Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу

38
1 9Ê9Â
8/
Ø Ê Î ÊËÂÀÀ Í ÒÂ «
À4Í Ò Å »
Ñâîéñòâà ïðàâèëüíîé
ïèðàìèäû, âïèñàííîé
â ñôåðó
Ý.ÃÎÒÌÀÍ
Î
ÄÍÈÌ èç çàìå÷àòåëüíûõ ñâîéñòâ
ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû ÿâëÿåòñÿ åå
ñèììåòðè÷íîñòü. Ïðàâèëüíûé òåòðàýäð
ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ðåáðî òåòðàýäðà è
ñåðåäèíó ïðîòèâîïîëîæíîãî ðåáðà, è
çíà÷èò, èìååò øåñòü ïëîñêîñòåé ñèììåòðèè. Ïðè ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî
ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíû
ïðîòèâîïîëîæíûõ ðåáåð, êîíöû ýòèõ
ðåáåð ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè è ïðàâèëüíûé
òåòðàýäð ïåðåõîäèò â ñåáÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, òåòðàýäð èìååò åùå òðè îñè
ñèììåòðèè.
Îñíîâàíèåì ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû
ñëóæèò ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê, êîòîðûé èìååò n îñåé ñèììåòðèè (ðèñ.1).
N
An
A α
H
A
Ðèñ. 1
α
M
A!
Âñå îñè ïåðåñåêàþòñÿ â öåíòðå ìíîãîóãîëüíèêà. Ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê
èìååò åùå è äðóãèå ýëåìåíòû ñèììåòðèè. Êàæäàÿ âåðøèíà åãî ïåðåõîäèò â
ñîñåäíþþ ïðè ïîâîðîòå âîêðóã öåíòðà
2π
íà óãîë
è ïîñëå n òàêèõ ïîñëåäîâàn
òåëüíûõ ïîâîðîòîâ âîçâðàùàåòñÿ â èñõîäíîå ïîëîæåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê îáëàäàåò ïîâîðîòíîé ñèììåòðèåé n-ãî ïîðÿäêà.
Ïóñòü NH – âûñîòà ïðàâèëüíîé nóãîëüíîé ïèðàìèäû NA1 A2K An , òî÷êà
Í – öåíòð åå îñíîâàíèÿ. ßñíî, ÷òî
êàæäàÿ ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç
ïðÿìóþ NH è îñü ñèììåòðèè ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà, ëåæàùåãî â îñíîâàíèè ïèðàìèäû, ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîñòüþ
ñèììåòðèè ïèðàìèäû, è ïîòîìó ïðàâèëüíàÿ n-óãîëüíàÿ ïèðàìèäà èìååò n
ïëîñêîñòåé ñèììåòðèè.
2π
Ïðè ïîâîðîòàõ íà óãëû
, ãäå n =
n
= 1, 2, ..., n, âîêðóã ïðÿìîé NH ïðàâèëüíàÿ ïèðàìèäà òàêæå ïåðåõîäèò â
ñåáÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, îáëàäàåò åùå
ïîâîðîòíîé ñèììåòðèåé ïîðÿäêà n. Â
÷àñòíîñòè, ïðàâèëüíûé òåòðàýäð, êðîìå ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ýëåìåíòîâ ñèììåòðèè, èìååò ÷åòûðå îñè ñèììåòðèè
òðåòüåãî ïîðÿäêà, êàæäàÿ èç êîòîðûõ
ïðîõîäèò ÷åðåç îäíó èç âåðøèí è öåíòð
ïðîòèâîïîëîæíîé ãðàíè.
Ïðàâèëüíàÿ ÷åòûðåõóãîëüíàÿ ïèðàìèäà èìååò ÷åòûðå ïëîñêîñòè ñèììåòðèè è îñü ïîâîðîòíîé ñèììåòðèè ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà.
Êàê èçâåñòíî, îêîëî âñÿêîé ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû ìîæíî îïèñàòü ñôåðó è
â íåå ìîæíî âïèñàòü ñôåðó. Ïðè ïîâîðîòå ïèðàìèäû âîêðóã îñè NH íà óãëû
2π
(k = 1, 2, ..., n – 1) òî÷êè îñè, è
k
òîëüêî îíè, îñòàþòñÿ íà ìåñòå, âåðøèíû æå îñíîâàíèÿ ïåðåõîäÿò â äðóãèå
âåðøèíû, à ïèðàìèäà ïåðåõîäèò â ñåáÿ.
