Экзамен. Полосы равной толщины в интерферометре

Экзамен. Полосы равной толщины в интерферометре Майкельсона.
Переместим объектив вверх вдоль лучей так, чтобы плоскость,
сопряженная экрану, оказалась в области как бы плоскопараллельной
пластинки зеркал.
Изображение правого зеркала в полупрозрачной пластинке и верхнее
зеркало образуют как бы плоскопараллельную пластинку. На экране
наблюдают полосы раной толщины в свете как бы отраженном от этой
пластинки.
1 1 1
= +
определяет
Условие наблюдения полос равной толщины
f2 a b
необходимое для их наблюдения расстояние b от объектива до экрана.
В отличие от полос равного наклона с точечным изображением на экране,
в случае наблюдения полос равной толщины на экране видно большое пятно —
изображение освещенной части верхнего зеркала. Пятно покрыто полосами
равной толщины как бы оптического клина, если одно из зеркал чуть
повернуто. Полосы соответствуют равной толщине оптического клина между
верхним зеркалом и изображением правого зеркала.
При идеальной юстировке (настройке) зеркал ширина полос бесконечна,
и пятно на экране равномерно освещено (равномерно светлое или равномерно
темное).
Экзамен. Интерферометр Жамена.
Оптическая
схема
интерферометра
Жамена
нижеследующем рисунке.
приведена
на
Интерферометр Жамена, как и другие интерферометры, обычно
используют для получения зависимости показателя преломления исследуемого
газа от его давления и от длины волны света.
Пусть в каждом из двух интерферирующих лучей установлена одна из
двух одинаковых кювет.
Если интерферометр Жамена освещать параллельным пучком лучей, то
при идеальных плоскопараллельных пластинках весь экран будет засвечен
равномерно. Если хотя бы одна из пластинок не совсем плоскопараллельна, то
образуется оптический клин, и интерферирующие волны приходят на экран под
небольшим углом друг к другу. Оптический клин приводит к появлению на
экране интерференционных полос.
Эксперимент по измерению показателя преломления газа состоит в
следующем. Сначала обе кюветы откачивают, затем в одну из кювет
постепенно напускают исследуемый газ. В процессе изменения давления газа
изменяется его показатель преломления и оптическая длина нижней кюветы.
Пока изменяется давление газа интерференционные полосы бегут по
экрану. Нужно сосчитать, сколько интерференционных полос проходит через
фиксированную точку экрана. Пусть число полос равно m , тогда оптическая
длина кюветы изменяется на величину ∆ = mλ . Это с одной стороны, а с другой
стороны, изменение оптической длины кюветы равно nl − l , где l —
геометрическая длина кюветы. Тогда из равенства
mλ = l ( n − 1)
можно экспериментально определить величину показателя преломления
n.
Представляет интерес, как зависимость показателя преломления от длины
волны света n ( λ ) или дисперсия света, так и зависимость показателя
преломления от давления или концентрации N исследуемого газа для проверки
n2 − 1 4
n2 − 1
~ N , здесь α —
формулы Лоренц-Лорентца
= π Nα или
n2 + 2 3
n2 + 2
поляризуемость молекулы или коэффициент пропорциональности между
дипольным моментом молекулы и напряженностью светового поля p = α E .
Экзамен. Интерферометр Рождественского (Маха-Цендера).
Оптическая схема интерферометра представлена на нижеследующем
рисунке:
.
Преимущество этой схемы по сравнению с интерферометром Жамена в
том, что здесь легко разместить широкие кюветы. Недостаток схемы — более
сложная юстировка.
Экзамен. Интерферометр Рэлея.
Оптическая схема интерферометра представлена на рисунке:
Дифракция.
Дифракция волн — это огибание волнами препятствий.
Как и интерференцию, будем рассматривать дифракцию в вакууме.
Факультатив. Интегральная теорема Кирхгофа.
Интегральная теорема Кирхгофа позволяет выразить амплитуду
светового поля в точке наблюдения через интеграл по любой поверхности,
охватывающей точку наблюдения.
Рассмотрим волновое уравнение для комплексного светового поля:
1 ∂ 2 Eɶ
∆Eɶ − 2 ⋅ 2 = 0 , где c — фазовая скорость световых волн.
c ∂t
Пусть зависимость поля Eɶ от времени монохроматическая
Eɶ ( t , r ) = Eɶ 0 ( r ) ⋅ e−iω t .
Подставим это выражение в волновое уравнение и получим уравнение
Гельмгольца для пространственной зависимости Eɶ 0 ( r ) поля Eɶ ( t , r ) :
ω
∆Eɶ 0 + k 2 Eɶ 0 = 0 , где k = .
c
Eɶ 0 ( r ) — комплексная амплитуда комплексного светового поля Eɶ ( t , r ) на
частоте ω в точке с радиус-вектором r .
--------
Рассмотрим два любых решения уравнения Гельмгольца: ϕ ( r ) и ψ ( r ) .
Тогда
∆ϕ + k 2ϕ = 0
.

