Дифференцируемость функций многих переменных

В.В. Жук, А.М. Камачкин
2
Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость функции в
точке. Достаточные условия дифференцируемости в терминах частных производных. Дифференцирование сложной функции.
2.1
Дифференцируемость функции в точке.
Рассмотрим сначала случай двух переменных. Пусть функция z = f (x, y)
определена в некоторой окрестности S = S(M0 , δ) точки M0 = (x0 , y0 ) и
пусть
M = (x, y) ∈ S, ∆x = x − x0 , ∆y = y − y0 и, значит, ρ = ρ(M, M0 ) =
p
∆x2 + ∆y 2 < δ. Положим ∆z = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ).
Определение 1. Функция z = f (x, y) называется дифференцируемой в
точке (x0 , y0 ), если существуют два числа A и B такие, что
∆z = A∆x + B∆y + α(∆x, ∆y),
(1)
где при ρ 6= 0
α(∆x, ∆y) = ε(∆x, ∆y)ρ,
lim ε(∆x, ∆y) = 0.
ρ→0
(2)
В случае дифференцируемости функции f в точке (x0 , y0 ) линейная
функция A∆x + B∆y переменных ∆x и ∆y называется дифференциалом
функции f в точке (x0 , y0 ) и обозначается dz. Таким образом,
dz = A∆x + B∆y .
Вместо ∆x и ∆y употребляются так же равнозначные обозначения dx и
dy, т.е. пишут
dz = Adx + Bdy.
Из (2) следует, что
lim
M →M0
α(∆x, ∆y)
= 0.
ρ
(3)
Функция α(∆x, ∆y), обладающая свойством (3) обозначается по аналогии с функциями одной переменной o(ρ) при ρ → 0. Используя это обозначение, определение дифференцируемости можно переписать в виде
∆z = A∆x + B∆y + o(ρ).
1
(4)
Лемма 1. Условие (2) эквивалентно условию
α(∆x, ∆y) = ε1 (∆x, ∆y)∆x + ε2 (∆x, ∆y)∆y, ρ 6= 0 ,
(5)
где
lim ε1 = lim ε2 = 0 .
ρ→0
ρ→0
Доказательство. Пусть выполнено (2), т.е. α = ερ где ε → 0 при ρ → 0.
Тогда
α = ερ = p
ε∆x
∆x2
+
∆y 2
∆x + p
ε∆y
∆x2 + ∆y 2
∆y = ε1 ∆x + ε2 ∆y ,
где
ε∆y
ε∆x
ε1 = p
, ε2 = p
.
∆x2 + ∆y 2
∆x2 + ∆y 2
Так как
∆x
∆x
p
6 1 , p
6 1,
∆x2 + ∆y 2 ∆x2 + ∆y 2 то |ε1 | 6 |ε|, |ε2 | 6 |ε| и, следовательно, limρ→0 ε1 = limρ→0 ε2 = 0. Тем
самым представление (5) получено. Пусть теперь выполнено условие (5),
т.е. α = ε1 ∆x + ε2 ∆y, ρ 6= 0, где ε1 → 0 и ε2 → 0 при ρ → 0. Тогда
α=
∆x
p
∆x2
+
∆y 2
ε1 + p
!
∆y
∆x2
+
∆y 2
ε2
p
∆x2 + ∆y 2 = ερ,
где
∆x
ε= p
∆x2
+
∆y 2
∆y
ε1 + p
ε2 ,
∆x2 + ∆y 2
и, значит, |ε| 6 |ε1 | + |ε2 |. Поэтому ε → 0 при ρ → 0, т.е. представление
(2) получено.
Теорема 1. Если функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (x0 , y0 ),
то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Так как |∆x| 6 ρ и |∆y| 6 ρ, то из (1) и (2) следует, что
limρ→0 ∆z = 0, а это и означает непрерывность функции в точке (x0 , y0 ).
2
Теорема 2. Если функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (x0 , y0 )
и dz = A∆x + B∆y ее дифференциал в этой точке, то в этой точке у
функции f существуют все частные производные и
∂f (x0 , y0 )
= A,
∂x
∂f (x0 , y0 )
= B.
∂y
(6)
Таким образом,
dz =
∂z
∂z
dx +
dy.
∂x
∂y
Доказательство. Согласно определению дифференцируемости
∆z = A∆x + B∆y + ε1 ∆x + ε2 ∆y,
где limρ→0 ε1 = limρ→0 ε2 = 0. Полагая ∆y = 0, получим
∆z = f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) =: ∆x z = A∆x + ε1 ∆x,
где lim∆x→0 ε1 = 0. Значит
∆x z
= A + ε1 .
(7)
∆x
Правая часть (7) при ∆x → 0 стремится к A, поэтому и левая часть при
∆x → 0 имеет тот же предел, а это означает, что в точке (x0 , y0 ) существует
частная производная ∂z/∂x = A. Аналогично, полагая ∆x = 0 и переходя
к пределу при ∆y → 0, получим ∂z/∂y = B.
