Параметрическое регулирование экономического роста на базе неавтономных вычислимых моделей общего равновесия

Параметрическое регулирование экономического роста на базе неавтономных вычислимых
моделей общего равновесия
Ашимов А.А., Султанов Б.Т., Боровский Ю.В., Боровский Н.Ю., Алшанов Р.А., Ашимов Ас.А.
В работе изложены некоторые результаты развития теории параметрического регулирования на классы
математических моделей, представляемых неавтономными непрерывными и дискретными динамическими
системами. Приведены теоремы о существовании решений некоторых задач вариационного исчисления для
указанных классов моделей и о непрерывной зависимости от неуправляемых функций оптимальных
значений критериев указанных задач. На примере CGE модели отраслей экономики проиллюстрирована
эффективность применения предложенного метода параметрической идентификации большеразмерных
математических моделей. На базе CGE модели отраслей экономики проведен анализ источников
экономического роста и продемонстрирована эффективность подхода теории параметрического
регулирования для проведения государственной экономической политики в сфере экономического роста.
Введение
Как известно, существует широкое согласие среди макроэкономистов по применению
математических моделей для макроэкономического анализа [1], [2] и решения задач экономического
регулирования [3], [4].
В [5], [6] на уровне автономных динамических систем предложена теория параметрического
регулирования для оценки рациональных значений инструментов в сфере государственной экономической
политики.
На практике открытая национальная экономика эволюционирует в условиях влияния внешних и
внутренних факторов, представляемых с помощью векторных функций времени. Это обуславливает
необходимость описания эволюции национального хозяйства неавтономными математическими моделями
(представляемыми неавтономными динамическими системами) и соответствующее развитие теории
параметрического регулирования.
В данной работе содержатся некоторые результаты развития теории параметрического
регулирования на классы непрерывных, дискретных динамических систем и иллюстрация развитых
положений на примере дискретной неавтономной CGE модели отраслей экономики.
1. Элементы теории параметрического регулирования на базе непрерывных и дискретных
неавтономных динамических систем
В данном разделе приводятся результаты по развитию теории параметрического регулирования в
рамках двух ее компонентов: методов оценки оптимальных значений экономических инструментов и
исследование влияний неуправляемых факторов на результаты решения задачи выбора оптимальных
значений экономических инструментов.
2.1 Условия существования решения задачи вариационного исчисления по синтезу оптимального
закона параметрического регулирования непрерывной неавтономной динамической системы и
непрерывной зависимости соответствующих оптимальных значений критерия от неуправляемых
функций
Рассматривается непрерывная управляемая система в следующем виде:
𝑥̇ (𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑎(𝑡)), 𝑡 ∈ [0, 𝑇],
𝑥(0) = 𝑥0
(1)
(2)
где t
– время;
𝑥 = 𝑥(𝑡) = (𝑥 1 (𝑡), … , 𝑥 𝑚 (𝑡)) – вектор-функция состояния системы;
𝑢 = 𝑢(𝑡) = (𝑢1 (𝑡), … , 𝑢𝑞 (𝑡)) – вектор-функция управления;
𝑎 = 𝑎(𝑡) = (𝑎1 (𝑡), … , 𝑎 𝑠 (𝑡)) – известная вектор-функция;
𝑥0 = (𝑥01 , … , 𝑥0𝑚 ) – начальное состояние системы, известный вектор;
𝑓 – известная вектор-функция своих аргументов.
Метод выбора оптимальных значений экономических инструментов связан со следующей моделью,
представляемой
- критерием оптимальности
1
𝑇
𝐾 = ∫0 𝐹(𝑡, 𝑥(𝑡)) 𝑑𝑡 → max (min),
(3)
где 𝐹 – известная функция;
- фазовыми ограничения на решения системы вида
𝑥(𝑡) ∈ 𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇],
(4)
где 𝑋(𝑡)– заданное множество и
- явными ограничениями на управление:
𝑢(𝑡) ∈ 𝑈(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇],
(5)
где 𝑈(𝑡) – заданное множество.
На базе соотношений (1)-(5) получаем следующую задачу, называемую задачей вариационного
исчисления по синтезу оптимальных законов параметрического регулирования для непрерывной
динамической системы.
Задача 1. При известной функции 𝑎 найти управление 𝑢, удовлетворяющее условию (5), чтобы
соответствующее ему решение динамической системы (1), (2) удовлетворяло условию (4) и доставляло
максимум (минимум) функционалу (3).
Определим для фиксированных 𝑡 ∈ [0, 𝑇] и 𝑥 ∈ 𝑋(𝑡) множество Γ𝑡,𝑥 = {𝑓(𝑥, 𝑤, 𝑎(𝑡))|𝑤 ∈ 𝑈(𝑡)} в 𝑅𝑚 .
Обозначим через 𝑉𝑎 множество допустимых пар «состояние – управление» рассматриваемой системы при
заданной известной функции 𝑎, т.е. таких пар вектор-функций (𝑥, 𝑢), которые удовлетворяют соотношениям
(1), (2), (4), (5). Пусть 𝐵 есть единичный шар с центром в начале координат в 𝑅𝑚 , 𝑋 есть замыкание
множества ⋃𝑡∈[0,𝑇] 𝑋(𝑡), 𝑈 - замыкание множества ⋃𝑡∈[0,𝑇] 𝑈(𝑡). Пусть множество возможных значений
функции a принадлежит некоторому множеству 𝐴 ⊂ 𝑅 𝑠 .
Следующие две теоремы следуют из предложения 4.2 главы 8 монографии [7], доказательство которого
основано на теореме о полунепрерывности снизу [7, глава 8, теорема 2.1].
