Construction of stochastic models for human thermal homeostasis

Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå
УДК [519.711+519.876.5](043)
ББК 22.181
Ю. М. Кроливецкая, Е. С. Петрова
ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ
ÒÅÏËÎÂÎÃÎ ÃÎÌÅÎÑÒÀÇÀ ×ÅËÎÂÅÊÀ1
Yu. M. Krolivetskaya, E. S. Petrova
CONSTRUCTION OF STOCHASTIC MODELS
FOR HUMAN THERMAL HOMEOSTASIS
Рассматривается построение разнообразных математических моделей теплового гомеостаза человека с целью их последующей параметрической адаптации к экспериментальным
данным методом адаптивной фильтрации Калмана и решения двух важнейших задач – идентификации параметров и наискорейшего определения нарушений (изменений) в системе.
В качестве исходных данных взяты осредненные графики суточных колебаний температуры
тела здоровых взрослых людей. При построении моделей учитывается случайная природа
погрешности измерения и многих внешних факторов среднесуточного колебания температуры. Построены детерминистские модели теплового гомеостаза человека для случая непрерывного времени. Затем в них вводится стохастическая составляющая и в заключение, на
основе построенных моделей, осуществляется переход в дискретное время.
Ключевые слова: тепловой гомеостаз человека, стохастические модели, цифровое имитирование и моделирование систем.
A construction of mathematical models for human thermal homeostasis is considered with the
purpose of their subsequent parameter fitting to experimental data using adaptive Kalman filtering
technique and solution of two main problems, such as parameter identification and fastest detection
of the system changes. Averaged charts of daily temperature variations of bodies of the healthy
adults are taken as a benchmark data. While constructing the models, stochastic origin
of measurement error as well as many external factors of average daily temperature variations are
taken into account. The deterministic models for human thermal homeostasis in case of continuous
time are constructed. Then a stochastic component is entered into these models and, finally, the
transition to discrete time is performed.
Key words: human temperature homeostasis, stochastic models, digital simulation and system
modeling.
Введение
Совокупность согласованных физиологических механизмов живого организма, поддерживающих большинство устойчивых состояний в теле, носит название гомеостаза. Наряду
с классическим пониманием гомеостаза, восходящим к Клоду Бернару и Уолтеру Кеннону [1],
существуют и более широкие современные трактовки [2].
Условием, обеспечивающим непрерывное течение метаболизма в органах и тканях, является определенная температура крови (гомойотермия) [3]. Однако это постоянство относительно, т. к. в различных органах температура неодинакова и подвержена колебаниям, которые зависят от многих факторов (время суток, активность организма, температура окружающей среды, теплоизоляционные свойства одежды и др.) [4–5].
Любая сложная проблема решается лучше, если для неё идентифицирована подходящая
(адекватная, т. е. удовлетворительная) математическая модель. Работы по синергизму между
физиологией и математическим моделированием активно проводятся [6]. Многие из создаваемых таким образом моделей являются статическими и дескриптивными, т. е. описывающими
термочувствительность на основе нейрофизиологии восприятия тепла человеческим телом.
С математической точки зрения такие модели являются относительно простыми алгебраическим моделями (формулами), выражающими чувствительность к теплу в виде линейной комбинации скоростей срабатывания нейронов гипоталамуса и кожных рецепторов. Это нельзя счи1
140
Исследование поддержано грантом РФФИ №13-01-97035.
ISSN 2072-9502. Âåñòíèê ÀÃÒÓ. Ñåð.: Óïðàâëåíèå, âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà è èíôîðìàòèêà. 2014. ¹ 1
тать недостатком таких моделей, поскольку, по [7, 8], они приводят естественную систему
и формальную модель к взаимно удовлетворительной согласованности, иными словами, они
адекватно, т. е. удовлетворительно описывают некоторый Закон Природы (рис. 1 из [7]). Модели, предложенные в [6], адекватны и полезны для разработки комфортных для проживания
строений – для этого они и создавались. Однако для других применений они бесполезны, т. е.
неадекватны решаемой задаче.
Феноменальный мир
извне обусловленное
ЕСТЕСТВЕННАЯ
СИСТЕМА
Математический мир
Декодирование
[предсказание]
Закон Природы
самопроизвольно выведенное
ФОРМАЛЬНАЯ
СИСТЕМА
Кодирование
Казуальное следование
[наблюдение, измерение]
Логическое следование
Рис. 1. Соотношение моделирования между естественной системой и формальной моделью
Исследование, предпринятое нами, ориентировано, в практическом смысле, на своевременное выявление аномального поведения температуры человека, которое в медицине принято
ассоциировать с возможными негативными исходами критических состояний у взрослых и детей. Вместе с тем замеры температуры обычно делают нечасто (два-три раза в сутки) ввиду того, что это требует определённых усилий клиницистов. Постоянный же мониторинг температуры (ПМТ) тела с помощью приборов, которые размещены на теле пациента и делают замеры
каждые 10–15 минут, может – при надлежащей обработке показаний этих приборов – улучшить
обнаружение и диагностику критического состояния пациента. Это сложная задача, т. к. на температуру пациента оказывают влияние принимаемые лекарства и различные лечебные процедуры. Однако ПМТ имеет большое значение и для здоровых людей, например при работе астронавтов в открытом космосе для определения первых признаков дисбаланса. Особенно это важно
в случае возникновения каких-либо нарушений в системе жизнеобеспечения или при внештатных ситуациях, контрмеры по преодолению которых должны применяться оперативно в крайне
ограниченный временной период [9–11].
В силу множественности и неопределённости факторов, стохастическое моделирование
гомеостатических процессов и дезадаптационных состояний организма признаётся одним из
важных направлений в науках о живом [12]. В данном исследовании стохастическую модель