Отметим, что из непрерывности в данной точке функции n переменных
не вытекает существование у нее в этой точке частных производных. Важно
заметить, что при n > 2 из существования даже всех частных производных
в некоторой точке не следует непрерывность в этой точке.
Чтобы убедиться в этом рассмотрим функцию f (x, y) равную нулю, если
xy = 0 и 1, если xy 6= 0. Очевидно, f (x, 0) = f (0, y) = 0 и значит
∂f (0, 0)
∂f (0, 0)
=
= 0.
∂x
∂y
Однако, эта функция разрывная в точке (0,0), так как, например, ее
предел вдоль прямой y = x при (x, y) → (0, 0) равен 1, а f (0, 0) = 0.
2.2
Достаточное условие дифференцируемости функции в терминах частных производных.
Теорема 3. Пусть функция z = f (x, y) в некоторой окрестности точки
(x0 , y0 ) имеет частные производные ∂z/∂x и ∂z/∂y, которые непрерывны
в самой точке (x0 , y0 ). Тогда функция z = f (x, y) дифференцируема в этой
точке.
3
Доказательство. Пусть S(δ) — δ окрестность точки (x0 , y0 ), в которой
определена вместе со своими частными производными fx0 и fy0 функция f .
Выберем ∆x и ∆y так, чтобы (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ∈ S(δ). Замечая, что
∆z
= f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) =
= [f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 + ∆y)] + [f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )] ,
применим к выражениям, стоящим в квадратных скобках и являющимися
приращениями функции только по одной переменной, формулу Лагранжа.
∆z = fx0 (x0 + θ1 ∆x, y0 + ∆y)∆x + fy0 (x0 , y0 + θ2 ∆y)∆y,
(8)
где 0 < θ1 , θ2 < 1, причем θ1 и θ2 зависят, конечно, от ∆x и ∆y. Если
положить
fx0 (x0 + θ1 ∆x, y0 + ∆y) − fx0 (x0 , y0 ) = ε1 ,
fy0 (x0 , y0 + θ2 ∆y) − fy0 (x0 , y0 ) = ε2 ,
(9)
то, в силу непрерывности частных производных fx0 и fy0 в точке (x0 , y0 ),
имеем
lim ε1 = lim ε2 = 0.
ρ→0
(10)
ρ→0
Подставляя (9) в (8) получаем
∆z = fx0 (x0 , y0 )∆x + fy0 (x0 , y0 )∆y + ε1 ∆x + ε2 ∆y,
что в силу выполнения условия (10), и означает дифференцируемость функции f в точке (x0 , y0 ).
Определение 2. Функция, имеющая в некоторой точке (и соответственно на некотором множестве) непрерывные частные производные, называется непрерывно дифференцируемой в этой точке (соответственно на
множестве).
2.3
Все определения и утверждения пунктов 2.1 и 2.2 переносятся и на случай
функции y = f (x), x = (x1 , ..., xn ), любого числа n переменных, определенной в некоторой окрестности точки x(0) . Например, условие дифференцируемости в данной точке x(0) в общем случае выглядит так:
∆y = A1 ∆x1 + ... + An ∆xn + o(ρ),
где
4
ρ → 0,
(11)
v
u n
uX
(0)
(0)
ρ=t
∆x2i , ∆y = f (x1 , ..., xn ) − f (x1 , ..., x(0)
n ) , ∆xi = xi − xi (i = 1, n) ,
i=1
причем в этом случае
Ai =
∂f (x(0) )
, (i = 1, n) .
∂xi
В случае, когда имеет место (11) линейная функция
∂f (x)
∂f (x)
∆x1 + ... +
∆xn
∂x1
∂xn
n переменных ∆x1 , ..., ∆xn (здесь вместо x(0) написано x) называется дифференциалом функции в данной точке x и обозначается df (x):
∂f (x)
∂f (x)
∆x1 + ... +
∆xn
∂x1
∂xn
df (x) =
Переменные ∆xi называются также дифференциалами переменных xi и
обозначаются dxi (i = 1, n). В этих обозначениях дифференциал функции f
записывается в виде
df (x) =
∂f (x)
∂f (x)
dx1 + ... +
dxn .
∂x1
∂xn
Теоремы 1-3 очевидным образом обобщаются на функции n переменных.
2.4
Дифференцирование сложной функции.