 ñåáÿ ïåðåõîäÿò òàêæå ñôåðû, îïèñàííàÿ è âïèñàííàÿ. Çíà÷èò, èõ öåíòðû –
íåïîäâèæíûå òî÷êè, ëåæàùèå íà îñè
NH. Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ðàñïîëîæåíèå öåíòðîâ ýòèõ ñôåð îòíîñèòåëüíî
ïèðàìèäû.
Öåíòð îïèñàííîé ñôåðû îäèíàêîâî
óäàëåí îò âåðøèí îñíîâàíèÿ è ïîýòîìó
ëåæèò íà ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíîé
îñíîâàíèþ è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð
îñíîâàíèÿ, ò.å. íà âûñîòå NH ïèðàìèäû èëè íà åå ïðîäîëæåíèè çà òî÷êó Í.
Åñëè ïðîäîëæåíèå âûñîòû NH ïåðåñåêàåò ñôåðó â òî÷êå Ì, òî MN – äèàìåòð
ñôåðû è, ñëåäîâàòåëüíî, ∠MA1N = 90°.
Öåíòð îïèñàííîé ñôåðû ñîâïàäàåò ñ
òî÷êîé Í, êîãäà ∠NA1H = 45°, îí
ëåæèò íà âûñîòå ïèðàìèäû èëè íà åå
ïðîäîëæåíèè â çàâèñèìîñòè îò òîãî,
áóäåò ëè ∠NA1H ìåíüøå èëè áîëüøå
45°.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: MN = 2R,
A1 A2 = a, NA1 = b, NH = h, A1H = R1 ,
∠NA1H = α . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî A1H –
âûñîòà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà
A1MN , ïðîâåäåííàÿ ê åãî ãèïîòåíóçå,
ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûìè óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà
âû÷èñëåíèå ýëåìåíòîâ ïðàâèëüíîé ïè2
ðàìèäû: b2 = 2Rh , R1 = 2R − h h ,
π
a = 2R1 sin , b = 2R sin α , h = b sin a ,
n
R1 = b cos α .
Öåíòð ñôåðû, âïèñàííîé â ïðàâèëüíóþ ïèðàìèäó, âñåãäà ëåæèò âíóòðè
ïèðàìèäû íà åå âûñîòå. Ïóñòü NK –
àïîôåìà ïðàâèëüíîé n-óãîëüíîé ïèðàìèäû NA1 A2K An (íà ðèñóíêå 2 èçîáðàæåíà ëèøü ÷àñòü ïèðàìèäû). Ïîñêîëüêó NK ⊥ A1 A2 è NH ⊥ A1 A2 , òî ðåáðî
>
C
N
L
I
A
K
H
Ðèñ. 2
A
A1 A2 ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè NHK
â ñèëó òåîðåìû î äâóõ ïåðïåíäèêóëÿðàõ. Ïðîâåäåì áèññåêòðèñó óãëà HKN,
îíà ïåðåñå÷åò âûñîòó NH â òî÷êå, êîòîðóþ îáîçíà÷èì ÷åðåç I. Äîêàæåì, ÷òî I
– öåíòð ñôåðû, âïèñàííîé â ïèðàìèäó.
Ïðîâåäåì ïåðïåíäèêóëÿð IL ê àïîôåìå NK. Òîãäà IL = IH, è ñôåðà
ðàäèóñîì IL ñ öåíòðîì I êàñàåòñÿ îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû â òî÷êå Í. Îíà êàñàåòñÿ òàêæå áîêîâîé ãðàíè NA1 A2 . Ýòî
ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî IL ⊥ A1 A2 è
IL ⊥ NK . Çíà÷èò, ïëîñêîñòü NA1 A2
ïåðïåíäèêóëÿðíà ðàäèóñó IL è êàñàåòñÿ ñôåðû â òî÷êå L. Ïîñêîëüêó ïðè
2π
ïîâîðîòàõ âîêðóã îñè NH íà óãëû
k
(k = 1, 2, ..., n – 1) ãðàíü NA1 A2
ïèðàìèäû ïåðåõîäèò âî âñå äðóãèå ãðàíè, à òî÷êà I îñòàåòñÿ íåïîäâèæíîé, òî
ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè I äî âñåõ ãðàíåé
ïèðàìèäû îäèíàêîâû è ðàâíû IL, ò.å.
