Параметрическое регулирование роста национальной экономики на базе региональной

Параметрическое регулирование роста национальной экономики на базе региональной
вычислимой модели общего равновесия
А.А. Ашимов, Ю.В. Боровский, Б.Т. Султанов, Н.Ю. Боровский, Р.А. Алшанов, Б.А. Айсакова
На примере региональной неавтономной вычислимой модели общего равновесия (CGE модели)
проиллюстрирована эффективность применения предложенного метода параметрической идентификации
большеразмерных математических моделей. Сформулирована задача параметрического регулирования
дискретной неавтономной динамической системы. Приведены теоремы о достаточных условиях
существования ее решения и о непрерывной зависимости соответствующих оптимальных значений
критерия от неуправляемых функций. На базе указанной CGE модели проведен анализ источников
экономического роста и продемонстрирована эффективность подхода теории параметрического
регулирования для проведения государственной экономической политики, направленной на экономический
рост и уменьшение диспропорций регионального экономического развития.
Key words — CGE model, discrete non-autonomous dynamic system, economic growth, parametric
identification, economic growth sources, parametric control.
Введение
Как известно, существует широкое согласие среди макроэкономистов по применению
математических моделей для макроэкономического анализа [1], [2] и решения задач экономического роста
[3], [4]. Одной из актуальных задач регулирования экономического роста является задача обеспечения
устойчивого роста национального хозяйства с учетом требований выравнивания уровней экономического
развития отдельных регионов страны.
В [7] приводится описание CGE модели «Россия: Центр — Федеральные округа», на базе которой,
после решения задачи калибровки, рассматривался сценарный подход для оценки практической
возможности сглаживания межрегиональной дифференциации в Российской Федерации. Однако в [7] не
рассматривались вопросы анализа источников экономического роста каждого региона и нахождения
оптимальных правил государственной экономической политики.
В [5], [6] предложена теория параметрического регулирования для макроэкономического анализа и
оценки оптимальных значений инструментов государственной экономической политики на базе ряда
классов макроэкономических моделей. В данной работе приводятся некоторые новые элементы этой теории:
теорема о достаточных условиях существования решения задачи вариационного исчисления по синтезу
оптимального закона параметрического регулирования дискретной неавтономной динамической системы и
теорема о достаточных условиях непрерывной зависимости соответствующих оптимальных значений
критерия от неуправляемых функций.
В работе также содержатся иллюстрации некоторых положений теории параметрического
регулирования на примере CGE модели “Центр - Регионы”:
- параметрическая идентификация модели на базе статистических данных экономики Республики
Казахстан,
- анализ источников регионального экономического роста на базе производственных функций
оцененной модели и
- синтез оптимальных законов параметрического регулирования для задач в сфере экономического
роста и уменьшения диспропорций регионального экономического развития.
1 Некоторые элементы теории параметрического регулирования
Рассматривается дискретная неавтономная управляемая система в следующем виде:
𝑥(𝑡 + 1) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑎(𝑡)), 𝑡 = 0, 1, … 𝑛 − 1;
𝑥(0) = 𝑥0 .
Здесь t – время, принимающее неотрицательные целочисленные значения;
𝑥 = 𝑥(𝑡) = (𝑥 1 (𝑡), … , 𝑥 𝑚 (𝑡))– вектор-функция состояния системы дискретного аргумента;
𝑢 = 𝑢(𝑡) = (𝑢1 (𝑡), … , 𝑢𝑞 (𝑡)) – управление, вектор-функция дискретного аргумента;
𝑎 = 𝑎(𝑡) = (𝑎1 (𝑡), … , 𝑎 𝑠 (𝑡)) – известная вектор-функция дискретного аргумента;
𝑥0 = (𝑥01 , … , 𝑥0𝑚 ) – начальное состояние системы, известный вектор;
𝑓 – известная вектор-функция своих аргументов.
1
(1)
(2)
Метод выбора оптимальных значений экономических инструментов связан со следующей моделью,
представляемой
- критерием оптимальности
𝐾 = ∑𝑛𝑡=1 𝐹[𝑡, 𝑥(𝑡)] → max (min),
(3)
где F – известная функция;
- фазовыми ограничения на решения системы вида
𝑥(𝑡) ∈ 𝑋(𝑡), 𝑡 = 1, … 𝑛,
(4)
где 𝑋(𝑡) заданное множество.
- явными ограничениями на управление:
𝑢(𝑡) ∈ 𝑈(𝑡), 𝑡 = 0, … 𝑛 − 1,
(5)
где 𝑈(𝑡) – заданное множество.
На базе соотношений (1)-(5) получаем следующую вариационную задачу, называемую задачей
вариационного исчисления по синтезу оптимальных законов параметрического регулирования для
дискретной системы.
Задача 1. При известной функции 𝑎 найти управление 𝑢, удовлетворяющее условию (5), чтобы
соответствующее ему решение динамической системы (1), (2) удовлетворяло условию (4) и доставляло
максимум (минимум) функционалу (3).
Обозначим через 𝑉𝑎 множество допустимых пар «состояние – управление» рассматриваемой системы
при заданной известной функции 𝑎, т.е. таких пар вектор-функций (𝑥, 𝑢), которые удовлетворяют
соотношениям (1), (2), (4), (5). Введем обозначения: 𝑋 = ⋃𝑛𝑡=1 𝑋(𝑡), 𝑈 = ⋃𝑛−1
𝑡=0 𝑈(𝑡).
Справедливы следующие две теоремы, доказательства которых основаны на использовании свойств
непрерывных функций и, в частности, на использовании свойств функций непрерывных на компакте.
Теорема 1. Предположим, что при известной функции 𝑎 множество 𝑉𝑎 не пусто, множества 𝑋(𝑡) и
𝑈(𝑡 − 1) замкнуты и ограничены для всех 𝑡 = 1, … , 𝑛, функция 𝑓 непрерывна по первым двум аргументам на
множестве 𝑋 × 𝑈, а функция 𝐹 непрерывна по второму аргументу на множестве 𝑋. Тогда задача 1 имеет
решение.