Теорема 1. Пусть функция а непрерывна на отрезке [0, 𝑇], U - компакт в 𝑅𝑞 , функция f непрерывна в
𝑋 × 𝑈 × 𝐴, и для любого 𝜌 ≥ 0 существует такое 𝜎 ≥ 0, что справедливо неравенство
|𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑎(𝑡)) − 𝑓(𝑥′, 𝑢, 𝑎(𝑡))| ≤ 𝜎|𝑥 − 𝑥 ′ | ∀𝑡 ∈ [0, 𝑇] ,
𝑥, 𝑥 ′ ∈ 𝜌𝐵,
𝑢∈𝑈
и существует такая константа 𝜂 ≥ 0, что справедливо неравенство
|𝑥𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑎(𝑡))| ≤ 𝜂(1 + |𝑥|2 ) ∀𝑡 ∈ [0, 𝑇],
𝑥 ∈ 𝑅𝑚 ,
𝑢∈𝑈
Пусть X – компакт, функция F непрерывна на [0, 𝑇] × 𝑋. Пусть, кроме того, отображения 𝑡 → 𝑋(𝑡), 𝑡 →
𝑈(𝑡) являются непрерывными для 𝑡 ∈ [0, 𝑇] в следующем смысле: если справедливы включения 𝑥𝑘 ∈ 𝑋(𝑡𝑘 ),
𝑢𝑘 ∈ 𝑈(𝑡𝑘 ), где 𝑡𝑘 ∈ [0, 𝑇], 𝑘 = 1, 2, … и имеются сходимости 𝑡𝑘 → 𝑡, 𝑥𝑘 → 𝑥 𝑢𝑘 → 𝑢, то справедливы
включения 𝑥 ∈ 𝑋(𝑡), 𝑢 ∈ 𝑈(𝑡). Тогда в случае непустоты множества 𝑉𝑎 и выпуклости множества 𝛤𝑡,𝑥 для
всех 𝑡 ∈ [0, 𝑇] , 𝑥 ∈ 𝑋(𝑡) задача 1 имеет решение в классе измеримых функций.
Будем рассматривать неуправляемые функции 𝑎 в (1) в виде элементов пространства непрерывных
вектор-функций Θ = (𝐶[0, 𝑇])𝑠 . Следующая теорема устанавливает достаточные условия непрерывной
зависимости оптимальных значений критерия задачи 1 от неуправляемых функций.
Теорема 2. Предположим, что при выполнении условий теоремы 1 в некоторой окрестности точки 𝑎0
в Θ, функция f непрерывна по второму аргументу и удовлетворяет условию Липшица по первому и
третьему аргументам на 𝑋 × 𝐴 равномерно по второму аргументу. Тогда оптимальное значение критерия
для задачи 1 непрерывно зависит от неуправляемой функции в точке 𝑎0 .
2.2 Условия существования решения задачи вариационного исчисления по синтезу оптимального
закона параметрического регулирования дискретной неавтономной динамической системы и
непрерывной зависимости соответствующих оптимальных значений критерия от неуправляемых
функций
Рассматривается дискретная управляемая система в следующем виде:
𝑥(𝑡 + 1) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑎(𝑡)), 𝑡 = 0, 1, … 𝑛 − 1;
2
(6)
𝑥(0) = 𝑥0 .
(7)
Здесь t – время, принимающее неотрицательные целочисленные значения;
𝑥 = 𝑥(𝑡) = (𝑥 1 (𝑡), … , 𝑥 𝑚 (𝑡))– вектор-функция состояния системы дискретного аргумента;
𝑢 = 𝑢(𝑡) = (𝑢1 (𝑡), … , 𝑢𝑞 (𝑡)) – управление, вектор-функция дискретного аргумента;
𝑎 = 𝑎(𝑡) = (𝑎1 (𝑡), … , 𝑎 𝑠 (𝑡)) – известная вектор-функция дискретного аргумента;
𝑥0 = (𝑥01 , … , 𝑥0𝑚 ) – начальное состояние системы, известный вектор;
𝑓 – известная вектор-функция своих аргументов.
Метод выбора оптимальных значений экономических инструментов связан со следующей моделью,
представляемой
- критерием оптимальности
𝐾 = ∑𝑛𝑡=1 𝐹[𝑡, 𝑥(𝑡)] → max (min),
(8)
где F – известная функция;
- фазовыми ограничения на решения системы вида
𝑥(𝑡) ∈ 𝑋(𝑡), 𝑡 = 1, … 𝑛,
(9)
где 𝑋(𝑡) заданное множество.
- явными ограничениями на управление:
𝑢(𝑡) ∈ 𝑈(𝑡), 𝑡 = 0, … 𝑛 − 1,
(10)
где 𝑈(𝑡) – заданное множество.
На базе соотношений (6)-(10) получаем следующую вариационную задачу, называемую задачей
вариационного исчисления по синтезу оптимальных законов параметрического регулирования для
дискретной системы.
Задача 2. При известной функции 𝑎 найти управление 𝑢, удовлетворяющее условию (10), чтобы
соответствующее ему решение динамической системы (6), (7) удовлетворяло условию (9) и доставляло
максимум (минимум) функционалу (8).
Обозначим через 𝑉𝑎 множество допустимых пар «состояние – управление» рассматриваемой системы
при заданной известной функции 𝑎, т.е. таких пар вектор-функций (𝑥, 𝑢), которые удовлетворяют
соотношениям (6), (7), (9), (10). Введем обозначения: 𝑋 = ⋃𝑛𝑡=1 𝑋(𝑡), 𝑈 = ⋃𝑛−1
𝑡=0 𝑈(𝑡).
Справедливы следующие две теоремы, доказательства которых основаны на использовании свойств
непрерывных функций и, в частности, на использовании свойств функций непрерывных на компакте.
Теорема 3. Предположим, что при известной функции 𝑎 множество 𝑉𝑎 не пусто, множества 𝑋(𝑡) и
𝑈(𝑡 − 1) замкнуты и ограничены для всех 𝑡 = 1, … , 𝑛, функция 𝑓 непрерывна по первым двум аргументам на
множестве 𝑋 × 𝑈, а функция 𝐹 непрерывна по второму аргументу на множестве 𝑋. Тогда задача 2 имеет
решение.
Будем рассматривать неуправляемые функции 𝑎 в (6) в виде элементов евклидова пространства 𝑅 𝑠𝑚 .
Теорема 4. Пусть при выполнении условий теоремы 1 для любых значениях 𝑎 ∈ 𝐴 (где 𝐴 – некоторое
открытое множество в евклидовом пространстве 𝑅 𝑠 ) функция 𝑓 непрерывна по третьему аргументу в 𝐴 и
удовлетворяет условию Липшица по первому аргументу в X равномерно по второму и третьему
аргументам в 𝑈 × 𝐴. Тогда оптимальное значение критерия для задачи 2 непрерывно зависит от
неуправляемой функции 𝑎 принимающей значения в 𝐴.
Эффективность развитых положений теории параметрического регулирования иллюстрируются
ниже на подклассе вычислимых моделей общего равновесия (CGE моделях).