флуктуаций температуры относительно среднесуточного ритма колебаний в норме предлагается
использовать для того, чтобы далее построить эффективные алгоритмы обнаружения и оценивания, способные быстро обнаруживать значимые аномалии в колебаниях температуры и давать
уточнённые оценки параметрам модели сразу после обнаружения. Тем самым может создаваться дополнительная, не существовавшая ранее, возможность надёжнее предупреждать нежелательное развитие критического состояния человека.
Новые возможности для этого открывает метод вспомогательного функционала качества
(ВФК) – главная составляющая теории активной адаптации [13]. Вспомогательный функционал
качества – это реализуемый показатель качества адаптации системы, который удовлетворяет
следующим условиям: 1) зависимость только от процессов, доступных для прямого измерения;
2) эквивалентность минимизирующих аргументов для исходного (недоступного) функционала
качества и для вспомогательного (доступного) функционала. Благодаря этому вычислительные
методы оптимальной обработки информации от стохастический модели становятся реализуемыми в реальных условиях неопределённости и резких нарушений в параметризованной модели
данных. Получаемые при минимизации ВФК оценки модельных параметров оказываются со141
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå
стоятельными и несмещёнными [13]. Однако, чтобы эти возможности были реализованы, нужны такие модели наблюдаемой динамической системы, которые позволяют опираться на математический аппарат теории оптимальной и адаптивной фильтрации. Цель предпринятых нами
исследований – предложить такие модели из области наук о живом, чтобы опробовать в дальнейшем метод ВФК для решения двух задач: 1) идентификации параметров модели; 2) скорейшего принятия решения о возможном нарушении в соответствии с рис. 2.
ФОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА
Кодирование
Параметры
Предсказание
классификация
СИСТЕМА,
ПРОЦЕСС
Обнаружение
момента нарушения
Управление
Повторный
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ
Приоритизация
старт/стоп
ИДЕНТИФИКАЦИЯ
Планирование
Наблюдение
ПРОВЕДЕНИЕ
ЭКСПЕРИМЕНТА
Данные
Рис. 2. Системный анализ и синтез (рисунок также заимствован из [7],
но отличается дополнениями, выделенными курсивом)
Они учитывают тот случай, когда непредвиденные нарушения в системе лишают модель свойства адекватности и, следовательно, требуют решения трёх основных задач. Задача
1 – скорейшее обнаружение момента нарушения для перезапуска процесса идентификации
(и также для его останова). Задача 2 – повторная идентификация модели, адекватной новому процессу в системе, возникшему после нарушения. Задача 3 – модификация модели , восстанавливающая её адекватность системе немедленно после останова процесса идентификации. Для решения этих задач должна решаться обеспечивающая задача 4 – планирование эксперимента.
Нами поставлена задача построить различные математические модели суточных колебаний температуры тела человека, адекватные сформулированным выше трём основным задачам,
и установлению связи этих моделей между собой. Те модели, которыми пользуются другие
исследователи, например модели на основе сетей Петри [14–15], этому требованию не удовлетворяют – они не соответствуют теории фильтрации Калмана, лежащей в основе решения указанных основных задач.
Основной текст статьи организован следующим образом. В разделе 1 строятся детерминистские модели суточных колебаний температуры тела человека для случая непрерывного
времени. В разделе 2 в них вводится стохастическая составляющая. В разделе 3 осуществляется
переход в дискретное время. Раздел 4 качественно демонстрирует пригодность этих моделей.
1. Детерминистские модели
Рассмотрим график суточного колебания температуры тела человека (рис. 3) [4].
Рис. 3. Суточные колебания температуры тела человека
142
ISSN 2072-9502. Âåñòíèê ÀÃÒÓ. Ñåð.: Óïðàâëåíèå, âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà è èíôîðìàòèêà. 2014. ¹ 1
На основании этого графика будем считать, что среднее значение θt (математическое
ожидание) отклонения температуры тела θt от среднесуточного уровня θ* ≈ 36,7 °С, полученное осреднением по всему множеству здоровых взрослых людей, ведёт себя как периодическая
∆
функция времени θt вида θt = A sin(ωn t + φ) c ωn = 2π / Tn , Tn = 24 ч , т. е. так же, как угол θ(t)
отклонения свободного маятника (осциллятора).
Для составляющей θt справедливо уравнение гармонического осциллятора
d2
θt + ω2n θt = 0
dt 2
(1)
с некоторыми начальными условиями при t = 0. Переписав уравнение (1) в форме Коши:
xt′ = Fxt , yt = Hxt , получаем непрерывную вещественную «физическую» 2D-модель (НВФМ):
 x&1   0
 x&  =  −ω2
 2 t  n
1   x1   x1   θ 0 °C 
.
,
=
0   x2  t  x2  0 ω0 мин -1 
yt = [1 0] xt ,
(2)
t ∈[0; + ∞).
Утверждение 1. Общее решение НВФМ (2) имеет вид
∆
θt = x1t = A sin(ωn + φ),
где
2
ω 
θ
ω /ω
A = θ +  0  , sinφ = 0 , cosφ = 0 n .
A
A
 ωn 
2
0
Доказательство. Решение находится с помощью преобразований Лапласа.
Определение 1 [16]. Каноническая модель определяется жордановой нормальной формой
системной матрицы F с использованием её собственных значений, т. е. корней характеристического уравнения det | F – λI | = 0.
Утверждение 2. Непрерывная комплексная каноническая 2D-модель (НККМ), соответствующая уравнению (1), имеет вид
0 
 x&1   − jωn
&  = 
jωn 
 x2  t  0
yt = [1 + j 1 −
 x1 
  ,
 x2  t
j ] xt ,
 x1  1 1 + j 
  = 
.
 x2  0 4 1 − j 
(3)
t ∈ [0; + ∞).
Доказательство. Для построения искомой модели воспользуемся полученной НВФМ. Её
характеристическое уравнение имеет вид
| Is − F |= s 2 + ω2n = ( s + jωn )( s − jωn ).
0 
 − jω n
Таким образом, для НККМ получаем матрицу F = 
.
jωn 
 0
Найдем матрицу T1 невырожденного преобразования базиса x = T1 x из условия T1F = FT1 :
 t1
t
3
t 2   − jω n
t4   0
0   0
=
jωn   −ω2n
1
0 
 t1
t
3
t2 
;
t4 
 − jt1ωn
 − jt ω
 3 n
jt2 ωn   t3
=
jt4 ωn   −t1ω2n
t4 
.
−t2 ω2n 
1− j 
 1+ j
1 1 − j (1 + j ) / ωn 
, тогда T1−1 = 
Выберем вариант T1 = 