Будем рассматривать неуправляемые функции 𝑎 в (1) в виде элементов евклидова пространства 𝑅 𝑠𝑚 .
Теорема 2. Пусть при выполнении условий теоремы 1 для любых значениях 𝑎 ∈ 𝐴 (где 𝐴 – некоторое
открытое множество в евклидовом пространстве 𝑅 𝑠 ) функция 𝑓 непрерывна по третьему аргументу в 𝐴 и
удовлетворяет условию Липшица по первому аргументу в X равномерно по второму и третьему
аргументам в 𝑈 × 𝐴. Тогда оптимальное значение критерия для задачи 1 непрерывно зависит от
неуправляемой функции 𝑎, принимающей значения в 𝐴.
Эффективность развитых положений теории параметрического регулирования иллюстрируются
ниже на подклассе вычислимых моделей общего равновесия (CGE моделях).
2 Представление CGE моделей
Рассматриваемая CGE модель “Центр-Регионы” в общем виде представляются с помощью
следующей системы соотношений [7].
1) Подсистема разностных уравнений, связывающая значения эндогенных переменных для двух
последовательных лет:
𝑥1 (𝑡 + 1) = 𝑓1 (𝑥1 (𝑡), 𝑥2 (𝑡), 𝑥3 (𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑎(𝑡)).
(6)
Здесь 𝑡 = 0, 1, … , 𝑛 − 1 – номер года, дискретное время; 𝑥(𝑡) = (𝑥1 (𝑡), 𝑥2 (𝑡), 𝑥3 (𝑡)) ∈ 𝑅𝑚 – вектор
эндогенных переменных системы;
𝑥𝑖 (𝑡) ∈ 𝑋𝑖 (𝑡) ⊂ 𝑅𝑚𝑖 , 𝑖 = 1, 2, 3.
(7)
Здесь переменные
𝑥1 (𝑡) включают в себя значения основных фондов экономических агентов регионов, бюджеты
экономических агентов регионов и др.;
𝑥2 (𝑡) включают в себя значения спроса и предложения экономических агентов регионов на
различных рынках и др.,
𝑥3 (𝑡) – различные виды рыночных цен и доли бюджетов на рынках с фиксированными ценами для
различных экономических агентов; 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 = 𝑚;
2
𝑢(𝑡) ∈ 𝑈(𝑡) ⊂ 𝑅𝑞 – вектор-функция управляемых (регулируемых) параметров. Значения координат
этого вектора соответствует различным инструментам государственной экономической политики, например,
таким как доли государственного бюджета, различные налоговые ставки и др.;
𝑎(𝑡) ∈ 𝐴 ⊂ 𝑅 𝑠 – вектор-функция неуправляемых параметров (факторов). Значения координат этого
вектора характеризуют различные зависящие от времени внешние и внутренние социально-экономические
факторы: цены экспортных и импортных товаров, численность населения страны, параметры
производственных функций и др.;
𝑋1 (𝑡), 𝑋2 (𝑡), 𝑋3 (𝑡), 𝑈(𝑡), – компактные множества с непустыми внутренностями; 𝑋𝑖 = ⋃𝑛𝑡=1 𝑋𝑖 (𝑡), 𝑖 =
1, 2, 3; 𝑋 = ⋃3𝑖=1 𝑋𝑖 ; 𝑈 = ⋃𝑛−1
𝑡=0 𝑈(𝑡), 𝐴 – открытое связное множество;
𝑓1 : 𝑋 × 𝑈 × 𝐴 → 𝑅𝑚1 – непрерывное отображение.
2) Подсистема алгебраических уравнений, описывающих поведение и взаимодействие агентов на
различных рынках в течение выбранного года, эти уравнения допускают выражение переменных 𝑥2 (𝑡) через
экзогенные параметры и остальные эндогенные переменные:
𝑥2 (𝑡) = 𝑓2 (𝑥1 (𝑡), 𝑥3 (𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑎(𝑡)).
(8)
Здесь 𝑓2 : 𝑋1 × 𝑋3 × 𝑈 × 𝐴 → 𝑅 𝑚2 – непрерывное отображение.
3) Подсистема рекуррентных соотношений для итеративных вычислений равновесных значений
рыночных цен на различных рынках и долей бюджета на рынках с государственными ценами для различных
экономических агентов:
𝑥3 (𝑡)[𝑄 + 1] = 𝑓3 (𝑥2 (𝑡)[𝑄], 𝑥3 (𝑡)[𝑄], 𝐿, 𝑢(𝑡), 𝑎(𝑡)).
(9)
Здесь 𝑄 = 0, 1, … – номер итерации; 𝐿 – набор из положительных чисел (настраиваемые константы
итераций, при уменьшении их значений экономическая система быстрее приходит в состояние равновесия,
однако при этом увеличивается опасность ухода цен в отрицательную область; 𝑓3 : 𝑋2 × 𝑋3 × (0, +∞)𝑚3 ×
𝑈 × 𝐴 → 𝑅 𝑚2 – непрерывное отображение (являющееся сжимающим при фиксированных 𝑡; 𝑥1 (𝑡) ∈
𝑋1 (𝑡); 𝑢(𝑡) ∈ 𝑈(𝑡); 𝑎(𝑡) ∈ 𝐴 и некоторых фиксированных 𝐿. В этом случае отображение 𝑓3 имеет
единственную неподвижную точку, к которой сходится итерационный процесс (8), (9).
Вычислимые модели (6), (8), (9) при фиксированных значениях функций 𝑢(𝑡) и 𝑎(𝑡) для каждого
момента времени 𝑡 определяет значения эндогенных переменных 𝑥(𝑡), соответствующие равновесию цен
спроса и предложения на рынках товаров и услуг агентов в рамках следующего алгоритма.