3. Пример. Анализ источников развития и решение задачи экономического роста на базе CGE
модели отраслей экономики
3.1 Представление CGE моделей
Рассматриваемые CGE модели, в том числе CGE модель отраслей экономики в общем виде
представляются с помощью следующей системы соотношений [8].
1) Подсистема разностных уравнений, связывающая значения эндогенных переменных для двух
последовательных лет:
𝑥1 (𝑡 + 1) = 𝑓1 (𝑥1 (𝑡), 𝑥2 (𝑡), 𝑥3 (𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑎(𝑡)),
3
(11)
Здесь 𝑡 = 0, 1, … , 𝑛 − 1 – номер года, дискретное время; 𝑥(𝑡) = (𝑥1 (𝑡), 𝑥2 (𝑡), 𝑥3 (𝑡)) ∈ 𝑅𝑚 – вектор
эндогенных переменных системы;
𝑥𝑖 (𝑡) ∈ 𝑋𝑖 (𝑡) ⊂ 𝑅𝑚𝑖 , 𝑖 = 1, 2, 3.
(12)
Здесь переменные
𝑥1 (𝑡) включают в себя значения основных фондов секторов-производителей, остатки средств
агентов на счетах в банках и др.;
𝑥2 (𝑡) включают в себя значения спроса и предложения агентов на различных рынках и др.,
𝑥3 (𝑡) – различные виды рыночных цен и доли бюджета на рынках с государственными ценами для
различных экономических агентов; 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 = 𝑚;
𝑢(𝑡) ∈ 𝑈(𝑡) ⊂ 𝑅𝑞 – вектор-функция управляемых (регулируемых) параметров. Значения координат
этого вектора соответствует различным инструментам государственной экономической политики, например,
таким как доли государственного бюджета и бюджетов экономических агентов, различные налоговые
ставки, ставки по гос. облигациям и др.;
𝑎(𝑡) ∈ 𝐴 ⊂ 𝑅 𝑠 - вектор-функция неуправляемых параметров (факторов). Значения координат этого
вектора характеризуют различные зависящие от времени внешние и внутренние социально-экономические
факторы: цены экспортных и импортных товаров, численность населения страны, параметры
производственных функций и др.;
𝑋1 (𝑡), 𝑋2 (𝑡), 𝑋3 (𝑡), 𝑈(𝑡), – компактные множества с непустыми внутренностями; 𝑋𝑖 = ⋃𝑛𝑡=1 𝑋𝑖 (𝑡), 𝑖 =
1, 2, 3; 𝑋 = ⋃3𝑖=1 𝑋𝑖 ; 𝑈 = ⋃𝑛−1
𝑡=0 𝑈(𝑡), 𝐴 - открытое связное множество;
𝑓1 : 𝑋 × 𝑈 × 𝐴 → 𝑅𝑚1 – непрерывное отображение.
2) Подсистема алгебраических уравнений, описывающих поведение и взаимодействие агентов на
различных рынках в течение выбранного года, эти уравнения допускают выражение переменных 𝑥2 (𝑡) через
экзогенные параметры и остальные эндогенные переменные:
𝑥2 (𝑡) = 𝑓2 (𝑥1 (𝑡), 𝑥3 (𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑎(𝑡)),
(13)
Здесь 𝑓2 : 𝑋1 × 𝑋3 × 𝑈 × 𝐴 → 𝑅 𝑚2 - непрерывное отображение.
3) Подсистема рекуррентных соотношений для итеративных вычислений равновесных значений
рыночных цен на различных рынках и долей бюджета на рынках с государственными ценами для различных
экономических агентов:
𝑥3 (𝑡)[𝑄 + 1] = 𝑓3 (𝑥2 (𝑡)[𝑄], 𝑥3 (𝑡)[𝑄], 𝐿, 𝑢(𝑡), 𝑎(𝑡))
(14)
Здесь 𝑄 = 0, 1, … – номер итерации; 𝐿 – набор из положительных чисел (настраиваемые константы
итераций, при уменьшении их значений экономическая система быстрее приходит в состояние равновесия,
однако при этом увеличивается опасность ухода цен в отрицательную область; 𝑓3 : 𝑋2 × 𝑋3 × (0, +∞)𝑚3 ×
𝑈 × 𝐴 → 𝑅 𝑚2 – непрерывное отображение (являющееся сжимающим при фиксированных 𝑡; 𝑥1 (𝑡) ∈
𝑋1 (𝑡); 𝑢(𝑡) ∈ 𝑈(𝑡); 𝑎(𝑡) ∈ 𝐴 и некоторых фиксированных 𝐿. В этом случае отображение 𝑓3 имеет
единственную неподвижную точку, к которой сходится итерационный процесс (13), (14).
Вычислимые модели (11), (13), (14) при фиксированных значениях функций 𝑢(𝑡) и 𝑎(𝑡) для каждого
момента времени t определяет значения эндогенных переменных 𝑥(𝑡), соответствующие равновесию цен
спроса и предложения на рынках товаров и услуг агентов в рамках следующего алгоритма.
1) На первом шаге полагается 𝑡 = 0 и задаются начальные значения переменных 𝑥1 (0).
2) На втором шаге для текущего 𝑡 задаются начальные значения переменных 𝑥3 (0)[0] на различных
рынках и для различных агентов; с помощью (13), вычисляются значения 𝑥2 (𝑡)[0] =
𝑓2 (𝑥1 (𝑡), 𝑥3 (𝑡)[0], 𝑢(𝑡), 𝑎(𝑡)), (начальные значения спроса и предложения агентов на рынках товаров и
услуг).
3) На третьем шаге для текущего 𝑡 запускается итерационный процесс (14). При этом для каждого
значения 𝑄 текущие значения спросов и предложений находятся из (13): 𝑥2 (𝑡)[𝑄] =
𝑓2 (𝑥1 (𝑡), 𝑥3 (𝑡)[𝑄], 𝑢(𝑡), 𝑎(𝑡)), через уточнения рыночных цен и долей бюджетов экономических агентов.
Условием остановки итерационного процесса является равенство значений спросов и предложений на
различных рынках с точностью до 0.01%. В результате определяются равновесные значения рыночных цен
на каждом рынке и долей бюджета на рынках с государственными ценами для различных экономических
агентов. Индекс 𝑄 для таких равновесных значений эндогенных переменных мы опускаем.
4) На следующем шаге по полученному равновесному решению для момента времени 𝑡 с помощью
разностных уравнений (11) находятся значения переменных 𝑥1 (𝑡 + 1). Значение 𝑡 увеличивается на
единицу. Переход на шаг 2.