ñôåðà ñ öåíòðîì I è ðàäèóñîì IH ÿâëÿåòñÿ âïèñàííîé â ïèðàìèäó. Öåíòð I
ØÊÎËÀ
ñôåðû åñòü òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ âûñîòû
NH ïèðàìèäû è áèññåêòðèñû óãëà NKH
( ∠NKH – ëèíåéíûé óãîë äâóãðàííîãî
óãëà ïðè îñíîâàíèè ïèðàìèäû).
Ââåäåì äîïîëíèòåëüíî ñëåäóþùèå
îáîçíà÷åíèÿ: IH = r, NK = l, HK = m,
∠HKN = β è ∠A1NA2 = γ . Òîãäà
m
r
èìååì:
= cosβ ,
= cos β (òàê
l
h−r
êàê KL – áèññåêòðèñà óãëà òðåóãîëüíèβ
r
m
=
), r = m tg ,
êà HKN, òî
h−r
l
2
π
γ
h = m tg β , a = 2m tg , a = 2l tg .
n
2
Ïóñòü òåïåðü NA1 A2 ... An – ïðàâèëüíàÿ n-óãîëüíàÿ ïèðàìèäà, ó êîòîðîé
öåíòðû Î è I îïèñàííîé è âïèñàííîé
ñôåð ñîâïàäàþò. Òîãäà A1L = A2L =
= NL, êàê ïðîåêöèè ðàâíûõ íàêëîííûõ IA1 , IA2 , IN. Çíà÷èò, L – öåíòð
îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà NA1 A2 , è ïîýòîìó ∠A1 NA2 =
1
= ∠A1LA2 (âïèñàííûé óãîë âäâîå
2
ìåíüøå öåíòðàëüíîãî, îïèðàþùåãîñÿ
íà òó æå äóãó). Ïîñêîëüêó I – öåíòð
âïèñàííîé ñôåðû, òî IH = IL. Çíà÷èò,
KH = KL è ∠A1HA2 = ∠A1LA2 (ïîâîðîòîì âîêðóã îñè A1 A2 íà óãîë β ýòè
óãëû ñîâìåùàþòñÿ). Ñëåäîâàòåëüíî,
π
∠A1NA2 =
. Òåì ñàìûì äîêàçàíî
n
çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî ïèðàìèäû:
Òåîðåìà 1. Åñëè â ïðàâèëüíîé nóãîëüíîé ïèðàìèäå öåíòðû îïèñàííîé
è âïèñàííîé ñôåð ñîâïàäàþò, òî ïëîñêèé óãîë ïðè âåðøèíå ïèðàìèäû ðàâåí
π
, ò.å. ñóììà âñåõ ïëîñêèõ óãëîâ ïðè
n
âåðøèíå ðàâíà π .
Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ îáðàòíóþ òåîðåìó äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.
Ôîðìà ïðàâèëüíîé n-óãîëüíîé ïèðàìèäû îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì îäíîãî
èç åå óãëîâûõ ýëåìåíòîâ. Íàïðèìåð,
åñëè èçâåñòåí óãîë α íàêëîíà áîêîâîãî
ðåáðà ê ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ, òî ìîæíî
âû÷èñëèòü âåëè÷èíó ïëîñêîãî óãëà γ
ïðè âåðøèíå ïèðàìèäû, èëè îòíîøåíèå âûñîòû ïèðàìèäû ê ñòîðîíå îñíîâàíèÿ è ò.ä.  òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò,
÷òî ïèðàìèäà îïðåäåëåíà ñ òî÷íîñòüþ
äî ïîäîáèÿ. Åñëè çàäàí îäèí èç óãëîâ
è, êðîìå òîãî, îäèí ëèíåéíûé ýëåìåíò
ïèðàìèäû, òî ìîæíî âû÷èñëèòü ëþáûå
äðóãèå åå ýëåìåíòû. Íàïðèìåð, åñëè
èçâåñòíû ðàäèóñ R îïèñàííîé ñôåðû è
óãîë α , òî åãî âûñîòó íàéäåì ïðÿìûì
ñ÷åòîì: b = 2R sin α , h = b sin α , ñëåäîâàòåëüíî, h = 2R sin2 α ïðè ëþáîì n.