.
4 1 + j (1 − j ) / ωn 
 ωn (1 − j ) ωn (1 + j ) 
143
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå
Элементы матриц будем находить из следующих соотношений: x = T1−1 x, H = HT1 . Имеем:
1− j 
 1+ j
H = HT1 = [1 0] 
 = [1 + j 1 − j ] ;
 ωn (1 − j ) ωn (1 + j ) 
1 1 − j (1 + j ) / ωn 
x0 = 

4 1 + j (1 − j ) / ωn 
 0  1 1 +
 = 
ωn  4 1 −
j
.
j 
Искомая модель в комплексном базисе построена.
Утверждение 3: Непрерывной канонической 2D-модели (3) в комплексном базисе соответствует следующая каноническая 2D-модель в вещественном базисе:
 x&1*   0
 * = 
 x&2  t ω n
−ωn   x1* 
  ,
0   x2*  t
 x1* 
11
 *  =  .
 x2  0 2  −1
(4)
yt = [1 1] x , t ∈ [0; + ∞ ).
*
t
Доказательство. Возьмём преобразующую матрицу T2 =
1 1 − j  −1 1 1 
, T2 =
.
 j − j 
2 1 j 
Отсюда
F * = T2 FT2−1 =
H * = HT2 =
1 1 − j   − jωn