Количество повторений шагов 2, 3, 4 определяются в соответствии с задачами параметрической
идентификации, прогноза и регулирования на заранее выбранных интервалах времени.
4
Рассматриваемая CGE модель может быть представлена в виде непрерывного отображение
𝑓: 𝑋 × 𝑈 × 𝐴 → 𝑅𝑚 , задающего преобразование значений эндогенных переменных системы для нулевого
года в соответствующие значения следующего года согласно приведенному выше алгоритму. Здесь
компакты 𝑋(𝑡) = 𝑋1 (𝑡) × 𝑋3 (𝑡) × 𝑋3 (𝑡), задающие компакт 𝑋 в пространстве эндогенных переменных
определяется множеством возможных значений переменных 𝑥1 и соответствующими равновесными
значениями переменных 𝑥2 и 𝑥3 рассчитываемых с помощью соотношений (13) и (14).
Будем предполагать, что при для выбранной точки 𝑥1 (0) ∈ Int(𝑋1 ) и соответствующей, рассчитанной
с помощью (13), (14) точки 𝑥(0) = (𝑥1 (0), 𝑥2 (0), 𝑥3 (0)) верно включение 𝑥(𝑡) = 𝑓 𝑡 (𝑥(0)) ∈ Int(𝑋(𝑡)) при
некоторых фиксированных 𝑢(𝑡) ∈ Int(𝑈(𝑡)), 𝑎(𝑡) ∈ 𝐴 для 𝑡 = 0, … , 𝑛. (𝑛 – фиксированное натуральное
число). Это отображение 𝑓 определяет дискретную динамическую систему вида (6), (7) в множестве 𝑋, на
траектории которого наложено соответствующее начальное условие:
{𝑓 𝑡 , 𝑡 = 0,1, … }, 𝑥|𝑡=0 = 𝑥0 .
(15)
На базе данного представления ниже рассматривается конкретная CGE модель отраслей экономики.
3.2. Параметрической идентификации CGE модели отраслей экономики
The considered model по статистическим данным экономики Республики Казахстан is presented by the
following nineteen economic agents (sectors):
Рассматриваемая модель по статистическим данным республики Казахстан представлена с помощью
следующих восемнадцати экономических агентов.
Sector № 1. Agriculture, hunting and forestry;
Sector № 2. Fishing and fish breeding;
Sector № 3. Mining industry;
Sector № 4. Manufacturing industry;
Sector № 5. Production and distribution of the electric power, gas and water;
Sector № 6. Construction;
Sector № 7. Trade, car repairs and repair of products of house using;
Sector № 8. Hotels and restaurants;
Sector № 9. Transport and communication;
Sector № 10. Financial activity;
Sector № 11. Operations with real estate, rent and services to enterprises;
Sector № 12. Public administration;
Sector № 13. Education;
Sector № 14. Public health services and social services;
Sector № 15. Other municipal, social and personal services;
Sector № 16. Services in housekeeping;
Sector № 17. Aggregate consumer including housekeeping activities;
Sector № 18. Government, represented by central, regional and local governments and also by non-budget
funds. This sector also involves noncommercial organizations serving households (political parties, trade unions,
public associations etc.);
Sector № 19. Banking sector, involving Central bank and commercial banks.
Здесь экономические сектора № 1-16 являются агентами производителями.
Рассматриваемая модель представляется в рамках общих выражений соотношений (11), (13), (14)
соответственно 𝑚1 = 67, 𝑚1 = 597, 𝑚3 = 34 выражениями, с помощью которых рассчитываются значения
ее 698 эндогенных переменных. Эта модель также содержит 2045 оцениваемых экзогенных параметров.
Задача параметрической идентификации исследуемой макроэкономической математической модели
состоит в нахождении оценок неизвестных значений ее параметров, при которых достигается минимальное
значение целевой функции, характеризующей отклонения значений выходных переменных модели от
соответствующих наблюдаемых значений (известных статистических данных для промежутка времени 𝑡 =
𝑡1 , 𝑡1 + 1, … , 𝑡2 ). Эта задача сводится к нахождению минимального значения функции нескольких
переменных (параметров) в некоторой замкнутой области D евклидова пространства с ограничениями вида
(12), накладываемыми на значения эндогенных переменных. В случае большой размерности области
возможных значений искомых параметров, стандартные методы нахождения экстремумов функции часто
бывают неэффективными в связи наличием нескольких локальных минимумов целевой функции. Ниже
предлагается алгоритм, учитывающий особенности задачи параметрической идентификации
макроэкономических моделей и позволяющий обойти указанную проблему «локальных экстремумов»
𝑡2
В качестве области 𝐷 ⊂ ∏𝑡=𝑡
[𝑈(𝑡) × 𝐴(𝑡)] × 𝑋1 (𝑡1 ) для оценки возможных значений экзогенных
1
параметров (значений экзогенных функций 𝑢(𝑡), 𝑎(𝑡) и начальных условий динамических уравнений (11))
(𝑞+𝑠)(𝑡 −𝑡 +1)+𝑚1 𝑖 𝑖
рассматривалась область вида 𝐷 = ∏𝑖=1 2 1
[𝑎 , 𝑏 ], где [𝑎𝑖 , 𝑏 𝑖 ] - промежуток возможных значений
5
параметра 𝑝𝑖 ; 𝑖 = 1, … , (𝑞 + 𝑠)(𝑡2 − 𝑡1 + 1) + 𝑚1 . При этом оценки параметров, для которых имелись
наблюдаемые значения, искались в промежутках [𝑎𝑖 , 𝑏 𝑖 ] с центрами в соответствующих наблюдаемых
значениях (в случае одного такого значения) или в некоторых промежутках, покрывающих наблюдаемые
значения (в случае нескольких таких значений). Прочие промежутки [𝑎𝑖 , 𝑏 𝑖 ] для поиска параметров
выбирались с помощью косвенных оценок их возможных значений. Для нахождения минимальных
значений непрерывной функции нескольких переменных 𝐾: 𝐷 → 𝑅 с дополнительными ограничениями на
эндогенные переменные вида (12) в вычислительных экспериментах использовался алгоритм направленного
поиска Нелдера-Мида [9]. Применение этого алгоритма для начальной точки 𝑝1 ∈ 𝐷 можно
интерпретировать в виде сходящейся к локальному минимуму 𝑝0 = argmin 𝐾 функции 𝐾
𝐷,(7)
последовательности {𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 , … }, где 𝐾(𝑝𝑗+1 ) ≤ 𝐾(𝑝𝑗 ), 𝑝𝑗 ∈ 𝐷, 𝑗 = 1,2, … В описании следующего
алгоритма мы будем считать, что точка 𝑝0 может быть найдена достаточно точно.