Ïðèâåäåì ïðèìåðû áîëåå òðóäíûõ
çàäà÷, â êîòîðûõ ðàñêðûâàþòñÿ ñâîéñòâà ïðàâèëüíîé n-óãîëüíîé ïèðàìèäû.
Çàäà÷à 1.Áîêîâîå ðåáðî ïðàâèëüíîé
n-óãîëüíîé ïèðàìèäû íàêëîíåíî ê ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ ïîä óãëîì α , äâóãðàííûé óãîë ïðè îñíîâàíèè ðàâåí β ,
Â
39
«ÊÂÀÍÒÅ»
ïëîñêèé óãîë ïðè âåðøèíå ðàâåí γ .
Äîêàæèòå, ÷òî
γ
cos α =
sin ,
π
2
sin
n
ïèðàìèäû. Äîêàæèòå, ÷òî
e
1
cos β =
1
π
tg
n
tg
γ
.
2
Ðåøåíèå. Ïóñòü À – ñòîðîíà îñíîâàíèÿ ïðàâèëüíîé n-óãîëüíîé ïèðàìèäû, NH – âûñîòà ïèðàìèäû, LK – åå
àïîôåìà (ðèñ.3). Òîãäà ∠NAH = α ,
2π
∠NKH = β , ∠ANB = γ è ∠AHB =
.
n
N
γ
j
1 + k 2 cos γ + k 2 − 1
h
,
=
R
k2
r
k sin γ + cos γ − 1
=
,
R
k2
π
ãäå k = tg .
n
Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ñïîñîá ââåäåíèÿ âñïîìîãàòåëüíîãî óãëà. Ïóñòü
∠NAH = α (ñì. ðèñ.3). Òîãäà
e
j
h = 2 R sin2 α = 2R 1 − cos2 α .
Âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòîì çàäà÷è 1:
γ
sin
2
cos α =
π .
sin
n
Ïîëó÷èì
γ
sin2
2
h = 2R 1 −
.
π
sin2
n
Âûïîëíèì íåñëîæíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ:
F
GG
GH
B
2 sin2
β
H
K
α
sin2
A
α
γ
= 1 − cos γ ,
2
π
π
π
= tg2 ⋅ cos2 =
n
n
n
=
M
Ðèñ. 3
Èç ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ
ANH è ANK, èìåþùèõ îáùóþ ãèïîòåíóçó AN = b, íàõîäèì
γ
AH = b cos α , AK = b sin .
2
π
À òàê êàê AK = AH sin , òî cos α =
n
γ
1
sin .
=
π
2
sin
n
Àíàëîãè÷íî íàéäåì ñîîòíîøåíèå ìåæäó óãëàìè β è γ . Èìååì:
γ
HK = l cos β , AK = l tg ,
2
ãäå l = KN. À òàê êàê HK = NKctg
π
,
n
γ
tg .
π
2
tg
n
Ïðåæäå ÷åì çíàêîìèòüñÿ ñ ðåøåíèåì
ñëåäóþùåé çàäà÷è, ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ñàìîñòîÿòåëüíî ðåøèòü åå äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ, ïîëàãàÿ n = 3 èëè n = 4.
Çàäà÷à 2. Ïóñòü r è R – ðàäèóñû
âïèñàííîé è îïèñàííîé ñôåð ïðàâèëüíîé n-óãîëüíîé ïèðàìèäû, h – åå âûñîòà, γ – ïëîñêèé óãîë ïðè âåðøèíå
òî cosβ = =
I
JJ
JK
1
tg2
π
n
=
k2
,
1 + k2
π
n
è âûðàæåíèå äëÿ h ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
1 + tg2
F e1 + k jb1 − cos γ g I
GG
JJ ,
2k
H
K
2
h = 2R 1 −
îòêóäà
e
2
j
1 + k 2 cos γ + k2 − 1
h
.
=
k
k2
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî ñîîòíîøåíèÿ ââåäåì âñïîìîãàòåëüíûå îòðåçêè.
Îáîçíà÷èì AB = 2a, NK = l, HK = m,
NH = h.
Èç òðåóãîëüíèêîâ AMN è AKN íàõîäèì: b2 = 2 Rh è b2 = a2 + l2 . Îòñþäà
a2 + l2
.