2
∆ψ + k ψ = 0
Умножим первое уравнение на ψ , второе умножим на ϕ , и рассмотрим
разность двух уравнений:
ψ ⋅ ∆ϕ − ϕ ⋅ ∆ψ = 0 .
Рассмотрим
div ψ ⋅ ∇ϕ − ϕ ⋅ ∇ψ = div ψ ⋅ ∇ϕ − div ϕ ⋅ ∇ψ = ∇, ψ ∇ϕ − ∇, ϕ ∇ψ .
(
)
(
)
(
) (
) (
)
Каждое из двух слагаемых раскроем, как производную от произведения и
получим:
= ∇ψ , ∇ϕ + ψ ∇, ∇ϕ − ∇ϕ , ∇ψ − ϕ ∇, ∇ψ =
(
)
(
) (
) (
)
= ψ ⋅ ∆ϕ − ϕ ⋅ ∆ψ = 0
Последнее равенство нулю доказано семью строками выше.
=>
Итак div ψ ⋅ ∇ϕ − ϕ ⋅ ∇ψ = 0
0 = ∫ div ψ ⋅ ∇ϕ − ϕ ⋅ ∇ψ ⋅ dV = ∫ ψ ⋅ ∇ϕ − ϕ ⋅ ∇ψ , dS , где
(
(
)
)
((
V
) )
последнее
S
равенство — это теорема Гаусса-Остроградского, примененная к векторному
полю ψ ⋅ ∇ϕ − ϕ ⋅ ∇ψ . Далее
ψ
⋅
∇
ϕ
−
ϕ
⋅
∇
ψ
,
dS
=
ψ
∇
ϕ
,
dS
−
ϕ
∇
ψ
,
dS
.
∫
∫
(
)
((
( (
) )
S
) (
))
S
Заметим, что
∇ϕ , dS = ∇ϕ
) ( )dS ⋅ dS = ∂∂ϕn ⋅ dS , где
(
n — внешняя нормаль поверхности
S . Тогда
∂ψ 
 ∂ϕ
ψ
ϕ
ϕ
ψ
ψ
ϕ
∇
,
dS
−
∇
,
dS
=
−
(
)
(
)
(
)

∫
∫  ∂n ∂n  ⋅ dS = 0 .
S
Последнее равенство
∂ψ 
 ∂ϕ
−
ψ
ϕ

∫  ∂n ∂n  ⋅ dS = 0
S
S
(1)
нулю определяется тем, что десятью строками выше мы начали
рассмотрение цепочки равенств с нуля.
--------∂ψ 
 ∂ϕ
−ϕ
Подставим в равенство (1) ∫ ψ
 ⋅ dS = 0 функции ϕ и ψ в
∂n
∂n 

S
виде:
ϕ = Eɶ 0 ( r )

ikr , где Eɶ 0 ( r ) — комплексная амплитуда светового поля.

e
ψ =

r
Чтобы иметь право подставить обе функции в равенство (1)
∂ψ 
 ∂ϕ
ψ
ϕ
−

∫  ∂n ∂n  ⋅ dS = 0 необходимо, чтобы обе функции удовлетворяли
S
уравнению Гельмгольца:
 ∆ϕ + k 2ϕ = 0
.