Для решения задачи параметрической идентификации рассматриваемой CGE модели на основе
очевидного предположения о несовпадении (в общем случае) точек минимума двух различных функций
предложены два критерия следующего типа:
𝐾𝐴 (𝑝) = √
1
𝑛𝛼 (𝑡2 −𝑡1 +1)
2
𝐴
∑𝑡𝑡=𝑡
∑𝑛𝑖=1
𝛼𝑖 (
1
𝑦 𝑖 (𝑡)−𝑦 𝑖∗ (𝑡)
𝑦 𝑖∗ (𝑡)
2
) , 𝐾𝐵 (𝑝) = √
1
𝑛𝛽(𝑡2 −𝑡1 +1)
2
∑𝑡𝑡=𝑡
∑𝑛𝐵 𝛽 (
1 𝑖=1 𝑖
𝑦 𝑖 (𝑡)−𝑦 𝑖∗ (𝑡)
𝑦 𝑖∗ (𝑡)
2
) . (16)
Здесь {𝑡1 , … , 𝑡2 } – промежуток времени идентификации; 𝑦 𝑖 (𝑡), 𝑦 𝑖∗ (𝑡) – соответственно расчетные и
наблюдаемые значения выходных переменных модели, 𝐾𝐴 (𝑝) – вспомогательный критерий, 𝐾𝐵 (𝑝) –
основной критерий; 𝑛𝐵 > 𝑛𝐴 ; 𝛼𝑖 > 0 и 𝛽𝑖 > 0 – некоторые весовые коэффициенты, значения которых
определяются в процессе решения задачи параметрической идентификации динамической системы;
𝑛𝐵
𝐴
∑𝑛𝑖=1
𝛼𝑖 = 𝑛𝛼 , ∑𝑖=1
𝛽𝑖 = 𝑛𝛽 .
Алгоритм решения задачи параметрической идентификации модели был выбран в виде следующих
этапов.
1. Параллельно, для некоторого вектора начальных значений параметров 𝑝1 ∈ 𝐷, решаются задачи А и
В, в результате находятся точки 𝑝𝐴0 и 𝑝𝐵0 минимума критериев 𝐾𝐴 и 𝐾𝐵 соответственно.
2. Если для некоторого достаточно малого числа 𝜀 верно 𝐾𝐵 (𝑝𝐵0 ) < 𝜀, то задача параметрической
идентификации модели (11), (13), (14) решена.
3. В противном случае, используя в качестве начальной точки 𝑝1 точку 𝑝𝐵0 , решается задача A, и,
используя в качестве начальной точки 𝑝1 точку 𝑝𝐴0 , решается задача B. Переход на этап 2.
Достаточно большое число повторений этапов 1, 2, 3 дает возможность выходить искомым значениям
параметров из окрестностей точек неглобальных минимумов одного критерия с помощью другого критерия
и, тем самым, решить задачу параметрической идентификации.
В результате совместного решения задач A и B согласно указанному алгоритму c использованием с
использованием статистических данных по эволюции экономики Республики Казахстан алгоритма НелдераМидда [9] были получены значения 𝐾𝐴 = 0.015 и 𝐾𝐵 = 0.0063. При этом относительная величина
отклонений расчетных значений переменных используемых в основном критерии от соответствующих
наблюдаемых значений составила менее 0.63%.
В дальнейшем просчет модели за границей периода параметрической идентификации (прогнозный
просчет) с помощью экстраполированных на прогнозный период значений функций 𝑢(𝑡), 𝑎(𝑡) будем
называть базовым просчетом.
Результаты просчета и ретроспективного базового просчета модели на 2008 г., частично
представленные в таблице 1 демонстрируют расчетные (𝑌(𝑡), 𝑌𝑔 (𝑡), 𝑃(𝑡)), наблюдаемые значения и
отклонения расчетных значений основных выходных переменных модели от соответствующих
наблюдаемых значений. Здесь промежуток времени 2000-2007 гг. соответствует периоду параметрической
идентификации модели; 2008 г. - период ретропрогноза; Y(𝑡) – валовый выпуск ( × 1012 тенге, в ценах 2000
года); 𝑌𝑔 (𝑡) – ВВП ( × 1012 тенге, в ценах 2000 года); P(𝑡) – индекс потребительских цен в процентах к
предыдущему году; знак «*» соответствует наблюдаемым значениям, знак «Δ» соответствует отклонениям
(в процентах) расчетных значений от соответствующих наблюдаемых значений.
Таблица 1. Наблюдаемые, расчетные значения выходных переменных модели и соответствующие
отклонения.
Показатель\ 2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Год
5.44
6.32
6.47
6.86
7.72
8.52
9.25
9.69
9.84
𝑌 ∗ (𝑡)
𝑌(𝑡)
5.38
6.32
6.47
6.86
7.72
8.52
9.27
9.64
9.82
Δ𝑌(𝑡)
-1.22
-0.02
0.00
0.00
0.05
0.08
0.21
-0.51
-0.26
6
Показатель\
Год
𝑌𝑔∗ (𝑡)
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2.45
2.78
3.05
3.36
3.72
4.09
4.55
5.01
5.18
𝑌𝑔 (𝑡)
2.47
2.78
3.05
3.35
3.72
4.09
4.55
5.01
5.20
Δ𝑌𝑔 (𝑡)
0.88
0.07
-0.04
-0.02
-0.02
-0.02
-0.04
-0.15
0.38
𝑃 (𝑡)
106.4
106.6
106.8
106.7
107.5
108.4
118.8
109.5
𝑃(𝑡)
107.6
106.8
106.9
106.7
107.3
108.2
118.6
109.4
1.13
0.18
0.08
-0.05
-0.23
-0.22
-0.24
-0.05
∗
Δ𝑃(𝑡)
3.3 Анализ источников экономического роста на базе CGE модели отраслей экономики
В данном разделе проводится анализ источников экономического роста отраслей экономики на базе
CGE модели отраслей экономики, экзогенные функции которой были оценены с помощью статистических
данных социально-экономического развития Республики Казахстан за 2000-2008 годы. Для решения этой
задачи используются следующие выражения производственных функций типа Кобба-Дугласа 16 отраслей
экономики исследуемой модели:
𝑝
𝑧
𝑌𝑖 (𝑡 + 1) = 𝐴𝑟𝑖 (𝑡) × exp[∑16
𝑗=1 𝐴𝑖,𝑗 (𝑡) × 𝐷𝑖,𝑗 (𝑡)] × [
𝑘
𝐾𝑖 (𝑡)+𝐾𝑖 (𝑡+1) 𝐴𝑖 (𝑡)
]
2
× [𝐷𝑖𝑙 (𝑡)]
𝐴𝑙𝑖 (𝑡)
.