R=
2h
Òàê êàê KI – áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà
HKN, òî
r
m
hm
= , îòêóäà r =
.
h−r
l
l+m
Òàêèì îáðàçîì,
r
2h2 m
=
.
R
l + m a2 + l 2
b
ge
j
Èç ïðàâîé ÷àñòè ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà èñêëþ÷èì âñïîìîãàòåëüíûå íåèç-
40
1998/4
ÊÂÀÍÒ 2
âåñòíûå h è m. Òàê êàê h2 = l – m2 è
π
m = a ctg , òî ïîñëå íåñëîæíûõ ïðån
îáðàçîâàíèé ïîëó÷èì
b
g
j
2 kl − a a
r
π
= 2
, ãäå k = tg .
R
a + l2 k 2
n
e
×èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü âûðàæåíèÿ,
ñòîÿùåãî â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà,
ðàçäåëèì íà l 2 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
γ
a
= tg , áóäåì èìåòü
2
l
γ
γ
2 k − tg tg
r
2
2
=
.
R
2 γ
2
k
1 + tg
2
γ
2tg
γ
2
À òàê êàê
= sin γ è tg
=
γ
2
1 + tg 2
2
1 − cos γ
=
, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
sin γ
FG
H
FG
H
IJ
K
IJ
K
r
l sin γ + cos γ − 1
=
.
R
k2
Çàäà÷à 3. Ðàäèóñ ñôåðû, îïèñàííîé
îêîëî ïðàâèëüíîé n-óãîëüíîé ïèðàìèäû, â òðè ðàçà áîëüøå ðàäèóñà âïèñàííîé ñôåðû. Íàéäèòå âåëè÷èíó äâóãðàííîãî óãëà ïðè îñíîâàíèè ïèðàìèäû.
Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé,
ïîëó÷åííîé ïðè ðåøåíèè çàäà÷è 2:
r
k sin γ + cos γ − 1
π
=
, ãäå k = tg .
R
k2
n
Ñîãëàñíî óñëîâèþ çàäà÷è èìååì
b
g
3 k sin γ + cos γ − 1 = k 2 .
Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ âûðàçèì
γ
sin γ è cos γ ÷åðåç tg . Îáîçíà÷èì
2
γ
tg = õ, ïîëó÷èì
2
e6 + k jx
2
îòêóäà
2
− 6kx + k 2 = 0 ,
FG 3 ±
H
x=
3−k
6+k
2
2
IJ k
K .
Ïðè n = 3 ïîëó÷èì: k = tg
γ
π
3
=
tg
γ
2
FG 3 ±
H
=
3−k
6+k
2
2
IJ k
K .
cos β =
3±
3−k
2
.
2
6+k
Àíàëîãè÷íî, ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóë çàäà÷è 2, ðåøàåòñÿ ñëåäóþùàÿ çàäà÷à.
Çàäà÷à 4. Íàéäèòå âåëè÷èíó äâóãðàííîãî óãëà ïðè îñíîâàíèè ïðàâèëüíîé n-óãîëüíîé ïèðàìèäû, ó êîòîðîé
öåíòðû âïèñàííîé è îïèñàííîé ñôåð
ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ.
Óêàçàíèå. Öåíòðû ñôåð ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà h + r = R,
r
h
èëè
+
= 1. Ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
R
R
Âûÿñíèì, êàêîâî àíàëîãè÷íîå ñâîéñòâî ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû.
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé
R
r
=
k
γ
, âîñïîëüçóéòåñü ôîð2
1
γ
ìóëîé çàäà÷è 1: cos β = tg , è óñòà2
k
íîâèòå, ÷òî
cos β =
1+ 5+k
2
.
2
4+k
Çàäà÷à ïðè ëþáîì n èìååò ðåøåíèå,
2
òàê êàê 5 + k 2 < 3 + k .
Çàäà÷à 5. Äîêàæèòå, ÷òî ðàññòîÿíèå d ìåæäó öåíòðàìè âïèñàííîé è
îïèñàííîé ñôåð ïðàâèëüíîé n-óãîëüíîé
ïèðàìèäû âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
F πI
sinG γ − J
H nK .
d=R
sin
π
n
Óêàçàíèå.Ïóñòü N – âåðøèíà ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû, I – öåíòð âïèñàííîé ñôåðû è Î – öåíòð îïèñàííîé
ñôåðû. Òîãäà NI = h – r, NO = R è d =
= IO = |NO – NI| = |R + r – h|.
Îñòàåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè çàäà÷è 2 è âûïîëíèòü íåñëîæíûå
ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Èç ôîðìóëû
FG
H
R sin γ −
d=
sin
π
π
n
IJ
K
n
ñëåäóåò, ÷òî d = 0 (ò.å. öåíòðû âïèñàííîé è îïèñàííîé ñôåð ñîâïàäàþò) òîãπ
äà è òîëüêî òîãäà, êîãäà γ =
(àíàëèn
òè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1).
Êàê èçâåñòíî, â ñëó÷àå òåòðàýäðà
R
R
= 3 òîãäà è òîëüêî
≥ 3, ïðè÷åì
r
r
òîãäà, êîãäà òåòðàýäð ïðàâèëüíûé.
, 0<γ <
2π
n
.
Ëåãêî ïðîâåðèòü èñòèííîñòü òîæäåñòâà
bk sin γ + cos γ g +
+ bk cos γ − sin γ g
2
2
= 1 + k2 ,
îòêóäà
2
k sin γ + cos γ ≤ 1 + k .
Çíà÷èò,
2
R
k
≥
=
2
r
1−k −1
2
Âû÷èñëèâ tg
2
k sin γ + cos γ − 1
e2 + k j cos γ + k sin γ − 2 = 0 .
3,
3
=
, ñëåäîâàòåëüíî, γ = 60°
2
3
è ïèðàìèäà ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì òåòðàýäðîì.
π
Åñëè n = 4, 5, 6, ..., òî k = tg < 3 ,
n
è óðàâíåíèå èìååò äâà ïîëîæèòåëüíûõ
êîðíÿ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ çàäà÷è:
õ = tg
Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå çàäà÷è 1, íàéäåì, ÷òî
2
=1+ 1+k =1+
1
cos
π
,
n
ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîëüêî
òîãäà, êîãäà
π
k cos γ − sin γ = 0 , èëè tg γ = tg ,
n
π
ò.å. γ = . Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åí
n
ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò:
Òåîðåìà 2. Ïóñòü R è r – ðàäèóñû
îïèñàííîé è âïèñàííîé ñôåð ïðàâèëüíîé n-óãîëüíîé ïèðàìèäû. Òîãäà
R
r
≥1+
1
cos
π
,
n
ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà öåíòðû ñôåð
ñîâïàäàþò.
 çàêëþ÷åíèå ïðåäëàãàåì åùå íåñêîëüêî çàäà÷ î ïðàâèëüíîé ïèðàìèäå,
âïèñàííîé â ñôåðó, äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ. Îñîáîå âíèìàíèå ñëåäóåò îáðàòèòü íà âûïîëíåíèå ÷åðòåæà.
Çàìåòèì, ÷òî ÷àñòî ìîæíî îáîéòèñü áåç
èçîáðàæåíèÿ ñôåðû. Ïðè ðåøåíèè áîëüøèíñòâà çàäà÷ äîñòàòî÷íî ïðîñòðîèòü
äèàìåòð MN îïèñàííîé îêîëî ïèðàìèäû ñôåðû è ðàññìîòðåòü ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê AMN, ãäå À – ëþáàÿ
âåðøèíà îñíîâàíèÿ (ñì. ðèñ.3).
Çàäà÷à 6. Öåíòð ñôåðû, îïèñàííîé
îêîëî ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû, ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì îñíîâàíèÿ
ïèðàìèäû. Íàéäèòå îòíîøåíèå ðàäèóñà R ýòîé ñôåðû ê ðàäèóñó r âïèñàííîé â ïèðàìèäó ñôåðû.
Óêàçàíèå. Ïóñòü NABC – äàííàÿ
ïðàâèëüíàÿ ïèðàìèäà, NH – åå âûñîòà,
NK – àïîôåìà. Ðàäèóñ âïèñàííîé ñôåðû ðàâåí ðàäèóñó îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì I íà âûñîòå ïèðàìèäû, êàñàþùåéñÿ ñòîðîí óãëà AKN (ðèñ.4). Òàê êàê
KI – áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà HKN,
ØÊÎËÀ
N
Îòâåò: tg
I
C
B
K
H
A
Ðèñ. 4
òî
R−r
r
=
KN
KH
.
