Устойчивость сжатых стержней: лекция 4

4.1 Потеря устойчивости при сжатии
F
F=Fкр
Тема 4
Потеря устойчивости заключается во внезапном изгибе
сжатого стержня
При расчете сжатых стержней необходимо учитывать не
только прочность материала, но и устойчивость стержня
Значение силы F, при котором происходит потеря
устойчивости, называется критической силой Fкр или Nкр
Значение напряжения σ, при котором происходит потеря
устойчивости, называется критическим напряжением σкр
Fкр

A
A
Методика определения критических сил и критических напряжений зависит
от значения основной характеристики сжатого стержня – его гибкости λ
F
Устойчивость сжатых стержней
Ст. преподаватель Т.А. Ивашова
F=Fкр
 кр 
Гибкость стержня

N кр
 l
imin
(31)
imin – минимальный радиус инерции сечения
ν – коэффициент приведения длины стержня
ν – коэффициент приведения длины стержня
Fкр
Fкр
Fкр
4.2 Стержни большой гибкости
Гибкость считается большой, если при потере устойчивости критические
напряжения не превышают предела пропорциональности материала
σкр < σП
Fкр
Большая гибкость
λ>
 =1
 =2
 =0,7
 =0,5
 =0,5
В зависимости от значения гибкости λ стержни делятся на три класса: стержни
большой, средней и малой гибкости
Критические силы и критические напряжения для каждого класса гибкости
вычисляются по разным формулам
4.3 Стержни средней гибкости
Соблюдается закон Гука, следовательно критическая сила и критическое
напряжение могут быть определены аналитически
Формулы Эйлера
Fкр 
 2 EI min
  l 2
(32)
 кр 
 2E
2
(33)
Практические рекомендации:
- для изготовления сжатых деталей нужно применять дешевые марки стали
(углеродистые обыкновенного качества)
- сечение сжатой детали должно быть симметричным полым (труба круглая
или квадратная)
Стержни большой гибкости могут рассчитываться только на устойчивость
4.4 Стержни малой гибкости
40    100  для стали

30    100  для дерева
20    80  для чугуна

Гибкость средняя
100  для стали

100  для дерева
80  для чугуна

Гибкость малая
Критические напряжения превышают предел пропорциональности материала
σкр > σП
40  для стали

  30  для дерева

20  для чугуна
Стержни малой гибкости потерять устойчивость не могут, поэтому расчет
только на прочность
Закон Гука не соблюдается
В расчетах используются эмпирические формулы
Формула Ясинского

 кр  a - b  c2

2
 Fкр   кр  A  A a - b  c


(34)
a, b, с – эмпирические коэффициенты, зависящие от материала
Для стали Ст3 a =310МПа; b=1,14МПа; с=0
Стержни средней гибкости должны рассчитываться и на прочность, и на
устойчивость
1
4.5 График критических напряжений для стали Ст3
кр
гибкость
малая гибкость
средняя гибкость
Т
a-b

большая
П
 у
 2Е
2
4.6 Условие прочности и устойчивости сжатых стержней
Малая гибкость. Потеря устойчивости
невозможна. Опасным напряжением
является предел текучести Т .
Расчет на прочность
Стержень будет устойчивым в случае, если │max│ ≤ [ ]уст
Средняя гибкость. Критические
напряжения определяются по
формуле Ясинского. Расчет на
прочность и устойчивость
Допускаемые напряжения на устойчивость
Большая. Критические напряжения
определяются по формуле Эйлера.
Расчет на устойчивость
где  сж = Т /nТ – допускаемое напряжение для материала на сжатие -