1) На первом шаге полагается 𝑡 = 0 и задаются начальные значения переменных 𝑥1 (0).
2) На втором шаге для текущего 𝑡 задаются начальные значения переменных 𝑥3 (0)[0] на различных
рынках и для различных агентов; с помощью (8), вычисляются значения 𝑥2 (𝑡)[0] =
𝑓2 (𝑥1 (𝑡), 𝑥3 (𝑡)[0], 𝑢(𝑡), 𝑎(𝑡)), (начальные значения спроса и предложения агентов на рынках товаров и
услуг).
3) На третьем шаге для текущего 𝑡 запускается итерационный процесс (8)-(9). При этом для каждого
значения 𝑄 текущие значения спросов и предложений находятся из (8): 𝑥2 (𝑡)[𝑄] =
𝑓2 (𝑥1 (𝑡), 𝑥3 (𝑡)[𝑄], 𝑢(𝑡), 𝑎(𝑡)), через уточнения рыночных цен и долей бюджетов экономических агентов.
Условием остановки итерационного процесса является равенство значений спросов и предложений на
различных рынках с точностью до 0.01%. В результате определяются равновесные значения рыночных цен
на каждом рынке и долей бюджета на рынках с государственными ценами для различных экономических
агентов. Индекс 𝑄 для таких равновесных значений эндогенных переменных мы опускаем.
4) На следующем шаге по полученному равновесному решению для момента времени 𝑡 с помощью
разностных уравнений (6) находятся значения переменных 𝑥1 (𝑡 + 1). Значение 𝑡 увеличивается на единицу.
Переход на шаг 2.
Количество повторений шагов 2, 3, 4 определяются в соответствии с задачами параметрической
идентификации, прогноза и регулирования на заранее выбранных интервалах времени.
Рассматриваемая CGE модель может быть представлена в виде непрерывного отображение
𝑓: 𝑋 × 𝑈 × 𝐴 → 𝑅𝑚 , задающего преобразование значений эндогенных переменных системы для нулевого
года в соответствующие значения следующего года согласно приведенному выше алгоритму. Здесь
компакты 𝑋(𝑡) = 𝑋1 (𝑡) × 𝑋3 (𝑡) × 𝑋3 (𝑡), задающие компакт 𝑋 в пространстве эндогенных переменных
определяется множеством возможных значений переменных 𝑥1 и соответствующими равновесными
значениями переменных 𝑥2 и 𝑥3 рассчитываемых с помощью соотношений (8) и (9).
Будем предполагать, что при для выбранной точки 𝑥1 (0) ∈ Int(𝑋1 ) и соответствующей, рассчитанной
с помощью (8), (9) точки 𝑥(0) = (𝑥1 (0), 𝑥2 (0), 𝑥3 (0)) верно включение 𝑥(𝑡) = 𝑓 𝑡 (𝑥(0)) ∈ Int(𝑋(𝑡)) при
некоторых фиксированных 𝑢(𝑡) ∈ Int(𝑈(𝑡)), 𝑎(𝑡) ∈ 𝐴 для 𝑡 = 0, … , 𝑛. (𝑛 – фиксированное натуральное
число). Это отображение 𝑓 определяет дискретную динамическую систему в множестве 𝑋, на траектории
которого наложено соответствующее начальное условие:
{𝑓 𝑡 , 𝑡 = 0,1, … }, 𝑥|𝑡=0 = 𝑥0 .
3
(10)
На базе данного представления ниже рассматривается конкретная CGE модель “Центр-Регионы”.
3. Краткое описание и параметрическая идентификация CGE модели “Центр-Регионы”
Рассматриваемая модель по статистическим данным республики Казахстан и ее 16 регионов
представлена с помощью следующих шестидесяти шести экономических агентов (секторов):
- 16 легальных и 16 теневых секторов секторов экономики всех регионов;
- 16 агрегированных потребителей всех регионов (Aggregate consumer including housekeeping activities
в регионе);
- 16 региональных органов власти;
- Government, represented by central government and also by non-budget funds. This sector also involves
noncommercial organizations serving households (political parties, trade unions, public associations etc.);
- Banking sector, involving Central bank and commercial banks.
Здесь первые 32 экономических сектора являются агентами производителями.
Рассматриваемая модель представляется в рамках общих выражений соотношений (6), (8), (9)
соответственно 𝑚1 = 240, 𝑚2 = 4554, 𝑚3 = 160 выражениями, с помощью которых рассчитываются
значения ее 4954 эндогенных переменных. Эта модель также содержит 39112 оцениваемых экзогенных
параметров.
Задача параметрической идентификации исследуемой макроэкономической математической модели
состоит в нахождении оценок неизвестных значений ее параметров, при которых достигается минимальное
значение целевой функции, характеризующей отклонения значений выходных переменных модели от
соответствующих наблюдаемых значений (известных статистических данных для промежутка времени 𝑡 =
𝑡1 , 𝑡1 + 1, … , 𝑡2 ). Эта задача сводится к нахождению минимального значения функции нескольких
переменных (параметров) в некоторой замкнутой области 𝐷 евклидова пространства с ограничениями вида
(7), накладываемыми на значения эндогенных переменных. В случае большой размерности области
возможных значений искомых параметров, стандартные методы нахождения экстремумов функции часто
бывают неэффективными в связи наличием нескольких локальных минимумов целевой функции. Ниже
предлагается алгоритм, учитывающий особенности задачи параметрической идентификации
макроэкономических моделей и позволяющий обойти указанную проблему “локальных экстремумов”.
