Геометрический вывод основных свойств гармонических функций

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ВЫВОД ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ
ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В. А. У с п е н с к и й
В настоящей заметке мы отправляемся от геометрического определе­
ния гармонической функции как такой функции, среднее значение
которой по любой окружности равно её значению в центре этой окруж­
ности. Из этого определения мы выведем основные свойства гармони­
ческих функций, не используя никакого аналитического аппарата.
Среднее значение Мс [/ (z)] функции f(z), заданной на окружности С,
можно определить формулой
^ c l / ( s ) ] = f [f(z)dz,
с
(1)
где / — длина окружности С. В дальнейшем, однако, мы не будем поль­
зоваться этой формулой. Все наши выводы будут основаны только на сле­
дующих пяти свойствах среднего значения 1 ).
1. Mc[f(z)]>0,
если f(z)>0.
2. Мс [/(*) + g (z)) = Мс [f (z)] + Mc [g (z)}.
3. Mc[\.f(z)]
=
k-Mc[f(z)].
4. Если на двух конгруентных окружностях С и Сг заданы соответ­
ственно функции / (z) и fx (z) и эти окружности могут быть наложены
одна на другую так, чтобы в совпадающих точках совпали и значения
функций (такие функции мы назовём конгруентными), то
Mc[f{z))=Mc,[h{z)]5. Afc[f(z)] = l, если /(z) = l.
Из этих основных свойств вытекают ещё три свойства:
A) Если f(z)>g(z),
то
Mc[f{z)]>Mc[g(z)].
B) Если последовательность функций fn(z) равномерно сходится
к f(z), то последовательность Мс [fn (z)] сходится к Mc[f(z)].
C) Если функция / (z) непрерывна, неотрицательна и не равна тожде­
ственно нулю, то Мс [/ (z)] > 0.
г
) Для класса функций, интегрируемых по Римаяу, система условий 1 — 5 даёт
аксиоматическое определение среднего значения, эквивалентное аналитическому
определению, даваемому формулой (1).
202
В. А. УСПЕНСКИЙ
Свойство А) вытекает из 1 и 2, свойство В) — из 3, 5 и А). Докажем
свойство С). В некоторой точке z0 f (zQ) > 0. Из непрерывности
f(z)
заключаем, что / ( z ) > p . > 0 в некоторой окрестности точки zQ. Отсюда
следует, что мы можем построить на С конечное число функций
fi(z) (£ = 1,2, ...,n),
конгруеытных f(z), и таких, что в каждой точке
окружности по крайней мере для одной из них выполняется неравенство
п
fi(z)>[L.
Тогда 2 fi(z)^>lh
на
всеи
окружности С и
1=1
п
Мс [ S ft (z) ] >мсЫ
= Мс [jx • 1] = |х • Мс[1] = ц • 1 = [х > 0.
1=1
Поскольку
п
п
Мс [ 2 ft {z) ] = 2 Мс [/,- (z)] =
z=l
то
п
• Мс [/ (z)],
i=l
Mc[f(z)]>0.
Непрерывная функция, заданная в некоторой области плоскости,
называется гармонической, если её среднее значение по любой окружности
равно значению в центре этой окружности (предполагается, что и сама
окружность, и центр её лежат в области задания; только такие окруж­
ности и рассматриваются). Иногда, рассматривая гармоническую функцию
в замкнутой области, мы будем разрешать ей иметь конечное число точек
разрыва на границе. Из определения гармонической функции и свойств
среднего значения следует, что сумма и разность гармонических функций,
произведение гармонической функции на действительное число и предел
равномерно сходящейся последовательности гармонических функций снова
являются гармоническими функциями. Любая постоянная также является
гармонической функцией.
Рассмотрим теперь один важный пример гармонической функции.
Выбрав произвольно на плоскости отрезок АВ,
положим НАВ (z) ~
= /^AzB1)
(рис. 1). Функция HAB(z)
непрерывна на всей плоскости
за исключением двух полупрямых, исходящих из точек А и В (см. рис. 1).