2 1 j   0
0  1 1   0
=
jωn   j − j  ωn
1 1 
1
[1 + j 1 − j ] 
 = [1 1] ;
2
 j − j
−ωn 
;
0 
1 1 − j   0  1  1 
.
x0* = T2 x0 = 
 =
2 1 j  ωn  2  −1
Собирая все полученные выражения, получим искомую модель (4).
Построим для наглядности граф связи моделей (рис. 4). Для этого осталось вычислить
матрицу перехода от НВКМ к НВФМ. Используя равенство T3 F * = FT3 , аналогично случаю для
T1, получим
1
T3 = 
ωn
1 
,
−ωn 
1 1 1 / ωn 
T3−1 = 
.
2 1 −1 / ωn 
x* = T1−1 x
x = T3−1 x
НВФМ
(x)
x* = T2−1 x
НВКМ
(x*)
НККМ
(x)
x = T3 x
x = T2 x*
x = T1 x*
Рис. 4. Граф связей детерминистских моделей
2. Стохастические модели
Для дальнейшей работы введём гауссовский марковский процесс первого порядка (соo
∆
{ }
o
кращённо ГМП-I) θt = θ t ( ω) , где ω∈ Ω – произвольная точка выборочного пространства Ω.
o
Для θt справедливо стохастическое дифференциальное уравнение
144
ISSN 2072-9502. Âåñòíèê ÀÃÒÓ. Ñåð.: Óïðàâëåíèå, âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà è èíôîðìàòèêà. 2014. ¹ 1
o
1o
d θ t = − θt dt + dβt ,
T
lim β t0 = 0 (п. н.),
(5)
t 0 →−∞
где βt – реализация процесса броуновского движения (т. е. винеровского процесса (ВП)) с
постоянной диффузией Q =
o
2σ 2
. Другими словами, процесс θt с нулевым средним значением
T
∆
{}
o
имеет постоянную дисперсию σ 2 = E θt = QT / 2 , где E{.} – оператор математического ожида-
ния на Ω. Здесь t0 → −∞ для достижения режима стационарности.
Уравнение (5) порождает экспоненциально коррелированный по времени случайный про∆
o
o
цесс, т. е. процесс с автокорреляцией ψ o o (τ) = E{θt θt +τ } = σ 2 e − τ / T , где T – интервал корреляции.
θt θt
o
o
Введём процесс θ% t = θ t + θ* , для которого dθ% t = d θt , т. к. θ* = const . Получаем
dθ% t = −
o
1 %
(θt − θ* )dt + σ 2 / T d βt ,
T
o
o
где βt – стандартный ВП (ВП с единичной диффузией: Q = 1 ), определяемый из равенства
∆
o
βt = σ 2 / T d βt .
Вернемся к уже построенной ранее детерминистской 2D-НВФМ (2). Здесь переменная состояния x1 определяет среднее значение отклонения температуры тела θt от среднесуточного уровня θ* в момент времени t; х2 – среднюю скорость изменения температуры тела в момент времени t.
∆
Введем в неё третью переменную состояния x = θ% , считая, что наблюдается сумма ( θ + θ% ) .
3
t
t
t
Сначала рассмотрим случай, когда смещение θ* известно. Введём его как внешнее (дан∆
ное) воздействие: ut = θ* . Отсюда получим 3D-НВФМ:
 x&1 
 0
 x&  =  −ω2
 2
 n
 x&3  t +1  0
yt = [1 0 1] xt + vt ,
1 0
0 0 
0 −λ 
 x1   0 
0
 x  +  0  u +  0  wo .
 2   t   t
 x3  t  λ 
 η
ο
 x1  0 C 
 x  =  ω  , t ∈ [0; +∞), η =∆ σ 2λ.
 2  n 
 x3  0  0 
(6)
Замечание. В уравнение наблюдения аддитивно включена случайная погрешность vt. Для
построения графа этой модели перепишем (6) в скалярном виде, формально обознаo
∆
o
чив wt = d β t / dt :
x&1t = x2t ;
x&2t = −ω2n x1t ;
o
1
x&3t = − ( x3t − θ* ) + σ 2 / T wt ;
T
yt = x1t + x3t + vt .
В результате получим граф, представленный на рис. 5.
145
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå
x&1t
vt
x1t
−ω
1
1
2
n
1
x&2t
yt
θ*
x2 t
λ
1
η
o
x&3t
wt
–λ
x3t
1
Рис. 5. Граф стохастической физической модели теплового гомеостаза человека
Утверждение 4. 3D-НВКМ имеет вид:
 x&1*   0
 * 
 x&2  =  ωn
 x& *   0
 3 t 
−ω n
0
0
 x1*   0 
0 
 *  
  o
 x2  +  0  ut +  0  wt .
 x*   λ 
 η 
 3 t  
0
0 
− λ 
 x1*   1 / 2 
 * 

 x2  =  −1 / 2  ,
 x3*   0 
 0
yt* = [1 0 1] xt* + vt ,
t ∈ [0; +∞ ),
∆
η = σ 2λ.
Доказательство. Обратимся к полученным ранее непрерывным вещественным
2D-моделям: канонической и физической. Для двумерного случая матрица перехода от первой
модели ко второй имеет вид
1
T2 D = 
 ωn
1 
.
−ωn 
В 3D-случае возьмем в качестве соответствующей матрицы перехода матрицу Т1:
1
T1 = ωn
 0
1
−ω n
0
0
0  ,
1 
−1
1
T
1 1 / ωn
1
= 1 −1 / ωn
2
0
0
0
0  .
2 
3D-НВКМ находится из следующих соотношений:
x = T1 x* ⇔ x* = T1−1 x.
1 1 / ωn
1
F = T FT1 = 1 −1 / ω n
2
 0
0
−1
1
*
1 1 / ωn
1
B = T B = 1 −1 / ωn
2
 0
0
*
−1
1
1
H = HT1 = [1 0 1]  ωn
 0
*
146
0
0 
2 
1
−ωn
0
0
0 
2 
 0
-ω2
 n
 0
0 0
0 = 0 ;
   
 λ   λ 
1 0
0 0 
0 -λ 
1
ω
 n
 0
1
−ω n
0
0  0
0  =  ω2n
1   0
1 1 / ωn
1
G = T G = 1 −1 / ω n
2
 0
0
0
0  = [1 1 1] ;
1 
*
−1
1
1 1 / ω n
1
x =  1 −1 / ω n
2
 0
0
*
0
0
0 
2 
−ωn
0
0
0
0 
2 
0
0  ;
-λ 
0  0 
0  = 0  ;
   
