
= ν CV +
.
dT
dT
(2)
После дифференцирования (1): d(P V ) = νR dT находим:
P dV + V dP = νR dT ,
(3)
откуда
P dV = νR dT − V dP ,
что с помощью (2) и соотношения Майера CP = CV + R даёт ещё одно выражение для теплоёмкости ν молей идеального газа:
C = ν CV + νR −
V dP
dP
= ν CP − V
.
dT
dT
(4)
Получим из этих соотношений выражения для теплоёмкости ν молей идеального газа для
всех возможных типов равновесных процессов.
Процесс V = V (T )
Из выражений (2) и (1) следует:
d(ln V )
d(ln V )
RT dV
dV
= ν CV + RT
= ν CV + R
.
= ν CV +
C(T ) = ν CV + P
dT
V dT
dT
d(ln T )
(5)
Процесс T = T (V )
Из 2-й части выражения (5) получаем:
#
"
#
"
"
−1 #
R
d(ln T )
RT
.
C(V ) = ν CV + dT = ν CV + d(ln T ) = ν CV + R
d(ln V )
V dV
V dV
1
(6)
Процесс P = P (T )
Из выражений (4) и (1) следует:
d(ln P )
d(ln P )
RT dP
= ν CP − RT
= ν CP − R
.
C(T ) = ν CP −
P dT
dT
d(ln T )
(7)
Процесс T = T (P )
Из 1-й части выражения (7) получаем:
"
#
"
#
"
−1 #
R
RT
d(ln T )
.
C(P ) = ν CP − dT = ν CP − d(ln T ) = ν CP − R
d(ln V )
P dP
P dP
(8)
Процесс P = P (V )
Из выражения (3), переписанного в виде
V dP
P dV = νR dT ,
1+
P dV
находим выражение для элементарной работы идеального газа:
P dV =
νR dT
,
dP
1 + VP dV
подстановка которого в (2) даёт искомое выражение для теплоёмкости в этом процессе:
#
"
#
"
#
"
R
R
R
= ν CV +
.
C(V ) = ν CV +
= ν CV +
dP
P)
d(ln P )
1 + VP dV
1 + V d(ln
1
+
dV
d(ln V )
(9)
Процесс V = V (P )
Из 1-й части выражения (9) получаем:



C(P ) = ν CV +



R 
R
R




= ν CV +
−1  = ν CV +
−1  .
V
V)
V)
1 + P dV
1 + P d(ln
1 + d(ln
dP
dP
d(ln P )
(10)
С помощью полученных выражений найдём решения задач на нахождение теплоёмкости
идеальных газов, взятых из задачника [1].
• В задаче 1.47: P = const · V , в задаче 1.54:
0
kупр V S−V
P0 S⊥2 V − V0
P0
Fупр
⊥
= P0 +
= P0 +
V,
=
P = P0 +
2
S⊥
S⊥
V0
S⊥
V0
т. е. снова P = const · V . Так как ln P = ln const + ln V , то
следует ответ:
R
C = CV + .
2
2
d(ln P )
d(ln V )
= 1 и из (9) при ν = 1
Соответственно в задаче 1.53, где также P ∼ V и CV =
C = CV +
5R
2
получаем:
R
5R R
=
+ = 3R .
2
2
2
dP
V V0
R
, где γ = CCVP ; P = PV00 (V0 − V ), dV
= − PV00 , VP = P0 (V
и
• В задаче 1.49: ν = 1, CV = γ−1
0 −V )
из (9) получаем:
"
#
γV0 − (γ + 1)V
1
V0 − V
1
1
=R
C(V, V0 ) = R
+
+
=
=R
P0
V V0
γ − 1 1 − P (V −V ) V
γ − 1 V0 − 2V
(γ − 1)(V0 − 2V )
0
=R
γ − (γ + 1) VV0
(γ − 1)(1 − 2 VV0 )
0
0
.
• В задаче 1.55: 1) изотермический процесс в верхней части цилиндра (над поршнем): общее
0 V20
, где V ≡ V1 — объём нижней
давление P в обеих частях цилиндра: P = P0VV220 = V10P+V
20 −V
d(ln P )
1
части цилиндра (под поршнем). Отсюда dV = V10 +V20 −V = V12 и теплоёмкость газа в
нижней части цилиндра, согласно (9) при ν = 1 и с учётом соотношения Майера CP =
= CV + R равна
C(V1 , V2 ) = CV +
CP + CV
R
=
V1
1 + V2
1 + VV21
V1
V2
= CV
γ+
1+
V1
V2
V1
V2
;
2) при адиабатическом процессе в верхней части цилиндра: P = P0 V20γ · V2−γ = P0 V20γ · (V10 +
P)
= V10 +Vγ20 −V = Vγ2 и теплоёмкость газа в нижней части цилиндра,
V20 − V )−γ , откуда d(ln
dV
согласно (9), равна:
C(V1 , V2 ) = CV +
CP + γCV
R
=
V1
1 + γ V2
1 + γ VV21
V1
V2
= γCV
V1
V2
γ VV21
1+
1+
,
соответственно в задаче 1.56 (также с адиабатическим процессом), где V1 = 2V0 −V2 , γ =
и CV = 32 R, откуда R = 32 CV , получаем:
"
#
"
#
2
C
2
1
CV
V
3
C(V2 ) = CV +
= CV 1 +
= CV 1 + 5V0
.
=
2V0 −V2
V2
5 2V0 −V2
−1
1 + 3 V2
3 + 5 V2
1 − 5V
V2
0
5
3
V)
• В задаче 1.59: ln V = − 2CRV ln T + const, d(ln
= − 2CRV и из выражения (5) при ν = 1
d(ln T )
находим:
d(ln V )
= CV − 2CV = −CV .
C = CV + R
d(ln T )
Список литературы
[1] Заикин Д.А., Овчинкин В.А., Прут Э.В. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ: Учеб. пособие для вузов / В трёх частях. Ч.1. Механика. Термодинамика и молекулярная физика / Под ред. В.А. Овчинкина. (3-е изд., испр. и доп.) — М.: Физматкнига,
2013.
3