2
 ∆ψ + k ψ = 0
Комплексная амплитуда светового поля Eɶ ( r ) удовлетворяет уравнению
0
Гельмгольца
∆Eɶ 0 + k 2 Eɶ 0 = 0 ,
так как само световое поле Eɶ ( t , r ) удовлетворяет волновому уравнению
1 ∂ 2 Eɶ
ɶ
∆E − 2 ⋅ 2 = 0
c ∂t
и мы хотим рассмотреть монохроматическое световое поле в виде
Eɶ ( t , r ) = Eɶ 0 ( r ) ⋅ e−iω t .
eikr
Покажем теперь, что функция ψ =
тоже удовлетворяет уравнению
r
eikr
имеет сферическую симметрию, поэтому
Гельмгольца. Функция ψ =
r
проверку удобно проводить в сферической системе координат, где оператор
Лапласа имеет следующий вид:
1 ∂  2 ∂ψ 
1
∂ 
∂ψ 
1
∂ 2ψ
.
∆ψ = 2 ⋅  r
⋅  sin (θ ) ⋅
⋅
+
+
∂θ  r 2 sin 2 (θ ) ∂ϕ 2
r ∂r  ∂r  r 2 sin (θ ) ∂θ 
eikr
зависит только от координаты r . В таком случае нужно
Функция ψ =
r
рассмотреть только производные по r.
1 ∂  ∂ψ 
∆ψ = 2 ⋅  r 2
=>

r ∂r  ∂r 
∂  2 ∂  eikr
∆ψ = 2 ⋅  r

r ∂r  ∂r  r
1
(
  1 ∂  2  eikr
eikr
  = 2 ⋅  r ⋅  − 2 + ik


r
  r ∂r 
 r
))
 1 ∂
−eikr + ikr ⋅ eikr =
  = 2 ⋅

  r ∂r
(
eikr
= −k 2ψ
r
r
Сравнивая начало и конец цепочки равенств, получим
∆ψ + k 2ψ = 0 — уравнение Гельмгольца для функции ψ .
ϕ = Eɶ 0 ( r )
∂ψ 

 ∂ϕ
в
равенство
(1)
−
Подставим 
ψ
ϕ
ikr

 ⋅ dS = 0 и получим
∫
e
n
n
∂
∂


ψ =
S
r

 eikr ∂Eɶ0 ( r )
 ikr  
ɶ ( r ) ⋅ ∂  e   ⋅ dS = 0
⋅
−
(2)
E

0
∫  r ∂n
 r 
n
∂


S
Теорема Гаусса-Остроградского, на основе которой были получены
равенства (1) и (2), справедлива только в том случае, если подынтегральная
функция не имеет особых точек в объеме V , то есть не обращается в
бесконечность ни в одной точке объема V . Поэтому из объема, ограниченного
eikr
поверхностью S нужно исключить точку r = 0 , в которой функция ψ =
r
обращается в бесконечность.
Будем считать, что граница S объема V двусвязная и состоит из двух
односвязных поверхностей S1 и S2 .
1
(
⋅ −ik ⋅ eikr + ik ⋅ eikr − k 2r ⋅ eikr
2
=
= −k 2 ⋅
Здесь S1 — малая сфера с центром в точке r = 0 .
Если в равенстве (2) n — внешняя нормаль объема V , то
∫ + ∫ = 0 .
S1
S2
Если же в равенстве (2) n — внешняя нормаль поверхностей S1 и S2 , то
− ∫ +
S1
∫
S2
=0
=>
∫
S1
=
∫
S2
<=>
)
 eikr ∂Eɶ 0 ( r )
∂  eikr
ɶ
∫  r ⋅ ∂n − E0 ( r ) ⋅ ∂n  r

S1 
Рассмотрим подробнее
∫
 eikr ∂Eɶ 0 ( r )

∂  eikr
ɶ
⋅
− E0 ( r ) ⋅ 
  ⋅ dS = ∫ 

 r
∂
∂n  r
n

S2 

  ⋅ dS


— интеграл по малой сфере.
S1
 eikr ∂Eɶ 0 ( r )
∂  eikr  
ɶ
∫ = ∫  r ⋅ ∂n − E0 ( r ) ⋅ ∂n  r   ⋅ dS =