 η   η 
 0   1/ 2 
ω  =  −1 / 2  .
 n 

 0   0 
ISSN 2072-9502. Âåñòíèê ÀÃÒÓ. Ñåð.: Óïðàâëåíèå, âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà è èíôîðìàòèêà. 2014. ¹ 1
Таким образом, мы получили 3D-НВКМ, минуя построение 3D-НККМ.
3. Дискретные модели
Моделирование на компьютере требует дискретных (во времени) моделей.
Утверждение 5. Дискретная вещественная каноническая 3D-модель имеет следующий вид:
 x1 
c −s 0 
x  = s c 0
 2


 x3  t +1  0 0 d 
 x1   0 
0
 x  +  0  u +  0  wo .
 2    t   dt
 x3  t  a 
b 
 x1   1 / 2 
 x  =  −1 / 2  ,
 2 

 x3  0  0 
yt = [1 1 1] xt + vt ,
∆
∆
∆
d = e−λτ ,
s = sin ωnτ ,
c = cos ωn τ,
∆
a =1 − d ,
∆
b = 1− d 2 .
Доказательство. Будем делать переход в дискретное время от 3D-НВКМ к 3D-ДВКМ
∆
∆
с интервалом выборки τ = ∆t = ti +1 − ti = const . Запишем общее решение уравнения состояния:
ti+1
ti +1
ti
ti
o
xti+1 = x(ti ) + ∫ Φ (ti +1 − τ) B u (τ) dτ + ∫ Φ (ti +1 − τ) G d β(τ).
s
( Is − F ) =  ωn
 0
−1
ωn
s
0
 s
 s 2 + ω2
−1
n

0 
 ω
0  =  2 n 2
 s + ωn
s + λ 

 0

ωn
s + ωn2
2
s
s + ω2n
2
0

0 
 cos ωn τ − sin ωn τ 0 

0  ÷  sin ωn τ cos ωn τ
0  ;
  0
0
e − λτ 


1

s + λ
(7)
где (7) определяет переходную матрицу Φ (τ) для искомой 3D-ДВКМ.
Определение 2 [16]. Стандартной наблюдаемой моделью в дискретном времени (с одним
выходом и одним входом) называется система
 x1 
 0
 M 


 = M
 xn −1 
 0



 xn  t +1  −а0
1
M
0
− а1
0 
O
M 
K
1 

K −аn −1 
L
 x1   b1 
 M   M 

 +  u.
 xn −1  bn −1  t

  
 xn  t  bn 
yt = [1 0 L 0 0] x(t ) .
[а0, а1, …, аn] определяют знаменатель передаточной функции G(s) =
cm s m + cm−1s m−1 + K + c0
,
s n + аn −1s n −1 + K + а1s1 + а0
m < n, а коэффициенты b1,…, bn связаны системой уравнений
0  1
 M   аn −1
 0   аn − 2
cm  =  M
M  а
с   2
 0   а1
0
1
аn −1
M
а3
а2
0 L
0 L
1 L
M
O
L аn −1
L аn − 2
0
0
0
M
1
аn −1
0  b1 
0  b2 
0  M 
.
M  M 



0 bn −1 
1   bn 
(8)
Исходя из определения 2, находим 3D-ДСНМ в виде
147
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå
 x1* 
 0
 *

 x2  =  0
 x3* 
  t +1  −a3
*
 γ1* 
0   x1   ψ1* 
   
  o
1   x2*  +  ψ*2  ut +  γ*2  wdt ,
 γ*3 
− a1   x3*   ψ*3 
 
t
1
0
−a2
yt* = [1 0 0] xt* + vt .
Обозначим:
 0
*
Φ =  0
 −a3
1
0
−a2
 ψ1* 
 γ1* 
0 
 
 
1  , Ψ * =  ψ*2  , Γ* =  γ*2  , H * = [1 0 0] ,
 ψ*3 
 γ*3 
−a1 
 
 
и воспользуемся тем, что при невырожденном преобразовании базиса корни характеристических полиномов системных матриц и передаточные функции моделей остаются неизменными.
Утверждение 6. Дискретная стандартная наблюдаемая 3D-модель имеет вид:
 x1* 
 0
 *

 x2  =  0
 x* 

 3  t +1  −a3
1
0
−a2
0 
1 
−a1 
 x1* 
 *
 x2  + (1 − d )
 x* 
 3 t
yt* = [1 0 0] xt* + vt ,
− a3 = d ,
∆
c = cos ωn τ,
− a2 = −(1 + 2cd ),
∆
g = sin 2ωn τ,
∆
s = sin ωn τ,
1
 
2
 d  ut + σ 1 − d
 d 2 
1
 d  wo .
  dt
 d 2 
 x1*   0 
 *  
 x2  =  s  ,
 x*   g 
 3 0  
− a1 = 2c + d ,
∆
∆
d = e − λτ , h = sin 3ωn τ.
Доказательство. При переходе от 3D-ДВКМ к 3D-ДСНМ найдём характеристический
полином относительно переменной z-преобразования в исходном базисе:
0 
 z − c −s