(17)
Здесь 𝑡 – время в годах; 𝑖, 𝑗 = 1, … ,16 – номер отрасли;
𝑌𝑖 – реальный выпуск i-ой отрасли;
𝑝
𝐷𝑖,𝑗 - реальный спрос i-ой отрасли на промежуточную продукцию, производимую j-ой отраслью;
𝐷𝑖𝑙 - спрос i-ой отрасли на рабочую силу;
𝐾𝑖 - реальные основные фонды i-ой отрасли;
𝑧
𝐴𝑟𝑖 , 𝐴𝑖,𝑗
, 𝐴𝑘𝑖 , 𝐴𝑙𝑖 – экзогенные функции.
Оценим влияние темпов роста аргументов этой функций на темпы роста выпуска отрасли 𝑌𝑖 (𝑡 + 1) в
𝑧
предположении о постоянстве экзогенных функций 𝐴𝑖,𝑗
, 𝐴𝑘𝑖 , 𝐴𝑙𝑖 . Такое предположение используется при
экстраполяции этих функций на прогнозный период расчета модели: 2010-2015 гг.
Прологарифмировав обе части (17), найдя затем полное приращение функции и отбросив члены
Δ𝑌
высшего порядка малости, получим следующую оценку темпа роста 𝑦𝑖 = 𝑖 реального выпуска i-ой отрасли
𝑌𝑖
𝑝
в зависимости от темпов роста эндогенных аргументов производственной функции - 𝐷𝑖,𝑗 (𝑡), 𝐾𝑖𝑚 (𝑡) =
𝐾𝑖 (𝑡)+𝐾𝑖 (𝑡+1)
2
, 𝐷𝑖𝑙 (𝑡) и экзогенного коэффициента технического прогресса 𝐴𝑟𝑖 (𝑡).
𝑦𝑖 =
Обозначим через 𝑎𝑖 =
Δ𝐴𝑟𝑖
𝐴𝑟𝑖
Δ𝐴𝑟𝑖
𝐴𝑟𝑖
𝑝
𝑧
+ ∑16
𝑗=1(𝐴𝑖,𝑗 × 𝐷𝑖,𝑗 )
𝑝
Δ𝐷𝑖,𝑗
𝑝
𝐷𝑖,𝑗
+ 𝐴𝑘𝑖
Δ𝐾𝑖𝑚
𝐾𝑖𝑚
+ 𝐴𝑙𝑖
Δ𝐷𝑖𝑙
(18)
𝐷𝑖𝑙
𝑝
– темп технического прогресса в i-ой отрасли; 𝑧𝑖𝑗 =
Δ𝐷𝑖,𝑗
потребляемых i-ой отраслью промежуточных продуктов, произведенных -ой отраслью; 𝑘𝑖 =
накопления капитала в i-ой отрасли; 𝑙𝑖 =
Δ𝐷𝑖𝑙
𝐷𝑖𝑙
𝑝
𝐷𝑖,𝑗
Δ𝐾𝑖𝑚
𝐾𝑖𝑚
– темп
– темп
– темп роста затрат труда в i-ой отрасли, где знак "Δ" означает
приращение переменной в течение одного года; значения времени в (18) для краткости пропущены.
Коэффициенты в правой части (18) при указанных выше темпах и характеризуют степени влияния
рассматриваемых факторов на экономический рост и позволяют сравнить их влияние с влиянием темпа
𝑧
технического прогресса, коэффициент при котором равен 1. Обозначив эти коэффициенты через 𝛼𝑖𝑗 = 𝐴𝑖,𝑗
×
𝑝
𝑘
𝑙
𝐷𝑖,𝑗 , 𝛽𝑖 = 𝐴𝑖 , 𝛾𝑖 = 𝐴𝑖 , из (18) получим ее сокращенную запись:
𝑦𝑖 = 𝑎𝑖 + ∑16
𝑗=1 𝛼𝑖𝑗 𝑧𝑖𝑗 + 𝛽𝑖 𝑘𝑖 + 𝛾𝑖 𝑙𝑖 .
(19)
Ниже приводятся значения коэффициентов, определяющих вклады источников экономического
роста каждой отрасли на базе рассматриваемой модели для 2008 года. (См. таблицу 2). Коэффициенты в
таблице 2 показывают, на сколько процентов увеличится темп роста выпуска отрасли при увеличении
факторов роста (темпов основных фондов, труда и спроса на соответствующие промежуточные товары
отраслей экономики) на 1% по сравнению с базовым вариантом.
7
Таблица 2. Коэффициенты, характеризующие влияние факторов экономического роста.