𝑡2
В качестве области 𝐷 ⊂ ∏𝑡=𝑡
[𝑈(𝑡) × 𝐴(𝑡)] × 𝑋1 (𝑡1 ) для оценки возможных значений экзогенных
1
параметров (значений экзогенных функций 𝑢(𝑡), 𝑎(𝑡) и начальных условий динамических уравнений (6))
(𝑞+𝑠)(𝑡 −𝑡 +1)+𝑚1 𝑖 𝑖
рассматривалась область вида 𝐷 = ∏𝑖=1 2 1
[𝑎 , 𝑏 ], где [𝑎𝑖 , 𝑏 𝑖 ] - промежуток возможных значений
𝑖
параметра 𝑝 ; 𝑖 = 1, … , (𝑞 + 𝑠)(𝑡2 − 𝑡1 + 1) + 𝑚1 . При этом оценки параметров, для которых имелись
наблюдаемые значения, искались в промежутках [𝑎𝑖 , 𝑏 𝑖 ] с центрами в соответствующих наблюдаемых
значениях (в случае одного такого значения) или в некоторых промежутках, покрывающих наблюдаемые
значения (в случае нескольких таких значений). Прочие промежутки [𝑎𝑖 , 𝑏 𝑖 ] для поиска параметров
выбирались с помощью косвенных оценок их возможных значений. Для нахождения минимальных
значений непрерывной функции нескольких переменных 𝐾: 𝐷 → 𝑅 с дополнительными ограничениями вида
(7) в вычислительных экспериментах использовался алгоритм направленного поиска Нелдера-Мида [8].
Применение этого алгоритма для начальной точки 𝑝1 ∈ 𝐷 можно интерпретировать в виде сходящейся к
локальному минимуму 𝑝0 = argmin 𝐾 функции 𝐾 последовательности {𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 , … }, где 𝐾(𝑝𝑗+1 ) ≤ 𝐾(𝑝𝑗 ),
𝐷,(7)
𝑝𝑗 ∈ 𝐷, 𝑗 = 1,2, …
Для решения задачи параметрической идентификации рассматриваемой CGE предложены два
критерия (вспомогательный и основной соответственно):
𝐾𝐴 (𝑝) = √
1
𝑛𝛼 (𝑡2 −𝑡1 +1)
2
𝐴
∑𝑡𝑡=𝑡
∑𝑛𝑖=1
𝛼𝑖 (
1
𝑦 𝑖 (𝑡)−𝑦 𝑖∗ (𝑡)
𝑦 𝑖∗ (𝑡)
2
) , 𝐾𝐵 (𝑝) = √
1
𝑛𝛽(𝑡2 −𝑡1 +1)
2
∑𝑡𝑡=𝑡
∑𝑛𝐵 𝛽 (
1 𝑖=1 𝑖
𝑦 𝑖 (𝑡)−𝑦 𝑖∗ (𝑡)
𝑦 𝑖∗ (𝑡)
2
) . (11)
Здесь {𝑡1 , … , 𝑡2 } – промежуток времени идентификации; 𝑦 𝑖 (𝑡), 𝑦 𝑖∗ (𝑡) – соответственно расчетные и
наблюдаемые значения выходных переменных модели, 𝑛𝐵 > 𝑛𝐴 ; 𝛼𝑖 > 0 и 𝛽𝑖 > 0 – некоторые весовые
коэффициенты, значения которых определяются в процессе решения задачи параметрической
𝑛𝐴
𝑛𝐵
идентификации динамической системы; ∑𝑖=1
𝛼𝑖 = 𝑛𝛼 , ∑𝑖=1
𝛽𝑖 = 𝑛𝛽 .
Алгоритм решения задачи параметрической идентификации модели был выбран в виде следующих
этапов.
1. Параллельно, для некоторого вектора начальных значений параметров 𝑝1 ∈ 𝐷, решаются задачи 𝐴 и
𝐵, в результате находятся точки 𝑝𝐴0 и 𝑝𝐵0 минимума критериев 𝐾𝐴 и 𝐾𝐵 соответственно.
2. Если для некоторого достаточно малого числа 𝜀 верно 𝐾𝐵 (𝑝𝐵0 ) < 𝜀, то задача параметрической
идентификации модели (6), (8), (9) решена.
4
3. В противном случае, используя в качестве начальной точки 𝑝1 точку 𝑝𝐵0 , решается задача 𝐴, и,
используя в качестве начальной точки 𝑝1 точку 𝑝𝐴0 , решается задача B. Переход на этап 2.
Достаточно большое число повторений этапов 1, 2, 3 дает возможность выходить искомым значениям
параметров из окрестностей точек неглобальных минимумов одного критерия с помощью другого критерия
и, тем самым, решить задачу параметрической идентификации.
В результате совместного решения задач 𝐴 и 𝐵 согласно указанному алгоритму c использованием с
использованием статистических данных по эволюции экономики Республики Казахстан были получены
значения 𝐾𝐴 = 0.034 и 𝐾𝐵 = 0.047. При этом относительная величина отклонений расчетных значений
переменных используемых в основном критерии от соответствующих наблюдаемых значений составила
менее 4.7%.
В дальнейшем просчет оцененной модели на промежутке параметрической идентификации и за
границей периода параметрической идентификации (прогнозный просчет) с помощью экстраполированных
на прогнозный период значений функций 𝑢(𝑡), 𝑎(𝑡) будем называть базовым просчетом.
Результаты просчета и ретроспективного базового просчета модели на 2011г., частично
представленные в Таблице 1 демонстрируют расчетные (𝑌(𝑡), 𝑌𝑔 (𝑡), 𝑃(𝑡)), наблюдаемые значения и
отклонения расчетных значений основных выходных переменных модели от соответствующих
наблюдаемых значений. Здесь промежуток времени 2000-2010 гг. соответствует периоду параметрической
идентификации модели; 2011 г. - период ретропрогноза; Y(𝑡) – суммарный валовый выпуск легального
сектора ( × 1012 тенге, в ценах 2000 года); 𝑌𝑔 (𝑡) – ВВП страны ( × 1012 тенге, в ценах 2000 года); знак “*”
соответствует наблюдаемым значениям, знак “Δ” соответствует отклонениям (в процентах) расчетных
значений от соответствующих наблюдаемых значений.