Теорема 4. Пусть функции x(t) и y(t) одного переменного t дифференцируемы в точке t0 и пусть x0 = x(t0 ), y0 = y(t0 ). Пусть, далее, функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (x0 , y0 ) и в некоторой окрестности точки t0 имеет смысл суперпозиция f (x(t), y(t)). Тогда функция
z = f (x(t), y(t)) имеет в точке t0 производную dz/dt и в этой точке
dz
∂z dx ∂z dy
=
+
dt
∂x dt
∂y dt
(12)
или, подробнее,
df (x(t0 ), y(t0 ))
∂f (x0 , y0 ) dx(t0 ) ∂f (x0 , y0 ) dy(t0 )
=
+
.
dt
∂x
dt
∂y
dt
Доказательство. В силу дифференцируемости функции z = f (x, y) в точке
(x0 , y0 )
∆z = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
5
представимо в виде
∆z =
p
∂z
∂z
∆x +
∆y + ε ∆x2 + ∆y 2 ,
∂x
∂y
(13)
где функция ε = ε(∆x, ∆y) такова, что
lim ε = 0
(ρ =
ρ→0
p
∆x2 + ∆y 2 ).
Доопределим функцию ε(∆x, ∆y) в точке (0,0), положив ε(0, 0) = 0. Так
доопределенная функция ε(∆x, ∆y) является непрерывной в точке (0,0).
Пусть теперь ∆t - приращение переменной t и ∆x = x(t0 + ∆t) − x(t0 ), ∆y =
y(t0 + ∆t) − y(t0 ). Разделим обе части равенства (13) на ∆t
s
2 2
∂z ∆x ∂z ∆y
∆y
∆x
∆z
=
+
±ε
+
.
(14)
∆t
∂x ∆t
∂y ∆t
∆t
∆t
При ∆t → 0, в силу непрерывности функций x(t) и y(t) в точке t0 ,
получим ∆x → 0 и ∆y → 0, а значит, и lim∆t→0 ρ = 0. Отсюда по теореме о
суперпозиции непрерывных функций
lim ε(∆x, ∆y) = 0.
∆t→0
Далее,
s
lim
∆t→0
∆x
∆t
2
+
∆y
∆t
2
=
p
x02 (t0 ) + y 02 (t0 ).
Из всего сказанного следует, что при ∆t → 0 правая часть (14) стремится
к конечному пределу
∂z dx ∂z dy
+
,
∂x dt
∂y dt
а потому и левая часть этой формулы, т.е. ∆z/∆t стремится к тому же
пределу, а это и означает, что в точке t0 существует производная dz/dt и
выражается формулой (12).
Замечание 1. Хотя в окончательную формулу производной сложной функции входят только производные ∂z/∂x и ∂z/∂y функции z = f (x, y), по ходу
доказательства существенно использовалось более сильное свойство этой
функции, чем существование частных производных, а именно ее дифференцируемость.
Следствие 1. Пусть функции x = x(u, v), y = y(u, v) определены в некоторой окрестности точки (u0 , v0 ), а функция z = f (x, y) определена в
некоторой окрестности точки (x0 , y0 ), где x0 = x(u0 , v0 ), y0 = y(u0 , v0 ) и в
некоторой окрестности точки (u0 , v0 ) имеет смысл суперпозиция f (x(u, v), y(u, v)).
6
Если функция f (x, y) дифференцируема в точке (x0 , y0 ) и существуют
частные производные ∂x/∂u и ∂y/∂u в точке (u0 , v0 ), то в точке (u0 , v0 ) существует частная производная ∂z/∂u сложной функции z = f (x(u, v), y(u, v)),
причем
∂z
∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
.
∂u
∂x ∂u ∂y ∂u
(15)
Доказательство. Фиксируем v = v0 и рассмотрим сложную функцию z =
f (x(u, v0 ), y(u, v0 )) одного переменного u. Согласно теореме 4 получаем, что
производная ∂z/∂u в точке (u0 , v0 ) существует и выражается формулой (15).
Аналогично, если в точке (u0 , v0 ) существуют частные производные ∂x/∂v
и ∂y/∂v, то у сложной функции z = f (x(u, v), y(u, v)) существует в точке
(u0 , v0 ) частная производная по v и для нее справедлива формула
∂z
∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
.
∂v
∂x ∂v
∂y ∂v
Рассмотрим общий n-мерный случай. Пусть в окрестности точки x(0) =
(0)
(0)
(x1 , ..., xn ) задана функция y = y(x1 , ..., xn ), а на некотором множестве
(0)
(0)
Et ⊂ Rk заданы функции xi = xi (t1 , ..., tk ) (i = 1, n), такие, что xi (t1 , ..., tk )
(0)
xi . Пусть, далее функция y = y(x1 , ..., xn ) дифференцируема в точке x(0)
(0)
(0)
и в точке t(0) = (t1 , ..., tk ) существуют частные производные ∂xi/∂tj (i =
(0)
1, n, j = 1, k). Тогда, если в некоторой окрестности точки t имеет смысл
сложная функция y(x(t)), то она имеет в точке t(0) частные производные
∂y/∂tj (j = 1, k), причем
n
X ∂y ∂xi
∂y
=
(j = 1, k).
∂tj
∂xi ∂tj
i=1
7
=