Покажем, что HAB(z)—гармоническая
функция. Возьмём произвольную
окружность С с центром в О (рис. 2). Нам нужно доказать, что
Mc[HAB{z)]^HAB{0)}
Мс [НАВ (z)] - НАВ (О) = Мс [HAB{z)} - Мс [НАВ (О)] =
= Мс[НАВ(z)
- НАВ(О)]
= Mc[ZAzB-Z
ЛОВ] = Мс[Z
=Mc[ZOBz]-
OBz~ZOAz]
=
Mc[ZOAz].
Функции 9 (z) = Z OAz и 2т: — cp (z) контруентны, так как для любых двух
точек zx и z2, симметричных относительно диаметра KL, cp (zx) = 2тс — ?(я 2 )*
*) Под углом AzB понимается наименьший угол, при повороте на который
в направлении против часовой стрелки луч zА совмещается с лучом zB. Таким
образом, всегда выполнено неравенство 0^./^AzB <2%.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ
вывод основных свойств
ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
203
Поэтому Мс [ср (z)] = Мс [2тг — 9 (*)] = 2тг — Л/ с [<р (z)}, откуда Мс [ср (я)] = тт.
Точно так же Мс \/i OBz] = тг,
Л/ с [ Z OZ?z] - У¥ С [ Z a 4 z ] = 0 и Мс [НАВ (г)] = Я л в (О).
Каждому отрезку АВ, таким образом, соответствует своя гармони­
ческая функция HAB(z).
Под символом ffcoco (z) будем понимать функцию,
равную тождественно 2к. Естественность такого обозначения оправдывается
тем, что НАВ (z0) стремится к 2тс при удалении
отрезка АВ от точки z0 в бесконечность в направле­
нии, указанном на рис. 3. В дальнейшем для про­
извольной гармонической функции, заданной на круге,
будет дано представление её через функции
HAB(z).
Прежде всего, докажем следующую теорему.
Теорема
о макс и м у м е.
Гармоническая
функция, заданная на круА
В
р г 1
максимума
и минимума
на границе этого круга.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть функция /(z), заданная на круге S,
ограниченном окружностью С (рис. 4), достигает максимума в некоторой
точке а внутри круга. Проведём окружность С с центром в а и касаю­
щуюся С в некоторой точке Ъ. Так как / (a) = m a x / (z), TO / ( z ) < / (a) (z 6 С").
Покажем, что для всех z^C
*
у
^'
/ (z) =f(a).
Пусть это не так, тогда функция
f{a)~f(z)
на окружности С'
х.
непрерывна,
неотрицательна,
^ ~ " \ i- и не равна тождественно нулю;
в силу свойства С) М с [ / ( а ) —
'— / (z)] > 0- В т о ж е время
MCl[f(a)~f(z)}
-Mc[f(z)]
=
=
Ma[f(a)]~
f{a)-Mc.[f{*)],
откуда / (а) > Мс [/ (z)]; но это
противоречит определению гар­
монической функции, следова­
Рис. 3,
Рис. 4.
тельно, для всех z £ С" f (z) =
~ / ( # ) , в частности f{b)=f(a),
чем всё и доказано: / (z) достигает
максимума в точке Ъ £ С. Совершенно аналогично доказывается и утверж­
дение о минимуме 2 ).
х
) Под словом «круг» мы будем понимать замкнутый круг, т* е. круг вместе
с ограничивающей его окружностью.
2
) Мы провели доказательство в предположении, что / (z) непрерывна на круге S.
Нетрудно перенести это доказательство на случай, когда f(z) имеет конечное число
разрывов. Для этого достаточно провести две вспомогательные окружности, не про­
ходящие ни через одну из точек разрыва: С с центром в а и С" с центром в некоторой
точке с Е С и касающуюся С»
204
В. А. УСПЕНСКИЙ
С л е д с т в и е 1. Две гармонические функции, совпадающие на окруж­
ности С, совпадают и внутри круга S, ограниченного этой окружностью.
Действительно, разность этих функций тождественно равно нулю
на окружности С и по теореме о максимуме равна нулю и внутри круга S.
С л е д с т в и е 2. Последовательность гармонических функций / n (z),.
равномерно сходящаяся на окружности С, сходится равномерно и внутри
круга S, ограниченного этой окружностью.