R
=1+ 5.
r
Çàäà÷à 7. Îòíîøåíèå âûñîòû ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû ê ðàäèóñó îïèñàííîé îêîëî íåå ñôåðû ðàâíî k. Íàéäèòå âåëè÷èíó óãëà δ ìåæäó
åå áîêîâûìè ãðàíÿìè. Âû÷èñëèòå δ
2
ïðè k = .
3
Îòâåò:
Â
δ
2
=
41
«ÊÂÀÍÒÅ»
2
; ïðè k =
2
3
3k
δ = 90°.
Çàäà÷à 8. Îòíîøåíèå ðàäèóñà ñôåðû, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäû, ê ñòîðîíå îñíîâàíèÿ ðàâíî 2 . Íàéäèòå óãîë íàêëîíà áîêîâîãî ðåáðà ïèðàìèäû ê ïëîñêîñòè åå îñíîâàíèÿ.
Îòâåò: 15° è 75°.
Çàäà÷à 9.  ñôåðó ñ ðàäèóñîì R
âïèñàíà ïðàâèëüíàÿ ÷åòûðåõóãîëüíàÿ
ïèðàìèäà, ïëîñêèé óãîë ïðè âåðøèíå
êîòîðîé ðàâåí γ . Íàéäèòå ïëîùàäü
áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ïèðàìèäû. Ïðè
êàêîì çíà÷åíèè γ ýòà ïëîùàäü áóäåò
íàèáîëüøåé?
2
Îòâåò: Sáîê = 4 R sin 2 γ . Ïëîùàäü
íàèáîëüøàÿ ïðè γ = 45°.
Çàäà÷à 10.  ïðàâèëüíóþ ÷åòûðåõóãîëüíóþ ïèðàìèäó âïèñàíà ñôåðà. Ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ñôåðû äî âåðøèíû
ïèðàìèäû ðàâíî d, ïëîñêèé óãîë ïðè
âåðøèíå ïèðàìèäû ðàâåí γ . Íàéäèòå
ðàäèóñ ñôåðû, îïèñàííîé îêîëî ïèðàìèäû. Êàêîâû äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ
γ?
d
Îòâåò: R =
,
1
+
2
cos
45°+ γ
0° < γ < 45° .
>
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ
C
À.×ÅÐÍÎÓÖÀÍ
ÎÑÒÀÂÈÌ òîíêóþ ïàëî÷êó âåðòèêàëüíî íà ãîðèçîíòàëüíóþ ïëîñ
êîñòü è îòïóñòèì. Ïàëî÷êà íà÷íåò ïàäàòü, à åå íèæíèé êîíåö ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ñäâèíåòñÿ ñ ìåñòà è áóäåò
ñêîëüçèòü ïî ïëîñêîñòè. Ìîæíî ëè
çàðàíåå ïðåäñêàçàòü, êóäà ñäâèíåòñÿ
íèæíèé êîíåö – â òó æå ñòîðîíó, êóäà
óïàäåò ïàëî÷êà, èëè â ïðîòèâîïîëîæíóþ?
 îäíîì ñëó÷àå îòâåò õîðîøî èçâåñòåí: åñëè òðåíèÿ íåò, òî ïàëî÷êà ñðàçó
æå íà÷íåò ïðîñêàëüçûâàòü â ñòîðîíó,
ïðîòèâîïîëîæíóþ ïàäåíèþ. Îáúÿñíåíèå î÷åíü ïðîñòîå – â îòñóòñòâèå ãîðèçîíòàëüíûõ âíåøíèõ ñèë öåíòð ìàññ
ïàëî÷êè ìîæåò ñìåùàòüñÿ òîëüêî ïî
âåðòèêàëè.
V=
1
3
Sîñíh .
Åñëè R1 – ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî îñíîâàíèÿ, òî
Sîñí =
n
2
2
R1 sin
Îòâåò:
2π
n
V=
=
2π
2 R − h Ch sin
>
.
2
n
a
>2R − hCh
6
n
2
sin
2π
.
n
Îáúåì ïèðàìèäû íàèáîëüøèé ïðè
4
h = R (íåçàâèñèìî îò n).
3
Ïðèìå÷àíèå. Íàèáîëüøåå çíà÷åíèå
V ìîæíî íàéòè áåç èñïîëüçîâàíèÿ
ïðîèçâîäíîé, åñëè çàìåòèòü, ÷òî
ñóììà ñîìíîæèòåëåé ïðîèçâåäåíèÿ
4 R − 2h ⋅ h ⋅ h ïîñòîÿííà (ðàâíà 4R),
ïîýòîìó ïðîèçâåäåíèå ïðèíèìàåò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðè h = 4R – 2h.