S1
S1 
eikr ∂Eɶ 0 ( r )
∂  eikr 
= ∫
⋅
⋅ dS − ∫ Eɶ 0 ( r ) ⋅ 
 ⋅ dS ≈
∂n
∂n  r 
r
S1
S1
∂Eɶ 0 ( r )
∂  eikr
eikr
ɶ
≈
⋅
⋅ dS − E0 ( r ) ⋅ ∫ 
r ∫ ∂n
∂n  r
S1
S1

 ⋅ dS

eikr
,
В последнем равенстве из первого интеграла вынесен сомножитель
r
так как он постоянен на поверхности сферы с постоянным радиусом r . Из
второго интеграла вынесен сомножитель Eɶ 0 ( r ) , так как он почти постоянен
для сферы малого радиуса.
∂Eɶ 0 ( r )
eikr
⋅
⋅ dS в получившемся
Рассмотрим первое слагаемое
r ∫ ∂n
S1
∂Eɶ 0 ( r )
выражении. Здесь подынтегральное выражение
ограничено, так как
∂n
Eɶ 0 ( r ) не имеет особенности при r = 0 . Площадь сферы S1 = 4π r 2 ~ r 2 . Тогда и
∂Eɶ 0 ( r )
весь интеграл ∫
⋅ dS ограничен слагаемым пропорциональным r 2 с
∂n
S1
учетом ограниченности подынтегрального выражения. При малых значениях
eikr
1
примерно пропорционален ,
величины r сомножитель перед интегралом
r
r
и все выражение с первым интегралом стремится к нулю:
∂Eɶ 0 ( r )
eikr
⋅
⋅ dS ~ r → 0 .
r →0
r ∫ ∂n
S1
Рассмотрим теперь второе слагаемое в выражении
∂Eɶ 0 ( r )
eikr
∂  eikr 
ɶ
⋅
⋅ dS − E0 ( r ) ⋅ ∫ 
 ⋅ dS , а именно:
∂n  r 
r ∫ ∂n
S1
S1
∂  eikr
− Eɶ 0 ( r ) ⋅ ∫ 
∂n  r
S1

 ⋅ dS .

Здесь сомножитель перед интегралом Eɶ 0 ( r ) ≈ Eɶ 0 ( 0 ) — это амплитуда
∂
∂
= . Тогда
светового поля в точке r = 0 , а
∂n ∂r
∂  eikr 
∂  eikr 
∂  eikr 
ɶ
ɶ
ɶ
− E0 ( r ) ⋅ ∫ 
 ⋅ dS = − E0 ( 0 ) ∫ 
 ⋅ dS = − E0 ( 0 ) 
 ⋅ dS
∂n  r 
∂r  r 
∂r  r  ∫
S1
S1
S1
eikr 1
≈ . Тогда
В последнем выражении при малых значениях r получим
r
r
ikr
∂ e 
1

 ≈ − 2 . Следовательно, два интеграла можно заменить одним вторым
∂r  r 
r
интегралом и получить
∂  eikr
ɶ
− E0 ( r ) ⋅ ∫ 
∂n  r
S1

∂  eikr
ɶ
 ⋅ dS ≈ − E0 ( 0 ) ⋅ 
∂r  r


 ⋅ ∫ dS ≈
 S1
1
 1 
≈ − Eɶ 0 ( 0 ) ⋅  − 2  ⋅ ∫ dS = Eɶ 0 ( 0 ) ⋅ 2 ⋅ 4π ⋅ r 2 = 4π Eɶ 0 ( 0 ) .
r
 r  S
1
Тогда из равенства интегралов по двум поверхностям
∫
S1
=
∫
и
S2
равенства первого интеграла величине 4π Eɶ 0 получаем:
 eikr ∂Eɶ 0 ( r )
1
∂  eikr  
ɶ
ɶ
E0 ( 0 ) =
⋅ 
⋅
− E0 ( r ) ⋅ 
  ⋅ dS .
4π ∫  r
∂n
∂n  r  
S2
Здесь n — внешняя нормаль поверхности S2. Заменим ее на внутреннюю
нормаль, а появляющийся при этом знак минус компенсируем переменой мест
подынтегральных слагаемых. Поскольку в рассмотрении осталась только
поверхность S2 переобозначим S2 → S и получим интегральную теорему
Кирхгофа в окончательном виде:

 eikr  eikr ∂Eɶ 0 ( r ) 
1
∂
Eɶ 0 ( 0 ) =
⋅ ∫  Eɶ 0 ( r ) ⋅ 
−
⋅
(3)
 ⋅ dS ,
 r 


4π
∂
∂
n
r
n



S
где n — внутренняя нормаль замкнутой поверхности S , и точка r = 0
расположена внутри этой замкнутой поверхности.
Экзамен. Скалярная теория дифракции Кирхгофа.
При рассмотрении предыдущего вопроса мы сознательно не писали
значка вектора у напряженности электрического поля Eɶ ( t , r ) и у амплитуды
напряженности Eɶ ( r ) .
0
Теория дифракции Кирхгофа называется скалярной, чтобы подчеркнуть
ее нестрогость в применении к рассмотрению дифракции светового поля.
Строгая теория дифракции векторных электромагнитных волн оказалась
крайне неудобной для практических расчетов. Эту теорию можно найти в
книге:
А. Дж. Стрэттон. Теория электромагнетизма. М.; Л.: ОГИЗ, 1948. С.409.
В обсуждаемой ниже теории Кирхгофа рассматривают точечный
источник света, излучающий сферически симметричные волны с комплексной
амплитудой вида:
eikr0
Eɶ 0 ( r0 ) = A0
,
r0
где r0 — вектор, проведенный из точечного источника света в точку
наблюдения. На самом деле электромагнитные волны поперечны, а поперечные
волны не могут быть сферически симметричны. Вместо сферически
симметричного поля надо было бы рассматривать поле излучающего диполя.
Итак, пусть источником света является один точечный сферически
симметричный источник S0 . Нас будет интересовать световое поле в точке
наблюдения P . Точку наблюдения охватывает замкнутая поверхность S такая,
что источник света S0 расположен снаружи поверхности S .
Введем необходимые обозначения:
r — радиус-вектор из точки наблюдения P в точку на поверхности S ,
r0 — радиус-вектор из источника света S0 в точку на поверхности S ,
n — внутренняя нормаль поверхности S ,
α ≡ n
, −r — угол между нормалью к поверхности и вектором,
(
)
направленным из точки поверхности S в точку наблюдения P ,
α 0 ≡ n
, r0 — угол между нормалью к поверхности и вектором,
( )
направленным от источника света S0 в точку на поверхности S .
В формулу (3) рассмотренной раньше интегральной теоремы Кирхгофа

 eikr  eikr ∂Eɶ 0 ( r ) 
1
∂
Eɶ 0 ( 0 ) =
⋅  Eɶ 0 ( r ) ⋅ 
⋅
 ⋅ dS
−
4π ∫ 
∂n  r 
∂n 
r
S
подставим поле точечного сферически симметричного источника света
eikr0
Eɶ 0 ( r0 ) = A0
r0
и получим
A0  eikr0 ∂  eikr  eikr ∂  eikr0  
ɶ
EP =
⋅ 
⋅ 
⋅ 
  ⋅ dS .
−
4π ∫  r0 ∂n  r 
r ∂n  r0  

S
eikr
Функция
зависит только от r , поэтому градиент этой функции
r
направлен вдоль вектора r , и длина градиента равна модулю производной от
функции по r. Производная от функции по любому направлению может быть
выражена через производную по r , умноженную на косинус угла между r и
направлением
дифференцирования.
В
нашем
случае
направление
дифференцирования n — это направление внутренней нормали к поверхности
S . Рассмотрим этот косинус
cos ( n , r ) = − cos ( n , − r ) = − cos (α )
Тогда
 eikr 1 ikr 
∂  eikr  d  eikr 
=
⋅
−
cos
=
− 2 e  ⋅ ( − cos (α ) ) .
α
( ) )  ik



 (

∂n  r  dr  r 
r
r


В последнем равенстве подставлена производная от произведения eikr на
1
. Длина волны мала по сравнению с любыми расстояниями. Тогда
r
1
2π
1
k
r >> λ
=>
<< k =
=>
<<
.
r
λ
r
r2
Следовательно, второе слагаемое в выражении производной по нормали
можно отбросить. Тогда
∂  eikr 
eikr
cos (α ) .