∆ z = det Iz − Φ = det  s
z −c
0  = ( z − d ) ( z 2 − 2cz + 1).
 0
0
z − d 
(9)
В новом базисе этот же полином принимает следующий вид:
∆*z = det Iz − Φ* = z 3 [1 + a1 z −1 + a2 z −2 + a3 z −3 ].
(10)
Из совпадения (9) и (10) находим: − a3 = d , − a2 = −(1 + 2cd ), − a1 = 2c + d .
Из свойства сохранения передаточных функций определим сначала матрицу Ψ* . Пусть
*
1
G ( z ) – передаточная функция относительно входа Ψ* в новом базисе; G1(z) – соответствующая передаточная функция в старом базисе (относительно входа Ψ ) и G1 ( z ) = H ( Iz − Φ ) −1 Ψ .
az −3 − 2acz −2 + az −1
z −3 − 2cz − 2 + z −1
В силу уравнения связи (8) имеем
Тогда G1 ( z ) =
и, соответственно, G1* ( z ) =
1
0
0   ψ1* 
 a  
 
 −2ac  =  −(2c + d )
1
0   ψ*2  ,

 
 a   1 + 2cd
−(2c + d ) 1   ψ*3 
148
az −1 + (−2ac) z −2 + az −3
.
1 + a1 z −1 + a2 z − 2 + a3 z −3
ISSN 2072-9502. Âåñòíèê ÀÃÒÓ. Ñåð.: Óïðàâëåíèå, âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà è èíôîðìàòèêà. 2014. ¹ 1
где, как было обозначено ранее, a = 1– d. Отсюда находим Ψ* = (1 − d )[1 d d 2 ]T .
Аналогичным образом определяем Γ* = σ 1 − d 2 [1 d d 2 ]T .
Обратим внимание: все предыдущие построения выполнены из соображения, что среднесуточный уровень колебания температуры θ* известен. Однако не исключены ситуации, в которых значение θ* неизвестно. Для этого случая построим непрерывную вещественную каноническую 4D-модель. Добавим θ* к уже построенным 3D-моделям, в частности к 3D-ДВКМ, в качестве четвертой переменной состояния x4t, которая будет подчиняться дифференциальному
уравнению x&4t = 0 (x4t – const). Таким образом, получим следующую 4D-ДВКМ:
 x1 
c −s 0
x 

 2  = s c 0
 x3 
0 0 d
 

 x4  t +1  0 0 0
0
0 
0

1
0

 x1  
 о
x  
0
w ,
 2 + 
 x3   σ 1 − d 2  dt

  
0
 x4  t 

yt = [1 1 1 1] xt + vt .
Утверждение 6. 4D-ДСНМ имеет вид:
 x1* 
0
 *

 x2  =  0
 x3* 
0
 *

 x4  t +1  −d


0
1
0


0
0
1

2cd + d + 1 −(1 + d )(1 + 2с) 2c + d + 1
1
0
0
 x1* 
 *
 x2  + σ 1 − d 2
 x3* 
 *
 x4  t
1
d о
  wdt ,
d 2 
 3
d 
yt = [1 0 0 0] xt* + vt .
Доказательство. Чтобы осуществить целесообразный переход от 4D-НВКМ к 4D-ДСНМ,
воспользуемся вышеупомянутыми свойствами сохранения корней характеристических полиномов в старом и новом базисах, а также неизменностью передаточных функций моделей в обоих
базисах. Системная матрица для нашей задачи представляется как
 0
Φ =  0
0
− d
*
1
0
0

0
1
0
.