Таблица 1. Наблюдаемые, расчетные значения выходных переменных модели и соответствующие
отклонения.
Показатель
Год
2000
2001
2002
2003
2004
2005
∗
5,30
6,26
6,33
6,87
7,84
8,44
𝑌 (𝑡)
𝑌(𝑡)
5,16
6,42
6,44
6,98
7,81
8,23
Δ𝑌(𝑡)
-2,90
-1,00
-3,00
0,10
0,60
2,40
𝑌𝑔∗ (𝑡)
2,31
2,62
2,88
3,18
3,52
3,86
𝑌𝑔 (𝑡)
2,25
2,58
2,93
3,21
3,47
3,81
Δ𝑌𝑔 (𝑡)
0,60
2,30
0,10
-1,50
0,50
2,30
Год
2008
2009
9,92
1,04
2010
1,09
2011
1,14
Продолжение Таблицы 1.
Показатель
2006
2007
9,04
9,87
𝑌 ∗ (𝑡)
𝑌(𝑡)
8,79
9,65
9,85
1,05
1,13
1,15
Δ𝑌(𝑡)
1,50
-2,80
0,40
0,30
-0,10
0,20
𝑌𝑔∗ (𝑡)
4,72
5,14
5,30
5,36
5,50
5,65
𝑌𝑔 (𝑡)
4,70
5,19
5,17
5,52
5,36
5,58
Δ𝑌𝑔 (𝑡)
-2,80
1,90
2,50
-1,90
-2,80
-2,20
4 Анализ источников регионального экономического роста
В данном разделе проводится анализ источников экономического роста легальных секторов регионов
Республики Казахстан на базе CGE модели “Центр-Регионы”, экзогенные функции и параметры которой
были оценены в результате решения задачи параметрической идентификации модели на основе
статистических данных социально-экономического развития Республики Казахстан за 2000-2010 годы.
В модели используются следующие выражения мультипликативных производственных функций
легальных секторов 16 регионов исследуемой модели:
𝑧𝑗1
𝑌𝑖 (𝑡 + 1) = 𝐴𝑟𝑖 (𝑡) × [∑16
𝑗=1 (𝐷𝑖
exp[𝐴𝑙𝑖
×
(𝑡) + 𝐷𝑖𝑧𝑗2 (𝑡))]
𝐴𝑧𝑖
𝐷𝑖𝑙 (𝑡)].
𝑘
𝐾𝑖 (𝑡)+𝐾𝑖 (𝑡+1) 𝐴𝑖
× exp[𝐴𝑖𝑧𝐼𝑚 × 𝐷𝑖𝑧𝐼𝑚 (𝑡)] × [
2
]
×
(12)
5
Здесь 𝑡 – время в годах; 𝑌𝑖 – реальный выпуск легального сектора региона 𝑖 (𝑖 = 1, …, 16, см. табл. 2);
𝑧𝑗1
𝐷𝑖
- реальный спрос легального сектора региона 𝑖 на промежуточную продукцию, производимую
𝑧𝑗2
легальным сектором региона 𝑗; 𝐷𝑖 - реальный спрос легального сектора региона 𝑖 на промежуточную
продукцию, производимую теневым сектором региона 𝑗; 𝐷𝑖𝑧𝐼𝑚 - реальный спрос легального сектора региона
𝑖 на импортную промежуточную продукцию; 𝐷𝑖𝑙 - спрос легального сектора региона 𝑖 на рабочую силу;
𝐾𝑖 - реальные основные фонды легального сектора региона 𝑖; 𝐴𝑟𝑖 , 𝐴𝑖𝑧 , 𝐴𝑖𝑧𝐼𝑚 , 𝐴𝑘𝑖 , 𝐴𝑙𝑖 – известные экзогенные
функции.
Оценим влияние темпов роста аргументов этой функций на темпы роста выпуска легального сектора
𝑧
𝑧𝐼𝑚
региона 𝑌𝑖 (𝑡 + 1) в предположении о постоянстве экзогенных функций 𝐴𝑖1
, 𝐴𝑖1
, 𝐴𝑘𝑖1 , 𝐴𝑙𝑖1 . Такое
предположение используется при экстраполяции этих функций на прогнозный период расчета модели: 20122015 гг.
Прологарифмировав обе части (12), найдя затем полное приращение функции и отбросив члены
Δ𝑌
высшего порядка малости, получим следующую оценку темпа роста 𝑦𝑖 = 𝑖 реального выпуска легального
𝑌𝑖
сектора региона 𝑖 в зависимости от темпов роста эндогенных аргументов производственных функций: 𝐷𝑖𝑧 =
𝐾 (𝑡)+𝐾𝑖 (𝑡+1)
𝑧𝑗1
𝑧𝑗2
∑16
+ 𝐷𝑖 ), 𝐷𝑖𝑧𝐼𝑚 , 𝐾𝑖𝑚 (𝑡) = 𝑖
, 𝐷𝑖𝑙 и экзогенного коэффициента технического прогресса 𝐴𝑟𝑖 .
𝑗=1(𝐷𝑖
2
𝑦𝑖 =
Δ𝐴𝑟𝑖
𝐴𝑟𝑖
+ 𝐴𝑖𝑧
∆𝐷𝑖𝑧
𝐷𝑖𝑧
+ (𝐴𝑖𝑧𝐼𝑚 𝐷𝑖𝑧𝐼𝑚 )
∆𝐷𝑖𝑧𝐼𝑚
𝐷𝑖𝑧𝐼𝑚
+ 𝐴𝑘𝑖
Δ𝐾𝑖𝑚
𝐾𝑖𝑚
+ (𝐴𝑙𝑖 𝐷𝑖𝑙 )
Δ𝐷𝑖𝑙
𝐷𝑖𝑙
(13)
Здесь 𝐷𝑖𝑧 - суммарный спрос легального сектора региона 𝑖 на промежуточную продукцию,
произведенную как легальными, так и теневыми секторами всех регионов Республики Казахстан; 𝐾𝑖𝑚 –
среднегодовое значение реальных основных фондов легального сектора региона 𝑖.