Номер
𝛽𝑖
𝛾𝑖
𝛼𝑖1
𝛼𝑖2
𝛼𝑖3
𝛼𝑖4
𝛼𝑖5
𝛼𝑖6
𝛼𝑖7
отрасли
i
0.3089
0.9051
1.345
9.480∙
2.897∙
2.171∙
1.602∙
2.028∙
1.345∙
1
-12
-02
-14
-13
-14
-14
-12
2
0.2426
2.4964
3
0.9650
0.6886
4
1.2900
0.0805
5
1.0×10-10
2.4083
6
0.9343
0.7721
10
7.308∙
10-01
10
7.087∙
10-16
2.970∙
10-12
8.634∙10-
10
9.884∙
10-15
8.269∙
10-13
1
13
2.003∙10-02
5.537∙
10-17
9.186∙
10-18
1.061∙
10-15
1.498∙
10-15
4.289∙10-16
2.265
8.913∙
10-14
3.313∙
10-14
3.115∙
10-14
4.343∙
10-17
1.666∙
10-13
9.989∙10-13
6.720∙
10-4
3.940∙
10-13
2.660∙
10-13
6.171∙
10-14
8.753∙
10-15
0.000∙
0.000∙
0.000
1.343∙10-
2.227∙10-13
3.199∙10-17
2.078∙10-16
-10
1.8792
8
1.0691
0.4706
9
0.8660
0.2153
10
0.6702
0.5492
11
1.2022
0.1006
12
1.0×10-10
2.5822
13
0.2635
1.7177
14
0.0227
1.7814
15
0.9304
0.2173
7 1.0×10
16
∙10
1.590∙
10-16
2.886∙
10-15
8.133∙10-16
2.929∙10-05
2.267
14
5.415∙10-14
0.000
0.000
-14
0.000
2.018∙10-
6.736∙10-14
1
0.000
6.280∙
10-15
4.397∙10-15
1.030∙
10-12
4.255∙
10-13
8.847∙
10-13
1.288∙
10-12
2.370∙10
0
0.000
5.064∙10-
1.408∙10-
0
0
0
0
0
𝛼𝑖11
𝛼𝑖12
0
16
2.280
4.626∙10-
0
1.436∙10-
0
1.581∙10-
0
15
4
8.038∙10-
4.353∙10-
6.338∙10-
14
16
5
1.642∙10
-
-
-
6
7.977∙10-
7
6.067∙10-
1.444∙
10-13
2.760∙
10-1
1.117∙
10-2
4.548∙10-
14
1
8
1.528∙10-
9
3.346∙10-
10
1.991∙10-
11
6.664∙10-
15
1.891
6.285∙10-
8.267∙
10-15
1.002∙
10-12
3.270∙
10-01
6.596∙
10-13
1.548∙
10-1
5.807∙
10-1
2.118∙
10-13
2.139∙10-
14
1
16
0
0
14
14
1.681∙10-
14
12
13
𝛼𝑖13
1.177∙10-
13
4.185∙10-1
4.820∙10-
0.000
5.739∙
10-15
4.809∙
10-13
0.000
2.929∙
10-05
5.415∙
10-14
2.370∙
10-14
6.736∙
10-14
0
2
12
15
5.308∙
10-13
0
14
14
15
1.664∙
10-04
2.573∙
10-14
1.142∙
10-13
1.919∙
10-13
1.041∙
10-15
3
14
4
1.324∙
10-14
2.508∙
10-13
7.288∙
10-15
4.005∙
10-14
8.811∙10-
1.579∙
10-13
4.633∙10-
14
13
3.199∙
10-17
2.078∙
10-16
8.133∙
10-16
2.003∙
10-02
4.289∙
10-16
3.926∙
10-14
8.054∙10-
15
16
5.300∙10-
3.712∙
10-13
2
15
03
5.406∙
10-3
2.467∙
10-15
4.124∙
10-14
3.375∙
10-15
3.057∙
10-14
5.602∙10-
7.681∙
10-15
10
1.087∙
10-14
2.221∙10-
15
1.478
2.641∙10-
10
1.590∙
10-16
2.886∙
10-15
2.227∙10-
3
Продолжение таблицы 2.
Номер
𝛼𝑖8
𝛼𝑖9
𝛼𝑖10
отрасли
i
4.595∙
1.807∙101 4.325∙1015-2
14
15
10
1.120∙
10-15
1.041∙10-15
1.9372
17
10
1.390∙
10-15
9.894∙
10-14
9.029∙10-
𝛼𝑖16
𝛼𝑖𝑠
18
0
0.1407
5
3.0108
0
1.571∙10-
0
14
0
𝛼𝑖14
𝛼𝑖15
1.178∙1
0-15
9.304∙10-
0
4.991∙1
0-4
3.379∙1
0-3
2.026∙1
0-17
1.554∙1
0-17
8.576∙1
0-5
1.338∙1
0-17
4.803∙1
0-16
2.616∙1017
6.132∙10
2.512∙10
1.247∙100
3.273∙10
3
14
6.525∙
10-16
3.407∙10-
2.014∙
10-14
1.505∙10-
0
13
12
0
3.053∙10-
1.507∙10-
14
14
3.203∙10-
4.339∙10-
13
13
2.862∙10-
5.408∙10-
13
15
2.965∙10-
2.646∙10-
13
12
9.506∙10-
7.964∙10-
13
3
1.794∙10-
1.331∙10-
16
0
-
5
8.436∙1017
5.394∙1016
2.339∙100
17
3.657∙100
15
1.347∙100
14
9.260∙100
14
2.126∙100
14
3.939∙10-
14
13
4.749∙10-
2.743∙10-
17
13
9.739∙10-
8.436∙10-
14
14
0
17
0
0
0
0
0
15
2.219∙100
16
9.538∙10-
8
5.445∙1016
0
5.494∙104
0
1.089∙1015
0
4.404∙1016
0
2.244∙1016
0
1.091∙1015
0
8.805∙100
1.661∙1
0-03
1.408∙1
0-15
7.738∙1
0-17
1.782∙1
0-14
1.416∙1
0-17
0
18
0.327
0
9.599∙1006
0
2.886∙1015
0
1.835∙1014
2.2688
95579
0.5812
64
0.5807
0
6.646∙1014
1.5007
091
0.1467
08
0.2893
2213
0.0111
7
0.4548
8576
0.0400
6
2.265
2.0928
0
1.222∙1013
0
0
0
0.2153
08
0
В последнем столбце таблицы 2 представлены коэффициенты 𝛼𝑖𝑠 = ∑16
𝑗=1 𝛼𝑖𝑗 , характеризующие
суммарное воздействие темпов всех потребляемых промежуточных продуктов i-ой отраслью на темп роста
этой отрасли.
Анализ таблицы коэффициентов 𝛽𝑖 , 𝛾𝑖 , 𝛼𝑖𝑠 таблицы 2 показывает, что, если исключить темп
технического прогресса, влияние которого на темп роста всех отраслей в данной модели одинаково, то из
трех оставшихся темпов факторов экономического роста, наибольшее влияние на темп реального выпуска
отраслей 1, 5, 7, 12, 13, 16 экономики оказывает темп затрат труда; для отраслей 4, 6, 8, 10, 15 – темп
накопления капитала; а для оставшихся отраслей 2, 3, 9, 11, 14 – темп потребляемых отраслью
промежуточных продуктов, произведенных всеми отраслями. Следует заметить, что последние указанные
отрасли (2, 3, 9, 11, 14) в 2008 году давали примерно половину выпуска страны. Также отметим, что для
отраслей 5, 7 12, 16 темпы накопления капитала практически не влияют на соответствующий темп роста
выпуска; темпы затрат труда оказывают ненулевое влияние на темпы роста выпуска всех отраслей; для
отраслей 6, 16 темпы потребляемых промежуточных продуктов не влияют на соответствующий темп роста
выпуска.