>
C
ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
Êóäà ïðîñêîëüçíåò
ïàëî÷êà?
Ï
Çàäà÷à 11. Ïðàâèëüíàÿ n-óãîëüíàÿ
ïèðàìèäà âïèñàíà â ñôåðó ñ ðàäèóñîì
R. Âûñîòà ïèðàìèäû ðàâíà h. Íàéäèòå îáúåì ïèðàìèäû. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè h îáúåì áóäåò íàèáîëüøèì?
Óêàçàíèå. Îáúåì ïèðàìèäû âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
Ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ïðè ìàëîì òðåíèè íàïðàâëåíèå ïðîñêàëüçûâàíèÿ áóäåò òàêèì æå, ïðè÷åì íà÷íåòñÿ ïðîñêàëüçûâàíèå ïðè íåáîëüøîì îòêëîíåíèè ïàëî÷êè îò âåðòèêàëè. À âîò ïðè
äîñòàòî÷íî áîëüøîì òðåíèè îòâåò óæå
íå ñòîëü î÷åâèäåí. Èíòóèòèâíî ÷óâñòâóåòñÿ, ÷òî åñëè ïàëî÷êà íå íà÷íåò
ïðîñêàëüçûâàòü ïðè íåáîëüøèõ óãëàõ
îòêëîíåíèÿ, òî ïîòîì çà ñ÷åò ïðèîáðåòåííîé ãîðèçîíòàëüíîé ñêîðîñòè îíà
ñêîðåå ïðîñêîëüçíåò âïåðåä, ïî äâèæåíèþ (âåðõíÿÿ ÷àñòü ïàëî÷êè «ïîòÿíåò»
çà ñîáîé íèæíþþ). ×òîáû ïðîâåðèòü
òàêîå ïðåäïîëîæåíèå, ïðîâåäåì ðàñ÷åò
äâèæåíèÿ ïàëî÷êè è íàéäåì, ïðè êàêîì
íàêëîíå ïàëî÷êè íà÷íåòñÿ ïðîñêàëüçûâàíèå è êóäà áóäåò â ýòîò ìîìåíò íà-
ïðàâëåíà ñèëà òðåíèÿ (îíà âñåãäà íàïðàâëåíà ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ ïðîñêàëüçûâàíèÿ).
Äëÿ ïðîâåäåíèÿ ðàñ÷åòîâ íàì ïîíàäîáÿòñÿ íåêîòîðûå ïðîñòûå ñâåäåíèÿ
èç äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà. Âî-ïåðâûõ,
ïðè âðàùåíèè òâåðäîãî òåëà âîêðóã
íåïîäâèæíîé îñè âûïîëíÿåòñÿ óðàâíåíèå äèíàìèêè M = Iε , ãäå Ì — ìîìåíò
âíåøíèõ ñèë îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ, ε — óãëîâîå óñêîðåíèå, à I –
ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî îñè.
Ýòî óðàâíåíèå äëÿ îïèñàíèÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ èãðàåò òàêóþ æå
ðîëü, êàê âòîðîé çàêîí Íüþòîíà – äëÿ
ïîñòóïàòåëüíîãî.  ñëó÷àå åñëè îñü
âðàùåíèÿ ïðîõîäèò ÷åðåç êîíåö ïàëî÷êè, åå ìîìåíò èíåðöèè ðàâåí I = ml 2 3 ,
ãäå m – ìàññà è l – äëèíà ïàëî÷êè. Âîâòîðûõ, êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âðàùàþùåãîñÿ òâåðäîãî òåëà ðàâíà Iω 2 2 , ãäå
ω — óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ.
Ïîñòðîèì ðåøåíèå ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñíà÷àëà áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íèæíèé êîíåö ïàëî÷êè ïðèêðåïëåí ê ïëîñêîñòè øàðíèðîì, è íàéäåì çàâèñèìîñòü
ñèëû ðåàêöèè â øàðíèðå îò óãëà íàêëîíà ïàëî÷êè α (íå áåñïîêîÿñü î ïðîñêàëüçûâàíèè èëè îòðûâå îò ïëîñêîñòè).Âåðòèêàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