Обозначим через 𝑎𝑖 =
Δ𝐴𝑟𝑖
𝐴𝑟𝑖
– темп технического прогресса легального сектора региона 𝑖; 𝑧𝑖 =
∆𝐷𝑖𝑧
𝐷𝑖𝑧
–
темп потребляемых легальным сектором региона 𝑖 промежуточных продуктов, произведенных легальным
(или теневым) сектором региона 𝑗; 𝑧𝑖𝐼𝑚 =
импортных промежуточных продуктов, 𝑘𝑖 =
𝑙𝑖 =
Δ𝐷𝑖𝑙
𝐷𝑖𝑙
∆𝐷𝑖𝑧𝐼𝑚
𝐷𝑖𝑧𝐼𝑚
Δ𝐾𝑖𝑚
𝐾𝑖𝑚
- темп потребляемых легальным сектором региона 𝑖
– темп накопления капитала в легальном секторе региона 𝑖;
– темп роста затрат труда в регионе 𝑖, где знак “Δ” означает приращение переменной в течение
одного года; значения времени в (13) для краткости пропущены.
Коэффициенты в правой части (13) при указанных выше темпах и характеризуют степени влияния
рассматриваемых факторов на экономический рост и позволяют сравнить их влияние с влиянием темпа
технического прогресса, коэффициент при котором равен 1. Обозначив эти коэффициенты через 𝛼𝑖 = 𝐴𝑖𝑧 ,
𝛽𝑖 = 𝐴𝑖𝑧𝐼𝑚 𝐷𝑖𝑧𝐼𝑚 , 𝛾𝑖 = 𝐴𝑘𝑖 , 𝛿𝑖 = 𝐴𝑙𝑖 𝐷𝑖𝑙 из (13) получим ее сокращенную запись:
𝑦𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝛼𝑖 𝑧𝑖 + 𝛽𝑖 𝑧𝑖𝐼𝑚 + 𝛾𝑖 𝑘𝑖 + 𝛿𝑖 𝑙𝑖 .
(14)
Ниже приводятся значения коэффициентов, определяющих вклады источников экономического роста
легального сектора каждого региона на базе рассматриваемой модели для 2011 года. (См. Таблицу 2).
Коэффициенты в Таблице 2 показывают, на сколько процентов (примерно) увеличится темп роста выпуска
легального сектора региона при увеличении факторов роста (темпов спроса на соответствующие
промежуточные товары, инвестиционные товары, труд) на 1% по сравнению с базовым вариантом.
Таблица 2. Коэффициенты, характеризующие влияния факторов экономического роста.
Номер Название региона
Значения коэффициентов
𝑖
регион
а
𝛼𝑖
𝛽𝑖
𝛾𝑖
𝛿𝑖
1
Акмолинская обл.
0.764
0.584
0.524
0.951
2
Актюбинская обл.
2.088
1.63
2.947
1.528
3
Алматинская обл.,
0.17
2.812
0.938
0.299
4
Атырауская обл.
2.449
1.372
2.93
2.755
5
Восточно-Казахстанская обл.
0.903
2.911
2.835
0.302
6
Жамбылская обл.
1.442
0.681
0.315
2.174
7
Западно-Казахстанская обл.
1.087
0.512
2.471
0.334
8
Карагандинская обл.
1.644
1.035
2.394
2.446
9
Костанайская обл.
1.672
2.584
2.324
0.616
6
Кызылординская обл.
Мангистауская обл.
Павлодарская обл.
Северо-Казахстанская обл
Южно-Казахстанская обл.
г. Астана
г. Алматы
10
11
12
13
14
15
16
0.251
2.516
1.606
2.527
1.964
2.097
1.851
1.489
0.26
1.29
1.378
1.742
2.802
1.954
1.258
0.559
2.291
2.554
2.383
0.382
1.98
1.173
2.508
2.098
1.192
0.539
1.962
2.978
Анализ таблицы коэффициентов 𝛼𝑖 , 𝛽𝑖 , 𝛾𝑖 , 𝛿𝑖 Таблицы 2 показывает, что, если исключить темп
технического прогресса, влияние которого на темп роста легальных секторов всех регионов в данной модели
одинаково, то из четырёх оставшихся темпов факторов экономического роста, наибольшее влияние на темп
реального выпуска регионов 1, 6, 8, 16 оказывает темп затрат труда; для регионов 2, 4, 7, 12, 13, 14 – темп
накопления капитала; для регионов 3, 5, 9, 10, 15 – темп потребляемых регионом импортных
промежуточных продуктов, а для оставшегося региона 11 – темп потребляемых регионом отечественных
промежуточных продуктов, произведенных всеми регионами.
Результаты анализа позволяют выбрать следующие доли бюджетов легальных секторов 16 регионов в
1
(𝑡) – доля бюджета
качестве инструментов для решения задач регионального экономического роста: 𝑂𝑖𝑗
легального сектора региона 𝑖, идущая на оплату товаров и услуг, закупаемых у легального сектора региона 𝑗;
𝑂𝑖𝑗2 (𝑡) – доля бюджета легального сектора региона 𝑖, идущая на оплату товаров и услуг, закупаемых у
теневого сектора региона 𝑗; 𝑂𝑖𝐼𝑚 (𝑡) – доля бюджета легального сектора региона 𝑖, идущая на оплату
импортных промежуточных товаров и услуг; 𝑂𝑖𝑙 (𝑡) - доля бюджета легального сектора региона 𝑖, идущая на
оплату рабочей силы; 𝑂𝑖𝑛 (𝑡) - доля бюджета легального сектора региона 𝑖, идущая на покупку
инвестиционных товаров. Этот подход реализован в следующем разделе.