 ≈ −ik
∂n  r 
r
Аналогично
∂  eikr0  d  eikr0 
, r0 =

=

 ⋅ cos n
∂n  r0  dr0  r0 
 eikr0 1 ikr 
d  eikr0 
=
− 2 e 0  ⋅ cos (α 0 ) .

 ⋅ cos (α 0 ) =  ik


dr0  r0 
r
r0
0


С учетом r0 >> λ можно отбросить второе слагаемое и получить
( )
∂  eikr0

∂n  r0

eikr0
ik
≈
⋅ cos (α 0 ) .


r
0

Подставим
выражения
производных
по
нормали
ikr
ikr
ikr
ikr
∂ e 
e
e 0
∂ e 0 
cos (α ) и
⋅ cos (α 0 ) в интеграл по

 ≈ ik

 ≈ −ik
∂n  r 
r
r0
∂n  r0 
поверхности S и получим:
 eikr0 

 eikr  eikr0
A
eikr
EP = 0 ⋅ ∫ 
⋅  −ik
cos (α )  −
⋅  ik
⋅ cos (α 0 )   ⋅ dS =


 r 
4π
r
r 
r0


S 0 

A0  eikr0
eikr
eikr
eikr0
=−
⋅ ∫ 
⋅ ik
cos (α ) +
⋅ ik
⋅ cos (α 0 )  ⋅ dS .
 r

r
r
r0
4π

S 0
В этом выражении заменим обратно сферически симметричную волну
eikr0
на Eɶ 0 ( r0 ) . Это можно сделать, если считать, что
точечного источника A0
r0
любое световое поле с любым распределением амплитуды Eɶ ( r ) можно
0
0
eikr0
представить, как совокупность излучений A0
точечных источников.
r0
Строго говоря, это не справедливо, хотя бы потому, что вместо сферически
симметричного излучения точечного источника логичнее рассматривать
излучение точечного электрического диполя. Тем не менее, вслед за Кирхгофом
получим

ik  ɶ eikr
eikr ɶ ɶ
EP = −
E
r
⋅
cos
α
+
E
r
⋅
cos
α
(
)
(
)
(
)
(
)