В самом деле, для достаточно больших п
шах | / Л (z) - /
(z) | < г
( р = 1 , 2, 3, . . . ) •
Отсюда по теореме о максимуме max | fn (z) — / n + p (z) | < е и в силу криzes
терия Коши последовательность fn (z) равномерно сходится на всём круге.
Пусть S — некоторый круг. Рассмотрим всевозможные функции НАВ {z)>
непрерывные внутри круга S, а также любые их линейные комбинации
и пределы равномерно сходящихся последовательностей этих линейных
комбинаций. Все полученные таким способом* функции будут гармони­
ческими. Множество их обозначим через ЭД£. Наша задача—показать,
что SJJJ содержит все функции, гармонические на S. В силу следствия 1
всякая гармоническая функция f(z) на круге S однозначно определяется
своими значениями на границе С этого круга. Поэтому нам достаточно
установить, что, какова бы ни была непрерывная функция g (z) на окруж­
ности Су среди функций класса ЭД£ найдётся функция, совпадающая на С
с функцией g{z). Доказательством этого мы сейчас и займёмся.
Назовём функцию f(z), заданную на окружности С, ступенчатой, если
эту окружность можно разбить на конечное число дуг так, чтобы / (z)
была постоянна внутри каждой дуги. Постараемся для любой ступен­
чатой функции f(z) построить гармоническую функцию F (z), заданную
на круге S и совпадающую на С с f{z).
Решим, прежде всего, эту задачу для простейшей ступенчатой
функции, состоящей из одной ступеньки, т. е. функции y(z), определён­
ной формулой
9 Z)
^ ~
\ 0 для
ztBA1).
Построим HAB(z);
легко видеть, что HAB{z) постоянна как на дуге А В,
так и на дополнительной дуге В А. Пусть HAB(z) = & при
z£AB
и HAB(z) = $ П Р И z£BA. Тогда гармоническая функция
Ф СО = ^
\НАВ (z) - ft = ^
НАВ (z) - ^
•i
Я » » (z)
совпадает на окружности С с <р (z).
Любая ступенчатая функция f(z) представима в виде суммы отдель­
ных ступенек <р (z); построив для каждой из этих ступенек свою Ф(з),
*)i Мы предполагаем, что окружность С ориентирована, и обозначаем дугу, ставя
её концы в порядке, совпадающем с направлением ориентации.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ВЫВОД ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
205
мы получим искомую функцию F (z) как сумму функций Ф(Х), т« е. как
некоторую линейную комбинацию функций
HAB(z).
Пусть теперь / (z) — произвольная непрерывная функция на окруж­
ности С. Тогда мы можем разбить окружность на столь малые дуги,
чтобы колебание f(z) на каждой из этих дуг было меньше з. Построим
ступенчатую функцию, положив её внутри каждой дуги разбиения
постоянной и равной какому-нибудь значению / (z) на этой дуге. Построен­
ная ступенчатая функция отличается от f(z) во всех точках меньше,
чем на е. Отсюда следует, что мы можем представить / (z) в виде предела
равномерно сходящейся последовательности ступенчатых функций fn (z).
Построим для каждой fn (z) соответствующую гармоническую
Fn(z).
По следствию 2 из теоремы о максимуме последовательность Fn (z) равно­
мерно сходится на всём круге. Каждая функция Fn(z)
непрерывна
на всём круге за исключением точек разбиения, т. е. концов дуг раз­
биения. Но мы можем разбивать окружность так, чтобы точки разбиения
каждой функции fn (z) не совпадали с точками разбиения остальных
функций. Поэтому в каждой точке круга все функции Fn(z), по крайней
мере с некоторого момента, непрерывны, следовательно, предельная
функция F(z), совпадающая на С с / ( z ) , непрерывна на всём круге S.
Нами доказана, таким образом, следующая
Теорема.
Любая
гармоническая
функция,
заданная на
круге,
может быть получена как предел равномерно сходящейся
последователь­
ности линейных комбинаций НАВ (z).
Вместе с тем мы решили задачу Дирихле для круга, т. е. показали,
что любую функцию, непрерывную на окружности, можно распространить
гармонически внутрь круга и притом единственным образом.