5. Нахождение оптимальных значений экономических инструментов на базе CGE модели
“Центр-Регионы”
Метод выбора оптимальных значений экономических инструментов рассматриваемых задач
регионального экономического роста в рамках теории параметрического регулирования связан со
следующей моделью, представляемой:
- критерием оптимальности 𝐾𝑟 , характеризующим среднее значение темпа реального ВВП страны, а
также относительные отклонения ВРП (валового регионального продукта) на душу населения регионов от
ВРП на душу населения региона №4 (Атырауская область – регион, имеющий наивысшее значение
указанного показателя среди всех регионов страны в 2000-2011гг.) в 2012-2015 годах:
1
1
4
4 ∑16
𝑖=1,𝑖≠4 𝜀𝑖
𝐾𝑟 = ∑2015
𝑡=2012 𝑡𝑌𝑔(𝑡) −
2015
∑16
𝑖=1,𝑖≠4 (𝜀𝑖 ∑𝑡=2012 |
𝑌𝑔𝑖𝑙 (𝑡)−𝑌𝑔4𝑙 (𝑡)
𝑌𝑔4𝑙 (𝑡)
|)
(15)
Здесь: 𝑡𝑌𝑔(𝑡) – годовой темп ВВП страны; 𝑌𝑔𝑖𝑙 (𝑡) – ВРП на душу населения в регионе 𝑖; 𝜀𝑖 – весовой
коэффициент, его значение равно 𝜀𝑖 = 1 для слаборазвитых регионов, у которых ВРП на душу населения
ниже, чем в среднем по стране (регионы 1, 3, 5, 6, 9, 10, 13, 14), 𝜀𝑖 = 0.1 для развитых регионов, у которых
ВРП на душу населения выше, чем в среднем по стране (регионы 2, 7, 8, 11, 12, 15, 16).
- фазовыми ограничениями, которые содержат ограничения на значения уровней потребительских
цен во всех регионах:
𝑃𝑖𝑐 (𝑡) ≤ ̅̅̅
𝑃𝑖𝑐 (𝑡), 𝑖 = 1, … ,16, 𝑡 = 2012, … , 2015,
(16)
а также ограничения на значения ВРП на душу населения в регионах:
𝑌𝑔𝑖𝑙 (𝑡) ≥ ̅̅̅̅̅
𝑌𝑔𝑖𝑙 (𝑡), 𝑖 = 1, … ,16, 𝑡 = 2012, … , 2015.
(17)
Здесь: 𝑃𝑖𝑐 - уровень потребительских цен в регионе 𝑖 с параметрическим регулированием; 𝑌𝑔𝑖𝑙 (𝑡) – ВРП на
душу населения в регионе 𝑖 с параметрическим регулированием; знак “ ̅ ” обозначает базовые значения
соответствующего показателя (без параметрического регулирования).
1
(𝑡), 𝑂𝑖𝑗2 (𝑡), 𝑂𝑖𝐼𝑚 (𝑡), 𝑂𝑖𝑙 (𝑡), 𝑂𝑖𝑛 (𝑡); 𝑖, 𝑗 = 1, … ,16; 𝑡 =
- явными ограничениями на управление (𝑂𝑖𝑗
2012, … ,2015) Задачи 2 (см. ниже):
1
1
2
𝐼𝑚
𝑙
(𝑡) ≥ 0; 𝑂𝑖𝑗2 (𝑡) ≥ 0; 𝑂𝑖𝐼𝑚 (𝑡) ≥ 0; 𝑂𝑖𝑙 (𝑡) ≥ 0; 𝑂𝑖𝑛 (𝑡) ≥ 0; ∑16
𝑂𝑖𝑗
𝑗=1 (𝑂𝑖𝑗 (𝑡) + 𝑂𝑖𝑗 (𝑡)) + 𝑂𝑖 (𝑡) + 𝑂𝑖 (𝑡) +
𝑂𝑖𝑛 (𝑡) ≤ 1;
(18)
7
1
2
𝐼𝑚
1
2
𝐼𝑚 ≤ 2; 0.5 ≤ 𝑂 𝑙 (𝑡)/𝑂
̅̅̅𝑖𝑙 ≤ 2; 0.5 ≤
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
(𝑡)/𝑂
0.5 ≤ 𝑂𝑖𝑗
𝑖𝑗 ≤ 2; 0.5 ≤ 𝑂𝑖𝑗 (𝑡)/𝑂𝑖𝑗 ≤ 2; 0.5 ≤ 𝑂𝑖 (𝑡)/𝑂𝑖
𝑖
𝑛
𝑛
̅̅̅̅
𝑂𝑖 (𝑡)/𝑂
𝑖 ≤ 2.
Здесь: ̅̅̅̅
𝑂𝑖𝑗1 , ̅̅̅̅
𝑂𝑖𝑗2 , ̅̅̅̅̅
𝑂𝑖𝐼𝑚 , ̅̅̅
𝑂𝑖𝑙 , ̅̅̅̅
𝑂𝑖𝑛 - фиксированные базовые значения указанных долей, полученные в результате
решения задачи параметрической идентификации модели по данным 2000-2010 гг;
- явными ограничениями на управление (𝑂𝑖𝑘 (𝑡); 𝑖 = 1, … ,16; 𝑡 = 2012, … ,2015) Задачи 3 (см. ниже):
𝑘
2015
12
𝑂𝑖𝑘 (𝑡) ≥ 0; ∑16
𝑖=1 ∑𝑡=2012 𝑂𝑖 (𝑡) ≤ 9.2 × 10 .
(19)
Здесь 𝑂𝑖𝑘 (𝑡) - дополнительные инвестиции, идущие в год 𝑡 на субсидирование легального сектора региона 𝑖;
9.2 × 1012 – ограничение на суммарный объём указанных дополнительных инвестиций в тенге на период
2012-2015 годы (тенге – денежная единица Казахстана).