0
0
1
2cd + d + 1 − (1 + d )(1 + 2с) 2c + d + 1
Как и ранее, находим, что передаточная функция в новом базисе имеет вид:
G* ( z) =
bz −1 + (−2bc) z −2 + bz −3 − bz −4
;
1 + a1 z −1 + a 2 z − 2 + a3 z − 3 + a 4 z − 4
Γ* = σ 1 − d 2 [1 d
d2
d 3 ]T .
4. Вычислительный эксперимент
С целью верификации математических моделей и актуальности ранее изложенных выкладок приведем графики суточного колебания температуры тела человека, построенные на основе
3D-ДСНМ и 4D-ДСНМ при компьютерном моделировании.
Вычислительные модели реализуем на языке программирования среды Matlab®. Для численных экспериментов используем данные из типовых медицинских источников (табл.).
Параметры модели
Период снятия измерений, мин
Погрешность измерений температуры, °C
Период времени, мин
Независимая неизвестная λ
Время корреляции шума
Начальное значение для 4D-ДСНМ
Начальное значение для 3D-ДСНМ
Дисперсия шума в измерениях
Среднесуточный уровень колебания температуры
τ = 60
σ = 0,05
T = 60
λ = 1/T
ωn = 2π/Tn, Tn = 24*60
x0 = θ0 + [0; sin(ωnτ); sin(2ωnτ); 4sin(ωnτ)cos2(ωnτ)–sin(ωnτ)]
x0 = [0; 0,655sin(ωnτ); 0,655sin(2ωnτ)]
R = 0,05
θ* = 36,7
149
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå
В результате моделирования получены многочисленные графики, часть из которых показана на рис. 6. Они показывают изменение температуры тела человека в течение суток для случаев известного и неизвестного среднесуточного уровня температуры θ* в сравнении с реальными данными наблюдений.
Рис. 6. Графики суточных колебаний температуры тела человека (осреднённые данные)
Графики свидетельствуют, что принципиально построенные модели работоспособны, т. к.
отражают две главные особенности: колебательный характер изменений и наличие случайной
составляющей относительно этих колебаний.
Заключение
Построенные модели теплового гомеостаза человека являются упрощенными, однако их
линейность относительно переменных состояния дает возможность применять весь аппарат
и средства хорошо развитой теории оптимальной фильтрации с дискретными линейными моделями систем, что существенно расширяет область приложения разработанных моделей.
Сложных ручных вычислений при построении подобных моделей позволяют избежать
пакеты символьных вычислений, такие как Maple® и Matlab®. Благодаря гибкости и относительной простоте построенных моделей некоторая модификация позволяет приложить их
не только к биологическим процессам подобного рода, но и к задачам инженерной направленности. Например, движение морского подвижного объекта (МПО), называемое циркуляцией,
может быть смоделировано двумя гармоническими колебаниями координат точки на плоскости
(каждое взято из раздела 1), смещенными по фазе на 90°. Переход от участка прямолинейного
равномерного движения на участок равномерного кругового движения МПО и наоборот можно
рассматривать как модельное нарушение, подлежащее скорейшему обнаружению [17].
Наши исследования направлены на решение задач 1 и 2, указанных в связи с рис. 2.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Cannon W. B. Organization for physiological homeostasis / W. B. Cannon // Physiological Reviews.
1929. Vol. IX, N 3. P. 399–431.
2. Нефедов В. П. Гомеостаз на различных уровнях организации биосистем / В. П. Нефедов,
А. А. Ясайтис, В. Н. Новосельцев. Новосибирск: Наука, Сибир. отд-ние, 1991. 232 с.
3. Терморегуляция
организма
человека
//
Биофайл
[Электронный
ресурс]:
http://biofile.ru/bio/2420.html (дата обращения: 20.03.2013).
4. Температура тела человека [Электронный ресурс]: http://www.lifesfera.ru/zakal/11.htm (дата обращения: 18.03.2013).
5. Kenney W. L. Invited Review: Aging and human temperature regulation / W. L. Kenney, T. A. Munce //
J. Appl. Phisiol. 2003. Vol. 95. P. 2598–2603.
6. Kingma B. R. M. Human Thermoregulation. A synergy between physiology and mathematical modeling:
150
ISSN 2072-9502. Âåñòíèê ÀÃÒÓ. Ñåð.: Óïðàâëåíèå, âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà è èíôîðìàòèêà. 2014. ¹ 1
PhD. diss. / B. R. M. Kingma. Netherlands: Universiteit Maastricht Defended, 2012. 158 p.
7. Wolkenhauer O. Data Engineering. Fuzzy Mathematics in Systems Theory and Data Analysis /
O. Wolkenhauer. N. Y.: John Wiley & Sons Inc., 2001. 263 p.
8. Casti J. L. Reality Rules: Picturing the World in Mathematics / J. L. Casti. N. Y.: Wiley, 1992. 493 p.
9. Кощеев В. С. Информативность температурных параметров различных зон тела человека для
коррекции его теплового дисбаланса при выходе в открытое космическое пространство / В. С. Кощеев,
А. Кока, Г. Р. Леон, А. Л. Максимов // Физиология человека. 2005. № 6. С. 78–86.
10. Лакота Н. Г. Изучение температурного гомеостаза в реальной и моделируемой невесомости /
Н. Г. Лакота, И. М. Ларина // Физиология человека. 2002. № 28 (3). С. 82–92.
11. Koscheyev V. S. Informative Value of Temperatures in Different Areas of the Human Body for Correcting Body Thermal Imbalance during Extravehicular Activities / V. S. Koscheyev, A. Coca, G. R. Leon,
A. L. Maximov // Human Physiology. 2005. Vol. 31, N 6. P. 688–695.
12. Liao D. Generalized principles of stochasticity can be used to control dynamic heterogeneity / David
Liao, Luis Estevez-Salmeron, Thea D. Tlsty // Physical Biology. 2012. Vol. 9 (6). 12 p.
13. Семушин И. В. Адаптивные системы фильтрации, управления и обнаружения / И. В. Семушин,