40
100
200
Опасным напряжением при сжатии являются критические напряжения.
0
 max 
Максимальные напряжения при сжатии
 уст
величина постоянная. Учитывает прочность материала.
Берется из таблицы Приложения Б
≤1 – коэффициент уменьшения допускаемого напряжения. Учитывает
устойчивость, Берется из таблицы Приложения Г в зависимости от
Пример расчета сжатого стержня
1. Определили продольные силы
гибкости.
Условие прочности и
устойчивости сжатого стержня
N
    сж
A
Условие прочности и устойчивости
при сжатии
I
В
II
N1=+17,32кН
+ растяжение
N2= - 20кН
- сжатие
2. Определили диаметр сечения
растянутого стержня 1
2
1м
D1 =14мм
Продолжение расчета
D -?
3. Проектировочный расчет сжатого стержня 2.
│N2 │ = 20кН
1м
1
Длина стержня
l2 

 1,15 м  1150 мм

Cos 30 0,866
D2
A2 
Из Приложения А:
Площадь сечения
4
D 4
Минимальный момент инерции сечения
I min 
64
D
Минимальный радиус инерции сечения
imin 
4
  l 1  l  4 4l



Гибкость стержня
imin
D
D
D2 
Второй шаг приближений
4 N1
  сж  
Первый шаг приближений
Задаем значение φ1=0,6
Вычисляем диаметр
4  20  103
D2 
 0,0184 м  18, 4 мм
  0,6 125 106
Округляем до стандартного
D2 =19мм
Гибкость стержня
4l 4 1150
 
 242
D
19
Табличное значение φ
1*  0
Погрешность шага

1  1*
1
 100% 
A2 
Расчетный диаметр сечения
0 ,6  0
 100%  100%
0,6
Расчет повторяем
Вычисляем среднее φ2
   * 0 ,6  0
2  1 1 
 0,3
2
2
Вычисляем диаметр
4  20 103
D2 
 0,0261м  26,1мм
  0,3  125  106
Округляем до стандартного
φ

4 N1
  сж  
4l
D
Допускаемые напряжения для
стали Ст3 (Приложение Б)
 сж = р =125МПа
D -?
Решаем способом последовательных приближений (способ итераций)
Третий шаг приближений
Вычисляем среднее φ3
2  2* 0,3  0,28

 0,29
2
2
Вычисляем диаметр
4  20  103
D2 
 0,0265 м  26,5 мм
  0,29  125 10 6
Округляем до стандартного
3 
D2 =28мм
D2 =28мм
Гибкость стержня
4l 4  1150
 
 164
D
28
Табличное значение φ
 2*  0,28
Погрешность шага
3*  0,28
Погрешность шага
Расчет повторяем
D2 
D 2
4
В расчетной формуле для диаметра два неизвестных: D и φ
Гибкость стержня
4l 4 1150
 
 164
D
28
Табличное значение φ
   *2
0,3  0, 28
 2
 100% 
 100%  7%
2
0 ,3
(35)
N
    сж
A
F=10кН
30
 переменные
их представляют в виде произведения двух величин  уст= сж
опасн = кр
Допускаемые напряжения на устойчивость

 уст   опасн  кр - величина переменная, зависящая от гибкости
nу
nу
Коэффициент запаса устойчивости nу =1,8 – 3,0
1
N
A
 кр

nу
  3*
0,29  0,28
 3
 100% 
 100%  3%
3
0,29
На этом способ последовательных
приближений заканчиваем с
результатом
D2 = 28мм
λ = 164
2
4. Поверочный расчет сжатого стержня 2.
λ = 164
Нормативом для стальных конструкций является значение коэффициента
запаса устойчивости
n   1,8  3,0
уст
Фактический коэффициент запаса устойчивости
N кр
nу 
N
I min 
D 4
64
Критическая сила по формуле Эйлера
N кр 
 2 EI min
n 2 2 Ed 4 1   3 2 1011  (0,028) 4


 45,0  103 Н  45кН .
  l 2
l 2 64
1  1,152  64
Фактический коэффициент запаса устойчивости
nу 
Вывод:
N кр
N

45
 2, 25
20
Фактический коэффициент запаса устойчивости
соответствует нормам проектирования
3