0
0
0  ⋅ dS .
4π ∫ 
r
r

S
Два подынтегральных слагаемых отличаются только косинусами.
k
1 2π
1
Подставим сюда
=
⋅
=
и получим окончательное выражение
4π 4π λ 2λ
i
eikr
ɶ
ɶ
EP = −
E0 ( r ) ⋅
⋅ ( cos (α 0 ) + cos (α ) ) ⋅ dS .
(4)
2λ ∫
r
S
Эта формула представляет поле в точке наблюдения P , как сумму полей
вторичных источников света, расположенных на поверхности S замкнутой
вокруг точки наблюдения P .
--------Проанализируем амплитуду излучения каждого вторичного источника
света в точке наблюдения P .
Амплитуда пропорциональна площади излучающей площадки dS ,
комплексной амплитуде поля Eɶ 0 ( r ) в точке вторичного источника и обратно-
1
расстоянию r от вторичного источника до точки
r
1
хорошо
наблюдения P . Зависимость амплитуды от расстояния вида ~
r
согласуется с тем фактом, что через любую сферу проходит одинаковая
энергия, тогда интенсивность спадает с расстоянием обратно-пропорционально
1
площади сферы ~ 2 , а амплитуда ведет себя, как корень из интенсивности
r
1
~ . Амплитуда в точке P имеет фазовый множитель eikr , который
r
определяется запаздыванием фазы kr в точке наблюдения относительно фазы
вторичного источника. Кроме того, амплитуда вторичного источника
пропорциональна сомножителю
i
−
⋅ ( cos (α 0 ) + cos (α ) ) ,
2λ
который называют коэффициентом наклона. Коэффициент наклона
описывает зависимость излучательной способности вторичного источника
света от направления волны пришедшей ко вторичному источнику и от
направления волны ушедшей от вторичного источника.
Вторичный источник света назад не излучает, то есть при условии
α0 + α = π
получаем
cos (α 0 ) + cos (α ) = 0
пропорциональна ~
Экзамен. Применение теории Кирхгофа к дифракции света на отверстии
произвольной формы в плоском экране.
i
eikr
ɶ
ɶ
EP = −
E0 ( r ) ⋅
⋅ ( cos (α 0 ) + cos (α ) ) ⋅ dS
2λ ∫
r
S
В качестве охватывающей точку наблюдения P поверхности S выберем
сферу с радиусом R и центром в точке P . Часть сферы, которая находится до
экрана, с другой стороны экрана от точки наблюдения, заменим плоскостью,
расположенной вплотную к экрану со стороны точки наблюдения P .
Мысленно разобьем поверхность S на три части:
S = S1 + S 2 + S3 , где
S1 — поверхность оставшейся справа от экрана части сферы,
S2 — плоская поверхность, примыкающая непосредственно к экрану,
S3 — поверхность отверстия в экране.
Согласно Кирхгофу интеграл нужно брать только по поверхности S3 , так
как оба других интеграла стремятся к нулю, по крайней мере, при стремлении
радиуса сферы R к бесконечности.
∫ →0 , так как световое поле за непрозрачным экраном очень мало.
S2
Факультативная вставка.
Сложнее показать, что ∫ →0 . Это происходит только благодаря
R →∞
S1
сомножителю в виде коэффициента наклона. И действительно, с одной
стороны, на большом расстоянии R от отверстия амплитуда Eɶ 0 поля
1
вторичных источников на поверхности сферы спадает с расстоянием Eɶ 0 ~ , и
R
ikr
e
1
в подынтегральном выражении спадает, как ~ , так как
сомножитель
r
R
r = R , но с другой стороны, площадь поверхности сферы растет S ~ R 2 .
Поэтому, казалось бы, интеграл должен стремиться к константе. Этого не
происходит из-за коэффициента наклона. Для вторичных источников на
поверхности сферы α ≡ n
, −r = 0 , и, следовательно, cos (α ) = 1 .
(
)
( )
(
)
, r0 = − cos −
n , r0 , где ( − n ) —
На поверхности сферы cos (α 0 ) = cos n
n , r0 на поверхности сферы очень мал при
внешняя нормаль к сфере, угол −
(
)
больших значениях R .
Тогда
 (π − α )
0
cos (α 0 ) = − cos − n , r0 = − cos (π − α 0 ) ≈ − 1 −

2

 (π − α )2  (π − α )2
0 
0
=
.
cos (α ) + cos (α 0 ) ≈ 1 − 1 −


2
2


(
)
2




При больших значениях R угол (π − α 0 ) — мал: π − α 0 ~
=>
1
. Тогда
R
cos (α ) + cos (α 0 ) ~
1
.
R2
1
1
Учитывая, что E0 ~ , S ~ R 2 , cos (α ) + cos (α 0 ) ~ 2 , получим
R
R
1
1
1
2
0.
∫ ~ R 2 ⋅ R ⋅ R 2 ~ R 2 →
R →∞
S
1
В результате интегралы по поверхностям S1 и S2 малы, и ими можно
пренебречь.
Конец факультативной вставки.
По теории Кирхгофа для дифракции на отверстии в плоском экране
достаточно суммировать излучение вторичных источников только по
поверхности отверстия по формуле
i ɶ eikr
ɶ
EP = −
E0 ( r ) ⋅
⋅ ( cos (α 0 ) + cos (α ) ) ⋅ dS .
2λ ∫
r
S
ɶ
Здесь E0 ( r ) — комплексная амплитуда светового поля в плоскости
отверстия,
r —вектор из точки наблюдения P в точку вторичных источников на
поверхности отверстия,
α 0 —угол между лучом, пришедшим к отверстию, и нормалью к экрану
n,
α — угол между нормалью к экрану n и направлением ( − r ) от
вторичного источника к точке наблюдения.
Заметим, что оба угла α 0 и α — острые углы, так как n — нормаль к
экрану в направлении распространения света.
--------Во многих практически важных случаях световая волна падает на экран
=>
cos (α 0 ) = 1
=>
перпендикулярно экрану. Тогда α 0 = 0
i
− (1 + cos (α ) ) — коэффициент наклона, при нормальном падении
2λ
света на экран, α — угол поворота света на вторичном источнике.