Ю. В. Цыганова, М. В. Куликова, А. Е. Кондратьев, О. А. Фатьянова. Ульяновск: УлГУ, 2011. 298 с.]
14. Blazewicz J. Modeling the process of human body iron homeostasis using a variant of timed Petri nets /
J. Blazewicz, D. Formanowicz, P. Formanowicz, A. Sackmann, M. Sajkowski // Discrete Applied Mathematics.
2009. Vol. 157. P. 2221–2231.
15. Formanowicz D. Petri net based model of the body iron homeostasis / D. Formanowicz, A. Sackmann,
P. Formanowicz, J. Blazewicz // Journal of Biomedical Informatics. 2007. Vol. 40. P. 476–485.
16. Семушин И. В. Детерминистские модели динамических систем / И. В. Семушин, Ю. В. Цыганова.
Ульяновск: УлГТУ, 2006. 78 с.
17. Семушин И. В. Ориентированная на фильтрацию Калмана математическая модель установившейся циркуляции для анализа траектории цели / И. В. Семушин, Ю. М. Кроливецкая, Е. С. Петрова // Автоматизация процессов управления. 2013. № 4 (34). C. 14–20.
REFERENCES
1. Cannon W. B. Organization for physiological homeostasis. Physiological Reviews, 1929, vol. IX, no. 3,
pp. 399–431.
2. Nefedov V. P., Iasaitis A. A., Novosel'tsev V. N. Gomeostaz na razlichnykh urovniakh organizatsii biosistem [Homeostasis on different levels of biosystem organization]. Novosibirsk, Nauka Publ., Sibirskoe otdelenie, 1991. 232 p.
3. Termoreguliatsiia organizma cheloveka [Thermoregulation of human organism]. Biofail. Available at:
http://biofile.ru/bio/2420.html (accessed: 20.03.2013).
4. Temperatura tela cheloveka [Human body temperature]. Available at: http://www.lifesfera.ru/zakal
/11.htm (accessed: 18.03.2013).
5. Kenney W. L., Munce T. A. Invited Review: Aging and human temperature regulation. J. Appl. Phisiol.,
2003, vol. 95, pp. 2598–2603.
6. Kingma B. R. M. Human Thermoregulation. A synergy between physiology and mathematical modeling:
PhD. diss. Netherlands: Universiteit Maastricht Defended, 2012. 158 p.
7. Wolkenhauer O. Data Engineering. Fuzzy Mathematics in Systems Theory and Data Analysis.
N. Y.: John Wiley & Sons Inc., 2001. 263 p.
8. Casti J. L. Reality Rules: Picturing the World in Mathematics. N. Y.: Wiley, 1992. 493 p.
9. Koshcheev V. S., Koka A., Leon G. R., Maksimov A. L. Informativnost' temperaturnykh parametrov Informativnost' temperaturnykh parametrov razlichnykh zon tela cheloveka dlia korrektsii ego teplovogo disbalansa
pri vykhode v otkrytoe kosmicheskoe prostranstvo [Information value of temperature parameters of different
parts of human body for correction of his thermal imbalance while being in the open space]. Fiziologiia
cheloveka, 2005, no. 6, pp. 78–86.
10. Lakota N. G., Larina I. M. Izuchenie temperaturnogo gomeostaza v real'noi i modeliruemoi nevesomosti
[Study of temperature homeostasis in real and simulated free fall]. Fiziologiia cheloveka, 2002, no. 28 (3), pp. 82–92.
11. Koscheyev V. S., Coca A., Leon G. R., Maximov A. L. Informative Value of Temperatures in Different
Areas of the Human Body for Correcting Body Thermal Imbalance during Extravehicular Activities. Human
Physiology, 2005, vol. 31, no. 6, pp. 688–695.
12. Liao D., Estevez-Salmeron L., Thea D. Tlsty. Generalized principles of stochasticity can be used to control dynamic heterogeneity. Physical Biology, 2012, vol. 9 (6). 12 p.
13. Semushin I. V., Tsyganova Iu. V., Kulikova M. V., Kondrat'ev A. E., Fat'ianova O. A. Adaptivnye sistemy fil'tratsii, upravleniia i obnaruzheniia [Adaptive systems of filtering, control and detection]. Ulyanovsk,
UlGU, 2011. 298 p.
151
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå
14. Blazewicz J., Formanowicz D., Formanowicz P., Sackmann A., Sajkowski M. Modeling the process
of human body iron homeostasis using a variant of timed Petri nets. Discrete Applied Mathematics, 2009, vol.
157, pp. 2221–2231.
15. Formanowicz D., Sackmann A., Formanowicz P., Blazewicz J. Petri net based model of the body iron
homeostasis. Journal of Biomedical Informatics, 2007, vol. 40, pp. 476–485.
16. Semushin I. V., Tsyganova Iu. V. Deterministskie modeli dinamicheskikh sistem [Deterministic models
of dynamic systems]. Ulyanovsk, UlGTU, 2006. 78 p.
17. Semushin I. V., Krolivetskaia Iu. M., Petrova E. S. Orientirovannaia na fil'tratsiiu Kalmana matematicheskaia model' ustanovivsheisia tsirkuliatsii dlia analiza traektorii tseli [Designed for Kalman filtering
mathematical model of stable circulation for the analysis of the aim trajector]. Avtomatizatsiia protsessov upravleniia, 2013, no. 4 (34), pp. 14–20.
Статья поступила в редакцию 29.08.2013,
в окончательном варианте – 23.10.2013
ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß ÎÁ ÀÂÒÎÐÀÕ
Êðîëèâåöêàÿ Þëèÿ Ìàêñèìîâíà – Óëüÿíîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò; àñïèðàíò
êàôåäðû «Èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè»; [email protected].
Krolivetskaya Yuliya Maksimovna – Ulyanovsk State University; Postgraduate Student
of the Department ″Information Technologies″; [email protected].
Ïåòðîâà Åëåíà Ñåðãååâíà – Óëüÿíîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò; àñïèðàíò
êàôåäðû «Èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè»; [email protected].
Petrova Elena Sergeevna – Ulyanovsk State University; Postgraduate Student
of the Department ″Information Technologies″; [email protected].
152