С помощью соотношений (15)-(18) и (15)-(17), (19) соответственно сформулируем следующие задачи
параметрического регулирования регионального экономического роста.
1
(𝑡), 𝑂𝑖𝑗2 (𝑡), 𝑂𝑖𝐼𝑚 (𝑡),
Задача 2. На базе CGE модели “Центр-Регионы” найти такие значения долей (𝑂𝑖𝑗
𝑂𝑖𝑙 (𝑡), 𝑂𝑖𝑛 (𝑡); 𝑖, 𝑗 = 1, … ,16; 𝑡 = 2012, … ,2015) бюджетов легальных секторов экономики регионов,
удовлетворяющие условию (18), чтобы соответствующее ему решение CGE модели “Центр-Регионы”
удовлетворяло условиям (16)-(17) и доставляло максимум критерию (15).
Задача 3. На базе CGE модели “Центр-Регионы” найти такие значения дополнительных инвестиций
𝑘
(𝑡);
(𝑂𝑖
𝑖 = 1, … ,16; 𝑡 = 2012, … ,2015), идущих на субсидирование легальных секторов экономики регионов,
удовлетворяющие условию (19), чтобы соответствующее ему решение CGE модели “Центр-Регионы”
удовлетворяло условиям (16)-(17) и доставляло максимум критерию (15).
Результаты численного решения задач 2 и 3, демонстрирующие эффективность применения
предложенного метода параметрического регулирования, приведены в следующей таблице 3.
Таблица 3. Изменения некоторых показателей в результате решения задач 2 и 3.
Задача 2
Изменение показателя по сравнению с базовым вариантом
4.7 %
Критерий 𝐾𝑟
Средний темп роста ВВП в 2012-2015гг.
2.25 % пунктов
ВВП на душу населения в 2015
10.01%
Отношение максимального к минимальному ВРП на душу населения -16.35%
в 2015
Среднеквадратичное отклонение ВРП на душу населения от -13.8%
максимального ВРП на душу населения в 2015
Изменение показателя для 2015 года по сравнению 2011 годом
Отношение максимального к минимальному ВРП на душу населения
-17.3%
ВРП на душу населения слаборазвитого региона
18.5 ... 24.8%
ВРП на душу населения развитого региона
3.5 … 5.7%.
Задача 3
5.7%
2.63 % пункта
10.5%
-17.07%
-12.72%
-17.28%
20.4 … 28.4%
3.4 … 5.9%.
Приведем некоторые результаты решения задач 2 и 3 для двух регионов Республики Казахстан, где
наблюдались максимальные значения изменения экономических показателей.
На Рисунке 1 приведен результат решения Задачи 2 - графики ВРП на душу населения для Акмолинской
области (в тенге в ценах 2000 года) без регулирования и с параметрическим регулированием. Рост ВРП на
душу населения в этом регионе составил 21.2% к 2015 году по сравнению с базовым вариантом. Если
сравнивать достигнутое в 2015 году значение с соответствующим значением за 2011 год, то наблюдается
рост на 69% (самый сильный рост среди всех регионов по сравнению с 2011 годом).
8
ВРП на душу населения региона 1
450000
400000
350000
300000
250000
200000
150000
100000
50000
0
Year
Basic variant
Regulation
Рисунок 1 – ВРП на душу населения региона №1 (Акмолинская область)
ВРП на душу населения региона 14
Рисунке 2 приведен результат решения Задачи 3 - графики ВРП на душу населения (в тенге в ценах
2000 года) для Южно-Казахстанской области без регулирования и с параметрическим регулированием. Рост
ВРП на душу населения в этом регионе составил 28.4% к 2015 году по сравнению с базовым вариантом
(самый большой рост среди всех регионов). Достигнутое в 2015 году значение этого показателя превышает
его значение для 2011 года в 1.5 раза.
180000
160000
140000
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
Year
Basic variant
Regulation
Рисунок 2 – ВРП на душу населения региона №14 (Южно-Казахстанская область)
4. Заключение
Показана эффективность предложенного метода параметрической идентификации большеразмерных
CGE моделей.
Приведены результаты вычислительных экспериментов по оценке и анализу источников
регионального экономического роста на базе CGE модели “Центр-Регионы”.
Показана эффективность применения теории параметрического регулирования в решении задач
регионального экономического роста на базе CGE модели “Центр-Регионы”.
Полученные результаты могут быть использованы при разработке и осуществлении эффективной
государственной политики в сфере экономического роста и уменьшения диспропорций регионального
экономического развития.
REFERENCES
9
D. Acemoglu, Introduction to Modern Economic Growth. (Princeton, New Jersey, USA: Princeton University
Press. 2008).
[2] S.J. Turnovsky. Methods of macroeconomic dynamics. (Cambridge, Massachusetts, USA: The MIT Press.
1997).
[3] F.J. André, M.A. Cardenete, C. Romero, Designing Public Policies. An Approach Based on Multi-Criteria
Analysis and Computable General Equilibrium Modeling. (Springer. Series: Lecture Notes in Economics and
Mathematical Systems, Vol. 642.. 1st Edition., 2010, XVIII, 180 p.)
[4] Ch.S. Tapiero, Applied stochastic models and control for finance and insurance. (Kluwer Academic Publishers,
1998).
[5] A.A. Ashimov, K.A. Sagadiyev, Yu.V. Borovskiy, N.A. Iskakov, and As.A. Ashimov, On the market economy
development parametrical regulation theory. Kybernetes, 37(5), 2008, 623–636.
[6] A.A. Ashimov, B.T. Sultanov, Zh.M. Adilov, Yu.V. Borovskiy, D.A. Novikov, R.A. Alshanov, As.A.
Ashimov, Macroeconomic analysis and parametrical control of a national economy (New York: Springer, 2013).
[7] V.L. Makarov, A.R. Bakhtizin, and S.S. Sulashkin, The Use of Computable Models in Public Administration
(Moscow: Scientific Expert, 2007, in Russian).
[1]
10