Результаты анализа позволяют выбрать следующие доли бюджетов 16 отраслей экономики в
качестве инструментов для решения задач экономического роста.
𝑂𝑖𝑗 (𝑡) – доля бюджета i-ой отрасли, идущая на оплату товаров и услуг, закупаемых у j-ой отрасли;
𝑂𝑖𝑙 (𝑡) - доля бюджета i-ой отрасли, идущая на оплату рабочей силы;
𝑂𝑖𝑛 (𝑡) - доля бюджета i-ой отрасли, идущая на покупку инвестиционных товаров.
Этот подход будет реализован в следующем разделе.
3.4. Нахождение оптимальных значений регулируемых параметров на базе CGE модели
отраслей экономики
Метод выбора оптимальных значений экономических инструментов в рамках развитых положений
теории параметрического регулирования связан со следующей моделью, представляемой
- критерием оптимальности 𝐾𝑟 вида (8), характеризующим среднее значение валового выпуска
страны за 2010-2015 годы в ценах 2000 года:
1
𝐾𝑟 = ∑2015
𝑡=2010 𝑌(𝑡) → max
6
(20)
- фазовыми ограничениями вида (9) в которые, также, включались ограничения на рост уровня
потребительских цен:
𝑃𝑐 (𝑡) ≤ 𝑃̅𝑐 (𝑡), 𝑡 = 2010, … ,2015,
(21)
где 𝑃̅𝑐 - расчетный уровень потребительских цен без параметрического регулирования, 𝑃𝑐 - уровень
потребительских цен с параметрическим регулированием.
- явными ограничениями на управление (𝑂𝑖𝑗 (𝑡), 𝑂𝑖𝑙 (𝑡), 𝑂𝑖𝑛 (𝑡) 𝑖, 𝑗 = 1, … ,16; 𝑡 = 2010, … ,2015) вида
(10):
𝑙
𝑛
𝑂𝑖𝑗 (𝑡) ≥ 0; 𝑂𝑖𝑙 (𝑡) ≥ 0; 𝑂𝑖𝑛 (𝑡) ≥ 0; ∑16
𝑗=1 𝑂𝑖𝑗 (𝑡) + 𝑂𝑖 (𝑡) + 𝑂𝑖 (𝑡) ≤ 1;
𝑙
𝑛
𝑛
̅̅̅𝑙
̅̅̅̅
̅̅̅̅
0.5 ≤ 𝑂𝑖𝑗 (𝑡)/𝑂
𝑖𝑗 ≤ 2; 0.5 ≤ 𝑂𝑖 (𝑡)/𝑂𝑖 ≤ 2; 0.5 ≤ 𝑂𝑖 (𝑡)/𝑂𝑖 ≤ 2.
(22)
Здесь ̅̅̅̅
𝑂𝑖𝑗 , ̅̅̅
𝑂𝑖𝑙 , ̅̅̅̅
𝑂𝑖𝑛 - фиксированные базовые значения указанных долей, полученные в результате решения
задачи параметрической идентификации модели по данным 2000-2008 гг.
С помощью соотношений (20)-(22) получаем следующую задачу экономического роста вида задачи 2
(Раздел 2.2).
Задача 3. На базе CGE модели секторов экономики найти значения долей бюджетов агентовпроизводителей (𝑂𝑖𝑗 (𝑡), 𝑂𝑖𝑙 (𝑡), 𝑂𝑖𝑛 (𝑡)), удовлетворяющих условию (22), чтобы соответствующее ему решение
CGE модели отраслей экономики удовлетворяло условию (21) и доставляло максимум функционалу (20).
В результате решения этой задачи численным методом значение критерия (20) оказалось равным
𝐾𝑟 =1.17950*1013 тенге, значение критерия увеличилось на 9.19% по сравнению с базовым вариантом.
Заключение
Приведены результаты по развитию теории параметрического регулирования в рамках двух ее
компонентов: методов оценки оптимальных значений экономических инструментов и исследование влияний
9
неуправляемых факторов на результаты решения задачи выбора оптимальных значений экономических
инструментов.
Показана эффективность предложенного метода параметрической идентификации большеразмерных
CGE моделей.
Приведены результаты вычислительных экспериментов по оценке и анализу источников
экономического роста на базе CGE модели отраслей экономики.
Показана эффективность применения теории параметрического регулирования в решении задач
экономического роста на базе CGE модели отраслей экономики.
Полученные результаты могут быть использованы при разработке и осуществлении эффективной
государственной политики в сфере экономического роста.
REFERENCES
D. Acemoglu, Introduction to Modern Economic Growth. (Princeton, New Jersey, USA: Princeton University
Press. 2008).
[2] S.J. Turnovsky. Methods of macroeconomic dynamics. (Cambridge, Massachusetts, USA: The MIT Press.
1997).
[3] F.J. André, M.A. Cardenete, C. Romero, Designing Public Policies. An Approach Based on Multi-Criteria
Analysis and Computable General Equilibrium Modeling. (Springer. Series: Lecture Notes in Economics and
Mathematical Systems, Vol. 642.. 1st Edition., 2010, XVIII, 180 p.)
[4] Ch.S. Tapiero, Applied stochastic models and control for finance and insurance. (Kluwer Academic Publishers,
1998).
[5] A.A. Ashimov, K.A. Sagadiyev, Yu.V. Borovskiy, N.A. Iskakov, and As.A. Ashimov, On the market economy
development parametrical regulation theory. Kybernetes, 37(5), 2008, 623–636.
[6] A.A. Ashimov, B.T. Sultanov, Zh.M. Adilov, Yu.V. Borovskiy, D.A. Novikov, R.M. Nizhegorodtsev, As.A.
Ashimov, Macroeconomic Analysis and Economic Policy Based on Parametric Control (New York: Springer,
2012).
[7] I. Ekeland, R. Temam. Convex analysis and variational problems (Amsterdam: North-Holland publishing
company, 1976).
[8] V.L. Makarov, A.R. Bakhtizin, and S.S. Sulashkin, The Use of Computable Models in Public Administration
(Moscow: Scientific Expert, 2007, in Russian).
[9] J.A. Nelder and R. Mead, A simplex method for function minimization, The Computer Journal, 7, 1965, 308–
313.
[1]
10